LECCION 8. LOS TEOREMAS INTEGRALES · 106 Matematicas III (GITI, 2016{2017) Teorema de Green para...

Matematicas III (GITI, 2016–2017)

LECCION 8. LOS TEOREMAS INTEGRALES

1. EL TEOREMA DE GREEN

Los teoremas integrales que trataremos en esta leccion establecen la igualdad, bajo ciertas condi-ciones, entre la integral de una funcion en una region y la integral de otra funcion relacionada conla anterior en el borde de dicha region. En cierto modo, son extensiones de la regla de Barrowque, al fin y al cabo, nos dice que podemos calcular la integral de una funcion en un intervalo [a, b]evaluando una primitiva en la frontera del intervalo. Veremos tres teoremas integrales, segun quela region sea plana (el teorema de Green), una superficie en el espacio (el teorema de Stokes) o unsolido en el espacio (el teorema de la divergencia de Gauss-Ostrogradski).

Estos teoremas son muy importantes en las aplicaciones de las matematicas a diversas areas de laingenierıa como iras viendo. En esta leccion, veremos como se usan estos teoremas para determinarcondiciones bajo las que un campo irrotacional es conservativo en un dominio que no sea convexo.

Esta primera seccion la dedicamos al teorema de Green, el cual establece que, bajo ciertas condi-ciones, se da la siguiente igualdad entre una integral doble y una integral de lınea en el plano∮

C

P dx + Qdy =

∫∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx dy,

donde D es una region acotada del plano y C es la curva cerrada que forma su frontera.

Para la validez de la igualdad se necesitan dos tipos de hipotesis. En primer lugar, hipotesis sobreP y Q que garanticen la existencia de las integrales que aparecen. Habitualmente se considera queP y Q son de clase C1. En segundo lugar hay que imponer condiciones de tipo geometrico sobreel recinto D y su curva frontera C, concretamente supondremos que C es una curva de Jordan(o sea, cerrada y simple) regular a trozos. Puede demostrarse (y no es nada elemental aunquesea intuitivamente muy claro) que toda curva de Jordan regular a trozos descompone el plano endos conjuntos conexos y disjuntos que tienen la curva C como frontera comun. Uno de dichosconjuntos es acotado y se llama region interior a C, esta la region que representaremos por D. Elotro no es acotado y se llama region exterior a C.

Curva de Jordan C recorrida positivamente,

su region interior D y su region exterior E.

Finalmente, hay otro detalle que debemos tener en cuenta en el enunciado del teorema de Green, laorientacion de la curva C debe ser la orientacion positiva; es decir, C debe ser recorrida en sentidocontrario a las agujas del reloj, como viste en la asignatura de Matematicas II. Esto quiere decirque la parametrizacion considerada debe recorrer la curva dejando a la izquierda la region interior.

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106 Matematicas III (GITI, 2016–2017)

Teorema de Green para regiones limitadas por curvas de Jordan. Sea C una curva de

Jordan regular a trozos recorrida en sentido positivo. Si F = (P,Q) es un campo vectorial de claseC1 en la region acotada D cuya frontera es C, entonces∮

C

P dx + Qdy =

∫∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx dy ≡

∮C

F · dr =

∫∫D

rot(F) dA,

igualdad por la cual este teorema se llama, a veces, teorema del rotacional en el plano.

Calculo del area como una integral de lınea. Para el campo F(x, y) = (−y, x) se tiene que

rot(F) = 1. Entonces el teorema de Green nos da una formula para el area de la region D:

area(D) =1

2

∮C

(x dy − y dx

).

Esta forma de calcular el area de una region a partir de los valores que toma el campo (−y, x) ensu frontera es la base teorica de los planımetros que son aparatos que permiten calcular el area deuna region irregular dibujada en un mapa deslizando un puntero por su frontera (en la Bibliografa,al final del guion, se incluyen enlaces a algunos vıdeos de planımetros).

Planımetros: mecanico (izquierda) y digital (derecha).

