Ley de Enfriamiento de Newton

Practica 2Ley de Enfriamiento de Newton

Enrique Gomez Cruz, Emanuel Garca Debora

En esta practica se reproduce la ley de enfriamiento de Newton calentando cilindros y prismas dedistintos materiales para despues dejarlos enfriar y registrar los tiempos de enfriamiento. De igualmanera se utiliza agua para ver su comportamiento al enfriarse despues de ser calentada.

I. INTRODUCCION

La diferencia de temperatura resulta del flujo deenerga hacia un sistema o del sistema al entorno. La pri-mer forma de flujo nos lleva al calentamiento del sistema,mientras que la segunda se refleja en el enfriamiento delmismo. La ley de enfriamiento de Newton establece quela razon de cambio de la temperatura de un objeto es pro-porcional a la diferencia entre su propia temperatura y ladel ambiente. La constante de proporcianlidad dependede la superficie expuesta del objeto y la capacidad termi-ca del cuerpo.La ley de enfriamiento de Newton hablade una razon de cambio instantanea de la temperatura.Esta ley es expresada como una ecuacion diferencial cuyasolucion es una funcion que registra la temperatura delobjeto a traves del tiempo.

dT

dt= k(T Ta), k > 0 (1.1)

DondeT (t) = Temperatura que depende del tiempo.T (0) = To = Temperatura inicial.Ta = Temperatura ambiente.

Hay que notar que la temperatura, T , es mayor que latemperatura Ta y por lo tanto T Ta es una cantidadpositiva. Ademas la temperatura del objeto esta decre-ciendo, es decir se esta enfriando y la razon de cambio dTdtes negativa. La constante k depende de las propiedadesde la superficie del objeto, y la ley es cierta para pe-quenas diferencias de temperatura solamente. Resolvien-do la ecuacion 1.1 tenemos expresada la funcion, T (t), deforma implcita:

log

(T TaTo Ta

)= kt (1.2)

Y de forma explcita:

T = Ta + (To Ta) exp(kt) (1.3)La constante positiva k es de la forma

k =S

V c(1.4)

Se puede medir el area S del objeto y su masa V . Elcoeficiente depende de la forma y el tamano de la mues-tra y el contacto entre la muestra y el medio que la rodea.

Sin embargo, para varias sustancias metalicas en el aire, tiene el mismo valor si las formas y los tamanos de to-das las muestras son identicas. As, se puede determinar para una sustancia metalica de calor especfico cono-cido y luego, emplear este valor para determinar el calorespecfico de otra sustancia metalica de la misma formay tamano.

II. OBJETIVOS

Determinar la funcion temperatura con respecto altiempo, T (t), para el enfriamiento del agua en unrecipiente de unicel y en uno de vidrio.

Determiar la constante de proporcionalidad entreel agua y su medio ambiente.

Determinar la funcion temperatura con respecto altiempo, T (t), para el enfriamiento de un cilindro decobre, uno de aluminio y un prisma de aluminio.

Determinar la constante de proporcionalidad de ca-da uno de los objetos solidos y su medio ambiente.

III. HIPOTESIS

A. Parte 1

Se espera que la constante de proporcionalidad cambiede acuerdo a la forma del objeto y al tipo de material.Tambien se espera que el cociente

dTdt

T Tasea constante.

B. Parte 2

Se espera que la constante de proporcionalidad de laecuacion 1.1 sea mayor cuando el agua se enfra estandoen el recipiente de vidrio que cuando esta en el de unicel.

2IV. MATERIAL

Material Cantidad Marca ModeloCilindro de Aluminio 1 - -Cilindro de Cobre 1 - -Prisma de Aluminio 1 - -Parrilla 1 - ?Par de Guantes 1 - -Pinzas 1 - -Vernier 1Termopar 1Multmetro 1Soporte Universal 1Rejilla de Asbesto 1Cronometro 1Balanza 1Vaso de Unicel 1Vaso de Precipitado 2 Pyrex No.1000

Tabla I. Materiales usados.

