Lectura Sistemas de Ecuaciones Lineales(1)
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1 CURSO : ÁLGEBRA LINEAL PROFESOR: CELSO SOTO I.
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CURSO : ÁLGEBRA LINEAL PROFESOR: CELSO SOTO I.
2
Módulo II
Álgebra Lineal Módulo II
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Introducción En este módulo veremos cómo problemas de distintas áreas del conocimiento pueden ser planteados en sistemas de ecuaciones, y cómo éstos pueden ser resueltos mediante el uso de matrices. Objetivos 1. Entender la importancia de expresar problemas en forma de
sistemas 2. Representar sistemas en forma matricial 3. Resolver los sistemas en busca de soluciones 4. Analizar la existencia y unicidad de soluciones
Descripción
1. Definición
2. Sistemas incompatibles
3. Sistemas compatibles determinados
4. Sistemas compatibles indeterminados
5. Sistemas homogéneos
6. Resolución de sistemas mediante el uso
de rango de una matriz
3
Módulo II
Definición
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un sistema
de la forma
donde los términos son constantes reales, son constantes
reales llamados términos libres, y son las variables a determinar.
Se llama solución del sistema (1) a cualquier conjunto de n valores
reales que sustituidos en las incógnitas hacen que se cumplan todas
las ecuaciones del sistema. 4
Módulo II
)1(
...
...........................................
...
...
2211
22222121
11211111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
ija ijb
ijx
Para simplificar los desarrollos, en este curso veremos sistemas de a
lo más tres ecuaciones y tres incógnitas. Luego, la expresión (1) será
reducida al siguiente sistema
Sistema matricial
Es fácil ver que el sistema (2) puede ser escrito de la siguiente
manera
que es la forma matricial del sistema (2).
5
Módulo II
)2(
3333231
2232221
1131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
(3)
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
z
y
x
aaa
aaa
aaa
En forma abreviada, un sistema matricial como (3), puede ser escrito
como
donde A es la matriz de coeficientes de 3x3, X es una matriz incógnita de 3x1, y b es
una matriz de 3x1, de términos libres.
Ejemplo 1: de sistemas de ecuaciones lineales en su forma matricial.
6
Módulo II
bAX
1
532
yx
yx
252
0 2
1
zyx
zx
zyx
Forma matricial
Forma matricial
1
5
11
32
y
x
2
0
1
521
102
111
z
y
x
Sistema homogéneo
Diremos que un sistema es homogéneo cuando cada elemento de la
matriz columna libre sea cero.
Ejemplo 2: de un sistema homogéneo.
7
Módulo II
0
02
yx
yx
0
0
11
21
y
xForma matricial
02
0
0
zyx
zyx
zyxForma matricial
0
0
0
121
111
111
z
y
x
Términos libres Iguales a cero
Solución de un sistema lineal
Existen tres tipos de sistemas, según el número de soluciones que
tengan.
Estos tipos son:
1. Incompatibles: el sistema no tiene solución
2. Compatible determinado: el sistema tiene una única solución.
3. Compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas soluciones.
8
Módulo II
Resolución de sistemas lineales
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales usaremos la idea de
rango de una matriz.
Recordemos que el rango de una matriz es el número de filas que no
son cero después de escalonar la matriz usando el método de
Gauss-Jordan.
Para resolver un sistema, trabajamos sobre lo que se llama matriz
ampliada del sistema, que es la matriz formada por los coeficientes
de las variables, seguida por la matriz columna de los términos
libres.
9
Módulo II
Ejemplo 3: de la matriz ampliada de un sistema.
Consideremos el sistema
La matriz ampliada del sistema es
10
Módulo II
52
2254
13
zyx
zyx
zyx
5121
2254
1311Matriz de
coeficientes Matriz de
términos libres
Matriz ampliada
Para un sistema del tipo AX=b, su matriz ampliada suele denotarse
por
Análisis de las soluciones
Para analizar las soluciones de un sistema de n variables, se siguen
las siguientes reglas
11
Módulo II
bA
solución. tieneno sistema el entonces ,] [][ Si 3.