Forma de la divergencia del teorema de Green. Sea L la longitud de C y tomemos unaparametrizacion natural de C, rn(s) =

(x(s), y(s)

)con s ∈ [0, L], que la recorra en sentido positivo.

Para cada punto P =(x(s), y(s)

)de la curva sean T =

(x′(s), y′(s)

)su vector tangente unitario y

N =(y′(s),−x′(s)

)su vector normal unitario exterior (exterior es porque apunta en direccion a

la region exterior a C). Entonces el teorema de Green puede escribirse como∫∫D

rot(F) dx dy =

∫∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dA =

∮C

P dx + Qdy

=

∫ L

0

P (rn(s))x′(s) +Q(rn(s))y

′(s) ds =

∫ L

0

F · T ds,

expresion en la que, como vimos en la Leccion 6, aparece la componente tangencial F · T de F.

Si aplicamos el teorema de Green al campo (−Q,P ) obtenemos una formulacion equivalente quese conoce como teorema de la divergencia en el plano:∫∫

D

div(F) dx dy =

∫∫D

(∂P

∂x+

∂Q

∂y

)dA =

∮C

(−Q) dx + P dy

=

∫ L

0

P (rn(s))y′(s)−Q(rn(s))x

′(s) ds =

∫ L

0

F · N ds,

expresion en la que aparece la componente normal F · N del campo F.

8. Los teoremas integrales 107

El teorema de Green y los campos conservativos bidimensionales. En la Leccion 6 vimos

que el campo F(x, y) =

(−y

x2 + y2,

x

x2 + y2

)es irrotacional en su dominio (x, y) = (0, 0), pero no es

conservativo porque su circulacion a lo largo de la circunferencia unidad C1 vale

∮C1

F·dr = 2π = 0.

Vamos a utilizar el teorema de Green para ver que la razon esencial de la existencia de este yotros ejemplos patologicos similares es, precisamente, que su dominio tiene un agujero (el origen).Concretamente, veremos que si trabajamos en dominios sin agujeros, la irrotacionalidad de uncampo garantiza que es conservativo.

Conjunto simplemente conexo. Se dice que un conjunto conexo U ⊂ R2 es simplemente conexosi para toda curva de Jordan C contenida en U , la region acotada D cuya frontera es C verificaD ⊂ U . Graficamente, un conjunto simplemente conexo es un conjunto que no tiene agujeros. Sedice que un conjunto es multiplemente conexo si es conexo pero no es simplemente conexo.

U es simplemente conexo, mientras que V es multiplemente conexo.

Los campos irrotacionales son conservativos en conjuntos simplemente conexos. Sea

F = (P,Q) un campo vectorial de clase C1 en un conjunto simplemente conexo U . Entonces F es

conservativo en U si, y solo si, F es irrotacional en U , es decir, si se cumple Qy = Px en U .

Como hemos visto, una region multiplemente conexa es una region con agujeros. Si queremosextender el teorema de Green para este tipo de regiones, a la integral de lınea sobre la fronteraexterior que aparece debemos anadir integrales a lo largo de curvas que aıslen los agujeros. Porsimplicidad, enunciaremos el teorema para el caso particular de un recinto con dos agujeros.

Teorema de Green para regiones multiplemente conexas. Sea U ⊂ R2 un conjunto conexocon dos agujeros cuya frontera exterior es una curva de Jordan regular a trozos C. Sean C1 y C2

dos curvas de Jordan, regulares a trozos, interiores a C y exteriores entre sı que rodean los agujerosinteriores de U . Sean P y Q dos campos escalares de clase C1 en U . Sea D la region contenida enU que es interior a C y exterior a C1 y a C2 (en color violeta en el dibujo).

Si las tres curvas C, C1 y C2 se recorren en sentido positivo, entonces se tiene∫∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dA =

∮C

(P dx + Qdy)−∮C1

(P dx + Qdy)−∮C2

(P dx + Qdy).


