lectura 05 de estadistica

5/7/2018 lectura 05 de estadistica - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/lectura-05-de-estadistica 1/15

Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote CURSO ESTADÍSTICA APLICADAFACULTAD DE EDUCACIÓN Y HUMANIDADES ________________________________________________________________________________________________________

LECTURA 05: INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO DE MUESTRA (PARTE I)

TEMA 9: INTERVALOS DE CONFIANZA: INTRODUCCIÓN Y DEFINICIÓN

1. INTRODUCCION

Actualmente se debe estar bien consciente de que las poblaciones son generalmente muy

grandes como para ser estudiadas en su totalidad. Su tamaño requiere que se

selecciones muestras las cuales se pueden utilizar para hacer inferencias sobre

poblaciones. Por ejemplo si un docente desea saber sobre las calificaciones medias por

estudiante de la asignatura de de Estadística durante el año anterior, podría encontrar

difícil calcular las calificaciones promedio de cientos de estudiantes que llevaron la

asignatura. Seria muchos mas fácil estimar la media poblacional con la media de unamuestra representativa.

Hay dos tipos de estimadores que se utilizan más comúnmente para este propósito: un

estimador puntual y un estimador por intervalo. Un estimador puntual utiliza un estadístico

para estimar el parámetro en un solo valor o punto. El estimador puntual por ser un solo

numero, no proporciona por si mismo información alguna sobre la precisión y confiabilidad

de la estimación. Debido a la variabilidad de la muestra, nunca se tendrá que µ = x . El

estimado puntual nada dice sobre lo cercano que esta de µ . El docente puede

seleccionar una muestra de n=50 estudiantes y halla la calificación promedio de 12 x = ,

este valor sirve como estimación puntual para la media poblacional.

Una alternativa para reportar un solo valor del parámetro que se esta estimando es

calcular e informar todo un intervalo de valores factibles, un intervalo de confianza. Una

estimación por intervalo especifica el rango dentro del cual está el parámetro poblacional

desconocido. El docente estima que la calificación media poblacional esté entre 11 y 14.

Tal intervalo con frecuencia va acompañado de una afirmación sobre el nivel de confianza

que se da con exactitud. Por lo tanto se llama intervalo de confianza.

___________________________________________________________________________ 1

Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.

Fecha : Febrero 2010

Versión : 1




2. DEFINICION

Es el rango dentro del cual se encuentra el parámetro desconocido θ con un nivel de

confianza dado.

En base a una muestra aleatoria y la correspondiente estadística θ̂ , se trata de

encontrar un intervalo [L1, L2] llamado Intervalo de Confianza que debe contener el

parámetro θ con una probabilidad dada (1-α) llamado nivel de confianza.

Si θ̂ es una estadística

f( θ̂ )

α/2 α/2

fig. 11

El intervalo [L1, L2] es un intervalo aleatorio ya que sus extremos L1, L2 llamados límites de

confianza son variables cuyos valores varían de una muestra a otra.

La Estimación Interválica consiste en calcular L1, L2 dada una muestra aleatoria y un

nivel de confianza (1-α) y decir que se tiene confianza del 100 (1-α) % que el intervalo

contiene el valor desconocido θ.

Por ejemplo: Si 1-α = 0.95, se dice que se tiene una confianza del 95% que el intervalo

contenga el valor desconocido θ; o bien, de 100 intervalos aleatorios que se tomen 95 de

las veces contendrá el parámetro y sólo 5 veces no lo contendrá.

___________________________________________________________________________ 2



Versión : 1

1 - α

L1 θ L

2

θ̂




TEMA 10: INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL HACIENDO

USO DE LA ESTADISTICA Z Y T.

1. INTRODUCCIÓN

Uno de los usos más comunes de los intervalos es estimar la media poblacional. Un

fabricante puede querar estimar la producción mensual promedio de su planta, un

representate de ventas puede estar interesado en estimar su comisión media anual

ganada por captaciones, el jefe financiero de un banco puede estar interesado en estimar

el ahorro mensual promedio de sus clientes en un año dado, etc. El número de

circunstancias que se encuentran comunmente en el mundo de los negocios y que

requiere de una estimación de la media poblacional es casi ilimitado.