.soluciones infinitas tienesistema el entonces ,] [][ Si 2.
única.solución tienesistema el entonces ,] [][ Si 1.
bAranAran
nbAranAran
nbAranAran
Ejemplo 4: de un sistema incompatible.
Queremos ver si existen las soluciones del sistema
sol: escribimos el sistema de forma matricial y luego la matriz
ampliada del sistema, y nos queda
12
Módulo II
142
12
1
zyx
zyx
zyx
1421
1112
1111
1
1
1
421
112
111
z
y
x
Forma matricial Matriz ampliada
Ahora, escalonamos la matriz usando el método de Guass-Jordan,
que consiste en dejar sólo ceros debajo de la diagonal principal.
Primero hacemos ceros las posiciones debajo del primer elemento de
la diagonal principal.
Para ello, hacemos las siguientes operaciones fila
13
Módulo II
1421
1112
1111
Diagonal principal
1421
1112
1111
313
212 2
FFF
FFF
Con esas operaciones, nos queda la matriz
Ahora hacemos cero el segundo elemento de la fila 3
Eso lo hacemos con la siguiente operación fila
14
Módulo II
0310
1310
1111
0310
1310
1111
323 FFF
Nos queda la matriz
Una vez escalonada la matriz ampliada, analizamos los rangos.
Luego, como los rangos son distintos, tenemos que el sistema no
tiene solución. Por tanto, es un sistema incompatible.
15
Módulo II
1000
1310
1111
000
310
111
421
112
111
A
1000
1310
1111
1421
1112
1111
bA
Matriz A escalonada, con rango 2
Matriz ampliada [A b] escalonada, con rango 3
Ejemplo 5: de un sistema compatible determinado.
Queremos encontrar las soluciones del sistema
sol: escribimos la forma matricial del sistema, y luego su matriz
ampliada. Tenemos
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Módulo II
32
22
1
zyx
zyx
zyx
3112
2211
1111
3
2
1
112
211
111
z
y
x
Forma matricial Matriz ampliada
Escalonamos la matriz ampliada, usando las siguientes
transformaciones, en el orden propuesto, para hacer cero los
elementos de la primera columna debajo del primer uno.
Nos queda la matriz ampliada
Luego, vemos que en la segunda fila tenemos dos ceros, y los
queremos en la tercera fila. Intercambiamos entonces la fila 2 con la
fila 3, y tenemos
17
Módulo II
313
212
2 .2
.1
FFF
FFF
1110
1100
1111
1100
1110
1111
Analizamos ahora los rangos de la matriz de coeficientes y de la
matriz ampliada. Tenemos
Vemos que en ambas matrices el número de filas que no es
completamente cero es 3; así ambas tienen rango igual a 3, que es el
total de variables del sistema. Por tanto, el sistema es compatible
determinado, y tiene solución única.
Para encontrar la solución, usamos la matriz ampliada escalonada,
para reescribir el sistema lineal.
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Módulo II
100
110
111
112
211
111
A
1100
1110
1111
3112
2211
1111
bA
Matriz A escalonada, con rango 3
Matriz ampliada [A b] escalonada, con rango 3
Tenemos
Así, vemos que z=1. Reemplazamos ese valor en la ecuación
segunda, y obtenemos que y=-2. Ahora, reemplazamos y y z en la
ecuación primera, y obtenemos que x=2.
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Módulo II
1100
1110
1111
1
1
1
100
110
111
z
y
x
1
1
1
z
zy
zyx
Matriz ampliada escalonada
Sistema matricial escalonado
Sistema lineal asociado
1
1
1
z
zy
zyx
Multiplicación de matrices
Antes de pasar a ver un sistema compatible indeterminado,
relacionaremos la solución de un sistema lineal con la idea de matriz
inversa, desarrollada en el módulo I.
Recordemos que un sistema puede ser escrito de manera matricial,
en la forma
Cuando la matriz A es invertible, podemos encontrar X, multiplicando
por la izquierda a ambos lados de la ecuación por la matriz inversa de
A.
