Lección 8: Modelos reticulares

En este caṕıtulo introduciremos un conjunto de modelos que han jugadoun papel muy importante en el desarrollo de la teoŕıa de los cambios defase. La mayoŕıa de estos modelos son versiones muy simplificadas que loshacen poco realistas pero que permiten un desarrollo anaĺıtico tratable, ymás importante, capturan la esencia de lo que ocurre cuando en un sistemareal ocurre un cambio de fase continuo. Aśı muchos resultados importantesasociados a cambios de fase han sido derivados estudiando estos modelos.

Nos vamos a restringir exclusivamente en modelos de cosas que ocurrenen un ret́ıculo de N posiciones. Llamaremos aśı a estos modelos modelosreticulares. El ret́ıculo puede tener dimensión una, dos, tres o en generaldimensión arbitraria d. Suponemos además geometŕıa cúbica de forma quenuestro ret́ıculo es un cubo d-dimensional con L ≡ N 1/d posiciones en cadalado. En cada punto de este ret́ıculo definimos el parámetro de orden φ(x),que puede ser un escalar, un vector, o incluso un tensor, y puede tomarvalores reales o complejos.

El modelo de Ising

Fue inventado por W. Lenz en 1920 como un modelo sencillo de com-portamiento magnético en un ferromagneto, aunque como veremos se puedeaplicar al estudio de una gran variedad de sistemas. Fue resuelto en primerlugar por E. Ising en 1925 quien estudió el caso de dimensión d = 1. En1944, Onsager resolvió el modelo para dimensión d = 2 en ausencia de cam-po magnético externo y mostró que los exponentes cŕıticos del modelo eranmuy diferentes de aquellos que da la teoŕıa de Landau, que hasta aquel mo-mento estaba considerada como correcta. Una solución exacta para d = 2 concampo externo no nulo ha sido encontrada muy recientemente y después demuchos años de esfuerzo no se ha encontrado solución exacta para dimensiónd = 3 incluso en ausencia de campo magnético externo.

La descripción del modelo es sencilla. Consiste de una red cúbica d−dimensionalde forma que en cada posición de la red hay definida una variable de estadosi escalar que puede tomar los valores ±1. El hamiltoniano del sistema es

H(S) = −12

∑

i,j

Jijsisj − B∑

i

si (496)

donde B representa un campo magnético externo, y las interacciones Jij están

107

definidas como

Jij =

J si i y j son vecinos próximos

0 en otro caso(497)

Hay 2N posibles microestados o configuraciones compatibles con el macroes-tado definido por el hamiltoniano H(S). La función de partición del modelose escribe entonces como

Z =∑

{si}

exp

[

β

(

1

2

∑

i,j

Jijsisj +B∑

i

si

)]

(498)

El modelo de Ising aśı representa un conjunto de espines magnéticos interac-cionando entre ellos y que tienden a alinearse de forma parelela o antiparalelaen la dirección de un campo magnético uniforme B. Cuando J > 0 espinesvecinos tratan de alinearse de forma paralela y al mismo tiempo paralela-mente al campo B, luego el modelo representa a un ferromagneto. Si J < 0el estado de mı́nima enerǵıa se obtiene cuando los espines están alineados deforma antiparalela y en este caso el modelo describe un antiferromagneto.

Solución para d = 1. El modelo de Ising en dimensión d = 1 fue resueltode forma exacta por Ising en su tesis y publicado en 1925, utilizandoun método combinatorial. Nosotros vamos a ver aqúı un cálculo de1941 debido a Kramers y Wannier y que posteriormente en 1944 fueextendido por Onsager para resolver el modelo de Ising en d = 2 enausencia de campo magnético externo. Consiste en suponer una cadenaunidimensional de N dipolos si que interacctúan sólo con sus vecinospróximos. Para preservar la simetŕıa se considera la cadena unida porsus extremos formando un anillo. Aśı el dipolo 0 interactúa con el 1y con el N − 1 y consideramos sN = s0. Sea H0(si, si+1) la enerǵıade interacción entre los dipolos i e i + 1(En el caso del modelo deising H0 = −Jsisi+1). Entonces H =

∑

iH0(si, si+1) y la función departición es

Z =∑

{si}

exp

[

−βN−1∑

i=0

H0(si, si+1)

]

=∑

{si}

N−1∏

i=0

exp [−βH0(si, si+1)]

(499)

108

Definiendo la matriz de transferencia

Tµ,ν ≡ exp [−βH0(sµ, sν)] (500)donde sµ significa el valor µ de la variable s. En el caso del modelode Ising cada si tiene dos posibles valores s

±) ± 1, de forma que T esuna matriz 2 × 2. Como H0 es simétrico en sus argumentos T es real,simétrica y con elementos mayores que cero. Podemos entonces ponerZ en términos de T en la forma

Z = Tr TN (501)

Podemos generalizar el resultado anterior al caso en que tenemos ademásen H un término de interacción de los espines con un cambo B externo,aśı ahora el hamiltoniano se puede poner

H = −JN−1∑

i=0

sisi+1 −B

2

N−1∑

i=0

(si + si+1) (502)

y la matriz T sigue siendo simétrica

Tµ,ν ≡ exp[

−βH0(sµ, sν) −1

2β{V (sµ) + V (sν)}

]