2. DEFINICIÓN

Es el rango dentro del cual se encuentra la media poblacional con un nivel de confianza

dado.

α/2 α/2

fig. 12

Se presentan los siguientes casos:

CASO I: Uso de la Estadística Z.i) Muestra grande (n ≥ 30), varianza poblacional conocida σ

2 y población normal o no.

___________________________________________________________________________ 3



Versión : 1

1 - α

L1 μ L

2

[ ] αµ −121

LLP

1 0 0x

2 0 0x

L x Z x Zn

L x Z x Zn

σ= − × σ = − ×

σ= + × σ = + ×




ii) Muestra grande (n ≥ 30), varianza poblacional desconocida ( 22 s≅σ y población

normal o no.

1 0 0x

2 0 0x

sL x Z s x Zn

sL x Z s x Z

n

= − × = − ×

= + × = + ×

iii) Muestra pequeña (n < 30), varianza poblacional conocida 2σ y población normal.

CASO II: Uso de la Estadística t.

Muestra pequeña (n < 30), varianza poblacional desconocida ( )22 s≅σ y población normal.

Donde: 1-n ,2/10 α= tt

2. ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA

El error estándar es una medida de la dispersión de las medias de muestras alrededor de

la media de la población. Si la dispersión disminuye (si σ se hace más pequeña),

entonces los valores tomados por la media de la muestra tienden a agruparse mascercanamente alrededor de µ . Y a la inversa, si la dispersión se incrementa (si σ se

agranda), los valores tomados por la media de la muestra tienden a agruparse menos

cercanamente alrededor de µ . Al disminuir el error estándar, el valor de cualquier media

de muestra probablemente se acercara al valor de la población, lo que quiere decir que al

disminuir el error estándar, se incrementa la precisión con que se puede usar la media de

la muestra para estimar la media de la población.

___________________________________________________________________________ 4



Versión : 1

1 0 0x

2 0 0x

L x Z x Zn

L x Z x Zn

σ= − × σ = − ×

σ= + × σ = + ×

1 0 0x

2 0 0x

sL x t s x t

n

sL x t s x tn

= − × = − ×

= + × = + ×




• Si el muestreo es con o sin reposición en una población infinita (o con sustitución en

una población finita de tamaño N), el error estándar de la media muestral es:

i) )conocida(n

2

x σ→

σ

=σ

ii) )adesconocid(n

ss 2

xσ→=

• Si el muestreo es sin reposición en una población finita de tamaño N, el error estándar

de la media muestra es:

i) )conocida(1 N

n N

n

2

xσ→

−

−×

σ=σ

ii) )adesconocid(1 N

n N

n

ss 2

xσ→

−

−×=

Donde:1 N

n N

−

−es el factor de corrección para población finita.

NOTA: Generalmente se utiliza el muestreo sin reposición en poblaciones infinitas

y finitas de tamaño N

Ejemplo 1:

La duracion media de prestamos en la biblioteca de una universidad en el curso pasado

fue de veinte dias. Se toma una muestra de cien libros este ano y se obtiene una media

de dieciocho dias con una desviacion estandar de ocho dias. Construir un intervalo de

confianza para la duracion media de prestamos en el curso pasado del 99%.

Solución:

a) Se desea estimar:

μ: Duración media poblacional de préstamos de libros en la biblioteca

b) Análisis:

• n = 100

(n>30)

___________________________________________________________________________ 5



Versión : 1

x 18 días=

s 8 días.=




• Varianza poblacional desconocida se estima a través de la muestra. Es

decir si

• Población no normal

• Para un nivel de confianza 1 – α = 0.99

• Error estándar de la media muestral x es:

c) Haremos uso de la estadística Z descrita en el Caso I – ii:

d) Hallando el intervalo de confianza:

e) Interpretación:

La duración media poblacional de préstamos de libros en la biblioteca en el curso

pasado fué de 15.94 y 20.06 días con una confianza del 99%.

