Lecture 12 Representación Espacial de Señales

2S 2009 - I. Zamora

Unid IV - Rep Space Sñls Dig 1

Comunicaciones II

Conferencia 12: Representación espacial de señales digitalesUNIDAD IV: REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE SEÑALES DIGITALES

Instructor: Israel M. Zamora, MS Telecommunications ManagementProfesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.

Universidad Nacional de Ingeniería

Universidad Nacional de Ingeniería

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Outline• Revisión al concepto vectorial• Ortogonalidad• Representación geométrica• Representación geométrica para un espacio n-

dimensional• Propiedades Vectoriales• Modelo de sistema digital vectorial• Conversión formas de onda a vectores espaciales• Representación Espacial de Señales• Ilustración• Algoritmo de ortogonalización Gram-Schmidt

– Procedimiento– Ejemplo

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Revisión al concepto vectorial

• Definición de Vector:– Un segmento lineal dirigido– Su longitud es denominada la longitud del vector– Su dirección es denominada su dirección

a b

Vector a Vector b

•a y b son vectores con distintas direcciones y distintas longitudes•a y c son vectores iguales en longitud y dirección (paralelos).•Producto escalar a•b : producto resultante de la longitud de la proyección del vector a sobre el vector b multiplicado por la longitud del vector b:

c

Vector c

a

ba•b=|a| |b| cos(), con |a| y |b| las longitudes de los vectores a y b respectivamente

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Ortogonalidad

• Vectores ortogonales:– Cuando el ángulo definido por sus direcciones es recto (/2 ó 90°)

a

b

Vector a

Vector b=90°

• Producto escalar o interno de vectores ortogonales es igual a cero:

a•b=|a| |b| cos(/2 )=0

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Representación geométrica

• En espacio Euclideano para el vector x

-Considerando vector en un plano bidimensional: x=(x1, x2)-Dirección de vectores unitarios

ortogonales 1 y 2

-Considerando vector en un espacio tridimensional: x=(x1, x2, x3)-Dirección de vectores unitarios

ortogonales 1,2 y 3

2

2

x2

x1

1

x=x11+x22

x1

x2

x3

1

3x=x11+x22+x33

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Representación geométrica para un espacio n-dimensional

Un vector x=(x1, x2, x3, ..., xn) de N-orden, puede representarse como una

combinación lineal de los n vectores unitarios ortogonales 1, 2, 3,..., N

n

j

x

...x

1j

N321

j

n321

x

xxxx

Con j vectores unitarios de n-orden:

)1,....,0,0,0(

)0,....,0,1,0(

)0,....,0,0,1(

n

2

1

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Propiedades Vectoriales

Longitud del vector:

n

jjx

1

22xxx

Independencia: Un conjunto de vectores de m dimensiones, x1, x2,...,xm, es independiente si ninguno de los vectores de ese conjunto puede representarse como combinación lineal de los vectores restantes del conjunto, es decir:

)(constantea ;aaaa jm321 0321 mx...xxx

Si un espacio contiene un máximo de n vectores independientes, todo vector en ese espacio puede expresarse como una combinación lineal de estos n vectores independientes.

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Propiedades Vectoriales

Vectores base: Son los n vectores independientes en un espacio n-dimensional

Vectores ortonormales: Son vectores ortogonales con longitud unitarias, de un espacio n-dimensional. Satisfacen la propiedad del producto punto o interno:

1

0

ji

jiji

Dado un vector x, sus cómponentes xj pueden determinarse de la forma siguiente:

jjx x

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Modelo vectorial de sistema digital

mm TMR /log2

im

1-M0,1,..., im

Fuente deMensajes

CodificadorVectorial

ModuladorVectorial

Sumidero deMensajes

DecodificadorVectorial

DemoduladorVectorial

Un mensaje cada Tm segundos

),...,s,s(s iNii 21is ,...,M,i)t(si 21

im )t(si

Una señal cada TS segundos

Al canal físico

)t(n

)t(n)t(s)t(r ii

),...,r,r(r iNii 21irim̂

Decisión:Muestra debe procurarmínima probabilidadde error ( corresponda a mi )im̂