(503)

Es facil comprobar que todav́ıa se cumple Z = Tr TN . En el caso deB = 0 la matriz de transferencia es

T =

(

eβJ e−βJ

e−βJ eβJ

)

(504)

En el ĺımite de N grande la traza de la matriz TN se puede calcularfácilmente. La traza es invariante bajo transformaciones ortogonales deT, y puesto que T es simétrica y positiva sus autovalores son reales ypositivos y puede ser diagonalizada por tales transformaciones. En elmarco en que T es digonal, TN también lo es, y sus autovalores son losde T elevado a N. Denotemos los autovalores de T en orden decrecientede magnitud λ0, λ1 entonces:

ĺımN→∞1N

ln(Tr TN ) = ĺımN→∞1N

ln{

λN0

[

1 + (λ1/λ0)N]}

= lnλ0(505)

y se puede ver que λ0 = 2 coshβJ. Entonces la función de partición yel potencial enerǵıa libre es:

Z = 2N coshN (βJ) f = − 1β

ln[2 cosh(βJ)] (506)

109

La enerǵıa interna por esṕın es

u =∂(βf)

∂β= J tanh(βJ) (507)

que es una función suave de β. Luego el sistema no tiene una singular-idad en el calor espećıfico como ocurre en un material ferromagnéticoa la temperatura de Curie.

En presencia de un campo magnético externo B la matriz de transfer-encia es

T =

(

eβ(J+B) e−βJ

e−βJ eβ(J−B)

)

(508)

con

λ0 = eβJ

[

cosh(βB) +

√

cosh2(βB) − (1 − e−4βJ)]

(509)

y ahora la enerǵıa libre por esṕın es:

f = −J − 1β

ln

[

cosh βB +

√

cosh2(βB) − (1 − e−4βJ)]

(510)

La magnetización por esṕın se puede calcular fácilmente y es

m ≡ MN

= 〈si〉 = −(

∂f

∂B

)

T

=sinh βB

√

cosh2 βB − (1 − e−4βJ)

(511)

No importa que valor de β hay, se tiene quem→ 0 cuandoB → 0, luegoel sistema nunca es un ferromagneto. Como consecuencia, el sistema nopresenta un cambio de fase4

Ejercicio: Usando las matrices de transferencia mostrar que la funciónde correlación para el modelo de Ising en d = 1 con B = 0 es:

〈s0sn〉 ≡1

Z

∑

{si}

∏

paresij

s0sneβJsisj = tanhn(βJ) (512)

4Después de este resultado Ising no volvió a publicar ningún art́ıculo.

110

Solución para d = 2. La ventaja del método de las matrices de tranfer-encia es que se puede generalizar fácilmente a dos o más dimensiones.Vamos a considerar el caso de dimensión dos para lo cual consideramosuna red bidimensional (con m filas y n columnas) sobre un cilindro(condiciones de contorno periodicas en columnas pero no en filas). Enestas condiciones la enerǵıa configuracional del sistema de espines es:

H(S) = −Jm−1∑

i=1

n∑

j=1

si,jsi+1,j−Jm∑

i=1

n∑

j=1

si,jsi,j+1−Bm∑

i=1

n∑

j=1

si,j (513)

con sn+1 = s1. Si denotamos por σj la configuración de la columna j,es decir

σj = (s1,j, s2,j , . . . , sm,j) (514)

hay 2m configuraciones posibles para cada columna, entonces se puedeescribir la enerǵıa configuracional como la suma de dos términos, laenerǵıa de interacción de cada columna y la enerǵıa de interacciónentre columnas vecinas próximas. Aśı si definimos

V1(σj) = −Jm−1∑

i=1

si,jsi+1,j − Bm∑

i=1

si,j (515)

la enerǵıa de interacción de la columna j y

V2(σj, σj+1) = −Jm∑

i=1

si,jsi,j+1 (516)

la enerǵıa de interacción entre la columna j y j + 1, podemos escribir(teniendo en cuenta que σn+1 = σ1)

H =n∑

j=1

[V1(σj) + V2(σj, σj+1)] (517)

La función de partición queda entonces como

Zn,m =∑

{s}

exp(−βH(s))

=∑

σ1,...,σn

exp

[(

n∑

j=1

{V1(σj) + V2(σj, σj+1)})]

=∑

σ1,...,σn

T (σ1, σ2)T (σ2, σ3) . . . T (σn−1, σn)T (σn, σ1)

=∑

σ1

T n(σ1, σ1)

(518)

111

donde la matriz de transferencia T (σ, σ′) viene dada por

T (σ, σ′) = exp[−βV1(σ)] exp[−βV2(σ, σ′)]

= exp

(

βJm−1∑

i=1

sisi+1 + βBm∑

i=1

si

)

exp

(

βJm∑

i=1

sis′i

)

(519)que se puede poner en forma simétrica como (Ejercicio)

T (σ, σ′) = exp[−β2V1(σ)] exp[−βV2(σ, σ′)] exp[−

β

2V1(σ

′)]

= exp

(

βJ

2

m−1∑

i=1

sisi+1 +βB

2

m∑

i=1

si

)

exp

(

βJ

m∑

i=1

sis′i

)

