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NOTAS DE CLASE

ANÁLISIS EN INGENIERÍA MECÁNICA

Han sido evaluadas y aprobadas como material de apoyo didáctico dentro de los cursos de la FIMEE de la Universidad de Guanajuato.

POR LA COMISION DE SUPERACION ACADEMICA DE LA H. ACADEMIA DE LA FIMEE.

OCTUBRE DE 2007.

Autor:Dr. Luz Antonio Aguilera Cortés

Clave de identificaciónN.ME.M.(1) I 07-10

Maestría en Ingría. Mecánica Análisis en Ingeniería

Aguilera A

NOTAS DE CLASE.

CURSO: ANÁLISIS EN INGENIERÍA MECÁNICA

Clave: Dr. Luz Antonio Aguilera Cortés

Otoño 2007


Aguilera A

Índice I. Álgebra Vectorial Álgebra Vectorial ………………………………………… I-1 Funciones Vectoriales de una Variable …………………… I-13 Derivada Direccional ………………………………….… I-17 Gradiente, Divergencia y Rotacional……………………… I-17 Ejemplos ………………………………………………… I-23 II. Cálculo Variacional Funcionales ……………………………………………… II-1 Ecuación de Euler ……………………………………… II-6 Lema Básico ………………………………………… II-9 Variaciones …………………………………………… II-10 Ejemplos ……………………………………………… II-14 Multiplicadores de Lagrange y Restricciones ………… II-27 III. Ecuaciones Diferenciales Parciales EDP Introducción ……………………………………… III-1 EDP 2º Orden Clasificación …………………… III-8 Ejemplos ……………………………………… III-9 Deducción de EDP ………………………………… III-15 Solución de D’Alembert …………………………….. III-30 Separación de Variables ……………………………. III-33 Ejemplos …………………………………………… III-35 Transformada de Laplace ………………………….. III-55 Diferencias Finitas ………………………………… III-61

IV. Matrices y Formas Cuadráticas Determinantes y Matrices …………………………. IV-1 Formas Cuadráticas ………………………………... IV-5 Funciones de una matriz cuadrada ………………... IV-14 Teorema de Cayley-Hamilton ……………………… IV-30

V. Tensores (Opcional) Coordenadas Oblicuas …………………………… V-1 Coordenadas Curvilíneas ……………………….. V-12 Transformaciones ……………………………… V-16 Convención suma de Einstein …………………. V-17 Tensores ……………………………………… . V-25 Derivada Covariante ……………………………. V-29

Bibliografía


Análisis Vectorial I-1 Aguilera A.

ALGEBRA VECTORIAL Vector: Para nuestros propósitos un vector en un espacio Euclideano es bien definido como un

segmento lineal con una dirección y magnitud dadas. F B A Escalar: Cantidad que sólo posee magnitud. Volumen, masa, temperatura, densidad, energía, trabajo, tiempo. La magnitud o longitud de un vector se conoce como el valor absoluto del vector: A = ⏐A⏐ Despreciando su dirección, un vector cuya longitud, o valor absoluto, es la unidad se llama vector unitario. Dos vectores son iguales si ellos tienen la misma dirección y la misma magnitud. El negativo de un vector (-A) es aquél que tiene idéntica longitud pero dirección opuesta al original. La suma de dos vectores A y B está definida por la ley del paralelogramo. B B A-B = A+(-B) A+B A -B A A-B La suma (resta) de dos vectores es otro vector. De su definición es evidente que: A+B = B+A La suma vectorial es conmutativa y asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C Vector por un escalar (n) i) n > 0 (positivo) nA = An

Desplazamiento Fuerza, velocidad, Aceleración, Campo eléctrico Campo magnético



El nuevo vector (nA) tiene la misma dirección y sentido que A pero su magnitud ha cambiado en la forma siguiente: n > 1: Aumento n veces. n = 1: Permaneció inalterada. 0 < n < 1: Disminuyó en proporción al valor de n. ii) n < 0 (negativo)

Para valores negativos de n, el nuevo vector (nA) tiene dirección opuesta a A. Su magnitud se modifica en la misma forma que para el caso 1, sólo que en términos del escalar ⏐n⏐

n = 2 A 2A -A/2 n = -1/2

PRODUCTO PUNTO Y CRUZ -PRODUCTO PUNTO: El producto punto de 2 vectores es un escalar igual al producto de

los valores absolutos de los dos vectores y el coseno del ángulo entre sus direcciones. A⋅B = ⏐A⏐⏐B⏐cosθ B Proyección de A Sobre B ⏐A⏐cosθ θ A Proyección de B sobre A

Sobresalen dos casos particulares:

1) Si uno de los vectores, digamos A, es de longitud unitaria, entonces A⋅B se simplifica a: ⏐B⏐cosθ = Bcosθ, la cual es justamente la proyección, o componente de B en la dirección del vector unitario.

2) Si B = A, entonces, obviamente: A⋅A =⏐A⏐2= A2 ya que θ = 0; El producto punto es conmutativo y distributivo sobre la adición:

El producto de 2 vectores es igual a la longitud de uno u otro de ellos multiplicada por la proyección del otro sobre él.



A⋅B = B⋅A ya que el cosθ es el mismo en ambos casos. A⋅(B + C ) = A⋅B + A⋅C Si A⋅B = 0, entonces al menos uno de los vectores ( A, B ) es cero o A y B son perpendiculares. -PRODUCTO CRUZ: El producto vectorial de dos vectores A y B representado A x B es un

vector V cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de A, B y el seno del ángulo entre ellos y cuya dirección es perpendicular al plano definido por A y B en la dirección de avance de un tornillo de rosca derecha que ha sido rotado de A hacia B.

A x B B A B ⏐B⏐senθ θ A De la relación entre el producto cruz y el área es fácil mostrar que la multiplicación vectorial es distributiva sobre la adición: A x (B+C) = (A x B) + (A x C) Y la multiplicación vectorial es NO conmutativa: A x B = -B x A Si A x B = 0, entonces uno u otro de los vectores A, B es cero o A y B son paralelos. VECTOR UNITARIO Se define un vector de magnitud unitario como un vector con cierta dirección prescrita. Por lo tanto, se puede expresar el vector unitario êA en la dirección del vector A como: êA =

ΑΑ

Ya que ⏐B⏐⏐senθ⏐ es la proyección de B en la dirección perpendicular a A o, en otras palabras, es la altura del paralelogramo definido cuando A y B son dibujados de un punto común, así la magnitud de AxB nominalmente: ⏐A⏐⏐B⏐⏐senθ⏐, es igual al área de ese paralelogramo.



kZjYiXR ˆˆˆ ++=

y así: A = AêA

Se ha visto que los vectores unitarios se pueden definir en cualquier dirección. Sin embargo, los vectores unitarios más útiles son aquellos que tienen direcciones mutuamente ortogonales (conjunto ortonormal), por ejemplo las direcciones X, Y y Z de las coordenadas cartesianas rectangulares, denotadas comúnmente por kyji ˆˆ,ˆ .

REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR Luego Xi, Yj y Zk representan las longitudes de los vectores X, Y y Z cuyas direcciones corresponden a la de los ejes. De la definición de suma vectorial es evidente que el vector que une el origen al punto general P(X,Y,Z) está definido por: R En términos mas generales, cualquier vector cuyas componentes a lo largo de los ejes coordenados son, respectivamente, a1, a2 y a3 puede escribirse: A = a1i + a2j + a3k Luego si B = b1i + b2j + b3k Entonces A ± B = (a1 ± b1)i + (a2 ± b2)j + (a3 ± b3)k Claramente, dos vectores serán iguales si y sólo si, sus respectivas componentes son iguales. Ya que el producto punto de vectores que son perpendiculares es cero, se tiene que: i⋅j = j⋅k = k⋅i = 0

k

ji

X

Y

Z



Sin embargo, aplicando la magnitud de un vector, se tiene: i⋅i = j⋅j = k⋅k = 1 De aquí: A ⋅ B = (a1i + a2j + a3k)⋅(b1i + b2j + b3k) =a1b1 + a2b2 + a3b3 En particular, si B = A, se tiene A⋅A =⏐A⏐2 = a1

2 + a22 + a3

2

ó ⏐A⏐= 2

322

21 aaa ++

Así, si: A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk A⋅B= (Axi + Ayj + Azk)⋅ (Bxi + Byj + Bzk) =(i⋅i)AxBx+(i⋅j)AxBy+(i⋅k)AxBz+(j⋅i)AyBx+(j⋅j)AyBx+(j⋅k)AyBz +(k⋅i)AzBx+(k⋅j)AzBy+(k⋅k)AzBz = AxBx + AyBy + AzBz El ángulo comprendido entre dos vectores A y B: Recordando que A⋅B=⏐A⏐⏐B⏐cosθ, resolviendo para cosθ,se tiene: a1b1+a2b2+a3b3 cosθ= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lAlB + mAmB + nAnB 2

322

21

23

22

21 bbbaaa ++++

A⋅B = ABcosθ ∴ cosθ= (A⋅B)/AB = (AxBx + AyBy +AzBz)/AB = lAlB + mAmB + nAnB Ejemplo: 1) Encontrar el ángulo entre los vectores A= 2i + 3j - 1k y B= -1i + 1j + 2k

Calculamos primero su producto escalar: A⋅B = (2i+3j-1k)⋅(-1i+1j+2k)= (2)(-1)+(3)(1)+(-1)(2) = -2+3-2 A⋅B = -1 Luego la magnitud de cada vector: A = 14132 222 =++ = 3.74

Aplicando la propiedad distributiva, expandiendo y simplificando



B = 6211 222 =++ = 2.15 Así: cosθ= -1/(3.74)(2.15)= -1/9.17=-0.109

θ=96.3° Para el producto cruz de los vectores unitarios i, j y k, se tiene: ixi = jxj = kxk = 0 ixj = -jxi = k jxk = -kxj = i kxi = -ixk = j Luego se obtiene para el producto cruz de dos vectores: A x B=(a1i+a2j+a3k)x(b1i+b2j+b3k) = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k El cual es precisamente la forma expandida del determinante: i j k AxB= a1 a2 a3 b1 b2 b3 El carácter anti-conmutativo del producto cruz corresponde así al hecho de que intercambiando dos renglones de un determinante cambia el signo del determinante. TRIPLE PRODUCTO Se tienen los 3 siguientes casos: (A⋅B)C ; A⋅(B x C) ; A x (B x C) (A⋅B)C Es un vector cuya longitud es ⏐A⋅B⏐ veces la longitud de C y cuya dirección es la misma de C u opuesta según si A⋅B es positivo ó negativo. A⋅(B x C) TRIPLE PRODUCTO ESCALAR Geométricamente, el triple producto escalar A⋅(B x C) representa el volumen de un paralelepípedo de aristas A, B y C. De aquí A⋅(B x C), cuyo valor es justamente la magnitud de B x C multiplicada por la proyección de A sobre B x C, es numéricamente igual al volumen del PARALELEPÍPEDO. Además se cumple: A⋅(BxC) = B⋅(CxA) = C⋅(AxB) = [ABC]

A⋅(BxC) ≠ A⋅(CxB) Por qué?



En cualquier triple producto escalar el punto y la cruz pueden intercambiarse sin alterar el

valor del producto. [ABC] [ABC] = 0 es una condición necesaria y suficiente para que A, B y C sean paralelas a un mismo plano. En particular, si dos factores de un triple producto escalar tienen la misma dirección, el producto es cero. Ejemplo: VOLUMEN DE UN PARALELEPIPEDO Demostrar que el valor absoluto de A⋅(B x C) es igual al volumen de un paralelepípedo de aristas A, B y C. I=⏐BxC⏐=⏐B⏐⏐C⏐senθ h=A⋅n=Acosγ V = [Acosγ][⏐B⏐⏐C⏐senθ] Volumen del paralelepípedo = [altura (h)][área del paralelogramo (I)] V = (A⋅n)(⏐BxC⏐) V = A⋅{⏐BxC⏐n} V = A⋅(BxC) La altura del paralelogramo es la proyección del vector A sobre BxC. Algebraicamente, si escribimos:

A = a1i + a2j + a3k; B = b1i + b2j + b3k; C = c1i + c2j + c3k; Se tiene: A⋅(BxC)=(a1i+a2j+a3k)⋅[(b2c3-b3c2)i-(b1c3-b3c1)j+(b1c2-b2c1)k] A⋅(BxC)=a1(b2c3-b3c2)-a2(b1c3-b3c1)+a3(b1c2-b2c1) Lo cual es justamente la forma expandida del determinante: a1 a2 a3 [ABC]= b1 b2 b3 c1 c2 c3

Sea n el vector unitario perpendicular al paralelogramo I, con la misma dirección y sentido que BxC, y h la distancia del extremo A al paralelogramo I.

C hI



Finalmente para el triple producto vectorial, se tiene: A x (BxC) = (A⋅C)B - (A⋅B)C Además: A x (B x C) ≠ (A x B) x C Con el conocimiento del triple producto escalar y vectorial, los productos que involucren mas de tres vectores pueden ser expandidos sin dificultad: (A x B )⋅(C x D) = A⋅[B x (C x D)]

= A⋅[(B⋅D)C - (B⋅C)D] = (A⋅C)(B⋅D) - (A⋅D)(B⋅C)

similarmente: (A x B) x (C x D) = (A x B⋅D) C-(A x B⋅C)D TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL = [ABD]C-[ABC]D Ejemplos (1) Sea: A=17i + 8j + 12k B=5i + 10j + 3k Obtener A-B A-B=(17i + 8j + 12k ) -(5i + 10j + 3k) = (17-5)i + (8-10)j + (12-3)k A-B=1 i -2j +9k (2) Dados los vectores A y B, determinar C = A-B, ¿Cuáles son los cosenos directores de C?

TAREA DEMOSTRAR

IDENTIDAD DE LAGRANGE

De la figura se tiene: A=10i+5k B=3j+4k Entonces: C=A-B=10i-3j+k Luego: ⏐C⏐=(102+32+12)1/2=1101/2=10.49 y los cosenos directores: l= 10/10.49= 0.953; m=0.286;n=0.095 m=-3/10.49 =-0.286



(3) Dados los vectores A=17i+8j+12k B=5i+10j+3k Determinar su suma y la magnitud de C ∴ C = A + B Solución: C=A+B=(17i+8j+12k)+(5i+10j+3k) C=(17+5)i+(8+10)j+(12+3)k C=22i+18j+15k y la magnitud: C=(222+182+152)1/2=10331/2=32.14 (4) Sea: A=20i+4pj+rk B=4i+8j+(p+q)k C=8qi+8qj+15k ∴ p, q, r son escalares desconocidos y C = A + B determinar p, q y r.

C = A + B 8qi+8qj+15k=(20i+4pj+rk)+[4i+8j+(p+q)k] 8qi+8qj+15k=24i+(4p+8)j+(r+p+q)k A partir de esta ecuación se obtiene: 8q = 24 ∴ q = 3

8q = 4p+8 ∴ p = 4 15 = r+p+q ∴ r = 8

(5) Vector unitario y cosenos directores. a) Expresar el vector V en función de sus componentes y determinar el vector unitario êv. b) ¿Cuáles son los cosenos directores l, m y n correspondientes a V y los ángulos respectivos α, β y γ?

ev= V/V

∴ V=Vev



Solución: a) Utilizando vectores coordenados unitarios, el vector V se puede expresar en función de

sus componentes unitarias como: V=3i+4j+12k La magnitud de V puede calcularse fácilmente: V = (32 + 42 + 122)1/2 =13 Entonces: êv = V/V = (3i+ 4j+ 12k)/13=0.231i+0.308j+0.923k b) Como el vector unitario se puede expresar en la forma: êv=li+mj+nk Se obtiene: l = cosα = 0.231 ∴ α = 76º39’ m = cosβ = 0.308 ∴ β = 72º3’ n = cosγ = 0.923 ∴ γ = 22º38’ 6) Área de un paralelogramo -Hallar el área del paralelogramo determinado por los vectores: A = 2i + 3j - k B = -i + j + 2k Calculemos primero el producto vectorial de A y B i j k A x B= 2 3 -1 = [(3)(2)-(1)(-1)]i-[(2)(2)-(-1)(-1)]j+[(2)(1)-(-1)(3)]k -1 1 2 A x B = 7i - 3j + 5k Luego el área del paralelogramo es justamente la magnitud de AxB: Área = ⏐A x B⏐= 25949537 222 ++=++ = 9.11 u2



7) Área de un triángulo -Determinar el área del triángulo cuyos vértices son (0,0,0), (2,4,10) y (3,12,5) SOLUCIÓN: Puesto que Área=1/2ABsen(A,B)=1/2⏐AxB⏐ ∴ A=2i+4j+10k B=3i+12j+5k i j k A x B = 2 4 10 = -100i + 20j + 12k 3 12 5 ⏐A x B⏐= 222 1220100 ++ = 102.7 ∴ Área = 102.7/2 = 51.35 u2 (8) Expresión de un vector por medio de los vectores coordenados unitarios. Los vectores A y B de las caras del paralelogramo tienen magnitudes de 65 y 20√2 respectivamente, expresar A y B en función de sus componentes utilizando los vectores coordenados unitarios: Solución: êA=(12j-5k)/13 êB=(-5i+5k)/5√2 así: A=AêA=65[(12j-5k)/13]=60j-25k B=BêB=20√2[(-5i+5k)/5√2]=-20i+20k



DISTANCIA MÍNIMA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA 9) Determinar la distancia mínima entre el punto (1,4,8) y la recta que pasa por (0,0,0) y (2,14,5) SOLUCIÓN: La distancia mínima entre el punto A y la recta OB es la perpendicular AD, trazada desde A hasta la recta OB, de la figura. AD=B sen(A⋅B)= AB sen(A⋅B)/A = ⏐AxB⏐/A Y como: A=2i+14j+5k B=i+4j+8k entonces: i j k AxB = 2 14 5 = 92i - 11j - 6k 1 4 8 De manera que: ⏐AxB⏐ = ( ) ( )862161192 222 =++ = 93

⏐A⏐ = ( ) ( )2255142 222 =++ =15 Así: AD= 93/15= 6.2 u



FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE Si t es un escalar variable y si para cada uno de los valores de t en algún intervalo existe un valor correspondiente de un vector V, se dice que V es función vectorial de t. V(t)=V1(t)i+V2(t)j+V3(t)k V(t) es continua si y sólo si las tres funciones escalares V1(t), V2(t) y V3(t) son continuas Si la variable independiente t de una función vectorial V(t) cambia en un Δt, la función cambiará en general en magnitud y dirección. Específicamente para un incremento Δt se tiene el incremento en el vector: ΔV=V(t+Δt)-V(t)

=[V1(t+Δt)i+V2(t+Δt)j+V3(t+Δt)k]-[V1(t)i+V2(t)j+V3(t)k] =ΔV1i+ΔV2j+ΔV3k

Así para la derivada de una función vectorial, se tiene: dV V(t+Δt)-V(t) ΔV ⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯ dt Δt→0 Δt Δt→0 Δt O usando las componentes: dV ΔV1 ΔV2 ΔV3 ⎯ = lim ⎯⎯ i + lim ⎯⎯ j + lim ⎯⎯ k dt Δt→0 Δt Δt→0 Δt Δt→0 Δt dV dV1 dV2 dV3 ⎯ = ⎯⎯ i + ⎯⎯ j + ⎯⎯ k [con i, j y k constantes] dt dt dt dt La variación de un vector con respecto a t puede consistir en un cambio de magnitud, en un cambio de dirección ó en ambos. De la última relación se puede definir la diferencial de una función vectorial V(t) como: dV = dV1i+dV2j+dV3k En particular, para el vector R = xi+yj+zk



Dibujado del origen al punto P(x,y,z), se tiene dR = dxi+dyj+dz z V(t+Δt) ΔV V(t) y x

Interpretación geométrica de una función vectorial de una variable.

* Si Δt→0 la dirección de ΔV y de aquí la dirección de ΔV /Δt, se aproxima a la dirección de la

tangente a c. Esto es, dtdv es un vector tangente a la curva c, la cual es el lugar geométrico de los

puntos extremos del vector V(t). En particular si la variable escalar t es la longitud de arco s de c, medida de algún punto de referencia sobre c, se tiene dV ⏐ΔV⏐ cuerda infinitesimal de c ⎯ = lim ⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1 ds Δs→0 ⏐Δs⏐ Δs→0 arco infinitesimal de c Así, si s es la longitud de arco de la curva c definida por los puntos extremos de los vectores V(s), entonces dV/ds es una tangente unitaria a c. De la definición de la derivada de una función vectorial se obtiene la derivada de la suma, diferencia y producto de vectores las cuales pueden obtenerse del cálculo ordinario teniendo sólo especial cuidado en el orden de los factores, así: d(U±V) dU dV ⎯⎯⎯ = ⎯ ± ⎯ dt dt dt DEMOSTRACIÓN: d(A+B) A(t+Δt)+B(t+Δt)-A(t)-B(t) ⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt Δt→0 Δt

( )dtdB

dtdABA

dtd

+=+•



A(t+Δt)-A(t) B(t+Δt)-B(t) = lim ⎯⎯⎯⎯⎯ + lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δt→0 Δt Δt→0 Δt dA dB = ⎯ + ⎯ dt dt d(ϕV) dϕ dV ⎯⎯⎯ = ⎯V + ϕ⎯ dt dt dt d dA dB ⎯ (A⋅B) = ⎯ ⋅ B+ A ⋅ ⎯ dt dt dt DEMOSTRACIÓN: d(A⋅B) A(t+Δt)⋅B(t+Δt)-A(t)⋅B(t) ⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt Δt→0 Δt A(t+Δt)⋅B(t+Δt)-A(t+Δt)⋅B(t)+A(t+Δt)⋅B(t)-A(t)⋅B(t) = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δt→0 Δt A(t+Δt)⋅[B(t+Δt)-B(t)] [A(t+Δt)-A(t)]⋅B(t) = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δt→0 Δt Δt→0 Δt dB dA = A⋅ ⎯ + ⎯ ⋅ B dt dt d(U x V) dU dV ⎯⎯⎯ = ⎯ x V + U x ⎯ dt dt dt d[UVW] dU dV dW ⎯⎯⎯ = ⎯ VW + U ⎯ W + UV ⎯ dt dt dt dt



d[Ux(VxW)] dU dV dW ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯ x (VxW) + U x ⎯ x W + U x V x ⎯ dt dt dt dt Ejemplo: Dado Q = 3t2i + ( 8t + 2 )j + 5k, obtener V tal que V = dQ / dt V = dQ / dt = 6ti + 8j



EL OPERADOR ∇ (NABLA) Q(x + Δx,y + Δy,z + Δz) ΔR P(x,y,z) R+ΔR R C Sea φ una función escalar de posición que tiene primeras derivadas parciales con respecto a x, y, z en alguna región del espacio y sea R = xi+yj+zk (vector del origen al punto P). Si nos movemos de P a un punto cercano Q(x + Δx,y + Δy,z + Δz), la función φ cambiará en un Δφ cuyo valor exacto del cálculo es: Δφ = (∂φ/∂x)Δx + (∂φ/∂y)Δy + (∂φ/∂z)Δz + ε1Δx + ε2Δy + ε3Δz donde εi→0 cuando Q→P, es decir, cuando Δx, Δy y Δz tienden a cero. Si dividimos el cambio Δφ por la distancia Δs =⏐ΔR⏐ entre P y Q, se obtiene la medida de la razón a la cual cambia φ cuando nos movemos de P a Q: Δφ ∂φΔx ∂φΔy ∂φΔz Δx Δy Δz ⎯ = ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ + ε1⎯ + ε2⎯ + ε3⎯ Δs ∂xΔs ∂yΔs ∂zΔs Δs Δs Δs Así, si φ(x,y,z) representa la temperatura en el punto P(x,y,z), entonces Δφ/Δs representa la razón promedio de cambio de la temperatura en la dirección en la cuál Δs es medido. Luego cuando Q→P, se tiene la derivada de φ en la dirección PQ o simplemente la derivada direccional de φ. dφ ∂φdx ∂φdy ∂φdz ⎯ = ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ ds ∂xds ∂yds ∂zds Puede notarse que el primer factor en cada uno de los productos del lado derecho depende sólo de φ y de la coordenada en la cual la derivada de φ es evaluada. A su vez el segundo factor es independiente de φ y depende sólo de la dirección en la cual la derivada es calculada. Esto sugiere que dφ/ds puede representarse como el producto punto de dos vectores, uno que depende sólo de φ y las coordenadas de P, el otro que depende sólo sobre la dirección de ds, así:



dsdRk

zj

yi

xk

szj

syi

sxk

zj

yi

xdsd

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

= ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ φφφφφφφ ( 4 )

La función vectorial

kz

jy

ix

ˆˆˆ∂∂

+∂∂

+∂∂ φφφ

Se conoce como el gradiente de φ ó simplemente grad φ = ( )φ∇ . Así la ecuación ( 4 ) puede representarse Vector unitario

dsdRgrad

dsd

⋅= )( φφ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∇

dsdRφ

Así el producto ( )dsdR /⋅∇φ es justamente la proyección de grad φ en la dirección de dR/ds . grad φ tiene la propiedad de que su proyección en cualquier dirección es igual a la derivada de φ en esa dirección.

grad φ depende sólo de las propiedades intrínsecas de φ, así en :

grad φ kz

jy

ix

ˆˆˆ∂∂

+∂∂

+∂∂

=φφφ

kyji ˆˆ,ˆ pueden reemplazarse por cualquier otro conjunto de vectores unitarios mutuamente

perpendiculares así como (∂φ/∂x), (∂φ/∂y) y (∂φ/∂z) serán remplazados por las derivadas direccionales de φ a lo largo de los nuevos ejes . El gradiente de una función se escribe frecuentemente en la forma operacional siguiente:

grad φ φ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

= kz

jy

ix

ˆˆˆ

ΔS POR DEFINICIÓN ES LA LONGITUD DE ΔR

* El gradiente de φ en cualquier punto P es perpendicular a la superficie de nivel de φ la cual pasa a través de ese punto.



el “vector” operacional usualmente se denota por el símbolo ∇ (NABLA) así:

zk

yj

xi

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ ˆˆˆ ( 6 )

con esta notación: grad φ = ∇φ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dsdφ = ∇φ ⋅

dsdR

dφ = ∇φ ⋅ dR También, si φ es una función de una variable simple y la cual a su vez es función de x , y, z entonces :

kz

jy

ix

ˆˆˆ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇φφφφ

kzduudj

yduudi

xduud ˆˆˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=φφφ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

= kzuj

yui

xu

dud ˆˆˆφ

∇φ = (dφ/du) ∇u

El carácter vectorial del operador ∇ sugiere que también se considere a los productos punto

y cruz en los cuales aparece como factor. Si F = kFjFiF 321 ++ es un vector cuyas componentes son funcionales de x, y, z esto conduce a las siguientes combinaciones:

( ) =++⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇ kFjFiFkz

jy

ix

F ˆˆˆˆˆˆ321



zF

yF

xF

∂∂

+∂∂

+∂∂

= 321

el cual se conoce como la DIVERGENCIA del vector F , y:

( ) =++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ kFjFiFxkz

jy

ix

xF ˆˆˆˆˆˆ321

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

=yF

xFk

zF

xFj

zF

yFi 121323 ˆˆˆ

321

///

ˆˆˆ

FFFzyx

kji∂∂∂∂∂∂=

El cual se conoce como el ROTACIONAL de F Ambos, la divergencia y el rotacional tienen interpretaciones físicas que justifican sus nombres. DIVERGENCIA: Mecánica de fluidos Razón de pérdida por unidad de volumen . Ecuación de continuidad ∇⋅ev = 0 ó ∇⋅v = 0 flujo incompresible. ROTACIONAL: La velocidad angular de un cuerpo que gira uniformemente es igual a ½ del

rotacional de la velocidad lineal de cualquier punto del cuerpo Ω = 1/2( ∇xv ) Los resultados de aplicar el operador ∇ a varias combinaciones de funciones escalares y vectoriales se expresa en las siguientes fórmulas:

φφφ ∇⋅+⋅∇=⋅∇ vvv

( )xvxvvx φφφ ∇+∇=∇

( ) xvuxuvuxv ∇⋅−∇⋅=⋅∇

( ) uvvuvuuvuxvx ⋅∇−⋅∇+∇⋅−∇⋅=∇

0=∇∇ φx el rotacional del gradiente de φ es cero.



0=∇⋅∇ xv la divergencia del rotacional de v es cero.

( ) ( ) ( ) vvvvxvx 2∇−⋅∇∇=∇⋅∇−⋅∇∇=∇∇

∴ 2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ EL OPERADOR DE LAPLACE

Estas fórmulas son válidas sólo para la forma cartesiana del operador ∇ dada en la ecuación anterior. Diferentes fórmulas se originan cuando ∇ es expresada en términos de sistemas de coordenadas mas generales. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Considere dos sistemas de coordenadas rectangulares de referencia xyz y x’y’z’ con el

mismo origen pero girado uno con respecto al otro:

En donde ljk ( j, k = 1, 2, 3 ) representa los cosenos directores de los ejes x’, y’ y z’ respecto de x, y, z. Si los orígenes de ambos sistemas de coordenadas no coinciden, en este caso las ecuaciones de transformación son: x’= l11x + l12y +l13z+ a’1 y’= l21x + l22y +l23z+ a’2 (2) z’= l31x + l32y +l33z+ a’3 Siendo ( a’1, a’2, a’3 ) las coordenadas del origen o del sistema xyz respecto del x’y’z’

Las coordenadas de un mismo punto P del espacio son (x,y,z) y (x’,y’,z’) respecto de cada uno de los sistemas. Las ecuaciones de transformación de unas coordenadas en otras son: x’ = l11x+l12y+l13z y’ = l21x+l22y+l23z ( 1) z’ = l31x+l32y+l33z

),,( zyxp

)',','( zyxP



Las primeras ecuaciones de transformación definen una rotación pura y las segundas ecuaciones una rotación y traslación. El movimiento más general de cuerpo rígido puede ser descrito por una rotación y una traslación alrededor de un eje ( eje del tornillo ). La primera transformación se denomina también transformación ortogonal. Físicamente una función escalar de punto o campo escalar φ (x, y, z ), particularizada en un punto dado debe ser independiente de las coordenadas del mismo (por ejemplo la temperatura).



EJEMPLOS ADICIONALES: Wylie C.R. “Advanced Engineering Mathematics”, 6th ed. Mc Graw Hill, 1995 REF. [1], Capítulo 15, Secciones 15.1- 15.5 15.1 P13.- Dado U= kji 32 +− , V= kji 42 ++ , W= kji 33 ++ , y

0)20()20()10( =−⋅+−⋅+−⋅ kRWjRViRU encuentre R. Realizando los productos, teniendo en cuenta que kRjRiRR zyx

ˆˆˆ ++=

ZYXzyx RRRkRjRiRkjiRU 32)ˆˆˆ()32( +−=++⋅+−=⋅

ZYXzyx RRRkRjRiRkjiRV 42)ˆˆˆ()42( ++=++⋅++=⋅

ZYXzyx RRRkRjRiRkjiRW 33)ˆˆˆ()33( ++=++⋅++=⋅ Entonces [ ] [ ] [ ] 0ˆ20)33(ˆ20)42(ˆ10)32( =−+++−+++−+− kRRRjRRRiRRR YXZYXZYX Igualando términos

01032 =−+− ZYX RRR (1) 02042 =−++ ZYX RRR (2) 02033 =−++ ZYX RRR (3)

restando (3) y (1) restando (2) y {(1)*(-2)}

1

2

0105

−=

=

=−

x

y

y

REntonces

R

R

525

25

025

=

=

=

=−

z

yz

zy

zy

R

RR

RR

RR

Asi kjiR ˆ52ˆ ++−=



15.1 P21.- Demuestre por métodos vectoriales que: un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

sustituyendo

Sustituyendo θcos22

=−

CBBAca

pero debido a que en la fig. se observa que a = c representan el radio del semicírculo a = c = r

022 =− ca Con esto cosθ =0 , entonces °= 90θ Una segunda demostración sería la siguiente:

De la definición θsenBABA =× rB

rA

2

2

=

=

krrrkrr

rrkji

ˆ2)(ˆ

00

ˆˆˆ222 −=−−=

−

θ

De la definición θcosCBBACBBA =⋅

De la figura se observa que:

caBA += ba = cacbCB −=−=

Entonces

22)()( cacacaCBBA −=−⋅+=⋅

)0,(r)0,( r−

θ

),0( r

AB

r r

jrirBjrirAˆˆˆˆ

−=+=



22rBA =× sustituyendo

2

2 2

2 2 22 2

190

r r rsenr r sen

sen

θ

θθ

θ

=

=∴ == °

15.2 P13 .- Encuentre un vector unitario perpendicular a los vectores i-2j+k y -5i+4j-2k. Teniendo los vectores

kjiBkjiA

ˆ2ˆ4ˆ5

ˆˆ2ˆ

−+−=

+−=

Definiendo el plano que forman By A como B x A se conoce que el vector resultante será un vector perpendicular a dicho plano y por lo tanto a los vectores que lo conforman.

