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CONTENIDOINDICE34

Lección 5

Prisma, cilindro y cono

Anselmo necesita elaborar una pieza de madera maciza que tieneuna forma como esta:

¿Cuánto mide el ancho de la pieza? cm

¿Cuánto mide el largo de la pieza? cm

¿Cuánto mide la altura de la pieza? cm

La pieza que Anselmo elaborará tiene forma de .

Anselmo necesita calcular la cantidad de madera que utilizará enla elaboración de esa pieza. Por lo tanto, necesita calcular elvolumen de un cubo que mide 3 cm por lado.

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CONTENIDOINDICE34

Anselmo utiliza los dados de madera de 1cm3 para tener unobjeto semejante al cubo que debe elaborar:

Recuerde que un cubo que mide 1cm por cada lado se llamacentímetro cúbico, que se escribe 1cm3.

Para el largo del objeto usó 3 dados.

largo 3 dados

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CONTENIDOINDICE34

Para formar la base del cubonecesita tres hileras con 3 dadoscada una, en total 9 dados.

largo y ancho 3 hilerascon 3 dados

3 hileras con 3 dados 9 dados

base 9 dados

Después coloca 9 dados yfinalmente otros 9 dados.En total, 27 dados.

altura 3 pisos con 9 dados

Anselmo razonó así:

Si un dado ocupa un volumen de 1cm3

1 dado = 1 cm3 de volumen

27 dados = 27 cm3 de volumen

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¿Cuántos dados se utilizaron para conformar un objeta similar alcubo de madera que Anselmo debe elaborar?

¿ Cuantos centímetros cúbicos hay en el objeto? cm3

¿Cuál es el volumen del objeto que formo Anselmo? cm3

Observe que el volumen del cubo de madera que Anselmo debeelaborar será igual al volumen del objeto que formo con losdados.

El volumen del cubo de madera que Anselmo elaborara escm3

Volumen: 27 cm3 Volumen: 27 cm3

Existe un procedimiento paracalcular el volumen de cualquiercubo.

Se multiplica la medida dellargo por el ancho.

3 cm largo x 3 cm ancho 9 cm2

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CONTENIDOINDICE34

Y el producto se multiplica porla altura.

9 cm2 largo x ancho x 3 cm altura

27 cm3

El volumen del cubo es: cm 3

Para calcular el volumen de un cubo se multiplica el largo por elancho por la altura.

Area del cubo = largo x ancho x altura

Otra de las piezas de madera que elabora Anselmo tiene lassiguientes medidas:

¿Cuánto mide el ancho de la pieza? cm

¿Cuánto mide el largo de la pieza? cm

¿Cuánto mide la altura de la pieza? cm

largo

ancho

altura

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Observe nuevamente el objeto.

¿Cuántas superficies tiene el objeto? superficies.

¿Son iguales las 6 superficies?

Fíjese que en la superficie que corresponde a la base del objeto,tiene forma de rectángulo.

Los cuerpos como el anterior y cuya base es de forma rectangularse llaman prismas rectangulares.

¿Qué cantidad de madera necesitara Anselmo para fabricar unapieza de madera de la forma y dimensiones anteriores?

Anselmo necesita calcular el volumen del prisma rectangular quemide 3 cm de ancho, 5 cm de largo y 4 cm de altura.

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CONTENIDOINDICE34

Nuevamente, Anselmo utiliza los dados de madera para construirun objeto similar a la pieza que debe elaborar.

Para construir el objeto Anselmo utilizo 5 x 3 = 15 dados paracada uno de los niveles = 60 dados.

¿Cuántos centímetros cúbicos utilizó para formar el objeto?cm3

¿Cuál es el volumen del objeto que formó Anselmo? cm3

El volumen del prisma rectangular es cm3

Volumen: cm3 Volumen: cm3

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CONTENIDOINDICE34

Para calcular el volumen de un prisma rectangular se procedeigual que para calcular el área de un cubo.

