Lecciones de Mate

5/12/2018 Lecciones de Mate - slidepdf.com

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MATEMATICAS I



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ÍNDICE

CONTENIDO PÁGINA

.I. ÍNDICE 2

II. INTRODUCCIÓN DE LA ASIGNATURA 3

III DIAGNOSTICO DE CONOCIMIENTOS 4

IV. UNIDADES TEMÁTICAS

UNIDAD TEMA

UNIDAD I FUNCIONES

UNIDAD II CONTINUIDAD

UNIDAD III LÍMITES

UNIDAD IV GRÁFICAS

UNIDAD V DERIVADAS

UNIDAD VI MÁXIMOS Y MÍNIMOS

UNIDAD VII OPTIMIZACIÓN

VI. GLOSARIO

VII. REFERENCIAS



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III INTRODUCCIÓN DE LA ASIGNATURA

La asignatura de Matemáticas II tiene como objetivo que los alumnos adquieran los conocimientos

básicos del cálculo diferencial e integral y establezca sus aplicaciones a la situaciones reales de las

empresas. Se hace hincapié en las partes esenciales de los temas para resaltar su comprensión y

análisis.

En la primera unidad se desarrolla el tema de Funciones, en la cual los alumnos deberán conceptuar

las funciones exponenciales y logarítmicas aplicadas en la administración.

El tema de Continuidad se analiza en la unidad II, como antecedente para que los alumnos se

introduzcan al estudio del cálculo diferencial e integral.

La unidad temática III, aborda a los Límites como su concepto y propiedades para establecer los

criterios de los límites en los sistemas.

En relación a la aplicación y representación gráfica de la oferta, demanda y el precio en equilibrio, se

desarrolla en la unidad IV. Con las representaciones graficas los alumnos deberán ser capaces de

manejar una computadora para la solución de algoritmos, su análisis e interpretación de los

resultados.

Los temas de incrementos y las reglas de derivación ejercidos prácticamente en la devaluación,

inflación y marginalidad, se relacionan en la Unidad V, con el tema de las Derivadas. Es importante

que se busque la aplicación en las empresas y establecer un esbozo para integrar los conceptos

revisados en las unidades anteriores.

Para la toma de decisiones empresariales es importante que los alumnos relacionen los temas de

Máximos y Mínimos ilustrados en la unidad VI. Contextualizar estos conceptos generará en el

alumno la elección del tema como una herramienta para evaluar alternativas en las organizaciones.

La Optimización se define como unidad VII, en donde los estudiantes deben ser capaces de resolver

problemas de investigación de operaciones que tiendan al apoyo del análisis e interpretación de lasdecisiones dentro de una entidad económica.

En lo concerniente a la Integración, se desarrolla al final del programa. Con dichos conocimientos los

alumnos deben plantear y resolver la problemática de excedentes de productores y consumidores.

Como hemos apuntado, las matemáticas son una herramienta que los alumnos de la Carrera de

Comercialización aplican en beneficio de las empresas de distintos giros.



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IV DIAGNÓSTICO DE CONOCIMIENTOS

Objetivo: El siguiente cuestionario consta de reactivos de opción múltiple, que están formados por una

pregunta y varias alternativas como respuesta, se plantea que es uno de los instrumentos básicos en

la técnica de elaboración de pruebas objetivas, de tal forma que el alumno trabaja sobre una situación

estructurada a la que solo aporta respuestas concretas. La planeación de la prueba, así como la

construcción e integración de reactivos se forman de acuerdo con el logro de aprendizaje que se

espera y por un criterio de menor a mayor grado de dificultad de conocimiento, de tal forma que el

alumno se enfrente gradualmente a situaciones más complejas.

En relación a las respuestas por ítem, se sitúan 4 categorías de respuesta para la estructura

de la prueba, formuladas como una respuesta correcta, dos parcialmente correctas y una incorrecta.

Así, se obtiene un indicador del conocimiento de las bases en álgebra como referente para iniciar el

aprendizaje de esta asignatura.

