Las Matemáticas Están en Todas Partes

A diferencia de lo que sucede en países con economías robustas y altos ni-

veles de desarrol lo, en México aún se t iene que justif icar la importancia

y pertinencia de capacitarnos mucho mejor para uti l izar las matemáticas .

Todavía se está muy lejos de integrarnos cabalmente a la cultura de la l la-

mada sociedad del conocimiento.

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maginemos que un cierto distrito electoral tiene un padrón de mil votantes yque, como resultado de las elecciones, se determinará quién será el representanteo diputado de dicho distrito en el Congreso Legislativo. Vamos a suponer que losvotantes pueden elegir entre tres candidatos, y que el día de las elecciones los

resultados fueran así: el diputado del partido A obtuvo 331 votos, el del partido B, 332 votos, y el del partido C, 333 votos. Además, hubieron cuatro votos anulados.

Es claro que si los votos anulados hubieran sido válidos y emitidos a favor delpartido A, éste habría ganado, o que si hubieran sido válidos y a favor del B, el Bhabría ganado. ¿Quién va a representar a este distrito en el Congreso? ¿El candi-dato del partido C, que obtuvo la mayoría absoluta? ¿Por qué habría de ser éste unbuen representante de toda la población si solamente obtuvo un tercio del total devotos? ¿No sería esto un “virtual empate”? ¿Qué alternativa habría para balancearla representación de esta población en el Congreso: permitir que los tres seannombrados diputados representantes de dicho distrito, apelando a un principio de-mocrático elemental?

Un problema de esta naturaleza tendría que haber sido considerado o antici-pado en las leyes electorales, y deberían ofrecerse salidas democráticas ante una talsituación. En este ejemplo se antoja razonable llevar a los tres contendientes de este distrito electoral al Congreso. De hecho, hacerlo de esta manera es una fi-gura que existe en muchas leyes electorales, y así se declara que los candidatos de

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Adol fo Sánchez Va lenzue lannnnnnn

en todas partes

están

Lasmatemáticas

los partidos A y B, si bien no obtuvieron una mayoríaabsoluta, serán miembros del Congreso y fungirán comorepresentantes de su distrito en calidad de diputados de representación proporcional o, como se les conoce másampliamente en México, plurinominales. ¿Cuántos dipu-tados plurinominales son necesarios? En muchas situa-ciones puede ser que ninguno; pero eso, a la luz delejemplo dado, parece que lo tendrían que “decidir” laselecciones mismas, según los resultados y de acuerdocon los intervalos y criterios contemplados en las leyespara asignar plurinominales.

Este ejemplo, frente a las elecciones presidencialesde julio de 2012 en nuestro país, dispara sin mucha di-ficultad otra situación hipotética concebible: que comoresultado de las votaciones para elegir presidente deentre cuatro candidatos posibles, en un padrón de, su-pongamos, 70 millones de votantes, tres de ellos, di-gamos A, B y C, terminen con aproximadamente 20millones de votos a su favor y que las diferencias entrecualesquiera dos de ellos sean muy pequeñas –del or-den de 23 000, lo que representa la tercera parte de un0.1% del total de votantes– y que además el número devotos anulados sea del orden de 70 000. Está claro que,en el caso de las elecciones para presidente, la salida dedeclarar un virtual empate y llevar a los tres a la presi-

dencia no parece razonable. Sin embargo, nuevamen-te, una situación de esta índole debería estar previstaen las leyes electorales para ofrecer salidas democráti-cas viables y satisfactorias.

Decidir ante un tribunal electoral quién de los tressería el ganador es solamente una de muchas posibili-dades. Por ejemplo, ¿es mejor dejar dicha decisión a untribunal que permitir una nueva votación de todo elpadrón para decidir entre los tres contendientes vir-tualmente empatados? Una pregunta tan inocente co-mo ésta comenzará a disparar muchas otras, y de entreellas se podrán extraer diferentes ideas para proponersalidas democráticas viables y satisfactorias que debe-rían estar contempladas en las leyes.

