LECCIÓN 3 Propiedades de transporte: ecuación de Boltzmann - LA ECUACIÓN DE BOLTZMANN - LA...
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LECCIÓN 3 LECCIÓN 3 Propiedades de Propiedades de transporte: ecuación transporte: ecuación de Boltzmann de Boltzmann - LA ECUACIÓN DE BOLTZMANN - LA ECUACIÓN DE BOLTZMANN - LA APROXIMACIÓN DEL TIEMPO DE - LA APROXIMACIÓN DEL TIEMPO DE RELAJACIÓN RELAJACIÓN - CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA - CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA - COEFICIENTE DE DIFUSIÓN - COEFICIENTE DE DIFUSIÓN - PODER TERMOELÉCTRICO - PODER TERMOELÉCTRICO - EFECTO HALL - EFECTO HALL
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LECCIÓN 3LECCIÓN 3Propiedades de transporte: Propiedades de transporte:
ecuación de Boltzmannecuación de Boltzmann
- LA ECUACIÓN DE BOLTZMANN- LA ECUACIÓN DE BOLTZMANN- LA APROXIMACIÓN DEL TIEMPO DE - LA APROXIMACIÓN DEL TIEMPO DE
RELAJACIÓNRELAJACIÓN- CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA- CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA- COEFICIENTE DE DIFUSIÓN- COEFICIENTE DE DIFUSIÓN- PODER TERMOELÉCTRICO- PODER TERMOELÉCTRICO- EFECTO HALL- EFECTO HALL
Ecuación de Boltzmann
El electrón se mueve en una banda al azar. Un campo eléctrico lo arrastra en una determinada dirección.t1, t2, … son instantes en los que tiene lugar una colisión.
)( EeFdtkd
ext
Si no existiesen colisiones
Ecuación de Boltzmann
En t = 0 las partículas en una posición r – t vk alcanza la posición r después de t. Este concepto simple es el importante para establecer la ecuación de Boltzmann.
kvtr
Ecuación de Boltzmann
kdvtkrf4
e=trJ
3
),,(),(
kx
x
dkx
dx
t
t+dt Las fuerzas que actúan sobre el sistema son, por una parte los campos externos, que varían de manera suave y dan lugar a variaciones suaves de la posición y velocidad de las partículas y, por otra parte, las fuerzas internas debidas a las perturbaciones de la periodicidad de la red: defectos, impurezas, vibraciones de la red, etc. MECANISMOS DE DISPERSION
kdvtkrf4
e=trJ
3
),,(),(
En equilibrio térmico la probabilidad de que un estado esté ocupado viene dada por f(E). Ahora se trataría de encontrar una ecuación que nos permita calcular como varía la función de distribución en el espacio de las fases debido a los cambios introducidos en r y k por fuerzas externas (campos).
Ecuación de Boltzmann
dttf
tkrfdttkdkrdrfcol
),,(),,(
colkr t
f=f
dtkd
+fdtrd
+tf
colk
extr t
f=f
F+fv+
tf
colkr t
f=fBvE
e+fv
)(
Los cambios debidos a las fuerzas exteriores que varían de manera suave conservarían la densidad de puntos, de acuerdo con el teorema de Liouville. Por tanto, la diferencia de concentración entre t y t + dt solo puede ser debida a los procesos de dispersión debidos a las colisiones
Tiempo de relajación
)k(
)k(f)krf(=)
t
f( 0
col
, Será una función del vector de ondas
del electrón. Para una perturbación estacionaria:
f1(k)
colkr t
f=fBvE
e+fv
)(
Tiempo de relajación
)k(
)k(f)krf(=fBvE
e+fv 0
kr
,
)(
Podemos obtener una solución de primer orden suponiendo que la función de
distribución difiere de la de equilibrio sólo en un término pequeño: f = f0+f1(campos débiles y despreciamos 1ª derivada)
)k(
f=fBvE
e+fv kr
1
00 )(
001 )( fBvEe
+fv)k(f kr
colkr t
f=fBvE
e+fv
)(
)k(
)k(f)krf(=)
t
f( 0
col
, Será una función del vector de ondas
del electrón. Para una perturbación estacionaria:
Tiempo de relajación
f
TE)k(
=T
f
f=
E
f
)e+(1
ekT1
=f
e+1
1=f
0F00
F
0
2kT
E)k(
kTE)k(
0
kTE)k(0 F
F
F
TT
Ek+EEev
f)k(=)k(f r
FFr
01
)(
f
BvEe
+T
fTv+
E
fEv 0
k0