1. Es la representación completa de: el cuadrado del término “a” y la diferencia de “b”:

a. (a)2 – b

b. (a.a) – b

c. – b – a2

d. a2 – b

2. Elementos que forman un término:

a. Coeficientes separados por un signo + ó –

b. Signo, Coeficiente

c. Signo, Coeficiente, Parte literal

d. Signo, Coeficiente, Parte literal y Grado

3. Expresión algebraica que representa un trinomio:

a. x2 – 2x+ 3

b. (3x)(3x)(3x)

c. 4x3 + 2( )2 – x

d. x.x.x – 5x4 -2x5



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4. En el producto de términos semejantes, ¿qué sucede con los exponentes?

a. Se multiplican

b. Se suman

c. Se restan

d. Quedan con el mismo valor

5. ¿Cuál es el resultado de la siguiente expresión algebraica: 2x4 /x5?

a. 2x (4)(5)

b. 2/x

c. 2x 4-5

d. 2x -1

6. Varios términos son semejantes cuando tienen:

a) Misma parte literal y exponente, sólo difieren en el signo y coeficiente

b) Diferente parte literal y exponente, mismo signo y coeficiente

c) Igual parte literal y exponente

d) Igual parte literal y exponente, sólo difieren en el signo

7. Simplificar d-4 (d9)

a. d-4+9

b. d-36

c. d9 /d4

d. d5

8. Si se reduce la expresión m-6 /m-4, ¿cuál es su resultado?

a. 1/m2

b. m-10

c. m-2

d. m-6+4

9. Simplificarmn y xm y x

24

23

a. 1/xn

b. x3-4 y2-2 m1-1 /n

c. x -1 /n



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10. Es el resultado de factorizar la expresión: 8x3 – 4x2 + 6x4

a. 2 (4x3 – 2x2 + 3x4)

b. 2x (4x2 – 2x + 3x3)

c. 2x2 (4x – 2 + 3x2)

d. 4x2 (4x – 1 + 2x2)

11. Al elevar al cubo el término 4x2 da como resultado:

a. (4x2)3

b. 12x6

c. (4x2)(4x2)(4x2)

d. 64x6

12. El resultado del binomio al cuadrado (x2 – 5)2 es:

a. x4 - 10x2 + 25

b. (x2)2 + 2(x2)(-5) + (-5)2

c. x4 – 25

d. x4 – 2x2(5) + 25

13. De la siguiente expresión matemática 5x + 3x = 16 despejar a la variable:

a. x = 8/16

b. 8x = 16

c. x = 2

d. x = 16/8



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UNIDAD 1

FUNCIONES

OBJETIVO GENERAL

El propósito de esta unidad temática es que el alumno conceptualice las funciones lineales,

exponenciales y logarítmicas y sea capaz de aplicarlas en condiciones reales en la administración de

empresas.

OBJETIVO ESPECÍFICO Definir e identificar a las funciones lineales, exponenciales y logarítmicas

Tabular y graficar

Aplicar las funciones lineales, exponenciales y logarítmicas a la administración e

interpretar

TEMA 1

Objetivo de aprendizaje

Aplicar las funciones lineales, exponenciales y logarítmicas en la Administración.

Criterio de aprendizaje

El concepto de función es una de las ideas fundamentales en matemáticas. Cualquier

estudio que se refiera a la aplicación de las matemáticas a problemas empíricos emplea

este concepto matemático.

Una función expresa la idea de que una cantidad depende o está determinada por otra.

Los ejemplos siguientes aclaran esta idea:

1. El área de un círculo depende de la longitud de su radio; si se conoce la longitud

del radio, podemos determinar el área.

2. El costo de producir cualquier artículo depende del número de artículos

producidos.



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3. Las prestaciones otorgadas por el sistema de seguridad social de un país

depende de su tasa de desempleo.

4. El poder adquisitivo de la moneda depende del índice del costo de la vida.

5. La cantidad de cierto artículo que el fabricante ofrecerá depende del precio que

pueda lograr.

Definición : Sea X y Y dos conjuntos no vacíos. Una función de X en Y es una regla que se

asigna a cada elemento x X una única y Y. Si una función asigna y a un x X

particular, decimos que y es el valor de la función x. Una función por lo general se denota

por las letras como f, g, F o G.

Conceptos de Funciones Exponenciales y Logarítmicas.

