Lectura 1

Que es la matemtica?

No es fcil definir lo que se entiende por matemtica. Si acudimos al diccionario de la

Real Academia Espaola encontramos: "Matemtica es la ciencia que trata de la

cantidad". A su vez, cantidad es todo lo que es capaz de aumento y disminucin y

puede, por consiguiente, medirse o enumerarse. Finalmente, "ciencia" es "el

conocimiento cierto de las cosas por sus principios y sus causas". Todas son

definiciones imprecisas, de las que difcilmente, quien no tenga ya una idea previamente

formada, podr deducir algo concreto sobre lo que realmente es la matemtica. Sin

embargo, por costumbre que data de siglos y de acuerdo con la opinin de las personas

que en cada momento de la historia se han considerado los conductores de la

matemtica y sus ms visibles exponentes, todos tenemos o creemos tener una idea de

lo que queremos decir cuando nos referimos a la matemtica. Por lo menos en los

aspectos que podramos llamar "interiores" al dominio de la matemtica, esta idea es

clara e indiscutida, si bien al acercarnos al contorno o a las fronteras con otras ramas del

conocimiento, nos encontramos con terrenos cuya rotulacin como "matemtica" ya no

es tan indiscutible ni tan compartida. Paradjicamente, la matemtica, que trabaja

siempre con definiciones bien precisas y con entes perfectamente delimitados, al tratarse

de s misma, en su totalidad, no parece que admita una definicin exacta, ni que tenga

lmites bien determinados.

Tal vez esta imprecisin derive de su dualidad entre ciencia natural, que persigue

encontrar y entender las leyes de la naturaleza, y filosofa o arte, en el sentido ms puro

y platnico de estas disciplinas. Practica, o hace matemtica, quien a partir de unos

datos numricos "calcula" un rea o un volumen o el tiempo necesario para que un

proyectil alcance su meta. Pero tambin hace y practica matemtica quien busca

propiedades de los nmeros primos, establece teoremas sobre figuras geomtricas o

aclara la equivalencia entre postulados bsicos de la teora de conjuntos.

Aparentemente, esta dualidad de la matemtica, podra pensarse como una

consecuencia de su extensin y que, por tanto, sus distintos aspectos son partes alejadas

de un mismo cuerpo original, cada da mas distanciadas entre s. Pero no es este el caso.

El distanciamiento y poca conexin entre sus partes son slo aparentes. La unidad de la

matemtica es indisoluble y poco se puede avanzar en una direccin si se pierden de

vista las otras ramas hermanas. Las aplicaciones son el estmulo y muchas veces la gua

de la matemtica pura. Pero sin esta, la matemtica aplicada se agota rpidamente y se

convierte en poco tiempo en cmulo de recetas rutinarias, sin perspectiva de progreso.

El doble aspecto de la matemtica, ciencia y arte, herramienta y filosofa, rutina y

fantasa tiene, para ella, sus ventajas y sus peligros. La ventaja principal es su

permanencia en el tiempo. Desde las antiguas civilizaciones se ha considerado

importante el conocimiento de la matemtica y ha figurado como parte fundamental en

todo sistema educativo. Los utilitaristas, que ven de las cosas slo su parte til para un

mejoramiento de la vida material, necesitan la matemtica como herramienta, como

instrumento indispensable para las transacciones comerciales, para dominar y

aprovechar las fuerzas de la naturaleza y para mantener y desarrollar el progreso

tecnolgico. Los idealistas, cuyo nfasis est en el hombre como espritu y en la

perfeccin del alma y del conocimiento, tambin necesitan de la matemtica, como el

mejor camino para "facilitar al alma los medios de elevarse desde la generacin hasta la

verdad y la esencia" (Platn, La Republica, VII, 525). En los dos aspectos la matemtica

es profunda. Sus aplicaciones son esenciales para desenvolvernos en la vida y sus

concepciones alimentan lo ms puro del espritu. En palabras de Juan Ramn Jimnez

podramos decir: "sus pies, que hondos en la tierra!; sus alas que altas en el cielo!".

Los peligros inherentes a la doble faz de la matemtica son dos: la polarizacin en un

solo aspecto y la extrapolacin ms all de sus lmites. La polarizacin es peligrosa,

principalmente en la enseanza, toda enseanza polarizada en una de las dos facetas de

la matemtica ser incompleta y dar una formacin defectuosa. En cuanto a la

extrapolacin, es un peligro inherente a toda ciencia y a toda filosofa, que en la

matemtica es especialmente peligrosa por su falta de "verificacin experimental". En el

sentido prctico hay quien pide a la matemtica mucho ms de lo que puede dar. Sobre

todo en los momentos actuales, en que la ciencia ha dado al hombre tantos nuevos

elementos para hacer la vida ms duradera, ms intensa y ms cmoda, y habiendo sin

duda la matemtica contribuido eficazmente a este progreso, hay quien espera de la

matemtica cosas imposibles. Hay que prevenir acerca de este optimismo excesivo: ni

la matemtica pura, ni la matemtica prctica, con todas sus computadoras y sus

grandes posibilidades de calculo, podrn resolver los grandes problemas -ni mucho

menos las locuras- de la humanidad, si no van acompaadas de una buena voluntad o de

un buen sentido que influya y ordene las condiciones de contorno.

