Actividad integradora: “El nùmero de oro”

Curso: 4to. Asignatura : Matemática

El objetivo es mostrar  a los estudiantes que ciertas relaciones matemáticas que ellos estudian, no son únicamente construcciones teóricas, sino que muchas veces el desarrollo de las matemáticas proviene directamente del estudio de la naturaleza.

Pensamos que con ejemplos de este estilo, podemos ayudar a los alumnos a mitigar, aunque sea parcialmente, la necesidad que tienen de vincular lo aprendido en el aula con ejemplos concretos.

La propuesta de esta clase puede llamar la atención en el sentido de que primero se desarrollará la teoría y después se verificará que los conceptos y las relaciones estudiadas se cumplen en la naturaleza.

Esta vez, los alumnos no serán los constructores del conocimiento; se busca más bien que se sorprendan ante el hecho (maravilloso, sin duda) de que el número de pétalos en las flores, es siempre un número de la sucesión de Fibonacci.

Así pues, el objetivo central de la clase no es, de ningún modo, la enseñanza de la sucesión de Fibonacci o de la razón áurea (estos conceptos son tan sólo un pretexto), el propósito es conmover a los estudiantes y convencerlos de que las matemáticas tienen una faceta mágica y sorprendente que bien vale la pena conocer.

Es muy importante que el trabajo que se propone a continuación se haga por equipos. Es importante también que a lo largo de esta clase se promueva la reflexión, la verbalización de las ideas y, ¿por qué no? la verbalización de los sentimientos.

Recomendamos que cada equipo esté formado por 2 a 4 estudiantes.

Esta clase se desarrolla en tres jornadas de trabajo.

Buscar en la web:

¿Quién fue Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci? ¿En qué época vivió y cuál era el desarrollo de las matemáticas en

aquella época? ¿Qué es la razón aúrea o razón dorada? ¿Cuál es la sucesión de Fibonacci?

Crear una cuenta de twitter. Registrarse en los distintos curadores: papar.li y scoopli para poder

curar la información obtenida. Seleccionar diferentes seguidores relacionados con el contenido a

investigar. Pedir a cada alumno que exponga, de manera sintética, lo investigado

en la jornada anterior, detallando las páginas web visitadas y los diferentes seguidores.

Pedir a los estudiantes que completen las siguientes sucesiones de

números Discutir el concepto de sucesión

¿Quieres jugar con sucesiones? Encuentra los números que faltan.

1, 4, 9, 16, ___, 36, 49, 64, 81, 100,...

1, 3, 6, 10, 15, 21, ___, 36, ___, 55, 66,....

3, 6, 12, ___, 48, 96, ___, 384,...

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ___, 123,...

2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, ___, 110, ___,....

1, 1, 2, 3, 5, 8, ___, 21, 34, ___, ......

Centrarse en la última sucesión, la suecsión de Fibonacci, y buscar una fórmula que permita encontrar cualquier término de la sucesión.

Sucesión de Fibonacci:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,.....

Cada término de la sucesión se obtiene sumando los dos anteriores.

Definir la razón aúrea como el cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci (siempre el mayor entre el menor).

La razón aúrea es un número irracional, esto es, su expansión decimal es infinita y nunca se repite.El valor de la razón aúrea es aproximadamente (muy aproximadamente) 1.618.........

 Pedir a los estudiantes que realicen las siguientes divisiones:

3 / 25 / 38 / 513 / 821 / 1334 / 2155 / 3489 / 55144 / 89

 Discutir, entre todos, cómo podemos ir obteniendo un valor cada vez más exacto de la razón aúrea.

 

Por equipos

Los rectángulos dorados.

Pedir a los estudiantes que dibujen rectángulos cuyos lados sean términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci y rectángulos que no cumplan con eso. ¿Cuáles les gustan más?

Medir los lados de rectángulos muy comúnes como tarjetas de crédito, tarjetas de teléfono, etcétera.

Por equipos

Recolectar flores frescas, fotografías o láminas de flores en las que se puedan contar los pétalos.

Llenar la siguiente tabla:

FlorNúmero de pétalos

Hacerlo para el mayor número posible de flores.

Es recomendable contar los pétalos de varias flores del mismo tipo para ver que coincide; si no es así, se puede sacar el promedio de todas las flores del mismo tipo.

Discutir en cada equipo qué está pasando.

Las flores suelen tener siempre 3, 5, 8, 13 o 21 pétalos

La espiral de Fibonacci.

    Se puede construir la espiral de Fibonacci, que es un tipo de espiral gnómica, a partir de los rectángulos de Fibonacci, con los números de la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21.

    Comenzamos dibujando dos pequeños cuadrados de lado una unidad, que estén juntos, a partir de ahí se forma un rectángulo, cuyo lado mayor que es 2 sirve como lado de un nuevo cuadrado , el cual pegamos a los anteriores, nuevamente obtenemos un rectángulo de dimensiones 3 x 2; a partir de aquí, el proceso se reitera, sucesivamente, añadiendo cuadrados cuyos lados son los números de la sucesión de Fibonacci...

    Lógicamente, cada cuadrado tiene como lado, la suma de los lados de los dos cuadrados construídos anteriormente....Los sucesivos rectángulos que van apareciendo son los rectángulos de Fibonacci...

    Podemos apreciar este método constructivo en los siguientes dibujos:

La espiral de Fibonacci se dibuja uniendo mediante arcos de circunferencias dos vértices opuestos de los sucesivos cuadrados obtenidos.

La proporción áurea o "el número de oro"  .

El rectángulo áureo.

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial a travez de un arco de circunferencia (como se muestra en la figura) de esta manera obtenemos el lado mayor de un rectángulo.

Si el lado del cuadrado vale   unidades, es claro del teorema de Pitágoras (ver

siguiente figura) que el lado mayor del rectángulo vale   por lo que la

proporción entre los dos lados es   (nuestro número de oro).

Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco,  etc...).