LAS MATEMTICASCUNTOS PROBLEMASNOS DAN!

Listos para enfrentar desafos?

1) Cmo se pueden formar cuatro tringulos iguales con slo seis pajitasde igual longitud?

La nicaforma de realizarlo es formando con ellas, un tetraedro que esun poliedro cuyas cuatro caras son tringulos equilteros (y en consecuencia: conseis aristas).

TETRAEDRO

Habas pensado en l?

2) Cinco por cuatro veinte ms unoveintids. Y adems el clculo es correcto. Por qu?

Este problema es eficaz dicho de palabra. A pesar de todo,el enunciado est perfectamente escrito

En este caso cuatro veinte equivale a cuatro con veinte,4,20 (de hecho as suele expresarse cuando hablamos deuna cantidad de dinero). De esta forma:5 x 4,20 = 21 y 21 + 1 = 22

3) Si una botella con tapn cuesta $ 11 y la botella cuesta $ 10 ms que el tapn,

cunto cuesta la botella?

La botella cuesta $10 ms que el tapn por lo que ladiferencia de precio entre ambos objetos tiene que ser de $10. Si la botella cuesta $10 ms que el tapn, es que una botella es igual a un tapn ms $10. Por tanto, si consideramos una botella ms un tapn, valdr lo mismo que 2 tapones ms $10. Como la botella ms el tapn nos ha costado en total $11, y equivale a 2 tapones ms $10, los 2 tapones tienen que valer $1 por lo que cada tapn valdr $0,50 y la botella $10,50. A diferencia de la solucin intuitiva, con esta se cumplen las condiciones del problema: la diferencia entre botella y tapn es 10,50 $ - $ 0,50 = $ 10 y adems el precio de una botella ms el tapn es10,50 $+ 0,50 $ = $11, tal y como peda el enunciado.

4)Luis quiere cortar un bizcocho deforma circular en ocho partes iguales. Su hija dice quebasta con tres cortes rectos. Es posible? Cmo?

Este problema tendra una solucin mucho ms difcil si fuera por ejemplo una pizza...

Muchas veces, quien se enfrentaa este problema trata de hacerlo dibujando un esquema en una hoja de papel y as es imposible. Por qu? La gran diferencia entre el bizcocho y una pizza o la propiahoja de papel es que el bizcocho tiene volumen. Bastar realizar dos cortes clsicos en forma de cruz y un terceroque corte el bizcocho de forma transversal en dos capas con lo que, a cuatro partes por cada capa, obtendremoslas 8 partes iguales

5) Cmo podemos transformar un hexgono en un poliedro aadindole slo tres segmentos?

La solucin en realidad es larepresentacin en dos dimensiones de un cubo.Para ello basta unir el centro con 3 vrtices no consecutivos y se formar la imagen del cubo.

CUBO O HEXAEDRO

6) Hemos colocado cuatro cartas sobre la mesa. En cada una hay escrita un 1 un 2 y el reverso es de color blanco o negro Cuntas cartas ycules de ellas debemos dar la vuelta para averiguarsi cada carta negra tiene un 2 al otro lado?

La clave de este problema esanalizar qu relaciones entre anverso y reverso nospreocupan y cules no. Como queremos averiguar si cadacarta negra tiene un 2 al otro lado, slo debenpreocuparnos aquellas cartas que pueden poner en peligro esa afirmacin.Cules son pues, las cartas inofensivas?: por supuesto la segunda, que tiene el reverso de color blanco, pues no nos importa en absoluto lo que suceda con las cartas blancas. Y la segunda, quiz de forma ms inesperada, es la que tiene un 2. Por qu, si contiene uno de loselementos de la relacin que nos piden, no nos importa esa carta?

Estudiemos sus posibilidades: si tuviera el reverso negro, no hara ms que reafirmar nuestra hiptesis. Ya, pero, y si tuviera el reverso blanco? Tampoco pasara nada, ya que lo que queremos confirmar es si cada carta negra tiene un 2 al otro lado y eso no excluye la posibilidad de que una carta blanca tambin lo tenga. Es un problema de lgica: Si llueve se mojan las calles, pero si la calle est mojada, no significa que haya llovido, puede haberse mojado por otras causas.