)t(ri

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Del modelo

Fuente de Mensaje:

Un símbolo mensaje mi cada Tm segundos, hay m diferentes símbolos y todos ocurren con igual probabilidad,

i , M

emitidomPP ii

1

Codificador Vectorial:

Mapeo de un símbolo a un vector de valor real de dimensión NM,

),...,s,s(sm iNiii 21is

Modulador Vectorial:

Mapeo de un vector de valor real a una forma de onda de valor real en un intervalor 0tTS con energía finita,

T

ii

i

dt)t(sE

)t(s

0

2

is

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Del modelo

Canal de formas de onda:

Sistema LTI, ancho de banda acomoda si(t) sin distorsión, y el ruido es agregado.

Donde n(t) es ruido blanco aditivo Gaussiano.

Sii Tt0 ),t(n)t(s)t(r

Demodulador Vectorial:

Mapeo de la señal recibida a un vector de valor real y dimensión N,

),...,r,r(r)t(r iNiii 21ir

Detector o Decodificador Vectorial:

Mapea ri a uno de los m mensajes,

La decisión se toma de acuerdo a un criterio estadístico de optimización para reducir la probabilidad de error de símbolo,

m̂ir

iM

iiiie mPmmm̂PP

1

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Conversión formas de onda a vectores espaciales

Considere “V” como un espacio lineal Euclideano, sobre un campo numérico complejo “C”:

3. Linealidad: Cba,V,β,α,α ,β,αbβ,αaβ, bαaα 212121

2. Positivo de facto: 0) si0( 0, ααα,

1. Simetría: V βα, ,βα,βα,

0. Notación del producto escalar, para dos vectores, y : βα,

Producto escalar (interno o punto) de un espacio Euclideano

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Conversión formas de onda a vectores espaciales

Extensión para señales de energía finita:

•Si la señal s(t) puede especificarse mediante una n-ada, entonces también es un vector

)(constantea 0;aaaa jN321 N321 ...

•Espacio de Señales: Se definen n señales 1, 2, 3,..., N, como independientes, si

satisfacen:

•Si toda señal si(t) de un cierto espacio de M señales, se puede representar como una

combinación lineal de n señales independientes {j}, entonces se tiene un espacio de

señales de N dimensiones,

N

1jjiji Tt0 M1,2,...,i (t),s(t)s

T

0 jijiij (t)dt(t)s(t)(t),ss

•Donde los coeficientes sij se obtiene como:NOTA: sij es la proyección de

si sobre j

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Representación Espacial de Señales

•Producto Escalar o Interno de dos señales de valor real s(t) y y(t) sobre un intervalo [0,T] se define como:

T

0s(t)y(t)dty(t)s(t),

•Norma o longitud de una señal s(t) se define como:

0)( E(t)dtss(t)s(t),s(t) 21/2T

0

21/2

•Conjunto de señales ortogonales: Un conjunto de N forma de ondas de señales se denomina ortogonales si,

ji 0

ji c(t)dt(t)(t)(t), jT

0 jiji

•Representación Espacial: Una vez especificadas las señales base {j}, podemos

representar la señal s(t) mediante una N-ada (si1, si2, si3,...,siN)

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Representación Espacial de Señales

ji 0

ji 1(t)dt(t)(t)(t),

T

0 jiji

•Si, , energía unitaria, entonces el conjunto de señales {1 } se denomina ortonormal, i.e.,

1E i.e. j, 1c jj

•Otra vez, para un conjunto ortonormal, los coeficientes sij de una señal si(t) se obtiene por:

T


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Ilustración

Un espacio de señales consta de cuatro señales s1(t), s2(t), s3(t) y s4(t) como se muestra en la figura:

s1(t)

1

-0.5

1 2t

s2(t)

1

-0.5

12 t

s3(t)

1

1 2

t

-1

s4(t)

1

12 t

-1

0.5

Vectores Ortonormales:

1(t)

1

-0.5

1

2t

2(t)

