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LE CALCUL MENTAL SIMPLE ET FACILE

A LA PORTÉE DE TOUS

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MARIUS PORTAL INSTITUTEUR HONORAIRE

Membre correspondant de l'Académie de Nîmes

LE CILCIL H E U SIMPLE ET FACILE A LA PORTÉE DE TOUS

SIXIÈME ÉDITION

1974

AUBANEL

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ISBN 2-7006-0021-5 @ by Aubanel 1970

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PRÈFACE

Voici un ouvrage né du don et de l'expérience, d'une volonté aussi car il en faut pour maîtriser les nombres, leurs combinaisons et pour exprimer avec clarté et préci- sion ce qui, pour soi, n'est qu'un jeu facile.

C'est le mérite de Monsieur PORTAL de s'être appliqué à cette œuvre de vulgarisation. Il l'a réalisée avec le dessein d'écarter toute vanité d'auteur pour rendre acces- sible, à la plupart, une science qui est à la fois éducative, utilitaire et attrayante.

Certes, si les combinaisons mentales du début sont aisées à comprendre et à appliquer, les suivantes parais- sent demander progressivement plus d'attention et plus de réflexion. Je dis « paraissent » car il ne s'agit en réalité que d'une impression résultant d'une lecture rapide de l'ouvrage. Que l'on veuille bien aborder ces pages avec la lenteur méthodique, indispensable à toute acquisition mathématique, et l'on s'apercevra que la faculté d'atten- tion et de réflexion, entraînée et aiguisée d'un exercice à l'autre, n'est pas mise davantage à l'épreuve. Par contre l'agilité spirituelle s'épanouit allègrement : la mémoire de rétention et la mémoire d'association se développent à un rythme insoupçonné, débordant le plan des combi-

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naisons numériques pour atteindre toutes les relations mentales.

D'autre part le bénéfice utilitaire de ces exercices n'est pas à dédaigner, tant s'en faut. Calculer mentalement — et sûrement — représente pour tous, maîtres, étudiants, élèves, un gain de temps appréciable, sans parler de la considération acquise auprès des non-initiés, qui sont la majorité.

Enfin jouent pour les persévérants, la magie et la séduction des nombres, nées de la rigueur et de la fidélité de leur fréquentation : en un temps où tout est plus que jamais relatif, l'exactitude retient et réconforte.

Je souhaite à cet ouvrage, témoignage de quarante années de réflexion au service de l'enseignement — et donc au service de tous — tout le succès qu'il mérite.

M. ARRA, Inspecteur de l'Enseignement Primaire.

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AVANT-PROPOS

Il faut détruire le mythe des calculateurs prodiges. Il y a dans chaque individu un INAUDI qui s'ignore. Les procédés de calcul sont nombreux, et à la portée de tous.

On objecte qu'il faut être doué, avoir de la mémoire, pour bien compter. Bien sûr, certains sujets ont des dis- positions particulières. Mais est-ce raisonnable de penser qu'il n'y en a de par le monde que quelques-uns en cette matière ? Peut-on admettre que les calculateurs qu'on appelle des grands dans le monde entier, se comptent seulement sur les doigts de la main, alors que les grands musiciens sont légion, que dans toutes les disciplines des hommes remarquables se comptent par centaines, voire par milliers ? Ils sont devenus ce qu'ils sont à force de travail et de persévérance.

Certes, pendant longtemps, les soi-disant calculateurs prodiges ont effectué des opérations paraissant fabu- leuses, en se gardant bien de les expliquer. Mais, là comme partout, et peut-être plus que partout ailleurs, il y a des règles qu'on peut soi-même exploiter, c'est là un champ immense, et l'on peut chaque jour, et sans aide, faire de nouvelles découvertes, qui passionnent et incitent à la recherche.

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Un petit tiers de volonté, avec un petit tiers de don, mais surtout, un grand tiers de travail, c'est là le secret de la réussite.

On objecte très souvent qu'il est inutile de se fatiguer à compter, que la machine le fait aussi bien, et beaucoup plus vite que nous.