× exp(

βJ

2

m−1∑

i=1

s′is′i+1 +

βB

2

m∑

i=1

s′i

)

(520)que es una matriz 2m × 2m. Entonces la función de partición queda:

Zn,m = Tr (T)n =

2m∑

j=1

λnj (521)

donde como antes λ1 > λ2 ≥ . . . ≥ λ2m . Si ahora en el ĺımite ter-modinámico permitimos que n se aproxime a infinito antes que m(aunque no es una condición necesaria) entonces

f = − 1β

ĺımm→∞

ĺımn→∞

1

mnlnZn,m

= ĺımm→∞

1

mlnλ1 + ĺım

m→∞

[

ĺımn→∞

1

mnln

(

1 +2m∑

j=2

(λj/λ1)n

)]

= ĺımm→∞

1

mlnλ1.

(522)aśı el problema se reduce también a encontrar el autovalor más grandede la matriz T, pero mientras que para dimensión d = 1 se trata deuna matriz 2× 2, en dimensión d = 2 hay que diagonalizar una matriz2m × 2m con m→ ∞.El método desarrollado hasta aqúı puede ser generalizado a dimensiónd > 2. Por ejemplo para d = 3 definimos σj la configuración del planobidimensional j y contruimos la red mediante estos planos. V1(σj) rep-resenta ahora la enerǵıa de interacción de un plano y V2(σj, σj+1) la

112

enerǵıa de interacción entre los planos j y j + 1 y aśı sucesivamentepara dimensiones mayores.

Para campo B = 0 el problema bidimensional fue resuelto por Onsageren 1944 en uno de los art́ıculos más celebrados de las últimas décadas.Ha habido muchas simplificaciones de dicha demostración pero inclusola más simple es bastante complicada. No vamos a demostrar explici-tamente la solución de Onsager pero śı vamos a discutir los resultadosmás relevantes que se derivan de su solución.

Usando algebras de Lie y teoŕıa de grupos, Onsager encontró que elautovalor más grande de la matriz de transferencia con B = 0 es:

λ1 = (2 sinh ν)m/2 exp[

1

2(γ1 + . . .+ γ2m−1)], (523)

donde γk se define por la relación

cosh γk = cosh 2νcoth2ν − cos(kπ/m) (524)y ν = βJ. La enerǵıa libre por esṕın es entonces

−βf = 12

ln(2 sinh 2ν) + ĺımm→∞

1

2m

m−1∑

k=0

γ2k+1. (525)

En el ĺımite m→ ∞ la suma en la expresión anterior se puede sustituirpor una integral,

−βf = 12

ln(2 sinh 2ν)+1

2π

∫ π

0

cosh−1(cosh 2ν coth 2ν−cos θ)dθ (526)

y usando la identidad

cosh−1 |z| = 1π

∫ π

0

ln[2(z − cosφ)]dφ (527)

se tiene

−βf = 12

ln(2 sinh 2ν)+1

2ln 2+

1

2π2

π∫∫

0

ln(cosh 2ν coth 2ν−cos θ−cos φ)dθdφ

(528)que da la fórmula simétrica de Onsager:

−βf = ln 2 + 12π2

π∫∫

0

ln[cosh2 2ν − sinh 2ν(cos θ1 + cos θ2)]dθ1dθ2

(529)

113

Podemos calcular la enerǵıa interna por esṕın u

u ≡ UN

=

(

∂βf

∂β

)

= J

(

∂βf

∂ν

)

= −J coth 2ν

×

1 + (sinh2 2ν − 1) 1π2

π∫∫

0

dθ1dθ2

cosh2 2ν − sinh 2ν(cos θ1 + cos θ2)

(530)Aqúı la integral diverge logaŕıtmicamente en el origen (θ1 = θ2 = 0)cuando cosh2 ν = 2 sinh 2ν (Ejercicio: demostrarlo). Hay una singu-laridad, o cambio de fase, por lo tanto cuando

δ ≡ cosh2 2ν − 2 sinh 2ν = 0 (531)

es decir cuando ν = νc = J/kTc solución a la ecuación

sinh 2νc = 1 (532)

Se sigue de esto que la enerǵıa interna u es cont́ınua en ν = νc y queen una vecindad de dicho valor viene dada por (Ejercicio):

u ∼ −J coth 2νc[1 + A(ν − νc) ln |ν − νc|] (533)

con A constante. De este resultado se sigue que el calor espećıfico en lavecindad del punto cŕıtico C = ∂U

∂Tpresenta una divergencia logaŕıtmica

simétrica (C ∼ B ln |ν − νc|) en el punto cŕıtico.Uno puede determinar la enerǵıa interna u de forma exacta calculandode forma exacta la integral obteniendo (Ejercicio)

u = −J coth 2ν[

1 + (2 tanh2 2ν − 1) 2πK(k1)

]

, (534)

donde

k1 =2 sinh 2ν

cosh2 2ν(535)

y K(k1) es la integral completa eĺıptica de primera especie definida por

K(k1) =

∫ π/2

0

(1 − k21 sin2 θ)−1/2dθ (536)

114

de donde el calor espećıfico queda

C =2k

π(ν coth 2ν)2

{

2K(k1) − 2E(k1) − 2(1 − tanh2 2ν)[π

2+ (2 tanh2 2ν − 1)K(k1)

]}

(537)

donde E(k1) es la integral completa eĺıptica de sengunda especie defini-da como

E(k1) =

∫ π/2

0

(1 − k21 sin2 θ)1/2dθ (538)

En la vecindad de k1 = 1 se tiene

K(k1) ∼ ln[4(1 − k21)−1/2] (539)

que da la divergencia logaŕıtmica del calor espećıfico.