La función de la forma f(x) = ax se denomina “Función Exponencial”, donde “a” es la base,

a>0, a≠1; si a>1 se tiene una Función Exponencial Creciente; si a<1 se tiene una Función

Exponencial Decreciente.

De manera similar, podemos definir la función y = ax para cualquier número real positivo

a. Cuando x=0, y = a0 = 1; si x =2, y=a2; cuando x=3, y=a3, etc., para todos los valores

enteros positivos de x.

Una función del tipo Y = ex se denomina “Función Exponencial Natural”, donde “e” es la

base de los logaritmos naturales (e=2.71828)

La inversa de una función f(x) se obtiene resolviendo la ecuación y = f(x) para x, de modo

que expresemos a x como función de y: x = f -1 (y). Podemos considerar la posibilidad de

construir la inversa de la función ax. Con el propósito de lograrlo, debemos resolver la

ecuación y = ax para x. La solución en la forma x = loga y, la cual denominaremos el

logaritmo de y con base a. Así x = loga y, si y sólo si y = ax.

Una función logarítmica se define como la inversa de una función f(x) se obtiene

resolviendo la ecuación y = f(x) para x, de modo que expresemos a x como función de y: x

= f-1 (y). Podemos considerar la posibilidad de construir la inversa de la función a x. Con el

propósito de lograrlo, debemos resolver la ecuación y = ax para x. Tal ecuación no puede

resolverse en términos de las funciones que conocemos hasta el momento, por lo que

debemos considerar un nuevo concepto para la solución. Escribimos la solución en la

forma x = loga y, la cual denominaremos el logaritmo de y con base a. Así x = loga y si y



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sólo si y = ax

De la proposición y = ax, observamos que a debe elevarse a la potencia x con el fin de

obtener y. Esto nos conduce a una definición verbal alternativa (dado que x = loga y).

Loga y es la potencia a la cual a debe elevarse para obtener y.

En estas definiciones, a puede ser cualquier número positivo excepto 1.

Examinar las aplicaciones de las funciones.

Para la función f(x) = 2x2 – 5x + 1, calcular el valor cuando f(a), f(3) y f(-2).

Solución: Para f(a), reemplazamos a “x” por “a” en la ecuación

f(a) = 2 a2 – 5 a + 1

Para f(3), sustituimos 3 en lugar de x en ambos lados de la ecuación.

f(3) = 2 (3)2 – 5(3) + 1

= 18 – 15 + 1 = 4

De manera similar,

f(-2) = 2(-2)2 – 5(-2) + 1 = 19

Describir las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Para las funciones exponenciales y = ax , y = bx, con ab1. Si x0, estas dos funciones

crecen a una tasa cada vez mayor a medida que x se incrementa. Por lo tanto unafunción del tipo y = ax (a0, a1) se denomina una función exponencial. Cuando a1, la

función se conoce como una función exponencial creciente, mientras que si a1, se llama

función exponencial decreciente.

El número a de la función exponencial ax se conoce como la base. La base puede ser

cualquier número real positivo excepto 1. Con frecuencia es útil usar como base un

número irracional denotado por e , el cual está dado hasta cinco cifras decimales por e =



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2.71828. La función exponencial correspondiente se denota por e x y se denomina función

exponencial natural.

También podemos formar logaritmos con base e . Estos se denominan logaritmos

naturales (o logaritmos neperianos). Se denotan con el símbolo ln. La aplicación de los

logaritmos naturales es de especial importancia para futuras aplicaciones del cálculo

diferencial e integral.

Resultado de aprendizaje:

Ejercicio 1.

1.1 Concepto de función

1.1.1 Indica los tipos de función

1.1.2 ¿Qué elementos componen las funciones?

Variable dependiente

Variable independiente

Dominio

Constantes

Variables

1.1.3 Identifica las siguientes funciones, así como los elementos que las componen

a. f(x) = 2x3 – 5x2 + 7x + 1

b. f(x) = 3x

c. f(c) = (2c + 1)2 – (c3 + 1)3

d. g(x) = e-3.55

1.1.4 Diferenciar los conceptos de las funciones exponenciales y logarítmicas

Ejercicio 2. Llevar a cabo la diferenciación de las funciones exponenciales y logarítmicas

tomando como base los siguientes ejercicios.