Se rend-on compte qu'on a de plus en plus besoin de chiffrer dans tous les actes de la vie, qu'on ne peut pas avoir sur soi une calculatrice, et que, malgré la pratique des mathématiques modernes, le boucher du coin et les autres marchands n'en sont pas encore au stade de la théorie des ensembles.

Il est indiscutable que le maniement des chiffres, qui peut s'effectuer avec le minimum d'accessoires et en tous lieux, jusques et y compris au lit, conserve à l'esprit, malgré l'âge, toutes ses qualités de logique, d'attention, de précision et de clarté, et à la mémoire son état de fraîcheur.

Les merveilleux chiffres qui, en si petit nombre, se prêtent à des combinaisons infinies, sont de précieux jalons quelle que soit la matière étudiée, tant pour les faits historiques, que pour les questions géographiques, les précisions scientifiques ou les événements qui meu- blent une vie.

Cet ouvrage, dont c'est la 6e édition, qui est déjà entre des milliers de mains mais que ses premiers lecteurs ne reconnaîtraient plus, tant il a grandi en dix ans d'existence, contient les soi-disant secrets qui sont tous des règles de pure mathématique, que beaucoup de gens retrouveront comme de vieilles connaissances.

L'auteur voudrait communiquer sa foi à beaucoup de gens car, après plus de trois quarts de siècle, dont les deux tiers au moins ont été consacrés au maniement des chiffres, il croit pouvoir attester que cette gymnastique est salutaire pour le corps et l'esprit, qu'elle conserve la santé, et dans son cas la rétablit, fait oublier les misères quotidiennes, conditionne la bonne humeur, et même le sommeil.

Puisse-t-il avoir des adeptes de plus en plus nombreux.

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L'ADDITION

C'est une opération dans laquelle on ne peut pas abréger, autrement dit il faut « passer » tous les chiffres et on ne peut pas gagner beaucoup de temps, quel que soit le pro- cédé employé pour arriver au résultat.

Un principe qu'on ne doit cependant jamais oublier, c'est que les chiffres doivent être placés très soigneusement les uns sous les autres et bien faits. Il est fastidieux d'être obligé de recommencer plusieurs fois une opération faute d'avoir observé ces deux prescriptions fondamentales. Ceci étant dit, lorsqu'on a affaire à une addition un peu longue, divers procédés peuvent être utilisés.

1° Faire des additions partielles et totaliser ensuite les divers résultats.

2" Additionner chaque colonne et dès qu'on a atteint un certain nombre de dizaines, 2, 3, 5 par exemple suivant la longueur de l'opération, on pointe à droite le chiffre correspondant. On abandonne le nombre de dizaines choisies et on continue l'addition jusqu'à ce qu'on arrive à un nouveau total égal ou supérieur à 20, 30 ou 50. En fin de colonne on pose le chiffre des unités et on prend comme retenue le chiffre des dizaines en ayant soin de l'augmenter d'autant de fois 2, 3 ou 5 dizaines qu'il y a de points dans la colonne. Ce procédé un peu compliqué évite d'avoir en fin de colonne de trop grands nombres, qu'on ne retient pas toujours.

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3" Dans le cas d'une addition à 3 colonnes, travailler sur chaque nombre en le décomposant de façon à ne faire qu'une descente.

Exemple :

On peut dire :

Ce procédé, qui ne diminue pas beaucoup non plus la longueur des calculs, peut en tout cas servir de vérifi- cation.

4° Arrondir tous les nombres à la centaine en ayant soin d'inscrire à côté ce qui manque à la centaine ou ce qui la dépasse.

Soit l'addition suivante :

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La façon la plus rapide paraît consister, lorsqu'on est un peu entraîné, à descendre 2 colonnes à la fois ; cela demande toutefois un peu de pratique, mais cette virtuo- sité peut être acquise sans trop d'efforts. De toute façon, l'addition est une opération qu'on n'aime pas beaucoup faire ; surtout lorsqu'elle comporte une longue suite de nombres et il faut reconnaître que c'est pour cette opéra- tion que la machine est d'un très grand secours.

PREUVE DE L'ADDITION.

Pour faire la preuve de l'addition, il n'y a rien de bien original comme procédé. La meilleure façon paraît être de la recommencer par le bas.