En presencia de un campo magnético el modelo de Ising en dimensiónd = 2 sólo ha sido resuelto muy recientemente. No vamos a entrar ensu derivación. Dicha derivación es necesaria para obtener el compor-tamiento de la magnetización expontánea cerca del punto cŕıtico quees

m0 = ĺımB→0+

∂f

∂B(540)

donde ĺımB→0+ se hace después de hacer el ĺımite termodinámico, locual sugiere resolver el modelo de Ising en presencia de campo externono nulo. Métodos alternativos que no vamos a describir sugieren uncomportamiento

m0 =

[1 − (sinh 2ν)−4] T < Tc

0 T ≥ Tc(541)

pero nadie ha probado que esta expresión deriva de la definición de m0.La expresión (541) fue derivada primero por Onsager en la década de los40 pero nunca publicó su derivación. No fue hasta el año 1952 cuandoC.N. Yang publicó una primera derivación de tal expresión trabajandocon campos B débiles y haciendo después el ĺımB→0+ . Tal derivación yotras más recientes son extremadamente complejas, que en vista de lasimplicidad del resultado es a la vez sorprendente y frustrante.

Solución para d = ∞. Teoŕıas de campo medio. Interacción de largoalcance.

115

Versión estocástica del modelo de Ising. Uno puede construir una ver-sión estocástica del modelo de Ising considerando las variables sx sonvariables estocásticas que pueden tener los valores ±1 con igual proba-bilidad. Entonces la configuración de la red de Ising S también es unavariable estocástica de dimensión N que puede tomar 2N posibles con-figuraciones o estados. En estas condiciones nos podemos preguntar porla probabilidad de que la red esté en una de esas configuraciones en uninstante de tiempo t, esto es P (S, t). Si suponemos que la red está encontacto con un baño térmico a temperatura T dicho baño induce cam-bios estocásticos en los espines de tipo espin-flip que no dependen de lahistoria, es decir la evolución en el tiempo de las variables estocásticases un proceso de Markov y P (S, t) cumple la ecuación maestra:

∂P (S, t)

∂t=∑

S′W (S|S′)P (S′, t) −W (S′|S)P (S, t) (542)

donde W (S|S′) es la probabilidad de transición por unidad de tiempode que el sistema pase de S′ a S. Usualmente uno considera que en launidad de tiempo sólo un esṕın cambia de orientación por efecto delbaño. Esto supone considerar que

W (S′|S) =∑

yω(S;y)δsy,−s′y

∏

x6=y

δsx,s′x (543)

donde ω(S;y) es la probabilidad por unidad de tiempo de que el espinen la posición y de la red cambie de orientación, y en general es unafunción definida positiva que depende de la diferencia energética que seproduce en la red cuando el esṕın y cambia de orientación. Con todoesto la ecuación maestra queda en la forma

∂P (S, t)

∂t=∑

xω(Sx;x)P (Sx, t) − ω(S;x)P (S, t) (544)

aqúı Sx es igual a S salvo en la posición x, donde la orientación esla opuesta. Si las ω(S;y) verifican balance detallado la distribuciónestacionaria para P∞(S) es la distribución de Gibbs con el hamiltonianode Ising.

El modelo de gas reticular

El modelo de Ising es matemáticamente equivalente al siguiente modelode gas no-ideal. Consideremos el gas encerrado en un volumen d−dimensional

116

de forma cúbica y lo dividimos en celdas de tamaño justo el tamaño de lasmoléculas individuales. Cada molécula está obligada a ocupar sólo una celday ninguna celda puede contener más de una moécula. Como se trata de ungas no ideal cada moécula atrae a las otras y la enerǵıa del gas es menorcuando las moléculas están en celdas adyacentes que cuando están en celdasaisladas. Esto se traduce en cambiar la enerǵıa del gas en un factor 4J > 0para cada par de moéculas en posiciones adyacentes. Sea ei una variable deestado que es cero si la celda no tiene moléculas y uno en caso contrario.Entonces la enerǵıa de atracción intermolecular queda

2∑

ij

Jijeiej (545)

y la función de partición macrocanónica se escribe:

Ξ =∑

{ei}

exp

(

βµ∑

i

ei + 2β∑

ij

Jijeiej

)

(546)

donde µ es el potencial qúımico del gas. Podemos encontrar la equivalenciacon el modelo de Ising original sin más que hacer el cambio

si = 2ei − 1 (547)

Ejercicio: encontrar la equivalencia entre el modelo de Ising y el modelo degas reticular.