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Instrucciones

a. Las siguientes expresiones convertirlas en forma logarítmica y verificarlas.

24=16 (1/2)-3 = 8

82=64 93=729

65=7776 45=1024

b. Las siguientes expresiones convertirlas en forma exponencial y verificarlas.

log2 8=3 log2 16 = 4

log4 256=4 log5 15625 = 6

log 1000 = 3 log6 1296 = 4

Procedimiento de enseñanza: Responde a lo siguiente.

a. ¿Qué es un logaritmo?

b. ¿Cuál es el objetivo de los logaritmos?

c. ¿Gráficamente cómo se representa una función exponencial?

d. ¿Gráficamente cómo se representa una función logarítmica?

e. Indica las características de la función creciente

f. Indica las características de la función decreciente

Ejercicio 3.

Instrucciones: Realizar los siguientes ejercicios de funciones.

a. Dada f(x) = 3x + 2, calcular f(1), f(-2), f(x2), f(x+h).

b. Dada f(x) = 5 + 2x, calcular f(3), f(-1), f(x), f(x+h).

c. Dada f(x) = 5t + 7, calcular f(1), f(-3), f(c), f(1+ c).

d. Dada f(x) = 3 – 4x, calcular f(a), f(a+1), f(a+2).

e. Dada f(x) = x2, calcular f(3), f(-2), f(a), f(x+h).



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f. Dada f(x) = x - 16, calcular f(25), f(0), f(-2), f(7).

g. Dada f(x) = 2x –3 si x5

6-3x si x<5

encontrar f(0), f(7), f(-2), f(5+h), f(5-h)

Procedimiento de enseñanza. Contesta lo siguiente:

a. ¿Cuál es el objetivo de las funciones?

b. Indica la utilidad de las funciones

c. ¿En qué aspectos administrativos se aplican las funciones?

1.1.5 Analizar las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas

Ejercicio 4.

Analizar las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas en problemas

administrativos.

Instrucciones. Resuelve de forma correcta los problemas siguientes

a. La siguiente función f(x) = 2 + 0.5x representa el costo de una línea de

producción. Calcular el costo cuando se tiene 8 ≤ materiales < 13

b. La electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de $10 por unidad para

las primeras 50 unidades y a $30 por unidad para las cantidades que excedan las

50 unidades. Determinar la función c(x) que representa el costo de utilizar x

unidades de electricidad.

c. Una empresa que fabrica radio-receptores tiene costos fijos de $30,000.00 y el

costo de mano de obra y material es de $150 por radio. Determinar la función de

costo total como una función del número de radios producidos. Si cada radio

receptor tiene un precio de venta de $500, formular la función de ingresos y la

función de utilidades.

d. Un detallista puede comprar naranjas al mayorista a los precios siguientes: $8.20



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por kilo si adquiere 20 kilos o menos; $7.15 por kilo en el caso de cantidades por

encima de 20 kilos y hasta de 50 kilos y $5.12 por kilo en cantidades mayores de

50 kilos. Determinar el costo c(x) de adquisición de x kilos de naranjas.

e. Un edificio de departamentos tiene 70 habitaciones que puede rentar en su

totalidad si la renta se fija en $1,200.00 al mes. Por cada incremento de $150.00

en la renta, una habitación quedará vacía sin posibilidad alguna de rentarla.

Expresar el ingreso mensual total I como una función de x, si x es el número de

incrementos de $150.00 en la renta.

1.1.6 Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Instrucciones: Realiza los siguientes ejercicios según sea el caso

1. Construir las gráficas de cada función

a) Y = 2x b) Y = (1/3)x c) Y = 3x

-2 < x ≤ 3 -2 ≤ x < 3 -2 ≤ x ≤ 3

d) Y = e2 e) Y = e3.55 f) Y = e-0.24

2. Forma Exponencial, Logarítmica, Triángulo de Pascal, Graficar

a. Un capital de $5800 se invierte a un interés compuesto anual del 5%. Calcular el valor

de la inversión después de:

a) 5 años b) 10 años c) 15 años

b. Una suma de $200 se invierte a un interés compuesto anual del 3%. Calcular el valor

de la inversión después de:

a) 2 años b) 4 años c) 8 años

3. Tasa Nominal (Forma Exponencial-Logarítmica)

a. (Int anual-cap mensualmente) . Se invierten $2000 a una tasa de interés nominal del

