Lectura 2 - Dinámica y Caída Libre de los Cuerpos - Trabajo

Mdulo 2

Unidades 4 y 5

Lectura 2

Materia: Fsica Aplicada

Profesora: Ing. Vctor Daniel R

Fsica Aplicada Ing. Vctor Daniel R | 2

Unidad 4: Dinmica

4.1 Dinmica

La dinmica es la parte de la Mecnica que estudia el movimiento teniendo

en cuenta las causas que lo producen como as tambin la masa de los

cuerpos.

4.2 Principios Fundamentales de la

Dinmica

Los principios fundamentales de la dinmica fueron enunciados por Isaac

Newton (1642 1727) y son:

1) El Principio de Inercia.

2) El Principio de Accin y Reaccin.

3) El Principio de Masa.

1) El Principio de Inercia

Todo cuerpo tiende a permanecer en el estado en que se encuentra (reposo

o movimiento rectilneo uniforme), si no hay una causa externa capaz de

alterar dicho estado.

Ejemplos de este principio encontramos en nuestra vida diaria; veamos:

cuando en un automvil animado de una cierta velocidad, se detiene el

motor, el vehculo prosigue su marcha durante un tiempo tanto mayor

cuanto menor es el rozamiento de las ruedas. Si ese mismo automvil frena

bruscamente, los pasajeros son lanzados hacia delante.


2) El Principio de Accin y Reaccin

Establece que a toda accin le corresponde una reaccin de igual

intensidad y de sentido contrario.

Como ejemplo de este principio tenemos el siguiente: Si se empuja un

mueble con una fuerza determinada, el mueble reacciona con una fuerza

igual sobre los brazos de la persona que pretende arrastrarlo; cuando la

fuerza que hace ste es igual al rozamiento, el mueble cede y se desplaza; en

ese caso el rozamiento disminuye y la fuerza requerida por el mueble para

mantener el movimiento es menor. Pero para que la accin de la persona

surja efecto, es necesario que la misma est apoyada sobre el suelo y que sus

pies hallen en ste un apoyo equivalente a aquella fuerza; de tal manera es

as, que si el hombre se apoyara sobre una tabla fijada al mueble, todo el

esfuerzo que realice resultar intil; igualmente desde el interior de un

automvil, una persona no podra poner a ste en movimiento por ms

esfuerzo que hiciera, sin apoyar su cuerpo en el exterior del vehculo.

3) El Principio de Masa

Toda fuerza aplicada a un cuerpo le comunica una aceleracin que es

directamente proporcional a la intensidad de la fuerza y de la misma

direccin y sentido.

Este principio tambin se lo conoce como Principio de la

Proporcionalidad.

Pero, cul es el concepto de MASA?

Sabemos que la variacin de velocidad por unidad de tiempo, es decir la

aceleracin, que recibe un cuerpo, es debido a la accin de una fuerza, que

si duplicamos el valor de esa fuerza del mismo modo duplicamos el valor de

esa aceleracin. Vemos que si triplicamos la fuerza se triplica la aceleracin

y as sucesivamente.


De tal manera que si relacionamos (dividimos) el valor de la fuerza aplicada

con la aceleracin producida en cada caso, se observar que dicha relacin

permanece constante y recibe el nombre de Masa, es decir:

De acuerdo a lo expresado se define entonces matemticamente a la masa

de un cuerpo, como el cociente constante que resulta de dividir la fuerza

aplicada por la aceleracin producida.

Vulgarmente se dice que la masa es la cantidad de materia, que tiene un

cuerpo, pero fsicamente diremos que la MASA es la mayor o menor

resistencia que ofrece un cuerpo a variar su velocidad. Tambin podemos

decir que la MASA es la cantidad de inercia que posee un cuerpo.

De acuerdo al concepto matemtico de masa podemos escribir las

siguientes expresiones:

F F F = M a M = ------- a = --------- a M

La expresin 1 verifica el enunciado de El Principio de Masa y tambin se la

denomina como Ecuacin Fundamental de la Dinmica

Si la fuerza actuante es el peso del cuerpo, la aceleracin producida es la

Aceleracin de la Gravedad y la ecuacin 1 toma la forma siguiente:

F F P = M g M = ------- a = --------- A M

1 2 3

1 2 3


Por ltimo podemos afirmar que la masa de un cuerpo es siempre

constante, slo dejar de serlo en el caso que el cuerpo est sometido a una

velocidad equivalente a la de la luz (300000 km/seg).