El modelo XY y el modelo de Heisenberg

Los dipolos magnéticos del modelo de Ising solo tienen dos posibles ori-entaciones, en la dirección del campo magnético y en la dirección contrariaal campo magnético. Es lógico pensar que diferentes cambios de fase podŕıanocurrir si los espines tienen una mayor flexibilidad de orientarse. En el casodel modelo XY los espines pueden orientarse en cualquier dirección dentrode un plano. Entonces cada esṕın viene representado por un vector de doscomponentes, mientras que el modelo de Heisenberg está constituido por unconjunto de espines clásicos D-dimensionales5. En estos modelos la enerǵıade interacción entre espines vecinos es −Jsi · sj de forma que la función departición del sistema es

Zheisen =∑

{si}

exp

[

β

(

B ·∑

i

si +1

2

∑

i,j

Jijsi · sj)]

(548)

5Más concretamente el modelo de Heisenberg seŕıa para D = 3.

117

puesto que vectores bidimensionales pueden representarse mediante númeroscomplejos uno puede utilizar en vez del vector s por una variable complejaψ de forma que el término de interacción queda 1

2J(ψ∗i ψj + ψiψ

∗j ).

El modelo de Potts

El modelo de Potts es un modelo de Ising en el que las variables de esṕınq > 2 posibles valores, y tal que la enerǵıa de interacción entre posicionesvecinas es cero si si 6= si+1 y J si si = si+1.

El modelo Gaussiano y esférico

Fueron dos modelos inventados por M. Kac quien pensó que podŕıandar una idea de la solución de Onsager del modelo de Ising. El primero deellos es el modelo Gaussiano que es incapaz de tener un cambio de fase encualquier dimensión. Sin embargo es un modelo ampliamente utilizado pueses el punto de partida de teoŕıas continuas como la teoŕıa de Ginzburg-landauy su aproximaciones perturbativas. El segundo modelo inventado por Kac esel modelo esférico que es uno de los pocos modelos que se pueden resolver endimensión d = 3. Berlin and Kac los resolvieron en (1952) para dimensionesdesde d = 1 hasta d = 3. En 1969 Stanley probó que su función de particiónes la misma que la del modelo de Heisenberg en el ĺımite D → ∞.

La idea de ambos modelos es hacer el modelo de Ising más tratable per-mitiendo que los espines puedan tener cualquier valor real −∞ < s < ∞.Vamos a considerar por tanto que las variables de esṕın se puenden sustituirpor variables continuas reales. En el modelo Gaussiano cada una de estasvariables está asociada con un término de autoenerǵıa 1

2s2i /β, entonces el

hamiltoniano para el modelo Gaussiano es

H =1

2β

∑

i

s2i −1

2

∑

ij

Jijsisj − B∑

i

si (549)

A temperaturas altas el valor mı́nimo de la enerǵıa se obtiene cuando si = 0y el promedio del esṕın cancela 〈s〉 = 0. Sin embargo por debajo de unacierta temperatura los terminos en H proporcionales a J pueden sobrepasarla contribución de la primera suma yH/N puede tan negativa como queramossi permitimos que si crezca sin cota. Entonces a dicha temperatura cŕıticano sólo no se alinean sino que explotan.

El modelo esférico pone un tope sustituyendo el término de autoenerǵıapor la condición

∑

i

s2i = N (550)

118

Esta condición también la satisfacen los espines del modelo de Ising. Lafunción de partición del modelo esférico es

Z =

∫

P

i s2i =N

ds1 . . . dsN exp

[

β

(

B∑

i

si +1

2

∑

ij

Jijsisj

)]

(551)

Por simplicidad consideremos B = 0, entonces la función de partición sepuede poner como

Z =

∫

ds1 . . . dsN exp

[

β1

2

∑

ij

Jijsisj

]

δ

(

∑

i

s2i −N)

=

∫

ds1 . . . dsN exp

[

β1

2

∑

ij

Jijsisj

]

1

2πi

∫ i∞

−i∞

dp′ exp

[

p′

(

N −∑

i

s2i

)]

(552)Las integrales sobre los espines no se pueden realizar pues no son absoluta-mente convergentes6. Sin embargo para cualquier α se tiene:

1

2β∑

ij

Jijsisj = Nα− α∑

i

s2i +1

2β∑

ij

Jijsisj (553)

Para α suficientemente grande la forma cuadrática anterior en si puede serdefinida negativa y entonces las integrales pueden ser absolutamente conver-gente. Entonces

Z =eNα

2πi

∫ α+i∞

α−i∞

dpepN∫

ds1 . . . dsN exp

[

−∑

ij

(

pδij −1

2βJij

)

sisj

]

(554)donde hemos hecho p = p′ + α. Buscamos después un transformacion linealunitaria de variables si tal que en las nuevas variables la matriz J es diagonal.Entonces la integral sobre dichas variables se reduce a un producto de Nintegrales del tipo

∫ ∞

−∞

dxe−cx2

=√

π/c (555)

con c = p + 12βλq y λq es el q-ésimo elemento diagonal de J en el nuevo

sistema de coordenadas. De esta forma Z queda:

Z =πN/2eNα

2πi

∫ α+i∞

α−i∞

dpepN/∏

q

(p+1

2βλq)

1/2

=πN/2eNα

2πi

∫ α+i∞

α−i∞

dp exp

[

pN − 12

∑

q

ln(p+1

2βλq)

] (556)

6∫

∞

0f(x)dx es absolutamente convergente si ĺımX→∞

∫

X

0|f(x)|dx existe.