9% capitalizable mensualmente. Calcular el valor de la inversión después de 3 años.

b. En cuánto se convertirá $918.54 al 4% de interés nominal, capitalizando los intereses

por trimestre. Calcular el valor después de:

a) 1 año b) 2 años



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c. Una suma se presta al 3.5% de interés compuesto, durante 9 años. El valor actual es

de $3254.60. ¿Cuál fue la cantidad prestada?

d. En cuántos años la cantidad de $834 prestada al 8% anual de interés compuesto se

convierte en $1323.46

e. Una suma de $700 prestada a interés compuesto durante 5 años se ha convertido en

$851.65. ¿A qué porcentaje anual se prestó?

f. (Crecimiento de la población) . La población de cierta nación desarrollada se sabe que

está dada (en millones de habitantes) por la fórmula:

P = 15e0.02 t

En donde t es el número de años transcurridos a partir del año 2002. Determinar

la población en 2007 y la población proyectada para 2011, suponiendo que la

fórmula tiene validez hasta entonces.

Procedimiento de enseñanza. Identificar en los ejercicios los distintos elementos de las

funciones y su correlación en las áreas administrativas.



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UNIDAD 2

CONTINUIDAD

OBJETIVO GENERAL

El objetivo de esta unidad es que el alumno adquiera los conceptos básicos para inducirlo al estudio

del cálculo diferencial e integral. A través del tema de continuidad se establecerán los criterios para

aplicarse en los distintos sistemas

OBJETIVO ESPECÍFICO

Entender el concepto de continuidad y discontinuidad en las funciones Tabular y graficar

Aplicar los conceptos básicos de continuidad en el cálculo diferencial e integral



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TEMA 2


Aplicar los conceptos básicos de continuidad en el cálculo diferencial e integral.

Criterio de aprendizaje:Al considerar el valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a c, debemos

considerar valores de x que son tanto menores como mayores de c. Sin embargo, en

algunos casos el comportamiento de una función dada es diferente si x<c del

correspondiente a x>c. En tal caso, es necesario considerar por separado las

posibilidades de que x tiende a c por la derecha o por la izquierda.

Se dice que x tiende a c por la derecha y escribimos x c+ si x toma una sucesión de

valores que están cada vez más cerca de c pero siempre son más grandes que c.

Decimos que x tiende a c por la izquierda y escribimos x c- si x toma una sucesión de

valores que están cada vez más cerca de c, pero siempre son menores que c.

Si f(x) tiende al valor límite L cuando x c+, escribimos L x f lím

c x

)(

Si f(x) se aproxima al valor límite M cuando x c-, escribimos M x f lím

c x

)(

Lo anterior nos coloca en la posición de entender en que consiste la continuidad.

Sea “f” una función y “a” un valor de su dominio, por lo que, f es continua en x=a si:

1) )(a f está definido

2) )( x f líma x

existe

3) )()( a f x f líma x


Ejercicio 1

1. Determinar gráficamente si las funciones siguientes son continuas o



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discontinuas

f(x) x + 6 , si x ≥ 3

x2 , si x ≤ 3

f(x) 1 , si x > 0

0 , si x = 0

1 , si x < 0

2. La siguiente representación indica la función del servicio postal, donde “C”

representa el costo de envío por correo de un paquete que pesa “x” kg

f(x) 25 , si 0 < x ≤ 1

45 , si 1 < x ≤ 2

65 , si 2 < x ≤ 3

85 , si 3 < x ≤ 4

3. La tabla señala el número de unidades que los consumidores demandan de un

producto específico c/semana a diversos precios. Representar la función de

demanda, indicando si es continua o discontinua

Programa de demanda

Cantidad x

semana

Precio/unid

ad

0 $ 20

5 10

15 5

20 445 2

95 1

4. (Tarifas Postales). Una carta de primera clase tiene un costo de $12.00 por

gramo o fracción menor. Denotemos con f(x) el costo de enviar una carta que

pesa x gramos. Analizar la continuidad y bosquejar la gráfica para 0 < x ≤ 5



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Procedimiento de enseñanza. Contesta lo siguiente:

a. ¿Qué es la continuidad?

b. ¿Para que es útil la continuidad?