Ejemplo 2:Se sabe que la estatura de los individuos de una población es una variable aleatoria que

sigue una distribución normal con desviación estándar 6. Se toma una muestra de 225

individuos y da una media de 176 cm. Obtenga un intervalo de confianza, con un 90% de

confianza, para la estatura media de la población.

Solución:


μ: Estatura media de la población de los individuos.

___________________________________________________________________________ 6



Versión : 1

2 2s 8 días entonces s 64 días= =

( )22 s≅σ

x

s 18 18s 1.8

10n 100= = =

2.576O

Z =

1 0

2 0

1

2

1

2

s 8L x Z 18 2.576

n 100

s 8L x Z 18 2.576

n 100

L 18 2.06

L 18 2.06

L 15.94 días

L 20.06 días

= − × = − ×

= + × = + ×

= −

= +

=

=




b) Análisis:

• n=225

(n>30)

• Si la desviación estándar conocida es 6cm.σ = entonces la varianza poblacional

conocida ( )2 236 cm.σ =

• Población normal.

• Para el nivel de confianza 1 – α = 0.90 1.645O

Z =

• Error estándar de la media muestral x :

c) Haremos uso de la estadística Z descrita en el Caso I - iii


1 0

2 0

1

2

1

2

6L x Z 176 1.645

n 225

6L x Z 176 1.645

n 225

L 176 0.66

L 176 0.66

L 175.34 cm.

L 176.66 cm.

σ= − × = − ×

σ= + × = + ×

= −

= +

=

=

e) Interpretación: Con una confianza del 95% la estatura media poblacional de los

individuos varía entre 175.34 y 176.66 cm.

Ejemplo 3:

En un examen de oposición al que se presentaban 5 000 personas, la nota media ha sido

de 14.2 puntos, con una desviación típica de 2.1. Si se toman muestras de 60 opositores,

halla el intervalo de confianza del 95% para la nota media poblacional de las personas.

Solución:


___________________________________________________________________________ 7



Versión : 1

x 176 cm.=

x

60.4 cm.

n 225

σσ = = =




μ: La nota media poblacional de las personas.

b) Análisis:

• n = 60

(n>30)

• Varianza poblacional desconocida se estima a través de la muestra. Es

decir si

• Población no normal.

• Para el nivel de confianza 1 – α = 0.95

• El error estándar de la media muestral es:

x

s 2.1s 0.27

n 60= = =

c) Haremos uso de la estadística Z descrita en el Caso I – ii


1 0

2 0

1

2

1

2

s N n 2.1 5000 60L x Z 14.2 1.96

N 1 5000 1n 60

s N n 2.1 5000 60L x Z 14.2 1.96

N 1 5000 1n 60

L 14.2 0.53

L 14.2 0.53

L 13.67 puntos

L 14.73 puntos

− −= − × × = − × ×

− −

− −= + × × = + × ×

− −

= −

= +

=

=

___________________________________________________________________________ 8



Versión : 1

s 2.1 puntos.=

OZ 1.96=

2 2s 2.1 puntos entonces s 4.41 puntos= =

2 2( s )σ ≅

x 14.2 puntos=




e) Interpretación: Con una seguridad del 95% la nota media poblacional de las personas

varía entre 13.67 y 14.73 puntos.

Ejemplo 4:

Supongamos que el tiempo en horas dedicado por los estudiantes de una determinada

asignatura a preparar el examen final tiene una distribución normal. Se toma una muestra

aleatoria de 6 estudiantes cuyos resultados son los siguientes: 12.2, 18.4, 23.1, 11.7,

8.2, 24. Calcular un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional.

Solución:


μ: Tiempo medio poblacional de ejecución en milisegundos de un programa.

b) Análisis:

• n=6

(n<30)

• Varianza poblacional desconocida ( 22 s≅σ se estima a través de la muestra.

