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Leccion 7. Determinantes

Cuerpo Academico de Algebra Lineal

Universidad Autonoma de Yucatan

Merida, Yucatan, Mexico

Determinantes Regla de Sarrus Ejercicios

Indice

1 Determinantes

2 Regla de Sarrus

3 Ejercicios

Cuerpo Academico de Algebra Lineal Universidad Autonoma de Yucatan



En esta seccion se estudiara la funcion determinante, que es unafuncion que asocia un numero real con una matriz. El trabajo quese efectuara sobre funciones determinantes tendra importantesaplicaciones en la teorıa de sistemas de ecuaciones lineales ytambien conducira a una formula explıcita para calcular la inversade una matriz invertible.




DeterminantesSea A = [a11] una matriz cuadrada de orden 1. Se define eldeterminante de A, denotado por det(A) o |A| , como

det (A) = |A| = a11.

Ejemplo

Si A = [6], entonces det(A) = |A| = 6.

Si B = [−2], entonces det(B) = |B| = −2.




Determinante de 2× 2

Sea A =

[a11 a12a21 a22

]una matriz cuadrada de orden 2. Se define el

determinante de A por

det(A) = a11a22 − a12a21

Ejemplo

Sea

A =

[2 13 −4

]entonces

det(A) = (2)(−4)− (1)(3) = −8− 3 = −11.




ObservacionCon frecuencia se denotara det(A) por

|A|, o bien

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣No hay que confundir esta notacion con las barras de valorabsoluto. |A| denota det(A) si A es una matriz cuadrada.




El determinante de una matriz de n× n se definira de manerainductiva. En otras palabras, se usara lo que se sabe sobre undeterminante de 2× 2 para definir un determinante de 3× 3, que asu vez se usara para definir un determinante de orden 4× 4, y asısucesivamente.




Determinante de 3× 3Sea

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

una matriz cuadrada de orden 3. Entonces

|A| = a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣




Ejemplo

Si

A =

3 5 24 2 3−1 2 4

entonces

|A| =

∣∣∣∣∣∣3 5 24 2 3−1 2 4

∣∣∣∣∣∣= 3

∣∣∣∣2 32 4

∣∣∣∣− 5∣∣∣∣ 4 3−1 4

∣∣∣∣+ 2∣∣∣∣ 4 2−1 2

∣∣∣∣= (3) (2)− (5) (19) + (2) (10)= −69




Cofactores

Sea A una matriz de n× n. El cofactor ij de A, denotado por Cij,se define como

Cij = (−1)i+j ∣∣Mij∣∣

donde Mij es la matriz de (n− 1)× (n− 1) que resulta al eliminarla fila i y la columna j de A.

ObservacionLa matriz Mij, que resulta de eliminar la i-esima fila y la j-esimacolumna de A, se le llama menor ij de A.




Ejemplo

Si A es una matriz de 3× 3, entonces el menor M21 de A seobtiene al eliminar la segunda fila y la primera columna de A. Enotras palabras, la matriz M21 se obtiene al eliminar la fila y lacolumna a la cual pertenece el elemento a21

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=⇒ M21 =

[a12 a13a32 a33

]

El cofactor C21 de A esta dado por

C21 = (−1)2+1|M21| = −det(M21)




Ejemplo

Si A es una matriz de 3× 3, entonces el menor M22 de A seobtiene al eliminar la fila y la columna a la cual pertenece elelemento a22

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=⇒ M22 =

[a11 a13a31 a33

]

El cofactor C22 de A esta dado por

C22 = (−1)2+2|M22| = det(M22)




DeterminanteSea A una matriz cuadrada de orden n. El determinante de A,denotado por |A| o det (A) , se define como

det (A) = |A| =n

∑k=1

a1kC1k

= a11C11 + a12C12 + · · ·+ a1nC1n

El lado derecho de esta igualdad se llama expansion por cofactores.




Ejemplo

Sea A =

0 2 13 −1 24 0 1

, entonces el determinante de A esta dado

por:

det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13

= (0)(−1)1+1|M11|+ (2)(−1)1+2|M12|+ (1)(−1)1+3|M13|

= 0∣∣∣∣−1 2

0 1

∣∣∣∣− 2∣∣∣∣3 24 1

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣3 −14 0

∣∣∣∣= 0(−1)− 2(3− 8) + (0 + 4)

= 14.




Ejemplo

Sea

A =

1 3 5 20 −1 3 42 1 9 63 2 4 8

Calcula det (A).