Para los científicos, cada una de esas salidas es sus-ceptible de estudiarse desde muchos puntos de vista.Los matemáticos cuentan con muchos enfoques, comola optimización y la teoría de juegos, por medio de loscuales se podrían abordar a priori algunas de las posibi-lidades más inmediatas. Hay mucho trabajo interdisci-plinario por organizar y coordinar con el fin de llevarante los legisladores una propuesta de ley que con todorigor haya sido previamente estudiada y probada, lo queen este contexto puede significar que haya sido mode-lada y simulada en un marco que incluye, evidente-mente, un trabajo matemático importante. Entre otrascosas, lo que esto requeriría es que los legisladores pu-dieran nutrirse de los beneficios del conocimiento cien-tífico y tecnológico antes de considerar la aprobaciónde una ley como la de este ejemplo.

El punto a resaltar es que hay matemáticas invo-lucradas en muchos niveles a lo largo incluso de un ru-tinario proceso electoral que a la ciudadanía le dicemucho de muchas cosas, pero que no le habla de la ma-temática que podría estar detrás o que mucho ayudaríasi lo estuviera. Desde un hipotético estudio que pudohaberse hecho a priori sobre las posibles “mejores sa-lidas” o alternativas que deberían ofrecer las leyes antecircunstancias extremas y especiales, hasta los mues-treos, conteos rápidos y transmisión en línea de lastendencias de los votantes durante el día de las elec-ciones. Además, resulta muy importante observar losefectos del flujo moderno de información que tienelugar a través de las redes sociales por su capacidad deinfluir instantáneamente en muchas opiniones y cam-


Ciencia y humanismo

biar tendencias o producir movimientos o manifesta-ciones públicas importantes.

Éste es un buen momento para referirme concreta-mente a la reunión general Ciencia y humanismo, orga-nizada por la Academia Mexicana de Ciencias en enerode 2012, y dentro de la cual se realizaron diferentes ci-clos de conferencias en las diversas áreas de las cien-cias y las humanidades. En la sección dedicada a lasmatemáticas, por ejemplo, el motivo temático fue pre-cisamente el de transmitir el mensaje de que las mate-máticas están involucradas en todas partes y a todos losniveles de la vida diaria. Así, por ejemplo, se hizo pa-tente que “hay simetría en todas partes”, “hay geometríaen todas partes”, “hay complejidad en todas partes”,“hay caos en todas partes”, como ocurre prácticamentecon todas las ramas de la matemática básica.

“Las matemáticas están en todas partes” fue el títuloque se le dio a la serie de ocho conferencias especiali-zadas en matemáticas dentro del referido congreso. Lascharlas versaron sobre diversos temas:

n Mapas cerebrales, una aplicación de las técnicasanalíticas y geométricas de la variable complejaal estudio de la topografía del cerebro humano,a cargo de Michael Porter, del Centro de Inves-tigación y Estudios Avanzados (Cinvestav).

n Aventuras en hiperbolia, una exploración visualde nuestra percepción en un mundo en el que lageometría es hiperbólica y no euclidiana, a car-go de Michael Barot, de la Universidad Nacio-nal Autónoma de México (UNAM; véase su artículo en este número de Ciencia).

n Caos en todas partes, una explicación de lo fácily común que puede resultar la evolución hacia eldesorden y la aleatoriedad en las leyes de la na-turaleza, a cargo de Renato Iturriaga, del Centrode Investigación en Matemáticas, A. C. (CIMAT).

n Coreografías de la mecánica celeste, una visualiza-ción de los movimientos posibles, periódicos yarmoniosos, que resultan de resolver las ecua-ciones de la interacción gravitacional newto-niana en geometrías como la habitual o concierta curvatura característica, a cargo de Ernes-to Pérez Chavela, de la Universidad AutónomaMetropolitana (UAM).

n Simetría en todas partes, una exposición de cómomuchas propiedades geométricas y leyes de la fí-sica se organizan bajo esquemas que, en sus com-ponentes más sencillas, partículas o elementos,están basados en simetrías o arreglos simétricos, acargo de Javier Bracho Carpizo, de la UNAM.

n Geometría tropical, una exploración guiada sobrelas implicaciones geométricas que resultan cuan-do las operaciones usuales de sumar y multiplicarnúmeros reales se reemplazan, respectivamente,por el mínimo de las cantidades involucradas(suma tropical) y por su suma ordinaria (multi-plicación tropical), a cargo de Jacob Mostovoy,del Cinvestav.

n Complejidad en todas partes, una presentación decómo el comportamiento colectivo de sistemas(poblaciones, agregados de muchas partículas, oelementos o componentes) puede modelarse ysimularse a partir de principios comprensiblesque rigen la interacción inmediata y más básicade sus partes, a cargo de Alejandro Frank, de laUNAM.

n Redes científicas y sociales, sobre la importancia decomprender y modelar matemáticamente el com-portamiento y la dinámica de las redes sociales, a cargo de José Antonio de la Peña, del CIMAT.

