El infinito en el aula de matemática. El infinito en el aula de matemática. Un estudio de sus representaciones Un estudio de sus representaciones

sociales desde la socioepistemologíasociales desde la socioepistemología

Coloquio de DoctoradoColoquio de Doctorado

Patricia LestónPatricia LestónDirectora: Dra. Cecilia Crespo CrespoDirectora: Dra. Cecilia Crespo Crespo

1 de julio de 20091 de julio de 2009

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Índice

Capítulo 1Planteamiento del Problema de Investigación

Capítulo 2Antecedentes a la Investigación

Capítulo 3La socioepistemología y la Teoría de las Representaciones Sociales (TRS)

Capítulo 4Representación Social del infinito intuitivo y filosófico de los alumnos de escuela secundaria

Capítulo 5Estudio epistemológico del infinito matemático: Cantor y Bolzano

33

Capítulo 6Primera Experiencia: La Representación Social del infinito matemático de los estudiantes del Profesorado de Matemática

Capítulo 7¿Cómo se constituye el infinito matemático en un objeto social?

Capítulo 8Análisis de los procesos de construcción del infinito intuitivo, filosófico y matemático. Vínculos y rompimientos.

Capítulo 9Conclusiones

Referencias bibliográficas

44

Planteamiento del Problema de Investigación

Discurso Matemático Escolar

Infinito matemático

necesita utiliza aunque desconoce

Infinito intuitivo

No son iguales, no siempre son compatibles

55

Necesidad de estudiar al infinito matemático para poder caracterizar las cuestiones que deben tratarse en la escuela, considerando los elementos del infinito intuitivo que ya son parte de la cultura del estudiante.

-Conocer el infinito intuitivo

-Conocer el infinito matemático

-Analizar cómo cada uno se construye

-Estudiar, en función del escenario las posibilidades de la construcción de cada uno

66

Antecedentes a la Investigación

Monaghan (2001) Frente a la indagación de concepciones debe recurrirse a la matemática, ya que fuera de esta ciencia, no hay objetos infinitos

el infinito intuitivo responde a cuestiones prácticas, sensibles o filosóficas, no infinitas matemáticamente

77

Garbin (2003, 2005) se rechaza el infinito en acto dentro de la matemática

Fuera de la matemática, las cosas son infinitas en sí.

En la matemática, lo infinito “puede hacerse infinito” pero no es infinito

88

Valdivé Fernández (2006)

¿Es 0,999... = 1?Si, por aproximaciónNo, le falta un pedacito para llegar a 1

¿Es R equipotente a N? ExplicaSi se pueden relacionar. N es subconjunto propio de R Son ambos infinitos. (p. 548)

Respuestas de docentes

-Se pierde la noción de límite

-Se pierde la continuidad

Infinito funcional sin sustento teórico

99

Jahnke (2001) Cantor’s inner intuition

|M| < |N|, |M| = |N| or |M| > |N| no tenía prueba alguna para tal afirmación

La intuición interna le permite a Cantor “imaginar mundos que yacen bajo nuestro mundo empírico de todos los días”

En la escuela, la intuición se rechaza y se pierde la posibilidad de dejar “ver” a los estudiantes

1010

Lestón (2008)

¿por qué alguien cambiaría un modelo que no tiene problemas (el modelo intuitivo) por un modelo que se muestra contradictorio, conflictivo y que “no convence” (el modelo matemático)? (p. 115)

Contamos con eso, en esas cosas están pensando nuestros alumnos. El problema ahora es llevarlos a reconocer la necesidad de pensar también en otras cosas.

La enumeraciónLa medidaLa temporalidadLa clasificación numéricaLa clasificación cualitativa

1111

La Socioepistemología y la Teoría de las Representaciones Sociales (TRS)

Socioepistemología

Componente Didáctica

Componente Epistemológica

Componente Social

Componente Cognitiva

Construcción del conocimiento

Teoría de las Representaciones Sociales

Escenario sociocultural

Cantor y Bolzano

Discurso Matemático Escolar

1212

Escenario sociocultural: son los ámbitos en los que actúan los grupos sociales. Están definidos por prácticas culturales específicas que manifiestan necesidades de tipo ideológico, psicológico, fisiológico o ambiental de los individuos que constituyen las sociedades específicas. En estos escenarios se explicitan peculiaridades históricas y cotidianas, de carácter filosófico, epistemológico, ideológico, o podemos decir más generalmente: culturales

(Crespo Crespo, 2007, p. 7)

1313

Existen interrelaciones entre los escenarios, que determinan influencias entre ellos y por lo tanto, en las conductas que generan.[…]Por otra parte, también en estas conductas se ponen de manifiesto maneras de pensar y de comprender la realidad propia del individuo.