UNIDAD 3

LÍMITES

OBJETIVO GENERAL

En propósito de la tercera unidad temática es que el alumno adquiera las nociones preliminares del

cálculo diferencial e integral.

A través del tema de límites se establecerán los criterios para aplicarse en los distintos sistemas.

OBJETIVO ESPECÍFICO Aplicar el concepto de límite en el cálculo diferencial e integral

Aplicar las propiedades de los límites en los casos necesarios

Aplicación de los límites

TEMA 3


Aplicar el concepto de límite en el cálculo diferencial e integral.

Criterio de aprendizaje

Límite

Sea f(x) una función que está definida en todos los valores de x cerca de c , con la

excepción posible de c mismo. Se dice que L es el límite de f(x) cuando x tiende a c , si la

diferencia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se desee con solo restringir a x

a estar suficientemente cerca de c.

Una función f(x) es continua en x = c si tanto f(x) como lím f(x) existen y son iguales.



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En símbolos, escribimos L x f límc x

)( o bien f(x) L como xc

Describir las propiedades de los límites.

Suponiendo que existan todos los límites del lado derecho de la igualdad, las propiedadesde los límites se definen con los siguientes teoremas:

Teorema 1

Si b es una constante, entonces ))(()(( x f límb xbf límc x c x

Teorema 2

)()())()(( xglím x f lím xg x f lím

c x c xc x

)()())()(( xglím x f lím xg x f límc x c xc x

Teorema 3

)()())()(( xglím x f lím

c x

xg x f límc x c x

Teorema 4

)()())()(( xglím x f lím xg x f límc x c xc x

siempre que 0)(

xglímc x

Teorema 5

Para toda constante K, k k límc x

Teorema 6

c xlímc x



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Aplicar el concepto de límite en los distintos sistemas.

Ejercicio 1

Instrucciones. Evalúa correctamente los límites siguientes:

1. )173(

2

2

x xlím x

2. )132(

1

2

x xlím x

3.2

1

3

x

x

lím x

4.3

2

5

x

xlím

x

5.23

4

22

2

x x

xlím

x

6.33

65

2

2

x x xlím

x

7.1

23

22

2

x

x xlím

x

8.2

1

2

x

xlím

x

9.65

9

32

2

x x

xlím

x

1023

34

12

2

x x

x xlím

x



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11.23

)3)(1(

12

x x

x xlím

x

12. 1

4

2

t límt

131

1

1

2

x

xlím

x

14.3

2

)2(

6

2

x

xlím

x

Procedimiento de enseñanza: Realizar los ejercicios reforzando la aplicación del concepto

de límite en las situaciones administrativas.

1. ¿Qué es un límite?

2. ¿En la empresa en que áreas son sujetas a la aplicación de los límites?

3. ¿Cómo se aplican los teoremas en la solución de los límites?



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UNIDAD 4

GRÁFICAS

OBJETIVO GENERAL

Que el alumno adquiera las habilidades para analizar e interpretar resultados a través de gráficas

diseñadas en la computadora

OBJETIVO ESPECÍFICO Exponer criterios para representar e interpretar gráficas en la computadora

Los alumnos analizarán la representación gráfica de situaciones empresariales

como la oferta, demanda y punto de equilibrio, para la toma de decisiones

relacionada con el mercado

TEMA 4


Exponer criterios para representar e interpretar gráficas en una computadora.

Criterio de aprendizaje:

Esta parte está diseñada para que los lectores utilicen la información de distintas fuentes

y sepan tomar decisiones con base en la interpretación y análisis.

La primera parte del análisis consiste en la Toma de datos, con observaciones del

ambiente social, económico, demográfico, consumo, mercado, etc. Por ejemplo, para

determinar el mercado potencial de un nuevo producto, los analistas podrían estudiar a



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100 consumidores que viven en cierta zona geográfica, considerando que el grupo es

heterogéneo y en el que se localicen variables como nivel de ingresos, raza,

escolaridad, entre otros.

