Las Matemáticas y La Belleza Jose Galo
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LAS MATEMÁTICAS EN LA BELLEZA Y LA BELLEZA DE LAS MATEMÁTICAS INTRODUCCIÓN Nuestro entorno físico y conceptual tiene un alto nivel de complejidad. Para abordar su estudio necesitamos modelar la realidad extrayendo aquellos parámetros que sean significativos, para su análisis, y a la vez que sean suficientes para poder obtener conclusiones. El uso de modelos simples, con pocos parámetros, simplifica la realidad y el estudio. La consideración de parámetros adicionales mejora el modelo, nos acerca a la realidad, pero aumenta la complejidad del análisis. El equilibrio coste beneficio depende de los objetivos buscados. En esta unidad didáctica se busca introducir al alumno en la investigación matemática, guiándole en la elaboración de un modelo matemático de un concepto: "la belleza" (entre comillas, pues ¿qué es la belleza?). Para ello nos basamos en una realidad física, tangible, que se manifiesta en diferentes soportes o agentes portadores de belleza, como son la figura humana representada en esculturas, pinturas o fotos, y los edificios arquitectónicos. La introducción de una razón o cociente de dos medidas, la proporción, nos da la base matemática del modelo, es decir, introducimos "Las Matemáticas en la Belleza". El análisis de las propiedades de la semejanza de rectángulos nos permitirá comprender el modelo matemático y constractarlo con la realidad, nos conducirá a conocer sus limitaciones y sus virtudes, es decir, experimentaremos "la Belleza de las Matemáticas". Y a partir de la compresión, obtendremos nuevas conclusiones y nos plantearemos nuevas cuestiones, que nos llevarán a modelos más complejos. Usaremos el conocimiento para conocer. Aprenderemos a aprender. Ampliación, bibliografía OBJETIVOS • Introducir la necesidad de efectuar un análisis matemático, en particular geométrico, para tratar de dar respuesta a un problema estético: ¿Por qué me gusta más o es más bonito un edificio que otro? ¿Qué hace que un cuerpo sea más bello que otro? Necesidad de un modelo matemático. • Comprobar como el conocimiento matemático puede dar y da respuesta a problemas de nuestra realidad física cotidiana e incluso a aspectos relacionados con conceptos abstractos como la belleza. Mostrar como las matemáticas ayudan y permiten una explicación racional de nuestro entorno. • Semejanza de rectángulos. Propiedades de los rectángulos semejantes.
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Filosofia delas matemáticas.
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LAS MATEMÁTICAS EN LA BELLEZA
Y
LA BELLEZA DE LAS MATEMÁTICAS
INTRODUCCIÓN
Nuestro entorno físico y conceptual tiene un alto nivel de complejidad. Para abordar su estudio necesitamos modelar la realidad extrayendo aquellos parámetros que sean significativos, para su análisis, y a la vez que sean suficientes para poder obtener conclusiones.
El uso de modelos simples, con pocos parámetros, simplifica la realidad y el estudio. La consideración de parámetros adicionales mejora el modelo, nos acerca a la realidad, pero aumenta la complejidad del análisis. El equilibrio coste beneficio depende de los objetivos buscados.
En esta unidad didáctica se busca introducir al alumno en la investigación matemática, guiándole en la elaboración de un modelo matemático de un concepto: "la belleza" (entre comillas, pues ¿qué es la belleza?). Para ello nos basamos en una realidad física, tangible, que se manifiesta en diferentes soportes o agentes portadores de belleza, como son la figura humana representada en esculturas, pinturas o fotos, y los edificios arquitectónicos.
La introducción de una razón o cociente de dos medidas, la proporción, nos da la base matemática del modelo, es decir, introducimos
"Las Matemáticas en la Belleza".
El análisis de las propiedades de la semejanza de rectángulos nos permitirá comprender el modelo matemático y constractarlo con la realidad, nos conducirá a conocer sus limitaciones y sus virtudes, es decir, experimentaremos
"la Belleza de las Matemáticas".
Y a partir de la compresión, obtendremos nuevas conclusiones y nos plantearemos nuevas cuestiones, que nos llevarán a modelos más complejos. Usaremos el conocimiento para conocer. Aprenderemos a aprender.