245121

ˆˆiB x

−−−=

kjA = Ckji =−++−−− )104(ˆ)52(ˆ)44(ˆ

kjC ˆ6ˆ3 −−= y ceCC

ˆ=

5345369 ==+=C

)ˆ2ˆ(5

1ˆ1 kjC −−=

)ˆ2ˆ(5

1ˆ2 kjC −−−= debido a que el plano también lo puede formar CAxB −=

15.1 P42. Encuentre la distancia del punto (6,2,2) al plano que pasa por (1,2,3) perpendicular a 2i+2j+k.

( )( )

kjinPP

ˆˆ2ˆ23,2,11,2,6

2

1

++=



El plano pasa por el punto ( )3,2,1 y el vector normal al plano es kjin ˆˆ2ˆ2 ++= Donde 0R pertenece al plano y R es el Punto de interés De la fórmula demostrada en el problema 41

( )nnRRd •−= 0

( ) ( ) ( )

3122

ˆ2ˆ5

ˆ31ˆ22ˆ16

222

0

0

=++=

−=−

−+−+−=−

n

kjRRkjiRR

Entonces

( ) ( )

( )382010

31

ˆ2ˆ23

25

=−+=

++•−

=

d

kjikid

38

=d

15.3 P3) Encuentre a) [ABC], b) Ax(BxC), c) (AxB)xC, d) el volumen del paralelepípedo que tiene como lados A+C, A-C y B, e) el volumen del paralelepípedo que tiene como lados A+C, A-C y C, f) (AxB)(CxD), y g) (AxB)x(CxD). Los vectores son;

kjiDkjiCkjiBkjiA

ˆˆˆ2

ˆ4ˆ7ˆ4

ˆ14ˆ2ˆ5

ˆ5ˆ10ˆ10

+−=

−+=

−−=

++=

a)

[ ] ( ) ( ) ( )10 10 5 5 -2 -14 10 8 98 10 20 56 5 35 8 1060 360 215 9154 7 -4

ABC = = + − − + + + = − + =



b) ( )CxBxA utilizando la identidad ( ) ( ) ( )CBABCACxBxA •−•=

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) kjiCxBAxkjikji

kjikjiCxBxAkjikjiBA

kjikjiCA

ˆ1420ˆ100ˆ610

ˆ160ˆ280ˆ160ˆ1260ˆ180ˆ450

ˆ4ˆ7ˆ440ˆ14ˆ2ˆ59040702050ˆ14ˆ2ˆ5ˆ5ˆ10ˆ10

90207040ˆ4ˆ7ˆ4ˆ5ˆ10ˆ10

−+=

−++−−=

−+−−−−=

−=−−=−−•++=•

=−+=−+•++=•

c) ( ) CxBxA ( ) ( ) ( )5020ˆ25140ˆ1014014- 2- 55 10 10k j

−−+−−−+−== kjii

BxA

kjiBxA ˆ70ˆ165ˆ130 −+−=

( ) CxBxA = ( ) ( ) ( )660910ˆ280520ˆ490660ˆ4- 7 4

70- 165 130-k j ˆ

−−++−+−== kjii

( ) kjiCxBxA ˆ1570ˆ800ˆ170 −−−= d)

kjiB

kjiCAkjiCA

ˆ14ˆ2ˆ5

ˆ9ˆ3ˆ6

ˆˆ17ˆ14

−−=

++=−

++=+

)1512()4584(17)1842(14142593611714

−−+−−−+−=−−

=V

3 1830272193336 uV =−+−= e)

kjiCkjiCAkjiCA

ˆ4ˆ7ˆ4

ˆ9ˆ3ˆ6

ˆˆ17ˆ14

−+=

++=−

++=+

; )1242()3624(17)6312(14474

93611714

−+−−−−−=−

=V

3 03010201050 uV =++−= f) )()( DxCBxA ⋅ kjiBxA ˆ70ˆ165ˆ130 −+−=



( ) ( ) ( )144ˆ84ˆ47ˆ1 1- 2 4 - 7 4 k j ˆ

−−++−−== kjii

DxC

kjiDxC ˆ18ˆ12ˆ3 −−=

12601980390)ˆ18ˆ12ˆ3()ˆ70ˆ165ˆ130()()( +−−=−−⋅−+−=⋅ kjikjiDxCBxA 1110)()( −=⋅ DxCBxA

g) )4951560()2102346()8402970(1812370165130

ˆˆˆ)()( −++−−−=

−−−−= kji

kjiDxCxBxA

kjiDxCxBxA ˆ1065ˆ2550ˆ3810)()( +−−= 15.4 P17.- El vector de posición de una partícula p en el tiempo t está dado por ( ) .8126 32 ktjttitr ++= Encuentre todos los valores de t para los cuales el movimiento de p es

a) paralelo a i+2j+k b) perpendicular a i-5j+16k. La posición es: La velocidad es: ( ) itjtittr ˆ8ˆ12ˆ6 32 ++= ( ) kttjitr ˆ2424ˆ6 2++=

a) Si el movimiento es paralelo a

a

i

ArkjiA

01 2 124t24t 6k j ˆ02ˆ

2 =

=×++=



( ) ( ) ( )2 2 ˆˆ ˆ24 48 6 24 12 24 0t t i t j t k− − − + − =

21

22

3

124 48 0 t 21 16 24 0 t t segundo2 2112 24 0 t 2

t t

t

t

− = =

− = = =

− = =

b) Si es perpendicular a kjiB ˆ16ˆ5ˆ +−= 0=• Br ( ) ( )

161 t 4

1 t

1281220 t

12825640020

01206403841206

0ˆ16ˆ5ˆˆ2ˆ24ˆ6

2

1

2

2

2

=

=

±=

−±=

=+−

=+−

=+−•++

t

tttt

kjiktjti

15.4 P1.- Encuentre el gradiente de cada una de las siguientes funciones. (a) yzx 22 + (b) xyze (c) )( sin yzx (d) xyzyx 333 −+ (e) cba zyx

kzfj

yfi

xff ˆˆˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 ˆˆ ˆ(a) 2 2 2

ˆˆ ˆ2 2 2ˆˆ ˆ2

f x yz i x yz j x yz kx y z

f xi zj yk

f xi zj yk

∂ ∂ ∂∇ = + + + + +

∂ ∂ ∂

∇ = + +

∇ = + +

( ) ( ) ( )

( )

ˆˆ ˆ(b)

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

xyz xyz xyz

xyz xyz xyz

xyz

f e i e j e kx y z

f yze i xze j xye k

f e yzi xzj xyk

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

∇ = + +

∇ = + +



( ) ( ) ( )

kyzxyjyzxziyzsenf

kyzxsenz

jyzxseny

iyzxsenx

f

ˆ)cos(ˆ)cos(ˆ)(

ˆ)(ˆ)(ˆ)( (c)

++=∇

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )kxyjxzyiyzxf

kxyzyxz

jxyzyxy

ixyzyxx

f

ˆ3ˆ33ˆ33

ˆ3ˆ3ˆ3 (d)

22

333333

−+−+−=∇

−+∂∂

+−+∂∂

+−+∂∂

=∇

( ) ( ) ( )1 1 1

ˆˆ ˆ(e)

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

a b c

f x y z i x y z j x y z kn y z

f ax y z i bx y z j cx y z k

a b cf x y z i j kx y x

− − −

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

∇ = + +

⎡ ⎤∇ = + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

15.5 P11.- La temperatura T en estado estable de un sólido está dada por el campo escalar

( )22 zyx +− . (a)Encuentre un vector cuya magnitud conduzca a la máxima razón de cambio de T en el punto (2,1,1). (b) Cual es la razón de cambio de T en el punto (2,1,1) en la dirección del vector ?2 kji +− a)

( )2 2

1 2 3

( ) 2,1,1

ˆ ˆˆ R r i r

T x y z P

d dR j r kds ds

φ

φ φ

= = − +

= ∇ • = + +

( ) ( )kzyjzyixT

kzTj

yTi

xTT

ˆ2ˆ2ˆ2

ˆˆˆ

+−+−=∇

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Entonces para el punto (2,1,1)

kjiT ˆ4ˆ4ˆ4 −−=∇ Vector que maximiza el cambio de T en el punto dado



b) de la ecuación:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

ldirecciona derivada la de valor el 6

8

6/484

6

ˆ2ˆˆ4ˆ4ˆ4

121

ˆˆ2ˆˆ2ˆ2ˆ2

dsRd donde ˆˆ2ˆ

222

=

−+=

+−•−−=

++

+−•+−+−=

=+−=•∇==

dsdTdsdT

kjikjidsdT

kjikzyjzyixdsdT

RRkjiR

dsRdT

dsdT

dsdφ

15.5 P29.- Calcule la divergencia y el rotacional de cada uno de los campos vectoriales siguientes:

( ) ( )ˆ ˆ(c) sin cosz y i z x y j+ − −

( ) ( )ˆ ˆcosF z seny i z x y j= + − − Divergencia:

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )

xsenyFz

yxzy

senyzx

F

jyxzisenyzkz

jy

ix

F

−=•∇

∂∂

+−−∂∂

++∂∂

=•∇

−−+•⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

=•∇

0]cos[

ˆcosˆˆˆˆ



Rotacional:

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

jiF

ksenyzy

yxz

jsenyzz

iyxzzy

i

F

ˆˆ

ˆ]cos[x

ˆx0 -

ˆ]cos[0

0 xcosy-z - senyzz y x

k j ˆ

0

+=×∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

−−−∂∂

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

−∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

∂∂

−∂∂

=

+∂

∂∂

∂∂

∂=×∇

EJERCICIOS PROPUESTOS 15.1 (8, 12) 15.2 (18,37, 44) 15.3 (3, 7, 16) 15.4 (24, 39) 15.5 (7, 13, 54).

Antonio

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15.6 (5,13,23,37)

Antonio

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Tareas Opcion 2 15.1(11, 15, 27) 15.2(19, 38, 49) 15.3(2, 5, 25) 15.4 (23, 36, 37) 15.5( 8, 15, 55) *15.6(5, 13, 23, 37)


Cálculo Variacional Aguilera A. II-1

CÁLCULO VARIACIONAL INTRODUCCIÓN

Conjuntamente con los problemas en que es necesario determinar los máximos y los mínimos de cierta función ( )xfy = [o ( )yxfz ,= ], con frecuencia surge en los problemas físicos la necesidad de hallar los VALORES MÁXIMOS y MÍNIMOS de un género especial de magnitudes, llamadas FUNCIONALES.

Es decir, se busca determinar la función que maximiza o minimiza una cantidad que depende no de una o más variables independientes, sino de las funciones de un conjunto dado.

FUNCIONAL: magnitud variable cuyo valor se determina mediante la elección de una o

varias funciones. El CÁLCULO VARIACIONAL estudia los métodos que permiten hallar los valores

máximos y mínimos de los funcionales. Los problemas en que se exige investigar el máximo o el mínimo de un funcional, se denominan PROBLEMAS VARIACIONALES.

El cálculo de variaciones es una herramienta matemática útil para el estudio de problemas

de OPTIMIZACIÓN. -Dada una función localizar la posición de sus valores extremos y la magnitud de éstos (optimización de magnitud). -Dada una integral definida determinar el integrando que la hace mínima y el valor de la integral (optimización de forma)

Muchas leyes de la mecánica y de la física se reducen a la afirmación que cierto funcional debe alcanzar su máximo o su mínimo en el proceso considerado (PRINCIPIOS VARIACIONALES DE LA MECÁNICA o LA FÍSICA). Los tres problemas siguientes ejercieron gran influencia en el desarrollo del cálculo variacional : PROBLEMA DE BRAQUISTÓCRONA (1696 Bernoulli J.) En este problema se exige determinar la curva que une dos puntos dados A y B, que no pertenecen a una misma recta vertical , que posee la propiedad de que un punto material se deslice por dicha curva desde el punto A hasta el punto B en el menor tiempo posible.

Es fácil ver que la línea de deslizamiento más rápido no será la recta que une los puntos A y B , a pesar de que ésta sea la distancia más corta entre dichos puntos, ya que al moverse por esta recta la velocidad aumentará en forma relativamente lenta. Si, en cambio, se toma una curva que baje más bruscamente cerca del punto A, entonces, aunque el camino se alarga, gran parte del recorrido será con gran velocidad.



PROBLEMA DE LAS GEODÉSICAS: aquí se pide determinar la línea de menor longitud que una dos puntos dados en cierta superficie ( ) 0,, =zyxφ -PROBLEMA ISOPERIMÉTRICO: Se pide hallar una línea cerrada de longitud dada l que delimite el área máxima S .(Esta línea es la circunferencia)

Otro caso que puede incluso reducirse al cálculo elemental se refiere al problema: de todas las curvas suaves que unen a ( )000 , yxP con ( )111 , yxP encontrar aquella de longitud mínima (RECTA).

Al relacionar el cálculo variacional con en cálculo elemental puede distinguirse lo

siguiente: CÁLCULO CÁLCULO VARIACIONAL

MINIMIZARMAXIMIZAR

}FUNCIONES MINIMIZARMAXIMIZAR

}FUNCIONALES

Un funcional es una regla que asigna un número real único a cada función de un conjunto,

o dominio dado de funciones. Ya hemos tratado con muchas funcionales en nuestros estudios anteriores de matemáticas,

por citar algunos ejemplos:

1. Para un valor fijo de x y una función fija f , la expresión ( )[ ]xgf es una funcional cuyo dominio es el conjunto de todas las funciones g tales que x está contenida en el dominio de g y ( )xg está en el dominio de f .

2. ( )∫b

adxxf

es un funcional, puesto que es una regla que asigna un número real

único a cada función f que sea integrable sobre [ ]ba, . 3. Los coeficientes de Fourier



( )∫+

=pd

dn dxpxnxf

pa

2

cos1 π

( )∫+

=pd

dn dxpxnsenxf

pb

2

1 π

son funcionales, dado que son fórmulas o reglas que asignan valores numéricos únicos a cada función periódica que satisfaga las condiciones de Dirichet.

4. Para cada valor x la expresión ( ) ( ) ( ) ( )xyaxyaxyayL 0

'1

''0 ++=

es un funcional cuyo dominio es el conjunto de todas las funciones y que sean dos veces diferenciables en x .

5. La deflexión máxima del extremo de una viga en voladizo que se obliga a vibrar por medio de una carga armónica ( ) tsenxw ω es un funcional cuyo dominio es el conjunto de todas las funciones admisibles de distribución de carga ( )xw

6. La energía potencial ( ) ( ) 2

0

1 ''2

lV EI x y x dx= ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ que es almacenada en una viga

flexionada es un funcional cuyo dominio es el conjunto de todas las curvas admisibles de deflexión ( )xy .

7. La energía cinética de una viga vibrante ( ) ( )∫=l

tdxsenxyxT

0

222

21 ωρω en

cualquier instante particular es una funcional cuyo dominio es el conjunto de todas las curvas admisibles de deflexión ( )xy .

Un funcional que se estudiará a detalle es :

( ) ( )∫∫ ≡=b

a

b

adxuuxFdxyyxFI

',,',, (1)

En particular, se intenta hallar la función , y , en el dominio de todas las funciones continuamente diferenciables que satisfacen las condiciones en los extremos ( ) 1yay = y ( ) 2yby = que maximice o minimice a I . PRINCIPIOS VARIACIONALES Los principios variacionales son una de las herramientas más poderosas para formular las ecuaciones de movimiento de sistemas de GDL−n y sistemas continuos con una clara comprensión sobre cualquier aproximación hecha durante el proceso de derivar las ecuaciones. El cálculo de variaciones es un método poderoso para la solución de problemas en varios campos, algunos ejemplos son:

ESTÁTICA Y DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS ELASTICIDAD (EN GENERAL) VIBRACIONES ÓPTICA OPTIMIZACIÓN



El cálculo de variaciones estudia la determinación de un extremal (MÁXIMO o MÍNIMO) o valores estacionarios (PUNTO DE INFLEXIÓN) de FUNCIONALES. Un FUNCIONAL puede definirse como una función de funciones. Con lo cual el cálculo variacional puede usarse para resolver problemas de optimización de trayectorias.

Las bases de este tópico fueron dadas por los hermanos Bernoulli e importantes

contribuciones fueron hechas por Euler, Lagrange, Weirstrass, Hamilton y Bolzane.

Fig. Puntos extremales de ( )tfx = PROBLEMA DE CÁLCULO DE VARIACIONES Un problema simple de la teoría del cálculo de variaciones puede establecerse de la siguiente manera, sin restricciones: Encuentre una función ( )xu que MINIMICE al funcional (integral)

( )∫=2

1

'',',,

x

xuuuxFA (1A)

donde A y F son FUNCIONALES (funciones de otras funciones)

( )xuu = ( )

dxxduu ='

( )2

2

''dx

xudu =

En mecánica , el funcional usualmente posee un significado físico claro. Por ejemplo en la mecánica de sólidos deformables, la energía potencial ( )π juega la regla del funcional (π es una función de las componentes del desplazamiento u , v y w , las cuales, a su vez, son funciones de las coordenadas x , y y z ). La integral en (1) está definida en la región o dominio [ ]21 , xx . Sean los valores de u definidos sobre las fronteras 11 )( uxu = y 22 )( uxu = . Éstas se conocen como las condiciones de frontera del problema. Uno de los procedimientos que pueden usarse para resolver el problema de la ec. (1) es ;



1. Seleccione una serie de intentos o soluciones tentativas ( )xu para el problema dado y

exprese el funcional A en términos de cada una de las soluciones tentativas. 2. Compare los valores de A dados para las diferentes soluciones tentativas . 3. Encuentre la solución correcta al problema como la solución particular tentativa la cual

hace que el funcional A posea un extremo o valor estacionario. El procedimiento matemático usado para seleccionar la solución correcta de un número de soluciones tentativas se llama CÁLCULO DE VARIACIONES. VALORES ESTACIONARIOS FUNCIONALES Cualquier solución tentativa ( )xu en la vecindad de la solución exacta ( )xu puede representarse

la variación de u (es decir uδ ) se define como un infinitesimal, cambio arbitrario en u para un valor fijo en la variable x (es decir, para 0=xδ ). Aquí δ es el OPERADOR VARIACIONAL (similar al operador diferencial d ). La operación de variación es conmutativa en la integración y derivación

( ) ( )dxFdxF ∫∫ = δδ

( )udxd

dxdu δδ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

También, definimos la variación de una función de varias variables o un funcional en una manera similar al cálculo elemental de la diferencial total de una función.

xx de fijo un valor paravariación 0=δ

xxFu

uFu

uFu

uFF δδδδδ

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= ''''

'' (2)

0

( ) ( ) ( )

u de exactatentativavariación soluciónsolución

xuxuxu

δ+=

u2

u1

x1 x x2

Solución Tentativa Solución Exacta

)(xuδ

)(xu



Ahora, consideraremos la variación en ( )AA δ correspondiendo a variaciones en la solución uδ . Si buscamos la condición en la cual A es estacionaria, tomamos la condición (necesaria) como aquella que anula la primera derivada de A (similar a maximizar o minimizar funciones simples en cálculo ordinario)

∫∫ ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

= 2

1

2

1

0''

'''

'x

x

x

xFdxdxu

uFu

uFu

uFA δδδδδ (3)

( ) ( )∫∫∫∫ −∂∂

=∂∂

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=∂∂ 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

'

''''

'x

x u

x

x

x

x

x

x

x

xudxF

dxdu

uFdxu

xuFdx

xu

uFdxu

uF δδδδδ (4)

( )

∫

∫∫∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−∂∂

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

'''''

''

'''

'''

'''

''''

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

udxuF

dxdu

uF

dxdu

uF

dxuuF

dxdu

uFdxu

xuFdxu

uF

δδδ

δδδδ

(5)

Así

( )2

1

2

1

2

1

2

2

' ''

''' '''

x

x

x

x

x

xu

uFuFu

dxdFuudx

uF

dxd

uF

dxd

uFA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−∂∂

= ∫ δδδδ

Ya que uδ es arbitraria, cada uno de los términos debe igualarse a cero.

0''' 2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−∂∂

uF

dxd

uF

dxd

uF

(7)

( ) 0 2

1

''' =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

x

xuu uF

dxdF δ (8)

0' ''

2

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

x

x

uuF δ (9)

La ecuación (7) es la ecuación diferencial gobernante para el problema dado y se llama la ECUACIÓN DE EULER o EC. EULER-LAGRANGE . Las ecuaciones (8) y (9) dan las CONDICIONES DE FRONTERA. Las condiciones que establecen las ecs. (8) y (9) se conocen como CONDICIONES DE FRONTERA NATURAL (Si ellas son satisfechas se llaman condiciones de frontera libres ). Si las condiciones de frontera NO son satisfechas, deberíamos tener;



( ) 01 =xuδ ( ) 02 =xuδ ( ) 0' 1 =xuδ ( ) 0' 2 =xuδ

para que sean satisfechas las ecuaciones (8) y (9). Éstas se llaman CONDICIONES DE FRONTERA FORZADAS O GEOMÉTRICAS . Distinga que la ec. (7) de la página previa puede reducirse si F no depende de u ′′ a la expresión;

0'=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−∂∂

uF

dxd

uF

(7A)

CASOS ESPECIALES DE LA EC. (7A)

i) Si la función F no involucra a u de manera explícita, entonces 0≡∂∂

uF y la ec. (7A)

se reduce a; kuF

uF

dxd

=′∂

∂∴=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′∂∂ 0

ii) Si F no involucra a x ni a u de manera explícita, la derivada parcial uF′∂

∂ es función

solo de .u′ Toda solución tendrá la forma au =′ donde la cte. a es una función de uk ∴. es una función lineal de x.

iii) Puede verificarse por diferenciación que :

Si F no involucra a x en forma explícita, entonces 0≡∂∂

xF y la ecuación de Euler-Lagrange se

simplifica. Una primera integración de esta ecuación da como resultado

KFuFu =−′∂

∂′

iv) Si el integrando F de la integral ( )∫ ′= 2

1

,,x

xdxuuxFA es la derivada total de alguna

función ( )uxh , con respecto de x, entonces.

( ) ( ) ( )( )

( )2 2 2 2

1 1 1 1

,

2 1,, , , ,

x x x u

x x x u

dA u x u u dx h x u dx dh x u h hdx

′= = = = −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ∫ (8)

xF

uF

dxd

yFuF

uFu

dxd

∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′∂∂

−∂∂′−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

′∂∂′



Esto prueba que el valor de A es independiente de u, aunque u debe de cumplir las condiciones de extremo ( ) ( ) 2211 uy uxuxu == . Para este caso la ecuación Euler-Lagrange se analiza como;

( )

2 2

'2

2 2

' 2

; por hipótesis con esto

;u u

u

dh h hF udx x u

h h hF u Fu x u u

d h hF udx x u u

∂ ∂ ′= = +∂ ∂

∂ ∂ ∂′= + =∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ′= +∂ ∂ ∂

Ya que uxxu hh = se tiene que ( )' 0u udF Fdx

− ≡

Comentario

Debe tenerse cuidado y distinguir que la ec. (7A) no es una condición suficiente para que u extremice la integral A(I) de la ec. (8) o ec.(1). Una solución de la ec. de Euler-Lagrange, con condiciones de extremo pre-definidas, puede conducir a un valor estacionario de A pero no necesariamente un máximo o un mínimo; y aún si un extremo ocurre, éste puede ser relativo y no absoluto. En algunos casos inclusive podría obtenerse soluciones en forma implícita lo cual a su vez traería sus complicaciones. Estas observaciones sugieren la necesidad de profundizar más en la teoría matemática, pero afortunadamente en aplicaciones elementales del cálculo de variaciones esto no es necesario en forma estricta. Así que podemos dejar de intentar profundizar en la teoría y mejor nos concentraremos en aspectos prácticos del tema lo cual después de todo es nuestro objetivo principal. Para un estudio más detallado (Rigor Matemático) consultar.

1. Gilbert A. Calculus of Variations, Mathematical Association of America,1944. 2. Weinstock R. Calculus of Variations, Mc Graw Hill, NY, 1952. 3. Lanczos C. The Variational Principles of Mechanics, Dover, 4th ed, 1970.



0'x

)(xφ

)(xη

0x 1'x 1x

LEMA BÁSICO DEL CALCULO DE VARIACIONES. Si para cada función continua en ( )xη se tiene

( ) ( ) 01

0

=∫x

xdxxx ηφ

( )( ) 0

0

1

0

==

xx

ηη

siendo ( )xφ una función continua en [ ]10 , xx , entonces ( ) 0≡xφ en dicho segmento.

Para probar lo anterior, suponga que ( ) 0≠xφ , entonces existe una 'x para la cual ( ) ( ) 0' ó 0' <> xx φφ

Definamos una ( )xη , tal que

( ) ( ) ( )2 2' '0 1

0

0

x x x x xη

⎧⎪⎪= − −⎨⎪⎪⎩

'0 0

' '0 1

'1 1

x x x

x x x

x x x

≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

Note que ( )xη es continuamente diferenciable, sustituyendo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ −−=1

0

'1

'0

2'1

2'0

x

x

x

xdxxxxxxdxxx φφη

para el caso en que ( ) 0>xφ { }'

1'0 xxx ≤≤ el resultado de la integral es positivo lo cual

contradice la hipótesis, luego ( ) .0≡xφ Igualmente se puede obtener este resultado si se supone ( ) 0<xφ .



VARIACIONES Suponga que ( )',, yyxF es una funcional definida sobre un conjunto de funciones ( ){ }xy y desarrollaremos una expresión para el cambio de F correspondiente a un cambio asignado de ( )xy para un valor fijo de x

Si se cambia ( )xy a la función

( ) ( )( )x y x xϕ εη= + ε independiente de x

al cambio ( )xεη lo llamaremos variación de y y lo denotaremos por yδ

( )xy εηδ = luego el valor cambiado de ( )' xϕ es

( ) ( )'y x xεη′+

( ) ( )xxy '' εηδ = para la variación de ( )xy' correspondiente a estos cambios se tiene

( ) ( )',,'',, yyxFyyxFF −++=Δ εηεη

Si desarrollamos el primer término del segundo miembro en un desarrollo de Maclaurin en potencias de ε , se tiene

( ) ( )',,...!2

''

2''

',,2

2'2'

222

2

2

yyxFyF

yyF

yF

yF

yFyyxFF −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+=Δεηηηηεηη

Despreciando los términos de ε con potencia 2≥ , se tiene

εηηε ''y

FyFF

∂∂

+∂∂

=Δ

En forma equivalente

''

yyFy

yFF δδ

∂∂

+∂∂

=Δ

Por analogía con la diferencial de una función, la última expresión se define como la variación del funcional F y se denota *Fδ .



*Por estricta analogía con la diferencial de una función de tres variables, se podría haber esperado la definición

''

yyFy

yFx

xFF δδδδ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Sin embargo se debe recordar que el funcional es el valor de ( )',, yyxF en un valor particular de x es decir, no se hace variar x en el cálculo de Fδ y por consiguiente 0=xδ De paso se observa que en su forma más simple, la diferencial de una función es una aproximación de primer orden al cambio en la función a medida que x varía a lo largo de una curva particular, mientras que la variación de un funcional es una aproximación de primer orden al cambio en el funcional, en un valor particular de x , a medida que variamos de curva a curva. Resulta interesante e importante hacer notar que las variaciones pueden calcularse mediante las mismas reglas que se aplican a las diferenciales.

( ) 2121 FFFF δδδ ±=±

** ( ) 122121 FFFFFF δδδ +=

22

2112

2

1

FFFFF

FF δδδ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( ) FnFF nn δδ 1−= ** ( ) ( ) ( ) 212121 '',,'',, FFyyxFyyxFFF −++++=Δ εηεηεηεη De donde desarrollando una vez más en términos de potencias de ε , y recordando que

yδεη = y '' yδεη = , se obtiene

( ) 2122

211

121 ...''

...''

FFyF

yFF

yF

yFFFF −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+=Δ εηηεηη

122111

222

1 ''

''

FFFFyyF

yyF

FyyF

yy

FF δδδδδδ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

De la definición ( ) ( )[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

dxdyyx

dxdy

dxd δδεηδ '

Que establece: La derivada de la variación es igual a la variación de la derivada Si se tiene un funcional de más de una función se tendría por ejemplo para ( )',',, uvuxF , entonces la variación de éste se define

''

''

vvFu

uFv

vFu

uFF δ

δδδ

δδδ

δδδ

δδδ +++=

Antonio

Cross-Out

Antonio

Replacement Text

F(x,u,v,u',v')



Considérese ahora que se tiene el funcional ( )',, yyxF y que se desea conocer la variación de su integral ( ), , 'F x y y dxδ ∫

( ) ( )∫=b

adxyyxFyI

',,

luego ( ) ( )yIyII −+=Δ εη

Si los límites de I no dependen de y , se tiene

( ) ( ) =−++=Δ ∫∫b

a

b

ayyxFyyxFI

',,'',, εηεη

( ) ( )[ ] ( )dxyyxFyyxFyyxFb

a

b

a ∫∫ Δ=−++=

',,',,'',, εηεη

así

( )dxyyxFIb

a∫=

',,δδ

La integral de la variación es igual a la variación de la integral. Una condición necesaria para que el funcional I tenga un extremo es que su variación se anule

( ) ( ) ( ) dxydxdFyFdxyFyFdxyyxFI

b

a yy

b

a yy

b

a '',,

'

'

∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+== δδδδδδ

integrando el último término por partes, con 'yFu = y ( ) dxydxddv ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= δ

( ) ( )∫∫ −=

b

a

'

'

'

ydx

dxFd

yFdxdx

ydF yb

ay

b

a y δδδ

como se supone que ( )xy εηδ ≡ se anula en ax = y bx = debido a las condiciones usuales sobre ( )xy o bien, que 'yF satisface las condiciones naturales en la frontera, lo que hace que se anule en estos puntos, se tiene

( )∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

b

a

yy ydx

dxFd

FI

' δδ

Como ya hemos visto que ( )

0 ' =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

dxFd

F yy es una condición necesaria para la

existencia de un extremo de I , se concluye que Iδ también es cero en cualquier extremo de I . Inversamente, puesto que yδ es una variación arbitraria en y , la condición 0=Iδ implica que

Antonio

Highlight



( )0 ' =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− y

y FdxFd y esto nos representa justamente la ecuación que ya habíamos deducido

( )

0' =− yy F

dxFd

0'

d F Fdx y y

⎛ ⎞∂ ∂• − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Ecuación de Euler



Ejemplos 1) ¿ Qué curva que una los puntos ( )111 , yxP y ( )222 , yxP tiene la longitud más corta ? Aquí, la respuesta es obvia, a saber, el segmento 21PP , pero resulta interesante verificar este hecho geométrico elemental, por medio del cálculo de variaciones. Por supuesto, lo que se tiene que hacer es determinar la función que minimice la integral

∫ ∫=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+== 2

1

2

1

2

1xx

xx

x

xdx

dxdydsL

para esta integral, la ecuación de Euler es

( ) ( ) 0'1 '1 22 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

′∂∂ y

yy

ydxd

lo cual se reduce a

( )c

y

y=

+ 2'1

'

despejando 'y

mc

cy =−

=21

'

integrando bmxy +=

Por supuesto, las constantes m y b se determinan por la condición de que esta recta debe

pasar por 1P y 2P . Por ejemplo es fácil verificar que, m, la pendiente de la recta que cubre los puntos 1P y 2P es: Aplicando la condición de P1 Aplicando la condición de P2 Ahora restando se obtiene Finalmente despejando m, se obtiene

12

12

XXYYm

−−

=

bmxy += 11

bmxy += 22

)()()( 121212 xxmbmxbmxyy −=+−+=−

12

12

XXYYm

−−

=



2) 16.3 P7 ¿Qué curva que une los puntos ( )baP ,:1 − y ( )baP ,:2 genera la superficie de menor área al girar alrededor del eje x ? En este caso tenemos que minimizar la integral

( )∫ ∫=

−= −+==

ax

ax

a

adxyyydsS

2 '122 ππ

De donde, debemos resolver la ecuación de Euler

( )( ) 0'1

'1

' 2 2

2=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+y

y

yydxdπ

llevando a cabo la derivación indicada y simplificando, obtenemos sin dificultad la ecuación diferencial

( ) 01' 2 =−−′′ yyy para resolverla hacemos

dydyy

dxdy

dydy

dxdyy '''''' ===

para obtener

( ) 01''' 2 =−− ydydyyy

la cual es una ecuación separable

( )dy

yyd

yy 1

'1'

2 =′+

integrando

( )[ ] cyy ln2ln2'1ln 2 −=+ ó ( ) 21

22'1

cyy =+

a partir de lo que se concluye que

1

21

2

'c

cyy

−= ó

121

2 cdx

cydy

=−



integrando nuevamente

211

1cosh ccx

cy

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− o ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 2

11 cosh c

cxcy

Como 1P y 2P están colocados simétricamente respecto al eje y, se deduce que la curva requerida también debe ser simétrica respecto al eje y. De donde, c2 = 0, así

Para determinar c1, se tiene la ecuación 3) ¿En que curvas puede alcanzar su extremo el funcional ?

( )[ ] ( )[ ]∫ −= 2

0

22'π

dxyyxyv ( ) 00 =y , 12

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πy

en este caso la ecuación de Euler tiene la forma

[ ] ( ) 02'2 =−− yydxd

o 0'' =+ yy

La ecuación diferencial anterior tiene la solución familiar

xcxcy sencos 21 += Utilizando las condiciones de frontera, se tiene 01 =c , 12 =c por consiguiente, el extremo puede alcanzarse sólo en la curva xy sen=

11 cosh

cxcy =

11 cosh

cacb =



4) PROBLEMA DE LA BRAQUISTÓCRONA (Vocablo griego; braquistos que significa más corto y cronos tiempo) Determinar la curva que une dos puntos dados A y B por la cual al moverse un punto material caiga desde el punto A hasta el punto B en tiempo mínimo (el rozamiento y la resistencia del medio se desprecian) Ubiquemos el origen de coordenadas en el punto A, el eje 0x en forma horizontal, y el 0y verticalmente hacia abajo. La velocidad de movimiento del punto material es

gydtdsv 2==

de aquí se halla el tiempo invertido en el desplazamiento del punto desde la posición )0,0(A hasta la posición ( )11 , yxB

( )( ) ( )∫

+= 1

0

2'121 x

dxyy

gxyt

( )( ) 11

00yxy

y==

Como F depende sólo de y e 'y ( )', yyFF = la ecuación de Euler tiene la primera integral igual a

1'' c

yFyF =∂∂

−

( ) ( )( )( ) cyy

yyy

=+

−+

2

22

'1''1

simplificando

( )[ ] cyy

=+ 2'1

1 o ( )[ ] 1

2'1 cyy =+

Introduciendo el parámetro t , haciendo ty ctg'= , se obtiene

( )tctct

cy 2cos12

senctg1

1212

1 −==+

=

( )tctct

tdttcydydx 2cos1sen2

ctgcossen2

' 12

11 −====

( ) 21

21 sen2222

sen2 cttccttcx +−=+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

por lo tanto, en forma paramétrica la ecuación de la curva buscada es:



( )ttccx sen2221

2 −=−

( )tcy 2cos121 −=

si se transformara el parámetro mediante la sustitución 12 tt = y se toma en cuenta que 02 =c , puesto que para 0=y es 0=x , se obtiene la ecuación de una familia de cicloides de la forma habitual

( )111 sen

2ttcx −=

( )11 cos12

tcy −=

siendo 21c el radio de la circunferencia que rueda, la cual se determina de la condición de que la

cicloide pasa por el punto ( )11 , yxB de este modo la BRAQUISTÓCRONA es una cicloide.



5) 16.3 P23 (Wylie C.R. “Advanced Engineering Mathematics”, 6th ed. Mc Graw Hill, 1995) Encuentre la ecuación de la curva que une los puntos (0,1) y (2,3) y a lo largo de la cual la

integral ( )

∫′+2

0

21dx

yy

es un mínimo.

Haciendo dyxdxdydxx ′=∴=′ , y la integral puede escribirse

( )

∫+′x

xdy

yx

0

12

0 =∂∂

−′∂

∂≡

∂∂

−′∂

∂uF

uF

dyd

xu

xu

dyd

aquí ( )012

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +′∂∂

=∂∂

yx

xxu

( )[ ] xy

xcxu

xu

dyd ′+′

==′∂

∂∴=

′∂∂

−2

12

110

( )( )

( )[ ]( ) ( )( ) ( )

( )

( )∫ ∫−

=

−=

−=′

′+=′+=′

′+′

==+′

′

dyyc

ycdx

ycyc

dydx

ycycx

xycycxycx

xyxCC

xyx

2122

1

1

221

12

1

212

2221

221

221

2

22

22

112

1

1 ;

1

1

1 ;

1

( ) ( )

( ) nciacircunfere Ec.