Los datos pueden también provenir de observaciones reales o de documentos que se

conserven para uso ordinario. Las empresas concentran información en algunas

dependencias como las Asociaciones y Cámaras.

Otro criterio es utilizar datos referentes al pasado para tomar decisiones sobre el futuro.

El conocimiento de las tendencias adquirido con la experiencia permite conocer los

posibles resultados y planear con anticipación.

Cuando los datos se organizan en forma compacta y útil, los encargados de la toma de

decisiones consiguen información confiable del ambiente y se valen de ella para llegar a

decisiones inteligentes. En el momento actual, las computadoras permiten a los

estadísticos reunir enormes volúmenes de observaciones y condensarlas

instantáneamente en tablas, gráficas y números.

Actualmente es de utilidad acercarse a fuentes de información de Internet que facilitan la

labor de recopilación y que posibilitan la mejor toma de decisiones en las áreas de

investigación de mercados y mercadotecnia. En el mercado encontramos paquetes de

software de uso generalizado con los cuales se hacen los análisis estadísticos, tales

como SPSS.


Representar gráficamente mediante una computadora la oferta, demanda y el precio de

equilibrio de la empresa en el mercado.

Instrucciones: Representa gráficamente los siguientes problemas y su consiguienteresultado.



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Ejercicio 1

Una compañía fabrica 15 productos básicos. La empresa conserva registros del número

de cada producto fabricado por mes, a fin de examinar los niveles relativos de

producción. Los registros muestran que los siguientes números de cada producto fueron

fabricados en el último mes de 20 días laborales.

9897 10052 10028 9722 9908

10098 10587 9872 9956 9928

10123 10507 9910 9992 10237

a) ¿En cuántos de sus artículos la producción rebasó el punto de equilibrio de

10000 unidades?

b) ¿Qué nivel de producción rebasó el 75% de sus productos en el mes?

c) ¿Qué nivel de producción alcanzó el 90% de sus productos en el mes?

Ejercicio 2

Una empresa pesquera considera que el punto de equilibrio de pesca para sus barcos

es de 5000 libras por viaje. A continuación se dan los datos de una muestra en 200

viajes que los barcos han hecho recientemente:

6500 6700 3400 3600 2000

7000 5600 4500 8000 5000

4600 8100 6500 9000 4200

4800 7000 7500 6000 5400

a) ¿Aproximadamente qué proporción de los viajes alcanzan el punto de equilibrio?

b) ¿Qué pesca representa el valor medio aproximado en el arreglo de datos de los

barcos de la empresa?

c) ¿Qué pesca de los barcos superan el punto de equilibrio un 80% de las veces?

Procedimiento de enseñanza:

1. ¿Cómo se conforma la toma de decisiones?

2. Ensayar la conformación de gráficas a través de la computadora.



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UNIDAD 5

DERIVADAS

OBJETIVO GENERAL

Que el alumno adquiera los conceptos básicos de cálculo diferencial para aplicarlos a situaciones

reales de diversas áreas

OBJETIVO ESPECÍFICO Exponer el concepto de la derivada y sus reglas para derivar A través del tema de las derivadas los alumnos identificarán los conceptos de

marginalidad utilizados en la economía como la devaluación, costos e inflación,

para establecer las formas más adecuadas en la toma de decisiones

empresariales.



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UNIDAD 6

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

OBJETIVO GENERAL

Que el alumno adquiera los conceptos y habilidades de análisis para resolver situaciones de

máximos, mínimos y puntos críticos que permita tomar decisiones de la empresa.

A través del tema de máximos, mínimos y puntos críticos los alumnos analizarán estos conceptos y

su aplicación en las condiciones de las organizaciones.

OBJETIVO ESPECÍFICO Exponer el concepto y aplicación de los máximos, mínimos y punto crítico

UNIDAD 7

OPTIMIZACIÓN

OBJETIVO GENERAL

Que el alumno adquiera los conceptos y habilidades de análisis que apoyen a la investigación de

operaciones para tomar decisiones óptimas.

Los alumnos desarrollarán sus habilidades de aplicar y definir la optimización en condiciones de

restricción de recursos materiales de la empresa.