Solucion.

det(A) = 160.




ObservacionLa expansion por cofactores se puede aplicar a cualquier fila,incluso a cualquier columna de A y se obtiene el mismo valor paradet(A).




Ejemplo

Sea A =

1 3 5 20 −1 3 42 1 9 63 2 4 8

, entonces el determinante de A esta dado por,

|A| = a11C11 + a21C21 + a31C31 + a41C41

= (1)(−1)2|M11|+ (0)(−1)3|M21|+ (2)(−1)4|M31|+ (3)(−1)5|M41|

= 1

∣∣∣∣∣∣−1 3 41 9 62 4 8

∣∣∣∣∣∣− 0

∣∣∣∣∣∣3 5 21 9 62 4 8

∣∣∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣∣∣3 5 2−1 3 42 4 8

∣∣∣∣∣∣− 3

∣∣∣∣∣∣3 5 2−1 3 41 9 6

∣∣∣∣∣∣= 1

{−1∣∣∣∣9 64 8

∣∣∣∣− 3∣∣∣∣1 62 8

∣∣∣∣+ 4∣∣∣∣1 92 4

∣∣∣∣}− 0

+2

{3∣∣∣∣3 44 8

∣∣∣∣− 5∣∣∣∣−1 4

2 8

∣∣∣∣+ 2∣∣∣∣−1 3

2 4

∣∣∣∣}− 3

{3∣∣∣∣3 49 6

∣∣∣∣− 5∣∣∣∣−1 4

1 6

∣∣∣∣+ 2∣∣∣∣−1 3

1 9

∣∣∣∣}= 1 {(−48)− 3(−4) + 4(−14)}+ 2 {3(8)− 5(−16) + 2(−10)}−3 {3(−18)− 5(−10) + 2(−12)} = −92 + 2(84)− 3(−28) = 160.




Existen algunas matrices para las cuales es muy sencillo calcular losdeterminantes.




Determinante de una matriz triangular

Sea A = (aij) una matriz de n× n triangular superior o inferior.Entonces

det(A) = a11a22a33 · · · ann




EjemploSean

A =

2 1 70 2 −50 0 1

B =

−2 3 0 10 0 2 40 0 1 30 0 0 −2

C =

[0 01 0

]

D =

5 0 02 3 0−1 2 4

E =

2 0 00 −7 00 0 −4

Entonces

det(A) = 2 · 2 · 1 = 4, det(B) = (−2)(0)(1)(−2) = 0det(C) = 0 det(D) = 60,det(E) = 56.




Indice

1 Determinantes

2 Regla de Sarrus

3 Ejercicios




Sea A = (aij) una matriz de 3× 3, existe otro metodo con el quese puede calcular el determinante de A, la regla de Sarrus.

Se escribe A y se escriben de nuevo los primeros dos renglones deA como se muestra: a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 a12 a13a21 a22 a23




El determinante de A se calcula sumando los productos de loselementos indicados por las flechas azules y restando del resultadola suma de los productos de los elementos indicados por las lıneasnegras

a11 a12 a13↘ �

a21 a22 a23

��↘ ��↘a31 a32 a33

��↘ ��↘

a11 a12 a13

� ↘a21 a22 a23

Esto es,

det(A) = {a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23}− {a21a12a33 + a11a32a23 + a31a22a13}




Ejemplo

Calcula el determinante de

A =

0 2 13 −1 24 −4 1




Solucion.Se escribe la matriz A y sus dos primeros renglones:

0 2 1↘ �

3 −1 2

��↘ ��↘4 −4 1

��↘ ��↘

0 2 1

� ↘3 −1 2

Se realiza la suma de los productos como se observa:

det(A) = {(0)(−1)(1) + (3)(−4)(1) + (4)(2)(2)}− {(3)(2)(1) + (0)(−4)(2) + (4)(−1)(1)}

= 2.




Ejemplo

La regla de Sarrus no funciona para el calculo de determinantes dematrices de n× n si n > 3.




Indice

1 Determinantes

2 Regla de Sarrus

3 Ejercicios




Ejercicios VII.1

Calcula el determinante de cada matriz.

(a) A =

1 0 30 1 42 1 0

(b) B =

−1 1 02 1 41 5 6

(c) C =

−1 1− i 0−3 0 1 + i

i −5 −2

(d) D =

2 0 3 10 1 4 20 0 1 51 2 3 0

(e) E =

2 3 −1 4 50 1 7 8 20 0 4 −1 50 0 0 −2 80 0 0 0 6



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