Ampliación, bibliografía
OBJETIVOS
• Introducir la necesidad de efectuar un análisis matemático, en particular geométrico, para tratar de dar respuesta a un problema estético: ¿Por qué me gusta más o es más bonito un edificio que otro? ¿Qué hace que un cuerpo sea más bello que otro? Necesidad de un modelo matemático.
• Comprobar como el conocimiento matemático puede dar y da respuesta a problemas de nuestra realidad física cotidiana e incluso a aspectos relacionados con conceptos abstractos como la belleza. Mostrar como las matemáticas ayudan y permiten una explicación racional de nuestro entorno.
• Semejanza de rectángulos. Propiedades de los rectángulos semejantes.
• Rectángulos recíprocos. Construcción gnómica.• Análisis de la proporción en general y, en particular, de la proporción áurea, de la
proporción cordobesa y de la raíz cuadrada de dos.• Aplicaciones de las proporciones anteriores.
• Extensión del modelo a dimensiones superiores.
José R. Galo Sánchez
© Ministerio de Educación y Ciencia, Año 2004
Las Matemáticas en la Belleza
Introducción al modelo matemático en la figura humana
1. La Belleza en la escultura prehistórica
Actividad 1.1 Establezco mi orden de belleza
• Observa las siguientes esculturas prehistóricas que representan figuras femeninas denominadas "Venus".
• Anota en tu cuaderno en orden decreciente de belleza (obviamente según tu opinión) los nombres de cada una de ellas.
• No olvides qué Venus es la que consideras más bella.
Venus de Savignano Venus de Willendorf Venus de Lespugue
Venus de Monpazier
Venus de Dolni Vestonice Diosa de la regeneración
Diosa neolítica egipcia Venus de Laussel Venus bastón
Actividad 1.2 Reflexiono sobre mi orden de belleza
• ¿Que características o qué rasgos han influido en mi elección?• ¿Qué aspectos me influyen y hacen que algo lo considere bello o feo?
• ¿Hay algún aspecto que sea objetivo, que sea medible?
2. La Belleza en la escultura clásica Actividad 2.1 Establezco de nuevo mi orden de belleza
• Observa las siguientes esculturas clásicas femeninas.• De nuevo anota en tu cuaderno en orden decreciente de belleza los nombres
de cada una de ellas.
• No olvides cual es la que consideras más bella.
Dama de Auxerre Venus Capitoline Venus de Milo
Artemis Cariátides Afrodita de Cnido Actividad 2.2 Vuelvo a reflexionar sobre mi orden de belleza
• ¿Que características o qué rasgos han influido ahora en mi elección?• ¿En qué difieren o coinciden con la elección y reflexión efectuada en la
actividad 1.2?
• ¿Hay algún rasgo identificador objetivo que me induzca a preferir una escultura frente a otra?
José R. Galo Sánchez
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2004
Las Matemáticas en la Belleza
Introducción al modelo matemático en la arquitectura
3. La Belleza en la arquitectura
Actividad 3.1 Establezco mi orden de belleza arquitectónico
• Observa los siguientes arcos y edificios arquitectónicos correspondientes a diferentes épocas.
• Anota en tu cuaderno en orden decreciente de belleza (obviamente según tu opinión) los nombres de cada uno de ellos.
• No olvides qué arco o edificio es el que consideras más bello.
Arco de la Defensa de París Arco Bara de Tarragona Arco L'Etoile de París
Partenón de Atenas Puerta de Alcalá de Madrid El Escorial (Madrid)
Arco Triunfo de Madrid
José R. Galo Sánchez
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2004
La proporción como canon de belleza
Introducción al modelo matemático
4. La proporción como canon de bellezaActividad 4.1 La proporción o razón de proporcionalidad. Un indicador objetivo.
• Observa las esculturas prehistóricas usando un filtro o lente matemática. • Observa las esculturas clásicas usando el mismo filtro matemático.• Observa los edificios usando el mismo filtro matemático.
Como has podido observar la introducción de un parámetro o medida nos permite
efectuar comparaciones y mediante el análisis reflexivo deducir y poder extraer conclusiones.
Hemos establecido un primer modelo o canon de belleza. Como todo modelo puede ser discutible y perfeccionable, pero se tiene una base de estudio que será necesario constractar con la realidad. Estamos usando el método científico.
Actividad 4.2 Determino mi canon de belleza.
