Las Matrices en La Mecanica Cuantica

Mecánica Cuántica Jesús Castro Tello

~ 1 ~

10.-LAS MATRICES EN LA MECÁNICA CUANTICA:

REPRESENTACION MATRICIAL DE KETS Y BRAS:

Las componentes del ket en la base iU están dadas por ii Uc . Esto puede

verse anteponiendo al vector la relación de cerradura de la base:

i

ii

i

ii UcUU

Las componentes del bra en la base iU están dadas por ii Ub . Esto puede

verse multiplicando a la derecha del bra por la relación de cerradura de la base:

i

ii

i

ii UbUU *

Si se inserta la relación de cerradura de la base entre el bra y el ket del producto

interno , se obtiene:

3

2

1

*

3

*

2

*

1

* ,,,c

c

c

bbbcbUUi

ii

i

ii

en donde vemos que:

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE OPERADORES:

El resultado de la acción de un operador sobre el ket es, en general, otro

vector que podemos denotar por , es decir:

ˆ (10.1)

Como los vectores y se pueden representar en términos de una base iU , la

expresión anterior es igual a:

i

ii

i

ii UcUb ˆ

Y si multiplicamos esta expresión, por la izquierda, por el bra jU :

i

iji

i

iji UUcUUb ˆ

que, por la ortonormalización de la base, queda como:

Las componentes del bra se escriben en la forma de una matriz

de un solo renglón y las componentes del ket como una matriz de

una sola columna.


~ 2 ~

i

ijij

i

jii UUcbb ˆ

y si denotamos el producto ij UU como ji , entonces:

de donde se ve que:

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

c

c

c

b

b

b

Esta expresión es el equivalente matricial de la ec.(10.1).

Se tiene entonces que:

Note que la representación matricial del operador es diferente si se cambia la base.

Note, además, que si se escoge una base continua los índices de los elementos de la

matriz que representa al operador , kkkk

ˆ'' , cambian en forma continua.

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN OPERADOR EN LA BASE

DE SUS EIGENVECTORES:

Si los vectores base iU son eigenvectores del operador ; es decir, si

jjj UaU , entonces:

ijjjijjiij aUUaUUA ˆ

y vemos que:

Esto sugiere que para encontrar los eigenvalores de un operador, representado por

una matriz en una base arbitraria, lo que se tiene que hacer es diagonalizar la matriz.

i

ijij cb

Los únicos elementos diferentes de cero, de la matriz que representa

al operador en la base de sus eigenvectores, son los elementos

diagonales y los valores de estos elementos son los eigenvalores de .

La matriz cuadrada con elementos ijji UU ˆ es la representación

matricial del operador en la base de vectores iU .


~ 3 ~

Una vez que se ha diagonalizado la matriz, los elementos diagonales son los

eigenvalores del operador.

Cuando la matriz que representa a un operador no es diagonal, los elementos

diagonales representan los valores de espectación del operador para los diferentes

estados base.

Los elementos de matriz no diagonales están relacionados con la probabilidad de

transición entre los estados que intervienen en el cálculo de ese elemento de matriz.

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DEL PRODUCTO ˆˆ :

Los elementos de la matriz que representa al producto ˆˆ se pueden obtener

insertando entre los dos operadores la relación de cerradura de la base:

k

kjik

k

jkkijiij UUUUUU ˆˆˆˆ)ˆˆ(

en donde se reconoce la última suma del extremo derecho como la regla para la

multiplicación de matrices.

Si se conocen las matrices que representan a los operadores y B en una base

arbitraria iU :

MATRIZ DEL OPERADOR ADJUNTO DE :

Los elementos de matriz del operador † están dados por:

(†

iij U) † **ˆˆ

jiijjij UUUUU

MATRIZ DE UN OPERADOR HERMITIANO:

Si es un operador hermitiano entonces † y por lo tanto:

Vemos entonces que:

*

ijij

La matriz que representa al producto ˆˆ se obtiene por

multiplicación de las dos matrices en el orden en que se encuentran

los operadores.

La matriz del operador † es la transpuesta conjugada de la

matriz del operador .


~ 4 ~

Esto implica que:

EJERCICIOS:

1.- Matriz del operador de posición X en la base de los eigenvectores del

hamiltoniano del oscilador armónico:

Para poder hacer el cálculo de los elementos de matriz del operador de

posición X necesitamos escribir este operador en términos de los operadores

a y

a , ya que sabemos cómo actúan estos operadores sobre los eigenvectores

n del oscilador armónico.

