Las Matrices Curso: PRE-CÁLCULO Frances R Meléndez

José MaldonadoDr. Juan J. Maunez Pimentel

4 de mayo de 2012Sr. Pomales

¿Qué es una matriz?

• Arreglo rectangular de números usando filas y columnas.

• Ejemplo:

• A cada número de una matriz se le denomina como elemento.

• Si una matriz tiene m renglones y n columnas, se llama matriz m x n. Esta expresión se conoce como tamaño de la matriz. Los números m y n se conocen como dimensiones de la matriz. Una matriz con renglón y columna n se denomina matriz cuadrada de orden n.

• Nota: Siempre se escribe primero el número de renglones.

Cont.

Tipos de matrices• Matriz de fila: solo tiene una fila.

B= [4 -5 9]• Matriz columna: matriz con solo una columna.

• Matriz nula: matriz en la cual todos los elementos son cero.

Z=

00

00

Cont

• Matriz cuadrada: tiene el mismo número de columnas y el mismo número de filas, es decir su dimensión es m x m o m.

C=

• Matriz triangular: es una matriz dentro de los matrices cuadradas. Dentro de ésta existen dos tipos y son los siguientes:

47

23

Cont.Triangular superior: si todos los elementos por

debajo de la diagonal principal son nulos. B=

Triangular inferior: si todos los elemtos por encima de la diagonal principal son nulos.

D=

200

430

271

213

087

005

Cont.• Matriz diagonal: cuando es triangular superior

y triangular inferior a la vez. Solo tiene elementos en diagonal principal.

A=

• Matriz unidad o identidad: es una matriz diagonal que tiene en su diagonal principal elementos igual a uno. Suelen estar representado por In donde n es el tamaño de la matriz.

I2=

200

080

005

10

01

Notación de la posición de los elementos en la matriz

• Es el renglón y la columna que contiene al elemento.

• Se observa o se utiliza notación con doble subíndice aij donde i es el renglón y j es la columna la cual contiene el elemento aij.

aij= 2, a12=6,a13=-3 a21=3,a22=8,a23=-4

2 6 -3

3 8 -4A=

Cont

• Nota: a12 se lee “a subíndice uno, dos” los elementos a11=2 y a22=0 esto es la diagonal principal de A. La misma consta de los elementos a11, a22, a33 …..

Matriz aumentada• Una matriz aumentada se crea mediante la

unión de dos matrices.

Sea que A y B

Entonces, la matriz aumentada (A B) quedaría:

Renglón equivalente

• Dos matrices aumentadas.• Se utiliza este simbolo ~ entre dos matrices si

son aumentadas de sistema de ecuación equivalente.

• Se utiliza el teorema 3 para transformar matrices aumentadas en matrices de renglón equivalente.

Teorema 3• Operaciones de renglón que realizan matrices

de renglón equivalente.• Para obtener una matriz de renglón equivalente

se utiliza uno de los siguientes paso:1. Dos renglones se intercambian (Ri Rj ).

2. Se multiplica un renglón por una constante diferente a cero (kRi Ri).

3. Se suma el múltiplo constante de un renglón con el de otro renglón.

(kRj + Ri Ri)

Para los números reales m, n, p: p = 0

• Modelo 1: una solución única (Consistentes e independientes).

• Modelo 2: muchas soluciones infinitas (consistentes y dependientes).

• Modelo 3: no hay soluciones (incocnsistentes).

n

m

10

01

000

1 nm

p

nm

00

1

Solución de sistemas lineales mediante matrices aumentadas

• Para llevar acabo este proceso se necesita seguir una sería pasos cuyos son los siguientes.

1. Debes tener un número uno en la esquina superior izquierda; se intercambian los renglones 1 y 2.

7

1

21

43R1 R2

1

7

43

21

Cont.

2. En la esquina inferior izquierda debes tener un cero, se multiplica R1 por -3 y se le suma a R2 cambiando a R2 pero no a R1.

1

7

43

21(-3)R1+ R2 R2

-3 6 -21

20

7

100

21

Cont

3.Para obtener un 1 en el segundo renglón (segunda columna) se multiplica R2 por

10

1

20

7

100

21 R2 R210

1

2

7

10

21

Cont.

4. Para obtener un 0 en el primer renglón, segunda columna, se multiplica R2 por 2 y se suma el resultado a R1. Esto cambia a R1 pero no a R2

2

7

10

21

0 2 -4

2R2 + R1 R1

2

3

10

01

Cont.

• La última matriz es la matriz aumentada para el sistema.

• Siguiendo estos pasos obtenemos: x1 = 3

x2= -2

Problemas para resolver

Basadas en las siguientes matrices, resuelve losejercicios 15, 17, 19, 21, 23

Cont.

15) ¿Cuál es el tamaño de A? ¿ y de C?

El tamaño de la matriz A es 2x3 y la C 1x3.

17) Identifique a todas las matrices renglón.

La matriz C es la única matriz renglón ya que es la única que está compuesta de una sola fila.

Cont.

19) Identifique a todas las matrices cuadradas.

La matriz cuadrada el la B ya que la misma tiene el mismo número de filas y columnas es 3x3.

21) Para la matriz A, encuentre a12 y a23.

Para la matriz A, a12 = -2 y a23= -6.

Cont.23) Encuentre los elementos en la diagonal

principal de la matriz B.

Los elementos en la diagonal principal de la matriz B son -2, 6 , 0.

Resuelve el ejercicio mediante métodos de matriz aumentada

45) 2x1 + 2x2 = 6

x1 x2 = -3

3

6

11

12R1 R2

6

3

12

11

6

3

12

11

-2 2 6

(-2)R₁ + R₂ R₂~

Cont.

12

3

30

113

1 R₂ R₂

4

3

10

11

4

3

10

11 0 1 4

1R₂ + R₁ R₁

4

1

10

01

~

~

~

~

Comprobación

Ejercicio original Resultado obtenido 2x₁ + x₂ = 6 x₁ = 1 x₁ x₂ = 3 x₂ = 4

2(1) + 4= 6 (1) (4)= 32 + 4= 6 -3=3 Cierto 6=6 Cierto

Opinión personal• Este trabajo fue uno de suma dificultad para

mi debido a la poca familiaridad que poseo con la elaboración de ecuaciones y matrices en el Programa Microsoft Office Power Point. Me parece que este trabajo me permitió ampliar y adquirir conocimiento en la solución de problemas de matrices lo cual me será de utilidad en cursos futuros.

Frances R Meléendez

Opinión personal

• Mi opinión sobre el trabajo es que fue un poco, no díficil, pero dificultoso de entender. No me veo usando estos conceptos en mi diario vivir pero, si algún día necesitara de ellos pues, ya tendré el conocimiento. Al principio estaba medio perdido ya que me había acostumbrado a llamar a los "renglones" como "filas". Aparte de todo fue bastante interesante y, pues aprender más nunca esta demás.

José Maldonado

Referencia

• PRE-CALCULO FUNCIONES Y GRAFICAS Autores: Barnett, Ziegler y Byleen (cuarta edición).