• Haz la tabla de la razón de proporcionalidad correspondiente al orden de belleza que estableciste en la actividad 1.1 (esculturas prehistóricas) ¿Cual es la razón correspondiente a tu venus prehistórica más bella?
• Has lo mismo para el orden establecido en la actividad 2.1 (esculturas clásicas) ¿Cual es la razón correspondiente a tu escultura clásica más bella?
• ¿Ha coincidido (aproximadamente) la razón de tu venus prehistórica con la clásica? ¿Tienes un canon de belleza propio o eres volubre en tus gustos?
• ¿Qué canon has seguido en los edificios (actividad 3.1)?
Actividad 4.3 Comparo mi canon de belleza con el clásico.
En las esculturas clásicas y en los edificios hemos identificado dos cánones o proporciones significativas:
o la proporción áurea, armónica o divinao la proporción cordobesa o humana
• Compara tu canon de belleza con el canon clásico ¿Eres "divino", "humano" o de otra especie?
José R. Galo Sánchez
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2004
La proporción como canon de belleza
Introducción al modelo matemático
4. La proporción como canon de bellezaActividad 4.1 La proporción o razón de proporcionalidad. Un indicador objetivo.
• Observa las esculturas prehistóricas usando un filtro o lente matemática. • Observa las esculturas clásicas usando el mismo filtro matemático.• Observa los edificios usando el mismo filtro matemático.
Como has podido observar la introducción de un parámetro o medida nos permite efectuar comparaciones y mediante el análisis reflexivo deducir y poder extraer conclusiones.
Hemos establecido un primer modelo o canon de belleza. Como todo modelo puede ser discutible y perfeccionable, pero se tiene una base de estudio que será necesario constractar con la realidad. Estamos usando el método científico.
Actividad 4.2 Determino mi canon de belleza.
• Haz la tabla de la razón de proporcionalidad correspondiente al orden de belleza que estableciste en la actividad 1.1 (esculturas prehistóricas) ¿Cual es la razón correspondiente a tu venus prehistórica más bella?
• Has lo mismo para el orden establecido en la actividad 2.1 (esculturas clásicas) ¿Cual es la razón correspondiente a tu escultura clásica más bella?
• ¿Ha coincidido (aproximadamente) la razón de tu venus prehistórica con la clásica? ¿Tienes un canon de belleza propio o eres volubre en tus gustos?
• ¿Qué canon has seguido en los edificios (actividad 3.1)?
Actividad 4.3 Comparo mi canon de belleza con el clásico.
En las esculturas clásicas y en los edificios hemos identificado dos cánones o proporciones significativas:
o la proporción áurea, armónica o divinao la proporción cordobesa o humana
• Compara tu canon de belleza con el canon clásico ¿Eres "divino", "humano" o de otra especie?
José R. Galo Sánchez
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2004
Rectángulos recíprocos
Gnomon
Fundamentos del modelo matemático
9. Rectángulo asociado a un polígono regularDefinición: "Un polígono se dice que es regular si tiene todos sus lados y ángulos iguales".
Observación 1: Todo polígono regular puede inscribirse en una circunferencia.
Observación 2: A cada polígono regular podemos asignarle un rectángulo cuyos lados son el radio de la circunferencia circunscrita y el lado del polígono.
9.1 Razón de los rectángulos asociados a polígonos
• Varía el parámetro N, correspondiente al número de lados de un polígono regular y anota la razón del rectángulo asociado.
• ¿Por qué inicialmente decrece la razón y es creciente posteriormente?• ¿Cómo se denomina el rectángulo correspondiente al cuadrado (N=4)?• ¿Cómo se denomina el rectángulo correspondiente al hexágono (N=6)?• ¿Cómo se denomina el rectángulo correspondiente al octógono (N=8)?
• ¿Cómo se denomina el rectángulo correspondiente al decágono (N=10)?
9.2 ¿Está asociado "tu rectángulo" a algún polígono?
• ¿Todo rectángulo está asociado a un polígono regular? Justifica tu respuesta.
• ¿Qué rectángulos asociados a polígonos tienen una razón más proxima a "tu rectángulo"?
9.3 Determinación analítica de proporciones.
• Determina analíticamente, para un número arbitrario de lados, la longitud del lado de un polígono regular en función del radio de la circunferencia circunscrita a él.