Sabemos que:

dy

dya ˆ

2

1ˆ y

dy

dya ˆ

2

1ˆ

en donde XM

y ˆˆ

.

Sumando estos operadores se obtiene:

XM

yaa ˆ2

ˆ2

2ˆ

por lo que:

aaM

X ˆ2

ˆ

y los elementos de matriznmX están dados por:

mXnX nmˆ

maanM

)ˆˆ(2

manmanM

ˆˆ2

- Los elementos diagonales de la matriz de un

operador hermitiano son reales.

- Si los elementos no diagonales de la matriz de un

operador hermitiano son reales, entonces la matriz

es simétrica.

Si es un operador hermitiano, la matriz de y su transpuesta

conjugada son iguales.


~ 5 ~

1112

mnmmnmM

1,1,12

mnmn mmM

En esta expresión vemos que los elementos de matriz diagonalesnnX son cero, ya

que para nm las deltas de Kronecker de los términos de la derecha se anulan.

Las deltas de Kronecker no se anulan solo si 1 nm o 1 nm . Por lo que los

únicos elementos de esta matriz que son diferentes de cero son:

M

nn

MnXnX nn

2

)1(1

21ˆ

1,

y:

M

nn

MnXnX nn

221ˆ

1,

La matriz del operador de posición X , en esta base, es entonces:

0300

3020

0201

0010

2ˆ

MX

Para hacer más rápido el cálculo de esta matriz es conveniente recordar que el

operador de posición es un operador hermitiano y como los elementos de matriz, en

este caso, son números reales entonces la matriz debe ser simétrica.

El hecho de que esta matriz no sea diagonal nos indica que los vectores base no son

eigenvectores del operador X y que, por lo tanto, 0ˆ,ˆ HX .

2.- Matriz del operador de energía potencial del oscilador armónico en la base

de los eigenvectores del hamiltoniano del oscilador armónico:

El operador de la energía potencial del oscilador armónico es: 22 ˆ

2

1)ˆ( XMXV

y los elementos de matriz de este operador están dados por:

mXnMVnm

22 ˆ2

1

Debemos, por lo tanto, calcular los elementos de matriz de 2X .

La matriz de 2X se obtiene multiplicando la matriz del operador X por ella misma.

La regla para la multiplicación de dos matrices se obtiene escribiendo el

operador 2X como XX ˆˆ e insertando la relación de cerradura de la base entre los

dos operadores:


~ 6 ~

mXXnX nmˆˆ2

k

mXkkXn ˆˆ

k

kmnk XX

Anteriormente vimos que los únicos elementos de la matriz del operador X que son

diferentes de cero son aquellos cuyos índices difieren en una unidad. Por lo que la

suma de esta expresión consta de solo dos términos: mnnnmnnnnm XXXXX ,11,,11,

2

Los elementos diagonales de la matriz de 2X están dados entonces por:

nnnnnnnnnn XXXXX ,11,,11,

2

21,

2

1, nnnn XX

Recuerde que el operador X es hermitiano y sus elementos de matriz son números

reales; por lo que 1,,1 nnnn XX y

1,,1 nnnn XX .

Substituyendo el valor que se obtuvo antes para estos elementos de matriz de X , se

obtiene el valor de los elementos de matriz diagonales:

M

n

M

n

M

nX nn

2

)12(

22

)1(,

2

Los únicos elementos de matriz no diagonales de 2X son: 2,11,2,

2

nnnnnn XXX

M

n

M

n

2

)2(

2

)1(

)2)(1(2

nnM

y:

2,11,2,

2

nnnnnn XXX

M

n

M

n

2

)1(

2

)1(2

nnM

La matriz de 2X es, entonces:

7060

0502

6030

0201

2ˆ 2

MX

y la matriz del operador de energía potencial del oscilador armónico es:


~ 7 ~

7060

0502

6030

0201

4ˆ

2

1ˆ 22

XMV

3.- Matriz del operador de momento lineal xP en la base de los eigenvectores

del hamiltoniano del oscilador armónico:

El procedimiento para obtener la matriz de xP es el mismo que se siguió para

obtener la matriz del operador X .