On peut aussi intervertir l'ordre des nombres afin d'évi- ter de renouveler les erreurs que l'on fait automatiquement sur les mêmes chiffres en cours d'opération.

Il est cependant une façon très originale, que nous devons à l'obligeance de Madame Jabot, qui consiste à faire l'opération en partant de la gauche et en additionnant séparément chaque colonne, puis en écrivant les nombres trouvés pour chacune des colonnes en décalant chaque nombre d'un rang vers la droite par rapport au nombre du dessus.

Soit l'addition suivante :

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Les résultats sont bien identiques.

COMBIEN DE NOMBRES PAIRS ET DE NOMBRES IMPAIRS.

Il faut savoir que, dans une série ininterrompue de nombres partant de l'unité et se terminant par un nombre pair, les nombres pairs et impairs sont en quantité égale; lorsque la série se termine par un nombre impair, ces derniers dépassent les autres de 1. Ainsi de 1 à 38, il y a 19 nombres pairs, et 19 nombres impairs; tandis que de 1 à 39, il y a 20 nombres impairs et 19 pairs.

S'il fallait trouver les nombres pairs de 1 à 64, il n'y aurait qu'à diviser par 2, le résultat serait 32.

Si on demandait les nombres pairs de 1 à 53, il faudrait ajouter 1 à 53, et diviser par 2, ce qui donnerait :

Ces principes étant connus, on doit pouvoir très rapide- ment déterminer le 24me nombre pair par exemple de la numération qui est 48, et le 24me impair qui est : 48 — 1, soit 47.

De sorte que le 100me nombre pair est 200 et le 100me nombre impair est (100 X 2) - 1; soit 200 — 1 = 199.

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SOMME D'UNE SÉRIE ININTERROMPUE DE NOMBRES IMPAIRS EN PARTANT DE L'UNITÉ.

Soit à additionner 1 + 3 + 5 + 7 (4 nombres), nous remarquons que le total 16 correspond au carré de 4.

Si nous prenons 7 nombres, par exemple : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + Il + 13,

nous trouvons 49, qui est le carré de 7. On pourrait renouveler l'expérience à l'infini, le résultat

serait constant. De sorte qu'on peut énoncer la règle suivante : La somme d'une série quelconque de nombres impairs

en partant de l'unité est égale au carré du nombre de ces nombres.

On peut de ce fait trouver la somme d'un nombre considérable de nombres impairs de façon extrêmement rapide, grâce à ce procédé très simple.

La somme des 99 premiers nombres impairs par exem- ple, serait égale au carré de 99, soit :

9 900 — 99 = 9 801.

SOMME D'UNE SÉRIE DE NOMBRES PAIRS EN PARTANT DE L'UNITÉ.

Soit à additionner 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12, autre- ment dit à faire le total des 6 premiers nombres pairs, nous pourrons dire que le résultat sera le double de celui obtenu en ajoutant les 6 premiers nombres entiers, qui s'obtient en multipliant 6 par 7 et en divisant par 2.

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Dans ce cas il sera inutile de diviser par 2, de sorte que le produit des 6 premiers nombres pairs sera : 6 X 7 = 42, celui des 20 premiers nombres pairs, 20 X 21 = 420 et ainsi de suite.

SOMME DE NOMBRES CONSÉCUTIFS EN PARTANT D'UN NOMBRE DONNÉ.

Soit à totaliser les nombres de 28 à 83, il y a dans cette série 83 — 17 = 56 nombres.

On fait la somme du premier et du dernier, ici : 28 + 83 = 111

et on multiplie par la moitié des nombres donnés, donc : 56 : 2 = 28.

Le produit sera : 28 X 111 = 3108. Vérifions avec une somme moins importante, s'il fallait

additionner : 19 + 20 + 21 + 22 + 23, soit 105

en appliquant la règle utilisée ci-dessus : 19 + 23 = 42, la moitié = 21.

Comme il y a 5 nombres, le total ressort bien à 105. Lorsque comme ci-dessus la série comporte un nombre

impair de nombres, on peut multiplier le nombre moyen ici 21 par 5 et on trouve également 105.