(Crespo Crespo, 2007, p. 35)

-Infinito intuitivo

-Infinito filosófico

-Infinito matemático

1414

Componente cognitiva

Lestón (2008)Teoría de los Modelos Mentales de Fischbein (1989)

La cognición es un proceso interno ajeno a lo que ocurre en la comunidad

Cuando un yo cognitivo habla en expresiones cotidianas, también habla un yo colectivo y anónimo, expresando el saber y el sentir de un estrato social y cultural, enunciando un imaginario cultural particular, imaginario que no siempre es coherente con el saber matemático escolar.

(Carrasco, 2008)

1515

Teoría de las Representaciones Sociales

La teoría de las R S constituye tan solo una manera particular de enfocar la construcción social de la realidad. La ventaja de este enfoque, sin embargo, es que toma en consideración y conjuga por igual las dimensiones cognitivas y las dimensiones sociales de la construcción de la realidad.

(Araya Umaña, 2002, p. 15)

El proceso interno de la construcción de conocimiento está indivisiblemente ligado a la comunidad de la cual el individuo es parte

1616

se construye sobre

un objeto con determinadas características

(objeto social)

su existencia dependerán del grupo social

Representación social

es

forma de adueñarse de un concepto o idea

ese objeto se entiende como importante no sólo para la persona individual sino para el grupo

1717

- Infinito “natural”: - sinónimo de “muy grande o sin fin” - existe para cualquier grupo social - es ingenuo, primero construido

- Infinito “filosófico” - asociado a ideas cercanas a religión o filosofía - no es objeto social para cualquier grupo

- Infinito “matemático” - caracteriza objetos matemáticos

- existe en comunidades que se preocupan por la construcción de la matemática como ciencia

1818

¿Cuáles son las representaciones sociales que se construyen sobre el concepto de infinito, cómo y en función de qué experiencias se

construyen?

Presentar elementos que permitan empezar a caracterizar un infinito matemático escolar, accesible para los estudiantes de escuela media que les ayude a comprender la naturaleza del infinito matemático y la diferencia con el infinito intuitivo y el infinito filosófico.

1919

El Capítulo 1 de Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta de Georg Cantor (2006) (pp. 85-88)

El Capítulo 12 de Las paradojas del infinito de Bernard Bolzano (1991) (pp. 46-50)

Estudio epistemológico del infinito matemático:

Cantor y Bolzano

2020

Cantor caracteriza al infinito no como el resultado de lo finito cambiando, sino como un elemento con entidad, con existencia justificada por el uso previo a su definición, por su coherencia con lo ya existente y aceptado en un cuerpo de conocimiento.

“Conforme a este concepto, a todo conjunto bien definido le corresponde una potencia determinada, de modo que dos conjuntos tienen la misma potencia si se pueden coordinar uno con otro, elemento a elemento, biunívocamente”

(Cantor, 2006, p. 88)

2121

Bolzano discute en este fragmento las caracterizaciones que se manejaban hasta ese momento para el infinito, refutándolas con ejemplos.

“El problema de si un objeto dado es o no infinito no puede, ciertamente, depender de si su cantidad es algo que podamos o no percibir, de si somos o no capaces de tener una visión global de ella”

(Bolzano, 1991, p. 49)

2222

1- a. ¿Qué tipos de infinito distingue Cantor en este texto? Define, caracteriza y ejemplifica según lo expuesto por Cantor.

b. ¿Qué opinas de esa distinción? Explícala utilizando argumentos de la historia y los fundamentos de la matemática y de la matemática involucrada en la misma.

2- a. ¿Cuáles de esos infinitos están presentes en la escuela, y en las instituciones educativas en general?

b. ¿Cómo consideras que son construidos por los estudiantes?

Estudio epistemológico del infinito matemático:

Cantor y Bolzano

2323

3- Bolzano discute algunas explicaciones de diversos autores en relación a lo que es el infinito. Compara éstas con la que da Cantor, analizando la naturaleza de los elementos que se discuten para fundamentarlas.

4- Las caracterizaciones de infinito que se critican en el texto de Bolzano suelen aparecer en la escuela. ¿Podrías pensar en otra forma de presentar el infinito en la escuela para que no cayera en ninguna de las críticas que hace Bolzano?

5- ¿Qué opiniones crees que surgieron a fines del siglo XIX y principios del XX frente a cada una de las ideas que plantean Cantor Y Bolzano en estos textos?

2424

Estas preguntas cumplen un doble propósito: por un lado, conocer lo que los alumnos de Profesorado comprenden en relación a lo que Cantor y Bolzano han trabajado, y por otro, conocer las reflexiones que estos futuros docentes tienen en relación al infinito como elemento presente en la clase de matemática.