Corolario. Sean P y Q dos campos escalares de clase C1 en un conjunto conexo U ⊂ R2 talesque Qx = Py en U . Sean C1 y C2 dos curvas de Jordan regulares a trozos, contenidas en U ,que no se cortan, que se recorren en sentido positivo, y tales que C1 rodea completamente a C2.Supongamos que la region anular D (en color violeta en el dibujo) comprendida entre C1 y C2 sequeda contenida en U . Entonces se tiene∮

C1

P dx + Qdy =

∮C2

P dx + Qdy.

La igualdad anterior tiene una consecuencia interesante para campos irrotacionales que no son

conservativos. Veamosla para el caso del ejemplo patologico F(x, y) =

(−y

x2 + y2,

x

x2 + y2

).

Supongamos que C es una curva cerrada en su dominio que no rodea al origen y sea D su region

interior. Entonces, por el teorema de Green, se tiene∮CF · dr =

∫∫Drot(F) dA = 0. Sin embargo,

si C es una curva cerrada en su dominio que sı rodea al origen y llamamos C1 a la circunferencia

unidad, entonces la igualdad del corolario anterior nos dice que∮CF · dr =

∮C1

F · dr = 2π. En

resumen, las integrales de lınea de F sobre curvas cerradas contenidas en su dominio solo puedentomar dos valores: valen 2π si la curva rodea al origen y 0 si no lo rodean.

EJERCICIOS DE LA SECCION 1

Ejercicio 1. Comprueba el teorema de Green para la circunferencia unidad y F(x, y) = (x, 2x)

Ejercicio 2. Sea C la frontera del cuarto de anillo contenido en el primer cuadrante y comprendidoentre las circunferencias de centro el origen y radios 1 y 2, respectivamente. Comprueba, para la

curva C y el campo F(x, y) = (x2 + y2 − y, 2xy), la igualdad que establece el teorema de Green.

Ejercicio 3. Comprueba la igualdad dada por el teorema de Green en los siguientes casos.

(1) F(x, y) = (x, 1), en el cuadrado de vertices (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1).

(2) F(x, y) = (2xy − x2, x+ y2), en el rectangulo de vertices (0, 0), (0, 2), (1, 2) y (1, 0).

(3) F(x, y) = (−y, x), en la elipse de ecuacion (x/a)2 + (y/b)2 = 1.

(4) F(x, y) = (xy2, y + x) en la region limitada por las curvas y = x2 e y = x.

(5) F(x, y) = (2x2, 4xy2) en el triangulo de vertices (0, 0), (2, 1) y (0, 2).

(6) F(x, y) = (x+ 3y, x− y) en el triangulo de vertices (0, 0), (2, 0) y (1, 4).

Ejercicio 4. Sea C la astroide parametrizada por x(t) = a cos3(t) e y(t) = a sen3(t) con 0 ≤ t ≤ 2πy a > 0. Calcula el area de la region limitada por una astroide usando la formula que da el areaen terminos de una integral a lo largo de C.

Ejercicio 5. Calcula, usando el teorema de Green,∫C

(ex cos(y) + xy2

)dx−

(ex sen(y) + x2y

)dy

siendo C el arco de la lemniscata dada por la ecuacion polar r2 = a2 cos(2θ), con θ ∈ [0, π/4].


Ejercicio 6. SeaD el semianillo que esta contenido en el semiplano superior entre la circunferenciax2 + y2 = 1 y la circunferencia x2 + y2 = 4. Sea C la frontera del semianillo D. Calcula∮Cy2 dx + 3xy dy donde C se recorre en sentido positivo.

Ejercicio 7. Dado el campo G(x, y) = (y sen(exy), x sen(exy)−xy2), calcular el valor de la integral

de lınea∮CG· r, siendo C la frontera de la region D dada por 1 ≤ x2+y2 ≤ 4 y 0 ≤ y ≤ x orientada

positivamente.