4.3 Unidades de Masa

La unidad de masa en el sistema tcnico es derivada, por lo tanto se la

obtiene de la frmula correspondiente (2) es decir:

(F) kg kg seg2

(M) = ------ = ---- = ------------- Unidad Tcnica de Masa (UTM) (a) m m ------ seg2

Para el caso que la fuerza actuante sea el peso del cuerpo:

(P) 9,8 kg 1 kg seg2

(M) = ------- = ----------- = ------------- Unidad Tcnica de Masa (UTM) (g) m m 9,8 -------

seg2

Lo que nos indica que un cuerpo en cada libre tendr una 1 UTM si su peso

es de 9,8 kg.

La unidad de masa en el Sistema cgs, es fundamental se la denomina gramo

masa (grM) y se la define como la milsima parte de la masa que tiene el kg

patrn.

La unidad de masa en el Sistema MKS, es fundamental se la denomina

kilogramo masa (kgM) y se la define como la masa que tiene el kg patrn.

La unidad de fuerza, en el Sistema Tcnico, es fundamental se la denomina

kg fuerza (kg).

La unidad de fuerza en el Sistema cgs, es derivada y se la obtiene de la


frmula:

grM cm F = M a (F) = (M) (a) = ------------- = Dina

seg2

Se denomina DINA a la fuerza que al actuar sobre un grM le comunica una

aceleracin de 1 cm/seg2

La unidad de fuerza en el Sistema MKS, es derivada y se la obtiene de la

frmula:

kgM m F = M a (F) = (M) (a) = ------------- = Newton

seg2

Se denomina NEWTON a la fuerza que al actuar sobre un kgM le comunica

una aceleracin de 1 m/seg2


4.4 Relaciones entre Unidades de Masa

y Fuerza

9,8 Newton = 980000 Dinas

980000 Dinas

1 Newton = ---------------- = 100000 Dinas 9,8

1 Newton = 100000 Dinas


4.5 Impulso de una Fuerza y Cantidad de

Movimiento

Por el principio de masa sabemos que:


El primer miembro, F.t , es decir el producto de la fuerza aplicada por el

tiempo que dura la accin de la fuerza, recibe el nombre de Impulso de

una Fuerza.

El segundo miembro, V M, es decir el producto de la masa del cuerpo por la

velocidad que adquiere al cabo de aquel tiempo, recibe el nombre de

Cantidad de Movimiento.

Por ltimo podemos decir de la (3) que el impulso de una fuerza es igual a

la cantidad de movimiento.

Conclusiones:

Si deseamos obtener una Cantidad de Movimiento grande en un tiempo breve es necesario aplicar una gran fuerza.

Si se aplican diferentes fuerzas a distintas masas y se obtienen velocidades iguales, es porque dichas fuerzas son proporcionales a las masas.

4.6 Movimiento Circular Uniforme

Se dice que un punto material realiza un movimiento circular uniforme

cuando su trayectoria es una circunferencia y recorre espacios iguales en

tiempos iguales.

La velocidad angular ( ) est dada por el ngulo barrido por el radio

vector en la unidad de tiempo. Es decir:


= -------- ( 2 )

t

Para generalizar las expresiones ( 1 ) y ( 2 ), vamos a suponer que en la

unidad de tiempo el punto A, a dado una vuelta completa, es decir que el

espacio recorrido es la circunferencia, o sea 2R; en ese caso el radio vector

habr barrido un ngulo de 360 o lo que es lo mismo 2 radianes.

Sustituyendo en ( 1 ) y ( 2 ) :

2R 2 Vt = ----------- ( 3 ) w = --------- ( 4 )

t t

Las expresiones ( 3 ) y ( 4 ), estn referidas a una vuelta completa. Para

escribir estas expresiones para un nmero n cualquiera de vueltas:

2Rn 2n Vt = ------------- ( 5 ) = ---------- ( 6 )

t t

Si relacionamos la ( 5 ) y la ( 6 ) y simplificando nos queda:

Vt 2 R n. t ------ = -------------- = R

2 n t

Vt Vt = R ( 7 ) = -------- ( 8 ) R


Dos puntos situados sobre un mismo radio tales como A y L, tendrn la

misma velocidad angular, pero ser distinta su velocidad tangencial, siendo

mayor la Vt en el punto A por ser mayor el radio.

La velocidad tangencial recibe su nombre de la representacin grfica, que

se hace por medio de un vector tangente a la trayectoria en cada uno de sus

puntos.

La Vt es constante en su valor de intensidad, pero es variable en direccin y

sentido, ya que varan continuamente en cada punto de su trayectoria, lo

que implica la existencia de una Aceleracin.

4.7 Fuerza Centrfuga y Fuerza

Centrpeta

Cuando un cuerpo realiza un movimiento circular uniforme, (por ejemplo una piedra atada en el extremo de un hilo hacindola girar), actan simultneamente sobre la piedra dos fuerzas iguales y opuestas llamadas Fuerza Centrfuga (que acta hacia fuera) y Fuerza Centrpeta (que acta hacia el centro de giro). Para calcular el valor de estas fuerzas, determinaremos en primer lugar el

valor de la Aceleracin Centrifuga.