Se debe escribir el operador xP en términos de los operadores a y

a . A partir de

la definición de estos operadores se obtiene:

dy

daa

2

2

dx

d

dy

dx2

dx

d

M

2

dx

d

iM

i

2

xPMi

ˆ21

por lo que:

aaM

iPx2

ˆ

y se continúa de la misma manera que se hizo en el caso del operador X .

Los únicos elementos de la matriz de xP que son diferentes de cero son:

2

)1(1,

nMiP nn

y 2

1,

nMiP nn

Por lo que la matriz es:

0300

3020

020

000

2ˆ

i

ii

ii

i

MPx

Note que, en este caso, los elementos de la matriz son números imaginarios aunque

cumple con los requisitos de una matriz hermitiana.


~ 8 ~

4.- Matriz del operador de energía cinética en la base de los eigenvectores del

hamiltoniano del oscilador armónico:

El operador de energía cinética es:

M

PK x

2

ˆˆ

2

Los elementos de matriz de este operador estan dados por:

mPnM

K xmn

2

,ˆ

2

1

mPkkPnM

x

k

xˆˆ

2

1

mPnnPnmPnnPnM

xxxxˆ11ˆˆ11ˆ

2

1

Para los elementos diagonales )( nm se tiene que:

nnxnnxnnxnnxnn PPPP

MK

,11,,11,,2

1

pero como, en este caso, se tiene que:

*1,,1

nnxnnx PP y *

1,,1

nnxnnx PP

entonces:

*

1,1,

*

1,1,,2

1

nnxnnxnnxnnxnn PPPP

MK

22

)1(

2

1 nMnM

M

124

n

Los demás elementos diferentes de cero, de la matriz de K , son:

2,11,2,

2

1

nnxnnxnn PPM

K

2

)2(

2

)1(

2

1 nMi

nMi

M

)2)(1(

22

1nn

M

M

)2)(1(4

nn

y:

2,11,2,

2

1

nnxnnxnn PPM

K

2

)1(

22

1 nMi

nMi

M

)1(

22

1nn

M

M

)1(4

nn


~ 9 ~

por lo que, la matriz de energía cinética es:

7060

0502

6030

0201

4ˆ

K

Note que si esta matriz de energía cinética se suma a la matriz de energía potencial

que se obtuvo antes, se obtiene la matriz diagonal correspondiente al hamiltoniano

del oscilador armónico; es decir, la matriz cuyos elementos diagonales son los

eigenvalores del hamiltoniano. Esto debe ser así ya que se usó como la base a los

eigenvectores del hamiltoniano del oscilador armónico.

CAMBIOS DE REPRESENTACIÓN:

1.- Obtención de las componentes del ket en la base discreta

{ iW , i=1,2,3,... } a partir de las componentes del mismo ket en la

base discreta {kU , k=1,2,3,... }.

Las componentes del ket en la base discreta { iW , i=1,2,3,... } estan

dadas por: iW .

Para obtener estas componentes, a partir de las componentes del mismo

vector en la base kU , se inserta entre el bra y el ket, de iW , la

relación de cerradura de la base kU :

k

kkii UUWW

k

kik US (10.2)

en donde kiik UWS .

Esta expresión se puede escribir en la forma matricial:

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

U

U

U

SSS

SSS

SSS

W

W

W

en donde ikS son elementos de la matriz S formada por las componentes

de los vectores kU en la nueva base iW .

Note que la matriz S es la matriz de transformación que nos permite


~ 10 ~

pasar de la representación de en la base original kU a la

representación del mismo vector en la nueva base iW .

Se puede, por lo tanto, escribir:

UWS

La transformación inversa es:

i

iikk WWUU

pero:

†**

kiikkiik SSUWWU (10.3)

en donde†S es la matriz adjunta de S .

Se tiene entonces que:

i

ikik WSU † (10.4)

o en forma matricial:

3

2

1

†

33

†

32

†

31

†

23

†

22

†

21

†

13

†

12

†

11

3

2

1

W

W

W

SSS

SSS

SSS

U

U

U

es decir:

WUS †

en donde †S es la matriz de transformación.

2.- Obtención de las componentes del bra en la base discreta

{ iW , i=1,2,3,... } a partir de las componentes del mismo bra en

la base discreta { kU , k=1,2,3,... }.

Las componentes del bra en la base discreta { iW , i=1,2,3,... } están

dadas por iW .

