Práctica 2 de Teoría de Máquinas. Ley de Grashof y ángulo de transmisión.  

PARTE 1. PARA HACER EN EL LABORATORIO 

Se tiene las siguientes longitudes de eslabones: a = 4; b = 6; c = 7,5 y d = 8.

1. Compruebe si los eslabones cumplen la ley de Grashof.

2. Utilizando el programa WinMecC de la Universidad de Málaga construya un mecanismo de cuatro barras usando las dimensiones dadas y cuyo comportamiento sea de manivela-balancín. Note que existen diversas opciones. Una vez construido, use la barra 2 como barra conductora y realice las siguientes tareas:

a) Usando el programa obtenga de forma aproximada el ángulo barrido por el balancín para

una vuelta completa de la manivela y dibuje las dos posiciones extremas del balancín.

b) Obtenga de forma exacta el ángulo barrido usando relaciones trigonométricas.

c) Obtenga con el programa entre qué valores oscila el ángulo de transmisión, dibujando esas

dos posiciones. A continuación hágalo de forma exacta usando relaciones trigonométricas.

d) Indique cuál es el mejor y el peor ángulo de transmisión en todo el recorrido.

e) Obtenga mediante trigonometría el ángulo que forma la barra de entrada con la horizontal

cuando el ángulo de transmisión es de 90º.

3. A continuación, usando la pestaña central abajo en el programa, pase a conducir el mecanismo

desde el eslabón 4:

a) Obtenga con el programa las dos posiciones extremas del mecanismo y dibújelas (en este

caso son puntos muertos, ángulo de transmisión 0º o 180º).

b) Obtenga entre qué valores oscila el ángulo de transmisión, dibujando esas dos posiciones

extremas.

c) Indique cuál es el mejor y peor ángulo de transmisión en todo el recorrido.

d) ¿Qué diferencia hay entre conducir por 2 y por 4?

4. Monte el mecanismo como doble manivela:

a) Indique si hay puntos muertos.

b) Conduciendo el mecanismo desde el eslabón 2 obtenga entre qué valores oscila el ángulo

de transmisión, dibujando esas dos posiciones extremas.

c) Obtenga esos ángulos de transmisión de forma exacta mediante relaciones trigonométricas.

d) Indique cuál es el mejor y peor ángulo de transmisión en todo el recorrido.

5. Monte el mecanismo como doble balancín y condúzcalo desde 2:

a) Dibuje las dos posiciones extremas que puede alcanzar el mecanismo (puntos muertos) y

obtenga con el programa el ángulo de entrada para esas dos posiciones. A continuación

obtenga esos valores de forma exacta mediante trigonometría.

b) Obtenga entre qué valores oscila el ángulo de transmisión. Indique cuál es el mejor y peor

ángulo de transmisión en todo el recorrido.

Teoría sobre ley de Grashof y ángulo de transmisión.

Ley de Grashof

Dado que la conducción de un mecanismo se efectúa, por lo general, desde un motor con

movimiento circular, las condiciones para que una barra de vueltas completas son interesantes de

conocer. Grashof dedujo en 1.883 las condiciones de rotabilidad para el cuadrilátero articulado.

Suponga los cuatro valores correspondientes a las longitudes de los cuatro lados a, b, c, d,

ordenados de menor a mayor. En la figura siguiente se muestran las tres formas de conexión

posibles.

Para la configuración a1 de dicha figura, la barra “a” dará vueltas completas alrededor de “d”, si

logra ocupar las posiciones que se ven en la siguiente figura, que son las que producen los

triángulos de lado más largo y más corto. Por tanto, deben cumplirse las relaciones

(1)a d b c+ < +

(2)a d c b+ > −

(3)d a b c− < +

(4)d a c b− > −

De las relaciones anteriores, el cumplimiento de las tres últimas en todos los casos es automático,

quedando solo el cumplimiento de la primera para que la barra “a” de vueltas completas alrededor

de “d” en la disposición a1. Es sencillo demostrar que si se cumple la condición primera, la barra “a”

da vueltas completas respecto a todas las restantes barras. Repitiendo exactamente el proceso

anterior, para las disposiciones a2 y b1, se llega al mismo resultado dado por la expresión (1). Este

conjunto de resultados permite, por tanto, enunciar la primera ley de Grashof:

“La barra más corta de un mecanismo de cuatro barras da vueltas completas respecto de

todas las demás, si se verifica que la suma de las longitudes de la barra más larga y más

corta es menor que la suma de las otras dos”.

