lgebra lineal

lgebra linealsexta edicin

Stanley I. Grossman S.University of Montana

University College London

Revisin y adaptacin:

Jos Job Flores GodoyUniversidad Iberoamericana

Revisin tcnica:

Abelardo Ernesto Damy SolsInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores

de Monterrey, campus Guadalajara

Mara Eugenia Noriega TrevioUniversidad Autnoma de San Luis Potos

Mara Asuncin Montes Pacheco Universidad Popular Autnoma

del Estado de Puebla

Irma Patricia Flores AllierInstituto Politcnico Nacional

Dax Andr Pinseau CastilloUniversidad Catlica de Honduras

Universidad Pedaggica Nacional de Honduras

Kristiano Racanello Fundacin Universidad de las Amricas, Puebla

Erik Leal EnrquezUniversidad Iberoamericana, Ciudad de Mxico

Universidad Autnoma MetropolitanaAzcapotzalco

Eduardo Soberanes LugoInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores

de Monterrey, campus Sinaloa

Martha Patricia Melndez AguilarInstituto Tecnolgico de Celaya

Israel Portillo ArroyoInstituto Tecnolgico del Parral, Chihuahua

Ivn Castaeda LeyvaUniversidad de Occidente, unidad Culiacn

Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosDirector editorial: Ricardo A. del Bosque AlaynEditor sponsor: Pablo E. Roig VzquezEditor de desarrollo: Carlos Ziga GutirrezSupervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

LGEBRA LINEALSexta edicin

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2008, respecto a la sexta edicin en espaol porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D.F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN-10: 970-10-6517-4ISBN-13: 978-970-10-6517-4ISBN-10: 970-10-6773-8 (Quinta edicin cambio de portada)ISBN-13: 978-970-10-6773-4

Traducido y adaptado de la quinta edicin en ingls de ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA WITH APPLICATIONS.Copyright 2007, by Stanley I. Grossman S.ISBN 0-03-097354-6

2345678901 09765432108

Impreso en Mxico Printed in Mexico

Para Kerstin, Aaron y Erick

CONTENIDO

PREFACIO XIII

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 11.1 Introduccin 11.2 Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas 21.3 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de Gauss-Jordan y gaussiana 7 Semblanza de. . . Carl Friedrich Gauss 21 Introduccin a MATLAB 281.4 Sistemas homogneos de ecuaciones 361.5 Vectores y matrices 42 Semblanza de. . . Sir William Rowan Hamilton 521.6 Productos vectorial y matricial 57 Semblanza de. . . Arthur Cayley y el lgebra de matrices 711.7 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 871.8 Inversa de una matriz cuadrada 941.9 Transpuesta de una matriz 1181.10 Matrices elementales y matrices inversas 1241.11 Factorizaciones LU de una matriz 1361.12 Teora de grficas: una aplicacin de matrices 152 Resumen 159 Ejercicios de repaso 164

2 DETERMINANTES 1682.1 Definiciones 1682.2 Propiedades de los determinantes 1822.3 Demostracin de tres teoremas importantes y algo de historia 198 Semblanza de. . . Breve historia de los determinantes 2032.4 Determinantes e inversas 2042.5 Regla de Cramer (opcional) 212 Resumen 217 Ejercicios de repaso 218

3 VECTORES EN 2 Y 3 2203.1 Vectores en el plano 2203.2 El producto escalar y las proyecciones en 2 2343.3 Vectores en el espacio 2443.4 El producto cruz de dos vectores 254 Semblanza de. . . Josiah Willard Gibbs y los orgenes del

anlisis vectorial 259

3.5 Rectas y planos en el espacio 263 Resumen 275 Ejercicios de repaso 277

4 ESPACIOS VECTORIALES 2814.1 Introduccin 2814.2 Definicin y propiedades bsicas 2814.3 Subespacios 2934.4 Combinacin lineal y espacio generado 2994.5 Independencia lineal 3144.6 Bases y dimensin 3324.7 Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas

de una matriz 3434.8 Cambio de base 3664.9 Bases ortonormales y proyecciones en n 3874.10 Aproximacin por mnimos cuadrados 4114.11 Espacios con producto interno y proyecciones 4324.12 Fundamentos de la teora de espacios vectoriales:

existencia de una base (opcional) 444 Resumen 449 Ejercicios de repaso 455

5 TRANSFORMACIONES LINEALES 4585.1 Definicin y ejemplos 4585.2 Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y ncleo 4725.3 Representacin matricial de una transformacin lineal 4795.4 Isomorfismos 5035.5 Isometras 510 Resumen 518 Ejercicios de repaso 521