OBJETIVO ESPECÍFICO Exponer el concepto y aplicación de la optimización

Ubicar la importancia de la optimización de recursos en la empresa, así como sus

restricciones, aplicadas a funciones de maximizar o minimizar recursos, por método gráfico



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TEMA 7


Exponer el concepto y la aplicación de la optimización.

Criterio de aprendizaje:

Muchas de las aplicaciones importantes de las derivadas requieren determinar los

valores máximos y mínimos de una función particular. Por ejemplo, la utilidad que un

fabricante obtiene del precio fijado al producto y al fabricante le interesa conocer el

precio que produce una utilidad máxima. Este precio óptimo (o mejor precio) se obtiene

mediante un proceso denominado maximización u optimización de la función de

utilidad.



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De forma similar, a una compañía de bienes raíces le puede interesar la renta que debe

fijar a las oficinas o departamentos que controla a fin de generar el máximo ingreso por

rentas. Una empresa ferroviaria puede requerir conocer la velocidad promedio que sus

trenes deberán desarrollar con objeto de minimizar el costo por kilómetro de operación.

En el caso de un economista, puede necesitar conocer el nivel de impuestos en un país

que promoverán la tasa de crecimiento máxima de la economía.


Ejercicio 1.

Instrucciones. Desarrolla los siguientes puntos:

1. Optimización.

2. Maximización.

3. Elementos que conforman un modelo de programación

4. Diferencia entre optimización y maximización.

5. ¿Qué relación existe entre optimización y el cálculo diferencial?


1. Elaborar ejemplos con situaciones de las empresas.

2. Determinar la importancia de los conceptos en la toma de las decisiones

empresariales.

Ejercicio 2.

Instrucciones. Resolver los problemas siguientes.

1. (Contribución total). La Revco Corporation tiene una pequeña fábrica situada en

los alrededores de una gran ciudad. Su producción se limita a dos productosindustriales, “A”, “B”. El departamento de contabilidad de la empresa ha

calculado las contribuciones de cada producto en $100.00 para el producto “A”

y $120.00 para el “B”. Cada producto pasa por tres departamentos de la

fábrica. Los requerimientos de tiempo para cada producto y el total del tiempo

disponible en cada departamento son los siguientes:

HORAS REQUERIDAS

DPT PRO PRO HRS DISP



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O D “A” D

“B”

AL MES

1 2 3 1500

2 3 2 1500

3 1 1 600

a) Determinar la contribución total, a fin de cumplir con la función objetivo

2. La capacidad mensual de una compañía fabricante de equipo de pruebas, tiene

tres departamentos principales para la manufactura de sus modelos. Las

capacidades mensuales son las siguientes:

REQUERIMIENTO UNITARIO DE

TIEMPO

(HORAS)

MO

D 1

MO

D 2

HRS DISP

AL MES

DPTO

ESTRUCT

PRAL

4 2 1600

DPTO

ALAMBRELEC

2.5 1 1200

DPTO

ENSAMBLE4.5 1.5 1600

La contribución del modelo 1 es de $50.00 por unidad y la del modelo 2 de $30.00 por

unidad. Suponiendo que la compañía puede vender cualquier cantidad de cada uno de

esos productos, debido a condiciones favorables de mercado, determinar:

a) La salida óptima para cada modelo

b) La contribución más alta posible para el presente mesc) Usar método gráfico

. La compañía manufacturera ha seguido una política de fabricación de aquellos

productos que contribuyan con la mayor cantidad a los costos fijos y a las

ganancias, pero con los requerimientos mínimos de venta. Los requerimientos

de producción y el tiempo disponible para la semana siguiente son:



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TIEMPO REQUERIDO POR PRODUCTO

(HORAS)

K L M NTIEMPO DISP

(HRS)

DPTO 1 25 20 15 25 400

DPTO 2 30 40 50 60 1000

DPTO 3 25 30 25 30 500

DPTO 4 25 25 25 25 500

CONTR

IB POR

UNIDA

D

$10.5

0$9.00 $8.00

$10.0

0

Determinar: a) La salida óptima para cada modelo y b) La contribución más

alta posible


1. Analizar los problemas para presentar la función objetivo, así como las

restricciones respectivas que intervienen en el modelo de optimización.

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