LECCIÓN 37

EL TEOREMA DE

PITÁGORAS

Un triángulo

recto es un

triángulo que

contiene un

ángulo recto.

(un ángulo de 90°).

El Teorema de Pitágoras es una teoría

acerca de los ángulos rectos que fue

descubierta alrededor de 2, 500 años atrás

por un matemático griego llamado

Pitágoras. Esta teoría se llama Teorema

porque Pitágoras pudo probar que es

cierto para todos los triángulos rectos sin

ninguna excepción.

Antes de ver el teorema

necesitamos aprender que son hipotenusa

(que palabras tan raras) y los catetos de

un triángulo recto.

Hipotenusa

Catetos

Los catetos son los lados que forman el

ángulo recto. La hipotenusa es el lado

opuesto o que esta frente al ángulo recto.

Ya que el ángulo recto siempre es el más

grande de cualquier triángulo, la

hipotenusa es siempre el lado más largo

del mismo triángulo recto.

Ahora veamos lo que dice el Teorema de

Pitágoras. Suponga que a y b

representan el largo de los catetos y c

por la medida de la hipotenusa en un

triángulo recto.

Por lo tanto a, b, y c le dirán a usted

cuantas unidades se obtiene al medir los

lados del triángulo.

El teorema de Pitágoras dice que si usted

eleva al cuadrado los catetos, luego la

suma de esos cuadrados es igual al

cuadrado de la hipotenusa.

a c

b

Teorema de Pitágoras:

a² + b² = c²

Ahora vea esto:

a = 3 c = 5

b = 4

El triángulo recto tiene catetos que miden

3 unidades y 4 unidades. La

hipotenusa mide 5 unidades. Será cierto

que a² + b² = c² ?

a² + b² c²

3² + 4² 5²

9 + 16 25

Como lo ve 9 + 16 suma 25

5² es igual a 5 * 5 = 25 también.

La cuestión sorprendente del Teorema de

Pitágoras es que esto es cierto para

TODOS los triángulos rectos. Usted

necesita memorizar la formula para no

tener inconvenientes al resolver estos

problemas.

( a² + b² = c² )

Asegúrese de entender correctamente que

significa esta formula.

Definiciones:

Triángulo recto: Un triángulo que tiene

un ángulo recto.

Teorema de Pitágoras: El hecho es que

en cualquier triángulo recto, la suma de

los cuadrados de sus catetos es igual al

cuadrado de la hipotenusa.

Cateto. En un triángulo recto, uno de los

lados que forman el ángulo recto.

Hipotenusa. El lado opuesto al ángulo

recto en un triángulo recto. Ya que está

opueto al ángulo más grande, la

hipotenusa es el lado más largo del

triángulo.

No se confunda con las palabras

triángulo recto y ángulo recto.

Triángulo es toda la figura, el ángulo es

una parte del triángulo.

Una cosa más, si usted conoce las

medidas de los catetos puede averiguar la

medida de la hipotenusa.

D

9cm

C 12cm E

En el triángulo CDE, el cateto CE mide

12 centímetros, y el cateto CD mide 9

centímetros. Usando la formula

encuentre la medida de la hipotenusa.

( a² + b² = c² )

1) Sustituya la formula con la

información.

9² + 12² = c²

2) Efectúe la operación.

(81 + 144 = 225) = c²

3) Ahora encuentre la raíz

cuadrada de 225.

4) 15 X 15 = 225

5) 15²

6) Respuesta. La hipotenusa

mide 15 cm.

Si usted conoce la medida de un cateto y

de la hipotenusa usted puede averiguar la

medida del otro cateto.

10 26

b = ?

Sustituya la formula por las cifras que ya

conoce.

10² + b² = 26²

Efectúe las operaciones que pueda.

100 + b² = 676

Use la lógica para averiguar a que

equivale b² ?

Ya que usted debe sumar 100 + b² para

obtener 676 por lo tanto b² tiene que ser

676 – 100 = 576. b² es igual a 576.

Ahora encuentre la raíz cuadrada de 576.

24 X 24 = 576

El otro cateto mide 24 unidades.

Hágalo usted

El diagrama muestra una vista del techo

de una casa.

B Hipotenusa

A D C

AC = 8 yardas y BD = 3 yardas. Si

BAD es congruente a BCD, cual es el

largo de BC?

Antes de empezar a trabajar en esta

pregunta, se cuestionó usted mismo la

razón del porque le dijeron que ambos

ángulos son congruentes?

Si los triángulos son los mismos, los dos

ángulos D son iguales. Por lo tanto

deben medir en grados 90°. ADC

es un ángulo llano que mide 180°.