V. PROCEDIMIENTO

A. Parte 1

Primero se trabaja con solidos, 2 cilindros y 1 prisma.Se miden las dimensiones de los objetos con el vernier.Se pone a calentar el cilindro de cobre hasta los 120C.Para calentar el cilindro se utiliza la parrilla y se midela temperatura con el multmetro con termopar.

Figura 1. Parrilla, multmetro con termopar y cilindro de co-bre.

Despues se retira el cilindro de la parrilla y se ponesobre la rejilla de asfalto. De esta manera el cilindrose comienza a enfriar. Los cambios de temperatura seregistran con el multmetro.

Figura 2. Rejilla de asfalto, soporte universal, multmetro contermopar y cilindro de cobre.

Se apuntan los intervalos de tiempo para cada 2C quedisminuye la temperatura. Con los datos recopilados segrafica y se hace un ajuste para determinar la constantede propocionalidad k.

Se repite el procedimiento para el cilindro y prisma dealuminio.

B. Parte 2

Se calientan 100ml de agua hasta los 80C. Paracalentar el agua se utiliza la parrilla y un vaso deprecipitado.

Figura 3. Agua calentada hasta los 80C en el vaso de preci-pitado

Con los guantes se retira el vaso de precipitado de la

3parrilla y se vierte el agua en un vaso de unicel para quecomience a enfriar. Se registran las temperaturas con elmultmetro con termopar.

Figura 4. Agua enfriandose en el vaso de unicel.

Por ultimo se grafican y se ajustan los datos emplean-do el software de anaisis, QtiPlot.

Se repite el procedimiento pero ahora cambiando elvaso de unicel por el segundo vaso de precipitado.

VI. RESULTADOS

A. Parte 1

Las dimensiones de los cilindros se midieron con elvernier y la masa con la balanza. Los resultados semuestran en la siguiente tabla.

CilindroDiametro[d] Longitud[l] Masa[m]

(cm) 0.0025cm (cm) 0.0025cm (g) 0.05gAluminio 1.885 5.145 39.7

Cobre 1.93 7.585 190.0

Tabla II. Dimensiones de la superficie de contacto de los ci-lindros con el aire.

Las dimensiones de los prismas se midieron de la mismamanera que los cilindros, con el vernier, y la masa con labalanza. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.

PrismaLado[a] Longitud[l] Masa[m]

(cm) 0.0025cm (cm) 0.0025cm (g) 0.05gAluminio 1.93 5.96 59.3

Tabla III. Dimensiones de la superficie de contacto del prismacon el aire.

Con los datos anteriores se calcula el area de la super-ficie de contacto de los objetos. Para los cilindros se tieneque la superficie de contacto es

S =1

4pid2 + (pid)l (6.1)

La incertidumbre asociada esta dada por

S = pi

[(1

2d+ l

)d+ dl

](6.2)

Con la ecuacion 6.1 y los datos de la tabla II obte-nemos las areas de superficie de contacto con el aire delos cilindros. Los resultados calculados se muestran en lasiguiente tabla.

CilindroArea Superficial[S]

(cm2)SCobre 48.9 0.082

Aluminio 33.2 0.063

Tabla IV. Area de la superficie de contacto de los cilindroscon el aire.

Se conometraron los tiempos de enfriamiento paraintervalos de 2C. El cilindro de cobre se calento hastalos 120C pero paso muy rapido a los 108C que fueen donde empezo el registro de tiempos. La siguientetabla muestra una separacion entre los 56C y los 54Cdebido a que en ese punto el experimento fue detenido yreanudado posteriormente. Para continuar en donde sedejo el experimento, el cilindro de cobre se calento hastalos 70C para despues continuar tomando los tiempos deenfriamiento. Los resultados se muestran en la siguientetabla.