Por tener sus lados perpendiculares entre s los tringulos PPO y ABC son

semejantes. Sabemos que escalarmente los valores de las velocidades V y V1

son iguales, pero ha habido un cambio de direccin, es decir una variacin

de la velocidad, que aunque sea slo de direccin crea una aceleracin.


Para sostener un cuerpo vinculado por un hilo inextensible y que hacemos

girar, es necesario ejercer una fuerza que es justamente la Fuerza

Centrpeta.


La reaccin del cuerpo mvil a esa Fuerza Centrpeta es la que llamaremos

Fuerza Centrfuga y es la que tira del hilo hacia afuera.

Ejercicios de Aplicacin

Calcular la fuerza centrfuga a la que est sometido un cuerpo que pesa 30

Kg y que describe una circunferencia de 0,40 m radio a razn de 3 vueltas

por seg.

El peso del cuerpo es de 30 Kg. por lo que la masa del mismo ser:


Unidad 5: Cada Libre de los

Cuerpos - Trabajo

5.1 Cada Libre de los Cuerpos

Si se dejan caer diferentes cuerpos en el aire, observaremos que lo hacen

con diferentes velocidades, cayendo primero los cuerpos ms pesados y a

igualdad de peso los de menor superficie.

Pero si esta misma experiencia la realizamos en un tubo de Newton,

observaremos que por estar al vaco, los cuerpos caen simultneamente, es

decir, con la misma velocidad.

Esto significa que el aire a la cada de los cuerpos ofrece cierta resistencia,

que ser tanto mayor cuanto menor peso y mayor superficie tengan los

cuerpos.

Galileo Galilei realiz experiencias para estudiar la cada libre de los

cuerpos, para lo cual dej caer desde la Torre de Pisa (Italia), en un da

perfectamente calmo, cuerpos de forma puntiagudas y de considerable

peso, tratando de semejar las condiciones de vaco.

En esta experiencia Galileo, midi los espacios recorridos por los cuerpos

en la cada en cada unidad de tiempo, y observ que los espacios eran

directamente proporcionales al cuadrado de los tiempos y siendo sta una

ley del M.U.A dedujo Galileo que en la cada libre de los cuerpos se cumple

tambin Movimiento Uniformemente Acelerado y por consiguiente est

regido por las mismas leyes.

Pero en la cada libre de los cuerpos se debe tener en cuenta que la

aceleracin por estar provocada por la fuerza de gravedad terrestre, se

llamar Aceleracin de la Gravedad que designaremos con la letra g y

cuyo valor es determinado experimentalmente para las diferentes latitudes

y altitudes.

Algunos de estos valores a nivel del mar son los siguientes:

En el polo: g = 9,83 m/seg2

En el ecuador g = 9,78 m/seg2

Si se considera como valor normal de g, el que corresponde a la latitud de

45 y donde su valor a nivel del mar es:


g (45) = 9,80666 m/seg2

Nosotros adoptaremos para g el valor

G = 9,8 m/seg2

Tambin se debe tener en cuenta que en la cada libre Vi = 0. Llamando al

espacio recorrido altura h, se tendr como leyes para la cada libre de los

cuerpos lo siguiente:


5.2 Trabajo

Se dice que una fuerza realiza un trabajo mecnico, sobre un mvil,

cuando es capaz de desplazarlo segn su misma recta de accin o la

direccin de sus componentes.


Hasta ahora nos hemos referido al trabajo de una fuerza constante pero si

sta es variable, ya sea en intensidad, o direccin o sentido se puede razonar

de la siguiente forma:

Supongamos un desplazamiento curvilneo AB en el cual la fuerza ir

variando en direccin y sentido. Consideramos entonces desplazamientos

infinitamente pequeos (e1, e2, e3,.......... en) en cada uno de los cuales las

fuerzas aplicadas (F1, F2, F3,............ Fn) son constantes. Se calcula

entonces el trabajo en cada tramo y el trabajo total ser la sumatoria de los

trabajos parciales calculados, es decir:



Se desea levantar un cuero que pesa 150 kg a una altura de 5 m. Cul es el

trabajo mecnico realizado?

La expresin general para el clculo del trabajo mecnico es:

T = F . e . cos i

Como en este caso el ngulo es igual a 0 porque el desplazamiento es

paralelo a la direccin de la fuerza nos queda:

T = F. e

Aplicando los valores resulta

T = 150 Kg x 5 m = 750 Kg

Siempre hay que recordar que si no hay desplazamiento no hay

trabajo mecnico.