Nos quedan, por tanto, slo dos cartas. Ser necesario dar la vuelta a ambas? La respuesta es s. Habr que dar la vuelta a la negra, ya que, si tuviera un 1, echaba portierra nuestra hiptesis. Y habr que levantar la del 1 ya que si su reverso fuera negro tampoco podramos dar la afirmacin por buena. Por tanto habr que levantar la que tiene un 1 y la que tiene el reverso negro.

7) Cmo pasa el tiempo! -dijo mi prima-,anteayer yo tena 19 aos y ya el ao prximo tendr 22.

Es posible lo que me dijo?

El problema en realidad no tiene truco, slo hay queelegir bien las fechas.

A poco que se trabaje un poco en este problema, enseguida surgen las fechas que giran alrededor de fin de ao para conseguir introducir das entre anteayer y el ao que viene. Como lo que nos interesa es que anteayer mi prima tuviera la menor cantidad de aos posible, su cumpleaos tiene que ser posterior a ese da. Por otro lado, para alargar el plazo lo ms posible, nos interesa que la frase se diga ya en Enero, de forma que el ao prximo sea dos ms tarde de cuando tena 19. La frase, en resumen, se dir el 1 de enero. Pongamos quede 2008, para centrarnos. De esta forma: 30 de diciembre de 2007: an tiene 19 aos 31 de diciembre de 2007: cumple 20 aos. 1 de enero de 2008: dice que anteayer tena 19 aos, lo cual es cierto -31 de diciembre de 2008: cumple 21 aos -31 de diciembre de 2009: cumple 22 aos. Con lo cual tiene sentido que el 1 de enero de 2008 diga que el ao que viene tendr 22.

8) Rpido!, si divides 30 entre 1/2 y al resultado le sumas 10, cunto da?

Lo que pide el enunciado es dividir entre 1/2

Mucha gente en tu lugar dira que la respuesta es: 15 + 10 = 25

Dividir entre 1/2" es muy diferente a dividir entre 2.

9) Si entre tres gatos cazan tres ratones entres horas, Cuntos gatos harn falta para cazar cienratones en 100 horas?

Merece la pena analizar qu caza consigue realizar este equipo de tres gatos en cada hora. La clave de este problema es centrarse en el ritmo de trabajo del equipo de tresgatos. Si entre los tres han cazado tres ratones en tres horas, significa que entre los tres han cazado a un ritmo de un ratn cada hora. Por lo que si cazan a un ritmo de un ratn cada hora, esos mismos tres gatos son capaces de cazar los cien ratones en cien horas.

10) Tenemos dos jarras: una con 1/2 litro de agua y otra con 1/2 litro de jugo. Tomamos una cucharada de la de jugo y la echamos en la del agua.Removemos y, a continuacin, tomamos una nueva cucharada, esta vez de la mezcla, y la echamos en la jarra del jugo. Despus de estas operaciones, quhabr: ms agua en el jugo o ms jugo en el agua?

Una pregunta previa sera: despus de las dosoperaciones, en qu jarra habr ms lquido?

Lo importante es fijarse tan solo en la situacin final. Si hemos tomado al principio una cucharada de la jarra de jugo y al rato hemos vuelto a echar otra, el contenido en ambas jarras ser al final lo mismo que al principio: medio litro en cada una (por cierto, el dato del medio litro es totalmente innecesario, pero ayuda a que los calculistas acudan al olor del dato). En la jarra de jugo todo ser jugo salvo una pequea parte, pongamos 5 centilitros como ejemplo. Pero esos 5 centilitros los hemos obtenido de la jarra de agua y, dado que esta tiene la misma cantidad que al principio, esa pequea cantidad se ha sustituido por la misma cantidad en jugo, por lo hay tanta agua en el jugo como jugo en el agua. Lo que suele desconcertar de este problema es que si bien la primera cucharada es de jugo puro, la segunda es de una mezcla, por lo que uno puede pensar que ese hecho desequilibra la balanza, pero en realidad el agua que no vuelve al jugo se equilibra con el jugo que se queda en el agua.

11) Un caminante llega a un pueblo y doshabitantes del lugar le ofrecen compartir los panes de los que disponen. Uno tiene 5 panes y el otro 3. Al final deciden ponerlo todo en comn y comrselo entre los tres. El viajero, agradecido, quiere repartir entresus benefactores 8 pesos que lleva en el bolsillo.