rF
0Fr
001 )( fBvEe
+fv)k(f kr
vk
Tiempo de relajación
Evf
)k(e=)k(f 01
En el caso de que sólo actúe un campo eléctrico sobre el semiconductor:
Se puede demostrar que la función de distribución es igual a la de equilibrio, pero trasladada en la dirección del vector de onda:
Es válido para campos inferiores a 1 kV/cm
kk
k
dvEvf
)k(e4
edvf
4
e
dvkf4
e=J
033
3
0
)(
EdvEvf
)k(e
=J k0
�
34
2
conductividad
Evf
)k(e=)k(f 01
En el caso de que sólo actúe un campo eléctrico sobre el semiconductor:
kji
0ij dvv
f)k(
e=
34
2
dvf
)g(e i0
ii22 )(
En el caso de bandas isótropas (superficies de energía constante esféricas o, lo que es lo mismo, una masa efectiva escalar) y :
*22222
3
2
3
1
mvvvvv xzyx
conductividadTENSOR DE CONDUCTIVIDADES EN UN SEMICONDUCTOR
En este caso,
dfgn 0)(
Donde n es la densidad de electrones,
dfg
df
)g(
m
ne=
0
0*
2
)(
)(
3
2
y la CONDUCTIVIDAD isótropa queda:
conductividad
CASO NO DEGENERADOkT
ff 0 0
en
m
ne
dfgkT
df)g(
m
ne
*
2
0
0
*
2
)()(2
3
)()(
donde se ha definido un promedio del tiempo de relajación ponderado en energía. Como para el modelo de Drude, es posible expresar la conductividad en función de una movilidad electrónica (velocidad para un campo eléctrico unidad).
dfg
df
)g(
m
ne=
0
0*
2
)(
)(
3
2
y la CONDUCTIVIDAD isótropa queda:
*m
e
kTE
f Fexp0
Boltzmann
conductividad
)( F0 E
f
*
2
*
2 )()()(
32
mEne
EgEEme F
FFF
dfg
df
)g(
m
ne=
0
0*
2
)(
)(
3
2
y la CONDUCTIVIDAD isótropa queda:
CASO DEGENERADO
La conductividad en un semiconductor degenerado solo depende del valor del tiempo de relajación para la energía correspondiente a la nivel de Fermi.
F
FF
F
Enkm
Egk
n23*
)(3 222
3
Coeficiente de Difusión
Si suponemos que la concentración de portadores no es homogénea, en ausencia de campos:
Fr0 Ev
f)k(ff
0
kFr
03k3k3D dEv
f)k(v
4
edvf
4
edvkf
4
e=J
0)(
TT
Ek+EEev
f)k(=)k(f r
FFr
01
)(
El flujo de partículas (densidad de corriente de difusión) quedaría:
Si suponemos la inhomogeneidad se da sólo en la dirección x:
dxdE
df
)k(gm
ed
dxdEf
)k(v4
e=J F0
kF0
x3Dx
)(3
2*
2
dx
dE
kT
n
dx
dE
kTeN
dx
dneNn FFkT
EE
CkT
EE
C
FcFc
1
dx
dneD
dx
dn
n
kTd
kT
f)k(g
m
e=JDx
0
* )(3
2
e
kT
m
kTd
kT
f)k(g
mn
kT=D *
0*
)(3
2
relación de Einstein (caso no degenerado)
Coeficiente de Difusión
Si se trata de un semiconductor no degenerado
dxdE
df
)k(gm
ed
dxdEf
)k(v4
e=J F0
kF0
x3Dx
)(3
2*
2
dxdE
En
dxdn
)EE(m2
3
1=n
F
F
CF2
*e
2
23
2/32/3
dx
dn
n
EdE)k(g
m
eJ F
FDx 3
2)()(
3
2*
e
En
EEgEm
D FFFF 3
232
)()(3
2 2*
Para los semiconductores degenerados el coeficiente de difusión es dependiente de la concentración
Coeficiente de Difusión
dxdE
df
)k(gm
ed
dxdEf
)k(v4
e=J F0
kF0
x3Dx
)(3
2*
2
Si se trata de un semiconductor no degenerado
Poder termoeléctricoSi se establece un gradiente de temperatura en la muestra habrá un mayor flujo de electrones desde la zona caliente hacia la zona fría, por lo que se produce una acumulación de carga que dará lugar a un campo eléctrico interno.
Respuesta a gradientes de temperatura: fuerza termo-electromotriz
TVTETE
Semiconductor de tipo p
T T+T
+
+
+
+
v vv ++++
----
V V+V
E
Extremo caliente negativo
T T+T
-v vv
----
++++
V V+V
E
Semiconductor de tipo n
-
-
-
Extremo caliente positivo
Poder termoeléctrico
TT
EkEev
f)k(=)k(f r
F01
)(
kr
F03
dTT
EkEev
f)k(v
4
e=J
)(
0)(
kr
F03
dTT
Ekv
f)k(v
4
eE
krF0
3T dTT
Ekv
f)k(v
4
eE
)(1
Si se establece un gradiente de temperatura en la muestra habrá un mayor flujo de electrones desde la zona caliente hacia la zona fría, por lo que se produce una acumulación de carga que dará lugar a un campo eléctrico interno.