Ejercicio 8. Sea D la region limitada inferiormente por la circunferencia unidad y superiormentepor la elipse 4x2 + y2 = 4 y C su frontera. Consideremos el campo vectorial

F(x, y) =(cos(2xy)− 2xy sen(2xy) + 2xyex

2y,−2x2 sen(2xy) + x2ex2y).

(1) ¿Es F conservativo en R2? En caso afirmativo, calcula una funcion potencial.

(2) Dado G(x, y) = (x2 + y2 + 1, y), calcula directamente la integral∮C(F+ G) · dr.

(3) Comprueba el resultado del apartado anterior usando el teorema de Green.

Ejercicio 9. Sea F el campo dado para (x, y) = (0, 0) por F(x, y) =(x/

√x2 + y2, y/

√x2 + y2

).

(1) Prueba que rot(F) = 0 en su dominio de definicion U . ¿Se puede deducir de este resultado

que F es conservativo en U? Explica por que.

(2) Calcula una funcion potencial de F en U . ¿Se puede deducir de la existencia del potencial

que F es conservativo en U? Explica por que.

(3) Calcula

∫C

F · dr siendo C el segmento rectilıneo que va desde A = (3, 4) hasta B = (0, 2).

Consideremos ahora el campo G definido para (x, y) = (0, 0) por G(x, y) = F(x, y) + (x, 2x) y seaCR la circunferencia con centro el origen y radio R > 0.

(4) Calcula

∮CR

G · dr donde la circunferencia se recorre en sentido positivo.

(5) Sea D el anillo comprendido entre dos circunferencias Cr y CR, definidas como antes, con

0 < r < R. Calcula

∫∫D

rot(G) dxdy directamente y usando el teorema de Green.

Ejercicio 10. Sea F el campo F(x, y) = (3x2y + 3, x3 + 2y + 2).

(1) Prueba que F es conservativo en R2 y halla una funcion potencial f tal que f(1,−1) = 3.

(2) Calcula la integral de lınea

∫C1

F · dr, siendo C1 el arco de la curva de ecuacion y = x3

recorrido desde el punto (0, 0) hasta el punto (1, 1).

(3) Considera ahora el campo G(x, y) =(y/[(x− 1)2 + y2], (1− x)/[(x− 1)2 + y2]

)y calcula

el rotacional de F+ G. ¿Puedes decir, a partir del valor del rotacional, si F+ G un campoconservativo en su dominio de definicion?

(4) Sea C2 la cardioide definida en coordenadas polares por r = 1 + cos(θ) para 0 ≤ θ ≤ 2π.

Calcula

∮C2

(F+ G

)· dr cuando C2 se recorre en sentido positivo.


2. EL TEOREMA DE STOKES

El teorema de Stokes es una generalizacion del teorema de Green a superficies en el espaciotridimensional y establece la igualdad entre la circulacion de un campo vectorial alrededor delborde de una superficie S y la integral de flujo de su rotacional a traves de S. En el teorema deGreen la frontera de la region es una curva cerrada que debe recorrerse en sentido positivo, lo quepara una curva cerrada plana no presenta ambiguedad alguna. Sin embargo, en el espacio, parapoder establecer el teorema de Stokes necesitamos dar un convenio que determine cual es el sentidoadecuado en el que debemos recorrer el borde de la superficie.

Orientaciones compatibles. Sea S una superficie orientable y fijemos en S una orientacion, esdecir, la cara senalada por un vector normal a S; por ejemplo, el dado por el producto vectorial

fundamental Su × Sv si ya tenemos una parametrizacion.

Sea C el borde de S. En general, C estara formado por una o varias curvas cerradas (salvo que Ssea una superficie cerrada, en cuyo caso no tiene borde, lo que estudiaremos aparte). Supongamos,por el momento, que C es una unica curva cerrada. Entonces, podemos recorrer C en dos sentidos,uno de ellos deja la cara senalada en S a la zquierda y el otro lo deja a la derecha.

Diremos que la superficie S y su borde C tienen orientaciones compatibles cuando recorremos Cdejando a la izquierda la cara senalada de S; es decir, si al mirar perpendicularmente la carasenalada en S, se ve que C se en sentido positivo.