Si se inserta entre el bra y el ket, de iW , la relación de cerradura de la

base kU , se obtiene:

k

ikki WUUW

es decir:

k

kiki SUW † (10.6)


~ 11 ~

que se puede escribir también en forma matricial como:

,,,,,, 321321 UUUWWW

†

33

†

32

†

31

†

23

†

22

†

21

†

13

†

12

†

11

SSS

SSS

SSS

por lo que: †S

UW


i

kiik UWWU

es decir

i

ikik SWU

o en forma matricial:

333231

232221

131211

321321 ,,,,,,SSS

SSS

SSS

WWWUUU

por lo que:

SWU

3.- Elementos de matriz del operador en la base{ iW , i=1,2,3,...}

a partir de los elementos de matriz del mismo operador en la base

{ kU , k=1,2,3,... }.

Los elementos de matriz del operador en la base { iW , i=1,2,3,... } están dados

por:

ji WAW ˆ

Si se inserta la relación de cerradura de la base { kU , k=1,2,3,... } entre el bra y el

operador y entre el operador y el ket, se obtiene:

,

ˆˆk

jkkiji WUUAUUWWAW

ijU

k

kjUik

k

jkik SASSASSAS )ˆ()ˆ( ††

,

†

es decir:

ijUji SASWAW †ˆˆ (10.7)


~ 12 ~

La matriz S es unitaria ya que:

i i

kkiikikik UUUWWUSSSS †† )(

y además:

k k

ijjijkkikjikij WWWUUWSSSS ††)(

por lo que:

†† SSSS

en donde es la matriz unidad. Se tiene por lo tanto, que: SS†

y S es una matriz unitaria.

La ecuación (10.7) se puede entonces escribir como:

(10.8)

A esta relación se le conoce como “Transformación de Semejanza

Unitaria”.


ji

jjiikk UWWAWWUUAU.

ˆˆ

kW

i

iWki

ji

jijki SASSASSAS )ˆ()ˆ( ††

,

†

y por lo tanto:

kWk SASUAU ˆˆ †

o sea que:

SASA WU

(10.9)

Un hecho importante y que con frecuencia es útil recordar es que la traza de

la matriz que representa a un operador es invariante ante un cambio de

base.

Esto se puede ver utilizando la ec. (10.9):

. U kk w ki w ikk k k ikk

Tr A A S A S S A S

,

, , , ,

ki ij jk ij jk ki ijj i

k i j k i j i j

S A S A S S A SS

W

i

ii

ji

jiij ATrAA .,

por lo que:

(10.10)

SASA UWˆˆ

WU ATrATr ..


~ 13 ~

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE EIGENVALORES POR MÉTODOS

MATRICIALES

Sabemos que la ecuación de eigenvalores para un operador es:

kkk UaU

en donde kU es uno de los eigenvectores de y ka es el eigenvalor asociado al

eigenvector kU .

Conocer el vector kU significa conocer sus componentes en una base

arbitraria. Por lo que nuestras incógnitas son las componentes ki UW , en donde

los vectores iW representan a la base arbitraria.

Si se inserta la relación de cerradura de la base arbitraria iW en ambos lados de la

ecuación de eigenvalores, se tiene que:

j

kjjk

j

kjj UWWaUWWA

y multiplicando esta expresión, por la izquierda, por el bra iW :

j

kjjik

j

kjji UWWWaUWWAW ˆ

j

kjijk UWa

que también podemos escribir en la forma:

0j

kjijkij UWaA

en donde jiij WAW ˆ . Esta expresión nos define un sistema de ecuaciones

homogéneas que podemos escribir, en forma matricial, como:

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

1 2 3

0

k n k

k n k

k n k

n n n nn k n k

A a A A A W U

A A a A A W U

A A A a A W U

A A A A a W U


~ 14 ~

en donde las incógnitas son las componentes kj UW del eigenvector kU .

Este sistema de ecuaciones tiene soluciones no triviales (soluciones distintas de

cero) solo si su determinante es igual a cero (Regla de Cramer). Es decir, solo si:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

0

k n

k n

k n

n n n nn k

A a A A A

A A a A A

A A A a A

A A A A a

Al resolver este determinante e igualarlo a cero se obtiene una ecuación de orden n

en ka :

01

2

2

1

1

nkn

n

k

n

k

n

k aaaa

Esta ecuación se conoce como “Ecuación Característica” y se debe resolver para

obtener los eigenvalores ka .