• A partir de la expresión anterior halla la razón entre el radio y el lado del
decágono regular o proporción áurea.
• A partir de dicha relación halla la razón entre el radio y el lado del octógono regular o proporción cordobesa.
10. Rectángulos semejantes recíprocosDefinición: "Dado un rectángulo diremos que un rectángulo semejante a él es su recíproco si el lado menor del primero es el lado mayor del segundo o viceversa"
10.1 Recíproco de un rectángulo.
• Fija una razón o proporción y desplaza el punto P hasta que obtengas otro rectángulo con igual razón.
•
Ayúdate con los pulsadores inferiores para ajustar la posición de dicho punto y alcanzar la razón buscada
¿Cuántos rectángulos son recíprocos de uno dado?
10.2 Ángulo entre la diagonal de un rectángulo y la de su recíproco
• ¿Qué ángulo forma la diagonal de un rectángulo y la de su recíproco?• ¿Cual es el procedimiento para dibujar el recíproco de un rectángulo?
• ¿Dibuja los rectángulos asociados a los polígonos de 4, 6, 8 y 10 lados y determina sus recíprocos?
Teoría del gnomon Observación 1: La teoría del gnomon o de la expansión gnómica tiene su base en la frase de Aristóteles: "Hay ciertas cosas que no sufren alteración salvo en magnitud, cuando crecen ..."
Observación 2: El crecimiento gnómico se manifiesta en los tejidos más consistentes de los animales como los huesos, dientes cuernos o conchas. El crecimiento es acumulativo manteniendo la forma (semejanza) frente a los tejidos blandos que son desechados y reemplazados.
Definición: "El gnomon de un rectángulo es otro que añadido al primero genera otro rectángulo semejante al inicial".
Observación 3: El gnomon de un rectángulo es el rectángulo necesario para obtener su recíproco
10.3 Gnomon de un rectángulo
• Halla el recíproco del rectángulo raiz cuadrada de dos ¿Cual es su gnomon? El gnomon de este rectángulo tiene una
aplicación técnica muy importante, ¿cuál es? Coge un papel, mide sus lados y determina su razón. ¿qué relación
tiene esto con la pregunta anterior? Indica un procedimiento gráfico rápido para obtener el recíproco del
rectángulo raiz de dos.• Halla el recíproco de un cuadrado. Determina su gnomon.
• Halla el recíproco del rectángulo áureo. ¿Cual es su gnomon? ¿Si dispones de un compás podrías hallar el recíproco de un rectángulo áureo? ¿Qué
propiedad aplicas?
11. Construcción gnómicaObservación: Dado un rectángulo se puede repetir indefinidamente su construcción gnómica
11.1 Construcción gnómica
• Selecciona una razón y el número de rectángulos recíprocos que deseas dibujar. Mediante la tecla "Animar" podrás observar la construcción gnómica.
11.2 Identificación de rectángulos áureos
• Observa la pintura de Dalí que se adjunta e identifica los rectángulos áureos.
• Mira bien el anexo a la taza de cinco metros de longitud que, en el título de la obra, el autor denomina ¿inexplicable? ¿Consideras que es inexplicable? o como buen crítico matemático eres capaz de darle una razonada explicación.
• ¿Todavía no te has construido un cartabón áureo y otro cartabón cordobés? Recuerda que con ellos podrás identificar rápidamente los rectángulos áureo y cordobés. Ahora es el momento oportuno para dar explicaciones.
Construcción gnómica con el
rectángulo áureo
Dalí
"Semitaza gigante volando con anexo
inexplicable de cinco metros de longitud"
En la figura adjunta sobre
la pintura original se han superpuesto los
rectángulos (cuyos lados son de color rojo) y que
están identificados por las letras
desde la A a la N.
Podemos observar como el genio de Dalí
usa la construcción gnómica del rectángulo
áureo buscando obtener la proporción divina, la belleza
autogenerando belleza.
Los rectángulos áureos son: ABCD, ABEF, AGHF, IJKF, JHKN, MJNL
11.3 Identificación de rectángulos cordobeses
• Observa la pintura de Rothko que se adjunta e identifica los rectángulos cordobeses.