Orientaciones compatibles.

Hay dos reglas que permiten deducir si la orientaciones de S y C son compatibles con la de S.La primera se conoce como la regla de la mano derecha y dice que si se recorre C con la manoderecha con los dedos extendidos hacia adelante en el sentido de recorrido de la curva y el dedopulgar apunta en el sentido del vector normal entonces las orientaciones son compatibles; si el dedopulgar y la normal apuntan en sentidos opuestos entonces las orientaciones no son compatibles. Lasegunda es la regla del sacacorchos y dice que si movemos un sacacorchos en la direccion del vectornormal unitario a la superficie entonces la orientacion en el borde es compatible si es la misma quela direccion en la que gira la manija del sacacorchos.

Si el borde de S esta compuesto por varias curvas cerradas, diremos que tienen orientacionescompatibles cuando cada una de las curvas cerradas que componen el borde se recorren dejando ala izquierda la cara senalada de S.


Teorema de Stokes o del rotacional. Sea S una superficie orientable en R3 y F un campovectorial de clase C1 en S. Entonces∫∫

S

rot(F) · dS =

∮C

F · dr,

donde la superficie S y su borde C tienen orientaciones compatibles.

Si escribimos el campo vectorial componente a componente F = (P,Q,R) entonces el teorema deStokes se escribe en forma tradicional como∫∫

S

(Ry −Qz) dy ∧ dz + (Pz −Rx) dz ∧ dx+ (Qx − Py) dx ∧ dy =

∮C

P dx + Qdy + Rdz.

Teorema de Stokes para superficies cerradas. Si S es una superficie cerrada (que no tieneborde), como una esfera o un cubo, entonces∫∫

S cerrada

rot(F) · dS = 0.

Condiciones para que un campo irrotacional sea conservativo en el espacio. Hemosvisto como consecuencia del teorema de Green que, en el caso plano, un campo irrotacional enun conjunto simplemente conexo —sin agujeros— es conservativo. Sin embargo, tambien hemosvisto que si el dominio es todo el plano excepto un punto, entonces esto ya no tiene por que sercierto. En el caso del espacio la situacion es, paradojicamente, mas simple. Si tenemos un campoirrotacional en un dominio que es todo el espacio tridimensional salvo un numero finito de puntos,o de burbujas, entonces dicho campo es conservativo.

Superficie que envuelve un numero finito de burbujas.

Para ver esto, si tenemos una curva cerrada contenida en el dominio, entonces podemos construiruna superficie que se apoya en la curva y que no pasa por ninguno de esos puntos, o no corta aninguna de esas burbujas. El teorema de Stokes nos dice, entonces, que al ser el campo irrotacional,su integral sobre la curva cerrada vale cero y, como la curva era arbitraria, el campo es conservativo,segun vimos en la Leccion 6.

El ejemplo patologico del plano que vimos en la Leccion 6 puede extenderse a dimension 3 sin mas

que anadir un cero en la coordenada z; o sea, F(x, y, z) =(−y/(x2 + y2), x/(x2 + y2), 0

)para

(x, y) = (0, 0). Ahora el dominio de F es todo el espacio tridimensional menos el eje OZ. Es facil

ver que F es irrotacional y que su circulacion en la circunferencia unidad C1 es 2π = 0, ası que Fes irrotacional pero no es conservativo.


Analogamente a lo que ocurre en el caso del plano, veamos que las integrales de lınea de F encurvas cerradas contenidas en su dominio solo pueden tomar dos valores. Si tenemos una curvacerrada C que no rodea el eje OZ entonces podemos construir una superficie S que se apoya en

dicha curva tal que S no corta a dicho eje. En cuyo caso∮CF · dr =

∫∫Srot(F) · dS = 0 por el

teorema de Stokes.

Superficies que rodean una recta.