111

11

2222

221

212

1

22

222

11

kycx

yc

ycc

cx

cycc

x

=+−

−=−=−

+−−=

Para el caso particular de los puntos dados

( ) ( )3,2y 1,0 ; 2 ; 0 210 PPxx == ( )( )

( ) 103 32

10 2

2222

2222 +−−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

=+−

=+−xy

kc

kc



6) 16.5 P7 Ejercicio de Variaciones

Dado ( ) ( ) .'',, 2 xyyyyxF += Calcúlese FΔ y Fδ para 0xx = , 2xy = y nxy εδ = entonces

verifíquese la ec. FyyFy

yFF δδδ ≡

∂∂

+∂∂

=Δ ''

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]=+−++⋅⋅+⋅++++=Δ xyyyxxyyF 22

222 '!2

'2'020''2' …εηηηηεηη

ε

ηεη yyxy =∴== ;2

[ ] ( ) [ ] εηεηεεηε ''4'4 121 ⋅++=++= ++ 2 nnnn xnxxnx ; yδηε = [ ] [ ] 1111 4''4 −−++ ++=⋅++= nnnnnn xxxnxyyxnx ηεηεεδδε ; '' yδεη =

[ ] [ ] 222121121 4 4 εηεεηε nnnnnnn xxnxxxxnx ++=⋅++= +−−+

yFyFyyFy

yFF yy '''

'δδδδδ +=

∂∂

+∂∂

= ;

( ) ( )[ ]εεε 111 22'2 −+− +=+= nnnn xnxxxnyxx

[ ]ε 14 ++= nn xxn

1' −= nxny εδ



PRINCIPIO DE HAMILTON Y EC. DE EULER-LAGRANGE El cálculo de variaciones es la base para la deducción del principio de Hamilton y la ecuación de Euler-Lagrange. Aunque la 2ª ley de Newton , maF = , basta para el planteamiento de muchos problemas de la dinámica, existen refinamientos y generalizaciones que con frecuencia proporcionan métodos de ataque más efectivos. En esta última sección se dará una breve descripción de dos de estos métodos: EL PRINCIPIO DE HAMILTON y LA ECUACIÓN DE LAGRANGE En el curso de dinámica avanzada se estudia con mayor detalle estos métodos así como las aplicaciones a problemas de la dinámica. El principio de Hamilton también llamado principio de mínima acción, establece que el movimiento de un sistema mecánico es tal que la conversión de energía es mínima. Lo cual implica que la siguiente integral tiene un valor mínimo.

dtLt

t∫2

1 (A)

Donde VTL −= se conoce como el Lagrangiano del sistema, siendo T la energía cinética y V la energía potencial, y a la integral (A) también se le llama Integral de acción. Para sistemas de grado de libertad uno, el Lagrangiano es función de la coordenada generalizada q , su derivada con respecto al tiempo q y el tiempo t , ),,( tqqL . Luego como se requiere que la integral de acción sea mínima se puede escribir

02

1

=∫ dtLt

tδ

y de la deducción ( )L F→ presentada se obtiene la EC. DE EULER-LAGRANGE

0=∂∂

−∂∂

qL

dtd

qL

esta ecuación se conoce como la ecuación de Lagrange para sistemas conservativos y es su ecuación de movimiento. Cualquier conjunto de coordenadas que define completamente la configuración del sistema se llaman coordenadas generalizadas y el número de éstas es el grado de libertad.



Por ejemplo el péndulo doble de la figura tiene coordenadas generalizadas 1θ y 2θ y por lo tanto tiene grado de libertad 2.

Ejemplos 7) Establecer la ecuación de movimiento del sistema masa-resorte sin fricción tomando x como coordenada generalizada, oscilador armónico.

( ) xmxmdtd

xL

dtdkx

xL

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=∂∂ ,

sustituyendo en la ecuación de Euler-Lagrange , se obtiene

0=−− xmkx , 0=+ kxxm Esta ecuación resulta ser la conocida ecuación de vibración , que con igual facilidad se puede obtener de la 2ª ley de Newton . 8) Como un segundo ejemplo de la aplicación de la ecuación de Lagrange considérese el péndulo simple y obtenga su ec. de movimiento.

2

21 xmT =

2

21 kxV =

22

21

21 kxxmVTL −=−=

En este caso la coordenada generalizada es θ y el Lagrangiano es

( ) 2 21, , cos2

L t ml mglθ θ θ θ= +

Donde se tomó como nivel de referencia el punto de pivote

θθ

senmglL−=

∂∂

( )2 2d L d ml mldt dt

θ θθ

⎛ ⎞∂= =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

1θ

1l

1m

2θ

2l

2m



sustituyendo en la ecuación de Euler-Lagrange

2sen 0mgl mlθ θ− − = sen 0gl

θ θ+ =

*ya en este ejemplo simple si no se eligen adecuadamente los ejes al aplicar la 2ª ley de Newton podría complicarse algo el problema 9) Usando las ecuaciones de Lagrange obténgase el sistema de ecuaciones diferenciales que describe las vibraciones debidas a la torsión del sistema de discos acoplados elásticamente que se muestra en la figura

En este caso las coordenadas generalizadas son lo ángulos de torsión iθ en cada uno de los discos, así se tiene

[ ]22222

2112

1nnii IIIIT θθθθ …… +++++=

también, como la energía potencial almacenada en un eje sometido a torsión es

( )2

21 torsión de ángulomódulo ×

se tiene

( ) ( ) ( ) ( )[ ]2211

21

211

2211

210

21

nnnnniiiiii kkkkkkV θθθθθθθθθθ +−++−+−++−+= −−+−− ……

de donde, las ecuaciones de Lagrange ( )[ ]tL ,,θθ se obtiene de (ver pág. II-37):

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

ii

LdtdL

θθ - ; i = 1,2,3,…,n (B)

Antonio

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Ojo, es necesario primero ver II-37

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II-37



así

( ) 02111011 =−++ θθθθ kkI

( ) ( ) 032221122 =−+−− θθθθθ kkI

( ) ( ) 0111 =−+−− +−− iiiiiiii kkI θθθθθ

( ) 011 =+−− −− nnnnnnn kkI θθθθ

Estas ecuaciones son fáciles de establecer por medio de métodos elementales basados en la 2ª ley de Newton(ec. Newton-Euler), en forma aplicable a la torsión, pero el uso de las ecuaciones Lagrange elimina la necesidad de comprobar los signos de los diversos momentos de torsión, lo que a veces resulta incomodo. 10) Ejemplo de Optimización (Rao S. Ref. [11]): DISEÑO DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN PARA ARRASTRE (DRAG) MÍNIMO Ahora consideremos el problema de determinar la forma de un sólido de revolución para arrastre mínimo. En el caso general, las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo sólido trasladándose en un líquido dependen de la forma del cuerpo y de la velocidad relativa en una manera muy compleja. Sin embargo, si la densidad del fluido es suficientemente pequeña, la presión normal( P ) actuando sobre el cuerpo sólido puede aproximarse por [M.J. Forray, 1968]

θρ 22sen2 vP = (E1) →ρ densidad del fluido →v velocidad del fluido relativa al cuerpo sólido →θ ángulo entre la dirección de la velocidad del fluido y la tangente a la superficie[fig1]

Fig. 1 Fig. 2



Ya que la presión actúa normal a la superficie, la componente x de la fuerza actuando sobre la superficie de una rebanada de longitud dx y de radio ( )xr , [fig.2], puede escribirse

θEA)senNORMAL)(AR (PRESIÓN=dP

( ) ( )[ ] θπθρ sen'12sen2 222 dxyyv += (E2)

donde dxdyy =' . La fuerza total de arrastre, P , está dada por la integral de la ecuación (E2)

( )∫ +=L

odxyyvP

232 '1sen 4 θπρ (E3)

→L Longitud del cuerpo. Para simplificar los cálculos, supongamos que 1'<<y tal que

( )'

'1

'sen2

yy

y≈

+=θ

así la ecuación (E3) puede aproximarse por

( )∫=L

oydxyvP

32 ' 4πρ (E5)

Ahora el problema de arrastre mínimo puede establecerse como; Encontrar ( )xy la cual MINIMICE el arrastre P dado por la ec. (E5) sujeto a la condición que ( )xy satisfaga las condiciones en los extremos

( ) 00 ==xy ( ) RLxy == (E6)

comparando el funcional P de la ec. (E5) con A de la ec. (1), se tiene

( ) ( ) yyvyyyxF 32 '4'',',, πρ= (E7) La ecuación de Euler-Lagrange, (7) que corresponde a este funcional es;

( ) ( )[ ] 0'3' 23 =− yydxdy (E8)

las condiciones de frontera , ecs. (8) y (9), se reducen a ;

( )[ ] 0 '30

2 ==

=

Lx

xyyy δ (E9)



La ec. (E8) puede escribirse como o (E10)

( ) 0'''3' 3 =+ yyyy

Esta ecuación, cuando integramos una vez, da

( ) ( )3 3 31'd y y y y C k⎡ ⎤′ = = =⎣ ⎦ (E11)

donde 1k es la constante de integración. Integrando ec. (E11), se obtiene

( ) ( )43

21 KxKxy += (E12)

331 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

dxdy

yk

3/11

yk

dxdy

=∴

dxkdyy 13/1 =

213

4

43 kxky +=

2211

4/3

21 34

34;)(

34 kKykKkxky ==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=∴

La aplicación de las condiciones de frontera

LRK

34

1 = y 02 =K

De aquí la forma del sólido que tiene un arrastre mínimo está dado por la ecuación

( ) 43

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

LxRxy

( ) ( ) ( )[ ] 0'''2'3' 23 =+′− yyyyyy



MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Y RESTRICCIONES Si la variable x NO es por completo independiente sino que tiene que satisfacer alguna(as) condición(es) de restricción, el problema puede establecerse como sigue: Encuentre la función ( )xy tal que la integral

( )dxyyxFAx

x ',,2

1

∫= → mínimo (10)

sujeta a la condición ( ) 0',,* =yyxh

donde h puede ser una función integral. El valor estacionario de un problema de cálculo de variaciones restringido puede encontrarse usando MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.

PROBLEMAS CON RESTRICCIONES El concepto de incluir restricciones puede generalizarse. Analice el problema de encontrar las funciones ( ) ( ) ( )zyxuzyxuzyxu n ,,,,,,,,, 21 … que hacen que el funcional

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

v n dvxuuuuzyxf ,,,,,,,,, 1

21 …… (11)

sea estacionario sujeto a las −m restricciones

0,,,,,,,, 1211 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ ……

xuuuuzyxh n

(12)

0,,,,,,,, 121 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ ……

xuuuuzyxh nm

El método de los multiplicadores de Lagrange consiste en tomar variaciones en el funcional

( )dvhhhfAv mm∫ ++++= λλλ …2211 (13)

donde iλ son ahora funciones de la posición. En el caso especial donde una o más de las ih son condiciones integrales, las iλ asociadas son constantes .

Antonio

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Ver primero II-37



11) Ejemplo. Analice el movimiento de la partícula en el plano inclinado. Usando Lagrange-Multiplicadores V energía potencial = mgh = mgy

T energía cinética = 22

21

21 smmv =

mgysmL −= 2

21

∴ s, y coordenadas generalizadas.

( ) 01 =−−= ysensl θφ Restricción holonómica.

Una forma alterna para obtener los multiplicadores de la ec. 13, así como la ecuación de movimiento es ;

1

nj

j NCji i i

d L L Qdt q q q

φλ

=

∂∂ ∂− = +

∂ ∂ ∂∑ Ec. de Euler-Lagrange en términos de los multiplicadores

(restricciones) y de las fuerzas (generalizadas) actuando sobre el sistema.

1 11 1

1

0 ; 0

; 0

0

d L L d L Ldt s s s dt y y y

L d L Lms mss dt s yL L mgs y

sens

φ φλ λ

φ θ

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂− − = − − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂∂ ∂

= = −∂ ∂∂

= −∂

1 1yφ∂

= −∂

00

00

1

11 =−⎭⎬⎫

=+−=∴=++

θθλ

λλmgsensm

sensmmgmg

lM

s

θ

Y



12) P6-12 (Greenwood D. Ref. [12]) Las partículas m1 y m2 están restringidas a moverse sin fricción en el plano xy tal que m1 permanece sobre el eje horizontal y m2 sobre el eje vertical. Las partículas están conectadas por una barra sin masa de longitud l. Obtenga la ecuación de movimiento usando multiplicadores de Lagrange. Multiplicaciones de Lagrange

mgyyl

ymxmTxlsen

Qqiq

LqL

dtd

jnc

ij

ii

−==−=

+==−=

+∂∂

=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ ∑

=

V ; 0cos21

21 ; 0

2

221

1

θφ

θφ

φλ

x, y, θ coordenadas generalizadas

1 1 1

; ; 0

d ; ; 0dt

1 ; 0 ;

L L Lmx myx y

d L L d Lmx mydt x y dt

lx y

θ

θφ φ φ

θ

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∂ ∂ ∂

= − = =∂ ∂ ∂

2 2 2

cos

0 ; 1 ;

0 ; ; 0

lsenx yL L Lmgx y

θ

φ φ φ θθ

θ

∂ ∂ ∂= = − = −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

sustituyendo; ( )θ,, 3,2,1 yxi =

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0-cos ; cos00 -mg-ym ; 10 ; 010

2121

2221

1121

=−+=−+−=∴=−+=−

−=∴−=+−=−

θλθλθλθλλλλλλλλλ

lsenllsenlmgymmgym

xmxmxm

además

θθθθθθθ

θθθθθθθ

senllysenlylylsenlxlxlsenx

−−=−==

+−===

cos ; ; coscos ; cos ;

2

2



Así

( ) ( )θθθθθθθθλ coscos 221 lsenlmlsenlm −=+−−=

( ) ( ) mgsenllmmgsenllm ++=++−−= θθθθθθθθλ coscos 222

usando la ec. donde aparece 21 y λλ se obtiene ( ) ( )

0

00coscossco

2

22

=+∴

=−−

=++−−

θθ

θθ

θθθθθθθθθθ

senlg

glsenllsengnsellmllsenlm

¡Distinga que es la ecuación de un oscilador armónico!



13) (P. Hamilton) Usando el principio de Hamilton deduzca la ec. de movimiento del siguiente sistema-masa-resorte

Hasta aquí el indicador variacional ha sido expresado en términos de tres variables ( )yx,,υ y sus variaciones.

Se introducen los requerimientos geométricos

( )

2 ;

2

yxydtdy

yxy

δδδδδυ

υ

===

==

Sustituyendo en el indicador variacional e integrando un término (el que incluye a la derivada)

( )

mgkyymmgkxm

dtymgkxmdtdymVI

t

t

tt

=+⇒=−+

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−= ∫

4 02

02.. 2

1

2

2

υ

δυυδ

Para aplicar los multiplicadores de Lagrange, regresamos a la ecuación inicial con la restricción geométrica:

yxdtmgykxymVIt

t2 ;

21

21.. 2

1

22 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= ∫ δ

Se introduce la restricción

( ) dtyxmgykxymVIt

t∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= 2

1

221

21.. 22 λδδ

g

M

x

y

y

x( )

( )∫

∫ ∫

+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=−

2

1

2

1

2

1

22

21

21

t

t

t

t

t

t

dtymxkxm

dtmgykxmvdtVT

δδυδυ

δδ



donde ( ) == tλλ multiplicador de Lagrange y se puede interpretar como una fuerza, donde δλ •i (constraint) tiene la interpretación de un trabajo necesario para asegurar que la restricción

sea satisfecha. Finalmente, integrando por partes.

[ ] ( ){ }0y 02

02.. 2

1

2

1

=−=+−

=−++−−= ∫λλ

δλδλδ

kxmgym

dtxkxymgymyymVIt

t

tt

resolviendo el sistema

04

02

=+−

=+−

kymgym

kxmgym

obtenemos la ec. de movimiento en términos de la variable y



14) DISEÑO ÓPTIMO DE UNA ALETA DE ENFRIAMIENTO (Rao S. Ref.[11]) Las aletas de enfriamiento son usadas en radiadores para incrementar la razón de transferencia de calor de una superficie caliente (pared) a un fluido circundante. A menudo, será de interés encontrar la forma óptima (sección variable “TAPERED”) de la aleta (de sección transversal rectangular ) para una masa total especificada la cual transfiera la máxima energía de calor. (PROBLEMA ISOPERIMÉTRICO)

tal que ( ) 10 =t y ( ) 0=∞t . Para formular el problema, primero escribimos la ecuación de balance de calor para un elemento diferencial, dx , de la aleta.

CONDUCCIÓN PORENTRA QUE CALOR DE FLUJO

= CONVECCIÓNYCONDUCCIÓNPOR

SALEQUECALORDEFLUJO

( )∞+

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− tthS

dxdtkA

dxdtkA

dxxx (E2.2)

donde; →k conductividad térmica →A área de la sección transversal de la aleta = ( )xy2 por unidad de ancho de la aleta →h coeficiente de transferencia de calor

→S área superficial del elemento diferencial de la aleta = ( ) dxy 2'12 + por unidad de ancho ( )→xy2 profundidad (altura) de la aleta en cualquier sección x

La configuración de la aleta se muestra en la fig. 12.7. Tomado de la referencia [11] Si 0T y ∞T denotan las temperaturas de la pared y el ambiente, respectivamente, la temperatura de la aleta en cualquier punto, ( )xT , puede expresarse en forma adimensional como

( ) ( )∞

∞

−−

=TTTxT

xt0

(E2.1)



escribiendo

dxdxdtkA

dxd

dxdtkA

dxdtkA

xdxx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

+ (E2.3)

y notando que 0=∞t , la ec. (E2.2) puede simplificarse a

( )2'1 yhtdxdtky

dxd

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(E2.4)

Por simplicidad podemos suponer que 1'<<y y así

htdxdty

dxdk =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

(E2.5)

La cantidad de calor disipado de la aleta al medio circundante por unidad de tiempo está dado por:

dxhtHL

20∫= (E2.6)

suponiendo que el flujo de calor del extremo libre de la aleta es cero. Ya que la masa de la aleta está especificada como m , tenemos

02 0

Ly dx mρ − =∫ (E2.7)

densidad de aleta= ρ

Ahora el problema puede formularse como: Encontrar ( )xt que maximice la integral de la ec. (E2.6) sujeta a la ecuación de restricción (E2.7). Ya que ( )xy en la ec. (E2.7) es una variable también, puede expresarse en términos de ( )xt usando la ecuación de balance de calor (E2.5). Integrando la ec. (E2.5) entre los límites x y L , obtenemos

( ) ( ) ( )∫=−L

xdxxthx

dxdtxky

(E2.8)

suponiendo que el flujo de calor del extremo libre sea cero. La ec. (E2.8)

( )∫−=L

dxxtdx

dtkhxy

0 1)( (E2.9)



sustituyendo la ec.(E2.9) en (E2.7), el problema variacional puede reformularse (replantearse) como: Encontrar ( )xy que maximice

( )∫=L

OdxxthH

2 (E2.10)

sujeto a la restricción

( ) 0 12)',,(

0

* =+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= ∫∫ mdxdxxt

dxdtk

httxhL

x

Lρ (E2.11)

Este problema puede resolverse usando el método de los multiplicadores de Lagrange. El funcional I a encontrar su extremal está dado por

() (E2.12 ) Comparando la ec. (E2.12) con la ec. (1) encontramos que

( )∫+=L

dxxttk

hhtttxF

0

'122)',,( λρ

(E2.13)

La ec. de Euler- Lagrange, ec.(7), da

( )( ) ( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+− ∫∫

xL

x tdx

txtdxxt

tt

khh

0 2

3 '''

''2ρλ =0 (E2.14)

Esta ecuación integro-diferencial deberá resolverse para encontrar la solución a ( )xt . En este caso puede verificarse que la ec.(E2.) satisface a la ec.(E2.14)

( ) 21

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

kxxt λρ

(E2.15)

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+=+=

LLL

dxdxxtdx

dtkxthdxhHI

0

0

0

* 12 λρλ

Multiplicador de Lagrange



El perfil de espesor de la aleta puede obtenerse de la ec. (E2.9) como:

( ) ( ) dxxk

kkhdxxt

tkhxy

L

x

L

x 1

'1

21

21

∫∫ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=

λρλρ

( ) ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

22

221

221

21

xk

xLk

Lk

h λρλρ

λρ

2

321 xcxcc ++ (E2.16) donde

( ) ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

221

211

Lk

Lk

hc λρ

λρ (E2.17)

( )212

λρk

hc −= (E2.18)

( ) kh

kk

hc2

21

213 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=λρ

λρ (E2.19)

El valor de λ (multiplicador de Lagrange) se determina de la ec. (E2.7)

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++== ∫ 32

223

3

2

210

LcLcLcdxxymL

ρρ

( ) khL

k

hLLcLccL

m 2

21

2

321 31

2322−=++=

πλρ (E2.20)

( )k

hLL

mk

hL2

21

21

32

1

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρρ

λ (E2.21)

sustituyendo la ec. (E2.21) en la ec. (E2.16) se obtiene la solución.



FUNCIONALES DE LA FORMA ( )dxyyyyyyxFx

x nn∫1

0

2121 ',...,',',,...,,,

Para obtener las condiciones necesarias de un extremo del funcional del tipo más general

[ ] ( )dxyyyyyyxFyyyvx

x nnn ',...,',',,...,,,,...,, 1

0

212121 ∫=

con condiciones de frontera dadas para todas las funciones

( ) 1001 yxy = , ( ) 2002 yxy = ,... , ( ) 00 nn yxy =

( ) 1111 yxy = , ( ) 2112 yxy = ... , ( ) 11 nn yxy =

variaremos sólo una de las funciones ( )xy j nj ,...,2,1=

dejando las demás invariables. Entonces el funcional [ ]nyyyv ,...,, 21 se transforma en una

función que depende sólo de una función variable, por ejemplo ( )xy j

v [ ] [ ]in yvyyy ,...,, 21 = del tipo ya considerado. Por consiguiente, la función que realiza el extremo debe satisfacer la ecuación de Euler

'i iy ydF Fdx

− =0

Como este razonamiento es aplicable a cualquier función ( )niyi ,...,2,1= se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden

'i iy ydF Fdx

− =0 ( )ni ,...,2,1=

que determinan, en general, una familia dependiente de n2 -parámetros de curvas integrales en el espacio nyyyx ,...,,, 21 que es la familia de extremales del problema variacional dado Si, en particular, el funcional depende sólo de dos funciones ( )xy1 y ( )xy2 ó ( )xy y ( )xz ; entonces:

( ) ( )[ ] ( )dxzyzyxFxzxyvx

x∫=1

0

',',,,,

( ) 00 yxy = , ( ) 00 zxz = , ( ) 11 yxy = , ( ) 11 zxz =

o sea, se determina eligiendo la curva alabeada ( )xyy = , ( )xzz = fig, 1, entonces, variando sólo ( )xy y fijando ( )xz , cambiamos nuestra curva de modo que su proyección en el plano

Antonio

Cross-Out

Antonio

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i=j. Se cambio el indice.



x o z no varía, es decir, la curva permanece todo el tiempo en el cilindro de proyección ( )xzz = , fig. 2.

Análogamente, fijando ( )xy y variando ( )xz , variamos la curva de modo que esta permanezca todo el tiempo en el cilindro de proyección ( )xyy = . Entonces obtenemos un sistema de ecuaciones de Euler

0' =− yy FdxdF y 0' =− zz F

dxdF

Un ejemplo lo representa la ec. de Euler-Lagrange para sistemas de n-grados de libertad ec.(B),

pág. II-23.

Fig. 1

Fig. 2



15) Ejemplo: Hallar los extremales del funcional

( ) ( )[ ] [ ]dxyzzyxzxyv ∫ ++= 2

0

22 2'',π

( ) 00 =y , ( ) 00 =z

12

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛πy 1

2−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛πz

El sistema de ecuaciones diferenciales de Euler tiene la forma

0''0''

=−=−

yzzy

eliminando una de las funciones desconocidas, por ejemplo , z , se obtiene

0)( =− yy iv

cuya solución es conocida

xcxcececy xx sencos 4321 +++= −

ya que ''yz = ∴ xcxcececz xx sencos 4321 −−+= −

utilizando las condiciones de frontera, se halla

01 =c , 02 =c , 03 =c y 14 =c por lo tanto

xzxy

sensen−=

=

Cálculo de las constantes:

xcxcececy xx sencos 4321 +++= −

xcxcececz xx sencos 4321 −−+= −

( ) 00 =y , ( ) 00 =z



12

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛πy 1

2−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛πz

Restando 002 33 =∴= cc

xcececy xx sen421 ++= − ; ( ) xceecy xx sen41 ++= −

xcececz xx sen421 −+= − ; ( ) xceecz xx sen41 −+= −

000 2122

1 ==∴⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

− cceec

ππ

xececy xx sen21 ++= −

xececz xx sen21 −+= −

xzxy

sensen−=

=

Para y

21

321

00

ccccc

+=++=

Para z

21231

3210ccccc

ccc−=∴−=

−+=

42

22

11 cecec ++=−ππ

42

22

11 cecec −+=−−ππ

Restando 122 44 =∴= cc



Ejercicios Propuestos:

1) Hallar el extremal para el siguiente funcional: ( )[ ] ( )[ ]dxyxyv ∫ ′′+=1

0

2 1

Sujeto a las CF siguientes; ( ) 00 =y , ( ) 11 =y

( ) 10 =′y ( ) 11 =′y Ref.[1] (Wylie C.R. “Advanced Engineering Mathematics”, 6th ed. Mc Graw Hill, 1995): Página 1087 (9, 11, 21, 29 y 43) Página 1101 (13, 15, 19) Página 1113 (9 y 10)

Antonio

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Pagina 1117 (3, 11, 18) Pagina 1124 (1)

Antonio

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Tareas

Antonio

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Tareas Opcion 2 16.1(10, 13, 22, 31, 45) 16.3(11, 13, 17) 16.4(4, 9) 16.5(5, 9, 17, *22) 16.6(2, 9)


Ecs. Diferenciales Parciales Aguilera A.

III-1

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Ecuación diferencial parcial, EDP, ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a más de una variable independiente.

Muchos fenómenos físicos se describen mediante ecuaciones diferenciales en

derivadas parciales (sistemas continuos), como ya es familiar si el sistema físico se analiza bajo la suposición de parámetros concentrados entonces nos resultan EDO.

En este capítulo, se analizarán aquellas ecuaciones que surgen comúnmente en la

ingeniería y en la física. Se iniciará el estudio examinando con detalle la deducción de ciertas ecuaciones diferenciales parciales, a partir de principios físicos. Entonces, conociendo las formas que se presentan con más frecuencia, se investigarán los métodos de solución y su aplicación a problemas específicos.

EDO, muy básicas

( ) 34 ydxdyx =+ xy

dxyd 442

2

=+

Separación de variables Primero se resuelve la parte homogénea.

3 4dy dxy x

=+

042

2

=+dx

yd

Integrando ambos miembros ( D2 + 4 )y = 0; ∴ m = ± 2i

( )2

ln 42

y x k−

− = + + Yp = Ax; que conduce 4Ax = 4∴ A = 1, así

Y = C1sen2x + C2cos2x + x



III-2

Diagrama esquemático del estudio de un fenómeno físico

FENÓMENO FÍSICO

MODELO ICONICO

LEYES FÍSICAS

MODELO MATEMÁTICO

SOLUCIÓN

INTERPRETACIÓN DE LA SOLUCIÓN

OSCILACIÓN

2ª LEY DE NEWTON

∑F = ma

EDO “parámetros concentrados”

EDP “continuo”



III-3

EN LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE PROBLEMAS APLICADOS PUEDEN SURGIR ECUACIONES DIFERENCIALES COMO:

02

2

=+ kxdt

xd MECÁNICA: OSCILADOR ARMÓNICO

02

2

=++ xydxdy

dxydx

2UmumU =

∂∂

+

( )xwdx

ydEI 4

4=

wtsenRbIdtdIa

dtId2

2=++

2

2

2

dxdy1

HW

dxyd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= SUSPENSIÓN DE CABLES.

0tV

yV

xV

2

2

2

2

2

2=

∂∂

+∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

yU

xUR

tU

2

22

2

2

xYa

tY

∂∂

=∂∂

( )y,xFyyx

2x 4

4

22

4

4

4=

∂φ∂

+∂∂φ∂

+∂φ∂

ANÁLISIS DE ESFUERZOS.

CALOR, ELECTRICIDAD, AERODINÁMICA, ANÁLISIS DE ESFUERZOS, OTROS CAMPOS

PROBLEMA DE LA TRAYECTORIA DE VUELO DE UN COHETE.

INGENIERIA CIVIL: TEORIA DEFLEXIÓN DE VIGAS.

CIRCUITO ELECTRICO DE CA (BIOLOGÍA O ECONOMIA)

ELECTRIDAD, CALOR, AERODINÁMICA, TEORÍA DE POTENCIALES.

CONDUCCIÓN DE CALOR, DIFUSIÓN DE NEUTRONES EN UNA PILA ATÓMICA.

VIBRACIÓN DE CUERDAS, BARRAS, Y LA PROPAGACIÓN DE SEÑALES ELECTRICAS.



III-4

INTRODUCCIÓN: ( ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS Y EJEMPLOS ) Las formulaciones matemáticas de problemas que involucran dos o más variables independientes conducen a ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES, EDP, como uno podría esperar, la introducción de más variables independientes hace el tema de las EDP más complejo que el de las EDO. 1) EDP y sus soluciones Digamos que una solución de una EDP es una relación explícita o implícita entre las variables que no contiene derivadas y la cual satisface a la ecuación. En ciertos casos muy simples puede obtenerse una solución en forma inmediata.

- Por ejemplo, considere la ecuación diferencial, parcial de primer orden

22 yxxU

+=∂∂

una solución para esta ecuación sería. ( )∫ ∂+= xyxU 22 “ INTEGRACIÓN PARCIAL ”

( )yxyxU φ++= 23

3

donde φ (constante de integración) es una función arbitraria de ‘y’.

- Como un segundo ejemplo, considere la EDP de 2º orden

yxxy

U−=

∂∂∂ 3

2

primero re-escribimos

yxxU

y−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂ 3

ahora integramos parcialmente con respecto a “y”, manteniendo a x constante.

( )xyyxxU φ+−=∂∂

2

23



III-5

donde φ (constante de integración) es una función arbitraria de x. Integrando nuevamente parcialmente, se obtiene:

( ) ( )yxfxyyxU φ++−=24

24

donde ( ) ( ) dxxxf ∫= φ Como un resultado de estos dos ejemplos simples, se observa que mientras las EDO tienen soluciones que involucran constantes arbitrarias, las EDP tienen soluciones que involucran funciones arbitrarias. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES LINEALES DE 2º ORDEN La EDP lineal general de segundo orden en las variables, (2), independientes X y Y es una ecuación de la forma.

GFUYUE

XUD

YUC

YXUB

XUA =+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

2

22

2

2

donde A, B, C, D, E, F y G son funciones de X y Y. Si G (X, Y) = 0 para toda (X,Y), la ecuación se reduce a:

02

22

2

2

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ FU

YUE

XUD

YUC

YXUB

XUA ( 1 )

Para la ecuación ( 1 ) se establecen los siguientes teoremas básicos los cuales son análogos a los establecidos para las EDO. TEOREMA

Hipótesis: Sean f1 , f2, ..., fn n soluciones de la ecuación ( 1 ) en una región R del plano xy

Conclusión: La combinación lineal c1f1 + c2f2 +....+ cnfn es también una solución de la ecuación ( 1 ) en la región R. Una clase importante de los EDP lineales de 2º orden son las ecuaciones lineales homogéneas de 2º orden con coeficientes constantes.



III-6

02

22

2

2

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

YUc

YXUb

XUa ( 2 ) a, b, c → constantes.

La palabra homogénea aquí se refiere al hecho de que todos los términos de la ecuación contienen derivadas del mismo orden. Se buscarán soluciones a la ec. ( 2 ) de la forma U = f( y + mx ), ( 3 ) Donde f es una función arbitraria de su argumento y m es una constante. Diferenciando (3), se obtiene

( )mxyfmXU

+=∂∂ ''2

2

2

( )mxymfYX

U+=

∂∂∂ ''

2

( 4 )

( )mxyfYU

+=∂∂ ''2

2

sustituyendo en la ec.(2) se obtiene am2f’’( y + mx ) + bmf’’( y + mx ) + cf’’( y + mx ) = 0 , ó f’’( y + mx ) [ am2 + bm + c ] = 0 Así f ( y + mx ) será una solución de la ec.( 2 ) si m satisface la ecuación cuadrática am2 + bm + c = 0 ( 5 ) Ahora es necesario considerar los siguientes cuatro casos de la ecuación ( 2 )

i) a ≠ 0, y las raíces de la ecuación cuadrática ( 5 ) sean distintas. ii) a ≠ 0, y las raíces de la ecuación cuadrática ( 5 ) sean iguales. iii) a = 0, b ≠ 0. iv) a = 0, b = 0, c ≠ 0.

- Caso i ) Sean las raíces distintas m1 y m2. Entonces la ecuación ( 2 ) tiene las soluciones:

f ( y + m1x ) y g ( y + m2x ),



III-7

Donde f y g son funciones arbitrarias de sus respectivos argumentos. Por supuesto que:

f ( y + m1x ) + g ( y + m2x ), Es también una solución de la ecuación ( 2 ). - Caso ii) Sea m1 la raíz doble (raíz repetida). Entonces la ecuación ( 2 ) tiene la solución f ( y + m1x ), donde f es una función arbitraria de su argumento. Además puede demostrarse que en este caso la ecuación ( 2 ) también tiene la solución xg ( y + m2x ), donde g es una función arbitraria de su argumento. De aquí la solución de la ecuación ( 2 ) es:

f ( y + m1x ) + xg ( y + m1x ),

- Caso iii) Aquí la ecuación cuadrática se reduce a: bm + c = 0 y de aquí sólo hay una raíz. Sea m1 esa raíz, la ecuación ( 2 ) tiene la solución f ( y + m1x ), donde f es una función arbitraria de su argumento. Posteriormente puede verificarse otra vez que en este caso g (x), donde g es una función arbitraria de x solamente, es también una solución de la ecuación ( 2 ). Así la solución de la ecuación ( 2 ) es:

f ( y + m1x ) + g ( x ) - Caso iv) Aquí la ecuación cuadrática se reduce a c = 0, lo cual no es posible. Así en este caso no existen soluciones de la forma expresada por la ecuación ( 3 ). Sin embargo, en este caso la ecuación diferencial es muy simple:

02

2

=∂∂yuc ó 0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

yu

y

integrando parcialmente con respecto a y dos veces, se obtiene: u = f( x ) + yg( x ) donde f y g son funciones arbitrarias de x solamente. Así la solución de la ecuación ( 2 ) es:

f ( x ) + y g ( x ) Toda ecuación de la forma (2) con coeficientes constantes está en una y sólo una de las cuatro categorías cubiertas en los casos i) a iv). Así la ecuación ( 2 ) siempre tiene una solución la cual involucra dos funciones arbitrarias.