Queda
20
Módulo II
.bAX
bAXbAAXAAbAX 1111 /
IAA 1
En el ejemplo 5, una vez escrito el sistema en forma matricial
vemos si la matriz A es invertible, calculando su determinante. Si
es distinto de cero, entonces la matriz tiene inversa.
i)
21
Módulo II
3
2
1
112
211
111
z
y
x
.bAX
112
211
111
112
211
111
211
111
ii)
iv) Calculamos el determinante
Como el determinante es distinto de cero, la matriz es invertible.
Calculamos la inversa encontrando la matriz adjunta.
211
111
112
211
111iii)
211
111
112
211
111
4
1
1
1
2
2
1)122()411(|| A
22
Módulo II
Calculamos la matriz de cofactores de A. Tenemos:
112
211
111
121121111
2111 c
341221112
2112 c
121211112
1113 c
112
211
111
112
211
111
23
Módulo II
112
211
111
112
211
111
112
211
111
011111111
1121 c
121211112
1122 c
121211112
1123 c
24
Módulo II
112
211
1111121121
21
1131 c
112
211
1111121121
21
1132 c
112
211
1110111111
11
1133 c
25
Módulo II
Llenando la matriz de cofactores, nos queda
Así, la matriz adjunta es
Por tanto, la matriz inversa es
011
110
131
)(Acof
011
113
101
011
110
131
)(
t
Aadj
011
113
101
011
113
101
1
11A
26
Módulo II
Así, el desarrollo matricial queda
27
Módulo II
3
2
1
112
211
111
z
y
x
3
2
1
011
113
101
112
211
111
011
113
101
z
y
x
bA 1IAA 1
1
2
2
z
y
x
Multiplicamos el sistema por la izquierda
por la matriz inversa de A
Mismas soluciones obtenidas en el ejemplo 5
011
113
101
Ejemplo 6: de un sistema compatible indeterminado.
Queremos determinar las soluciones del sistema homogéneo
sol: escribimos la forma matricial del sistema, y luego su matriz
ampliada. Tenemos
28
Módulo II
054
023
032
zyx
zyx
zyx
0541
0123
0312
0
0
0
541
123
312
z
y
x
Forma matricial Matriz ampliada
Para hacer más sencillo el escalonamiento de la matriz ampliada,
siempre es conveniente tener un 1 en la primera posición de la
primera fila. Para lograr eso, intercambiamos la fila 1 por la fila 3, y
la matriz ampliada nos queda
Escalonando la matriz, tenemos
29
Módulo II
0312
0123
0541
0312
0123
0541
0770
014140
0541 1 4 5 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0000
0110
0541
313
212
2
3
FFF
FFF
33
22
7
1
14
1
FF
FF
323 FFF
Una vez escalonada la matriz, analizamos los rangos.
En este caso tenemos
Vemos que ambas matrices tienen igual rango, aunque esté no es
igual al número original de variables, que es 3. En este caso, el
sistema es compatible indeterminado. Es decir, es un sistema con
infinitas soluciones.
30
Módulo II
000
110
541
312
123
541
A
0000
0110
0541
0312
0123
0541
bA
Matriz A escalonada, con rango 2
Matriz ampliada [A b] escalonada, con rango 2
Para encontrar las soluciones a un sistema compatible indeterminado,
hay que fijarse en el número de variables y el rango de las
matrices. Si el sistema tiene n variables y el rango es r, diremos
que el sistema tiene n-r variables libres, que serán las variables que
describirán las infinitas soluciones.
En nuestro caso, tenemos que n=3 y r=2. Luego, tenemos 3-2=1
variable libre. Lo que hacemos en este caso es tomar una de las tres
variables como variable libre, y las otras dos variables las dejamos en
función de la escogida.
Escogeremos z como variable libre, y dejaremos las variables x e y
en función de z.
31
Módulo II
De la matriz ampliada escalonada, tenemos
De la segunda ecuación tenemos que y=z. Reemplazamos en la
primera ecuación, y nos queda que x=-z.