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• Las matemát icas es tán en todas partes

En particular, la ponencia del doctor De la Peñaevidenció cómo las matemáticas pueden mostrarnos,por ejemplo, que el estudio la diseminación de opinio-nes a través de Internet y de las redes informáticasviene al caso en el marco del ejemplo de los diputadosplurinominales: uno puede encontrar en YouTube unvideo de un conocido comentarista y conductor de unnoticiero de televisión en el que se expresa vehemen-temente en contra de la existencia de los diputadosplurinominales (Ferriz de Con, 2012).

De aquí surge la reflexión de que ahora, a posteriori,puede resultar muy difícil explicarle a la población –yen especial al sector de seguidores del noticiero con-ducido por este comentarista– la potencial importan-cia de contar con alternativas como la de los diputadosde representación proporcional. El punto es que, auncentrándose en el ejemplo hipotético expuesto en elprimer párrafo de este texto, con los datos numéricosmanejados para que el argumento resulte elocuente,una vez que un popular comunicador de los medios ma-sivos emite una opinión, ésta influye tan fuertementeen la opinión pública que intentar cambiarla apelandoa una información más completa o mejor fundamenta-da, puede ser prácticamente imposible, independien-temente de contar con evidencia documentada –comoen este ejemplo– de que el comentarista omitió tocararistas relevantes del tema sobre el que opinó.

En una declaración reciente, José Antonio de laPeña señaló también que “la información vasta e inte-ligente es quizá la mejor herramienta para que la so-ciedad pueda asegurar un futuro de libertad y demo-cracia”, y que “una buena educación en matemáticaspuede contribuir a la creación de ciudadanos críticos yapoyar los ideales democráticos” (La jornada, jueves 31 de mayo de 2012). Cabe mencionar que estos pun-tos de vista llevan ya mucho tiempo expresándose endiferentes países con el fin de influir en las directricesque deben seguir las políticas de Estado en materia deeducación en general, y en particular del aprendizajede las matemáticas.

Un ejemplo paradigmático es quizás el de MogensNiss, de la Universidad de Roskilde, en Dinamarca.Hace más de diez años él estuvo a la cabeza de un granproyecto nacional llamado Mathematical competencies


Ciencia y humanismo

Un país que aspira

a desarrollar

tecnología que

resuelva problemas y que mejore la vida

de sus ciudadanos debe prestar atención

al fortalecimiento de las ciencias básicas

y a la formación

de profesionales de

la matemática

and the learning of mathematics: The Danish Kom project,cuyo objetivo era cambiar el enfoque educativo de lasmatemáticas a fin de que en lugar de centrar la atenciónen el aprendizaje de temas específicos pudiera privi-legiarse el desarrollo de habilidades como el pensa-miento lógico, la abstracción, la modelación y el plan-teamiento y resolución de problemas, entre otras. Enopinión de Mogens Niss, “la democracia es una bro-ma si los ciudadanos son analfabetos en matemáticas”(Niss, s/f).

Otro punto sobre el que hay que llamar la atenciónes el hecho de que desde hace diez años se haya abor-dado seriamente en Dinamarca el problema de la en-señanza de las matemáticas bajo una iniciativa de lamayor importancia nacional. Desde hace años tam-bién, otros países en el mundo se comenzaron a movercon gran velocidad y altísima prioridad para concertarinversiones conjuntas, gubernamentales y privadas, conel propósito de mejorar la enseñanza de las matemáti-cas en particular y desarrollar los potenciales talentosa fin de conseguir, en un plazo relativamente corto,más y mejores científicos. En los Estados Unidos, pormencionar un ejemplo cercano, la empresa ExxonMobilcomprometió más de 100 millones de dólares en res-paldo de la Iniciativa Nacional en Matemática y Cien-cia del gobierno de ese país (ExxonMobil, s/f).