• Compruébalo con tu cartabón cordobés
Construcción gnómica con el
rectángulo cordobés
Mark Rothko, 1956. Naranja y amarillo
¿Qué indujo al pintor a utilizar esa proporción y no la áurea?
¿Divino versus humano?
José R. Galo Sánchez
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2004
La proporción cordobesa o humana
Introducción a la proporción cordobesa
La proporción humana, la razón cordobesa, el rectángulo cordobés y el número cordobés.De nuevo acudimos a las palabras de R. de la Hoz en su artículo "La proporción cordobesa", si bien aquí extraemos y reducimos los expresado allí:
En el siglo noveno despues de Cristo "Los Elementos" de Euclides fue traducido en las escuelas de Córdoba.
Córdoba fue depositaria y única usufructuaria del tesoro euclidiano durante la Edad Media.
Esta situación de privilegiado monopolio terminó por una de las primeras operaciones de espionaje científico que se tiene memoria. En 1120, el británico Adelardo de Bath, previamente adiestrado en el idioma, usos y costumbres y disfrazado de estudiante hispano-árabe, logró introducirse en nuestras escuelas y sacar una copia de "Los Elementos" que fue publicada en 1472.
Hasta 1535, año en que se descubre el texto griego, Europa no cuenta más que con esta traducción árabe.
Con estos antecedentes, era razonable pensar que si en alguna arquitectura pre-renacentista se había empleado racionalmente la proporción áurea, este lugar no podía ser otro que Córdoba.
En unas pruebas realizadas en 1951 en la Diputación de Córdoba, se realizó un test a estudiantes de arquitectura en que se pedía que dibujaran el rectángulo ideal, dando a priori una mayor puntuación a quien racional o instintivamente dibujara el áureo, se detectó que la mayoría había trazado uno, menos esbelto que el armónico, con la proporción aproximada de 1,3. El hecho era suficientemente significativo para ser investigado. La repetición del test con personas nacidas o residentes en Córdoba conducía reiteradamente a esa proporción. La frecuencia de la proporción 1,3 desbordó la debida al cálculo de probabilidades.
Bien podía suceder que si bien el hombre ideal davinciano debería ser de proporciones divinas, el hombre cordobés es según sus propias características étnicas humano.
El estudio antropométrico en el tallado militar y en las figuras de relieves, esculturas o mosáicos romanos condujo a que los cordobeses romanos han gustado de proporcionar sus figuras humanas según la constante 1,3.
Mosaico de Alcolea (Córdoba)Mosaico de Alcolea (detalle)
proporción humana o cordobesa
Esculturas romanas, museo arqueológico de Córdoba
proporción humana
Adan y Eva. Sarcófago. Huerta de la Reina
proporción humana
Efectuado un rastreo en los edificios cordobeses se detectó dicha proporción. Nos encontramos ante una nueva invariante en la arquitectura cordobesa: la proporción 1,3.
Observemos este hecho en los edificios adjuntos y los dibujos en que se manifiesta una trama de
diagonales correspondientes a rectángulos cordobeses.
Fachada del Convento de Capuchinos en Córdoba
Interior de la Mezquita de Córdoba
Puerta de Alhaken II de la Mezquita de Córdoba
Mihrab de la mezquita de Córdoba
Recordando que la proporción áurea es la existente entre el lado y el radio del decágono, que la cuadradad es la misma relación referida al exágono y que la raíz de dos es la resultante del cuadrado, se concluye que la serie de polígonos regulares de 10, 6 y 4 lados, origen de las proporciones conocidas quedaría completa con la inclusión del octógono:
resultando un número irracional prácticamente igual al determinado empíricamente.
De esta manera la proporción nacida de una específica sensibilidad estética, quedó reconfortantemente instalada en la mística de los números: concretamente en el 8 y, para ser más exactos, en la matriz del octógono regular.
Y Córdoba no es ajena al uso del octógono en la construcción. Es más, parece como si sus arquitectos encontrasen una especial satisfacción en esta figura geométrica. La solución constructiva de la universalmente llamada "bóveda cordobesa" que se inventa en la mezquita, tiene planta octogonal.
Bóveda cordobesa en el ante-Mirahb de la Mezquita de Córdoba
Uso del octógono en la bóveda del Mihrab de la Mezquita de Córdoba
Y efectivamente como hemos observado, y ya comentamos anteriormente, el uso de la proporción cordobesa es un elemento básico en la arquitectura califal cordobesa y en la posterior, pero también se refleja en construcciones anteriores como en las Pirámides de Egipto o en mundos "no siempre conocidos" como en las pirámides de Teotihuacan.