Ejemplo 1: Encuentre una solución de: 065 2

22

2

2

=∂∂

+∂∂

∂−

∂∂

yu

yxu

xu

La ecuación cuadrática “auxiliar” ( 5 ) correspondiente a esta ecuación diferencial es:



III-8

m2 – 5m + 6 = 0 Cuyas raíces son: m1 = 2 y m2 = 3. Por lo tanto cae en el caso i) y así la solución será: U = f ( y + 2x ) + g ( y + 3x ) La cual contiene 2 funciones arbitrarias.

Ejemplo 2: Encuentre una solución de: 044 2

22

2

2

=∂∂

+∂∂

∂−

∂∂

yu

yxu

xu

La ecuación cuadrática (5) correspondiente a esta ecuación diferencial es: m2 – 4m + 4 = 0 Y esta ecuación tiene la raíz doble m = 2. Por lo tanto este es un ejemplo del caso ii). Cuya solución tiene la forma: U = f ( y + 2x ) + xg ( y + 2x ). Finalizamos esta sección clasificando a las ecuaciones de la forma (1) en los casos especiales en los cuales los coeficientes A, B, C, D, E y F son constantes reales. Se ilustrará esta clasificación con algunas de las famosas ecuaciones de la física-matemática. DEFINICIÓN: LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL LINEAL DE 2º ORDEN.

02

22

2

2

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ FU

YUE

XUD

YUC

YXUB

XUA

donde A, B, C, D, E y F son constantes reales se conoce como:

i) Hiperbólica si B2 – 4AC > 0, ii) Parabólica si B2 – 4AC = 0, iii) Elíptica si B2 – 4AC < 0,



III-9

Ejemplos:

3) 02

2

2

2

=∂∂

−∂∂

yu

xu

A = 1, B = 0 , C = -1

4) 02

2

=∂∂

+∂∂

tu

xu

A = 1, B = C = 0

5) 02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yu

xu

A = 1, B = 0, C = 1 Ejemplos Ref.[1] (Wylie C.R. “Advanced Engineering Mathematics”, 6th ed. Mc Graw Hill, 1995) 6) 11.4 P3.- Para que los valores de x y y es cada una de las siguientes ecuaciones Hiperbólica, Parabólica o Elíptica?

a) ( ) yxyu

yxux

xuy +=

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

+ 2

22

2

2

21

b) ( ) uyuy

yxux

xux =

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

+ 2

22

2

2

21

SOLUCIÓN:

a) De acuerdo a la ecuación general

aFuyuE

xuD

yuC

yxuB

xuA =+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

2

22

2

2

Bajo el supuesto que ),( yxfu =

Caso especial de la ecuación de onda unidimensional además de las soluciones anteriores, caso i), puede verse que tiene una solución de la forma u = f ( y + x ) + g ( y – x )

Hiperbólica:

Parabólica: Caso especial de la ecuación de calor unidimensional (ó ecuación de difusión).

Elíptica: Ecuaciones de LAPLACE BI-DIMENSIONAL. Además es homogénea por lo tanto: U = f ( y + ix ) + g ( y – ix )



III-10

Identificando

( )

12

1

==

+=

CxByA

Para determinar cuando es parabólica, Hiperbólica o Elíptica basta con determinar:

AC42 −β Si es mayor a cero Hiperbólica Si es igual a cero Parabólica Si es menor a cero Elíptica Entonces: ( ) ( )( )

( )[ ]

01014

014441142

2

2

2

22

=−−

=−−

=+−

−=+−

yxyx

yxACByx

12 −= xy ecuación de la parábola

Si se tuviera 2xy = la curva alcanza su punto mas bajo en 0,0 como se resta una unidad, está desplazada entonces una unidad hacia abajo. Por lo tanto la ecuación es parabólica para todos los valores de los puntos en ( )yx, en la parábola 012 =−− yx Es elíptica para todos los puntos ( )yx, fuera de la parábola. Es hiperbólica para todos los puntos ( )yx, dentro de la parábola. 7) 11.4 P4.- Resuelva cada una de las siguientes EDP: a) 043 =+− yyxyxx uuu e) Solución:

a) 0432

22

2

2

=∂∂

+∂∂∂

−∂∂

yu

yxu

xu

yxyyxyxx euuu 232 +=−+

Antonio

Cross-Out

Antonio

Replacement Text

dentro

Antonio

Cross-Out

Antonio

Replacement Text

fuera



III-11

Se propone como solución: ( )mxyfu += Se obtienen:

( )

( )

( )mxymfyx

u

mxyfyu

mxyfmxu

+=∂∂

∂

+=∂∂

+=∂∂

''

''

''

2

2

2

22

2

al sustituir en a)

( ) ( ) ( )( )[ ] 0143''

0''''4''32

2

=+−+

=+++−+

mmmxyfmxyfmxymfmxyfm

De aquí solo:

14

30143 2

=−=

==+−

cba

mm

Al resolver

( ) ( ) ( )( )( )

2

1,2

1,2

1,2

4 4 4 3 12 3

4 16 12 4 46 6

4 26

m

m

m

− − ± − −=

± − ±= =

±=

Por lo tanto la solución queda como: ( )1 213

u C f y x C f y x⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

31

62

624

166

624

2

1

==−

=

==+

=

m

m



III-12

e) yxyyxyxx euuu 232 +=−+

yxe

yu

yxu

xu 2

2

22

2

2 32 +=∂∂

−∂∂∂

+∂∂

La solución complementaria (homogénea) se determina por:

( )e 0322

22

2

2

=∂∂

−∂∂∂

+∂∂

yu

yxu

xu

Proponiendo como solución: ( )mxyfu += Se tiene que:

( )

( )mxyfyu

mxyfmxu

+=∂∂

+=∂∂

''

''

2

2

22

2

( )mxymfyx

u+=

∂∂∂ ''

2

al sustituir en (e) y factorizando

( )[ ]

( )( )

13

013032

032''

2

1

2

2

+=−=

=−+=−+

=−++

mm

mmmm

mmmxyf

La solución para la parte homogénea es:

( ) ( )xyfcxyfcu ++−= 21 3 para encontrar la solución particular ( )yxe 2+ se tiene que:

( ) ( )( )2 22 3 2 3 3xx xy yyu u u D x DxDy D y u Dx Dy Dx Dy u+ − = + − = + − Por lo tanto se tiene que:

( )( )2yxe * 1 +

−+ DyDxDyDx ; se tiene de la siguiente forma



III-13

( ) yxepDyDx 2+=− xyaxay

+=−=

( )∫ −+= dxep xax 2

dxep ax∫ +−= 2 -1dxdu 2 =+−= axu

( )22 2x y xu u x a x yp e du e e e e− + +− + += − = − = − = − = −∫

*

por lo tanto la solución completa es:

( ) ( )xyfcxyfcu ++−= 21 3 - yxe 2

71 +

Comprobación*

[ ]271;

71;

71

71

22

22

22

2

yxyxyx

yx

eyx

uexue

xu

eu

+++

+

−=∂∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−=

( )

( )

yxxyx

axuu

yax

yx

eeq

eedueq

duaxu

dx

eq

epqDyDx

2)3(27

27

2a7x6x2ax

32

2

71

71

71

71

71

727

e-dx e-q

3x-ya

3xay

3

+−+

+

+++

++

+

−=−=

−=−=−=

=+=

==

=

+=−=

−==+

∫

∫∫

∫



III-14

[ ] [ ]471;2

71 2

2

22 yxyx e

yue

yu ++ −=

∂∂

−=∂∂

Al sustituir en e)

yxyx

yxyx

yxyxyxyx

ee

ee

eeee

21

2

22

2222

77

712

74

71

743

722

71

++

++

++++

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−+−

Antonio

Text Box

Ejercicios 11.2(3(a,c,e), 6(a,c), 8, 38) 11.3(2,21)



III-15

DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES Uno de los primeros problemas que se abordaron empleando las ecuaciones diferenciales parciales fue el de la vibración de una cuerda flexible estirada. Actualmente, al cabo de casi 250 años, sigue siendo un ejemplo excelente para iniciar, el estudio de las EDP. VIBRACIÓN DE UNA CUERDA Y x x + Δx l X w ( x ) peso de la cuerda por unidad de longitud T tensión en la cuerda ( )tyyxf ,,, carga distribuida, cuya magnitud por unidad de longitud se supone es una

función conocida de x, y , t y la velocidad transversal y . SUPOSICIONES

1) Los puntos de la cuerda se mueven en dirección perpendicular a la posición de equilibrio y en un plano.

2) La cuerda es un elemento flexible ( no hay oposición al momento flexionante ). 3) La tensión en la cuerda se mantiene constante. 4) No hay fricción interna.

Del diagrama de cuerpo libre para el elemento diferencial de cuerda aplicando la 2da. Ley de Newton, se tiene: ∑Fx = 0 -T1cosα1 + T2cosα2 = 0 T1cosα1 = T2cosα2 = T en la posición de equilibrio α1 = α2 = 0 T1 = T2 ∑Fy = may

( )g

xxwm Δ=Δ

cuerda tensa

ELEMENTO DIFERENCIAL

xtyyxf Δ),,,(



III-16

-T1senα1 + T2senα2 + ( )tyyxf ,,, Δx = ( ) ( ) ( )2

2

2

2

tyx

gxwx

txyx

∂∂

Δ=Δ∂

∂ρ ( 1 )

dividiendo entre T

( )=Δ+− x

TtyyxF

TT,,,

cossenT

cossenT

11

11

22

22

αα

αα ( )

Tx

ty

gxw 1

2

2

Δ∂∂

; ∴ tanα = xy∂∂

[ ]+∂∂

−∂∂

Δ+ xxxxy

xy ( ) x

TtyyxFΔ

,,, = ( )T

xty

gxw 1

2

2

Δ∂∂

dividiendo entre Δx

+Δ

∂∂

−∂∂

Δ+

xxy

xxx xy

( )T

tyyxF ,,, = ( )Tt

ygxw 1

2

2

∂∂

tomando el límite cuándo 0→Δx

=Δ

∂∂

−∂∂

→ΔΔ+

xxy

xxxx x

y

0lim

2

2

xy

xy

x ∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

2

2

xy

∂∂ + ( )

TtyyxF ,,, = ( )

Tty

gxw 1

2

2

∂∂

El resultado final es entonces que la deflexión y( x, t ) de una cuerda tensa satisface la ecuación diferencial parcial:

( ) ( ) ( )tyyxFxw

gxy

xwTg

ty ,,,2

2

2

2

+∂∂

=∂∂ ( 2 )



III-17

• En la mayoría de las aplicaciones el peso de la cuerda por unidad de longitud w(x) es una constante, y si las fuerzas externas son despreciables, (vibración libre) la ecuación ( 2 ) se reduce a la ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE ONDA.

2

22

2

2

xya

ty

∂∂

=∂∂ ( 3 ) ∴

wTga =2

Las dimensiones de 2a son:

( )( ) ( )( )( )( ) 2

2

2

22

/1///

/ TL

LTMLTLTML

longituddeunidadpesonaceleraciófuerza

==

Es decir, las unidades de a son de velocidad. El significado de esto quedará claro

en la siguiente sección.



III-18

VIBRACIÓN EN BARRAS (Cálculo Variacional) * Deducción: Principio de Hamilton

La energía Potencial

δδδδ FdV21

21

21 2 =⋅Κ=Κ=

( ) ( ) ( )dxtxtxPxtxPdV ,,21,

21 εδ ==

( )( )xA

txP ,=σ ; ( )txE ,εσ =

( ) ( )( )xEA

txPE

tx ,, ==σε

Así:

( ) ( )( ) dxxEAtxPtxPdV ,,

21

=

( )( )

( )( )∫ ∫ ===

0

0

222

21,

21 dx

xEAxAdx

xEAtxPV σ

( ) ( ) ( )

2 22

0 0

,1 1 ,2 2

AE x tdx A x E x t dx

Eε

ε= = =∫ ∫

( ) ( ) 2

0

,12

u x tEA x dx

x∂⎡ ⎤

= ⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫

dxx

dx∂∂

+μ

( ) dxxPtxP∂∂

+,

( ) dxxutxu∂∂

+,

( )txP ,

( )dxtxdxx

x ,εμδ =∂∂

=

X

xΔ



III-19

La energía cinética

( ) ( ) dxt

txuxdT2,

21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

= ρ

( )2

0

12

T x dxtμρ ∂⎡ ⎤= ⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫

Del Principio de Hamilton

( )2

1

0t

tT V dtδ − =∫

( ) ( )2

1

2 2

0 0

1 1 02 2

t l

t

u ux dx EA x dx dtt x

δ ρ⎡ ⎤∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ (A)

Tomando la energía Cinética

( )2 2

1 1

t t

t t

u u u udt x dtt t t t

δρ δ ρ∂ ∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫

u du

( ) ( )22

1 1

2

2

tt

t t

u ux u u x dtt t

ρ δ δ ρ∂ ∂= −

∂ ∂∫

0

ya que del lema básico la variación en los extremos es cero

Para la energía potencial

( )0 0

u u uEA dx EA x u dxx x x xδ δ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤= − ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦∫ ∫

así la ec. (A)

( ) ( )2

1

2

20

t

t

u ux EA x udx dtt x x

ρ δ⎧ ⎫⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞−⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

∫ ∫

0 Del lema básico del calculo de variaciones

( ) ( ) ctes. Ey A , si ; 2

2

ρρ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

=∂∂

xuxEA

xtux

2

2

2

2

xuEA

tu

∂∂

=∂∂ρ 2

2

TLEA

=ρ



III-20

VIBRACIÓN TORSIONANTE EN EJES

• Suposiciones

1) Todas las secciones transversales del eje se conservan planas durante la rotación 2) Cada sección transversal gira alrededor de su centro de gravedad 3) La forma de una sección transversal general es prácticamente un circulo

Aplicando la ecuación de Newton-Euler al elemento diferencial cuyo diagrama de cuerpo libre se muestra en la Fig. b), se tiene ΣM = Iα

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2

,,,,tg

dxxJdxtxMtxMdxx

txMtxM∂∂

=+−∂

∂+

θρ

( ) ( )gxJdx

ttxF

xM ρθθθ 2

2

,,,∂∂

=+∂∂

De resistencia de materiales, el momento de torsión transmitido a través de una sección transversal cualquiera de un eje sometido a una torsión es proporcional al ángulo girado por unidad de longitud, es decir, a la pendiente de la curva ( θ, x ) en esa sección transversal.

( ) ;x

xGJx

M∂∂

=∂∂

=θθτ ( )xGJ=τ

G= módulo al cortante Así la ecuación de vibración puede escribirse

( ) ( ) ( ) 2

2

,,,t

xItxFx

xGJx ∂

∂=+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

∂∂ θθθθ

( )txF ,,, θθ

MOMENTO POLAR DE INERCIA

Rigidez a la torsión

xΔx xx Δ+

xΔ

xx Δ+x

θ



III-21

En la mayoría de las aplicaciones elementales, los ejes son de sección transversal circular uniforme, y si no existen momentos de torsión exteriores (VIBRACIÓN LIBRE), se reduce la ecuación de vibración a:

2

2

2

2

2

2

2

2

txIGJó

tI

xGJ

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂ θθθθ

Vibración en Vigas

Viga en Flexión Suposiciones -La seccion transversal es simétrica con respecto al plano de carga. -El movimiento de cualquier punto ocurre en un plano paralelo al plano de carga. -Pequeños desplazamientos ( )lz ∠∠ y 1∠∠∂

∂x .

-Las secciones transversales se mantienen planas y perpendiculares (⊥ ) al plano neutro. ∈+∈= CEσ

M(x,t) Momento flexionante V (x,t) Fuerza cortante f (x,t) Fuerza por unidad de longitud.

La ecuación de movimiento en la dirección z es:

( ) ( ) ( ) ( )txtwdxxAVdxtxfdVV ,, 2

2

∂∂

=+++− ρ ρ densidad

La ecuación de momento alrededor de un eje que pasa por O es:

( ) ( ) ( ) 02

, =−++−+ MdxdxtxfdxdVVdMM

ECUACIÓN ONDA UNIDIMENSIONAL

wZ ,

),( txw

x

),( txf

dxx

l

),( txf

),( txM),(),( txdMtxM +

),( txV ),(),( txdVtxV +

dx

),( txw

o' o



III-22

Haciendo

dxx

MdMydxxVdV

∂∂

=∂∂

=

Simplificando y considerando sólo potencias de 1

( ) ( ) ( ) ( )txtwxAtxftx

xV ,,, 2

2

∂∂

=+∂∂

− ρ

( ) ( ) 0,, =−∂∂ txVtx

xM

Usando x

MV∂∂

= se llega

( ) ( ) ( ) ( )txtwxAtxftx

xM ,,, 2

2

2

2

∂∂

=+∂∂

− ρ

De la teoría elemental de vigas

I; momento de inercia de la sección transversal de la viga alrededor del eje Y. Sustituyendo se obtiene la ecuación de movimiento para la vibración forzada de la viga.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )txftxtwxAtx

xwxEI

x,,, 2

2

2

2

2

2

=∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂ ρ

para una viga de sección uniforme

( ) ( ) ( )txftxtwAtx

xwEI ,,, 2

2

4

4

=∂∂

+∂∂ ρ

sino existen fuerzas externas (VIBRACION LIBRE)

02

2

4

42 =

∂∂

+∂∂

tw

xwc

donde

A

EIcρ

=

( ) ( ) ( )2

2 ,,x

txwxEItxM∂

∂=



III-23

VIBRACIÓN DE UNA MEMBRANA

ELEMENTO DIFERENCIAL MEMBRANA

Hipótesis

1) El movimiento de cualquier punto de la membrana es perpendicular al plano xy.

2) La masa por unidad de área es función de la posición ( x, y ); w( x, y ).

3) La tensión es uniforme, es la misma en todos los puntos y en todas las direcciones.

4) La membrana es totalmente flexible.

z

xyyxx Δ+Δ+ ,

yyx Δ+,

),,,,( tzzyxf

yxx ,Δ+

y

xT yy ΔΔ+

yTxΔ

AB

CD

yy Δ+α

xα

xx Δ+α

yT xx ΔΔ+

xTyΔyα



III-24

Calculando entonces las componentes transversales, (z) de las fuerzas de tensión que actúan a través de las fronteras de un elemento bidimensional típico de la membrana y aplicando la 2ª ley de Newton a la masa de ese elemento, se tiene que la deflexión de la membrana z( x, y, t ) satisface la ecuación. En las figuras T equivale a P.

( ) ( ) ( )tzzyxFyxw

gyz

xz

yxwTg

tz ,,,,

,, 2

2

2

2

2

2

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂∂ (4)

ya que ( )∑ =Δ−= Δ+Δ+ 0coscos yTTF xxxxxxx αα

( ) TTT xxxxxx ==Δ+Δ+ αα coscos

( )∑ =Δ−= Δ+Δ+ 0coscos xTTF yyyyyyy αα

( ) TTT yyyyyy ==Δ+Δ+ αα coscos

( ) ( ) ( )∑ ΔΔ+Δ−+Δ−= Δ+Δ+Δ+Δ+ yxtzzyxFxsenTsenTysenTsenTF yyyyyyxxxxxxz ,,,,αααα

( )2

2,tzyx

gyxw

∂∂

ΔΔ=

Dividiendo entre ( ΔxΔy ) ⋅ T se llega a:

( ) ( )2

2

2

2

2

2 ,,,,,1tz

TgyxwtzzyxF

Tyz

xz

∂∂

=+∂∂

+∂∂

Si el peso por unidad de área de la membrana es el mismo en todos los puntos, y si no existen fuerzas externas, vibración libre, entonces la ecuación (4) se reduce a la ECUACIÓN BIDIMENSIONAL DE ONDA.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

22

2

2

yz

xza

tz (5)

w

Tga =2 al igual que en el caso de la cuerda vibrante tiene las mismas dimensiones.



III-25

Ya que la ec. (4) es una EDP de 2° Orden tanto en x y y así como t, se requieren 2 C.I y 4 C.F para encontrar la solución.

( ) ( )

( ) ( )yxwyxtw

yxwyxw

,0,,

,0,,

0

0

=∂∂

=} C.I (6)

Las Condiciones de frontera son de los siguientes tipos;

1. Si la membrana está fija en cualquier punto ( )11, yx sobre algún segmento de la frontera. ( ) 0 t, 0,, 11 ≥=tyxw

2. Si la membrana está libre para la deflexión transversal (z) en un punto ( )2 2,x y entonces la componente de fuerza en la dirección z debería ser cero.

( )2 2, , 0 t 0 wP x y tn

∂= ≥

∂

nw∂∂ derivada de w con respecto a una dirección normal a la frontera en el punto

( )22 , yx



III-26

FLUJO DE CALOR;

a) El calor fluye en la dirección en que decrece la temperatura b) La rapidez a la que fluye el calor a través de un área es proporcional al gradiente de

temperatura, en grados por unidad de distancia, en la dirección perpendicular al área. (CONDUCTIVIDAD TERMICA K)

c) La cantidad de calor ganada o perdida por un cuerpo cuando cambia su temperatura es proporcional a la masa del cuerpo y al cambio en la temperatura . (CALOR ESPECÍFICO, C)

Considere el sólido conductor de la figura (elemento infinitesinal) cuya masa es:

g

zyxm ΔΔΔ=Δρ

Sea Δu el cambio en la temperatura que ocurre en el elemento en el tiempo Δt, entonces por c) , la cantidad de calor almacenado en ese tiempo es

g

uzyxcumcH ΔΔΔΔ=ΔΔ=Δ

ρ

y la rapidez a la que se está almacenando el calor es aproximadamente.

tuzyx

gc

tH

ΔΔ

ΔΔΔ=ΔΔ ρ (1)

El calor que produce el cambio Δu en la temperatura proviene de dos fuentes: ⎯ el calor puede generarse en todo el cuerpo (medios eléctricos, químicos, etc.) a una rapidez conocida por unidad de volumen f(x, y, z, t). La rapidez a la cual el elemento está recibiendo calor de esta fuente es: ( ) zyxtzyxf ΔΔΔ,,, (2) ⎯el elemento puede ganar calor en virtud de la transferencia de calor a través de sus diversas caras.

FBA

D

H G

xΔyΔ

zΔE

Elemento típico de volumen en una región de flujo tridimensional de calor



III-27

Porque gana calor 2/2/

zzyy

xxuzyk

Δ+Δ+∂

∂ΔΔ−

En donde, como un valor promedio se ha usado el gradiente de temperatura en el centro

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+Δ+ zzyyx

21,

21, de la cara EFGH. De modo semejante, el elemento gana calor a

través de la cara anterior ABCD, a la rapidez aprox.

zz

yyxxx

uzyk

Δ+

Δ+

Δ+∂∂

ΔΔ

2121

La suma de estas dos expresiones es la rapidez neta a la cual el elemento gana calor, debido al flujo de calor en la dirección x. De la misma manera, se encuentra que las rapideces a las que el elemento gana calor, debido al flujo en las direcciones y y z son, respectivamente.

zz

yyxx

zz

yxx y

uzxkyuzxk

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+ ∂∂

ΔΔ+∂∂

ΔΔ−

21

21

21

21

y

zzyy

xx

zyy

xx zuyxk

zuyxk

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+ ∂∂

ΔΔ+∂∂

ΔΔ−

2121

2121

Ahora bien, la rapidez a la cual se está almacenando calor en el elemento, (1) debe

ser igual a la rapidez a la que se está produciendo calor en el elemento, ec. (2) más la rapidez a la que está fluyendo calor hacia el elemento del resto de la región .Así se tiene la siguiente relación aproximadamente.



III-28

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

−∂∂

ΔΔ+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

−∂∂

ΔΔ+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

−∂∂

ΔΔ+ΔΔΔ=ΔΔ

ΔΔΔ

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

zyy

xx

zzyy

xx

zz

yxx

zz

yyxx

zz

yy

x

zz

yy

xx

zu

zuyxk

yu

yuzxk

xu

xuzykzyxtzyxf

tuzyx

gcp

2121

2121

21

21

21

21

2121

2121

,,,

Finalmente dividiendo entre k ΔxΔyΔz y haciendo que Δx, Δy, Δz y Δt tiendan a

cero, se obtiene la ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DE CALOR.

( )tzyxfkz

uyu

xu

tua ,,,1

2

2

2

2

2

22 +

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

kgcpa =∴ 2

(4)

El parámetro a en esta ecuación no tiene las dimensiones de velocidad. En muchos casos importantes no se pierde ni se genera calor en el cuerpo y únicamente se tiene interés en la distribución limite de estado estacionario de la temperatura, la cual existe cuando ha cesado todo cambio de la temperatura con el tiempo. Bajo estas condiciones, tanto f(x, y, z, t) como ∂u/∂t son cero y la ecuación (4) se reduce a :

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zu

yu

xu

(5)

Esta ecuación en extremo importante a la que se llega en muchas aplicaciones, además del flujo de calor en estado estacionario, se conoce como ECUACIÓN DE LAPLACE y se escribe con frecuencia en la forma abreviada. ∇2u = 0 (6)



III-29

Por último para el flujo de electricidad en un cable de gran longitud o línea de transmisión se tienen las dos ecuaciones siguientes.

( ) RGeteGLRC

teLC

xe

+∂∂

++∂∂

=∂∂ 2

2

2

(7)

( ) RGitiGLRC

tiLC

xi

+∂∂

++∂∂

=∂∂

2

2

2

2

(8)

x = distancia al extremo emisor del cable. e(x, t) = potencial en un punto cualquiera del cable en cualquier instante. i(x, t) = corriente en un punto cualquiera del cable en cualquier instante. R = resistencia del cable por unidad de longitud. L = inductancia del cable por unidad de longitud. G = conductancia a tierra por unidad de longitud del cable. Las ecuaciones (7) y (8) se conocen como ecuaciones del teléfono. Si G = L = 0, cables co-axiales, se tiene

teRC

xe

∂∂

=∂∂

2

2

ECS.

TELEGRAFO

tiRC

xi

∂∂

=∂∂

2

2

Por otro lado a altas frecuencias o si R = G = 0 las ecuaciones (7) y (8) se reducen a:

2

2

2

2

teLC

xe

∂∂

=∂∂

EC. UNIDIMENSIONAL DE ONDA

2

2

2

2

tiLC

xi

∂∂

=∂∂

MATEMÁTICAMENTE IDÉNTICAS A LA EC. UNIDIMENSIONAL DE CALOR CUANDO NO EXISTE FUENTE DE CALOR.



III-30

Resulta interesante observar que en ningún momento en la deducción de las ecuaciones anteriores se ha hecho uso de las condiciones de frontera. En otras palabras, la misma ecuación diferencial parcial es satisfecha por las deflexiones de una membrana, ya sea redonda o cuadrada; y la misma ecuación es satisfecha por las deflexiones de una viga vibrante, ya sea que la viga esté empotrada en uno de sus extremos y libre en el otro, empotrada en los dos extremos, o simplemente apoyada en ambos. Del mismo modo, el flujo de calor en un cuerpo lo describe la misma ecuación, sea que la superficie se mantenga a una temperatura constante, esté aislado para evitar las perdidas de calor, o se le deje enfriar libremente por radiación hacia el medio que lo rodea.

CF. Condiciones de Frontera ⇒ Determinan la forma de aquellas soluciones de una EDP que atañen a un problema particular.

CI Condiciones Iniciales ⇒ ( desplazamiento, velocidad, temperatura) determinan los valores específicos para las constantes arbitrarias

3. SOLUCIÓN DE D’ ALEMBERT DE LA ECUACIÓN DE ONDA La mayoría de las EDP en las aplicaciones que vamos a considerar en este curso se pueden resolver por un método de considerable generalidad conocido como SEPARACION DE VARIABLES. Sin embargo, para la ecuación unidimensional de onda, existe también un método especial y elegante, conocido como SOLUCIÓN DE D’ ALEMBERT. El procedimiento es muy sencillo. En efecto, si f es una función con segunda

derivada, entonces, por la regla de la cadena, xu

uy

xy

∂∂⋅

∂∂

=∂∂

D’ Alembert propone una solución Y = f ( x - a t );

( ) ( ) ;' atxaft

atxf−−=

∂−∂ ( ) ( )atxf

xatxf

−=∂−∂ '

( ) ( ) ;''2

2

2

atxfat

atxf−=

∂−∂ ( ) ( )atxf

xatxf

−=∂−∂ ''2

2

y, a la vista de estos resultados, es evidente que y = f ( x – at ) satisface la ecuación

2

22

2

2

xya

ty

∂∂

=∂∂ ( 3.1 )



III-31

)(xy φ=

Puede demostrarse que si g es una función arbitraria dos veces derivable entonces g ( x + a t ) también es una solución de ( 3.1 ). Luego como ( 3.1 ) es una EDP lineal, se deduce que la suma y = f ( x – a t ) + g ( x + a t ) ( 3.2 ) también es una solución. Como hemos explicado cualquier solución de ( 3.1 ) puede expresarse en la forma de la ecuación ( 3.2 ). Esta forma de la solución de la ecuación de onda es especialmente útil para ilustrar el significado del parámetro a y sus dimensiones de velocidad. En particular consideremos el problema de la CUERDA VIBRANTE. Suponiendo que el desplazamiento inicial de la cuerda en un punto cualquiera x está dado por ( )xφ y que la velocidad inicial de la cuerda en cualquier punto es ( )xθ , es decir, en t = 0 ; Entonces, como condiciones para determinar la forma de f y g, se tiene por ( 3.2 ) y su primera derivada con respecto a t,

APLICANDO LAS CONDICIONES INICIALES

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfatxgatxfxxy t +=++−== =00, φ ( 3.3 )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xagxafatxagatxafxty

tt '''' 00 +−=++−−==∂∂

== θ ( 3.4 )

de ( 3.4 )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xfxgx

xfxgax

−∂∂

=−= ''θ

integrando con respecto a x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxa

xfxgdxxa

dxaxxfxg

x

x

x

x

x

x∫∫∫ +===−

000

1;1 θθθ

combinando con la ecuación ( 3.3 )

)(xty θ=∂∂;



III-32

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxa

xfxfxxgx

x∫+=−=

0

1 θφ de esta ecuación se obtiene f y g

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ∫∫

x

x

x

x

dxxa

xxgdxxa

xxf00

121;1

21 θφθφ

En forma equivalente

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ∫∫

x

x

x

x

dssa

xxgdssa

xxf00

121;1

21 θφθφ

Regresando a la forma de (3.2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

−=++−= ∫∫

+−dss

aatxdss

aatxatxgatxfY

atx

x

atx

xθφθφ

00 21

221

2

Así:

( ) ( ) ( ) 1, ( )2 2

x at

x at

x at x atY x t s ds

aφ φ

θ+

−

− + += + ∫ (3.5)

ya que; 0

0 0 0

( )x at x at x x at x at

x x x at x x ats dsθ

− + + +

− −− + = + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

8) Una cuerda que se extiende hasta el infinito en ambas direcciones recibe el desplazamiento inicial:

( ) 2811

xx

+=φ

y después se suelta desde el reposo. Determínese su movimiento subsiguiente. Datos: En t=0

( ) 2811

xx

+=φ

0=θ Así simplemente utilizando la solución dada por (3.5)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+++

−+=

++−= 22 81

181

121

2,

atxatxatxatxtxY φφ



III-33

4. SEPARACION DE VARIABLES Aun cuando este método no es universalmente aplicable, basta para la mayor parte de las EDP que se encuentran en las aplicaciones elementales, en la ingeniería y física, y conduce directamente al corazón de la rama de las matemáticas que trata de los PROBLEMAS CON VALOR EN LA FRONTERA. La idea en que se basa el método es la de hacer que un problema nuevo dependa de otro ya conocido. En este caso, se intenta convertir la EDP en varias EDO, con la esperanza de lo que se sabe acerca de éstas resulte adecuado para alcanzar la solución. La ecuación de onda para un eje vibrante por torsión no amortiguado y de la longitud infinita es:

2

22

2

2

xa

t ∂∂

=∂∂ θθ

Supongamos que el ángulo de torsión θ puede representarse por: ( ) ( ) ( ),x t X x T tθ = Entonces:

TXTxX

x''2

2

2

2

=∂∂

=∂∂ θ y TXX

tT

t=

∂∂

=∂∂

2

2

2

2θ

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de onda, se obtiene: TXaTX ''2= Dividiendo entre XT

XXa

TT ''2= (4.1)

Y la ecuación (4.1) es una condición necesaria para que ( ) ( ) ( )tTxXtx =,θ sea una solución El 1er término de la ecuación (4.1) no depende de x y el 2° termino no depende de t. Como el 1er término de la ecuación (4.1) esta igualando al 2° término por tanto, al ser independiente de x y de t cada miembro de la ecuación (4.1) esta necesariamente debe ser igual a una constante μ , y se tiene ahora:

μ==XXa

TT ''2



III-34

De este modo, la EDP original se reduce ahora a resolver 2 EDO.

TT μ= y Xa

X 2'' μ=

Suponiendo que μ es una constante real, se tienen las siguientes opciones: 1) 0>μ que la constante sea positiva 2) 0=μ que la constante sea 0 3) 0<μ que la constante sea negativa Y ahora es necesario elegir apropiadamente el valor de la constante μ.

1) Si 0>μ , podemos escribir 2λμ = . En este caso, las 2 EDO y sus soluciones son:

;2TT λ= Xa

X 2

2

'' λ=

;tt BeAeT λλ −+= x

ax

a DeCeXλλ −

+= así

( ) ( ) ( ) [ ]ttxa

xa BeAeDeCetTxXtx λλ

λλ

θ −−

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+==,

Pero esta solución no tiene significado con relación al problema que se considera (vibraciones torsionales de un eje). NO ES UNA FUNCION PERIODICA.

