Lección 1.9 Inversa De Una Funcion CeL

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INVERSA DE UNA FUNCIÓN UNIDAD I FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES A.PR.11.3.3 J. Pomales CeL

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INVERSA DE UNA

FUNCIÓNUNIDAD I

FUNCIONES Y TRANSFORMACIONESA.PR.11.3.3

J. Pomales CeL

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INTRODUCCIÓN

Como hemos definido en clases pasadas, una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

Pensando en esto, hoy:

Verificaremos si una función es 1-1

Hallaremos su inversa

Utilizaremos la composición de funciones para determinar que dos funciones son inversas.

Utilizar el GeoGebra para trazar y construir la inversa de funciones.

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FUNCIÓN 1-1

FUNCIÓN INYECTIVA

Page 4: Lección 1.9 Inversa De Una Funcion CeL

¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN…

...EN UNA TABLA DE VALORES?

x y

2 4

1 2

0 1

-1 ½

-2 ¼

Aquí es solamente observando el dominio. Será una función si los

valores del dominio no se repiten.No olvides Dominio: x Recorrido: y

Es función

x y

2 -3

1 -1

0 1

-1 3

-2 5Es

función

x y

2 1

1 2

1 3

0 4

-1 5

x y

3 -6

1 2

0 3

-1 2

-3 -6Es

funciónNo es

funciónRepite el dominio

1

1

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¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN…

...EN LOS CONJUNTOS?

Será una función si para cada elemento del dominio existe un solo

elemento en el recorrido.No olvides Dominio: x Recorrido: y

Es funciónPara cada elemento del

dominio hay un elemento en el recorrido.

No es funciónFíjate que un elemento del dominio tiene dos

valores en el recorrido.

0

-22

13

1-2

f (x)0

2

10

-13

2

g (x)

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A B C

¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN…

Si al pasar la línea vertical sobre las gráficas, esta sólo las interseca en un solo punto a la vez podremos

concluir que son funciones.Las gráficas A y C son funciones.

...EN UNA GRÁFICA?

Es función

Es función

No es función

Línea vertical toca en más de 1 punto

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CONTESTA LO SIGUIENTE

Estas gráficas, ¿serán funciones?

Sí, pues cumplen con el análisis de la línea vertical.

¿Recuerdas cómo se llaman cada una de ellas?

Cuadrática(Parábola)

Valor absoluto

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¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN 1-1?

Es la característica de aquellas funciones que poseen un solo valor del dominio para un solo valor del

recorrido. Una sola x para una sola y. De ahí proviene el nombre 1-1.

ES UNA FUNCIÓN INYECTIVA

Si tenemos una tabla de valores de una función podremos decir que es una función inyectiva o 1-1, si no existen

valores repetidos en el recorrido.Pero si lo que tenemos es la gráfica de

una función podremos hacer un análisis con la línea horizontal.

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PRUEBA DE LA LÍNEA HORIZONTAL

Haremos un proceso similar a la línea vertical pero ahora será con la

línea horizontal. Si toda línea horizontal que se dibuje sobre la

gráfica la interseca en no más de un punto, decimos que es función

inyectiva ó 1-1.

PARA SABER SI ES UNA FUNCIÓN 1-1

Es función 1-1No es función 1-1

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FUNCIÓN INVERSA

f -1(x)

Esto NO REPRESENTA

un exponente

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ANALIZA LO SIGUIENTE

Si las siguientes tablas corresponden a dos funciones 1-1

(inyectivas), ¿qué puedes decir con relación a sus dominios y

recorridos?

x y

2 4

1 2

0 1

-1 ½

-2 ¼

x y

4 2

2 1

1 0

½ -1

¼ -2

Los elementos del dominio y recorrido

están intercambiados.

Es decir, la Función B es la inversa de

la A.

Función A Función B

2

1

-1

-2

0

2

1

-1

-2

0

4

2

½

¼

1

4

2

½

¼

1

2

1

-1

-2

0

4

2

½

¼

1

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¿QUÉ IMPORTANCIA TIENE LA FUNCIÓN 1-1?