1

1 2 t

-1

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Ilustración

Puede demostrarse por simple inspección que las señales s1(t), s2(t), s3(t) y s4(t)

pueden expresarse como combinaciones lineales de las señales ortonormales 1(t) y 2(t) según se muestra:

(t)s(t)s(t)s(t)s 2i21i1

2

1jjiji

(t)0.5-(t)(t)s(t)s(t)s(t)s 21212111

2

1jj1j1

(t)(t)0.5(t)s(t)s(t)s(t)s 21222121

2

1jj2j2

(t)(t)s(t)s(t)s(t)s 2232131

2

1jj3j3

(t)(t)0.5(t)s(t)s(t)s(t)s 21242141

2

1jj4j4

50 11 .,(t)s

1 502 ,.(t)s

103 , -(t)s

1504 , .(t)s

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Ilustración

Representación espacial de las señales s1(t), s2(t), s3(t) y s4(t) en un espacio vectorial

euclideano definido por las señales ortonormales 1(t) y 2(t) según la figura de abajo:

2(t)

1

-0.5

10.5-0.5-1

-1

0.5

1(t)

s2(t) s4(t)

s3(t)

s1(t)

•Qué procedimiento permite determinar los vectores ortonormales j(t)? los coeficientes sij? la representación espacial/vectorial de las señales? • El algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt.

50 11 .,(t)s

1 502 ,.(t)s

103 , -(t)s

1504 , .(t)s

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Algoritmo de Ortogonalización Gram-Schmidt

• Algoritmo mediante el cual se determinan las N señales independientes y ortogonales de longitud unitaria (ortonormales) 1, 2, 3,..., N, que permiten, a través

de una combinación lineal de las mismas, representar las M señales de energía finita s1(t), s2(t), s3(t),...,sM(t) en

un espacio vectorial euclideano de N-orden.

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Consideraciones

• Cualquier señal si(t) en un conjunto de M señales de energía

puede ser representada por una combinación lineal de un conjunto de N funciones de señales ortonormales donde NM.

Mi1 (t)si

Nj1 (t)j

Tt0 M.1,2,...,i ,(t)s(t)sN

1jiji

j

Donde:

T


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Consideraciones

• Note que:

(t)

(t)

(t)

s,...,s,s(t)s

N

2

1

iNiii 21

Matricialmente:

(t)(t) sobre n de s proyecció que es la s

ponde aado corresuyo result(t)dt c(t)s

jiij

j

T

i

0

• También: iNi2i1 s,...,s,sis

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Procedimiento de Gram-Schmidt en detalle

(t)dt(t)s(t)(t),s s donde

(t)s(t)s

que talN,1,2,...,jy Tt0 para

MN:(t)}{ :bases esortonormal Funciones

j

T

0 ijiij

1jiji

j

N

j

M1,2,...,iy Tt0 para (t)}{s señalesM i Entrada:

Salida:

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T

0

2111

21

1

1

1

1

11

11

(t)dts(t)sE que Recuerde

E

(t)s

unitaria) (longitud (t)s(t)s

(t)g(t)g

(t)

)(dirección (t) s (t)g

2

Paso 1:

unitaria energía tiene (t)y

E sdonde

(t) s (t) E (t)s

1

2111

11112

11

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(t))(t)(g (t)s(t)s(t)g 1212122

)(dirección 0(t)(t),g 12

(t)g de anormalizad versión la es (t) 22

T

0 1221 (t)dt(t)ss

Paso 2:

Calcule:

Fije:

dt(t)sET

0

22 2Calcular la norma de g2(t):

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2 2212

1212

2

22

sE

(t)s(t)s(t)g(t)g

(t)

2 22

2 221

22

2T

0

22

21

21

2

sE

s2sE

(t)dtg (t)g

Paso 2 (cont.):

Fije:

0(t)dt(t) quey

1dt(t)(t)

2

T

0 1

T

0

22 2

Tenemos que:

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2

1n

1j

2nn nj

sE(t)g

1-n2,..., 1,j ,(t)(t),ss jnnj

T

0

22

nn (t)dts(t)sEn

unitaria) (longitud (t)g(t)g

(t)n

nn

Paso n: Calcule:

sE

(t)s(t)s

2

1n

1j

2n

1n

1jjnjn

nj

)(dirección (t)s(t)s(t)g1n

1jjnjnn

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0.(t) dé

que (t) s señalcualquier ignore te simplemencaso,

este En (t). (t),...,(t), de ncombinació una

por aconsiderad ya sidohaya no que componente

tiene no (t) sque ya 0(t) modo, este De

0.(t)s(t) sque sucederPuede

.procesadas son(t)s(t),...,s(t),s

señaleslas todas que hasta continúa sentoprocedimie Este

n

n

1-n21

nn

1n

1jjnjn

M21

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Ejemplo

Un conjunto de cuatro formas de onda se ilustra abajo. Encuentre un conjunto ortogonal para este conjunto de señales aplicando el procedimiento de Gram-Schmidt.

s1(t)

1

-0.5

1 2 t

s4(t)

1

-0.5

1 2 t3

s3(t)

1

-1

1 2 t3

s2(t)

1

1 2

t

-1

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Ejemplo

2t0 ,2

1

2

(t)s(t)

2E entonces

2tdt1(t)sE con E

(t)s(t)

2t0 1,(t) s (t)g

221

1

221

3

0

2

0

22

1121

11

11

Paso 1:

unitaria energía tiene (t)y

2 sdonde

(t) s (t) 2 (t)s

1

211

11112

1

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Ejemplo

(t)s(t)s(t)s(t)g 212122

)(dirección 0(t)(t),g 12

(t)g de anormalizad versión la es (t) 22

0(t)dt2

1dt

2

1

(t)dt(t)s(t)dt(t)ss

2

1 2

1

0 2

3

0 12

T

0 1221

Paso 2:

Calcule:

Fije:

2dt1-dt1dt(t)sE2

1

21

0

2T

0

22 2

Para calcular la norma de g2(t):

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Ejemplo

2t1 2

1

1t0 2

1

(t)

(t)s2

1

sE

(t)s(t)s(t)g(t)g

(t)

2

2

2

222 2212

1212

2

22

222

2 22

2 221

22

2T

0

22

2EsE

s2sE

(t)dtg (t)g

21

21

2

Paso 2 (cont.):

Fije:

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Ejemplo

Paso 2 (cont.):

0(t)dt(t) quey

1dt(t)(t)

2

T

0 1

T

0

22 2

Note que:

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Ejemplo

2 2-dt2

11dt

2

11-

(t)dt(t)s(t)dt(t)ss

2

1 2

1

0 2

3

0 23

T

0 2332

Paso 3: Calcule:

0dt2

11dt

2

11-

(t)dt(t)s(t)dt(t)ss

2

1 2

1

0 2

3

0 13

T

0 1331

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Ejemplo

3

1

21

0

2

3

0

23

T

0

23

2

33

3dt1dt1-

(t)dts(t)dts(t)sE

Paso 3Cont.:

(t)2(t)s

(t)2(t)0-(t)s

(t)s-(t) s-(t) s

(t)s(t)s(t)s(t)s(t)g

22

3

22

13

2321313

2

1jj3j3

13

1jj3j33

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Ejemplo

3t0 (t)2(t)s(t)g(t)g

(t) 22

33

33

Paso Cont. 3:

12222

2

2 2232

13

1j

233

03

ssEsE(t)g32313j

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Ejemplo

1y s 0,s

2(t)dt(t)ss

:que calcularse Puede

4342

T

0

21441

(t)s(t)s(t)s(t)s 3214

0(t)-(t)2(t)s(t)g 312

44

Paso 4:

(t)(t)(t)s

(t)-(t)(t)(t)(t)s

314

23214

2

222

2

222

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Ejemplo

En resumen, el conjunto de señales ortonormales 1(t), 2(t), 3(t) se grafican abajo.

1(t)

1 2 t

2(t)

1 2

t

3(t)

1

1 2 t3

2 2

1

2 2

1

2 2

1

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Ilustración

La representación espacial se muestra en la gráfica de abajo.

2(t)

1(t)

s2(t)

s3(t)

s1(t)

3(t)

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

1

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