Sin embargo, si tenemos una curva cerrada C que sı rodea el eje OZ entonces podemos construiruna superficie S que se apoya en dicha curva y en la circunferencia unidad C1 del plano XY y

que no corta al eje OZ. Como F es irrotacional, tenemos que∫∫

Srot(F) · dS = 0 y puede verse

facilmente usando el teorema de Stokes, que la circulacion de F en C (recorrida en sentido positivovista desde arriba) tambien vale 2π.

En general, el problema de dominios con agujeros en el plano se traslada a dominios en el espacioque rodean una o mas rectas, como el de la derecha de la figura. En estos casos, la irrotacionalidadde un campo no siempre implica que sea conservativo.


Ejercicio 1. Sea C la curva interseccion del cilindro x2+y2 = 1 con el plano x+y+z = 1. Aplicael teorema de Stokes para calcular

∮Cy3 dx − x3 dy + z3 dz.

Ejercicio 2. Dados el campo vectorial F(x, y, z) = (x2 + y − 4, 3xy, 2xz + z2) y la superficie Sdefinida por x2 + y2 + z2 = 16, z ≥ 0 y tomando la orientacion de la superficie dada por la normal

interior a la esfera, calcula∫∫

Srot(F) · dS usando el teorema de Stokes.

Ejercicio 3. Sea C la interseccion del hemisferio norte de x2 + y2 + z2 = 2ax y el cilindrox2 + y2 = 2bx, siendo 0 < b < a. Calcula

∮C(y2 + z2) dx + (z2 + x2) dy + (x2 + y2) dz usando el

teorema de Stokes.

Ejercicio 4. Dados el campo F (x, y, z) =(x− y, ey, 1 + x2

)y la porcion de superficie esferica

S ={(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0

}con vectores normales alejandose del origen, calcula

la integral de superficie∫∫

Srot(F) · dS directamente y usando el teorema de Stokes.

Ejercicio 5. Sea C la curva cerrada formada por los arcos C1 y C2 descritos a continuacion: elarco C1 es la interseccion del cono z2 = (x−1)2+ y2 con la superficie esferica unidad en el octantepositivo y el arco C2 es la interseccion del plano XOZ con la superficie esferica unidad tambien enel octante positivo. Calcula

∮Cy dx + 2x dy + z dz directamente y usando el teorema de Stokes.


Ejercicio 6. Sea C la curva interseccion del cilindro de ecuacion x2+(y−1)2 = 1 con el hemisferio

dado por x2+y2+z2 = 4 y z ≥ 0. Sea F el campo vectorial F(x, y, z) = (xz2, x−2y, x2z). Calcula,

aplicando directamente la definicion, la integral de lınea de F en C, indicando el sentido de recorridode la curva que tomes y comprueba el resultado usando el teorema de Stokes.

Ejercicio 7. Sea U el cono solido definido por 2√x2 + y2 ≤ z ≤ 4 y sea S la superficie exterior

de U (incluida la tapa). Sea C la curva cerrada que se obtiene al cortar S con el plano y = 1.

Dado el campo F(x, y, z) = (x, y, z2), calcula la integral de lınea de F en C indicando el sentidode recorrido de la curva C que tomes y comprueba el resultado aplicando el teorema de Stokes auna superficie adecuada.

Ejercicio 8. Sea C la circunferencia que se obtiene al cortar la superficie esferica x2+y2+ z2 = 4

con el plano z = y + 2. Sea F el campo vectorial definido por F(x, y, z) = (x2, yz, x). Calcula la

integral∮CF · dr directamente y usando el teorema de Stokes, indicando la orientacion en que se

recorre la curva.

Ejercicio 9. Sean S la porcion del paraboloide z = 4− x2 − y2 contenida en el octante positivo yC el borde de S recorrido en sentido positivo cuando se mira desde el origen. Calcula la circulacion

del campo F(x, y, z) = (yz)ı+ (−xz)ȷ+ k alrededor de C parametrizando cada uno de los tramosde la curva y comprueba el resultado aplicando el teorema de Stokes.