Se multiplica el largo por el ancho

5 cm largox 3 cm ancho15 cm2 área de la base

Y el producto se multiplica porla altura:

15 cm2 área de la base x 4 cm altura

60 cm3 volumen del prisma

El volumen del prisma es: cm3

Para calcular el volumen de un prisma rectangular se multiplica ellargo x el ancho x la altura.

Área del prisma rectangular = largo x ancho x altura.

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CONTENIDOINDICE34

Calcule el volumen de los siguientes objetos.

Volumen = largo X ancho X altura Volumen = 2 x 2 x 1.5 Volumen = 4 x 1.5 Volumen = 6.0 porque

El volumen es cm3

Volumen = largo X ancho X altura

= X X 1.5

= X 1.5

porque

= X 1.5

porque

X 1.5

El volumen es cm3

4 X 1 . 5 2 0 4 6 . 0

2 m

2 m 1.5 m

1.5 m

1.5 m

1.5 m

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CONTENIDOINDICE34

Volumen = largo x ancho x altura = 3 x x = 7 =

El volumen es cm3

Observe los siguientes objetos. Hay muchos objetos con formasparecidas a ellos, seguramente usted utiliza algunos para guardarsemillas, especies, agua, harinas, etc.

frasco recipiente

Fíjese que la base de esos objetos tiene forma de círculo.

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CONTENIDOINDICE34

Observe que si se pudiera colocar un círculo encima de otro hastauna altura determinada se formaría ese objeto.

El cilindro es un cuerpo geométrico cuya base es un circulo.

Para calcular el volumen de un cilindro, es necesario considerar elárea de su base y su altura.Como la base del cilindro es un círculo, el área de la base secalcula así:

Area del círculo = ππ x radio x radio

Por lo tanto, el volumen del cilindro se calcula así:

Volumen = área del círculo x altura

Volumen = ππ x radio x radio x altura

Recuerda que el valor aproximado de π; es π = 3.14

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CONTENIDOINDICE34

El volumen del siguiente cilindro, se calcula así:

Volumen = área del círculo x altura

= π π x radio x radio altura

= 3.14 x 1 cm x 1 cm x 4 cm

porque 1 cm

X 1 cm 1 cm

= 3.14 x 1 cm2 4 cm

porque 3.14

x 1 cm2

= 3.14 cm2 x 4 cm 3.14 cm2

= 12.56 cm3 porque 3.14 cm2

x 4 cm 12.56 cm3

Calcule el volumen del siguiente cilindro:

Volumen = 3.14 X X X

= 3.14 X 64 cm2 X 2 cm

Porque cm X cm

cm2

4 cm

1 cm

8 cm

2 cm

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CONTENIDOINDICE34

= 200.96 cm2 x 2 cm

porque X cm2

cm2

= porque cm2

X cm cm3

Mida el largo y el radio de la base del siguiente cilindro ycalcule su volumen.

Volumen = 3.14 X X X= 3.14 X X

porque

cm2

= X porque X

cm2

= porque X cm3

largo

radio

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Observe usted los cuerpos siguientes.

Los cuerpos anteriores se pueden representar por medio de lasfiguras siguientes.

Los cuerpos geométricos que tienen la forma anterior reciben elnombre de conos.

Observe usted los siguientes conos. La altura de los tres conos esigual.

¿Cuál cono tiene mayor volumen?

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Seguramente usted anotó el cono indicado con la letra C porquesu base es mayor.

Ahora observe estos conos. Los tres conos tienen la mismasuperficie en su base; pero la altura es diferente.

¿Cuál cono tiene mayor volumen?

El cono D tiene mayor volumen.

El volumen del cono depende del tamaño de su base y de sualtura.

Observe las siguientes figuras:

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CONTENIDOINDICE34

La figura A es un cilindro. La figura B representa un cono. La basedel cilindro y del cono son de igual superficie. ¿Cuántas vecescabe el cono en el cilindro? Para que pueda responder estapregunta realice la siguiente actividad.

Consiga un bote o frasco quetenga la forma de un cilindro.

Mida con una regla el diámetrode la base y la altura delfrasco o cilindro.

Consiga una hoja de papelperiódico o de otro papelgrueso.

Doble la hoja hasta formar uncucurucho o cono.