119

luego podemos reducir las N integrales a una si podemos diagonalizar J.Para ello notamos que los elementos de la matriz de interacción de un sistemainvariante traslacional dependen sólo de la diferencia de indices, esto es Jij =J(i− j). Como cada ı́ndice representa el vector de posición de un nudo de lared entonces:

∑

j

Jijsj =∑

j

J(i − j)sj (557)

que se puede evaluar con ayuda del teorema de la convolución discreta deFourier. Las correspondientes trasformadas de Fourier son

J̃q =∑

j

Jje−2πi(j·q)/L

s̃q =∑

j

sje−2πi(j·q)/L

(ql = 0, . . . , L− 1) (558)

de donde se tiene

∑

j

J(i − j)sj =1

N

∑

q

J̃qs̃qe2πi(i·q)/L (559)

con L = N1/2 y q es un vector d−dimensional con componentes enteras.Multiplicando por si y sumando sobre todo i se tiene

∑

ij

J(i − j)sisj =1

N

∑

q

J̃q|s̃q|2 (560)

que implica que la forma cuadrática está diagonalizada con una transforma-ción de coordenadas si → s̃q/

√N que es unitaria, luego λq = J̃q. Teniendo

en cuenta que la interacción J es a vecinos próximos se tiene

i − j =

(±1, 0, . . .)(0,±1, . . .). . .

(561)

se tiene la transformada discreta de fourier para las interacciones:

J̃q =∑

j

J(j)e2πij·q/L

= −2Jd∑

l=1

cos(2πql/L)(562)

120

ahora se tiene que

∑

q

ln[p+1

2βJ̃q] = N ln(βJ) +

∑

q

ln[ζ −d∑

l=1

cos(2πql/L)] (563)

con ζ = p/βJ, pero puesto que L = N 1/d es grande la suma en q se convierteen una integral d−dimensional sobre variables ωl = 2πql/L:

∑

q

ln[ζ−d∑

l=1

cos(2πql/L)] ≈N

(2π)d

∫ 2π

0

dω1 . . . dωd ln[ζ−d∑

l=1

cosωl] ≡ Nφ(ζ)

(564)de donde la función de partición es:

Z = (βJ)1−N/2πN/2eNα

2πi

∫ α+i∞

α−i∞

dζeg(ζ) (565)

con g(ζ) = N(βJζ − 12φ(ζ)). La integral anterior se puede evaluar mediante

el método del punto de silla cuando N → ∞, dando lugar a

Z ' (βJ)1−N/2πN/2eNα eg(ζs)

√

2πg′′(ζs)(566)

donde ζs es el valor para el que g(ζ) tiene un máximo y es solución de laecuación

2βJ =1

(2π)d

∫ 2π

0

dω1 . . . ωdζs −

∑

l cosωl(567)

Uno puede demostrar que para d ≤ 2 cuando bajamos la temperatura y unavez pasado el valor ζs = d, en el que la integral anterior es singular, ζs(β)es una función suave definida para todo β (el máximo de g está en ζs > d) y por lo tanto Z(ζs) también es una función suave de β, de forma que elmodelo esférico no tiene un cambio de fase para d ≤ 2.

121

En cambio para d = 3 la integral toma un valor constante igual a 0,50546(el máximo de g está en ζs = d que es el punto singular) incluso para ζs = 3donde la integral es singular. Entonces sólo para β < 0,25272/J ζs es unafunción suave de β, y en βc = 0,25272/J aparecen discontinuidades en elgradiente de Z que dan cuenta de un cambio de fase.

Ejercicio: Probar que para el modelo esférico en d = 3, cerca de βc setiene (ζs − 3) ∼ (βc − β)2

Podemos evaluar la enerǵıa libre por esṕın en la forma:

βf =1

2ln βJ − g(ζs)/N −

1

2ln π − α

=1

2ln βJ − βJζs

+1

2

1

(2π)d

∫ 2π

0

dω1 . . . dωd ln

(

ζs −d∑

l=1

cosωl

)

− 12

ln π − α

(568)

Ejercicio: Evaluar la enerǵıa interna por espin u y el calor espećıficoc = du/dt para el modelo esférico en d = 3. Evaluar el exponente cŕıtico α.Probar que la suceptibilidad χ = β

∑

i s2i diverge en la temperatura cŕıtica

con exponente cŕıtico γ = 2Para encontrar el exponente cŕıtico δ necesitamos una expresión de f en

presencia de un campo externo B. Uno puede ver que

βf =1

2ln βJ − g(ζs)/N −

1

2ln π − α− (

12βB)2

βJ(ζs − d)(569)

con

2βJ =1

(2π)d

∫ 2π

0

dω1 . . . ωdζs −

∑

l cosωl+

2(12βB)2

βJ(ζs − d)2(570)

122

Ejercicio: Hacerlo. Probar además que la isoterma cŕıtica cumple (ζs−3) ∼B4/5 para B pequeño, y usar este resultado para evaluar δ.