Ejercicio10. Sea C la curva interseccion del cono x2+y2 = z2 y el cilindro x2+z2 = 4 con z ≥ 0.

Calcula∮CF · dr, siendo F = (y, yx, z), cuando recorremos C en sentido positivo vista desde arriba.

3. EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS-OSTROGRADSKI

El teorema que damos a continuacion relaciona la integral triple de la divergencia de un campoextendida a un solido con la integral de superficie de dicho campo tomada sobre la superficiefrontera de ese solido que es, precisamente, una superficie cerrada.

Teorema de Gauss-Ostrogradski o de la divergencia. Sea U ⊂ R3 un solido limitado por

una superficie cerrada S. Si F es un campo vectorial de clase C1 en U entonces∫∫∫U

div(F) dV =

∫∫S

F · dS,

donde la superficie cerrada S tiene orientacion exterior.


Ejercicio 1. Halla el flujo del campo vectorial F(x, y, z) = (x2, y2, z2) a traves de la cara exteriordel cono solido x2 + y2 ≤ z2 con 0 ≤ z ≤ 1. Comprueba el resultado usando el teorema de ladivergencia.

Ejercicio 2. Se corta la esfera x2 + y2 + z2 = 25 por el plano z = 3. La parte mas pequena esun solido V limitado por una superficie S constituida por dos partes, una esferica y otra plana.

Calcula∫∫

S(xz, yz, 1) · dS (tomando la normal exterior a S) y comprueba el resultado usando el

teorema de la divergencia.


Ejercicio 3. Sean S la superficie formada por las cinco caras superiores del cubo definido por

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 y F el campo vectorial dado por F(x, y, z) = (xy, 0,−z2). Halla∫∫SF · dS cerrando el cubo y aplicando el teorema de la divergencia.

Ejercicio 4. Dados el campo vectorial F(x, y, z) = (x3, y3, z) y la superficie S dada por x2+y2 = 1

con 0 ≤ z ≤ x+ 2, calcula∫∫

SF · dS directamente y comprueba el resultado aplicando el teorema

de la divergencia.

Ejercicio 5. Sea F(x, y, z) = (1 − 2y, 2y2, 1 + x2) y sea S la superficie esferica de radio 2 en el

semiespacio z ≥ 0. Calcula∫∫

Srot(F) · dS directamente y usando el teorema de la divergencia.

Ejercicio 6. Sea S el trozo de la superficie del paraboloide x2 + y2 + z = 1 situado por encima

del plano XOY . Sea F el campo vectorial F(x, y, z) = (1 − y, 2y2, 1 + x2). Calcula la integral∫∫Srot(F) · dS directamente y usando el teorema de la divergencia.

Ejercicio 7. Sea U el cuarto de cono definido por√

x2 + y2 ≤ z ≤ 1 con x, y ≥ 0 y sea S la

superficie que lo envuelve. Sea G el campo vectorial dado por G(x, y, z) = (x2, y2, z2). Calcula la

integral de superficie de G en S en la direccion exterior a U .

Ejercicio 8. Sea S la superficie parametrizada por S(u, v) =(u cos(v), (1−u) cos(v), sen(v)

), con

u ∈ [0, 1] y v ∈ [0, π/2].

(1) Calcula el area de S.

(2) Determina el plano tangente a S en el punto P = (1/4, 1/4,√3/2).

(3) Calcula el flujo del campo vectorial F(x, y, z) =(x + y2, y + z2, z + x2

)a traves de la

superficie S (en la direccion de alejamiento del origen de coordenadas).

(4) Sea V el solido limitado por S y por los planos coordenados. Calcula∫∫∫

Vdiv(F) dxdydz.

Ejercicio 9. Para cada punto (x, y, z) ∈ R3, sean r = xi + yj + zk su vector de posicion y

r =√

x2 + y2 + z2 su distancia al origen. Calcula, segun los valores del numero entero n, el flujodel campo vectorial rn r a traves de la cara exterior de la superficie esferica unidad.

