Las Intuiciones de Newton en el Teorema Fundamental del Fundamental del Cálculo

Juan Estrada Medina

Contenido de la plática� Introducción� Dificultades� Antecedentes: Las ideas de los predecesores de

Newton� La noción de representación de las ideas de variación

(Oresme)(Oresme)� Las intuiciones de Newton� Versión temprana de Newton del Teorema Fundamental

del Cálculo� Comparación del enfoque de Newton con respecto a la

solución del problema de las cuadraturas y las tangentes� Conclusiones

Introducción

Algunas dificultades recurrentes:a) La inhabilidad para identificar el cambio

de una variable respecto a la variación con otra variable con la cual se de una variable respecto a la variación con otra variable con la cual se encuentra relacionada.

b) Entender y representar los diferentes tipos de variaciones o cambios que muestran ciertas cantidades.

Dificultades

c) Confundir la función con su razón decambio (derivada).

d) Entender que la ordenada de unaEntender que la ordenada de unafunción cuantifica el cambio de laacumulación del área bajo una curva(idea clave que subyace en El TeoremaFundamental del Cálculo).

Dificultades

� Como los alumnos tienen problemas en elentendimiento de dichos conceptos, tratandesesperadamente de memorizar ladesesperadamente de memorizar lamayor cantidad de las técnicas o métodosy fórmulas del cálculo que estáncodificadas algebraicamente.

Dificultades

� En este contexto el álgebra se consideracomo el medio principal para acceder alas ideas básicas del Cálculo; así aquellalas ideas básicas del Cálculo; así aquellase convierte en una barrera para entenderlos conceptos de esta asignatura (“si nosabes álgebra, no podrás entendercálculo”)

Dificultades� En general las ideas de cambio o variación

con las que terminan los alumnos suscursos de cálculo son débiles o pobres. Porejemplo, dificultades para entender,ejemplo, dificultades para entender,interpretar y representar el comportamientoirregular y/o de movimientos súbitos,discontinuos que son justamente los que sepresentan en el mundo real. Esto propiciaun divorcio entre la enseñanza del cálculo ylo experimentado en la realidad.

Antecedentes: Un problema raíz y las ideas de los predecesores de Newton

� La obtención de la tangente a una curva,problema de importancia para lasaplicaciones científicas y determinar lasaplicaciones científicas y determinar lasáreas acotadas por curvas (el problemade las Cuadraturas). Estos inicialmente sevieron como dos problemas separados

Antecedentes: Un problema raíz y las ideas de los predecesores de Newton

� Las configuraciones de Oresme (1350)� La diferencia entre Cantidad y Cualidad.

La primera tiene como atributo esencial laLa primera tiene como atributo esencial laextensión (p.ej. El peso o tamaño de unobjeto) y la segunda su atributo es laintensidad: el grado o el modo como unacualidad cambia (p.ej. La temperatura deuna barra o la brillantez de una fuenteluminosa, la velocidad.

Noción de Intensidad en Oresme

� “Toda cosa medible, excepto los números, sepuede imaginar como una forma de cantidadcontinua. De aquí, que para medirla seanecesario que tal cosa sea imaginada comopuntos, líneas y superficies – o sus propiedadespuntos, líneas y superficies – o sus propiedades- en las cuales, como Aristóteles desea,encontrar su medida o proporción … Por lotanto, toda intensidad puede ser adquiridasucesivamente imaginándola por medio de unalínea recta levantada perpendicularmente sobreun punto o puntos de el espacio (extenso) omateria de la cosa intensible”.

Las configuraciones de Oresme

Cuantificación de

la cantidad

Intensidad o

altitud

Extensión o

longitud

•Objetosgeométricosquerepresentan

Deformemente

deformes

Uniformemente

uniformes

Uniformemente

deformes

representande maneraglobal lascualidadesde diferentesmovimientos.

El área bajo una línea concebida porprimera vez, como representando unacantidad física (distancia).

C

A B

EF G

D

Concepciones de las Líneas y las Áreas durante el período de Oresme� Las Líneas se pensaban que tenían un

ancho infinitesimal, así las Áreas sepensaban como formadas por un granpensaban como formadas por un grannúmero de líneas verticales, esto generóla noción de velocidad en un intervalo muypequeño. Es decir, en estos pequeñosintervalos la velocidad del móvil secomporta como si fuera casi constante.

Concepciones de las Líneas y las Áreas durante el período de Oresme� Esta idea permitió establecer un

procedimiento para calcular la distanciaprocedimiento para calcular la distanciatotal recorrida por un móvil como la sumade un gran número de rectángulosinfinitesimales de anchos muy pequeños.

Las Intuiciones de Newton� Considero las cantidades no como

consistiendo de partes muy pequeñas,sino como descritas por un movimientocontinuo. Las Líneas (curvas) soncontinuo. Las Líneas (curvas) sondescritas y por tanto, generadas no por elagregado de partes sino por el movimientocontinuo de puntos… Esta Génesis tomalugar en la naturaleza de las cosas, y sonvistas diariamente en el movimiento de loscuerpos.