2) Si 0=μ , las ecuaciones y sus soluciones son:

;0=T 0'' =X BAtT += DCxX +=

Así

( ) ( )( )BAtDCxtx ++=,θ Esta solución tampoco es periódica y no puede describir las vibraciones no amortiguadas del sistema. 3) Por último, si 0<μ , se puede escribir 2λμ −= entonces las EDO y sus

soluciones son:



III-35

;2TT λ−= Xa

X 2

2

´´ λ−=

tBsentAT λλ += cos xa

Dsenxa

CX λλ+= cos

En esta caso la solución

( ) ( ) ( ) ( )tBsentAxa

Dsenxa

CtTxXtx λλλλθ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +== coscos, (4.2)

La cual evidentemente es periódica, con periodo λπτ 2

= . Es decir, ( )tx,θ representa un

movimiento vibratorio con periodo λπ2 o frecuencia = .2

1πλ

τ =

En la solución representada por la ec.(4.2) DC,,λ se obtienen de los C.F. y a su vez A y B se determinan de los C.I. 11.5 P7- Ref.[1] (Wylie C.R. “Advanced Engineering Mathematics”, 6th ed. Mc Graw Hill, 1995).¿Cual de las siguientes ecuaciones diferenciales parciales puede ser reducida a dos o mas ecuaciones diferenciales ordinarias, por el método de separación de variables? c) i)

a) Para conocer si se puede resolver por el método de separación de variables, se

propone una solución en forma de producto de la siguiente forma:

( )2 2

2

2

, ( ) ( )

;

u entonces x

u x y X x Y y

u u uX Yx x y x y

u uXY X Y y X Yy x y

=

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂′′= = ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

∂ ∂ ∂′ ′ ′ ′= = =∂ ∂ ∂ ∂

tuau

rru

rru

xuc

yxub

xua

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

22

2

22

2

2

2

11

0

θ

Antonio

Text Box

2



III-36

Al sustituir se tiene

0=′+′′+′′ YXcYXbYXa si se divide entre YX ′

'' ' 0' ' ''' 0''''''''

aX Y X Y cX YbX Y X Y X Y

aX Yb cX Y

aX bY cX Y

aXX

bY cY

μ

μ

μ

′ ′+ + =

′+ + =

′= − − =

=

+ = −

Estos resultados indican que la ecuación puede resolverse por el método de variables separadas 10) Vibración libre de una barra (Fija-Libre) Encontrar las frecuencias naturales y la solución de vibración libre de una barra fija en un extremo y libre en el otro. La solución está expresada por la solución obtenida para la ec. de onda (vibración de cuerdas, barras y ejes), en este caso las C.F. asociadas son; ( ) ( )( ) ( )2 0 t,0x,

1 o t,0,0

≥=∂

∂≥=

tutu

Sustituyendo la ec. (1) en la ec. (4.2), se obtiene

( ) ( ) 0A* 0*1*0 =∴+= BA ahora usando la condición de la ec. (2) se obtiene la ec. de frecuencias

(3) 0c

cos ó 0 cos* ==λλλ

ccB

Los eigenvalores o frecuencias naturales están definidas por;



III-37

( )2

12 πλ+= n

cn , n = 0,1,2,3,………

( ) cn

n πλ2

12 += , n = 0,1,2,3,……… (4)

Así la solución total (vibración libre ) usando el método de superposición de modos es;

( ) ( )∑∞

=

==0

,,n

n txutxu

( ) ( ) (5)

212cos

212

0⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=∑∞

=

tsenDtcnCxnsen nnnn

λππ

∴ donde

( ) ( )00

2 122n

n xC u x sen dx

π+= ∫

(5.1)

( ) ( ) ( )00

2 142 1 2n

n uxD u x sen dx

n cπ+

=+ ∫

11) Eje empotrado en ambos extremos. Encontrar las frecuencias naturales y la solución de vibración libre de un eje con sus dos extremos empotrados.

a) el eje tiene sus dos extremos empotrados, es decir, no puede haber giro en dichos puntos.

CONDICIONES FRONTERA ( ) ( ) 0,,0 == tlt θθ

Aplicando la condición en x = 0 a la ec. (4.2), se obtiene ( ) ( )tBsentACt λλθ +≡≡ cos0,0

Si ( ) 0cos =+ tBsentA λλ se tiene la solución trivial, entonces 0=C Así

( ) ( )tBsentAxa

Dsentx λλλθ += cos,

Ahora aplicando la condición en lx = , se obtiene:

Antonio

Text Box

pi

Antonio

Line



III-38

( ) ( ) 0cos, =+= tBsentAla

Dsentl λλλθ

Si ( ) 0cos =+ tBsentA λλ se tiene la solución trivial. Además, tampoco se puede considerar 0=D ya que con 0=C , se llegaría a la solución trivial. La posibilidad restante es:

0=alsen λ ó πλ n

al=

Así

lan

nπλ = Para n = 1, 2,3,…. (4.3)

Estos y sólo esos valores de λ dan lugar a soluciones que, además de ser periódicas, satisfacen las condiciones en los extremos, o en la frontera, del problema considerado. Con estas soluciones, una para cada valor admisible de λ , debemos intentar construir una solución que sustituya las restantes condiciones del problema, es decir, que el eje comience su movimiento en 0=t con un ángulo de torsión conocido ( ) ( )xfx =0,θ y

una velocidad angular conocida ( )xgt x =∂∂

0,θ en cada sección.

Ahora, la ecuación de onda es lineal y, por consiguiente, si se tienen varias soluciones, su suma también será una solución. Luego, escribiendo la solución asociada con el n-ésimo valor deλ en la forma:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+= t

lansenBt

lanAx

lnsentsenBtAx

asentx nnnnnn

n πππλλλθ coscos, '''

Así para todos los θ posibles, se tiene:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +== ∑∑

∞

=

∞

=

tlansenB

lanAx

lnsentxtx nn

lnn

ln

πππθθ cos,, ' (4.4)

Si aplicamos la condición inicial 0=t en ),( txθ , se obtiene de la ecuación anterior y de la condición de desplazamiento inicial dada.

( ) ( ) xl

nsenAxfx nln

πθ ∑∞

=

=≡0,



III-39

El problema de determinar los nA de modo que se verifique esta igualdad, no es sino el problema de desarrollar una función ( )xf dada en una serie senoidal de medio rango sobre el intervalo ( )l,0 “SERIES DE FOURIER”

( )0

2 l

nn xA f x sen dx

l lπ

= ∫

Para determinar los nB se observa, además que:

lant

lansenAx

lnsen

t nln

πππθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∂∂ ∑

∞

=

De donde, haciendo 0=t , se tiene, a partir de la condición inicial de velocidad:

( ) xl

nsenBlanxg

t nln

xππθ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=≡

∂∂ ∑

∞

=0,

Esto a su vez requiere de calcular los nB , de modo que las cantidades nBlanπ sean los

coeficientes en el desarrollo senoidal de medio rango de la función conocida ( ).xg Por consiguiente:

( )0

2 l

nn a n xB g x sen dx

l l lπ π

= ∫ ó ( )0

2 l

nn xB g x sen dx

n a lπ

π= ∫



III-40

12) Si una cuerda (cable) de longitud l, fija en ambos extremos, es desplazada en su punto medio como se muestra en la figura y luego soltada, determine el movimiento subsecuente. Datos: Cable, l, CF,(Fijo en ambos extremos) y CI. Incognita: w(x,t) para t>0 Solución : La solución esta dada para la ecuación (4.2) con Cn y Dn dados para las ecuaciones () y () respectivamente. Ya que no existe velocidad inicial ( )[ ]00 =xw se obtiene Dn= 0 así la solución se reduce a:

( ) tl

nclxnsenCtxw n

n

ππ cos,1∑∞

=

=

donde

( )∫=l

n dxlxnsenxw

lC

0 02 π

La reflexión inicial esta dada por

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤−

≤≤=

lx2l 2

20 2

0

lxlh

lxlhx

xw

Sustituyendo (c) en (B), puede evaluarse Cn

( )2

0 2

2 2

2 2 2

8 n 1,3,5,....2

0 para n 2,4,6,....

l l

n l

hx n x h n xC sen dx l x sen dxl l l l l

h nsen paran

π π

ππ

⎧ ⎫= + −⎨ ⎬⎩ ⎭

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

∫ ∫

Ahora usando la relación

h

2l

2l

),( oxwo

xo



III-41

( )( )1,3,5n 1

22

1=−=

−nnsen π

La solución puede escribirse

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−= ....3cos3

91cos8, 2 t

lc

lxsent

lc

lxsenhtxw ππππ

π



III-42

SOLUCIÓN DE LA EC. DE ONDA Caso Bidimensional (Vibración Membrana)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

22

2

2

yz

xzc

tz

( ) ( ) ( ) ( )tTyYxXtyxZ =,,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

; ; dy

YdXTyZ

dxXdYT

xZ

dtTdXY

tZ

=∂∂

=∂∂

=∂∂

Sustituyendo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 2

2

2

22

2

2

dyYdXT

dxXdYTC

dtTdXY , simplificando

2

2

2

2

22

2

2 111 λ−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

dyYd

YdxXd

XC

dtTd

T

Tomando 1° y 3°

22

2 0d T Tdt

λ+ =

2° y 3°

2

2

2

2

2

2 11cdy

YdYdx

XdX

λ−=+

Ahora separando variables en esta ecuación

22

2

2

2

2

2 11 βλ=−=+

dyYd

YcdxXd

X

022

22

2

2

2

2

=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ X

dxXdX

cdxXd αβλ

022

2

=+ Ydy

Yd β

( ) ( ) ( )( )[ ]ysencycxsencxctBsentAtyxZ ββααλλ 4321 coscoscos,, +++=

y como se obtienen n-modos de vibración

( ) ( )( )( )[ ]∑∞

=

+++=1

coscoscos,,n

nnnnnnnnnnnn tsenBtAYsenFYEXsenDXCtyxZ λλββαα



III-43

13) Caso de una membrana rectangular empotrada En este caso las condiciones de frontera, CF, son: x

L2 ( ) ( )( ) ( ) 0,Lx, Z0,,

0tx,0,Z 0,,0

21 ====

ttyLZtyZ

L1 y Aplicando las condiciones en la dirección de x, se obtiene:

( ) [ ][ ]( ) [ ][ ]( )

1 3 4 1

2 3 4

1 2 1 1

1

0, , cos cos 0 c 0

, , cos cos

, , ( ) 0 sen( L ) 0 L n 1,2,......

Z y t c A t Bsen t c y c sen y

Z x y t c sen x A t Bsen t c y c sen y

Z L y t c sen Ln

λ λ β β

α λ λ β β

α αα π

= + + = ∴ =

= + +

= = ∴ =

= =

∴2

22

1

nc Lλ πα β= − =

Ahora aplicando las condiciones en la variable y, se obtiene;

( ) [ ] ( ) ( )( )

2 3 4 3

2 4 2 2

2

,0, 1 0 0 c 0

, , 0 L R 1,2,.....

R

Z x t c sen x c c

Z x L t c sen L n RRasíL

α

β β π ππβ

= + = ∴ =⎡ ⎤⎣ ⎦= = ∴ = = ∴ =

=

2 2 2

22 2

12 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2 21 2 1

nc L

n R nc c c cL L L

λ πβ

π π πλ β

− =

= + = +

22

2

21

2

22

22

21

22

LR

Lnc

LR

LncnR +=+= πππλ Ecuación de frecuencias

Así la solución general para el desplazamiento de cualquier punto de la membrana y todo tiempo arbitrario está definido por:

( ) [ ]tsenBtAYXsensentyxZ mnmnmnmnnm

nm λλβα += ∑∞

=

cos,,0,



III-44

Forma de los modos de vibración (1-4).



III-45

14) Una barra metálica de 100 cm de longitud tiene los extremos x = 0 y x = 100 (x = L) mantenidos a 0°C. Inmediatamente la mitad de la barra está a 60°C, mientras que la otra mitad está a 40°C. Suponiendo un valor para la constante “difusividad” de 0.16 unidades y que la superficie de la barra está aislada, encuentre la temperatura en toda parte de la barra en función del tiempo t. FORMULACIÓN: La ecuación de conducción del calor es:

2

2

16.0xu

tu

∂∂

=∂∂

Donde; u(x,t) temperatura en x para cualquier tiempo t C.F u(0,t)=0 u(100,t)=0 C.I. 60 0≺ x≺ 50 u(x,0)= 40 50≺ x≺ 100 SOLUCIÓN: Se propone que ; u= XT , con esto se tiene;

T'X'16.0TXo= ó 2

X'X'

0.16TT λ−==

o

0T16.0T 2o

=+ λ 0X'X' 2 =+λ

20.16u [Acos x Bsen x]te λ λ λ−= +

De las dos primeras condiciones A=0

100πλ n

n =



III-46

para la última condición (C.I.) 1

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− (0)

100nπ0.16

n

2

x 100nπsen Bu(x,0)

== ∫ dxx100nπu(x,0)sen

1002B

100

0n ∫ ∫+50

0

100

50dxx

100nπ40sen

1002 dx x

100nπ60sen

1002

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= cosnπ

2nπcos

nπ80

2nπcos1

nπ120Bn

∴

π

π40

200

2

1

=

=

B

B

Así la solución es:

6 2 6 216 10 π t 64 10 π t200 xπ 40 2πxu(x,t) sen sen ...

π 100 π 100e e

− −− ⋅ − ⋅= + +

15) Para el bloque sólido encuentre la distribución de temperatura en el estado estable sujeto a las condiciones indicadas en la figura anexa.

0zT

yT

xT

2

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

Suponemos que la función de temperatura se describe por la siguiente relación: XYZT =

x=0 T=0 x=b T=0 y=0 T=0 y=c T=0 z=0 T=0 z=a T=100



III-47

De esta forma calculamos las derivadas parciales

0z

(XYZ)y

(XYZ)x

(XYZ)2

2

2

2

2

2

=∂

∂+

∂∂

+∂

∂

0zZ

Z1

yY

Y1

xX

X1

2

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

? 2

2

2

2

2

2

2

λzZ

Z1

yY

Y1

xX

X1

±=∂∂

+∂∂

=∂∂

−

0Xλdx

Xd 22

2

=+

22

2

2

2

λdz

Zdz1

dyYd

Y1

=+ 222

2

2

2

μλdz

Zdz1

dyYd

Y1

±=+−= ?

0Ydy

Yd 22

2

=+ μ

0)Z(dz

Zd 222

2

=+− μλ

XcosC Xsen CX 21 λλ += ; Xsen CX 1 λ= Y cosC Ysen CY 4 3 μμ += ; Ysen CY 3 μ=

Z);μλ(cosh C Z)μλ(senh CZ 226

22 5 +++=

x=0, T=0, X=0

0C 0 cosC 0sen C0 22 1 =∴+= 0X 0,T b,x ===

bnπλ nπλb λbsen C0 1 =∴=∴=

y=0, T=0, Y=0

0C 0 cosC 0sen C0 44 3 =∴+= 0Y 0,T c,y ===

cnπ nπc csen C0 3 =∴=∴= μμμ

z=0, T=0, Z=0

0C 0cosh C 0senh C0 66 5 =∴+=



III-48

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= Z)μλ(senh CY

cnπsenCX

bnπsenCT 22

531

z) μλ(senh y c

mπsenx b

nπsen kT 22mnn +=

Y la solución de la distribución de temperatura en el estado estable es:

T1n1m∑∑∞

=

∞

=

= z) μλ(senh yc

nπsenx b

nπsen k 22mn +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Ejercicios Ref.[1] (Wylie C.R. “Advanced Engineering Mathematics”, 6th ed. Mc Graw Hill, 1995) 16) 11.5 P25.- La superficie curvada de una barra delgada de longitud l se encuentra aislada contra el flujo de calor. Inicialmente la temperatura en toda la barra es ( ) 1000, =xu . Suponiendo que el flujo de calor es unidimensional en la barra, encuentre la temperatura en cualquier punto de la barra, en cualquier tiempo subsecuente, si en t = 0 la temperatura en cada uno de los extremos de la barra es repentinamente reducida a cero y se mantiene posteriormente en esta condición Ecuación Fundamental

),( encontrar ; 22

2

txutua

xu

∂∂

=∂∂

Condiciones: ( )( )( )

,0 100

0, 0

, 0

u x

u t

u l t

=

=

=

Se propone una solución de la forma: ( ) ( ) ( )tTxXtxu =, Entonces



III-49

(2) 0

(1) 0 0 Si

aTX

sustituir al ;

''

2

21

2

2

2

2

2

2

=−

=−′′

=≥

=′

=′′

′=′′

′=∂∂

=∂∂

Ta

T

xX

TTa

XX

TX

TXtu

TXxu

λ

λ

λμμ

μ

Al solucionar: (1)

taxx BeAeX

axBsenhxAX

ta

m

Ta

m

2

2

CeT

atT cosh

TdT

T 0

2

2

2

2

2

2122

λλλ

λλλ

λλ

λλ

=+=

+=+=

=±=

==−

−

( ) [ ] ; , 2

2t

ayx CeBeAetxuλ

λλ −+= Esta solución es rechazada por que indica que u incrementa cuando t también. Ahora si 0=μ

CT BAxx0T 0=+=

=′=′′x por lo tanto

( ) ( )CBAxtxu +=, o simplemente ( ) BAxtxu +=, absorbiendo la constante C, en A y B

Aplicando las C.I. y C.F.



III-50

( ) ( )

( )( ) 00;0,

,0

00,

=∴≠===

==+=

AlAltluAxtxu

BBAtou

Evaluando ;- 2λμμ =o≺ se tiene:

0T 0 2

22 =+′=+′′ T

aXX λλ Solucionando

( ) [ ]t

a

ta

CexBsenxAtxu

xBsenxAX

2

2

2

2

cos,

CeT cos-

λ

λ

λλ

λλ

−+=

=+=

Aplicando las C.I. y C.F.

( ) ( ) ( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2-

0, cos 0 0 0

0; 0

, 0

, 00 , Para no obtener solucion trivial, y por supuesto que

e 0 , entonces

Sen 0 n

ta

ta

ta

a

ta

u t A Bsen Ce

Ae A

u x t Bsen xe

u t Bsen eB

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ λ π

−

−

−

−

= + =⎡ ⎤⎣ ⎦

= =

= =

= =

≠

≠

= =

( ) [ ]

( )( )

( )

2

2

2

2 2

n

1

0

1

n ; 1,2,3

,

,

Ahora evaluando la condicion

u x,0 100

n ta

n n n

nt

an

n

nn

n

u x t B sen x e

nu x t B e sen x

nB e Sen x

λ

π

πλ

λ

π

π

−

−

=

=

= =

=

=

= =

∑

∑

0



III-51

[ ]

[ ]

1

0

0

00 0

00

100

2 100

200

;

0

nn

n

n

nB sen x

nB sen xdx

nB sen xdx

nu x

n ndu dx sen xdx senudu cosun n

n nsen xdx cos x cosn cosn n

π

π

π

π

π ππ π

π π ππ π

=

=

=

=

=

= = = −

⎡ ⎤= − = − −⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

∫

∫

∫ ∫

∫

( )0

1 1nn xsen dxn

ππ⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦∫

( ) ( )200 2001 1 1 1n nnB

n nπ π⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − = − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Por lo tanto la solución completa

( )( ) 2 2

2 21 1200,

1

nn tanu x t sen xe

nn

πππ

−⎡ ⎤− −⎣ ⎦==∑

o bien para n = 1,3,5,7…

( ) ( )

( )

2 2

2 2

2 2

2 2

1

1

1 1200,

400 1,

n ta

n

n ta

n

nu x t sen xen

nu x t sen xen

π

π

ππ

ππ

−

=

−

=

− −⎡ ⎤⎣ ⎦=

=

∑

∑ n = 1, 3, 5,7…



III-52

17) 11.5 P33.- Una hoja delgada de metal limitada por el eje y las líneas y=0 y y=1, extendida hasta el infinito en la dirección positiva de las x, tiene sus caras superior e inferior aisladas. Sus lados horizontales sobre y=1 y y=0 se mantienen a 100 y 0 grados respectivamente, y sobre su lado vertical la distribución de temperaturas es ( ) ( )yyu −= 1100,0 . Encuentre la temperatura en estado estacionario en cualquier punto de

la hoja. Ecuación Fundamental

0

0 ioestacionar estado para ;

2

2

2

2

2

2

2

22

=∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

=∂∂

yu

xu

tu

yu

xu

tua

Proponiendo como solución: ( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2

2

2 2

2

,

'' ; '' ; al sustituir se tiene que:

X''Y XY'' 0X'' '' donde puede ser 0, 0, 0X

Si -'' Y''

Y'' 0

u x y X x Y y

u uX Y XYx y

YY

XX

X X

μ μ μ μ μ

μ λ

λ λ

λ

=

∂ ∂= =

∂ ∂+ =

= − = =

=

= − =

+ =

≺

( ) [ ][ ]

2

2 2 2 2

y - 00 m 0

m

X Acos x Bsen x Y C Cosh y Dsenh yu x,y cos x Bsen x Cosh y Dsen y

Ymm i

A C

λ

λ λλ λ

λ λ λ λλ λ λ λ

′′ =

+ = − == ± = ±

= + = +

= + + ahora antes de continuar se definen las condiciones de frontera: ( )( )( ) ( ) ( )( ) - xcuando acotada ,

1100,01001,00,

yxuyfyyu

xuxu

=−===



III-53

1

0

( ) [ ][ ][ ]

( ) [ ]( ) [ ]

,0 cos 0 0 0

cos 0 C 0

u x,y cos

, cos 100D senh 100

u x A x Bsen x C Cosh Dsenh

A x Bsen x C

A x Bsen x Dsenh y

u x l A x Bsen x Dsenh ll

λ λ

λ λ

λ λ λ

λ λ λλ

= + + =

+ = ∴ =

= +

= + =

=

De aquí no podemos determinar λ o D, por lo tanto esta solución no tiene validez, por que x,D arbitrarias y no satisfacen ( ), 100u x l = Si 2λ=u

[ ]

2 2

2 2

'' Y'' Y

'' 0 Y'' 0; la solucion a estas EDO's esX Acosh x Bsenh x Y C cos y Dsen y

XX

X x Y

λ λ

λ λλ λ λ λ

= = −

− = + =

= + = +

( )( ) [ ] ( )( ) [ ]

,0 0

,0 cosh x Bsenh x cos 0 0 0 C 0

u x,y cosh 0100

u x

u x A C Dsen

A x Bsenh x Dsen yDsen y

λ λ

λ λ λλ

=

= + + = ∴ =⎡ ⎤⎣ ⎦= + =

=

Como D o λ pueden ser arbitrarias, esta ecuación no es valida, ya que no satisface la condición ( ) 1001, =xu La única opción restante es 0=μ , entonces:

( ) [ ][ ]DCyBAx

X

++=+=+=

==

yx,uDCyY BAxX

0'Y' 0''

Evaluando condiciones:

x

y 100=u

0=u

)( yfu =



III-54

( )( ) [ ][ ]( )( ) 1001,

100x,1u0D ; 000,

00,

=+==

==++==

BAxxu

DBAxxuxu

de la misma forma no se encuentran, A y B que satisfagan ( ) 1001, =xu ; por lo tanto la condición ( ) ( )yyu −= 1100,0 y ( )yxu , acotada cuando x- , la única solución es: ( ) ( )yyxu −= 1100,



III-55

5) MÉTODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Con frecuencia puede usarse con ventaja la Transformada de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) lineales con coeficientes constantes, en dos variables independientes. En tales casos no conducen a una ecuación algebraica sino a una ecuación diferencial ordinaria en la transformada de la variable dependiente. La ecuación diferencial parcial dada, junto con sus condiciones en la frontera e iniciales, se transforma con respecto a una de sus variables independientes, por lo general t. Entonces si las variables independientes son, por ejemplo, x y t, se tiene:

{ }[ ]∫∫∞ −−∞

=∂∂

=∂

∂=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

00),(L),(),(),(L txf

dxddtetxf

xdte

xtxf

xtxf stst

ya que la variable transformada no depende de t Por supuesto para derivadas con respecto a x de orden superior se cumplen fórmulas similares. Así pues, el resultado de la transformación es una ecuación diferencial ordinaria en { }),( txfL en la cual x es la variable independiente y s interviene como un parámetro. Como s aparece en los coeficientes de la ecuación diferencial, las constantes arbitrarias que aparecen en su solución completa serán, en general, funciones de s que habrán de determinarse imponiendo las condiciones en la frontera transformadas a la solución completa de la ecuación diferencial transformada. Una vez hecho esto, se efectúa la transformación inversa, y se obtiene la solución del problema original. EJEMPLO 1. Una cuerda semi-infinita se encuentra inicialmente en reposo coincidiendo con el semieje positivo x. En el instante t = 0, el extremo izquierdo de la cuerda comienza a moverse a lo largo del eje y de una manera descrita por Y(0,t) = f(t) es una función conocida. Hállese el desplazamiento Y(x,t) de la cuerda en un punto e instante cualquiera. La ecuación diferencial parcial que hay que resolver es, desde luego, la ECUACIÓN UNI-DIMENSIONAL DE ONDA.

2

22

2

2

xY

tY

∂∂

=∂∂ a (1)

sujeta a las condiciones de frontera Y(0,t) = f(t)

Y(x,t) acotada cuando x→ ∞



III-56

y las condiciones iniciales

Y(x,0)=0

00,

=∂∂

xtY

Tomando la transformada de Laplace a la ec.(1) con respecto a t, se obtiene

{ } { }[ ]),(),()0,(),( 2

22

2

22

0,

2 txYdxda

XtxYa

tYxsYtxYs

x

LLL =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

=∂∂

−−

con las C.I dadas

{ }[ ] { } 0),(),( 2

2

2

2

=− txYastxY

dxd LL 02

2

2

2

=− Yas

dXYd

Resolviendo esta ecuación diferencial ordinaria para { }),( txYL , se halla fácilmente que

{ } Xas

Xas

esBesAtxYY )()(),(L +=≡−

Para determinar las funciones coeficientes A(s) y B(s) debe notarse que si Y(x,t) se conserva finita cuando x→ ∞ , lo mismo tiene que suceder con { }),( txYL . De donde, B(s) tiene que ser cero. Además, haciendo x = 0 en la última ecuación ya con B(s)=0, se tiene que { }),( txYL = A(s), y en virtud de la condición en la frontera Y(0,t) = f(t), se tiene que

{ }),0( tYL = { })(tfL . Así

{ }),( txYL = { } Xas

etf−

)(L = { } saX

etf−

)(L

Para encontrar Y(x,t) tomamos la transformada inversa, usando el segundo teorema de traslación, corolario 2

T; { } { })(L)()(L tfeatuatf as−=−− a 0≥ C2; Si { } { } )()( )(L ),()(L -1-1 atuatfseentoncestfs as −−== − φφ

Así la solución al problema es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

axtu

axtftxY ),(

que representa una onda que viaja hacia la derecha a lo largo de la cuerda con velocidad a.



III-57

El efecto de esta onda es dar a la cuerda en un punto cualquiera el mismo

desplazamiento que el extremo izquierdo de la cuerda tenía ax unidades de tiempo antes.

18) 11.8 P7. (Wylie C.R. “Advanced Engineering Mathematics”, 6th ed. Mc Graw Hill, 1995) Utilizando los métodos de transformada de Laplace, determine el movimiento torsional de una barra uniforme de longitud l, que se encuentra fija en el extremo x = 0 y libre en el extremo x = l; si su desplazamiento inicial está dado por

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=l

xnx2

12sin)0,( πθ y además parte del reposo.

Solución: De la ecuación diferencial para movimiento torsional se tiene que:

2

22

2

2

xa

t ∂∂

=∂∂ θθ

aplicando la transformada de Laplace a dicha ecuación se tiene entonces que:

L⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

=∂∂

2

22

2

2

xa

tθθ

22 )0,( a

txss =

∂∂

−−Θθθ L

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

2

2

xθ

ahora aplicando las condiciones de frontera e iniciales, dadas en el problema

0),0(

0

=

=∂∂

tt

θ

θ

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=l

xnx2

12sin)0,( πθ

la ecuación es ahora:

( )

2

222

212sin

dxdas

lxns Θ

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−Θπ



III-58

donde Θ es la variable transformada al espacio de s, y que ahora depende únicamente de la variable independiente x, convirtiendo el problema en un problema que involucra una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

( )22

2

2

2

212sin

as

lxn

as

dxd

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−=Θ−Θ π

la solución a dicha ecuación está compuesta de la siguiente forma:

ph Θ+Θ=Θ para la solución de la parte homogénea se tiene la siguiente ecuación auxiliar:

asm

asm

±=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 0

22

y por tanto la solución se puede expresar de la siguiente forma

asx

asx

h esCesC )()( 21 +=Θ−

para la solución particular se tiene:

( )l

n

xBxAp

212

cossin

πϕ

ϕϕ

+=

+=Θ

entonces calculando la derivadas correspondientes y sustituyendo en la ecuación original,

[ ] xasxBxA

asxBxA

xBxA

xBxA

p

p

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

sincossincossin

cossin"

sincos'

2

222

22

−=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−

−−=Θ

−=Θ

agrupando e igualando términos



III-59

( )

222

2

2

22

001

sasA

BB

as

asA

+=

==−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

ϕ

ϕ

ϕ

entonces

xsa

sp ϕ

ϕsin222 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=Θ

Entonces la solución completa está dada por la siguiente ecuación

xsa

sesCesC asx

asx

ϕϕ

sin)()( 22221 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++=Θ−

en la cual aparecen dos constantes que son función de s, la cuales es necesario calcular, para ello a la solución homogénea se aplican las condiciones de frontera e iniciales, pero en el espacio transformado, quedando de la siguiente forma:

L{ } 00 = L{ }0),0( =tθ

0)( =Θ s

L⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =∂∂ 0

xθ

0)( =Θ s Entonces:

0)(0)(

0)()(

0)()(

2

1

21

21

==

=−

=+

sCsC

sCassC

as

sCsC

Con esto la solución se simplifica de la siguiente forma:

xsa

s ϕϕ

sin222 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=Θ



III-60

ahora es necesario expresar dicha solución en función de t, para ello se calcula la transformada de Laplace inversa:

L-1{ } ),()( txs θ=Θ

L-1 xsa

s ϕϕ

sin222⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Y la solución se puede expresar como:

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=l

xnl

atntx2

12sin212cos),( ππθ

Ejercicios Propuestos: Wylie C.R. “Advanced Engineering Mathematics”, 6th ed. Mc Graw Hill, 1995) Sección 11.4 (P4 incisos d) y f) página 699 Sección 11.5 (9,13,17, y 26) Sección 11.7 (1).



III-61

SOLUCIONES NUMÉRICAS *Método de Diferencias Finitas Ahora se presentará un método para obtener soluciones aproximadas de ciertos problemas de valor de frontera para ecuaciones diferenciales parciales. Aun cuando algunos problemas admiten una solución explícita a través de una serie o una integral, ésta podría complicarse en su cálculo es en este tipo de casos y obviamente en problemas más complejos que conviene usar métodos numéricos. El método de diferencias finitas es un método general. En éste se re-emplazan las variables continuas (x,y,z,t) por las variables discretas (xi, yj, zR, tm), lo cual supone un número finito de valores. Luego se sustituyen cada una de las derivadas que aparecen en la ecuación por un cociente de diferencias apropiado. Esto convierte la ecuación diferencial en un sistema de ecuaciones algebraicas. Con la solución obtenida, puede cuestionarse la exactitud de la aproximación, es decir, la magnitud de la diferencia entre la solución real y la obtenida numéricamente. Como una ilustración simple del método, considere el siguiente problema

00102

=≤≤= ) , μ,x eu'(x) x

Por supuesto la solución exacta (¿?) puede escribirse a través de la integral ∫=x t dtexu

0

2

)(

Para usar el método de diferencias finitas, se selecciona una malla de puntos

1...0 210 == nxxxx ≺≺≺≺ Y sustituimos las derivadas por los cocientes de diferencias correspondientes; así

ni0u )u(x ii ≤≤

se re-emplaza por;

ni1 xxu-u )(xu'

1ii

1-i ii ≤≤

− −

Con esto se tienen las ecuaciones

U0 = 0

ni1 xxu-u 2

ix

1ii

1-i i ≤≤=− −

e

Para resolver estas ecuaciones, se escribe la suma telescópica



III-62

∑∑=

−=

− −=−=−=j

1i1ii

xj

1i1ii0jj )x(x )u(u uu u

2ie

Esta es una suma aproximada para la integral de Rieman ∫ix x dxe

0

2

, la cual es la solución

exacta. La diferencia entre la solución aproximada y la solución exacta es;

∑∫∑==

−−

−=−−j

1i

x

x

xxj

1i1ii

xj

i

1i

2i

22i )dx( )x(x)(xu eee

la cual es xj veces menor que la mayor de las diferencias

21-i

2i xx ee − i = 1,2,…,n

El método de diferencias finitas puede aplicarse a ecuaciones diferenciales de orden > 1. Para manejar problemas de este tipo, reemplazar las derivadas de más alto orden por un cociente de diferencias apropiado. Por ejemplo, si la malla consiste de puntos igualmente espaciados x1, x2… xn con

xΔ=− −1ii xx , entonces re-emplazar la segunda derivada u’’(xi) por el cociente de diferencias simétrico

2)()()(2)(

xxxuxuxxu iii

ΔΔ−+−Δ+

ECUACIÓN DE CALOR UNIDIMENSIONAL; xxt kuu =

Δt(t)uΔt)(tu t),(xu ii

it−+

2i1-i1i

ixx x)()(2u-(t)u(t)u t),(xu

Δ++ t

Así la ecuación diferencial parcial es reemplazada por las ecuaciones lineales siguientes con C.F.

ni1 x)(

)(2u-(t)u(t)u Δt

(t)uΔt)(tu 2i1-i1iii ≤≤

Δ+

=−+ + tK

u0(t) = 0 un+1(t) = 0

Resolviendo para ui (t+Δ t), se obtiene

)()(

)(21)()()()(

)()()( 21212 tu

xtktu

xtktu

xtkttu iiii ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

−+ΔΔ

+ΔΔ

=Δ+ −+



III-63

Esto se ilustra gráficamente en términos de la “molécula computacional” Algoritmo numérico SOLUCIÓN EN VARIAS DIMENSIONES *EC. CALOR (2-3 DIMENSIONES) *EC. LAPLACE (2-3 DIMENSIONES) CASO BI-DIMENSIONAL

yyxx2 uu u +=∇

Se elige una malla de puntos )Y ,(X ji , con ΔXXX i1i =−+

ΔYYY J1j =−+ )Y,u(Xu jiij =

Haciendo las sustituciones usuales para uxx y uyy, obtenemos la regla que sustituye al Laplaciano u2∇ por:

Y)(

2u-uu

x)(2u-uu

2ji,1-ji,1ji,

2ji,j1,-ij1,i

Δ

++

Δ

+ ++

si hΔYΔX == , entonces la fórmula se simplifica a;

2ji,1-ji,1ji,j1,-ij1,i

h4u-uuuu +++ ++

R R

1

R21−

)( ttui Δ+

)(1 tu i +)(1 tui− )(tui



III-64

Así tomamos la diferencia neta entre el valor de u en (i,j) y los cuatro puntos vecinos (i+1,j), (i-1,j), (i,j+1), (i,j-1). (i,j+1) (i,j) (i-1,j) (i+1,j) (i,j-1) Ahora para la EC. CALOR en dos dimensiones; uku 2

t ∇=

2ji,1-ji,1ji,j1,-ij1,iji,ji,

h(t)4u-(t)u(t)u(t)u(t)u

k Δt

(t)uΔt)(tu +++=

−+ ++

Resolviendo en términos Δt)(tu ji, +

[ ] (t)uhΔt4k1(t)u(t)u(t)u(t)u

hΔtk Δt)(tu ji,21-ji,1ji,j1,-ij1,i2ji, ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++++=+ ++

que puede representarse

Algoritmo “Molécula computacional” para la ecuación de Laplace (2D)

R

R

R

R R41−



III-65

Ejemplo Encuentre la solución numérica de la ecuación de calor para t>0, 0< x < 1,

con las condiciones de frontera u(0,t)=0 , u(1,t)=0 y la condición inicial u(x,0)=4x. Use

primero un tamaño de malla 321t ,

41

=Δ=Δx , luego use un tamaño de malla

81t ,

41

=Δ=Δx .

