Ley de tricotomíaDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

En particular, en los Números Reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia para la Matemática, que es el orden. En otras palabras es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si y pertenecen a , entonces se puede decir si la afirmación es verdadera o no. De forma precisa se puede decir que para cada y en se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones

 ;  ;

Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía.[1]

Nótese que una consecuencia inmediata de esta ley, es que si , entonces es distinto de . Dicho de otra forma, no existe ningún número real tal que .

Si imagináramos que es una recta, donde a la izquierda están los números negativos, al medio el cero y a la derecha los positivos, entonces, una interpretación geométrica de la afirmación

, es que está a la izquierda de . Esta manera de visualizar es muy conveniente, ya que permite entender con mayor claridad, algunas de las propiedades que cumplen los números reales.

Por ejemplo

Si y , entonces

La interpretación geométrica de esta propiedad llamada Transitividad, dice que si es un número real que está a la izquierda de , y está a su vez a la izquierda de , entonces está a la izquierda de .

Se dijo al principio que "en particular" esta propiedad se cumplía en los reales. Esto es porque en general puede representar la cardinalidad de conjuntos (con números), siendo uno de menor o igual cardinalidad que otro.

Valor absolutoSaltar a navegación, búsqueda

En matemática, el valor absoluto o módulo[1] de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

wiki

Definición. Valor absoluto. El valor absoluto de un número real x se representa por |x| y se define por

$

El valor absoluto es muy importante en cálculo porque nos ayuda a representar desigualdades y conjuntos de números, uno de los principales usos es el poder formalizar el concepto de límite.

Teorema

i) $ ii) $ \ $}iii) $ iv) $ <=› \hspace10} -a < x < a $}v) {$ <=> \hspace{10} -a > x \hspace{5} o \hspace{5} x > a $}

La última propiedad se acostumbra escribirv) $ <=> \hspace{10} x < -a \hspace{5} o \hspace{5} x > a $}pero la escribimos de la otra forma para que sea más fácil de recordar, pero hay que tener en cuenta que el caso (iv) es una desigualdad doble y por lo tanto una intersección entre las dos desigualdades simples y en (v) aparecen dos desigualdades con la disyunción y por lo tanto es una unión.

Observando la definición debemos recordar que x representa el inverso aditivo de x y no necesariamente es un número negativo.

Ejemplo Resolver la ecuación |5x+1| = 4

Solución.

5x+1 = 4 ó 5x+1 = −4, por lo que

x = 1 ó x = −3/5, una sustitución directa nos indica que el conjunto solución es S = {−3/5, 1}.

Es conveniente enunciar en este punto las principales propiedades de valor absoluto, sobretodo porque serán muy útiles para la solución de desigualdades

Teorema Propiedades de valor absoluto (i) |x| › 0 (ii) |x| = 0 <=› x=0 (iii) |ab| = |a| |b| (iv) |a/b| = |a|/|b| (v) |a+b| ‹ |a| + |b| (vi) |x| < a <=› a < x < a (vii) |x| › a <=> a>x o x > a

Ejemplo Resolver |2x-1| < 7

Solución.

Vemos que |2x-1| < 7 es equivalente a

-7 < 2x-1 < 7, y también a

-6 < 2x < 8

-3 < x < 4 Por lo que la solución es el intervalo (−3,4), el supremo es 4, el ínfimo es −3 y no tiene ni máximo ni mínimo.

Resolver |3x+5| › 4

Solución.

Por la propiedad (vii) del teorema anterior la desigualdad es equivalente a

3x+5 > 4 ó 3x+5 < −4 y esto a su vez a

x > −1/3 ó x < −3 y la solución es

(-oo,−3) U (−1/3,oo). El conjunto no está acotado.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Ejemplo Resolver |2x+1| ‹ |x+2|

Solución. FALTA EDITAR

La desigualdad es equivalente a

|2x+1| < 1

esto es equivalente a |x+2|

2x+1

1 < < 1

x+2 ahora analizaremos dos casos

I) Si x+2 > 0, o sea x > 2 tenemos

x2 < 2x+1 < x+2, esto equivale a dos desigualdades]]

x2 < 2x+1 y 2x+1 < x+2,

3 < 3x y x < 1

1< x y x < 1,

la solución de este caso es el intervalo

(1,1)

II) Si x+2 < 0, o sea x < 2 tenemos

x2 > 2x+1 > x+2, esto equivale a dos desigualdades

x2 > 2x+1 y 2x+1 > x+2,

3 > 3x y x > 1

1 > x y x > 1,

La solución de este caso es el conjunto vacío, pues no existe ningún número que sea mayor que 1 y menor que 2 al mismo tiempo.

Por lo tanto la solución de la desigualdad, la unión de las soluciones de los dos casos es el intervalo (1,1).

Ejemplo 2.32 Si |x3| ‹ 2 =› |2x6| < e, que valor puede tener e.

Solución.

|x3| ‹ 2 =› |2x6| < 4 por lo tanto e puede ser cualquier número mayor o igual a 4.

Ejemplo 2.33 Si |x2| ‹ d =› |5x10| < 2 que valor puede tener d.

Solución.

Vemos que |5x10| < 2 sí

5|x2| < 2, o sea si

|x2| < 2/5, entonces d puede tener cualquier valor menor o igual a 2/5.