UNIDAD IFUNCIONES Y TRANSFORMACIONES

A.PR.11.2.3J. Pomales CeL

SOLUCIÓN REAL O COMPLEJA DE ECUACIONES POLINOMIALES

PARTE 2:SOLUCIONES COMPLEJAS

BREVE HISTORIA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

El gran problema

Por años se trató de resolver este problema. El mismo no tenía solución real hasta que se inventaron un nuevo conjunto de números.

Este conjunto se conoce con el nombre de números complejos y se establece finalmente

en las matemáticas en el siglo XIX.

Veamos un breve resumen de su trayectoria

=−1 ?

Breve historia de los números complejos

FechaAproximada PERSONA EVENTO

50

850

1545

1637

1748

1832

Herón de Alejandría

Mahavira de India

Cardano de Italia

Descartes de Francia

Euler de Suiza

Gauss de Alemania

Primero en encontrar la raíz cuadrada de un número negativo.

Decía que un negativo no tenía raíz cuadrada, ya que no era cuadrado.

Las soluciones de las ecuaciones cúbicas implican raíces cuadradas de números negativos.

Introdujo los términos real e imaginario.

Usó para i 1−

Introdujo el término número complejo.

DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO

bia +Un número complejo es un número de la forma

donde a y b son números reales e i se llama unidad imaginaria.

i es un símbolo usado en este nuevo sistema de números complejos

Forma estándar

CONJUNTO DE NÚMEROS COMPLEJOS

En esta segunda parte trabajaremos con soluciones complejas

NÚMEROS COMPLEJOS

744223 iii −−++

NÚMEROS REALES NÚMEROSIMAGINARIOS PUROS

π340 −)0( =b

72 iii

)0( =a

Nombres de clases particulares de números complejos

Unidad imaginaria

Número complejo

Número imaginario

Número imaginario puro

Número real

Cero

Conjugado de bia +

ibia + a y b son números

reales

bia + b ≠ 0

bibi =+0 b ≠ 0

aia =+ 0000 =+ i

bia −

• De ahora en adelante cuando trabajemos con números complejos

• Puedes usar lo que sabes de la suma de términos semejantes y la multiplicación de binomios para realizar operaciones con números complejos.

UNIDAD IMAGINARIA

01

1

12

>=⋅−=−

−=−=

acuandoaiaa

i

i

EjemplosSimplifica

27)1(2727)3)(9()3

7.5)7.5(33133)2

9981181)1

2 −=−==

≈≈⋅−=−

=⋅=⋅−=−

iii

ii

ii

i

ii

iiii

91

)36()12(

)3)(1())(62()31()62()4

+=++−+=

−+−++=−−+

i

i

i

iii

iiiiii

6836

685620

)1(566820

56284020

87478545)84)(75()52

+−=+−+=

−++=+++=

⋅+⋅+⋅+⋅=++

Ahora ya estamos listos para calcular la solución compleja de una ecuación cuadrática

Resuelve

0523 2 =++ xx

ix

x

x

x

x

x

i

aacb

ab

25.133.

33.

33.

656

656

6604

62

)3(2

)5)(3(4)(2

)3(22

24

2

2

2

±−≈±−≈

±−≈

±−=

±−=

±−=

−

−+

−+

−

ixóix 25.133.25.133. −−≈+−≈La solución esaproximadamente

523 === cba

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