Solución: Con la primera elección de malla, tenemos: 21

161

321

)( 2 ==ΔΔxtk y la forma de

la soluciones es; )(21)(

21)( 11 tututtu iii −+ +=Δ+ . Aplicando esto junto con el dato de la

condición inicial u(x,0)=4x, se obtiene la siguiente tabla de valores:

x

t

0 ¼ 1/2 3/4 1

0 0 1 2 3 4

1/32 0 1 2 3 0

1/16 0 1 2 1 0

3/32 0 1 1 1 0

1/8 0 0.5 1 0.5 0

xxt uu =



III-66

Para la segunda malla tenemos: 2

16181

)( 2 ==ΔΔxtk ; y la forma de la solución es;

)(3)(2)(2)( 11 tutututtu iiii −+=Δ+ −+ . Aplicando esto junto con el dato de la condición

inicial u(x,0)=4x, se obtiene la siguiente tabla de valores::

x

t

0 1/4 1/2 3/4 1

0 0 1 2 3 4

1/8 0 1 2 3 0

1/4 0 1 2 1 0

3/8 0 1 -14 19 0

1/2 0 -31 82 -85 0

En este ejemplo se observa que con la segunda opción 81 ,

41

=Δ=Δ tx se obtiene una

solución absurda, ya que físicamente se esperaría que la temperatura permanezca con valores positivos y tienda a cero conforme el tiempo aumenta. Sin embargo el valor ilógico en este ejemplo no debe sorprenderno ya que la razón

2)(2

xtk

ΔΔ es mayor a la unidad.

Antonio

Text Box

Las ecuaciones para cada nodo se obtienen de la formula de recurrencia y de los datos de entrada del problema



III-67

11.9 P15; Ref.[1] (Wylie C.R. “Advanced Engineering Mathematics”, 6th ed. Mc Graw Hill, 1995) Una barra delgada de longitud unitaria se encuentra inicialmente con una distribución de temperatura dada por ( )221100),( xoxu −= . Si cada extremo de la barra se encuentra aislada, encuentre la temperatura en la barra como una función de x y de t. Considere una malla de diez segmentos iguales y además con m = ½. Solución: De la ecuación de calor se tiene que:

2

22

xu

tua

∂∂

=∂∂

además si se utilizan las siguientes aproximaciones

( )

( )

1012

1

)()(

)(2)()(2

112

2

=Δ

=

Δ−Δ+

=∂∂

Δ−+

=∂∂ −+

x

m

ttUttU

tu

xtUtUtU

xu

ii

iii

Sustituyendo en la ecuación original

( ) ( )( )( )

{ }

( )( )22

1122

2112

21

)()(2)()()(

)(2)()()()(

xatm

tUtUtUtUxatttU

xtUtUtU

ttUttUa

iiiii

iiiii

ΔΔ

==

+−+ΔΔ

=Δ+

Δ−+

=Δ

−Δ+

−+

−+

Entonces acomodando términos se tiene, la siguiente ecuación de recurrencia para los nodos internos:

{ }11 )()(21)( −+ +=Δ+ iii tUtUttU

Además una de las condiciones establece que la barra se encuentra aislada en los extremos y esto es:



III-68

ii

ii

tUtUx

tUtUxu

)()(

0)()(

0

1

1

=

=Δ−

=∂∂

+

+

es decir, que las temperaturas en los nodos de los extremos de las paredes serán siempre iguales al nodo que les precede, en cada uno de los extremos. Y la condición inicial está dada por:

( )221100),( xoxu −= Teniendo, entonces el conjunto de ecuaciones, sólo se requiere determinar los valores discretos del tiempo, para este caso, se toman de 1 segundo, hasta 10 segundos. El algoritmo se desarrolla en una hoja de Excel, y la solución numérica se presenta a continuación: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

j t 0 0 100.00 64.00 36.00 16.00 4.00 0.00 4.00 16.00 36.00 64.00 100.001 1 68.00 68.00 40.00 20.00 8.00 4.00 8.00 20.00 40.00 68.00 68.002 2 54.00 54.00 44.00 24.00 12.00 8.00 12.00 24.00 44.00 54.00 54.003 3 49.00 49.00 39.00 28.00 16.00 12.00 16.00 28.00 39.00 49.00 49.004 4 44.00 44.00 38.50 27.50 20.00 16.00 20.00 27.50 38.50 44.00 44.005 5 41.25 41.25 35.75 29.25 21.75 20.00 21.75 29.25 35.75 41.25 41.256 6 38.50 38.50 35.25 28.75 24.63 21.75 24.63 28.75 35.25 38.50 38.507 7 36.88 36.88 33.63 29.94 25.25 24.63 25.25 29.94 33.63 36.88 36.888 8 35.25 35.25 33.41 29.44 27.28 25.25 27.28 29.44 33.41 35.25 35.259 9 34.33 34.33 32.34 30.34 27.34 27.28 27.34 30.34 32.34 34.33 34.3310 10 33.34 33.34 32.34 29.84 28.81 27.34 28.81 29.84 32.34 33.34 33.34



III-69

11.9 P5.- Tomando ventaja de todas las simetrías, en cuantos puntos deben evaluarse las ecuaciones, o cuantos cálculos independientes deben de hacerse en cada una de las mallas de las siguientes figuras: (a) (b) (c) (d) a) Sólo se requieren 5 nodos( 1, 2, 3, 4, y 5) debido a la simetría.

0 0

00

0

100100 100

0

0 0

0

100

0

0

0

0

0 25

50 100

50 25

0 0

0 0

0

321

7 6 5 4

89

100 100 100

100



III-70

Ecuación

( )10

02

2

2

2

=+

=∂∂

+∂∂

yyxx uuyu

xu

11.9 P5 Solución Se discretiza en un punto ( )ji yx , Este esquema se utiliza también en los incisos b)-d)

( )

( )21,1,

211

2

2,,

yuuu

u

xujuiu

u

ijjijiyy

ijiixx

Δ

−+=

Δ

−+=

−+

−+

Al sustituir en ecuación 1

( ) ( )

04

Si

022

21,1,,1,1

21,1,

2,1,1

=−+++

=Δ=Δ

=Δ

−++

Δ

−+

−+−+

−+−+

huuuuu

hyxy

uuux

uuu

ijjijijiji

ijjijiijjiji

La ecuación o esquema de diferencias finitas es:

ijjijijiji uuuuu 41,1,,1,1 −+++ −+−+ =0

)( 1++ ji yx

( )ji yx ,1− ( )ji yx , ( )ji yx ,1+

( )1, −ji yx



III-71

Solo si yx Δ=Δ para la figura del inciso a) por simetría se aplica que

64738291 uuuuuuuu ==== Entonces evaluando para 51 uu − , se tiene que comenzando por el nodo 1

ijjijijiji uuuuu 41,1,,1,1 −+++ −+−+ =0 11.9 P6a)

:oReordenand 0401002

nodo5 040100unodo4 040100u

nodo3 0400unodo2 04u0100

nodo1 0400100

54

46546

435

324

231

12

=−++

==−+++=−+++

=−+++=−+++=−+++

uu

uuuuuu

uuuu

uu

R

R ( )R41− R

0 0

0 0

0

321

7 6 5 4

89



III-72

11.9 P8

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=−+++−=+−++

=++−+−=+++−−=++++

100-100-

0100-100-

4-2 0 0 0

1 4- 1 0 0 0 1 4- 1 0 0 0 1 4- 1 0 0 0 1 4

10042000100400

00401000041000004u-

5

4

3

2

1

54

543

432

321

21

uuuuu

uuuuu

uuuuuu

u

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∴

718.45436.42028.20674.38669.34

u

Antonio

Text Box

Tareas opcion2 11.2 (3(a,c,e), 6(a, c), 8, 38) 11.3 (3,21) 11.4 (4(c, e), 8) 11.5 (5, 10, 12, 19 y 27) 11.7(1) 11.8 (7) o (9) 11.9 (5, 11, 15TF, 17D)

Antonio

Text Box

o (3(b,d), 6(b, d), 9, 38)

Antonio

Text Box

Antonio

Text Box

Ejercicios 11.8(7) 11.9(5,11, 15TF, 17D)


Matrices/Formas Cuadráticas IV-1 Aguilera A.

DETERMINANTES Y MATRICES. En este tema y el siguiente (formas cuadráticas) lo dedicaremos a una REVISIÓN y

AMPLIACIÓN de nuestro primer estudio de los determinantes y a un análisis de algunas de las propiedades fundamentales de los objetos matemáticos asociados con ellos, llamados matrices.

El concepto de matriz es en esencia más simple que el concepto de determinante.

Porque, mientras una matriz no es más que una colección de elementos dispuestos en una forma particular, un determinante es una función más bien complicada de los elementos de un conjunto dado.

Un determinante es una función de una matriz cuadrada. EL PRODUCTO DE UNA MATRIZ Y UN ESCALAR R: es la matriz RA = AR,

cuyos elementos son los elementos de A, cada uno multiplicado por R. ( Diferente al producto escalar de R por un determinante.)

C = AB es la matriz para la cual ∑=

=q

RRjiRij baC

1

Se entiende POR TRANSFORMACIÓN LINEAL: una relación de la forma: Y1 = a11X1 + a12X2 + ...... + a1nXn Y2 = a21X1 + a22X2 + ...... + a2nXn . . . Yn = an1X1 + an2X2 + ...... + annXn MATRICIALMENTE, Y=AX , donde

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nY

YY

.2

1

Y

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

...

21

22221

11211

A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nX

XX

.2

1

X

es decir, el vector X se transforma en un vector Ta=Y=AX. Ahora si se desea una segunda transformación, que transforme el vector Y en un vector Z, se tiene Tb = Z = BY



Luego si se desea, encontrar la ecuación de transformación equivalente que vincule directamente X con Z se tiene :

∑=

==n

jjjRRa XaYT

1 R = 1,2,3......n

∑=

==n

RRiRib YbZT

1 i = 1,2,3,.......n

De modo que eliminando las Y por la sustitución de las YR en las ecs. de Tb , se obtiene

∑ ∑∑ ∑= == =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

jj

n

RjRiR

n

R

n

jjjRiRi XabXabZ

1 11 1 i =1,2,3,......,n

Así pues, el coeficiente de Xj en la ecuación para Zi es

∑=

n

RjRiRab

1

que es precisamente el elemento Cij en el producto BA. ( ) ( )XBAAXBBYZ === TEOREMA: El resultado de hacer que una transformación lineal Ta: Y = AX sea seguida por la transformación lineal Tb; Z = BY es la transformación lineal única Tba : Z = BAX , cuya matriz es el producto BA de las matrices Tb y Ta . PPoorr aannaallooggííaa,, llaa lloonnggiittuudd oo vvaalloorr aabbssoolluuttoo ddee uunn vveeccttoorr rreeaall ccuuaallqquuiieerraa:: X = [X1 , X2 ... Xn]

Se define como la raíz cuadrada del producto escalar; ∑=

=⋅n

iiXXX

1

2

Un vector X con la propiedad de que ; 11

2 ==⋅ ∑=

n

iiXXX se denomina vector unitario.

Dos vectores diferentes de cero X = [X1 X2 ... Xn] y Y = [Y1 Y2 ... Yn] Tienen la misma dirección si, y sólo si, sus componentes son proporcionales y son perpendiculares u otorgonales si y sólo si, satisfacen la condición.

∑=

==⋅n

iiiYXYX

10



MULTIPLICACIÓN DE MATRICES. (Sólo las matrices cuadradas tienen determinantes). 1.- A (BC) = (AB)C. 2.- A (B ± C) = AB ± AC. 3.- AB = 0 puede ser posible aunque A ≠ 0 y B ≠ 0. Propiedades de Matrices 4.- AB ≠ BA. 5.- AI = IA = A. A0 = 0A = 0. 6.- (AB)T = BT AT. INVERSA: La inversa de una matriz A se define como el cociente de la matriz adjunta (A) entre el determinante de la matriz

[ ] [ ]A

AA

AadjAT

ij==−1 adjunta/determinante

∴ ijA es la matriz de cofactores y así la adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores. A-1 A = A A-1 = I Además se cumple que: (AB)-1 =B-1 A-1 Ejemplo : Calcule la inversa de la matriz A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

213301421

A

∴

det. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1321

310121

4211 322212 +++ −+−+

−−−=A

( ) 71586138 =+−=−−−= y la adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores.



MATRIZ DE COFACTORES.

0 3 1 3 1 01 2 3 2 3 1

3 7 12 4 1 4 1 2

8 14 51 2 3 2 3 1

6 7 22 4 1 4 1 20 3 1 3 1 0

⎡ − − ⎤−⎢ ⎥− −⎢ ⎥ − −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − = −⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦

TRANSPUESTA DE LA MATRIZ DE COFACTORES.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

2517147

683

Así

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−==−

72

75

71

12176

78

73

2517147

683

71

det1

AAadjuntaA

Autoestudio: Repasar Operaciones con Matrices (Álgebra Matricial)



FORMAS CUADRÁTICAS. Forma cuadrática: es una expresión homogénea de segundo grado en n-variables de la forma a11 X1

2 + 2 a12 X1 X2 + ... + 2 a1n X1 Xn

+ a22 X22 + ... + 2 a2n X2 Xn

+ ……………………. +an2 X3

2 + .... + ann X2n

Q(x) = a11 X2

1 + 2 a12 X1 X2 + … + 2 a1n X1 Xn + a22 X22 + … 2 a2n X2 Xn +…+ann X2

n Para poder aplicar la notación matricial a las formas cuadráticas hacer aji = aij . Así Q(x) puede expresarse en la forma simétrica.

( ) nn XXaXXaXaxQ 1121122

111 ......+++= nn XXaXaXXa 22

22221221 ......++++ aji = aij

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−+ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−+ 2

2211 ...... nnnnnnn XaXXaXXa ++++ Si ahora se definen las matrices

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nX

XX

X

.

.

.2

1

y

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...

...

21

22221

11211

∴ aji = aij

es obvio, por la definición de multiplicación matricial, que Q (x) puede escribirse en la forma compacta.

Q(x) = XT A X donde, como aji = aij , la matriz de la forma cuadrática A necesariamente es simétrica.



Si una forma cuadrática con coeficientes reales tiene la propiedad de ser igual o mayor que cero para todos los valores reales de sus variables, se dice que es positiva. Se dice que la matriz A de la forma cuadrática Q(x) = XT A X es definida positiva, definida negativa, semidefinida positiva, semidefinida negativa, o indefinida, de acuerdo con la naturaleza de Q(x). A su vez Q(x) es singular o no singular, según que su matriz A sea singular o no singular. En la siguiente tabla se dan ejemplos de los diferentes tipos para una forma cuadrática. Q(x) = XT A X

Q(x) ≥ 0 para toda x → positiva y si sólo Q(x) = 0 para X1, X2, X3 ... Xn = 0 ⇒ positiva definida

Una forma cuadrática que es definida, necesariamente es no singular. Sin embargo, una forma cuadrática no singular no necesariamente es definida. Por ejemplo, la forma X2

1 – 4X1X2 + 3X22 + 2X2

3 es no singular, puesto que el determinante de su matriz, a saber

2

3

2212

212

1

20003202

XXXX

XXX

++++−+−

2200032021

−=−−

es diferente de cero, sin embargo es NO DEFINIDA, ya que es cero para el conjunto no trivial de valores X1 = 3, X2 = 1, X3 = 0 El criterio completo para determinar la condición de definición de una forma cuadrática lo establece el siguiente teorema: TEOREMA 1. Una condición necesaria y suficiente para que la forma cuadrática real XTAX sea definida positiva ( definida negativa ) es que las cantidades

Tipo de forma cuadrática Ejemplo Definida positiva Definida negativa Semidefinida positiva Semidefinida negativa Indefinida

X21 + X2

2 -(X2

1 + X22)

(X1 – X2)2 -(X1 – X2)2 X2

1 – X22

Una forma cuadrática que puede tomar tantos valores positivos como negativos para todos los valores reales de sus variables se dice indefinida.



nnn

n

aa

aa

aaaaaaaaa

aaaa

a...

..........

,,,

1

11

333231

232221

131211

2221

121111

Sean todas positivas ( de signos alternados, con 11a negativo ). Pueden establecerse los resultados más generales. TEOREMA 2. Una condición necesaria y suficiente para que la forma cuadrática real XTAX sea definida positiva es que todo menor principal de A sea positivo. EJEMPLO:

[ ] =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

3

2

1

321

542452221

XXX

XXX 232313

322212

31212

1

542

452

22

XXXXX

XXXXX

XXXXX

+−−

−++

−+

es definida positiva, puesto que las tres cantidades

1 15221= y 1

542452221=

−−−−

son todas positivas. Es más, todos los demás menores principales, a saber, los elementos de la diagonal 55 3322 == aya y los determinantes de segundo orden

95445

15221

3332

2322

3331

1311 =−

−==

−−

=aaaa

yaaaa

son todos positivos, de acuerdo con el teorema 2. En este caso, la forma cuadrática puede escribirse de modo equivalente como ( ) 2

322

2321 22 XXXXX ++−+

que siendo una suma de cuadrados sólo puede anularse si 00022 32321 ===−+ XXXXX



En la definición dada de forma cuadrática, ni la matriz de los coeficientes A ni la matriz X se han supuesto sólo reales. Sin embargo, en la mayor parte de las aplicaciones elementales tanto A como X serán reales y sólo para formas cuadráticas de valor real se definen propiedades como las de ser o no definidas. En realidad cuando entran números complejos, las formas cuadráticas, como se han definido, casi siempre se reemplazan por expresiones relacionadas que se conocen como formas hermitianas. DEFINICIÓN: Si A es una matriz hermitiana, la expresión XTAX se conoce como forma hermitiana.

- Una matriz igual a su asociada, es decir, una matriz cuadrada A tal que TAA = , se dice que es hermitiana

- ASOCIADA: Es la transpuesta de la conjugada de una matriz A.

-CONJUGADA: La conjugada de una matriz A es la matriz A cuyos elementos son respectivamente, los conjugados de los elementos de A. TEOREMA: El valor de una forma hermitiana es real para todos los valores de sus variables. Estrechamente relacionadas con las formas cuadráticas están las que se conocen como formas bilineales. DEFINICIÓN: Si A es una matriz simétrica, la expresión YTAX se llama forma bilineal.

Si Y = X entonces la forma bilineal forma cuadrática. Es interesante observar que el producto escalar de dos vectores Y y X, a saber, YTX

puede considerarse como la forma bilineal YTIX y serán ortogonales si su forma bilineal es cero. DEFINICIÓN: Se dice que los vectores X y Y son ortogonales con respecto a una matriz simétrica A, si la forma bilineal YTAX es igual a cero. A su vez la longitud generalizada del vector X con respecto a la matriz simétrica A es AXYT si y sólo si el radicando es positivo. Un vector cuya longitud generalizada con respecto a una matriz definida positiva y simétrica dada sea 1, se dice que está normalizado con respecto a esa matriz. Si AXYT = 1 ∴ X vector normalizado con respecto a A. Un vector X siempre se puede normalizar con respecto a una matriz definida positiva y simétrica dada, dividiéndolo entre la cantidad positiva AXYT .



LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ

Al estudiar las transformaciones lineales de la forma Y = AX

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nY

YY

Y.2

1

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

321

22221

11211

...

nnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nX

XX

X.

2

1

es un problema interesante e importante determinar que vectores, si los hay, no cambian de dirección. Dos vectores tienen la misma dirección si y sólo si, uno de ellos es un múltiplo escalar diferente de cero del otro.

( ) 0=− XIA λ ( 1 )

Es evidente que la ecuación que matricial ( ) 0=− XIA λ equivale al siguiente sistema escalar;

( ) 0...... 1212111 =+++− nn XaXaXa λ ( ) 0...... 2

2222121 =++−++ nn XaXaXa λ ( 1a )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−+ ( ) 0......2211 =−++++ − nnnnn XaXaXa λ

Este sistema homogéneo tendrá una o más soluciones no triviales si, y solamente si, el determinante de los coeficientes es igual a cero.

0...

21

22221

11211

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−

λ

λλ

λ

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

IA ( 2 )

Desarrollando

( ) ( ) ( )[ ] 011...1 1112

21

1 =−+−+++−−=− −−−−

nn

nnnnnnIA βλβλβλβλλ ( 3 )

La ecuación ( 3 ) se conoce como la ECUACIÓN CARACTERÍSTICA de la matriz A y el término en corchetes es el POLINOMIO CARACTERÍSTICO de A. Para valores de λ que



satisfagan la ecuación 3, y sólo para estos valores, la ecuación matricial (1) tiene vectores solución no triviales. Las n-raíces de la ecuación (3), las que, no necesitan ser distintas, se llaman raíces características, o valores característicos de la matriz A, y las soluciones (no triviales) correspondientes de la ecuación (1) o de la (1a) son los vectores característicos de A. Como la ecuación característica (3) de una matriz cuadrada A es una ecuación polinomial sus raíces, sean ,,...,, 21 nλλλ están relacionadas con sus coeficientes

( ) nnββββ 1,,, 321 −−− por la siguiente relación

nλλλβ +++= ...211 nn λλλλλλβ 131212 ... −+++= nnn λλλλλλβ 123213 ... −−++= ( 4 ) ........................................ nn λλλλβ ....321= Además, si hacemos λ = 0 en la ecuación (3), se obtiene

( ) nnnA ββ =−= 21 ( 5 )

Así se llega nA λλλλ ....321= De lo que sigue que A es cero si, y solamente si, al menos una de las λ es cero. TEOREMA. Una matriz es singular si, y sólo si, al menos uno de sus valores característicos es cero. TEOREMA: Si A y B son matrices semejantes, entonces A y B tienen el mismo polinomio característico. TEOREMA: Un vector característico de una matriz cuadrada no puede corresponder a dos valores característicos distintos. ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 1121121211 =−=−=−=− XIXXIAXIA λλλλλλ Restando TEOREMA Si X1, X2,..., Xm ( m ≤ n ) son vectores característicos que corresponden, respectivamente, a los valores característicos distintos mλλλ ,...,, 21 de una matriz A de nxn, entonces X1, X2,..., Xm son linealmente independientes.



COROLARIO Si los valores característicos de una matriz A de nxn son todos distintos, entonces A tiene n vectores característicos linealmente independientes y cualquier vector con n componentes se puede expresar como una combinación lineal de los vectores característicos de A. TEOREMA Los valores característicos de una matriz hermitiana son todos reales. TEOREMA Si Xi y Xj son vectores característicos que corresponden, respectivamente, a los valores característicos distintos ji y λλ de una matriz hermitiana A, entonces 0=j

Ti XX

COROLARIO1: Si Xi y Xj son vectores característicos que corresponden, respectivamente, a los valores característicos distintos ji y λλ de una matriz hermitiana

A, entonces 0=j

Ti AXX .

COROLARIO2: Si Xi y Xj son vectores característicos que corresponden, respectivamente, a los valores característicos distintos ji y λλ de una matriz simétrica real

A, entonces 0== j

Tij

Ti AXXXX .

DEMOSTRACIÓN: Por hipótesis, se tiene

jjj

iii

XAXXAX

λλ

==

Si en la primera de éstas tomamos la conjugada y luego la transpuesta de cada miembro, se obtiene

Tji

TTi XAX λ=

o puesto que AAT= , por hipótesis, y ii λλ = por teorema

Tii

Ti XAX λ=

Ahora, premultiplicando la segunda por TiX y posteriormente multiplicando la última por

Xj se tiene

j

Tiij

Tij

Tijj

Ti XXAXXyXXAXX λλ ==

por último, restando estas ecuaciones

( ) 0=− j

Tiji XXλλ



luego como por hipótesis ji λλ ≠ , se obtiene 0=j

Ti XX Q.E.D.

VECTORES ORTONORMALES: longitud unitaria, linealmente independiente y ⊥ (ortogonales). TEOREMA: Toda matriz hermitiana de nxn tiene n vectores característicos linealmente independientes. COROLARIO 1 Toda matriz simétrica real de nxn tiene n vectores característicos linealmente independientes. COROLARIO 2 Toda matriz de nxn hermitiana o simétrica real tiene un conjunto de n vectores característicos ortonormales. Una matriz de nxn cuyas columnas son vectores característicos ortonormales de una matriz A de nxn, se dice que es una matriz modal de A. En muchas aplicaciones en Física, Química e Ingeniería, es necesario considerar ecuaciones matriciales de la forma (A - λB)X = 0 en las que A y B son hermitianas, o bien, reales y simétricas. En paralelo con nuestra terminología, para el caso especial en que B = I, la ecuación ⎜ A - λB ⎜= 0 se llama ecuación característica del sistema y las soluciones no triviales correspondientes se llaman vectores característicos del sistema. La teoría de la ecuación (A - λB)X = 0 es por completo semejante a la teoría de la ecuación (A - λI)X = 0. Ejemplo: Encuentre los valores característicos de la siguiente matriz.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

1566624642

01566

624642

) -(A =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−

=λ

λλ

λI



[ ] [ ] [ ]

[ ][ ]

( )( )( )( )( )

1892

09182016292

03241441102881624072144605611

0288)(151672))(15-(2)-(20288)(15163636))(15-(2)-(2-

0)-(236144144)16(15)-36(2-)(15)-(20)-(2624636-)-(-154436-)-)(-15-(2)-(2

3

2

1

2

23

23

2

−==−=

=−++=−++

=−−+

=−−−−++−+

=−+−++=++++++

=−+++++−

=+−−−

λλλ

λλλλλλ

λλλ

λλλλλ

λλλλλλλλ

λλλλλ

λλλλλ

Ejercicios 1. Hállense los valores característicos de la siguiente matriz. b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

326203427

La ecuación característica para la matriz A es

0) -(A =XIλ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

000

000000

326203427

3

2

1

XXX

λλ

λ ( 1 )

y una condición es que 0 -A =Iλ así

( )2042

632

423

3220

7326

203427

−−−−

+−−−

−−−

−−−−−

−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−

λλλλ

λλ

λλ



1 -4 5 -2 -1 -1 3 -2 1 –3 2 0

FUNCIONES DE UNA MATRIZ CUADRADA De la multiplicación de matrices cuadradas, se tiene

SRRSSR AAAAA +== R,S enteros (1) y si A es una matriz no singular (si tiene inversa) se sabe IAAAA == −− 11 y de igual forma nn AA )( 1−− = luego así se tiene la siguiente definición DEFINICION: Una función polinomial de una matriz cuadrada A es una combinación lineal finita de potencias enteras no negativas de A. Ejemplo

Si A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 4321

y p(x)= X2+ 5X +4 , entonces

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 4321

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 4321

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−229

67

p(A) = A2 + 5A + 4I = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−66416

1001

443

215

22967

Es interesante observar que también se puede evaluar p(A) utilizando las formas factorizables de p(X), es decir, p(X)= (X+4) (X+1) = (X+1) (X+4)

p(A) = (A+4I) (A+I) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− 66

41633

22

0325

1001

4321

1001

443

21

VALORES CARACTERÍSTICOS

1

( )( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )( )[ ][ ] [ ] [ ]

( )( )( )

2 1

02110 25 402 5 4

02422466423 28721 04468263 4 3 )-(7

0)4 )(--(0 2-2-6)4(2-)-(-32-32 -2 --)-)(-3 -(0 )-(7

3

2

1

23

23

322

2

=

=

1 ==−−−=−+−=

= +−+ −=

=−+−++ −−−+ =

=−+−+−−+ =

=−+−−−=

λλλ

λλλλλλ

λλλ

λλλλλ

λλλλλ

λ λλλλ



p(A)= (A+I) (A+4I)= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− 66

4160325

33

221001

443

21

1001

4321

Del ejemplo anterior se observa la conmutatividad en la operación de multiplicación, esto se establece en el siguiente TEOREMA: Cualquier identidad polinomial entre polinomios escalares implica una identidad correspondiente para polinomios matriciales.

Como f(x) g(x)= g(x) f(x), se sigue del teorema que f(A) g(A)= g(A) f(A) (2) De aquí se tiene el importante resultado COROLARIO: Dos polinomios cualesquiera en una matriz A se conmutan entre sí. Si g(A) es una matriz no-singular, entonces existe g-1(A) y podemos premultiplicar y postmultiplicar cada miembro de la ec (2) por g-1(A) g-1(A) f(A) g(A) g-1(A) = g-1(A) g(A) f(A) g-1(A) o sea g-1(A) f(A)= f(A) g-1(A) (3) TEOREMA: Si nλλλ ,....., 21 son los valores característicos (posiblemente repetidos) de una matriz cuadrada A y si f es un polinomio cualquiera, entonces el determinante de f(A) está dado por la fórmula.

)()...()()( 21 nfffAf λλλ= TEOREMA 5: Si nλλλ ,....., 21 son los valores característicos de una matriz cuadrada A y si f= g/n , donde g y n son polinomios tales que 0)( ≠An entonces los valores característicos de f(A) son f( 1λ ),…f( nλ ). COROLARIO: Si Xi es un vector característico correspondiente al valor característico iλ de una matriz cuadrada A y si p es un polinomio, entonces Xi también es un vector característico que corresponde al valor característico p( iλ ) de la matriz p(A).



Ejemplo: Como una ilustración del teorema 5, considérese la matriz A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

4321

y la

función 3

)(+

=x

xxφ . La ecuación característica de A es:

IA λ− = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−λ

λ43

21= 0232 =++ λλ

De donde, las raíces características son λ = -1, -2. Por lo tanto, según el teorema 5, las raíces características de )(Aφ son:

21)1( −=−φ y 2)2( −=−φ

para comprobar esto, por cálculo directo, se tiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=+=+

=−

−

52/932/5

10965

21

4321

21

4321

1324

4321

)3(3

)(1

1IAAIA

AAφ

Las raíces características de )(Aφ son, por lo tanto, las de la ec.

IA λφ −)( = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−λ

λ52/9

32/5= 01

252 =++ λλ o sea, -1/2 y -2 como antes.

Si p es un polinomio y A una matriz cuadrada , la evaluación de p(A) es perfectamente directa. Sin embargo, cuando A es una matriz semejante a una matriz diagonal, la evaluación de p(A) se puede simplificar apreciablemente.



TEOREMA: Si B= PAQ, donde P y Q son matrices no-singulares, entonces A y B son equivalentes. Si P = Q-1, entonces B= Q-1AQ y B es semejante a A LEMA : Si 1−= SASB , entonces 1−= SSAB nn Por ejemplo para 2=n

( )( ) ( ) 1211112 −−−−− === SSAASSSSASASSASB LEMA : Si 1−= SASB ,y si p es un polinomio, entonces ( ) ( ) 1−= SApSBp es decir,

( ) ( ) 11 −− = SApSSASp LEMA : Si D es la matriz diagonal

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnd

dd

…

……

000000000

22

11

entonces

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

knn

k

k

k

d

dd

D

…

……

000000000

22

11

Finalmente, aplicando este último lema a cada término de cualquier función polinomial de una matriz diagonal D y utilizando luego la definición de adición matricial, se tiene el siguiente resultado.

LEMA : Si D es la matriz diagonal

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnd

dd

…

……

000000000

22

11

Y p es cualquier polinomio, entonces

( )

( )( )

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nndp

dpdp

Dp

…

……

000000000

22

11



con los lemas 2 y 4 se puede demostrar el siguiente teorema TEOREMA : Si A es una matriz semejante a una matriz diagonal , es decir, si

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==−

n

DASS

λ

λλ

…

……

000000000

2

1

1

donde nλλλλ …,,, 321 son los valores característicos de A , entonces

( )

( )( )

( )

12

1

000000000

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= S

p

pp

SAp

nλ

λλ

…

……

Ejemplo: Si ( ) 364 234 −−+−= xxxxxP

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

3120

A , cual es ( )?Ap

Por un cálculo sencillo, encontramos que la ecuación característica de A es :

02331

2 2 =+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=− λλλ

λλIA

luego, los valores característicos de A son 11 =λ y 22 =λ , y como estos son diferentes, se sigue que A es semejante a una matriz diagonal y se puede aplicar el teorema anterior. Ahora, en correspondencia con 1λ y 2λ se tienen los vectores característicos.

Para 22 =λ ; ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

231220

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

XX

= 0;

21

21

21

0022

XXXX

XX

−=∴=+

=−− ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=11

2x y



Con 11 =λ ; ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

131210

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

XX

= 0 ;

21

21

21

202

02

XXXX

XX

−=∴=+=−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=1

21x

y a partir de éstos se puede construir la matriz modal y su inversa

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=1112

S y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=−

21111S

2111

2111

2111

−−−−

−−

112)det( −=+−=S 112)det( 1 −=+−=−S Según el teorema 4 (11.3), éstas son matrices tales que

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==−

20011 DSAS ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

←2001

1112

4211

1112

3120

2111

Luego, estas son las matrices que deben usarse para evaluar ( )Ap mediante el

último teorema. Ahora bien

( ) ( ) 111 −== pp λ y ( ) ( ) 322 == pp λ

por lo tanto ( ) ( )( ) =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=−−+−= −1

2

1234

00

364 Sp

pSIAAAAAp

λλ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=7485

2111

3001

1112

Definidas las funciones polinomiales de una matriz cuadrada, es natural considerar ecuaciones polinomiales en una variable (o argumento) matricial. En particular, ahora que hemos desarrollado procedimientos para evaluar ( )Ap , esto es, para resolver la ecuación

( ) xAp = , se puede considerar el problema de resolver la ecuación no trivial ( ) Axp = ,

donde p es un polinomio dado, A es una matriz cuadrada dada y x es una variable matricial.