Un país que aspira a desarrollar tecnología que re-suelva problemas y que mejore la vida de sus ciudada-nos debe prestar atención al fortalecimiento de lasciencias básicas y a la formación de profesionales de la

matemática. México tiene una planta de investigacióncientífica básica muy pequeña aún, y en particular elnúmero de matemáticos activos en investigación o enaplicaciones tecnológicas es preocupantemente redu-cido. Por ejemplo, podemos estimar que hay menos demil matemáticos acreditados por el Sistema Nacionalde Investigadores, lo cual contrasta enormemente conel siguiente dato: en Estados Unidos se gradúan preci-samente cerca de mil doctores al año en matemáticaspuras o aplicadas.

En diversas ocasiones, los matemáticos mexicanoshemos insistido en que nuestra disciplina es una piedrafundacional de las ciencias básicas y una de las princi-pales herramientas de las ciencias aplicadas y las in-genierías. Es un hecho que los países con economíascompetitivas y poseedores de un gran desarrollo tecno-lógico son también los que han mantenido un apoyofirme al desarrollo de sus ciencias básicas; su estrategiaes clara en tanto que obtienen tecnología sólida res-paldada por principios científicos bien fundados. Dehecho, no debe sorprendernos que la matemática res-palde el funcionamiento de prácticamente todos losartefactos e instrumentos con los que interactuamos a diario.

La matemática permite modelar muy diversos fenó-menos y procesos de la realidad; también simular ex-perimentos que podrían ser muy costosos si se llevarana cabo en realidad. Esos modelos y simulaciones facili-tan predecir resultados, tendencias e incluso compor-tamientos humanos que develan patrones colectivos;



éstos, a su vez, pueden resultar determinantes para latoma de decisiones en diversos ámbitos.

Contando con datos adecuados, es posible pronosti-car la manera en que se puede diseminar una enferme-dad como la influenza; es posible pronosticar la produc-ción que tendrá un grupo de yacimientos petroleros, asícomo predecir los movimientos y el comportamientode los mercados, sólo por citar algunos ejemplos. Esmás, se pueden estructurar modelos o anticipar resul-tados, con grandes márgenes de confiabilidad, para to-mar decisiones urgentes o ahorrar costos, aun cuandono se cuente con suficiente evidencia empírica.

Los matemáticos resuelven problemas cuyas solu-ciones ayudan a los tomadores de decisiones a aplicarpolíticas, a tomar medidas, o a corregir rumbos de unamanera científicamente respaldada y tan verídica o con-fiable como resulte la calidad de la información o losdatos empleados para implementar el modelo o simu-lación correspondiente. Piénsese en medidas de sani-dad ante una epidemia, o en estrategias de inversión yrecuperación económica ante una caída de los merca-dos, o en cómo optimizar o limitar la explotación deciertos recursos naturales favoreciendo la renovaciónde los mismos.

Las matemáticas están verdaderamente en todaspartes y detrás de todo lo que vemos, tenemos y hace-mos en el día a día, a pesar de que el grueso de la po-blación no tenga una conciencia clara de ello. Es a basede matemáticas que se desarrollan incontables disposi-tivos o sistemas para ahorrar energía, para ordenar y or-ganizar la circulación de vehículos de todo tipo (comoen puertos marítimos, puertos aéreos, calles de una ciu-dad, transporte colectivo, redes ferroviarias, etcétera),para optimizar todo tipo de líneas de producción o deexplotación de recursos naturales, para predecir di-versas situaciones, desde cambios en los movimientoscomerciales o financieros hasta el comportamiento oevolución de posibles catástrofes naturales como in-cendios, terremotos, tsunamis o epidemias.

Las teorías de las interacciones fundamentales de lafísica, por ejemplo, son producto de modelos matemá-ticos altamente elaborados. Durante mucho tiempo,“física matemática” fue casi un sinónimo de análisismatemático aplicado principalmente al estudio de lasecuaciones diferenciales planteadas por la física teóri-

ca. Ello condujo a una gran depuración de las técnicaspara resolver y analizar el comportamiento de las so-luciones de tales ecuaciones, aunque el papel de la matemática era el de una herramienta para atacar losproblemas planteados por la física.