Es decir • Población normal.

• Para el nivel de confianza 1 – α = 0.99 O 0.95,5t t 2.015= =

• El error estándar de la media muestral x es:

x

s 6.53s 2.67

n 6= = =

c) Haremos uso de la estadística t:


___________________________________________________________________________ 9



Versión : 1

x 16.27 horas=

s 6.53 horas=

2 2

s 6.53 horas entonces s 42.70 horas= =




e) Interpretación:

El tiempo medio poblacional que los estudiantes dedican a estudiar una cierta

asignatura varia entre 10.90 horas y 21.64 horas con una confianza del 90%.

Ejemplo 5:

En una empresa distribuidora de productos informáticos trabajan 500 personas. Un

estudio realizado sobre un tamaño de muestra de 30 trabajadores demostró que el sueldo

anual promedio era $450, con una desviación estándar de $50. Estime el sueldo anual

promedio de todos los trabajadores de la empresa con un nivel de confianza del 95%.Solución:


μ: Sueldo anual promedio de todos los trabajadores.

b) Análisis:

• n=30

• Varianza poblacional desconocida ( )22 s≅σ es estima a través de la muestra. Es decir


• Se tiene una población finita de tamaño N=500, entonces El error estándar de la

media muestral x es:

___________________________________________________________________________ 10



Versión : 1

450$ x =

50$ s =

2 2s 50 $ entonces s 250$= =

1 0

2 0

1

2

s 6.53L x t 16.27 2.015

n 6

s 6.53L x t 16.27 2.015n 6

L 16.27 5.37 10.90horas

L 16.27 5.37 21.64horas

= − × = − ×

= + × = + ×

= − ≅

= + ≅




86.81500

30500

30

50

1 N

n N

n

ss

x=

−

−×=

−

−×=

c) Haremos uso de la estadística Z descrita en el Caso I - ii:


e) Interpretación:El sueldo anual promedio de todos los trabajadores varía entre $432.63 y $467.37 con

una confianza del 95%.

Ejemplo 6:

Supongamos que la distribución del gasto mensual en consumo de bienes alimenticios,en

soles, por estudiantes mayor de 18 y más años en una universidad, sigue una distribución

normal de media desconocida y varianza 36 soles2 . Al encuestar a 15 estudiantes

mayores de 18 años y preguntarles por sus gastos de alimentación se obtiene un gasto

medio de 500 soles. Obtener un intervalo de confianza al 95% para la media poblacional.

Solución:


μ: Gasto medio poblacional mensual en consumo de bienes alimenticios en soles.

b) Análisis:

• n=15

___________________________________________________________________________ 11



Versión : 1

1 0

2 0

1

2

1

2

s N n 45 500 30L x Z 450 1.96

N 1 500 1n 30

s N n 45 500 30L x Z 450 1.96

N 1 500 1n 30

L 450 1.96 8.86

L 450 1.96 8.86

L 450 17.37 $432.63 soles

L 450 17.37 $467.63 soles

− −= − × × = − × ×

− −

− −= + × × = + × ×

− −

= − ×

= − ×

= − =

= + =

x 500 soles=




(n>30)

• Si la varianza poblacional conocida ( )2 236 cm.σ = entonces la desviación

estándar es 6cm.σ =


• Para el nivel de confianza 1 – α = 0.95 1.96O

Z =

• Error estándar de la media muestral x :

c) Haremos uso de la estadística Z descrita en el Caso I - iii


1 0

2 0

1

2

1

2

15L x Z 500 1.96

n 15

15L x Z 500 1.96

n 15

L 500 7.59

L 500 7.59

L 492.42 soles

L 507.59 soles

σ= − × = − ×

σ= + × = + ×

= −

= +

=

=

e) Interpretación:

Con una confianza del 95% el gasto medio poblacional en consumo de bienes

alimenticios de los estudiantes mayores de 18 años y más varía entre 492.42 y 507.59

soles.