Puede suceder que esta ecuación característica tenga raíces repetidas; en cuyo caso,

el número de raíces repetidas es el orden de la degeneración del eigenvalor (es decir,

de esa raíz repetida).

Las raíces no repetidas se substituyen, de una en una, en el sistema de ecuaciones y

se resuelve este sistema para obtener las componentes del eigenvector asociado con

ese eigenvalor.

Note que, con las componentes de los eigenvectores, se puede construir la

matríz S que diagonaliza a la matriz del operador A , por medio de la

transformación de semejanza unitaria: SASA WU

La matriz S está dada por:

nnnnn

n

n

n

UWUWUWUW

UWUWUWUW

UWUWUWUW

UWUWUWUW

S

321

3332313

2322212

1312111


~ 15 ~

EJEMPLO:

La matriz que representa al operador A en una base desconocida iW es:

010

101

010

ˆWA

Sean 321 ,, UUU los eigenvectores de A . Conocer estos eigenvectores significa

conocer sus componentes en la base iW ; es decir:

13

12

11

1

UW

UW

UW

U ,

23

22

21

2

UW

UW

UW

U ,

33

32

31

3

UW

UW

UW

U

La ecuación de eigenvalores para A es:

i

i

i

i

i

i

i

i

i

UW

UW

UW

a

a

a

UW

UW

UW

3

2

1

3

2

1

00

00

00

010

101

010

que también se puede escribir como:

0

10

11

01

3

2

1

i

i

i

i

i

i

UW

UW

UW

a

a

a

Este es un sistema de tres ecuaciones simultaneas homogéneas cuyas incógnitas son

las componentes iii UWUWUW 321 ,, del eigenvector iU .

Para que este sistema de ecuaciones tenga soluciones no triviales el determinante del

sistema debe ser cero (Regla de Cramer):

]0[]1)[(

10

11

012

iii

i

i

i

aaa

a

a

a

0)2)(2()2(]1)(1[ 22 iiiiiii aaaaaaa

por lo que: 2,2,0 ia .

Para 01 a , el sistema de ecuaciones queda:


~ 16 ~

0

010

101

010

13

12

11

UW

UW

UW

o sea que:

012 UW

01311 UWUW

012 UW

de la segunda de estas ecuaciones se tiene que:

1113 UWUW

y por la condición de normalización sabemos que:

12

13

2

12

2

11 UWUWUW

por lo que:

122

11 UW o 2

111 UW

012 UW y 2

113 UW

Se tiene, por lo tanto, que:

2

0

2

2

1

1

0

1

2

11U

Para 22 a , el sistema de ecuaciones queda:

0

210

121

012

23

22

21

UW

UW

UW

o sea que:

02 2221 UWUW

02 232221 UWUWUW

02 2322 UWUW

De la primera ecuación: 2122 2 UWUW

De la tercera ecuación: 2322 2 UWUW

Por lo que: 2123 UWUW

Y por la condición de normalización:

1422

21

2

21

2

21

2

21 UWUWUWUW

Por lo que:


~ 17 ~

2

121 UW

2

222 UW

2

123 UW

Se tiene, por lo tanto, que:

1

2

1

2

12U

Para 22 a , solo hay que cambiar el signo del radical; es decir:

1

2

1

2

13U

La matriz de transformación S es:

112

220

112

2

1

332313

322212

312111

UWUWUW

UWUWUW

UWUWUW

S

Por medio de esta matriz se comprueba que:

SASA WU

112

220

112

010

101

010

121

121

202

4

1

220

220

220

121

121

202

4

1

200

020

000

2400

0240

000

4

1

y de igual forma se comprueba que:

SSAA UW

121

121

202

200

020

000

112

220

112

4

1

222

222

000

112

220

112

4

1


~ 18 ~

010

101

010

040

404

040

4

1

Note además que:

UW

UUS 11

0

0

1

0

0

4

4

1

2

0

2

121

121

202

4

1

UW

UUS 22

0

1

0

0

4

0

4

1

1

2

1

121

121

202

4

1

UW

UUS 33

1

0

0

4

0

0

4

1

1

2

1

121

121

202

4

1

y:

WUUUS 11

2

0

2

2

1

0

0

1

112

220

112

2

1

WUUUS 22

1

2

1

2

1

0

1

0

112

220

112

2

1

WUUUS 33

1

2

1

2

1

1

0

0

112

220

112

2

1

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