6 VALORES CARACTERSTICOS, VECTORES CARACTERSTICOS Y FORMAS CANNICAS 5246.1 Valores caractersticos y vectores caractersticos 5246.2 Un modelo de crecimiento de poblacin (opcional) 5466.3 Matrices semejantes y diagonalizacin 5556.4 Matrices simtricas y diagonalizacin ortogonal 5676.5 Formas cuadrticas y secciones cnicas 5756.6 Forma cannica de Jordan 5866.7 Una aplicacin importante: forma matricial de ecuaciones diferenciales 5956.8 Una perspectiva diferente: los teoremas de Cayley-Hamilton

y Gershgorin 607 Resumen 615 Ejercicios de repaso 620

VIII Contenido

Apndice 1 Induccin matemtica 622

Apndice 2 Nmeros complejos 630

Apndice 3 El error numrico en los clculos y la complejidad computacional 640

Apndice 4 Eliminacin gaussiana con pivoteo 649

Apndice 5 Uso de MATLAB 656

Respuestas a los problemas impares 658

Captulo 1 658

Captulo 2 683

Captulo 3 687

Captulo 4 701

Captulo 5 725

Captulo 6 734

Apndices 752

ndice 757

Contenido IX

CONTENIDO DE LOS PROBLEMAS CON MATLABSe enumeran los conjuntos de problemas de MATLAB y los temas de inters especial.

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES Introduccin a MATLAB 28 Tutora de MATLAB 301.3 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de Gauss-Jordan y gaussiana 31 Distribucin de calor 33 Modelo de insumo-producto de Leontief 34 Flujo de trfico 34 Ajuste de polinomios a puntos 351.4 Sistemas homogneos de ecuaciones 41 Balanceo de reacciones qumicas 411.5 Vectores y matrices 55 Caractersticas de MATLAB. Introduccin eficiente de matrices dispersas 561.6 Productos vectorial y matricial 81 Matriz triangular superior 83 Matrices nilpotentes 83 Matrices por bloques 84 Producto exterior 84 Matrices de contacto 84 Cadena de Markov 84 PROBLEMA PROYECTO: matriz de poblacin 861.7 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 921.8 Inversa de una matriz cuadrada 113 Tipos especiales de matrices l l 5 Perturbaciones: matrices cercanas a una matriz no invertible 116 Criptografa 1171.9 Transpuesta de una matriz 122 PROBLEMA PROYECTO: matrices ortogonales 1231.10 Matrices elementales y matrices inversas 1341.11 Factorizaciones LU de una matriz 150

2 DETERMINANTES2.1 Definiciones 179 archivo tipo M, ornt.m ilustracin de la orientacin de vectores

antes y despus de la manipulacin de matrices 1812.2 Propiedades de los determinantes 1982.4 Determinantes e inversas 210 PROBLEMA PROYECTO: encriptado y desencriptado de mensajes 2112.5 Regla de Cramer 216

3 VECTORES EN 2 Y 3

3.1 Vectores en el plano 231 archivo tipo M, lincomb.m ilustracin de un vector como una

combinacin lineal de dos vectores no paralelos 2333.2 El producto escalar y las proyecciones en 2 243 archivo tipo M, prjtn.m ilustracin de la proyeccin de un

vector sobre otro 2433.4 El producto cruz de dos vectores 263

4 ESPACIOS VECTORIALES4.2 Definicin y propiedades bsicas 288 archivo tipo M, vctrsp.m ilustracin de algunos axiomas en

espacios vectoriales 2884.3 Subespacios 2994.4 Combinacin lineal y espacio generado 305 Visualizacin de las combinaciones lineales 305 archivo tipo M, combo.m ilustracin de las combinaciones

lineales de dos vectores 305 archivo tipo M, lincomb.m ilustracin de un vector como

combinacin lineal por partes de tres vectores 307 Aplicacin 3124.5 Independencia lineal 328 Ciclos en digrficas e independencia lineal 3314.6 Bases y dimensin 3414.7 Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz 358 Aplicacin geomtrica del espacio nulo 359 Aplicacin del espacio nulo a sistemas de ecuaciones 360 Exploracin del rango de matrices especiales 363 Rango y productos de matrices 363 PROBLEMA PROYECTO: ciclos en digrficas 364 PROBLEMA PROYECTO: subespacio suma y subespacio interseccin 3654.8 Cambio de base 378 Cambio de base por rotacin en 2 382 archivo tipo M, rotcoor.m ilustracin de combinaciones

lineales respecto a bases diferentes 383 PROBLEMA PROYECTO: cambio de base por rotacin en 3; rotaciones

inclinar, desviar y rodar 385, 3874.9 Bases ortonormales y proyecciones en n 403 Proyeccin sobre un plano en 3 405 Matrices ortogonales: longitud y ngulo 408 Matrices de rotacin 409 Reflectores elementales 410 PROBLEMA PROYECTO: matrices de rotacin; cambio de base en 3 411

Contenido de los problemas de MATLAB XI

4.10 Aproximacin por mnimos cuadrados 424 Eficiencia de combustible 426 Manufactura: temperatura y fuerza 427 archivo tipo M, mile.m datos en forma vectorial sobre el ao y los tiempos rcord de carreras de una milla 427 Crecimiento de poblacin 427 Geologa minera 429 PROBLEMA PROYECTO: geologa petrolera 4294.11 Espacios con producto interno y proyecciones 443

5 TRANSFORMACIONES LINEALES5.1 Definicin y ejemplos 467 Grficas en computadora: creacin de una figura 467 archivo tipo M, grafics.m grficas por computadora usando matrices 4685.3 Representacin matricial de una transformacin lineal