También AD = CD, de esta forma DC es

la mitad de 8, que es 4. Ahora usted

tiene un triángulo recto con dos catetos de

3 y 4 yardas. Ahora necesita averiguar la

hipotenusa. Usando la formula usted

obtiene que 3² + 4² = 25

El largo de BC es de 25 yardas.

Si tiene problemas comprendiendo esta

sección recuerde que el triángulo se

puede ver de la siguiente forma también:

EJERCICIO G16

Para las figuras 1, 2 y 3 sustituya las

formula con las letras.

Encuentre la medida que falta en cada

una de las siguientes figuras.

EJERCICIO G 17

1) Un triángulo recto tiene una

hipotenusa de 25 pulgadas y un

cateto de 24 pulgadas. ¿Cuál

es la medida del otro cateto?

1) 7 2) 17 3) 19

2) Un hombre dejo su campo y

camino 6 millas al norte y

luego 8 millas al este. ¿Qué

tan lejos está el de su campo en

millas?

1) 14 2) 10 3) 9

CHEQUEE SUS RESPUESTAS BAJO

ESTE PARRAFO, SI OBTUVO

AMBAS CORRECTAS PUEDE

CONTINUAR CON LA SIGUIENTE

LECCIÓN SI FALLÓ EN UNA AL

MENOS REPITA LA LECCIÓN. NO

SE ENGAÑE USTED MISMO.

RESPUESTAS:

1) 1

2) 2

LECCIÓN 38

CIRCULOS

Dejemos los polígonos fuera por un

tiempo. Los polígonos son figuras

cerradas que tienen lados rectos. Otras

figuras tienen lados curvos, de estos los

más comunes son los círculos.

Antes de trabajar con ellos debemos

aprender las partes que los describen.

Definiciones:

Circulo: Una curva cerrada en la que

todos los puntos estan a la misma

distancia del centro.

Circulo:

Centro

Circunferencia. El perímetro o la

distancia alrededor de un circulo.

Radio. Un segmento de linea que

conecta el centro de un circulo a cualquier

punto del circulo.

Diámetro: Un segmento de línea que

conecta dos puntos en un circulo y pasa a

través del centro del circulo. Un diámetro

es dos veces el largo del radio. Un

diámetro es el segmento más largo que

conecta dos puntos en un circulo.

Circunferencia de un Círculo.

Para un polígono usted encuentra el

perímetro sumando las medidas de sus

lados. Para un circulo no hay lados que

sumar. Necesita un método diferente para

hallar el perímetro o circunferencia de un

circulo.

Para hacerlo solamente multiplique el

largo del diámetro por un número

especial llamado pi . Para todas las

preguntas en este libro usted debe usar la

cantidad 3.14 a menos que se le indique

lo contrario.

Pi es el nombre de una letra griega que se

escribe π .

La circunferencia C de un circulo es la

multiplicación de su diámetro por π.

Este número griego equivale a 3.14 es

todo lo que vamos a decir de esta letrita

griega para no confundirlo.

Ejemplo:

Una pista circular tiene 14 metros

de diámetro. ¿Cuál es su circunferencia?

Utilice la formula:

C = πd

Sustituya la información que ya conoce:

C = 3.14 X 14

Efectuada la operación obtiene 43.96 .

La circunferencia o el perímetro de la

pista es 43.96 metros.

2) Encuentre el diámetro en pulgadas

de un disco de metal que tiene 88

pulgadas de circunferencia.

Formula:

C = π d

Sustituya la información que tiene

88 = 3.14 x d

La formula dice que 3.14 multiplicado

por el diámetro es 88. Para encontrar el

diámetro usted debe dividir

88 ÷ 3.14 = 28

El diámetro del disco de metal es de 28

pulgadas. Recuerde entonces que para

hallar el diámetro de un circulo divida la

circunferencia o perímetro por π.

_________________________________

HÁGALO USTED

Algunas veces se le da el radio en lugar

del diámetro. Para hallar el diámetro

simplemente doble el radio o

multiplíquelo por dos.

Encontrar la circunferencia de un circulo

con un radio de 3 pulgadas.

3 x 2 = 6 (diámetro)

6 * 3.14 = 18.84 pulgadas de

circunferencia.

Otras veces se le pide el radio y solo se le

da la circunferencia. En estos casos

divida la circunferencia por π y luego

hallado el diámetro vuelva a dividir por

dos para dar el radio.

Recuerde que el radio es la mitad del

diámetro.

Encuentre el radio de un circulo con una

circunferencia d e 44 pulgadas.