Aparece en templos cristianos (iglesias-catedrales), judíos (sinagogas) y musulmanes (mezquitas).
Tanta coincidencia atemporal, universal e intercultural no puede ser fruto de la aleatoriedad ("No creo que Dios juegue a los dados con el mundo ", decía A. Einstein), sino de un orden natural, un orden natural humano.
Proporción humana versus proporción divina
Proporción humana versus proporción divina
Proporción cordobesa versus proporción áurea
Rectángulo cordobés versus rectángulo áureo
En el dibujo anterior observa como la Venus humana adquiere la belleza divina mediante el uso de coturnos (plataforma con tacones).
En el teatro griego cuando un actor o actriz representaba a una divinidad siempre usaba coturnos.
El rectángulo cordobés y el octógono regular: Observa como el rectángulo cordobés se obtiene a partir del radio y el lado del octógono regular.
Construcción gnómica del rectángulo cordobés: Observa como el rectángulo cordobés se obtiene por sucesivas divisiones manteniendo su semejanza. Recuerda el cuadro de Rothko.
José R. Galo Sánchez
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2004
La proporción raiz cuadrada de dos
Introducción a la proporción
La proporción raiz cuadrada de dosEl rectángulo construido a partir del lado de un cuadrado y del radio de la circunferencia cirscunscrita a él, nos conduce a la proporción :
Construcción gnómica del rectángulo áureo: Observa como el rectángulo se obtiene por sucesivas divisiones manteniendo su semejanza.
Mira atentamente ¿cual es el gnomon de este rectángulo?
La norma DIN: La norma DIN es una norma internacional que marca las directrices en cuanto a formatos y tamaños en los diferentes impresos. Como toda normalización establece una estandarización que permite el desarrollo de procesos industriales y de diseño en todos los medios que necesitan el uso del papel.
Observa la siguiente imagen donde se representa los diferentes formatos desde el denominado A-1 al A-6. ¿Te recuerda algo?
Todos los formatos se obtienen a partir del denominado A0 por divisiones sucesivas donde el lado mayor es dividido por 2.
• ¿Cual es la proporción del rectángulo A0?• Al dividir el lado mayor por dos obtenemos un
rectángulo A1. ¿Que proporción tiene? ¿son semejantes?
Fíjate que el proceso de obtención es muy sencillo pues basta doblar el papel por la mitad para obtener un rectángulo semejante.
¿Por qué estimas que en un entorno industrial se adopte este stardard?
¿Por qué es necesario que los diferentes formatos sean todos rectángulos semejantes? (Piensa en una fotocopiadora)
¿Qué puedes concluir al observar la imagen siguiente?:
José R. Galo Sánchez
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La proporción espacial
Contraste y mejora del modelo
12. La proporción bidimensional, tridimensional y bidimensionalObservación: La razón o proporcionalidad que hemos considerado hasta ahora no es más que un modelo bidimensional (comparamos dos dimensiones, dos medidas).
Actividad 12.1 Modelo del canon bidimensional.
• Observa las fotografías siguientes y, ya como experto, establece un orden de belleza.
• Halla el canon de belleza de cada una de ellas ¿qué observas? (compruébalo).
Actividad 12.2 Modelos o cánones alternativos, tridimensional, bidimensional.
• ¿Qué te sugiere el resultado que has obtenido anteriormente?• ¿Introducimos una tercera medida? ¿Cual?• ¿Como las relacionamos? ¿Cual sería el número áureo tridimensional?
¿Cual sería el ortoedro áureo?• ¿Es suficiente o necesitaremos más medidas?
• Busca algunas referencias y documentos en la red que te ayuden, por ejemplo ("the plastic number", "Van der Laan", "Le Corbusier" o "Padovan")
Observación: Aquí tienes una primera ayuda:
• En la figura de la izquierda podemos observar una propiedad que verifica un rectángulo áureo "horizontal" y su correspondiente "vertical".
• En la figura de la derecha se representa una extensión tridimensional de lo que podríamos definir como ortoedro áureo.
José R. Galo Sánchez
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2004