Si le nombre de nombres est pair, par exemple : 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24, on peut additionner les nombres moyens, ici 21 + 22, ce qui donne 43 ; diviser par 2, le résultat étant 21,5 et multiplier 21,5 par 6 pour trouver 129.

Ou : 21 + 22 soit 43 multiplié par 6 et divisé par 2 :

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LA SOUSTRACTION

Comme pour l'addition, il y a peu d'originalité dans les procédés. Le plus connu est celui qui consiste à arrondir le petit nombre et à ajouter également la même quantité au grand nombre.

Soit à soustraire : 6.583 — 3.987 .

Il convient d'ajouter 13 à 3.987, le total sera 4.000, et 13 à 6.583 qui deviendra 6.596.

La différence de ces deux nombres est égale à celle des deux premiers, puisque nous les avons fait varier de la même quantité.

La différence sera : 6.596 — 4.000 = 2.596 .

On pourrait aussi enlever 87 aux deux nombres, qui deviendraient respectivement 6.496 et 3.900 ; la différence ressortirait également à 2.596.

Mais il convient de remarquer que si le nombre à ajouter ou à retrancher aux deux nombres est trop élevé, ces procédés ne font pas gagner de temps, et obligent à faire une opération supplémentaire importante. Toutefois, il est bon de les connaître quand le petit nombre est rap- proché d'un nombre rond.

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Exemple : 57.864 — 49.997, ce qui se réduit à l'opération suivante (en ajoutant 3 aux deux nombres) :

57.867 — 50.000 = 7.867.

2me exemple : 67.739.864 — 49.999.988

deviendra : 67.739.876 — 50.000.000 = 17.739.876

après avoir ajouté 12 aux deux nombres.

PREUVE DE LA SOUSTRACTION.

Il n'y a pas d'autres moyens que de soustraire le reste au grand nombre pour retrouver le petit nombre, ou d'ajouter le petit nombre et le reste pour retrouver le grand nombre. Mais dans les deux cas il n'est pas question d'abréger les calculs, sinon d'opérer sur des groupes de plusieurs chiffres à la fois, quoique le gain de temps, encore une fois, soit relatif.

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LE NOMBRE DES CHIFFRES D'UN PRODUIT

Le produit de deux nombres comporte autant de chiffres que les deux facteurs du produit réunis, ou ce nombre diminué de un.

Il faut, pour déterminer le nombre de chiffres, consi- dérer le premier chiffre de chaque nombre. Si le produit de ces deux chiffres dépasse 10, le produit aura autant de chiffres que les deux facteurs réunis.

Exemple : 24 X 52 donnera un produit de 4 chiffres.

564 X 378 donnera un produit de 6 chiffres. 8.247 X 2.321 donnera un produit de 8 chiffres.

Si le produit des deux premiers chiffres est inférieur à 10, il faudra considérer les deux premiers chiffres de chaque nombre, et le produit de ces quatre chiffres devra dépasser 1.000.

28 X 31 n'aura que 3 chiffres, 28 X 38 aura 4 chiffres.

Dans ces cas-là, sans effectuer le produit juste, on évaluera mentalement le produit approximatif, en disant par exemple : 30 X 28 pour le premier cas n'égale que 840, tandis que dans le deuxième cas, il sera facile de déterminer que le nombre 1.000 sera dépassé, si on ajoute à 840 8 fois de plus 28.

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LA MULTIPLICATION

De nombreux procédés ont été utilisés pour inculquer aux enfants la table de multiplication qui, pour beaucoup, a été un cauchemar pendant les premières années d'école.

Le procédé que nous proposons permet non seulement de trouver le produit des 10 premiers nombres dans toutes les combinaisons possibles, mais peut être utilisé dans des opérations les plus diverses et avec des nombres qui peu- vent paraître effrayants à première vue.

Soit à trouver le produit 9 X 8. On compare les deux chiffres à 10 :

9 = 10 — 1 8 = 10 —2

On enlève indifféremment 1 à 8 ou 2 à 9 pour trouver le chiffre des dizaines et on trouve 7.

Pour trouver le chiffre des unités, il reste à faire le produit de 1 par 2 ; on trouve 2.