44 ÷ 3.14 = 14

14 ÷ 2 = 7

El radio es de 7 pulgadas.

Ejercicio G17

Encuentre la circunferencia de los

siguientes círculos:

1) Diámetro de 5 pies.

2) Radio de 2.5 pulgadas.

3) Diámetro de 10 metros.

4) Radio de 6 cm.

5) Diámetro de 6 cm.

6) Radio de 1.3 mm.

Respuestas:

1) 15.7 pies.

2) 15.7 pulgadas.

3) 31.4 metros.

4) 37.68 cm.

5) 18.84 cm.

6) 8.164 mm.

AREA DE UN CIRCULO

Sabe como encontrar el área de un

rectángulo, un cuadrado y un triangulo.

El área de un circulo es la cantidad de

espacio adentro de este. Es muy fácil

calcular el área de un circulo si usted

conoce el radio. Use esta formula:

A = π r ²

Ejemplo:

Un circulo tiene 10 pulgadas de radio.

¿Cuál es su área en pulgadas cuadradas?

Paso 1:

Reemplace en la formula los

valores que ya conoce.

A = 3.14 x 10²

A = 3.14 x 100

A = 314

El área del disco es de 314 pulgadas

cuadradas.

También puede usar la formula A = π r²

para encontrar el radio o el diámetro de

un circulo si conoce su área.

Un circulo que tiene un área de 154

pulgadas cuadradas. ¿Cuál es su

diámetro?

1) Escriba la formula, sustituya la

información que ya conoce y

calcule.

A = π r ²

154 = 3.14 * r ²

2) Ya que usted debe multiplicar

r² x 3.14 para obtener 154 por

ley r² debe ser 154 ÷ 3.14

3) Efectúe la operación:

154 ÷ 3.14 = 49

4) Cual es la raíz cuadrada de 49?

El número que multiplicado por

si mismo da 49 es 7.

5) El radio de este circulo es de 7

pulgadas.

6) El diámetro es el doble 14

pulgadas.

Porque el radio no es 49? Recuerde que

la formula dice que el área es igual a π

multiplicado por radio elevado al

cuadrado. No se confunda.

Hágalo usted:

Cinco ruedas, cada una mide 3 pies de

diámetro, las tres deben ser cubiertas con

papel para un desfile. ¿Cuántos pies

cuadrados de papel se necesitan para

cubrir las tres ruedas?

A = π r²

A = π 1.5 (la mitad de 3)

A = π 2.25

A = 3.14 * 2.25

A = 7.065 (7 redondeado)

Ahora multiplique 7 X 5 para hallar el

total de pies cuadrados.

Respuesta:

35 pies cuadrados se necesitan.

EJERCICIO G18

Encuentre el área de cada circulo descrito.

Use 3.14 para π.

1) Radio de 10 pies.

2) Diámetro de 10 pies.

3) Diámetro de 4 metros.

4) Radio de 20 mm.

Respuestas:

1) 314 pies cuadrados.

2) 78.5 pies cuadrados.

3) 12.56 m²

4) 1256mm²

EJERCICIO G19

1) Un circulo de 15 pies de

diámetro. ¿Cuál es el perímetro?

1) 4.71 2) 23.55 3) 47.1

2) Cual es el perímetro en pies de

una piscina circular que tiene un

radio de 12 pies?

1) 75.36 2) 81.46 3) 87.56

3) Un filtro circular de café tiene 22

pulgadas de perímetro. ¿Si el

filtro se doblara a la mitad cual

sería esta medida?

1) 3.5 2) 7 3) 14

4) Una mesa circular tiene 6 pies de

diámetro. ¿Cuál es su área en

pies cuadrados?

1) 9.42 2) 28.26 3) 113.04

5) Álvaro compró una pizza gigante.

Su radio es de 10 pulgadas. Se la

dividió exactamente por la mitad

con un amigo. ¿Cuántas pulgadas

cuadradas de Pizza le tocó a cada

uno?

1)153 2) 155 3)157

CHEQUEE SUS RESPUESTAS BAJO ESTE

PARRAFO, SI OBTUVO TODAS CORRECTAS

PUEDE CONTINUAR CON LA LECCIÓN

SIGUIENTE . SI PERDIO POR LO MENOS UNA

REPITA LA LECCIÓN. ESTE ES UN CURSO AUTO

DIRIGIDO. USTED MISMO SE VIGILA, NO SE

ENGAÑE PORQUE EL OBJETIVO AQUÍ ES

APRENDER NO GANAR UN DIPLOMA.

RESPUESTAS:

1) 3

2) 1

3) 2

4) 2

5) 3