Si no se verifica la condición de esta ley, la barra más corta no da vueltas completas alrededor de

todas las demás y, con mayor motivo, las restantes barras tampoco dan vueltas completas, es

decir, todas oscilan entre sí. Si se verifica la condición de Grashof, las barras restantes sólo pueden

oscilar entre sí. Así, en la figura a1, para conseguir que la barra “c" de vueltas completas alrededor

de “d”, debe poder situarse alineada con ella, para lo cual sería necesario que se cumpliera entre

otras: abdc +<+

lo que es imposible de cumplirse. Luego la barra “c” no puede dar vueltas completas alrededor de

“d”. En forma similar, para que “b” pueda dar vueltas alrededor de “c”, debe cumplirse entre otras la

condición: adbc −>−

que tampoco es posible. Por tanto, si “b” no puede dar vueltas completas sobre “c” y esta última no

puede darlas respecto de “d”, la barra “b” no dará vueltas sobre “d”. Para las otras configuraciones,

se llega a conclusiones similares si se realizan razonamientos como los que se han hecho para la

primera configuración. Por tanto si se verifica la condición de Grashof las barras “b”, “c” y “d”

pueden sólo oscilar unas respecto a otras.

Para un mecanismo que cumpla la ley de Grashof, se obtendrán los siguientes mecanismos en

función de la inversión elegida:

a) Si la barra fija es contigua a la más corta, el mecanismo será de manivela-balancín.

b) Si se fija la barra más corta, el mecanismo es de doble manivela.

c) Si el eslabón más corto es el seguidor, se obtiene un balancín-manivela

d) Fijando la barra opuesta a la más corta, el mecanismo será de doble balancín. En este

mecanismo es posible la rotación total del acoplador.

En caso de no cumplirse la condición impuesta por la ecuación (1), todas las inversiones del

mecanismo serán de triple balancín, ya que ninguna barra podrá dar vueltas alrededor de las

demás. En este caso no es posible el movimiento relativo continuo.

El caso límite en el que la desigualdad de la ecuación (1), se convierta en una igualdad:

cbda +=+ , se conoce como caso especial de Grashof y todas las inversiones serán doble-

manivela o manivela-balancín, pero tendrán “puntos muertos” dos veces por revolución de la

manivela de entrada cuando todos los eslabones se vuelven colineales. En estos puntos, el

movimiento de salida se vuelve impredecible ya que puede asumir cualquiera de dos

configuraciones; estos puntos muertos se vencen con dispositivos adecuados: volantes, diadas,

multiparalelogramos, etc. Un caso especial del anterior es cuando a = b y c = d. En este caso se

pueden obtener los mecanismos de la figura que se muestra debajo. El eslabonamiento de

paralelogramo es muy útil, ya que duplica exactamente el movimiento rotatorio de la manivela

impulsora en la manivela impulsada. Un empleo común es el acoplamiento de los balancines

frotadores de un limpiaparabrisas de un automóvil. El acoplador del eslabonamiento de

paralelogramo tiene traslación curvilínea y permanece con el mismo ángulo, en tanto que todos sus

puntos describen trayectorias circulares idénticas. Este movimiento paralelogramo se utiliza con

frecuencia en los elevadores traseros de carga de camiones y en robots industriales. La disposición

en cometa, es una doble manivela en la que la manivela más corta realiza dos revoluciones por

cada una de las realizadas por la manivela larga.

(Nota: para más detalles sobre la ley de Grashof se puede consultar el libro “Síntesis de

mecanismos”, de Justo Nieto).

Ángulo de transmisión en un mecanismo de 4 barras

Si se desea obtener el ángulo de transmisión en un mecanismo de 4 barras de longitudes

conocidas y para una posición de la barra de entrada, definida por θ2, se puede aplicar el teorema

del coseno a dos triángulos, usando la diagonal auxiliar m, como se muestra a continuación:

22

22 cos2 madda =−+ θ

222 cos2 mbccb =−+ μ

Combinando las dos ecuaciones se obtiene:

μθ cos2cos2 222

22 bccbadda −+=−+

Para determinar el ángulo de transmisión más grande y más pequeño en todo el recorrido se puede

alinear la barra de entrada con la barra de tierra en alargue y solape, como se muestra en las dos

figuras siguientes, y volver a aplicar el teorema del coseno.