Sin embargo, en la segunda mitad del siglo XX, ytras el auge de las llamadas teorías de norma (o de Yang-Mills) que han sido el resultado de combinar exitosa-mente las ideas geométricas inspiradas en la teoría dela relatividad con las ideas algebraicas de la mecánicacuántica y la organización de los constituyentes bási-cos de la materia a través de principios de simetría, fueposible llegar a lo que conocemos hoy en día como elmodelo estándar de las interacciones fuertes, débiles yelectromagnéticas. Y a pesar de que algunos elementosde este modelo fueron desarrollados desde la década delos sesenta, algunas predicciones están ahora al alcancede los más elaborados experimentos, como por ejemploevidenciar la existencia del bosón de Higgs, e indirec-tamente el mecanismo de rompimiento espontáneo de la simetría con el que el modelo explica cómo es quelas partículas que median entre dichas interacciones ad-quieren masa y reflejan el comportamiento observado.

Para recapitular, la matemática es importante, yhay matemática detrás de todo: desde lo más funda-


Ciencia y humanismo

mental, hasta lo más aplicado. En México tenemos toda-vía mucho qué apren-der y qué hacer paraapreciar esta activi-dad profesional y ex-plotar apropiadamen-te su gran potencial. Adiferencia de lo que su-cede en países con economías robustas y altos nivelesde desarrollo industrial y tecnológico, en los que la pro-fesión matemática goza de un gran prestigio y recono-cimiento por parte de gobierno y ciudadanos, y en losque existen inversiones e iniciativas importantes quede manera continua fortalecen y hacen avanzar el co-nocimiento en las diferentes ramas de la disciplina, enMéxico aún tenemos que estar justificando hasta elcansancio la importancia y pertinencia de capacitar-nos todos mucho mejor para utilizar la matemática; ya no digamos de invertir en grandes proyectos, sinode cubrir y atender las necesidades más elementales.De hecho, los inversionistas y empresarios mexicanosestán lejos aún de asimilar la importancia de contarcon cuadros de investigación básica y aplicada que for-talezcan y garanticen la sustentabilidad y las bases desus inversiones y empresas; en términos reales estamosmuy lejos de integrarnos cabalmente a la cultura de lallamada sociedad del conocimiento.

Para corregir oportunamente esta situación, resultafundamental contar con una política inteligente ycongruente, con objetivos claros en materia de educa-ción y de desarrollo científico y humanístico, que a lapostre permita conseguir y garantizar una mayor inde-pendencia tecnológica de México, así como activar ydetonar una economía fuerte que garantice sustentabi-lidad y generación de empleos, y que derive en bienes-tar y justicia social.

El gran reto es no dejarpasar más tiempo y atender

esta urgente demanda condeterminación y prime-rísima prioridad. La reu-nión general Ciencia yhumanismo, celebrada a

principios de 2012 poriniciativa de la Academia

Mexicana de Ciencias, nos dio a los matemáticos –como a todos los especialistas de las ciencias y las hu-manidades en México– la oportunidad de poner én-fasis en la importancia de nuestras actividades paracontribuir al futuro próspero, libre y soberano de nues-tra nación.

Adolfo Sánchez Valenzuela es, desde 1988, investigador del

Centro de Investigación en Matemáticas, A.C. (CIMAT). Sus estudios

de licenciatura y maestría fueron en física, y los realizó en la Facul-

tad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México

(UNAM). Hizo su doctorado en el Departamento de Matemáticas

de la Universidad de Harvard (1986). Sus áreas de especialidad son

la geometría diferencial y la teoría de grupos y álgebras de Lie,

con particular interés en sus aplicaciones a la supersimetría.

[email protected]



L e c t u r a s r e c o m e n d a d a sFerriz de Con, Pedro (2012), “No a los plurinominales-

Revolución del intelecto”, cápsula de video, YouTube,6 de marzo. Disponible en <www.youtube.com/watch?v=m4nN9R757Q8>.

Niss, Mogens (s/f), “Mathematical competencies and thelearning of mathematics: the Danish Kom project”,manuscrito. Disponible en <http://w3.msi.vxu.se/users/hso/aaa_niss.pdf>.

ExxonMobil (s/f), “National math and science initiative”,página web. Disponible en <www.exxonmobil.com/Corporate/community_math_nmsi.aspx>.

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