Podemos encontrar también el exponente cŕıtico β que describe la variaciónde 〈s〉 justo por debajo de Tc. Ejercicio: Encontrar la expresión de 〈s〉 cercade Tc y encontrar el exponente β.

Finalmente uno puede encontrar los exponentes η y ν para lo cual necesi-tamos la función de correlación 〈s0sn〉, que no se puede derivar del conocimien-to expĺıcito de Z. Uno puede ver que para d = 3 se tiene η = 0 y ν = 1.

123

Teoŕıas de campo medio

Los modelos de magnetismo descritos anteriormente son, en general, dif́ıcilesde resolver de forma anaĺıtica exacta. En concreto, el modelo de Ising sóloestá resuelto exactamente en 1 y 2 dimensiones. Cuando no podemos traba-jar de forma anaĺıtica podemos hacer simulaciones numéricas del sistema, obien utilizar aproximaciones. Entre éstas, están las teoŕıas de campo medioy de perturbaciones.

Dada la versatilidad del modelo de Ising, que permite estudiar sistemasmagnéticos, el gas reticular, las mezclas binarias, las redes neuronales, sis-temas biológicos, etc, es interesante hacer un estudio previo de las diferentesaproximaciones que existen en la literatura.

Consideremos un sistema magnético constituido por N espines que seencuentran en los nudos de una red d-dimensional Λ, en contacto con un bañoa temperatura T . En un instante de tiempo t, el sistema se encuentra con unadeterminada configuración de espines s = {si = ±1, ∈ Λ} y de interaccionesJ = {Ji,j ∈

Figura 4: Cluster en una red d-dimensional, formado por un interior ΛI yuna frontera ΛF

la aproximación son insensibles a la estructura o dimensionalidad del sistemay será tanto mejor cuanto mayor sea la dimensionalidad (mayor número devecinos q) y el rango de la interacción entre espines. En ambos casos dismin-uye la importancia de las fluctuaciones. Esta aproximación es equivalente ala teoŕıa del campo molecular de Curie-Weiss.

Consideremos un sistema magético de N espines en los nudos de una redΛ d-dimensional en presencia de un campo magnético externo H = hek̂. Laenerǵıa configuracional del sistema viene dada por,

H(s) = −12

∑

i,j∈Λ

Ji,jsisj − he∑

i∈Λ

si. (572)

Vamos a distinguir si la interacción Ji,j es a vecinos próximos o no.

Interacción a vecinos próximos

Suponemos que, dado un esṕın en la posición i, se tiene para la interacciónde intercambio Ji,j = J, |i − j| = 1. La hipótesis de campo medio consisteen suponer que la enerǵıa configuracional del sistema se puede poner como

H(s) = −∑

i∈Λ

hisi (573)

conhi = he +

∑

|i−j|=1

Ji,jsj ≡ he + Jqm, (574)

donde q es el número de coordinación de la red y m es el campo medioautoconsistente definido

m = 〈1q

∑

|i−j|=1

sj〉 (575)

125

que representa el efecto de los restantes espines. Vemos que hi = h ∀i ∈ Λ.En estas condiciones, la función de partición del sistema es

Z ≡∑

s

exp{−βH(s)} = 2N{cosh(βh)}N . (576)

Una vez que tenemos la función de partición, podemos calcular el campomedio m definido por (575), imponiendo que sea igual a la magnetizaciónpromedio sobre toda la red, esto es,

m = 〈 1N

∑

i∈Λ

si〉 =1

βN

∂

∂hlnZ = tanh(βh). (577)

Si el campo magético externo es he = 0, la ecuación anterior queda,

m0 = tanh(βJqm0), (578)

donde m0 es el campo medio para campo externo nulo. La ecuación (578)se puede resolver numéricamente, obteniendo la solución trivial m0 = 0,

y una solución no trivial m0 6= 0 para T < Tc = JqkB . Esta solución nonula verifica, que si m0 es solución, también lo es −m0. Vemos que pordebajo de Tc el sistema, en ausencia de campo externo, se comporta como unferromagneto, con magnetización expontánea m0, es decir, todos los espinestienden a orientearse en la misma dirección. A T = 0, tenemos totalmenteordenado el sistema. Si subimos la temperatura, las oscilaciones térmicashacen que los espines empiecen a orientarse al azar, de forma que m0 → 0cuanto T → Tc. La forma en que esto ocurre viene marcada por el exponentecŕıtico β. Por encima de Tc, m0 = 0, es decir, el sistema se comporta comoun paramagneto, de modo que T = Tc marca un cambio de fase.