Cul sera la forma de reparto ms justa?

A cada una de las personas que ofrecieron el pan hay quepagarles en funcin no del pan que aportaron a la comidasino del pan que realmente cedieron a los dems.

El pan que haba en la mesa se lo comieron entre los tres a partes iguales. Por tanto, se debe tener en cuenta que cada uno de los propietarios delpan se comi una parte de su propio pan, por lo que enrealidad slo puso a disposicin del resto una parte mspequea.

Como eran 8 panes a repartir, cada comensal disfrut de 8/3 de pan. As pues el pan que realmente regalaron fue:Habitante 1: 5 panes 8/3 = 15/3 8/3 = 7/3Habitante 2: 3 panes 8/3 = 9/3 8/3 = 1/ 3.Por tanto, si consideramos trozos de un tercio de pan, uno regal 7 y otro slo 1 por lo que ese precisamente sera el reparto justo de monedas.

12) Dos viejos amigos, antiguos compaerosen la Facultad de Matemticas, se encuentran despus de muchos aos. Esta es parte de su conversacin:- Pues s, tengo tres hijas- S? Y qu edad tienen ahora?- Pues mira, el producto de sus tres edades es 36- Bueno, hay muchas posibilidades. Dame otra pista.- Hombre, casualmente la suma de sus edades coincide con el nmero de ese portal!- Hum, an as me falta un dato- Vale, te dir que la mayor toca el piano...- Ah, entonces ya lo s!

Cules eran las edades de las tres hijas?

Claramente, hay dos momentos claves de la conversacin.Primero, el segundo matemtico, que s est viendo elportal (no como nosotros) pero, a pesar de ello, no tienean suficientes datos. Y, segundo, por supuesto, qu datonuevo nos aporta que la hija mayor toque el piano?.

Estudiamos en primer lugarcuntos conjuntos de tres nmeros hay cuyo productosea 36.

1 x 1 x 361 x 2 x 181 x 3 x 121 x 4 x 91 x 6 x 62 x 3 x 62 x 2 x 93 x 3 x 4

Es decir, hay 8 posibilidades, por lo que es lgico que elsegundo matemtico dude... Ahora bien, si la suma de lastres edades coincide con la suma de un portal que ambosestn viendo, por qu an tiene dudas?

Calculemos la suma de cada una de las combinaciones:

1x1x36 381x2x18 211x3x12 161x4x9 141x6x6 132x3x6 112x2x9 133x3x4 10

Comprobamos que slo hay una suma que se repite, 13,por lo que si el portal hubiera sido cualquiera de los otrosnmeros resultados de la suma, el segundo matemticono hubiera tenido ninguna duda de cules eran lasedades y, puesto que las tena, es que el portal era el 13.

Dado que las combinaciones que suman 13 son 9x2x2 y6x6x1, al decirnos que la mayor toca el piano, tiene quereferirse a 9 x 2 x 2 ya que as slo hay una hija que es lamayor. Por tanto las tres edades son 9, 2 y 2.

13) A partir de cuatro trozos de cadena de treseslabones cada uno se quiere construir una sola cadenacerrada de 12 eslabones. Cuntos eslabones habr queromper como mnimo para realizar la tarea pedida?

Si abrimos un eslabn de cada una de las cuatro cadenas, podremos enganchar laprimera con la segunda, la segunda con la tercera, latercera con la cuarta y cerrar el crculo uniendo elextremo de la cuarta con el principio de la primera.

Por tanto el problema se puede resolver abriendo cuatro eslabones. Ser posible con menos roturas? Si abrimos un solo eslabn, slo nos sirve para enganchar su cadena con la siguiente, salvo que lo separemos de su trozo original y lo utilicemos para enlazar dos cadenas de tres eslabones.

Nos quedaran dos trozospequeos, uno de dos eslabonesy otro de tres. Si los unimosentre s (en una cadena decinco) y los unimos a la de sieteeslabones, llegaramos tambina los cuatro cortes. Qu otraalternativa nos queda? Pues yaque estamos destrozando unade las cadenas podemos seguirhacindolo y separar los doseslabones que le quedan. Esosdos eslabones servirn paraunir las cadenas de siete y tres yformar as la de doce eslabonescon slo tres roturas.

Si stos te gustaron, te espero en la prxima!