El mejor ángulo de transmisión a lo largo de todo el recorrido de la barra de entrada será el de 90º,

si se da, o el más cercano a él. Y el peor ángulo de transmisión en todo el recorrido será el más

alejado de 90º, ya sea agudo u obtuso.

Si no se puede alinear la barra de entrada con la de tierra será porque se ha producido un punto

muerto y por tanto el ángulo de transmisión habrá alcanzado un valor de 0º o 180º. En las

siguientes figuras se muestra como ejemplo un mecanismo doble balancín en el que se está

conduciendo desde la barra 2.

PARTE 2. PARA HACER EN CASA Y ENTREGAR MEDIANTE EL SERVIDOR

Se trata de analizar un mecanismo de 4 barras articulado en cuanto a la rotabilidad de sus eslabones y también estudiar la evolución del ángulo de transmisión durante el movimiento del mismo.

1) Las longitudes de las barras del mecanismo a estudiar, que van a depender del DNI del alumno, son las siguientes:

L1=10 Eslabón de tierra

L2=5 Eslabón de entrada

L3=9+0.1*(último número del DNI) Eslabón acoplador

L4=9+0.1*(penúltimo número del DNI) Eslabón de salida

Nota: El DNI debe tener 8 cifras numéricas. Si su DNI comienza por una letra, sustitúyala por un cero. Si su DNI tiene 7 números, añada un cero como primer número del DNI.

Ejemplo: si mi DNI es 34.735.659, las longitudes de los eslabones serían las siguientes:

L1=10 L2=5

L3=9+0.1*9=9.9 L4=9+0.1*5 =9.5

2) En primer lugar compruebe si los eslabones cumplen la ley de Grashof. Como la barra de entrada es la más corta se trata de un mecanismo manivela-balancín.

3) Suponiendo el sistema de coordenadas de la figura, calcule los siguientes valores:

• p1= ángulo barrido por el balancín para una vuelta completa de la manivela, expresado en grados.

• p2= porcentaje del tiempo que el balancín tiene velocidad angular 4 kω ⋅r

positiva, expresado

en tanto por ciento, suponiendo que la manivela rota a velocidad angular constante y también

positiva 2 kω ⋅r

.

Explicación: de los 360º rotados por la manivela en cada vuelta, una parte se emplean en rotar el balancín en el sentido contrario de de las agujas del reloj (velocidad angular del balancín positiva) y el resto hasta 360º en rotarlo en el sentido de las agujas del reloj (velocidad angular

del balancín negativa). Estos dos periodos no tienen por qué ser iguales, ya que el mecanismo no tiene que tener un movimiento simétrico, y por tanto la respuesta p2 no tiene que ser 50%.

• p3= MEJOR ángulo de transmisión para una vuelta completa de la manivela, expresado en grados.

• p4= PEOR ángulo de transmisión para una vuelta completa de la manivela, expresado en grados.

• p5= ángulo de transmisión cuando la barra de entrada forma +45º con el eje OX positivo, expresado en grados.

4) A continuación entre en el servidor e introduzca las 5 respuestas (para las respuestas numéricas utilice dos cifras decimales, separando la cifra decimal con un punto y no con una coma). SÓLO INTRODUZCA LOS NÚMEROS, SIN UNIDADES.

Instrucciones para entregar las respuestas usando el Servidor de Docencia. La entrega de la práctica a través del servidor consiste en rellenar un formulario de texto con formato MatLAB. En este formulario aparecen las variables p1, p2, p3, p4 y p5, todas ellas igualadas a cero, como valor inicial. El alumno deberá sustituir esos ceros por los valores que haya obtenido.

Ejemplo de formulario relleno % Ángulo barrido por el balancín, expresado en grados p1 = 112.37; % Porcentaje del tiempo que el balancín tiene velocidad angular positiva, expresado en tanto por ciento p2 = 55.95; % Mejor ángulo de transmisión, expresado en grados p3 = 87.56; % Peor ángulo de transmisión, expresado en grados p4 = 22.31; % ángulo de transmisión cuando la barra forma +45 con OX positivo, expresado en grados p5 = 54.83;

Fechas límite:

Periodo de suscripción de la práctica 2: desde el martes 21 de febrero hasta el viernes 9 de marzo.

Periodo de entrega de la práctica 2: desde el lunes 5 de marzo hasta el viernes 23 de marzo.