La densidad de corriente asociada será:
Si la muestra está en circuito abierto, la corriente debe ser nula:
Lo que implica la aparición de un campo eléctrico proporcional al gradiente de temperatura:
Poder termoeléctrico
dx
dTd
dx
dT
T
Ekf)k(v
4
eE k
F0x3x
)(1 2
El coeficiente de proporcionalidad es el llamado poder termoeléctrico o coeficiente de Seebeck. Para bandas isótropas y tiempos de relajación dependientes de la energía podemos escribir:
depende del signo de los portadores
En semiconductores no degenerados, el primer término depende del mecanismo de dispersión (a través del tiempo de relajación) y es mucho más pequeño que el segundo, por lo que el poder termoeléctrico se puede aproximar a:
n
N
e
k
kT
E
e
k CF ln
En semiconductores degenerados, es fácil ver que se anula, consecuencia de la aproximación de la derivada de f0 a una delta de Dirac. Si se tienen en cuenta términos de orden superior, se obtiene que el poder termoeléctrico es proporcional a la temperatura (anulándose a T=0 K, temperatura a la que es estrictamente válida la aproximación).
df
))g((Tm
eEd
f))g((
Tm
e
dTEf
))g((m
e
0F0
F0
*2
*
*
3
21
3
21
3
21
Efecto Hall
)k(
)k(f)krf(=fBvE
e+fv 0
kr
,
)(
)k(
f=fBv
efE
ekk
1
10 )(
En la aproximación de primer orden no es posible abordar el efecto Hall, por anularse el término en que aparece el campo eléctrico. Entonces, hemos de mantener en la ecuación de Boltzmann la derivada de f1 multiplicando al término del campo magnético. Si nos limitamos a campos eléctricos y magnéticos, sin gradientes de temperatura ni de concentración:
Avf
Eevf
)k(=)k(f 001
11)( f=fBv)k(e
Avf
k0
La solución de primer orden era:
Y sustituyendo:
Cvf
=)k(f 01
Busquemos ahora soluciones del mismo tipo:
Efecto Hall
Cm
fCv
f
Cvf
Cvf
=)k(f
0k
0
k00
kk 1
*2
2
Si sustituimos en la ecuación diferencial, el primer término se anulará al multiplicarlo escalarmente por la fuerza magnética ya que es proporcional a la velocidad, quedándonos:
Cvf
=CBvf
m
)k(eAv
f 000
)(*
11)( f=fBv)k(e
Avf
k0
Cv
f=)k(f 0
1
Cv=CBvm
)k(eAv
)(*
Eliminando la derivada de f0 obtenemos:
Efecto Hall
Cv=vCBAv
Cv=CBvAv
)(
)(
C=CBA
)(
BC=BA
CA
CB=CBBAB )(
BAA=CB
CA=CBAB
CA=CBBAB
)1(
)(
22
22
2
Multiplicando escalarmente y vectorialmente por B
)1( 22B
BAA=C
)1( 22B
BAAv
fCv
f=)k(f 00
1
Ecuación que permite obtener la corriente en presencia de un campo eléctrico y un campo magnético cruzados:
v
Efecto Hall
k
03
dvB
BEEv
f)k(e
4
e=J
)1( 22
Esta expresión para la densidad de corriente permite contemplar todos los casos posibles (semiconductor degenerado o no degenerado, campo débil o intenso, muestra limitada o ilimitada, etc). Si nos limitamos al caso de un semiconductore no degenerado en campo débil (2B2<<1)
BEdfg
kT
dfg)(
m
neE
dfgkT
df)g(
m
neJ
0
02
2*
3
0
0
*
2
)(2
3
)()(
)(2
3
)()(
BEEBEm
eEBE
m
neE
m
neJ H
2
*2
2*
3
*
2
enRH
12
2
Este factor de Hall e similar al del modelo de Drude, salvo un factor que depende de la dependencia en energía del tiempo de relajación. Para dispersión por fonones acústicos, ()=cte -1/2 y dicho factor vale 1.18. Para dispersión por impurezas ionizadas, ()=cte 3/2 y dicho factor vale 1.93.En las otras situaciones (campo intenso, semiconductor degenerado), se puede demostrar que el resultado es idéntico al del modelo de Drude, ya que la dispersión es irrelevante, esto es, todos los electrones que intervienen en el transporte relajan en el mismo tiempo (electrones en el nivel de Fermi), o por que el movimiento electrónico está dominado por el intenso campo magnético.