Interacción de largo alcance

Vamos a considerar ahora que Ji,j es de largo alcance, de forma que dosespines que estén situados en posiciones lejanas, el uno del otro, sienten la

interacción de intercambio. Sea Ji,j =JN ∀i, j ∈ Λ, siendo J intensivo. Con

esta elección conseguimos que la enerǵıa configuracional por esṕın no diverja

en el ĺımite termodinámico (N → ∞) . Si llamamos x(s) = 1N∑

i∈Λ

si, el

hamiltoniano queda

H(s) =J

2− JN

2x(s)2 − heNx(s). (579)

126

La función de partición es

Z =∑

s

e−βH(s) = e−βJ

2∑

s

exp{

βJN2 x(s)

2 + βheNx(s)}

. (580)

Utilizando la transformación gaussiana dada por la expresión

ea2

=1√2π

∫ +∞

−∞

dy e−y

2

2 +√

2ay, (581)

con

a =

(

βJN

2

)12

x(s), (582)

la función de partición queda

Z = eβJ2

1√2π

∫ +∞

−∞

dy e−y2

2∑

s

exp{(βJN) 12x(s)y + βheNx(s)}. (583)

Introduciendo el cambio de variable y = (βJN)12m, y realizando la suma

sobre configuraciones de espines se tiene

Z = 2Ne−βJ2 (

βJN

2π)12

∫ +∞

−∞

dm e−Nf(m), (584)

con

f(m) =βJm2

2− ln{cosh(βJm+ βhe)}. (585)

Como nos interesa el ĺımite termodinámico, para resolver la integral y, porlo tanto, calcular la función de partición, utilizamos el método del punto desilla. El término dominante en la integral va a ser el punto de silla, que vienedeterminado por la ecuación

∂f(m)

∂m= 0, (586)

que da como resultado:

m = tanh(βJm+ βhe). (587)

En el caso de campo nulo, tenemos una magnetización espontánea,

m0 = tanh(βJm0). (588)

Existe solución no trivial para T < Tc =JkB

, de forma que tenemos, al igual

que para el caso de vecinos próximos, un cambio de fase ferromagnético-paramagnético.

127

Aproximación de orden 1

Esta aproximación se conoce también con el nombre de aproximaciónde Bethe-Peierls. Trata con más precisión la interacción de un esṕın dadocon sus vecinos próximos. Más concretamente considera de forma exacta lainteracción de un esṕın si0 con sus q vecinos próximos, y el resto de las in-teracciones en la red a través de un campo medio, que de nuevo obtenemosde forma autoconsistente. Vamos a considerar que las interacciones de in-tercambio son a vecinos próximos. Llamamos ΛF al conjunto de espines queson vecinos próximos a si0 y que constituyen su frontera. El hamiltoniano deIsing queda de la forma

H(s) = −12

∑

|i−j|=1

Ji,jsisj − he∑

i∈Λ

si ≈ HBP (sc)

HBP (sc) = −Jsi0∑

j∈ΛF

sj − hesi0 − (he + h)∑

j∈ΛF

sj, (589)

donde sc = {si0, sj, j ∈ ΛF}. La interacción entre espines que no pertenecenal cluster formado por si0 y ΛF , está incluida en el campo h.

La función de partición asociada al hamiltoniano HBP (sc), viene dadapor

ZBP =∑

sc

e−βHBP (sc) (590)

que, tras un poco de álgebra, queda de la forma

ZBP = Z+ + Z−

Z± = e±βhe [2 cosh{β(he + h± J)}]q . (591)

Para determinar el campo h, imponemos la relación de autoconsistencia segúnla cual el promedio del esṕın es el mismo en el centro y la frontera del cluster,es decir,

〈si0〉 = 〈1

q

∑

j∈ΛF

sj〉. (592)

Por definición,

〈si0〉 ≡1

ZBP

∑

sc

si0e−βHBP (sc) = Z+ − Z−

ZBP(593)

128

y, por otra parte,

〈1q

∑

j∈ΛF

sj〉 =1

βq

∂

∂hlnZBP

=1

ZBP[Z+ tanh{β(he + h+ J)}

+Z− tanh{β(he + h− J)}], (594)

de donde la relación de autoconsistencia queda

e2βh =

[

cosh{β(he + h+ J)}cosh{β(he + h− J)}

]q − 1. (595)

La ecuación (595) hay que resolverla numéricamente, obteniendo como resul-tado el campo h en función de la temperatura. La magnetización m se puedeponer en función del campo medio h, quedando

m = 〈si0〉 = 〈1

q

∑

j∈ΛF

sj〉

=sinh{2β(he + h)}

cosh{2β(he + h)} + e−2βJ(596)

con h solución a la ecuación (595). Estamos interesados en ver si, con estaaproximación, el sistema presenta magnetización espontánea m0 en ausenciade campo magnético externo. La ecuación de autoconsistencia he = 0 quedade la forma

βh0 =q − 1

2ln

{

cosh(βh0 + βJ)

cosh(βh0 − βJ)

}

. (597)

Esta ecuación tiene solución no trivial para T < Tc, con Tc dada por laexpresión

Tc =2J

kB ln(

qq − 2

) . (598)

Esto es, se presenta el cambio de fase ferromagnético-paramagnético, al igualque en Bragg-Willians, pero mejora sensiblemente el valor de la temperaturacŕıtica, y describe mejor las correlaciones en el sistema. (Ver figura 5)

Aproximaciones sucesivas al modelo de Ising consistiŕıan en considerarclusters, cada vez con más espines, cuya interacción a vecinos próximos seŕıatratada de forma exacta, y el resto mediante un campo medio autoconsis-tente. En próximas secciones , al introducir nuestro modelo de no-equilibrio,vamos a utilizar aproximaciones de este tipo.

129

Figura 5: Modelo de Ising en d = 2 (1) Solución exacta. (2) Aproximaciónde Bethe-Peierls.(4) Aproximación de Bragg-Willians

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