4Tiempo[t] Temperatura[T ](s) 0.05s (C) 0.5C

44.1 10644.2 10425.8 10226.6 10030.0 9816.9 9643.6 9435.5 9243.9 9040.7 8846.9 8646.7 8448.0 8245.4 8050.0 7845.4 7649.6 7454.5 7255.9 7052.6 6866.5 6664.8 6454.3 6275.4 6078.5 5880.2 5685.0 5477.8 5293.8 5094.1 4899.6 46144.4 44143.1 42163.6 40193.7 38207.1 36218.8 34266.9 32322.0 30409.3 28339.6 26

Tabla V. Datos recopilados del cilindro de cobre enfriandose.

La grafica de puntos se hizo utilizando QtiPlot conla opcion Scatter. El ajuste se hizo con la opcionExponential Decay y un Decay Time de 10.

Tempe

ratura(C)

20

40

60

80

100

120

Tiempo(s)0 100 200 300 400 500

TemperaturaExpDecay1Fit1

Function: y0+A*exp(-x/t)R^2 = 0.912A = 1.0987e+02 +/- 7.4556e+00t = 6.1617e+01 +/- 7.8146e+00y0 = 2.9237e+01 +/- 3.1645e+00

Figura 5. Grafica de la funcion 1.3 para el cilindro de cobre.

De la grafica anterior vemos que K = 1t =162s . Ahora

podemos calcular para el cilindro de cobre usando laecuacion 1.4. Conocemos K, S, m. El calor especfico, c,se muestra en el apendice.

=mcK

S=

(190g)(3844 kg cm2

s2 g C )

(62s)(48.9cm2)= 240.899

kg

s3 C

El cilindro de aluminio se calento hasta los 150C ypaso inmediatamente a los 114C. La siguiente tablamuestra los resultados a partir del cambio de los 114Ca los 112C.


15.9 11214.2 11014.1 10815.8 10615.8 10419.5 10216.7 10021.2 9818.2 9623.5 9422.9 9228.2 9025.4 8827.9 8627.2 8429.3 8232.2 8030.4 7825.2 7632.2 7433.4 7271.6 7039.1 6840.3 6636.2 6454.9 6239.6 6049.5 5861.4 5659.4 5455.5 5266.5 5067.6 4862.5 4693.7 4490.4 42112.9 40116.8 38139.7 36160.6 34156.3 32210.1 30364.9 28373.0 26

Tabla VI. Datos recopilados del cilindro de aluminio en-friandose.

En la siguiente grafica se muestran los datos obtenidosdel cilindro de aluminio y su ajuste exponencial.

Tempe

ratura(C)

20

40

60

80

100

120

Tiempo(s)0 50 100 150 200 250 300 350 400



Figura 6. Grafica de la funcion 1.3 para el cilindro de aluminio.


podemos calcular para el cilindro de aluminio usandola ecuacion 1.4. El calor especfico, c, se muestra en elapendice.

=mcK

S=

(39.7g)(9040 kg cm2

s2 g C )

(35s)(33.2cm2)= 308.854

kg

s3 C

Para el prisma de aluminio se tiene que la superficiede contacto esta dada por

S = a2 + 4 l a (6.3)

Y su respetiva incertidumbre esta dada por

S = (2 a+ 4 l)a+ 4 al (6.4)

PrismaArea Superficial[S]

(cm2)SAluminio 49.7 0.088

Tabla VII. Area de la superficie de contacto del prisma con elaire.

El prisma de aluminio se calento hasta los 150Cy disminuyo su temperatura hasta los 106C en elmomento en que se coloco en la rejilla de asfalto. Lasiguiente tabla muestra los datos a partir del cambio delos 106C a los 104C.


17.2 10415.2 10212.9 10016.6 9816.7 9635.9 9435.9 9225.2 9026.7 8835.1 8620.6 8421.7 8224.7 8023.2 7821.8 7628.5 7433.8 7228.2 7033.1 6828.4 6630.8 6434.8 6248.5 6038.1 5846.6 5652.1 5472.8 5253.5 5060.6 4872.8 4666.6 4498.2 4290.4 40138.3 38153.8 36148.3 34195.5 32287.9 30406.1 28651.0 26

Tabla VIII. Datos recopilados del prisma de aluminio en-friandose.