Así, la solución del sistema es
Con z cualquier número real.
32
Módulo II
0000
0110
0541
0
0
0
000
110
541
z
y
x
00
0
054
zy
zyx
zz
zy
zx
0
0
0
0
54
zy
zyx
Si queremos una solución particular del sistema, simplemente se
debe asignar un valor real a la variable libre escogida.
Por ejemplo, si escogemos z=1, una solución para el sistema es
En cambio, si escogemos z=-3, una solución para el sistema es
33
Módulo II
1
1
1
z
y
x
3
3
3
z
y
x
Resolveremos ahora el problema que fue planteado al finalizar el
módulo I del curso.
Problema: una empresa textil fabrica pantalones de 3 marcas
distintas: A, B y C, utilizando tres tipos diferentes de tela: algodón
(a), poliéster (p) y elastano (e).
Para la marca A se usan 2 unidades de (a), 6 unidades de (p) y 8
unidades de (e); para B, 4 de (a), 9 de (p) y 4 de (e); para C, 8 de
(a), 3 de (p) y 2 de (e).
Considerando que se tienen 160 unidades de (a), 240 unidades de
(p) y 220 unidades de (e), se quiere encontrar la cantidad de
pantalones a fabricar de cada marca agotando la totalidad de
material.
34
Módulo II
Sol: este problema puede ser abordado matricialmente, considerando
la siguiente tabla de producción por unidad
Sean
x la cantidad de pantalones de la marca A,
y la cantidad de pantalones de la marca B,
z la cantidad de pantalones de marca C. 35
Módulo II
(a) (p) (e)
A 2 6 8
B 4 9 4
C 8 3 2
Vemos que por x pantalones de la marca A se gastan 2x unidades de
algodón, 6x unidades de poliéster y 8x unidades de elastano.
Por y pantalones de la marca B se gastan 4y unidades de algodón,
9y unidades de poliéster y 4y unidades de elastano.
Y por cada z pantalones de la marca C se gastan 8z unidades de
algodón, 3z unidades de poliéster y 2z unidades de elastano.
La cantidad de algodón que se ocupa entonces es 2x+4y+8z, y eso
debe ser igual a 160, que es la cantidad total de algodón con la que
se cuenta.
La cantidad de poliéster es 6x+9y+3z, y debe ser igual a 240.
Y la cantidad de elastano es 8x+4y+2z, y debe ser igual a 220.
36
Módulo II
Así, el problema nos da el siguiente sistema de ecuaciones lineales
Para resolver el sistema escribimos la matriz ampliada para
escalonarla. Nos queda
Escalonamos la matriz haciendo operaciones elementales entre filas.
Tenemos
37
Módulo II
220248
240396
160842
zyx
zyx
zyx
220248
240396
160842
Escribimos la matriz ampliada como sistema matricial, lo que nos
lleva a
38
Módulo II
220248
240396
160842
42030120
2402130
160842
5405400
2402130
160842
313
212
4
3
FFF
FFF
323 4 FFF
54054
240213
160842
540
240
160
54
213
842
540
240
160
5400
2130
842
z
zy
zyx
z
zy
zyx
z
y
x
De la última ecuación podemos ver que z=10. Reemplazamos ese
valor en la segunda ecuación, y vemos que y=10. Ahora, se
reemplazan ambos valores en la primera ecuación, y vemos que
x=20.
Así, se pueden fabricar 20 pantalones de la marca A, 10 pantalones
de la marca B, y 10 pantalones de la marca C.
39
Módulo II
Fin del módulo
De esta manera hemos finalizado la clase presencial del módulo II del
curso de álgebra lineal, esperando puedan logran un entendimiento
adecuado de los sistemas de ecuaciones lineales, la manera en que
se pueden resolver, y aplicaciones varias.
En el próximo módulo estudiaremos vectores y espacios vectoriales,
con el fin de dotarlos de las herramientas necesarias para estudiar
trasformaciones lineales y sus aplicaciones.
40
Módulo II