___________________________________________________________________________ 12



Versión : 1

x

61.55 soles

n 15

σσ = = =




TEMA 11: TAMAÑO DE MUESTRA CUANDO EL PARAMETRO ES LA MEDIA

POBLACIONAL USANDO EL MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

1. CALCULO DEL TAMAÑO MUESTRAL USANDO EL MUESTREO ALEATORIO

SIMPLE

Característica de la Población Tamaño de la muestraTamaño de la población infinita o desconocido.

2

22

21

e

Zn

σ×=

α−

Tamaño de la población finita.

)1 N(eZ

NZn

222

22

21

−×+σ×

×σ×=

α−

Donde:

n Tamaño de la muestra.

N Tamaño de la población.

Z1-α /2

Valor correspondiente a la distribución de Gauss

Z0.975 = 1.96 para α = 0.05 y Z0.995 = 2.576 para α = 0.01. (Utilizar

Tabla II).

σ Valor de la varianza poblacional. En caso de no conocerse se

estima por la varianza muestral (s2

) a través de una muestra pilotoe Error que se prevé cometer.

fig. 13

Ejemplo 6:

La desviación estándar de las alturas de los habitantes de un país es de 8 cm. Calcular el

tamaño mínimo que ha de tener la muestra de habitantes de dicho país para que el error

cometido al estimar la altura media sea inferior a 1 cm. con un nivel de confianza del

90%

Solución:

___________________________________________________________________________ 13



Versión : 1

xµL1

L2

e




La desviación estándar se ha obtenido a través de una muestra entonces:

• s=8 cm.

• Para el nivel de confianza 1 – α = 0.90 0.95Z 1.645=

• e = 1 cm.

• La población es infinita o desconocida.

La formula a utilizar será la siguiente:

2 2

1 2

2

Z sn

e

−α×

=

2 2

2

(1.645) (8)n

(1)

×=

n 173.2 173 habitantes= ≅

Ejemplo 7:

Una muestra aleatoria de los salarios en soles por hora para nueve docentes de una

universidad es:10.5, 11, 9.5, 12, 10, 11.5, 13, 9, 8.5.

El muestro se realizó sobre una población distribuida normalmente y se desea calcular un

intervalo de confianza para el salario promedio de los docentes. Hallar el tamaño mínimo

que debe tener la muestrea para que con un nivel de confianza del 95%, el error de

estimación no supere a los 0.3 soles, en una población de 600 docentes.

Solución:

La desviación estándar es desconocida y se ha obtiene a través de la muestra:

• s 1.47 soles hora= ×

• Para el nivel de confianza 1 – α = 0.95 0.95Z 1.96=

• e = 0.3 soles.

• La población es finita de tamaño N=600 docentes.


___________________________________________________________________________ 14



Versión : 1




2 2

1 2

2 2 2

1 2

Z s Nn

Z s e (N 1)

− α

− α

× ×

=

× + × −

2 2

2 2 2

(1.96) (1.47) 600n (1.96) (1.47) (0.3) (600 1)

× ×

=× + × −

n 56.9 57docentes.= ≅

Ejemplo 8:

Se quiere hacer una encuesta para estimar el tiempo promedio por semana que los niños

utilizan la Internet. Por estudios anteriores se sabe que la desviación estándar de dicho

tiempo es de 2.5 horas, con un nivel de confianza del 95% ¿Qué tamaño de muestra se

debería elegir si el error de estimación puntual no es superior a media hora, si se

población de 500 niños de un colegio “X”?

Solución:

La desviación estándar es conocida se ha obtenido a través de la población.

• .horas5.2=σ

• Para el nivel de confianza 1 – α = 0.95 96.1Z 975.0 =

• .horas5.0e =

• La población es infinita o desconocida.


)1 N(eZ

NZn

222

21

22

21

−×+σ×

×σ×=

α−

α−

)1500(5.05.296.1

5005.296.1n

222

22

−×+×

××=

.niños81n =

___________________________________________________________________________ 15



Versión : 1

lectura 05 de estadistica

Documents

Transcript of lectura 05 de estadistica