Tambin por el lado de la matemtica pura hay que guardarse de la pendiente hacia el

misticismo que es frecuente en toda creacin puramente espiritual. En muchos perodos

de la historia se han atribuido a los nmeros y a las figuras geomtricas sentidos

trascendentes. Cierto que de ello han derivado, a veces, conocimientos positivos para la

matemtica, pero las ms de las veces han sido perjudiciales. La matemtica es obra del

hombre y nunca de ella, o a travs de ella, cabe esperar conocimientos sobrehumanos.

Estos desvos de la matemtica han hecho que haya tenido tambin sus enemigos,

algunos muy ilustres. Mencionaremos como ejemplos a San Agustn (354-43o) que en

su De Genesi ad litteram (2, XVII, 37) dice: "Los buenos cristianos deben cuidarse de

los matemticos y de todos aquellos que acostumbran hacer profecas vacas, an

cuando estas profecas se cumplan, pues existe el peligro de que los matemticos hayan

pactado con el diablo para oscurecer el espritu y hundir a los hombres en el infierno", y

a Goethe (1749-1832) que en su Mximas y Reflexiones, 1279, dice: "Los matemticos

son como los franceses, se habla con ellos, traducen luego las cosas conversadas a su

lenguaje, y las transforman en algo muy distinto" y ms tarde (1826) en sus

conversaciones con Eckermann insiste: "respeto a la matemtica como la ms eminente

y til de las ciencias mientras se ocupa de sus problemas especficos, pero no puedo

aprobar que se utilice en cosas que no tienen nada que ver con ella, en las cuales la

noble ciencia se transforma en disparate", con lo cual teniendo en cuenta que se refera a

las aplicaciones hechas por Newton de la matemtica a la ptica, rechaza toda la

matemtica aplicada de un solo saque.

El caso de San Agustn hay que entenderlo como una prevencin sobre el desvo de la

matemtica hacia las ciencias ocultas, frecuente en la Edad Media, pues la verdadera

matemtica nunca ha intentado profetizar. El caso de Goethe es el de un gran poeta al

que su polarizacin en el arte no le dejaba ver la matemtica en su conjunto, como no

pudo ver la teora de los colores de Newton por mirar siempre a lo alto. La matemtica

no puede entenderse si, junto con las cpulas, no se conocen y analizan los cimientos.

A travs de la historia ha habido perodos en que ha predominado la matemtica como

filosofa y otros en que han aparecido las aplicaciones. Unos y otros de estos perodos

se han complementado mutuamente y el progreso de la matemtica se ha debido

siempre al empuje alternado de las dos tendencias. Al predominar las especulaciones

conceptuales y filosficas se ha hablado, en cada perodo, de "matemtica moderna" y

han aparecido los crticos implacables, denuncindola como mera fantasa. A

continuacin, sin embargo, se ha visto que las aplicaciones surgan ampliadas y

robustecidas por influencia de la nueva matemtica.

La primera matemtica moderna fue la de Euclides (aproximadamente 300 aos a J.

C.). En su Elementos no hay que buscar aplicaciones distintas de las ya conocidas, sino

tan solo axiomtica y sistematizacin de conocimientos previos. Sin embargo, despus

de Euclides aparece Arqumedes (287-212 a.J.C.), el primer gran ingeniero matemtico,

cuyas obras difcilmente hubieran podido tener lugar sin la influencia de Euclides. Lo

mismo puede decirse de Apolonio (190 a.J.C.) con su libro sobre las Cnicas, y de

Ptolomeo (siglo II d. J.C) geometrizando la astronoma.

En el siglo XVII, con Newton (1642-1727) y Leibnitz (1640-1710) nace el clculo

infinitesimal y con el la segunda "matemtica moderna". Tambin ella fue discutida y

combatida -basta recordar los ataques de Berkeley a los "incrementos evanescentes"- y,

sin embargo, sin las especulaciones filosficas que estn en la base del clculo,

difcilmente se hubiera llegado a las esplendorosas realizaciones prcticas de los siglos

XVIII y XIX.

En la poca contempornea, Cantor (1829-1920) inicia con su teora de conjuntos la

actual "matemtica moderna", que se complementa con el lgebra de Emmy Noether

(1844-1935), E. Artin (1898-1962) y van der Waerden (1905-1996). Desde un principio

surgieron los ataques, incluso de grandes matemticos como Kronecker (1823-1891),

pero las tan reclamadas aplicaciones no tardaron en aparecer. Hoy, toda la matemtica,

pura y aplicada, se basa en los conjuntos y ha sido sistematizada por las modernas

estructuras algebraicas. La teora de juegos, la teora de la informacin y, en general,

toda la ciencia de la computacin (informtica), que son las ramas ms aplicadas de la

matemtica actual, usan las creaciones abstractas de la matemtica de las ltimas

dcadas.

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