Las Intuiciones de Newton

� Este carácter, los antiguos lo mostraron através de arrastrar líneas rectas moviblesa lo largo de rectas líneas inamovibles…a lo largo de rectas líneas inamovibles…

NEWTON 1776

Las Intuiciones de Newton� Esta manera dinámica de concebir las

curvas junto con su invención de lasseries binomiales, le permitió a Newtonatacar el problema del área bajo unaatacar el problema del área bajo unacurva de manera totalmente diferente quesus predecesores, no como la suma deáreas infinitesimales, sino más bien entérminos de la tasa (razón de cambio) deincrementos en el área (momentos).

Versión temprana de la prueba del Teorema Fundamental del Cálculo (Newton,1669)

� ¿Qué tipo de razonamiento está involucrado en la prueba de este teorema?

� Proceder:Asume conocida elárea bajo la curva ,dada por: área bajo la curva ,dada por:

-Incrementa a -Calcula el cambio en el área:-De acuerdo a la figura, se escoge de modo que el cambio en el área bajo la curva , sea igual a la del rectángulo , es decir,

y

x ox +mm axoxa −+ )(

vov

mm axoxaov −+= )(

y

maxz =

Aplica el teorema del

binomio y luego divide por o

mmmmm axaooxmm

aoamxaxov −++−++= −−L

221

2

)1(

mmm aooxmm

aoamxov ++−+= −−L

221

2

)1(

121

2

)1( −−− ++−+= mmm aooxmm

aamxv L

Luego Newton dice: -Si suponemos que el segmento (incremento )

se disminuye infinitamente hasta desaparecer, e

serán iguales y los términos que están multiplicados

por desaparecen. Así, llega a que el cambio en el

área está dado por , es decir, el

cambio en el área esta medido por la ordenada

Bb

v y

o1−= mamxy

121

2

)1( −−− ++−+= mmm aooxmm

aamxv L

o

ycambio en el área esta medido por la ordenada

para cualquier valor de

Y termina diciendo: Este argumento puede

invertirse, es decir, si la curva es ,

entonces el área bajo la curva será:

1−= mamxy

x

maxz =

y

Concepción del Teorema Fundamental� Es una relación entre un proceso de acumulación

de una cantidad y la razón de cambio de suacumulación.

y

z y

x x+ oo

oy

y

Concepciones de la acumulación

� Inicialmente la acumulación fue vista como ladeterminación de una cantidad fija (el área,volumen, longitud de arco)

� Como una cantidad variable en continuo flujo enlugar de una cantidad fija. Esta imagen permitelugar de una cantidad fija. Esta imagen permitevincular el concepto de rapidez o tasa de cambio deun móvil con el concepto de la distancia acumuladade dicho móvil (por ej., el velocímetro de un auto nosolo indica la rapidez del auto sino también larapidez con la que se está acumulando la distancia)

Concepciones del Cálculo

� Un enfoque del Cálculo : El Cálculo comomatemáticas del cambio es unamatemática para describir, analizar yanticipar procesos de variación, queanticipar procesos de variación, quedifiere de conceptualizar el Cálculo comoun sistema formal.

Concepciones del Cálculo

� Una característica esencial del mundo físico quenos rodea es el cambio. La percepción de esteaspecto es una intuición inmediata. Por,ejemplo, ver dos autos que se desplazan unoejemplo, ver dos autos que se desplazan unoseguido del otro en una carreta que guardanuna cierta distancia entre ellos. ¿Quécaracterísticas podemos observar de algunosde sus movimientos?, y ¿Cómo podemosrepresentarlos gráficamente?

Concepciones del Cálculo

� Esta visión o representación dinámica delCálculo se ha hecho una realidad con losambientes virtuales que actualmentepueden diseñarse con las nuevaspueden diseñarse con las nuevasherramientas computacionales, cuestiónque era sumamente complicada delograrse en un contexto estático (lápiz ypapel).

Concepciones del Cálculo

� Así, el lenguaje algebraico ya no es elúnico vehículo para comunicar y entenderlos conceptos fundamentales del CálculoUna cuestión medular del Cálculo :� Una cuestión medular del Cálculo :Cómo cuantificar y representar elcambio o la variación de una cantidad .

La nueva perspectiva de Newton con respecto a la de sus precursores� Newton modificó la perspectiva de los

predecesores que abordaron la relaciónpredecesores que abordaron la relaciónentre el problema de las tangentes y lascuadraturas. Este cambio consistió entomar como concepto fundamental la tasao razón de cambio (la derivada), la cual lautilizó para determinar el área, a través deinvertir dicho proceso.

Conclusiones� Las ideas innovadoras o creativas de los grandes

pensadores descansan en ideas previas, por ejemplo

Newton se inspiró en las ideas de Oresme, Gregory, etc.

� La enseñanza del cálculo no debe dejar de lado el� La enseñanza del cálculo no debe dejar de lado el

desarrollo de las intuiciones básicas que ayudan a

entender conceptos más sofisticados de la asignatura y

así evitar una memorización o mecanización de dichas

ideas.

Conclusiones

� Una deficiencia en la formación de estasintuiciones afectarán la competencia delos alumnos en la resolución de problemaslos alumnos en la resolución de problemasque involucran estos conceptos.