Si una función es 1-1 entonces tiene función inversa. La función inversa consiste en intercambiar entre sí el conjunto del dominio y el recorrido.

Si una función tiene inversa se puede escribir así:

f -1 ó f -1(x) se lee “inversa de f ”

Halla la inversa de la función, si existe.

1) f(x) = {(1,2), (2, 4), (3, 9)}

Ejemplos:

2) g(x) = {(1,2), (2, 4), (3, 2)}

f -1(x) = {(2,1), (4, 2), (9, 3)}

g(x) no es 1-1, no tiene g-1

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CALCULANDO LA FUNCIÓN INVERSA

Como hemos visto anteriormente, conseguir la función inversa en

funciones definidas por su conjunto de dominio y recorrido es muy fácil. Pero ¿qué hacemos para calcular f -1

si la función está definida por una ecuación?

EN FUNCIONES DEFINIDAS POR ECUACIONES

Método para calcular la inversa de una función:

1. Sustituye f(x) por y.

2. Intercambia entre ellas todas las x y las y.

3. Despeja para y.

4. Sustituye y por f -1(x).

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CALCULANDO LA FUNCIÓN INVERSA

Para comprobar si la función inversa es correcta, solo tienes que hacer la

composición de ambas funciones[ f (x) y f -1(x) ] en cualquier orden.

Si todo está correcto debes obtener la función identidad:

f o f -1 = x y f -1 o f = x

EN FUNCIONES DEFINIDAS POR ECUACIONES

Si dibujamos ambas gráficas podrías observar que f -1 tiene una gráfica que es el reflejo de la función original, a lo largo de la

recta y = x, con el mismo dominio.

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LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA

La gráfica de f -1 es una reflexión de f con respecto a la recta y = x. f -1 es la imagen espejo de f

ESTA IMAGEN FUE CREADA CON GEOGEBRA

En este caso f (x) inicia en (2, 0). Por lo tanto su f -1

tiene que iniciar en ese par ordenado pero invertido (0, 2).

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EJEMPLOS

Halla la inversa de cada función y comprueba:

12)( )1 xxf

211

21

)(

21

12

12

x

x

xf

y

yx

yx

xy

x

x

ffffx

11

1)(2

)( o

21

11

Comprobación

Como la comprobación es la identidad entonces, f -1 es una función inversa de f (x)

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EJEMPLOS

Halla la inversa de cada función y comprueba:

132)( )2

xxxf

x

ffff

xx

x

x

xx

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xxxx

51

15

2)(3)(

11

15

15

12232

13332

1)1(2

132

1)1(3

132

132132

)( o

Comprobación

Existe la identidad entonces, f -1 es una función inversa de f2

31

23

132

1)(32

)(

3)2(

32

32

32)1(

xx

xx

yy

xx

xf

y

xxy

xyxy

yxxy

yyx

x

y

Recuerda en f (x), x ≠ 1

; si x ≠ 2

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EJEMPLOS

Halla la inversa de cada función y comprueba:

1)( )3 xxf

x

x

x

x

ffff

2

2

2

11

11

1)1(

)( o

Comprobación

El resultado fue la identidad por lo tanto, la inversa calculada está correcta.

1)(

1

1

1

1

1

21

2

2

22

xxf

yx

yx

yx

yx

xy

Recuerda en f (x) , x ≥ 1

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REFERENCIAS

PRECÁLCULO. Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas

PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS. Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill

MATEMÁTICA INTEGRADA 3. 2005. Rubenstein, Craine, Butts. McDougal Littell

GEOGEBRA. http://www.geogebra.org/cms/

VÍDEOS

FINDING THE INVERSE OF A FUNCTION.http://es.youtube.com/watch?v=Ec5YYVxyq44

TRAZAR LA FUNCIÓN INVERSA.http://www.youtube.com/watch?v=ZqoB6GLofc0&feature=channel_page

CONSTRUIR LA FUNCIÓN INVERSA.http://www.youtube.com/watch?v=69RnyrST_VM&feature=channel_page

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