En la siguiente grafica se muestran los datos obtenidosdel prisma de aluminio y su ajuste exponencial.

Tempe

ratura(C)

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

Tiempo(s)0 100 200 300 400 500 600 700



Figura 7. Grafica de la funcion 1.3 para el prisma de aluminio.


podemos calcular para el prisma de aluminio usandola ecuacion 1.4.

=mcK

S=

(59.3g)(9040 kg cm2

s2 g C )

(39s)(49.7cm2)= 308.854

kg

s3 C

B. Parte 2

El vaso de unicel no era un cilindro pero se tomaron susmediciones como si fuera uno. El diametro y longitud dela superficie de contacto del vaso de precipitado y el va-so de unicel con el agua se muestran en la siguiente tabla.

VasoDiametro[d] Longitud[l]

(cm) 0.0025cm (cm) 0.0025cmVaso de Precipitado 8.56 1.73

Vaso de Unicel 7.93 2.10

Tabla IX. Dimensiones de la superficie de contacto de los vasoscon el agua.

Se calienta el agua hasta los 80C pero se tieneuna perdida de temperatura de 10C de forma casiinstantanea por lo tanto las mediciones se hacen desdelos 70C. Los resultados se muestran en la siguientetabla.


20 6823.8 6631.8 6435.7 6230.8 6034.6 5848.5 5648.9 5452.2 5272.3 5062.7 4870.2 46100.1 4496.9 42121.7 40136.0 38144.9 36184.9 34194.4 32277.2 30334.5 28394.6 26

Tabla X. Datos recopilados del agua enfriandose en el vaso deunicel.

El enfriamiento del agua muestra un comportamientoexponencial, esto se muestra en la siguiente grafica.

Tempe

ratura(C)

20

30

40

50

60

70

Tiempo(s)0 50 100 150 200 250 300 350 400 450


Figura 8. Grafica de la funcion 1.3 para el agua en el vaso deunicel.

La superficie de contacto del agua con el vaso de unicel

esta dada por 6.1 y su error por 6.2. Haciendo los calculosse obtiene que el area de contacto del agua y el vaso deunicel es de

(101 0.11)cm2

La grafica anterior muesra que K = 181s . Ahora contodos estos datos tenemos que

=mcK

S=

(100g)(4181 kg cm2

s2 g C )

(81s)(101cm2)= 51.106

kg

s3 C

El experimento se repite pero ahora dejando enfriar elagua en un vaso de precipitado. El agua se calienta hastalos 80C pero pierde inmediatamente 18C al quitarsede la parrilla. Los resultados desde los 62C se muestrana continuacion.

Tiempo[t] Temperatura[T ](s) 0.05s (C) 0.5C

23.7 6049.7 5830.6 5634.3 5442.9 5249.6 5054.9 4856.2 4665.9 4466.7 4286.8 40107.7 38124.9 36152.8 34153.9 32175.2 30306.2 28348.3 26

Tabla XI. Datos recopilados del agua enfriandose en el vasode precipitado.

El comportamiento del agua enfriandose se muestra acontinuacion en la siguiente grafica.

8 Tempe

ratura(C)

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Tiempo(s)0 50 100 150 200 250 300 350 400



Figura 9. Grafica de la funcion 1.3 para el agua en el vaso deprecipitado.

La superficie de contacto del agua con el vaso de pre-cipitado esta dada por 6.1 y su error por 6.2. Haciendolos calculos se obtiene que el area de contacto del agua yel vaso de precipitado es de

(104 0.11)cm2

La grafica anterior muesra que K = 175s . Ahora contodos estos datos tenemos que

=mcK

S=

(100g)(4181 kg cm2

s2 g C )

(75s)(104cm2)= 53.602

kg

s3 C

VII. ANALISIS

A. Parte 1

Los cilindros estan en contacto con el aire del medioambiente excepto su base que esta sobre una rejilla deasbesto la cual tiene una conductividad menor a 1 WmK .Por lo tanto el primer sumando de la ecuacion 6.1 saledel area de la cara superior de los cilindros. El segundosumando es el area del cuerpo del cilindro.