Ejemplos: SECCIÓN 11 .4 FUNCIONES DE UNA MATRIZ CUADRADA Wylie C.R. ”Matemáticas superiores para ingeniería ”, 4ª Ed. Mc Graw Hill, México 1994. P13. Verifique la siguiente identidad

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3121

A IAAIA +−=− 2)( 22

( ) IxxIx +−=− 222

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

1001

3121

23121

3121

13010211

13010211

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

6242

11483

2120

2120

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡5241

11483

6242

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡6242

6242

Ejercicio: Verifique ))(( 23 IAAIAIA ++−=−

17.- Si ( ) 243 234 ++−−= xxxxxp , evalúese ( )Ap para

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 03

14 d)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

233141394

( )( ) ( ) 0310403

14=−−−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=− λλ

λλ

λIA

034 2 =++− λλ ; 0342 =+− λλ ( )( ) 013 =−− λλ



31 =λ

12 =λ ∴ 21 λλ ≠ y los vectores característicos son : para 31 =λ para 12 =λ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− 0

03311

2

1

xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− 0

01313

2

1

xx

3=λ ; [ ]11 021 =+ xx 1=λ ; [ ]13 03 21 =+ xx

21 xx −=∴ 12 3xx −=∴ así así para 13 12 =−= xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=11

1x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=31

2x

luego la matriz modal, S ,es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=3111

S y por tanto ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

1113

1113

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−−=−

21

21

21

23

211

1113

S

Estas son matrices tales que

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

1003

1ASS

luego ésta es la matriz que debe evaluarse

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4121227278123433333 2341 =++−−=++−−== pp λ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 321413111 2342 =++−−== pp λ

por lo tanto

Matriz de cofactores

Transpuesta de matriz de cofactores



( ) ( )( )

1

2

1234

00

243 −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=++−−= S

pp

SIAAAAApλ

λ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=21

21

21

23

21

21

21

23

941341

30041

3111

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=16571960

602

12023

2123

==−

192

3823

241

==−

572114

29

2123

−=−

=+−

16232

29

241

−=−

=+−

PASOS A SEGUIR (RESUMEN DEL MÉTODO)

1. Plantear ecuación característica de A 2. Obtener los valores característicos y comprobar que sean diferentes 3. Obtener los vectores característicos 4. Obtener la matriz modal 5. Encontrar la inversa de la matriz modal

6. Encontrar ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==−

n

DASS

λ

λλ

…

……

000000000

2

1

1

7. Evaluar, ( )1λp , ( )2λp , ..................., ( )np λ

8. Encontrar ( )

( )( )

( )

12

1

000000000

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= S

p

pp

SAp

n

λ

λλ

…

……



Sección 11.4 P 17 e)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−− 011341112

Evaluar ( ) ?=Ap

si ( ) 243 234 ++−−= xxxxxp

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−=

λλ

λλ

011341112

I-A

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( ) ( )( )[ ]1431111113142 λλλλλ −−−+−−−−−−−−−=

( )[ ] ( )( ) ( )[ ] 611643111342 232 −+−=+−−++−−++−−= λλλλλλλλ

43143628

32

2

λλ

λλλλλ

−−

−−+−++−

06116 23 =+−+− λλλ

06116 23 =−+− λλλ

231

3

2

1

===

λλλ

31

32

21

λλλλλλ

≠≠≠

Vectores característicos:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−− 111331111

11 =λ 111331−−−

01133

1 =−−

= cx

2

1 32

1 1x c c= − = −

− − ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

110

1x



ccx 21131

3 =−−

=

Para 32 =λ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

311311111

32 =λ 311111−

ccx 23111

1 ==

ccx 43111

2 =−

−=

ccx 21111

3 −=−

=

Para 23 =λ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−− 211321110

23 =λ 211321

−−−

ccx −=−−

=21

321

ccx −=−−

−=2131

2

ccx =−−

=1121

3

así la matriz modal es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=111121110

S

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

121

2x

3

111

x−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



( ) ( ) 1322111

121110111121110

det =+−=−−−−−=

−−−

−−−−

=S

SSS

det Adjunta1 =−

; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=−

111110101

det11

SS

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=−

111110101

det11

SS

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

200030001

1ASS

( ) ( ) 311 == pp λ ( ) ( ) 4132 == pp λ ( ) ( ) 623 == pp λ

luego

( ) =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=111110101

6000410003

111121110

Ap

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=323537376335356

111110101

641368236410



Si ( ) 243 234 ++−−= xxxxxp , calcule ( ) ?=Ap Donde A es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−=

233141394

A

=−

−−−−

=−λ

λλ

λ233

141394

IA( ) ( )( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( )( )[ ]( ) ( )( ) ( )( )[ ]34193

3329131244

−−−−+−−−−

−−−−−−

λλ

λλλ22 23 +−−= λλλ

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] =−+−+++−−−+−−−− λλλλλλ 312939918132484 2 099995620244 232 =−+−+−+−−+− λλλλλλλ

022 23 =−++− λλλ 022 23 =+−− λλλ

y los eigenvalores son ;

11 =λ 21 λλ ≠∴ 22 =λ 32 λλ ≠

13 −=λ Para 11 =λ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

133131395

11 =λ 133131

0211211

12121

−−−

−−−

( )( )( ) 0121 =+−− λλλ

01122

2211−−

−−−



01313

1 == cx

ccx 21311

2 =−= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

310

1x

ccx 63331

3 −==

Para 22 =λ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

033121396

22 =λ 033121

ccx 30312

1 −==

ccx 30311

2 =−=

ccx 33321

3 −==

Para 13 −=λ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

333151393

13 −=λ 333151

ccx 123315

1 ==

03311

2 =−= cx

ccx 123351

3 −==

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

111

2x

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

101

3x



con esto la matriz modal es ;

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

113011110

S

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−

−−−−−

−−

−−−−−

−−

1110

0110

0111

1310

1310

1111

1311

1301

1101

∴ ( ) 1311det =−−−=S

Luego la adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

132131121

y la inversa es ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−=−

132131121

132131121

det11

SS

luego estas matrices son tales que

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=−

100020001

1ASS

luego la evaluación del polinomio en los valores λ es ; ( ) ( ) 311 == pp λ ( ) ( ) 622 == pp λ ( ) ( ) 313 −=−= pp λ



por lo tanto la evaluación del polinomio con argumento matricial es ;

( )( )

( )( )

1

3

2

1234

000000

243 −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=++−−= S

pp

pSIAAAAAp

λλ

λ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

132131121

369063360

132131121

300060003

113011110

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−=

699312392712

Ap



EL TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Para cualquier matriz cuadrada A , siempre hay una ecuación polinomial de orden n que es satisfecha por A . TEOREMA 1 Si ( )λF y ( )λp son polinomios en la variable escalar λ con coeficientes que son matrices cuadradas y si ( ) ( )( )IAFp λλλ −= , entonces ( ) 0=Ap Ahora puede enunciarse (y demostrarse) uno de los resultados más importantes de la teoría de matrices, el famoso TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON TEOREMA 2 (CAYLEY-HAMILTON) Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Demostración Sea A una matriz de nn× cuya ecuación característica es

λ

λλ

λ

−

−−

=−

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

IA

21

22221

11211

( ) ( )[ ] 011 1

1 =−++−−= −n

nnnn βλβλ … La adjunta de la matriz ( IA λ− ) evidentemente es una matriz de nn× cuyos elementos, siendo los cofactores de los elementos del determinante IA λ− , son polinomios en λ ; esto es ,

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

λλλ

λλλλλλ

λ

nnnn

n

n

ppp

pppppp

IA

21

22221

11211

adj

Además, de la definición de adición de matrices, se concluye que la última matriz puede escribirse como un polinomio en λ , por ejemplo, ( )λF , cuyos coeficientes son matrices de

nn× , siendo el elemento i–ésimo renglón y j-ésima columna del coeficiente matricial de kλ el coeficiente de kλ en ( )λijp . Ahora, por el corolario 1 del teorema 1, sección 10.3,

tenemos

( )[ ]( ) IIAIAIA λλλ −=−−adj =

( ) ( )[ ]III nnnnn βλβλ 11 1

1 −++−−= − …



esto es,

( ) ( )[ ] ( )( )IAFIII nnnnn λλβλβλ −=−++−−= − 11 1

1 … Pero ésta es una relación entre polinomios en λ con coeficiente matriciales, precisamente del tipo cubierto por el teorema 1. Luego, el primer miembro debe anularse cuando se reemplaza λ por la matriz A . En otras palabras,

( ) 011

1 =−++− − IAA nnnn ββ … Ec. CAYLEY-HAMILTON

es decir, la matriz A satisface su propia ecuación característica , como se afirmó. Con el teorema de Cayley-Hamilton se puede expresar la n-ésima potencia de cualquier matriz cuadrada como una combinación lineal de potencias inferiores de A . Por lo tanto, mediante aplicaciones sucesivas del teorema de Cayley-Hamilton, cualquier potencia entera positiva de A y, por consiguiente, cualquier polinomio en A se puede expresar como un polinomio en A de grado 1−n a lo más. Además, si A es no singular, entonces 1−A existe, y en el desarrollo de IA λ− el término constante An =β es diferente de cero. De donde, multiplicando la ecuación de Cayley-Hamilton

( ) 0111 =−++− − IAA n

nnn ββ … por 1−A , con lo cual, se obtiene

( ) ( ) 011 11

121

1 =−+−++− −−

−−− IAIAA nn

nnnn βββ …

de donde, despejando 1−A , se obtiene

( ) ( )[ ]IAAA nnnn

n

n

112

11

11 11

−−−−

−− −++−

−= ββ

β…

En algunos casos éste es un método conveniente para obtener la inversa de una matriz A . Ejemplo

Si ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=655565554

A , se encuentra mediante un cálculo sencillo que



6138 23 +−+−=− λλλλIA

Luego, del teorema de Cayley-Hamilton, se sigue que

06138 23 =−+− IAAA

como se puede verificar fácilmente por cálculo directo. Usando esta relación ahora podemos expresar las potencias más elevadas de A como polinomios cuadráticos en A . Por ejemplo,

( )IAAAAAA 6138 234 +−==

AAA 6138 23 +−= ( ) AAIAA 61361388 22 +−+−=

IAA 489851 2 +−= y ( )IAAAAAA 489851 245 +−==

( ) AAIAA 4898613851 22 +−+−=

IAA 306615310 2 +−= Análogamente, multiplicando la ecuación de Cayley-Hamilton por 1−A y despejando luego

1−A , encontramos

( )IAAA 13861 21 +−=−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=100010001

13655565554

8363535353635353534

61

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=1555155511

61

La ecuación de Cayley-Hamilton no es necesariamente la ecuación polinomial de menor grado que satisface una matriz cuadrada dada. Por ejemplo, se comprueba fácilmente que la matriz A del último ejemplo no solo satisface la ecuación de Cayley-Hamilton

06138 23 =−+− IAAA

sino también la ecuación cuadrática más sencilla

0672 =+− IAA



DEFINICIÓN 1 Si A es una matriz cuadrada, cualquier polinomio p con la propiedad de que ( ) 0=Ap se dice que anula a A . De aquí se tiene la siguiente definición DEFINICIÓN 2 El polinomio único con primer coeficiente 1 y de grado mínimo que anula una matriz cuadrada A se llama polinomio mínimo de A .

Entre las propiedades de los polinomios mínimos, se citan TEOREMA 3 Las matrices semejantes tienen el mismo polinomio mínimo. TEOREMA 4 El polinomio mínimo de cualquier matriz cuadrada A es un divisor de todo polinomio que anule a A . TEOREMA 5 Si las raíces características de una matriz A son todas distintas, excepto posiblemente en el signo, el polinomio característico y el polinomio mínimo de A son los mismos. TEOREMA 6 Si A es una matriz cuadrada y si ( )xf y ( )xg son polinomios escalares tales que ( )Ag es no singular, entonces ( ) ( )AgAf / es igual a un polinomio en A . Lo anterior pude expresarse a través de la siguiente identidad

( ) ( )( )

( )∑ ∏∏=

≠=

≠= ⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=n

k

n

kii

in

kii

ik

k IAp

Ap1 1

1

λλλ

λ Identidad Sylvester (5)

Ejemplo: Si ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−=

14451476401415

A , exprese

( ) IAAAAAAAp 381212126 23456 +−+−+−= en la forma más sencilla posible.

Solución; Por un cálculo directo encontramos la ecuación característica de A



061161445

1476401415

23 =+−+−=−

−−−−−

=− λλλλ

λλ

λIA

Por tanto, los valores característicos de A son 11 =λ , 22 =λ , 33 =λ . De donde ,

( ) ( ) 211 == pp λ ( ) ( ) 322 == pp λ ( ) ( ) 633 == pp λ

y, sustituyendo en la ecuación (5),

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) IAAIAIA

IAIAIAIAAp

3222313

6

33212

3323121

2

2 +−=−−−−

+

+−−−−

+−−−−

=



SECCIÓN 11-5 Wylie C.R. ”Matemáticas superiores para ingeniería ”, 4ª Ed. Mc Graw Hill, México 1994.

2) Mediante el Teorema de Cayley-Hamilton, hállese la inversa de cada una de las siguientes matrices.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

=541541442

A

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )( )[ ] 0810344541

4454154542541

541442

23 =+−+−=−−−−−−+

−−−−−−−−−−−=−−−−−−−

=−

λλλλ

λλλλλ

λλ

λIA

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) =−−−−−−+−+−−−+−−−−−−−= 44154441541254542 λλλλλλ

( )( ) =−−+−−+−+−++−−= λλλλλλλ 416201642020405428 2 028488240105 232 =−++−−−+= λλλλλλ ; 08103 23 =+−+− λλλ

Luego la ec. de Cayley-Hamilton es :

08103 23 =−+− IAAA

multiplicando la ecuación de Cayley-Hamilton por 1−A

08103 12 =−+− −AIAA despejando ahora 1−A

( )IAAA 10381 21 +−=−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

100010001

10541541442

3541541442

541541442

81



⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

+−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−−−

=100001000010

151231512312126

1011987884

81

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−+−++−++−+−−++−++−+−−

=1015101200311

015910128037012801281064

81

=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

21

231

43

47

45

21

210

412861410440

81

c) Usando el teorema de Cayley-Hamilton encuentre la inversa de la siguiente matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−=

233141394

A

( )1439

323

391

2314

4233

141394

λλλλ

λλ

λλ

λ−

−−+

−−−

−−

−−−=

−−

−−−−=− IA

( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]λλλλλ 31293991813244 −+−+++−−−−−−−= ( )[ ] λλλλλλ 999932484 2 −++−−+−−−−=

18185620244 232 +−−+−−+−= λλλλλλ 022 23 =−++− λλλ

Así la ec. de Cayley- Hamilton es: 022 23 =+−− IAAA

Multiplicando por 1−A se tiene: 022 12 =+−− −AIAA

Despejando 1−A se obtiene ( )IAAA −−−=− 221 21



⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−−=

100010001

233141394

2233141394

233141394

21

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−+++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−=

100010001

2661823188

2933103392

21

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+−−+−−+−−−+−++−++−−+−

−=7159

111395

21

14206906302318100530630189182

21 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

=

27

215

29

21

21

21

23

29

25

P3.- Hállese el polinomio mínimo de cada una de las siguientes matrices

d) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

126216227

A

IA λ− =

= ( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]λλλλλ −−+++−−+−−−−−− 124641264117

( )[ ] [ ] 1212242412124217 2 −−++−−+−++− λλλλλ

λλλλλλ 24243221147 232 −++−−−+ 0375 23 =+−+− λλλ

0375 23 =−+− IAAA ∴ IAAA 375 23 +−= Los valores característicos son:

0341341

13751

−−

−−

( )( )( )3110375 23 −−−==−+− λλλλλλ



( )( )31 −− AA

IAA 342 +− Polinomio mínimo P4.- Aplicando tanto el teorema de Cayley-Hamilton como la identidad de Sylvester, evaluar ( ) IAAAAAAp 32 2345 −++−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=4523

A

( )( ) ( )( ) 02543 =−−−−−=− λλλIA

104312 2 +++−−= λλλ 22 −+= λλ ∴ ( )( )12 −+ λλ =0 y la ecuación de Cayley-Hamilton es 022 =−+ IAA IAA 22 +−= ( ) IAAIAAAIAAAAA 232222 223 −=+−=+−=+−=⋅=

( ) ( )IA

AIAAIAAAIAAAAA65

2632232323 234

+−==−+−=−+−=−=−=⋅=

( ) ( )5 4 25 6 5 6 5 2 6

5 10 6 11 10

A A A A A I A A A I AA I AA I

= ⋅ = − + = − + = − − + + =

= − += −

( ) IAAAAAAp 32 2345 −++−−= ( ) ( ) ( ) ( ) =−++−+−−+−−−= IAIIAIAIAAp 324232651011 IA 1310 −

03131

1341

−−

−

( )( )( ) 0311 =−−− λλλ



( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=−=53502017

13400500201330

1001

134523

101310 IAAp

IDENTIDAD DE SYLVESTER

( ) ( )( )

( )∑ ∏∏=

≠=

≠= ⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=n

k

n

kii

in

kii

ik

k IAp

Ap1 1

1

λλλ

λ Los valores característicos son

Así: ( ) ( )( ) ( ) 31

332

2

1

−==−=−=

pppp

λλ

Luego:

( ) ( ) ( ) ( )IAIAAp 221

312

33+

+−

+−−−

−=

( ) IAAp 1310 −=

y como ya vimos ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=53502017

Ap

1

2

2

1

=

−=

λ

λ



d) Aplicando tanto el teorema de Cayley-Hamilton como la identidad de Sylvester, evaluar ( ) IAAAAAAp 32 2345 −++−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

=541541442

A

( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )[ ]λλλλλλ −−−−−+−−−+−−−−=− 442011654120542IA

( )[ ] [ ] [ ]λλλλλλ 41620164202054202 2 −−−++−−++−+−−=

( )[ ] λλλλλ 44442 2 +−−+−−=

λλλλλλλ 2322 23232 −+−=+−−= 023 23 =+− λλλ

( )2 3 2 0λ λ λ− + =

01 =λ 22 =λ 13 =λ ( ) 30 −=p ( ) 32 =p ( ) 31 −=p

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )IAIAIAIAIAIA 202101

301202

32)10(20

3−−

−−−

+−−−−

+−−−−

−

=

( ) ( ) ( )AAAAIAA 232323

23 222 −+−++−−= =

AAAAIAA 6323

233

29

23 222 −+−+−+−= =

IAA 333 2 −−=



EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Sin aplicar el teorema de Cayley-Hamilton, pruébese que toda matriz de nn× satisface una ecuación polinomial de grado 2n a lo sumo.

2. Mediante el teorema de Cayley-Hamilton, hállese la inversa de cada una de las siguientes matrices

a) b) c)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

541541442

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−− 011341112

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

233141394

3. Hállese el polinomio mínimo de cada una de las siguientes matrices a) b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

111111111

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

322212221

c) d)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

311111111

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

126216227

4. Aplicando el teorema de Cayley-Hamilton como la identidad de Silvester, evalúese ( ) IAAAAAAp 32 2345 −+++−= para cada una de las siguientes matrices A

a) b)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

4523

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

1614

c) d) e)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−5262

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

541541442

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

322312121

5. 14.8/P31 Wylie C.R. “Advanced Engineering Mathematics”, 6th ed. Mc Graw Hill,

1995

Antonio

Text Box

Ejercicios opcion1 {14.5(1), 14.6(37), 14.8(19,25,32)} Ejercicios opcion2 {14.5(1), 14.6(35), 14.8 (24, 25, 31)}

Antonio

Cross-Out

Antonio

Replacement Text

no

Antonio

Text Box

{Resolver: opcion1 (pares), opcion2(nones)


Tensores Aguilera A. V-1

ANALISIS TENSORIAL

INTRODUCCION: En este capítulo tomaremos como idea fundamental para un vector el concepto de una cantidad invariante bajo cualquier transformación de coordenadas. Esto nos conducirá a la idea de las representaciones covariante y contravariantes de los vectores y de aquí al concepto altamente importante de tensor. Aunque no haremos una discusión detallada de ANÁLISIS TENSORIAL, si indicaremos algunas de sus características principales y destacaremos la importancia de la notación tensorial. CORDENADAS OBLICUAS Para nuestros estudios de tensores requeriremos de notación del tipo (tensores covariantes y contravariantes) ξα ∴ donde alfa (α) es un índice y no un exponente. Como un ejemplo de coordenadas generalizadas, considere el siguiente sistema de coordenadas ( )321 ,, XXX el cual se relaciona al sistema de coordenadas rectangulares (x1, x2, x3) por las ecuaciones:

3

332

321

313

323

222

121

2

313

212

111

1

xaxaxaX

xaxaxaX

xaxaxaX

++=

++=

++=

ó en la forma matricial: AxX = (1) y también: XAx 1−= (2) donde:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=3

2

1

xxx

x ; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=3

2

1

XXX

X ; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

Los puntos geométricos para los cuales ,0,0,0 321 === XXX están en el plano

Aquí se utiliza la barra ( )X para denotar no sólo las nuevas coordenadas sino también todas las cantidades referidas al nuevo sistema de coordenadas.



0:

0:

0:

333

232

1313

323

222

1212

313

212

1111

=++Π

=++Π

=++Π

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

así el eje 1X es la intersección de Π2 y Π3, similarmente 2X es la intersección de Π1 y Π3 y 3X es la intersección de Π1 y Π2. x2 x2 2x 1x 2x e2 π3

1x π2 2e (0,1,0)

1e (1,0,0) π1 e1 x3 x1 e3 3e (0,0,1)

3x x3 x1 3x a) b) Un sistema de coordenadas rectangular y oblicuo con sus vectores de referencia relacionados.

321, XyXX son ejes concurrentes pero además son líneas distintas y no coplanares. En general, sin embargo, no son mutuamente perpendiculares, y por esta razón se conocen como los ejes de un sistema de coordenadas oblicuas. Sean 321, eyee los vectores del origen a los puntos cuyas coordenadas oblicuas son (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).

Para determinar las longitudes de los vectores de referencia 321, eyee y obtener la fórmula para medir distancias en coordenadas oblicuas considere el vector V del punto P como la matriz de coordenadas oblicuas:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=3

2

1

ppp

Vp



Al punto Q cuya matriz de coordenadas oblicuas es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=3

2

1

qqq

VQ

De la ecuación (2) se tiene que las coordenadas rectangulares de P y Q son ( )PP = , ( )QQ =

pp VAV 1−= y QQ VAV 1−= De aquí, en coordenadas rectangulares el vector PQ VVV −= (Fig. 2a) definido en coordenadas oblicuas por la matriz de componentes PQ VVV −= es el vector V= VQ - VP (Fig. 2b) definido por la matriz ( ) VAVVAVAVAVVV PQPQPQ

1111 −−−− =−=−=−= 2x x2 Q Q QV PQ VVV −= VQ V=VQ-VP P P PV VP 1x x1 3x x3 a) Fig. 2 b) En coordenadas rectangulares, el cuadrado de la longitud de un vector V cuya matriz de componentes es V está dada por V⋅V = V T IV = VTGV (G por conveniencia)



Ya que la longitud de un vector es INVARIANTE en cualquier sistema de coordenadas, se define el producto escalar de un vector por si mismo en coordenadas oblicuas por la siguiente condición VV ⋅ = V⋅V ( ) ( ) ( ) === −−−− VIAAVVAIVA TTT 1111

( )[ ]VGV

VIAAVT

TT

=

= −− .11

Y para vectores diferentes, digamos U y V VU ⋅ = U⋅V = ( ) ( ) ( ) VIAAUVAIUA TTT 1111 −−−− =

( )[ ]VGU

VIAAUT

TT

=

= −− .11

Así, las propiedades métricas de espacio, las cuales en coordenadas rectangulares son definidas por la matriz identidad I = G, son en coordenadas oblicuas definidas por la matriz (A-1)TIA-1 = G , donde A es la matriz de la transformación AXX = de coordenadas rectangulares a oblicuas. Sea ijg el elemento en el i-ésimo renglón y en la j-ésima columna de la matriz

( ) 11 −−= IAAG T , es claro de (3) y (4) que para los vectores de referencia 321, eyee definidos por las matrices:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

001

1e ; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

010

2e ; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100

3e

Se tiene ijji gee =⋅ (5) En particular, las longitudes de 321, eyee son: 111 ge = ; 222 ge = ; 333 ge =

(3)

(4)



La longitud de ie es tal que si R es el vector que se extiende a lo largo del eje iX del origen al punto ii aX = , entonces la longitud de R es igual al valor absoluto de la coordenada ia por la longitud de ie , esto es: i

i eaR ⋅= A diferencia del sistema de coordenadas rectangulares en coordenadas oblicuas pueden elegirse dos conjuntos de coordenadas en forma intrínseca ( )321 ,, XXX y direcciones perpendiculares a los planos coordenados Π1, Π2 y Π3. Como vectores base en estas direcciones es adecuado tomar vectores 321 ,, eee definidos por las condiciones:

⎩⎨⎧

=≠

=⋅11

0i

jiee j

i (6)

Para i≠ j estas relaciones fijan las direcciones de los nuevos vectores de referencia, y para i = j determinan su longitud y sentido. Los vectores 321 ,, eee se dice que forman un conjunto recíproco al conjunto 321 ,, eee y viceversa.

Como 321 ,, eee son no coplanares pueden usarse como una base para la representación de cualquier vector. Así, cuando usamos coordenadas oblicuas cualquier vector V tiene dos diferentes representaciones naturales: puede expresarse como una combinación lineal de los vectores 321 ,, eee o como una combinación lineal de los vectores del conjunto recíproco 321 ,, eee . En particular los conjuntos puedan relacionarse por:

3

332

321

313

323

222

1212

313

212

1111

eeee

eeee

eeee

μμμ

μμμ

μμμ

++=

++=

++=

Es evidente que en coordenadas rectangulares el conjunto de vectores base y el conjunto de vectores recíprocos son los mismos; esto es i=e1=e1, j=e2,=e2, k=e3,=e3.



Y luego formamos el producto escalar de cada uno de los lados de la i-ésima ecuación con je , se obtiene

jijijiji eeeeeeee ⋅+⋅+⋅=⋅ 33

22

11 μμμ

De aquí, usando las ecuaciones (5) y (6), se obtiene ijijg μ= Y por lo tanto

3

332

321

313

323

222

1212

313

212

1111

egegege

egegege

egegege

++=

++=

++=

( 7 )

Si se definen las matrices

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

eee

Ve y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=3

2

1

eee

V e

La ecuación ( 7 ) puede escribirse en forma mas compacta e

e VGV = ( 8 ) De aquí se sigue que e

e VGV 1−= ( 9 ) ó

333

232

1313

323

222

1212

313

212

1111

egegege

egegege

egegege

++=

++=

++=

( 10 )

Dónde ijg es el elemento en el i-ésimo renglón y j-ésima columna de 1−G ; esto es:



G

Gg jiij =

Por supuesto, ya que [ ] ( ) 11 −−== AAgG T

ij es SIMÉTRICA, así su inversa es ;

[ ] Tij AAgG ==−1 , de ( 10 ) y ( 6 ) se obtiene: ijji gee =⋅ ( 11 ) Y de aquí en forma más general: ( ) ( ) VGVevevevevevevVV T 13

32

21

13

32

21

1−=++⋅++=⋅

Así, en coordenadas oblicuas las propiedades métricas de espacio, las cuales son determinadas por la matriz [ ] ( ) 11 −−== AAgG T

ij si los vectores están representados en

términos de los vectores base 321 ,, eee son igualmente bien determinados por la

matriz inversa [ ] Tij AAgG ==−1 si los vectores están representados en términos de los

vectores base recíprocos 321 ,, eee . Considere la representación de los vectores i = e1 = e1, j = e2 = e2, k = e3 = e3 en términos de los vectores 321 ,, eee y 321 ,, eee y viceversa:

;001

1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=e ;

010

2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=e ;

100

3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=e ;

31

21

11

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

aaa

;32

22

12

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

aaa

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

33

23

13

aaa

XAX 1−=

donde A

Aa jiij= es el elemento en el i-ésimo renglón y j-ésima columna de la matriz A-1, se

tiene:

333

223

113332313

3

323

222

112232212

2

331

221

111312111

1

eaeaeakajaiae

eaeaeakajaiae

eaeaeakajaiae

++=++=

++=++=

++=++=

( 12 )

Introduciendo las siguientes matrices:



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

eee

V e y ee V

eee

eee

kji

V =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

3

2

1

Se tiene: ( ) ( ) e

Te

Te VAVAV 11 −− == ( 13 )

Y de aquí: e

Te VAV = ( 14 )

Esto es:

3332231133

3232221122

3312211111

eaeaeaeeaeaeaeeaeaeae

++=

++=

++=

( 15 )

Por lo tanto las ecuaciones expresan i = e1, j = e2, k = e3 en términos de los vectores bases 321 ,, eee del sistema oblicuo.

Ahora para 321 ,, eee → e1 = i, e2 = j, e3 = k, de la ecuación ( 9 ) ee VGV 1−=

de usar ( 13 ) y el hecho de que TAAG =−1 y ee VV = , se obtiene:

( )( ) eeTTe AVVAAAV ==

−1 ( 16 ) esto es:

3

332

321

313

323

222

121

2

313

212

111

1

eaeaeae

eaeaeae

eaeaeae

++=

++=

++=

( 17 )

Resolviendo para Ve: ee VAV 1−= ( 18 ) ó:

3332321313

3232221212

3132121111

eaeaeaeeaeaeae

eaeaeae

++=

++=

++=

( 19 )



Suponga ahora que se tiene un vector: r

r VevevevevevevkzjviuVV =++≡++≡++== 33

22

113

32

21

1ˆˆˆ Dónde, ya que V está dado en un sistema de coordenadas rectangulares ei = ei y por lo tanto vi = vi. Si se expresa V = Vr en términos de los vectores base 321 ,, eee del sistema oblicuo por medio de ( 15 ), se obtiene, después de agrupar términos: ( ) ( ) ( ) 333

332

231

1223

322

221

1113

312

211

1 eavavaveavavaveavavavV r ++++++++= 3

32

21

1 evevev ++= Así, cuando V es transformado de su representación en términos de los vectores base e1, e2, e3 a la representación correspondiente en términos de los vectores base

321 ,, eee , las componentes de V = Vr se transforman de acuerdo a la siguiente ley: 3

32

21

1 vavavav iiii ++= ( 21 )

ó: rr AVV = ( 22 ) Similarmente, si expresamos V = Vr en términos de los vectores base recíprocos

321 ,, eee por medio de ( 19 ), se obtiene:

( ) ( ) ( ) 3333

232

131

2323

222

121

1313

212

111 eavavaveavavaveavavavVr ++++++++=

33

22

11 evevev ++= ( 23 )

Esta transformación (componentes) se rige por la siguiente ley: 3

32

21

1 vavavav iiii ++= ( 24 )

ó: ( ) r

Tr VAV 1−= ( 25 )

Las ecuaciones ( 24 ) y ( 25 ) tienen exactamente la misma forma de las ecuaciones (12 ) y ( 13 ) para la transformación de los vectores base e1, e2, e3 y por esta razón, la representación de V en términos de los vectores base recíprocos se llama representación COVARIANTE de V. Por otra parte las ecuaciones (21 ) y ( 22 ) tienen la forma de las ecuaciones ( 16 ) y ( 17 ) para la transformación de los vectores base recíprocos e1, e2, e3 y por esta razón la representación de V en términos de los mismos vectores base se llama la representación CONTRAVARIANTE de V.



Para la forma desarrollada de la ec. (1) es claro que

j

i

ij XXa

∂∂

=

Y a su vez para la ec. (2)

j

iij

XXa

∂∂

=

Para la matriz de la transformación y su inversa, se tiene

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

== j

i

ij XXaA y [ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

==−j

iij

XXaA 1

Para el elemento general de la matriz ( ) 11 −−= AAG T , que define las propiedades métricas del espacio en coordenadas oblicuas, se tiene

j

R

Ri

R

R

RjRiij X

XXXaag

∂∂

∂∂

== ∑∑

Modificada / corregida

j

l

i

R

lRRlij X

XXXgg

∂∂

∂∂

= ∑,

( 26 )

Asimismo, para la matriz Tij AAgG ==−1 ,se tiene

R

j

RR

i

RjRiR

ij

XX

XXaag

∂∂

∂∂

== ∑∑

O insertando el factor Rl

Rl gg ≡

l

j

R

i

lR

Rlij

XX

XXgg

∂∂

∂∂

= ∑,

( 27 )

Para las relaciones entre los vectores base 321 ,, eee y los vectores ,,, 321 eee se tiene de (12) y (15)

∑ ∑ ∂∂

==k k

i

k

kkki

i xxeeae ( 28 )

y

No válida en coordenadas generalizadas

Sistema de coordenadas generalizadas



∑∑ ∂∂

==i

k

i

iii

ikk xxeeae ( 29 )

Para las relaciones entre los vectores base recíprocos ,,, 321 eee y los vectores

,,, 321 eee se tiene de ( 17 ) y ( 19 )

∑ ∑ ∂∂

==k k

k

ikk

iki

xxeeae ( 30 )

y

∑ ∑ ∂∂

==i i

i

kiikik

xxeeae ( 31 )

Para las componentes de un vector representado COVARIANTEMENTE, se tiene de la ley de transformación ( 24)

∑ ∑ ∂∂

==k k

i

k

kkki

i xxvvav ( 32 )

Y para las componentes de un vector representado CONTRAVARIANTEMENTE, se tiene de la ley de transformación ( 21 )

∑ ∑ ∂∂

==k k

k

ikk

iki

xxvvav ( 33 )

Si se tiene una transformación de coordenadas general, digamos: ( )321 ,, xxxxx ii = i = 1, 2, 3 Entonces cualquier vector cuyas componentes se transformen de acuerdo a la ley ( 32 ) se llaman un VECTOR COVARIANTE, y cualquier vector cuyas componentes se transformen de acuerdo a la ley ( 33 ) se llama VECTOR CONTRAVARIANTE. En coordenadas rectangulares no existe distinción entre vectores covariantes y contravariantes.



COORDENADAS GENERALIZADAS (CURVILÍNEAS) Sean 321 ,, xxx tres funciones escalares de punto independientes, uniformes y diferenciables, tales que a todo punto de alguna región R del espacio Euclidiano tridimensional le corresponde una terna única de valores ( )321 ,, xxx y a cada terna de valores ( )321 ,, xxx dentro de intervalos determinados por la naturaleza de R le corresponde un punto único de R (RELACION BIUNIVOCA). Entonces 321 ,, xxx reciben el nombre de coordenadas generalizadas en R y la correspondencia entre los puntos de R y las ternas de números ( )321 ,, xxx se llama SISTEMA DE COORDENADAS GENERALIZADAS para R. Ejemplos conocidos de coordenadas generalizadas son las rectangulares, cilíndricas, esféricas y las recién conocidas; las oblicuas.