5.3 Potencia

Se denomina POTENCIA al trabajo realizado en la unidad de tiempo.

Es decir:

T W = ------

t

O tambin:

F.e e W = ---- = F. V siendo V = --------

t t



Qu potencia desarrollan dos personas que efectan un trabajo de 228

Kgm cada uno tardando el primero 3 seg y el segundo 35 seg.? Cuntos HP

mide la potencia del primero?


5.4 Energa

Energa es la capacidad que tienen los cuerpos para producir trabajo.

Existen diferentes clases de energa: Mecnica, Elctrica, Qumica, etc. La

energa mecnica puede presentarse en dos formas:

Energa Potencial ( Ep ) (o de posicin) Energa Cintica ( Ec ) ( o de movimiento)

Energa es la capacidad que tienen los cuerpos para producir trabajo en

virtud de su posicin.

Esta energa ser tanto mayor cuanto mayor sea el peso de un cuerpo y

cuanto mayor sea la altura a que se encuentra, por lo tanto la Energa

Potencial ser directamente proporcional al peso y a la altura.

Es decir:

Ep = P . h = M . g . h

Energa es la capacidad que tienen los cuerpos para producir trabajo en

virtud de su velocidad.

Para calcular esta energa debemos tener en cuenta que siendo la energa un

trabajo podemos escribir:

Ec = T = F . e

a t2

Pero: F = M. A e = -------- 2

Reemplazando en la expresin anterior:

a t2 M t2 a2

Pero: Ec = M. a . ------ = ------------- 2 2

Sabemos que V = t . a tambin que: V2 = t2 . a2 por lo que reemplazando en

la anterior nos queda:


M . V2

Ec = -------------- 2

Siendo la energa, trabajo las unidades sern las mismas.


Se desea conocer cul ser la energa cintica (Ec) desarrollada para

levantar un cuerpo que pesa 60 Kg a una altura de 10 m y cul ser la

energa potencial (Ep) al llegar a la altura mxima.

Los valores que con los que contamos son el peso y la altura, por lo que

tenemos que reemplazar los valores de masa y velocidad

Reemplazando en la frmula:

Luego Ec = P.h = 60 Kg . 10 m = 600 Kgm

Cuando el cuerpo lleg al punto mximo y se detiene la Ec pasa a ser cero y

la Ep toma su valor es decir:

Ep = 600 Kgm


5.5 Principio de Conservacin de la

Energa

Supongamos un cuerpo de peso P que se encuentra a una altura H y

analizaremos tres posiciones cualquiera 1, 2, y 3, como se muestra en la

figura 1.

Figura 1 - Conservacin de Energa

En cada posicin de la figura 1, buscaremos cules son los valores de Ec y de

Ep.

Posicin 1:

Ep1 = P . H = M . g . H

Ec1 = 0

Posicin 2:

Ep2 = P . h2 = M . g . h2


M . V2

Ec2 = ----------- 2

Siendo la velocidad en cada libre:

V1 = 2 g h1 de donde V1= 2 g h1

Reemplazando en la expresin anterior:

M . V12 M 2 g h1

Ec2 = ----------- = ------------------ = M g h1 2 2

Posicin 3:

Ep3 = 0

Reemplazando la velocidad en la expresin de la Ec. nos queda:

M . V22 M 2 g H

Ec3 = ---------- = ------------------ = M g H 2 2

La energa total Et en cada una de las posiciones consideradas, ser la suma

de las energas parciales (potencial y cintica). Por lo tanto se tiene:

Posicin 1:

Et1 = Ep1 + Ec1 = M . g . H + 0 = M . g . H

Posicin 2:

Et1 = Ep1 + Ec1 = M . g . h2 + M . g . h1 = M . g . (h2 + h1) = M . g . H


Posicin 3:

Et3 = Ep3 + Ec3 = 0 + M . g . H = M . g . H

Como se observa la Energa Total en cada una de las posiciones es siempre

la misma cumplindose el Principio de LAVOISSIER que dice:

En la naturaleza, nada se crea, nada se pierde, todo se

transforma

Este principio es demostrado por el anlisis realizado y por lo tanto se

verifica este principio de conservacin de la energa.


Supongamos un cuerpo de peso P = 25 Kg que se encuentra a una altura

H = 20 m y analizaremos tres posiciones cualquiera 1, 2, y 3.

Siendo h1 = 5 m y h2 = 15 m

En cada posicin buscaremos cules son los valores de Ec, de Ep y Et.


Como se ve en este ejercicio Et1, Et2 y Et3 son iguales por lo que se verifica

el Principio de LAVOISSIER.

[

E

s

c

r

i

b

a

u

n

a

c

i

t

a

d

e

l

d

o

c

u

m

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