Ejercicio 10. Sea V el solido limitado por encima por el paraboloide z = 1 − 3(x2 + y2) y pordebajo por el paraboloide z = x2 + y2.

(1) Calcula el volumen de V .

(2) Calcula, directamente y usando el teorema de Stokes,∫CF·dr donde F es el campo vectorial

F(x, y, z) =(xy, xz, z

)y C es la curva interseccion de los paraboloides que definen V

recorrida en el sentido contrario a las agujas de un reloj cuando se la mira desde arriba.

(3) Sea G el campo vectorial definido por G(x, y, z) = rot(F)+(x+1, y, 2z

). Utiliza el teorema

de la divergencia para calcular∫∫

SG · dS, siendo S la superficie exterior de V .

ALGUNAS NOTAS HISTORICAS.

El teorema de Green se suele atribuir a George Green ya que puede deducirse de otro resultado de su estudio de 1828de la teorıa del potencial electrico y gravitatorio, aunque, de hecho, habıa aparecido ya en trabajos de Carl F. Gaussy Joseph Louis Lagrange. La primera formulacion tal y como se usa hoy en dıa se debe a Augustin L. Cauchy (1846)

y la primera demostracion rigurosa se debe a Bernhard Riemann (1851).

Uno de los ingrediente esenciales del teorema de Green es que toda curva de Jordan regular a trozos descompone

el plano en dos conjuntos conexos y disjuntos que tienen la curva C como frontera comun. Esto es intuitivamenteobvio para las curvas habituales, ası que no es extrano que nadie pusiera esto en duda hasta comienzos del siglo


xix, cuando se planteo a fondo el rigor de los resultados del calculo infinitesimal. Fue Bernard Bolzano el primeroen conjeturar el resultado de manera precisa y en afirmar que no es evidente, sino que requiere una demostracion.

La primera se debe a Camille Jordan en 1887, pero dicha demostracion ha estado sujeta a controversias sobre sucompletitud, aunque la idea central se considera correcta. Hoy en dıa se acepta que la primera prueba completa fuedada por Oswald Veblen en 1905.

La formulacion del teorema de Stokes aparecio por primera vez impresa como ejercicio de un examen para el PremioSmith de Cambridge planteado por George G. Stokes en 1854, de ahı el nombre con el que se le conoce habitualmente;sin embargo, el teorema se mencionaba ya en una carta de William Thompson (Lord Kelvin) a Stokes de 1851. La

primera demostracion completa se debe a Hermann Hankel (1861).

Las primeras versiones del teorema de la divergencia, para casos especiales y en el contexto de los estudios sobre

electrostatica, se deben a Lagrange, en 1762, a Gauss, en 1813, y a Green en 1825. Mijaıl Ostrogradski dio la primeraformulacion del resultado en 1826, aunque no lo publico hasta 1831. James C. Maxwell hizo un uso extensivo de losteoremas de Stokes y de la divergencia en sus estudios sobre el campo electromagnetico. Finalmente, Vito Volterra

generalizo el resultado a integrales de funciones con un numero arbitario de variables en 1889.

BIBLIOGRAFIA

G.L. Bradley y K.J. Smith, Calculo, vol. 2, Capıtulo 14.

R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, Calculo, vol. 2, Capıtulo 14.

G.B. Thomas, Jr., Calculo, varias variables, Secciones 16..4, 16.7 y 16.8.

Vıdeos de planımetros:

https://www.youtube.com/watch?v=XQXO6edF6sA (construido por Johann Martin Hermann en 1814)

https://www.youtube.com/watch?v= W35iDhRfZg (construido por Heinrich Rudolf Ernst en 1834)

http://www.youtube.com/watch?v=QA8mOW7fvio

http://www.youtube.com/watch?v=WHpiAKMe3MA

http://www.youtube.com/watch?v=7R07IWiXV1g

http://www.youtube.com/watch?v=pvGuGaImTek

LECCION 8. LOS TEOREMAS INTEGRALES · 106 Matematicas III (GITI, 2016{2017) Teorema de Green para...

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