La ecuacion 6.2 sale por la forma general de obtenerincertidumbres:

f(x, y) =

fxx+ fy

y (7.1)El cilindro de aluminio tiene una menor area superficial

que el de cobre y se enfra mas rapido pues KCu < KAl,ademas Cu < Al lo que nos dice que el aluminio tie-ne mayor capacidad de intercambiar calor con el medioambiente. Tiene sentido pues el aluminio se enfrio mas

rapido. Pero de los tres el que se enfrio mas rapido fue elprisma de aluminio pues ademas de tener la mayor areade contacto con el aire tambien tiene la mayor capacidadde intercambio de calor.

B. Parte 2

El agua en el vaso de unicel se enfrio mas lento quecuando se enfrio en el vaso de precipitado, es decir,Kunicel < Kvidrio. La capacidad de intercambiar calores menor para el vaso de unicel que para el vaso de pre-cipitado, es decir, unicel < vidrio.

VIII. OBSERVACIONES

Inicialmente se haba contemplado trabajar con 3cilindros y 3 prismas pero el tiempo se interpuso yterminamos trabajando solo con los 2 cilindros y elprisma mostrados en los resultados.

En todos los experimentos a excepcion del cilindro dealuminio las primeras 6 o 7 mediciones fueron un pocoimprecisas ya que a temperaturas tan altas el calor selibera mas rapido e irregularmente. Ademas en principiolos experimentos del agua empezaban a los 80C perocomo tenamos que vaciar el agua del vaso de precipitadosdonde lo calentamos el agua entraba en contracto directocon el aire durante la cada y eso hizo que empezaramosel experimento debajo de los 70C en ambos casos.

IX. CONCLUSIONES

A. Parte 1

Se cumplio la hipotesis pues los coeficientes de propor-cionalidad fueron distintos de acuerdo al material y a laforma del mismo. Ademas el cociente entre la razon decambio de la temperatura y (T Ta) es constante pueslos datos efectivamente tienen el comportamiento de laecuacion diferencial 1.1.

B. Parte 2

Se observo el comportamiento de las paredes de unicely vidrio, consideradas como paredes adiabaticas. Se cum-plio la hipotesis de que la constante de proporcionalidadsera mayor en el vaso de precipitado. Se formalizo nues-tra intuicion de que el unicel tiene menos capacidad deintercambio de calor con el medio que el vidrio.

X. BIBLIOGRAFIA

9[1] Worsnop, Flint Advanced Practical Physics for Students.Methuen, London, 2nd edition, 1927.

[2] Wolfram Alpha LLC. 2009. Wolfram|Alpha.http://www.wolframalpha.com/input/?i=aluminum+copper+heat+capacity(acceso Agosto 28, 2014).

[3] Angel Franco Garca. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/

enfriamiento.htm (acceso Agosto 23, 2014).[4] Amrita. http://amrita.vlab.co.in/?sub=1&brch=

194&sim=354&cnt=1 (acceso Agosto 23, 2014)

XI. APENDICE

MaterialCalor Especfico

J/(g C)Cobre .385

Aluminio .902Agua 4.179Vidrio .840Aire 1.01

Tabla XII. Calor especfico de distintos materiales.

Prctica 2 Ley de Enfriamiento de NewtonResumenIntroduccinObjetivosHiptesisParte 1Parte 2

MaterialProcedimientoParte 1Parte 2

ResultadosParte 1Parte 2

AnlisisParte 1Parte 2

ObservacionesConclusionesParte 1Parte 2

BibliografaReferenciasApndice

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