8 X 9 = 72

Soit à trouver 7 par 8. Nous dirons : 7 = 10 — 3 8 = 10 — 2

7 -2 = 5 ou 8 — 3 = 5, qui est le chiffre des dizaines. 2X3 donnera le chiffre des unités. Le produit de 7 par 8 est : 56.

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Pour les nombres supérieurs à 10, il conviendra d'ajou- ter ce qui dépasse 10.

Soit à multiplier 12 par 14. Nous dirons :

12 + 4 = 16 pour trouver les dizaines ; et pour trouver les unités, nous multiplierons 2 par 4 qui font 8.

Le produit de 12 par 14 sera : 168.

En procédant de la même façon, nous ferons les pro- duits suivants :

13 par 15 : 13 + 5 = 18 dizaines 3 X 5 = 15 unités,

qui, ajoutées à 18 dizaines, donneront : 195.

16 par 17 : 16 + 7 = 23 dizaines 6 X 7 = 42 unités

ou 4 dizaines + 2 unités 23 dizaines + 4 dizaines + 2 unités = 272.

16 par 14 : 16 + 4 = 20 dizaines 4 X 6 = 24 unités

20 dizaines + 24 unités = 224.

Les mêmes cas se représenteront quand nous appro- cherons de 2 dizaines, de 3 dizaines, etc., mais il faudra avoir soin de tenir compte du chiffre de la dizaine, qui sera un coefficient par lequel on devra multiplier les nombres trouvés dans les premiers cas.

Ainsi, 18 X 19 peuvent s'écrire : 2 dizaines ou 20 — 2 et 2 dizaines ou 20 — 1.

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Nous enlevons 1 à 18 ou 2 à 19 et trouvons 17. Il faudra multiplier 17 par 2, ce qui fait 34. Le chiffre des unités se trouvera toujours de la même

façon : 2X1 = 2,

de sorte que 18 X 19 = 342.

AUTRE PROCÉDÉ. 1er cas : Dans la multiplication 19 par 18

on peut écrire : 20 — 1 19

et 18 20 — 2

En multipliant 20 par 20 nous obtiendrons 400 et une fois 2 = 2.

Nous aurions alors le nombre : 402 — Mais il faudrait retrancher 20 ou 2 dizaines 1 fois +

2 fois, soit 3 fois ; résultat : 6 dizaines — 6 dizaines retranchées à 40 dz = 34 dz et le résultat

définitif serait comme précédemment : 342.

FAIRE LE PRODUIT DE DEUX NOMBRES AU-DESSSOUS DE LA MÊME DIZAINE.

Pour multiplier 19 par 18, on peut également effectuer l'opération suivante :

Pour 19 X 18 par exemple. 9 X 8 = 72 7 de retenue. 9 + 8 ou 17 + 7 = 24 2 de retenue. 1X1+2=3

Résultat : 342.

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DEFAUT d'être l'unique livre de Calcul mental, cet ouvrage est certainement un des plus complets.

Où trouverait-on, en effet, les multiples procédés pour effectuer les opérations allant de l'addition à la racine 7e des nombres jusqu'à 100 mille milliards, en passant par la soustraction, la multiplication aux combinaisons infinies, et la division ?

A côté de cela, de nombreuses curiosités mathémati- ques, les différents cas de probabilités, le mécanisme du calendrier perpétuel, la détermination des fêtes mobiles, le numérotage et l'alphabétisation des billets de banque.

Le mythe des calculateurs prodiges est par là même détruit. Quiconque peut, en utilisant les procédés très simples mis au point par l'auteur, réaliser comme lui des opérations paraissant impossibles, de merveilleuses combinaisons, et cela en quelques secondes.

L'homme, asservi de plus en plus à la machine, doit tout faire pour se libérer, et refuser de devenir un robot, réfractaire à tout effort, au point de laisser définitivement son esprit s'atrophier.

Le calcul mental, ce conservateur incomparable de la mémoire et des réflexes les plus subtils, est dans ce livre traité dans tous les détails, méritant tout l'intérêt que n'aurait jamais dû cesser de susciter le maniement des chiffres.

N° ISBN 2.7006.21.5

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