Por cada punto P de R pasa una superficie única s1 en la cual x1 es constante, una superficie única s2 en la cual x2 es constante y una s3 en la cual x3 es constante. Estas superficies se interceptan en curvas, llamadas curvas paramétricas, que pasan por P y en las que una, y solo una, de las coordenadas generalizadas varía. En general, las tangentes a las 3 curvas paramétricas que pasan por un punto NO SERÁN COPLANARES y se supondrá que en toda la región R éste es el caso. x1, x3 constantes x2 variable e2 s1: x1 constante s3: x3 constante e1 e3 P s2: x2 constante x1 variable x2, x3 constantes x3 variable x1, x2 constantes Se definen los vectores base locales ,,, 321 eee en cualquier punto P, que tienen las direcciones de las tangentes a las curvas paramétricas x1, x2, x3 en P con longitudes

Figura 1. Curvas paramétricas y vectores base locales en un punto P, en un sistema de coordenadas generalizadas.



iii eee ⋅= tales que si ds es la distancia infinitesimal a lo largo de la curva paramétrica xi que corresponde al cambio infinitesimal dxi en xi, entonces: i

iii

i dxeedxeds ⋅== ( 1 ) En P se definen los vectores base recíprocos locales e1, e2, e3 tal como se hizo en coordenadas oblicuas, o sea, por las condiciones:

⎩⎨⎧

=≠

=⋅jiji

ee ji

10

Dónde como siempre, ( )j

ij

ij

i eeeeee ,cos=⋅ .

¿CÓMO MEDIR LAS DISTANCIAS? Suponga la existencia en todo R de una matriz simétrica, positiva definida: [ ]ijgG = Cuyos elementos sean funciones de las coordenadas generalizadas y que tengan la propiedad de que si

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=3

2

1

dxdxdx

dx

Entonces la distancia, ds, de P: (x1, x2, x3 ) a Q: (x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3 ) la da la fórmula:

( ) ( ) ∑==ji

jiij

T dxdxgGdxdxds,

2

En particular, para la longitud de un vector infinitesimal arbitrario e1dx1 + e2dx2 + e3dx3, se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ∑ ∑=⋅=

=++⋅++=

ji ji

jiij

jiji dxdxgdxdxeeds

dxedxedxedxedxedxeds

, ,

2

33

22

11

33

22

11

2

De aquí: ijji gee =⋅ ( 3 ) En particular

iiiii geee =⋅= ( 4 )



Así, para la longitud de un vector no infinitesimal 3

32

21

1 evevevV ++= Expresado en términos de los vectores base en un punto P

Luego GVVV T= ( 5 ) Por supuesto, los elementos gij de G se deben evaluar en el punto P en el que e1, e2, e3 son los vectores base. De ( 3 ) se llega también a la importante conclusión de que una condición necesaria y suficiente para que las curvas paramétricas sean ortogonales en todo punto de R es que gij = 0 para i ≠ j en todo R. Los vectores base locales y los vectores base recíprocos locales cumplen las relaciones ( demostradas en la sección anterior ): ∑=

k

kiki ege ( 6 )

∑=

kk

iki ege ( 7 )

gik es el elemento en el i-ésimo renglón y la k-ésima columna de la matriz G-1 que es la inversa de la matriz [ ]ikgG =

sea ikk

i ee δ=⋅ , donde ⎩⎨⎧

=≠

==jiji

ijik 1

0δδ es la delta de Kronecker, así:

ijji gee =⋅ ( 8 ) ∑ ∑ ==⋅=⋅

k k

ijjk

ikjk

ikji ggeegee δ

También la ecuación ( 7 ) se puede expresar por las siguientes relaciones:

[ ]321

321

eeexeee = ; [ ]321

132

eeexeee = ; [ ]321

213

eeexeee =

( ) ( )=++⋅++=⋅= 33

22

11

33

22

112 evevevevevevVVV VGVvvgvvee

ji ji

Tjiij

jiji∑ ∑ ==⋅

, ,



y

[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ]321

3321

2321

321

21

321

13

321

32321 1eeeeee

eeeeee

xeexeee

xeeeee

xeeeee ==⋅=

por ( 6 )

[ ] =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑∑∑

k

kk

j

jj

i

ii egxegegeee 321321

[ ]∑=kji

kjikji eeeggg

,,321 ( 33 = 27 términos )

De aquí 21 términos son cero, pues el triple producto escalar [ ]kji eee contiene al menos un factor repetido. Luego para ( i, j, k ) = ( 1, 2, 3 ), ( 2, 3, 1 ), (3, 1, 2 ), casos de índices no repetidos

[ ] [ ] [ ]321

321 1eee

eeeeee kji ==

Y para ( i, j, k ) = ( 1, 3, 2 ), ( 3, 2, 1 ), ( 2, 1, 3 ), el factor [ ]kji eee es:

[ ] [ ]321

321 1eee

eee −=−

Así: [e1e2e3]2 = g11g22g33 + g12g23g31 + g13g21g32 – g11g23g32 – g13g22g31 – g12g21g33 = det [G] = det [gij] Así:

[e1e2e3]2 = ⎜G⎟ (12)

DETERMINANTE DE LA MATRIZ G, ∴ G ES LA MATRIZ QUE DEFINE LAS PROPIEDADES MÉTRICAS DEL ESPACIO.



TRANSFORMACIONES Sean (x1,x2,x3) y ( )321 ,, xxx dos sistemas de coordenadas relacionados entre si

por las ecuaciones de transformación de la forma ( )32111 ,, xxxxx = ( )32122 ,, xxxxx = ( )32133 ,, xxxxx = o simplemente ( )321 ,,: xxxxxT ii = i = 1,2,3 (13) En casos particulares, las ecuaciones (13) podrían ser las que relacionan un sistema rectangular y uno oblicuo (como en la sección precedente) uno rectangular y uno cilíndrico, uno rectangular y uno esférico, o uno cilíndrico y uno esférico .

Se requiere que el punto de coordenadas ( )321 ,, xxx tenga un conjunto único de coordenadas x. Asimismo se requiere también que las ecuaciones (13) puedan resolverse para x1,x2,x3, como funciones uniformes de ,,, 321 xxx por ejemplo ( )3211 ,,: xxxxxT ii =− i = 1,2,3 (14) Sea el determinante Jacobiano ∴

Si ⎜J⎟ ≠ 0 , T tiene una inversa uniforme y el determinante Jacobiano de la transformación inversa es:

Por supuesto que 0≠J

CONTINUASsonxx

i

i

∂∂

∴

( )( )

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

321

321

,,,,

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xxxxxxJ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=

( )( )

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

321

321

,,,,

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xxxxxxJ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=



CONVENCIÓN DE LA SUMA DE EINSTEIN (mas breve que ∑) Si un término contiene la misma letra dos veces como índice, se sobreentiende que el término se tiene que sumar para todos los valores del índice repetido.

jj

ij

jj

iiiii dx

xxdx

xxdx

xxdx

xxdx

xxxd

∂∂

=∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

= ∑=

3

1

33

22

11

Como j es un índice mudo, se puede escribir con igual propiedad

PP

iR

R

ij

j

ii dx

xxdx

xxdx

xxxd

∂∂

=∂∂

=∂∂

=

La convención de suma permite también la suma con respecto a más de un par de índices repetidos en un término. Por ejemplo, aplicando la convención primero al índice repetido i y luego al índice repetido j, se tiene j

jj

jj

jji

ij dxdxgdxdxgdxdxgdxdxg 33

22

11 ++=

( )3113

2112

1111 dxdxgdxdxgdxdxg ++= ( )32

2322

2212

21 dxdxgdxdxgdxdxg +++ ( ) ∑=+++

ji

jiij dxdxgdxdxgdxdxgdxdxg

,

3333

2332

1331

Se nota que gijdxidxj ≠ giidxidxi Ya que giidxidxi = g11dx1dx1 + g22dx2dx2 + g33dx3dx3 Para continuar con el estudio de transformación de coordenadas, es conveniente conocer los siguientes lemas. LEMA 1 Si (x1,x2,x3 ) y ( )321 ,, xxx son coordenadas relacionadas por una transformación ( )321 ,, xxxxx ii = i =1,2,3 Entonces,

ijj

i

xx

xx δ

α

α =∂∂

∂∂



LEMA 2 Si φi y iφ (i = 1,2,3) son, respectivamente, funciones de x1,x2,x3 y ,,, 321 xxx entonces

ααφφ

xxi

i

∂∂

= implica αα

φφ =∂∂

ii

xx o inversamente

Utilizando el índice mudo β en lugar del α, se tiene:

ββφφ

xxi

i

∂∂

=

Ahora, multiplicando ambos miembros por ixx∂

∂ α

y aplicando el lema 1, se tiene:

ααβ

ββ

αβ

α

φδφφφ ==∂∂

∂

∂=

∂

∂xx

xx

xx i

iii

LEMA 3. Si ijφ y ijφ ( i, j = 1, 2, 3 ) son, respectivamente, funciones de 321 ,, xxx y

321 ,, xxx , entonces cualquiera de las relaciones:

βαβ

α

αβαβ

ααβ

β

βααβ

φφ

φφ

φφ

φφ

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

j

iij

ijij

i

jij

jiij

∂∂

=∂

∂

=∂

∂

∂

∂

∂∂

=∂

∂

∂∂

∂∂

=

Implica cada una de las otras:

βααβφφ

xx

xx ji

ij

∂∂

∂∂

= implica αβαβ

φφ =∂

∂

∂

∂ij

ij

xx

xx



Escribiendo la primera relación utilizando a y b, en lugar de α y β, y multiplicando

ambos miembros por ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂jx

xα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ix

x α

y sumando con respecta a i y j. Esto nos da, por

el lema 1:

αββαβααα

φδδφφφ ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂ba

abb

j

ja

i

iab

ijij

xx

xx

xx

xx

xx

xx

TEOREMA 1: Si T: ( )321 ,, xxxxx αα = es una transformación con Jacobiano J, entonces

el Jacobiano J de la transformación inversa T-1: ( )321 ,, xxxxx αα = es J-1.

Por definición, el Jacobiano de la transformación directa T es J ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

= k

i

xx y el de la

transformación inversa T-1 es ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂= j

k

xxJ , luego:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂∂∂

= j

k

k

i

xx

xxJJ

y por el lema 1: [ ] [ ]IJJ i

j == δ ∴ 1−= JJ COROLARIO 1. Si J es el Jacobiano de la transformación T: ( )321 ,, xxxxx αα = ,

entonces j

i

xx

∂∂ es igual a

J1 veces el cofactor de i

j

xx∂∂ en J .

TEOREMA 2: Si T1: ( )321 ,, xxxxx αα = es una transformación con Jacobiano J1 y si T2:

( )321 ,, xxxxx ββ = es una transformación con Jacobiano J2, entonces el Jacobiano de la transformación T2T1 es J2J1. ( ds )2 = gij dxi dxj se transforman como cuando x1, x2, x3 se transforman en 321 ,, xxx , usando ( 13 ). Para dxi y dxj, se tiene:

α

α xdxxdx

ii

∂

∂= y β

β xdxxdx

jj

∂

∂=



Así ( ds )2 se convierte en la forma cuadrática:

βα

βα xdxdxx

xxg

ji

ij∂

∂

∂

∂

Por lo tanto, si se escribe la forma cuadrática después de la transformación como: βα

αβ xdxdg Se sigue que los coeficientes αβg se transforman según la ley:

βααβxx

xxgg

ji

ij∂

∂

∂

∂= ( 17 )

Como se transformó de coordenadas rectangulares oblicuas. Por un razonamiento similar, se obtienen:

jiij xx

xxgg

∂∂

∂∂

=βα

αβ ( 18 )

EJEMPLO: Obténgase la fórmula de la diferencial de la longitud de arco en coordenadas esféricas. En coordenadas rectangulares: ( ds )2 = ( dx )2 + ( dy )2 + ( dz )2 ( 20 ) Sean 321 ,, xxx respectivamente las coordenadas rectangulares X, Y, Z y

Sean 321 ,, xxx respectivamente, las coordenadas esféricas R, θ, φ. z P θ R φ y x

Entonces como de costumbre, se tiene:

213

3212

3211

1

cos

cos:

xxxxsenxsenxxxxsenxx

T=

==

−

y a partir de éstas:

212

32

1

3

3212

232

1

2

3212

132

1

1

;cos

cos;

coscos;cos

xsenxxxx

xx

xsenxxxxxsenxsen

xx

xxxxxxxsen

xx

−=∂

∂=

∂

∂

=∂

∂=

∂

∂

=∂

∂=

∂

∂



0;cos; 3

3321

3

2321

3

1

=∂∂

=∂∂

−=∂∂

xxxxsenx

xxxsenxsenx

xx

sustituyendo en (17) y teniendo en cuenta, por la ec. (20), que i

jijg δ=

( ) ( ) ( ) 1coscos 2223223211 =++= xxsenxsenxxseng

( ) ( ) ( ) ( )212212321232122 coscoscos xxsenxxsenxxxxxg =−++=

( ) ( ) ( )2212321232133 cos xsenxxxsenxxsenxsenxg =+−=

2

3

2

3332

2

2

2222

1

2

111222 x

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xxgg

ji

ij ∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

∂∂

= δδδβ

( )( ) ( )( ) ( )( ) 212123213232132

12 0coscoscoscoscos gxsenxxxsenxxxsenxsenxxxxxseng ==−++=

( )( ) ( )( )( ) 31321323232132

13 0coscos gxxsenxxsenxsenxsenxsenxsenxsenxxxseng ==+−=

( )( ) ( )( ) 32321321321321

23 0coscoscoscos gxxsenxxsenxxxsenxsenxxxxg ==+−= y por último ( ) ji

ij xdxdgds =2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23221222121 xdxsenxxdxxd ++= ( ) ( ) ( )( )2222 φθθ dRsendRdR ++=



Si se reemplaza x1,x2,x3 por 321 ,, xxx se origina un nuevo conjunto de curvas paramétricas que pasan por P y un nuevo conjunto de vectores base 321 ,, eee y un nuevo conjunto de recíprocos .,, 321 eee Las nuevas relaciones se definen por: i

iexdedxds == αα (21)

Por las ecuaciones de transformación, se tiene

αα dx

xxxd

ii

∂∂

=

Por (21) se puede escribir

i

i

edxxxedx ααα

α

∂∂

=

Así de la última ecuación se tiene que satisfacer (ya que las diferenciales son arbitrarias )

i

i

exxe αα ∂∂

= (22)

Análogamente, o bien por el lema 2

α

α

exxe ii ∂∂

= (23)

Sabiendo por la ecuación (6) como se expresan los vectores base locales en términos de los vectores base recíprocos locales en cualquier sistema de coordenadas y por (23), cómo se transforman los vectores base locales, ahora se puede determinar cómo se transforman los vectores base recíprocos locales por la ecuación (6). j

iji ege = y sustituyendo las expresiones de las ecuaciones (23) y (17) se tiene

jjii e

xx

xxge

xx

∂∂

∂∂

=∂∂ βα

αβα

α

Multiplicando esta ecuación por γxxi ∂∂ / y sumando cada lado con respecto a i, se obtiene



jj

i

i

i

i exx

xx

xxge

xx

xx

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂ β

γ

α

αβαγ

α

o mediante el lema 1, y notando que 0=α

γδ a menos que α = γ

jj e

xxge∂∂

=β

αγαβα

αγ δδ y j

j exxge∂∂

=β

γβγ

Si se multiplica por gλγ y sumamos con respecto a γ, aplicando el hecho de que [gij] es la inversa de [gij] y por lo tanto, que gλγgγβ = λ

βδ , se tiene

jj

jj e

xxe

xxggeg

∂∂

=∂∂

=β

λβ

β

γβλγ

γλγ δ

y utilizando la ecuación (7)

jj e

xxe∂∂

=λ

λ (24)

Análogamente, o bien usando el lema 2,

λλ e

xxe

jj

∂∂

= (25)

De la ecuación (8) aplicada al nuevo sistema de coordenadas, resulta

ijji gee =⋅ de donde por la ecuación (25), se tiene

ijji

gxxe

xxe =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ββ

αα

O, puesto que eα⋅ eβ = gαβ

βααβ

xx

xxgg

jiij

∂∂

∂∂

= (26)

Que es la ley de transformación para las gij. Análogamente, o bien por el lema 3

jiij

xx

xxgg

∂∂

∂∂

=βα

αβ

CASOS ESPECIALES DE LAS ECS. (31) Y (30) DE LA SECCIÓN ANTERIOR.

LA EC. (27) DE LA SECCIÓN ANTERIOR ES UN CASO ESPECIAL DE ESTE RESULTADO.



Cuando un vector en representación contravariante, es decir, expresado en términos de los vectores base locales e1,e2,e3, digamos α

αevevevevV =++= 33

22

11

Se expresa en términos de los vectores base locales correspondientes ,,, 321 eee de un nuevo sistema de coordenadas, se tiene, mediante (22), la nueva representación

ii

i

i

i

i

evexxve

xxvV =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= αα

αα

Por tanto, las componentes de un vector contra variante se transforman según la ley

αα

xxvv

ii

∂∂

= (27)

De igual modo, para un vector en representación covariante , esto es, expresado en términos de los vectores base recíproco locales, o sea α

αevevevevV =++= 33

22

11

Se tiene, mediante (24) , la nueva representación

ii

iii

i evexxv

xxevV =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=α

α

α

α

Por lo tanto, las componentes de un vector covariante se transforman según la ley

ii xxvv∂∂

=α

α (28)

TAREA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

13116

pag. 796

LAS ECS. (33) Y (32) DE LA SECCIÓN ANTERIOR, SON CASOS ESPECIALES DE LAS ECS. (27) Y (28) RESPECTIVAMENTE.



TENSORES En francés, la palabra tensión significa “esfuerzo”; de aquí que la palabra tensor indica un sistema de cantidades las cuales se transforman como esfuerzos bajo transformación de coordenadas. Ya en la sección anterior empezamos a trabajar con tensores. Sean (x1,x2,...,xn) y ( )nxxx ,...,, 21 ; ( ) ( )[ ]321321 ,, ,, xxxyxxx coordenadas generalizadas en n-dimensiones, cuyo sistemas se relacionan por la transformación ( )nii xxxxxT ,...,,: 21= (1) ( )nii xxxxxT ,...,,: 211 =− Si se tienen los vectores base locales ei(i=1,2,...,n) en un punto arbitrario P (En este punto el Jacobiano de la transformación ≠ 0) por las condiciones de que i

iii

i dxeedxeds ⋅== i no sumado Como en 3 dimensiones, en n dimensiones se supone que las propiedades métricas del espacio se definen por medio de una forma cuadrática diferencial definida positiva (ds)2 = gijdxidxj (i,j=1,2,...,n) cuya matriz G = [gij] es no singular. Además, puede definirse un conjunto de vectores base recíprocos locales ei (i = 1,2,...,n) en P por las mismas condiciones empleadas en tres dimensiones i

jji ee δ=⋅

Así cualquier vector que se origine en P se puede expresar como una combinación lineal de los vectores base locales o de los vectores base recíprocos.

De hecho, todos los resultados de la última sección son válidos en n-dimensiones .

Se entiende por escalar, o tensor de rango cero, una cantidad Φ cuyas descripciones en los dos sistemas de coordenadas están vinculadas por la relación. ( ) ( )32121 ,,,...,, xxxxxx n Φ=Φ (2) Se llama vector contravariante, o tensor contravariante de rango 1, un conjunto de n cantidades ξi, llamadas componentes, cuyas descripciones en los dos sistemas de coordenadas están vinculadas por las relaciones.

MAYORIA DE LOS CASOS PRÁCTICOS

COMO EN 3D SE TIENEN N-CURVAS PARAMÉTRICAS.



( ) ( ) ααξξ

xxxxxxxx

inni

∂∂

= ,...,,,...,, 2121 i = 1,2,...,n (3)

Como αα dx

xxxd

ii

∂∂

= , se deduce que las diferenciales de las variables coordenadas

son las componentes de un tensor contra variante de rango 1. Se llama vector covariante, o tensor covariante de rango 1, un conjunto de n-

cantidades ξi , llamadas también componentes, cuyas descripciones en los dos sistemas de coordenadas están vinculadas por las relaciones.

( ) ( ) inn

i xxxxxxxx∂∂

=α

αξξ ,...,,,...,, 2121 i =1,2,...,n (4)

Un tensor contra variante de rango 2 (TENSOR DE ESFUERZOS) es un conjunto de n2 cantidades ξij cuyas descripciones en los dos sistemas de coordenadas están vinculados por las relaciones

βααβξξ

xx

xx ji

ij

∂∂

∂∂

= i, j = 1,2,...,n (5)

Por la ec. (26) de la sección anterior, es claro que los elementos gij de la matriz G-1 constituyen un tensor contra variante de rango 2. Los índices que identifican las componentes de un tensor contravariante, es decir, los superíndices que aparecen en las componentes de un tensor, se llaman índices contravariantes. Un tensor covariante de rango 2 es un conjunto de n2 cantidades ξij cuyas descripciones en los dos sistemas de coordenadas están vinculadas por las relaciones:

jiijxx

xx

∂

∂

∂

∂=

βα

αβξξ i, j = 1, 2, ..., n ( 6 )

Por la ecuación ( 17 ) de la sección anterior, es claro que los elementos gij de la matriz fundamental G constituyen un tensor covariante de rango 2. A este tensor se le conoce como: tensor métrico fundamental. Un tensor mixto de rango dos es un conjunto de n2 cantidades i

jξ cuyas descripciones en los dos sistemas de coordenadas están vinculadas por las relaciones:

Índices covariantes (subíndices)



j

iij

xx

xx

∂

∂∂∂

=β

ααβξξ i, j = 1, 2, ..., n ( 7 )

Un tensor ξij ( o bien ξij ) tal que ξij = ξji ( o bien ξij = ξji ) para todos los valores de i y j se dice que es simétrico. Un tensor ξij ( o bien ξij ) tal que ξij=-ξji ( o bien ξij = -ξji ) se dice que es antisimétrico ó alternante. Por ejemplo, una generalización, un conjunto de n5 cantidades ij

uvwξ cuyas descripciones en los dos sistemas de coordenadas se relacionan por:

wvu

jiijuvw

xx

xx

xx

xx

xx

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

=εγδ

βααβδγεξξ

Constituye un tensor mixto de rango 5 con dos índices contravariantes i y j, y tres índices covariantes u, v y w. - Recordando que: TENSOR: Conjunto de cantidades que se transforman de una manera prescrita. Es claro que un tensor se puede construir especificando arbitrariamente sus componentes en un sistema de coordenadas y haciendo que las leyes de transformación apropiadas definan sus componentes en todos los demás sistemas de coordenadas. - ÁLGEBRA DE TENSORES - Dos tensores son iguales si, y sólo si, tienen el mismo rango y el mismo número de índices de cada tipo y tienen sus componentes correspondientes iguales en uno de los sistemas de coordenadas y, por tanto, en todos. Si las componentes de un tensor son todas cero en un sistema de coordenadas, son cero en todo sistema de coordenadas. Si T1 y T2 son tensores del mismo tipo, entonces el conjunto de cantidades que se obtiene sumando las componentes respectivas de T1 y T2 es un tensor T1 + T2 del mismo tipo de T1 y T2. La suma o diferencia de dos tensores del mismo tipo y rango ( con el mismo número de índices covariantes y contravariantes ) es un tensor del mismo tipo y rango: pq

rA y pqrB

Índice contravariante

Índice covariante



Por la ley de transformación:

l

r

q

k

p

jpqr

jkl

xx

xx

xxAA

∂

∂∂∂

∂∂

= ; l

r

q

k

p

jpqr

jkl

xx

xx

xxBB

∂

∂∂∂

∂∂

=

Sumando:

( ) ( ) l

r

q

k

p

jpqr

pqr

jkl

jkl

xx

xx

xxBABA

∂

∂∂∂

∂∂

+=+

Restando:

( ) ( ) l

r

q

k

p

jpqr

pqr

jkl

jkl

xx

xx

xxBABA

∂

∂∂∂

∂∂

−=−

Se deduce, pues, que pqr

pqr BA + y pq

rpqr BA − son tensores del mismo orden y tipo

que los dados. Si T1 es el tensor ijξ y T2 es el tensor k

lξ , entonces el término general kl

ijξξ del producto exterior T1T2 se transforma según la ley:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎩⎨⎧

ariantecontrava

lrangoijk

cov1.3

4η

l

kji

l

kjikl

ij

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

=δ

γβαγδ

αβδ

γ

γδβα

αβ ξξξξξξ

Si, en un tensor de cualquier tipo se suma un índice contravariante contra uno covariante, simplemente igualándolos y aplicando la convección de la suma, el conjunto resultante de cantidades es un tensor con un índice contravariante menos y un índice covariante menos. El tensor ij

kξ se transforma según la ley:

k

jiijk

xx

xx

xx

∂

∂∂∂

∂∂

=γ

βααβγξξ

Haciendo j = k:

j

jiijj

xx

xx

xx

∂

∂∂∂

∂∂

=γ

βααβγξξ



γβα

αβγ δξ

xxi

∂∂

= Por el lema 1, sección anterior

ααγγξ x

xi

∂∂

= Ya que sólo cuando γβ = se tiene 0≠γβδ

Luego ij

jξ se transforma como un tensor contravariante de rango 1; es decir, ijjξ es

un vector contravariante, digamos ηi ⇒ este proceso se conoce como: CONTRACCIÓN. PRODUCTO INTERIOR: resulta de aplicar la contracción del producto exterior de dos tensores. Un conjunto de nr cantidades es un tensor siempre que un producto interior del conjunto y un tensor arbitrario sea también un tensor. LEY DEL COCIENTE. Si los elementos de una matriz no singular [ fij ] son las componentes de un tensor covariante de rango 2, entonces los elementos de la matriz inversa [ ]ij f son las componentes de un tensor contravariante de rango 2. TAREA: 1, 2, 5, 10. Pag. 802. DERIVACIÓN COVARIANTE Como las componentes de un tensor son funciones de las coordenadas generalizadas, es obvio que se las puede derivar parcialmente con respecto a las variables coordenadas. Empero, las cantidades así obtenidas no tienen interés intrínseco, ya que no lo son las componentes de un tensor . Por ejemplo; si ξd es un vector contravariante y derivamos la ecuación de transformación

dd

xx∂∂

=δ

δ ξξ

parcialmente con respecto a βx , se tiene

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂∂

β

δδ

ββ

δ

ξξξxx

xxx

xx

xx

xx

b

dbd

d

b

b

d 2

(1)



Es evidente que si no estuviera presente el segundo término del lado derecho, ∂ξd/∂xb sería un tensor mixto de rango 2 . Ya que:

δβδ

β

β

δ

ξξξξ,,; =

∂

∂∂∂

∂

∂=

∂∂ d

b

d

bb

d

xx

xx

xx

Es posible agregar términos “de corrección “ d

bC a las derivadas parciales ∂ξd/ ∂xb ? De modo que

bdb

d

Cx

+∂∂ξ

Sea un tensor mixto de rango 2. Esto es posible, se determinará los términos de corrección apropiados. Y se definirá la DERIVADA COVARIANTE . Como ξd entra linealmente en el segundo término de (1), resulta casi obvio que los términos que hay que agregar a ∂ξd/ ∂xb para eliminar la segunda suma deben ser lineales en las ξ. Por ejemplo

adab

dbC ξΓ= ; d

abΓ ?

Determinación de la función coeficiente Γdab

De la ley de transformación del tensor métrico gab

βααβ xx

xxgg

ba

ab ∂∂

∂∂

=

Se obtiene, derivando cada miembro con respecto a ,γx

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂

∂βγβαγβαγγ

αβ

xxx

xxg

xx

xxxg

xx

xx

xx

xg

xg b

b

a

ab

ba

ab

bac

cab

22

Intercambiando 1) β y γ , y luego 2) γ y α, y haciendo las permutaciones correspondientes de los índices mudos a, b, c en el primer término, se obtiene

(3) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂

∂γβαβαβγαββ

αγ

xxx

xxg

xx

xxxg

xx

xx

xx

xg

xg ba

ab

ba

ab

cab

bac

22

(4) βαγβγαβγααγβ

xxx

xxg

xx

xxxg

xx

xx

xx

xg

xg ba

ab

ba

ab

bca

acb

∂∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂

∂ 22



Restando ahora (2) de la suma de (3) y (4), observando que las cantidades entre corchetes y aquellas entre llaves se cancelan respectivamente, se obtiene

βαγ

γαβγβαγαβ

βαγ

αγβ

xxx

xxg

xx

xxxg

xx

xx

xx

xg

xg

xg

xg

xg

xg

ba

ab

ba

ab

cba

cab

bac

acb

∂∂∂

∂∂

+

+∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+∂∂

=∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

2

2

Intercambiando por último los índices mudos a y b en el último término y teniendo en cuenta que gba = gab, se tiene

(5) γβαγβαγαβ

βαγ

αγβ

xx

xxxg

xx

xx

xx

xg

xg

xg

xg

xg

xg ba

ab

cba

cab

bac

acb

∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+∂∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ 2

2

Las cantidades

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

∂∂

=Γ cab

bac

acb

abc xg

xg

xg

21

, ( 6 )

Cuya ley de transformación viene dada por (5), se llaman símbolos de Christoffel

de primera clase. Por el segundo término del segundo miembro en la ecuación de transformación (5), es obvio que Γc,ab NO ES UN TENSOR . Por definición, los símbolos de Christoffel de segunda clase son las cantidades abc

dcdab g ,Γ=Γ ( 7 )

Para obtener sus leyes de transformación, recuerde que

iidi

xx

xxgg

∂∂

∂∂

=−γδ

δγ

De donde,

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=Γ=Γ −−

γαβ

βαγ

αγβδγ

αβγδγδ

αβ xg

xg

xg

gg21

,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

= γβαγβα

γδxx

xxxg

xx

xx

xx

xg

xg

xg

xx

xxg

ba

ab

cba

cab

bac

acb

iddi

2

221



+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+∂∂

= i

c

d

ba

cab

bac

acbdi

xx

xx

xx

xx

xx

xg

xg

xgg

γ

γ

δ

βα21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

+ i

b

d

a

abdi

xx

xx

xx

xxxgg

γ

γ

δ

βα

2

Ahora por el lema 1, los términos entre corchetes se convierten en:

bii

bcii

c

xx

xxy

xx

xx δδ

γ

γ

γ

γ =∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

Así la última ecuación se simplifica a

d

a

abdb

d

ba

cab

bac

acbdc

xx

xxxgg

xx

xx

xx

xg

xg

xgg

∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+∂∂

=Γδ

βα

δ

βαδαβ

2

21

Además, como [gij] y [gij] son matrices inversas

d

abadb

abdb gggg δ==

Con lo cual el último término de la ecuación anterior se reduce a: d

a

xx

xxx

∂∂

∂∂∂ δ

βα

2

Así se tiene finalmente la ley de transformación

da

a

d

ba

cab

bac

acbdc

xx

xxx

Xx

xx

xx

xg

xg

xg

g−∂

∂∂∂

∂+

∂∂

∂∂

∂∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+∂∂

=Γδ

βα

δ

βαδαβ

2

21

d

a

d

badabda

a

d

ba

abdc

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

xxx

xx

xx

xxg

∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

Γ=∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

Γ=−

δ

βα

δ

βα

δ

βα

δ

βαδ

22

( 8 )

Debido al segundo término a la derecha en ( 8 ), es claro que d

abΓ , como abc,Γ no es un tensor. DEMOSTRACIÓN

Pruebe que adabb

d

xξξ

Γ+∂∂ es un tensor mixto de rango 2.

De las ecuaciones ( 4 ) y ( 8 ):



ii

a

a

d

badab

b

dbd

d

b

b

d

xx

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

xxx

xx

xx

xx ∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

Γ+∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

=Γ+∂∂ αδ

βα

δ

βαβ

δδ

βαδ

αββ

δ

ξξξξξ 22

Reemplazando los índices mudos id ⎯→⎯ °2 ; ba ⎯→⎯ °4 y notando que

aii

a

xx

xx δ

α

α =∂∂

∂∂

ib

bi

d

bai

dab

ib

ibi

d

b

b

d

xx

xx

xxx

xx

xx

xx

xxx

xx

xx

xx ∂∂

∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

Γ+∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

=Γ+∂∂ αδ

βα

δ

ββ

δδ

βαδ

αββ

δ

ξδξξξξξ 22

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Γ+

∂∂

=Γ+∂∂

ib

bb

ibi

d

bdab

ab

d

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx

xx

αδ

βαβ

δδ

βαδ

αββ

δ

ξξξξξ 22

( 9 )

Se sabe δββ

δ

δ=∂∂

∂∂

xx

xx b

b . Derivando con respecto a xi, se tiene:

022

=∂∂

∂∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂

i

b

b

b

bi xx

xxx

xx

xx

xxx α

βα

δ

β

δ

Con lo cual, la expresión en corchetes en ( 9 ) es igual a cero y se tiene:

d

bdab

ab

d

xx

xx

xx ∂∂

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Γ+

∂∂

=Γ+∂∂ δ

βαδ

αββ

δ

ξξξξ

Lo cual demuestra que:

adabb

d

xξξ

Γ+∂∂ ( 10 )

Es un tensor de segundo rango. La expresión (10) se llama derivada covariante del vector contravariante ξd y se le denota

frecuentemente por el símbolo dbb

d

xD

,ξξ

≡∂

.

En forma muy similar, puede demostrarse que si ξd es un vector covariante, entonces:

aadbb

d

xξ

ξΓ−

∂∂

( 11 )



Es un tensor mixto de rango 2. La ( 11 ) es la derivada covariante del vector

covariante ξd y se denota por el símbolo bd

xD∂ξ

.

CUALQUIER TENSOR TIENE UNA DERIVADA COVARIANTE. Para tensores de segundo rango, se tienen las fórmulas:

dieib

iedibb

de

b

de

xxD ξξξξ

Γ+Γ+∂∂

=∂

( 12 )

di

ieb

ie

dibb

de

b

de

xxD

ξξξξ

Γ−Γ+∂∂

=∂

( 13 )

diiebie

idbb

debde

xxD

ξξξξ

Γ−Γ−∂∂

=∂

( 14 )

En estas derivadas puede notarse que entra un término, semejante al segundo en ( 10 ), por cada índice contravariante en el tensor, y un término semejante al segundo en ( 11 ), por cada índice covariante. TAREA 1 y 2. Pag. 811.

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