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Asegúrese de que la base y laaltura del cono midan igualque la base y la altura delcilindro.

Llene con arena el cilindro.

Vacíe la arena del cilindro alcono y después deposite laarena en una mesa. Efectúeeste procedimiento hastavaciar totalmente la arena delcilindro.

¿Cuántas veces llenó de arena el cono con el contenido delcilindro?

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Con el contenido de un cilindro se llena aproximadamente 3veces un cono cuya base y altura sea igual al cilindro.

Esto significa que si un cilindro contiene tres veces el volumen deun cono, entonces un cono tiene un tercio del volumen de uncilindro.

Por lo tanto, para calcular el volumen de un cono, se procede así:

Volumen del cono = volumen del cilindro ÷ ÷ 3

es decir:

Volumen del cono = π π x radio x radio x altura ÷ ÷ 3

Calcule el volumen de los siguientes conos:

Volumen = π π x radio x radio x altura ÷ ÷ 3

= 3.14 x 5 cm x 5 cm x 8 cm ÷÷3

= 15.70 cm x 5 cm x 8 cm ÷ ÷ 3

porque

= 78.50 cm2 x 8 cm ÷ ÷ 3

porque

5 cm

8 cm

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CONTENIDOINDICE34

= ÷ ÷ 3

porque

= cm3

porque

El volumen es cm3

Calcule usted el volumen de un silo para almacenar trigo quemide 3 m de radio y 10 m de altura.

cm3

209.33

78.50 cm2 X 8 cm 628.00 cm3

209.33 3 628.00 028 1 0 10 1

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Calcule el volumen de un cono cuyo radio mide 6 cm y 12cmde altura.

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Compruebe su avance

Ejercicio 1

1. Calcule el volumen de los siguientes prismas.

Prisma 1 Prisma 2 Prisma 3 Prisma 4 Prisma 5 Largo 2 cm 3.5 cm 8.7 cm 2.20 m 0.5 dm Ancho 5 cm 3 cm 3.4 cm 3.1 m 3.2 dm Alto 7 cm 7.2 cm 5.7 cm 7.3 m 4.3 dmVolumen

Ejercicio 2

1. Genoveva mandó construir una pileta para almacenar agua enforma de prisma rectangular. Las medidas son: largo 1.5m,altura 1m, y 2m de ancho, ¿cuántos metros cúbicos de agua lecaben? ¿cuántos litros?

m 3 litros.

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2. Calcule el volumen de los siguientes cilindros.

Cilindro 1 Cilindro 2 Cilindro 3 Cilindro 4 Cilindro 5Radio 7 cm 5.2 cm 2.17 mDiámetro 9 dm .4 mAltura 8 cm 10 cm 20 dm 3 m 4.1 mVolumen

Ejercicio 3

1. Manuel va a llenar con agua un deposito que tiene formacilíndrica. Si mide .50m de radio y 1.10 m de altura, ¿cuántoslitros de agua le cabrán?

litros de agua.

2. Calcule el volumen de los siguientes conos.

Radio 8 cm 3.2 cm 9.1 dm 1.1 m 2 mAltura 7 cm 7 cm 25 dm 1.7 m 5.3 mVolumen

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Confronte sus resultados.

Ejercicio 1

1. Prisma 1 Prisma 2 Prisma 3 Prisma 4 Prisma 5Volumen 70 75.6 168.606 49.7860 6.880

Ejercicio 2 1.3 m3 3 000 litros.2.Radio 7 cm 5.2 cm 4.5 dm 2.17 m .2 mDiámetro 14 cm 10.4 cm 9 dm 4.34 m .4 mAltura 8 cm 10 cm 20 dm 3 m 4.1 mVolumen 1230.88 849.056 1271.7 44.3578 0.5149Ejercicio 3

1. Le caben 863.5 litros.

2.

Radio 8 cm 3.2 cm 9.1 dm 1.1 m .2 mAltura 7 cm 7 cm 25 dm 1.7 m 5.3 mVolumen 468.9 75.0250 2166.8616 2.15299 2218.9333

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