LAS CONICAS

CUANDO SE INTERCEPTA UN PLANO Y UN DOBLE CONO INVERTIDO, SEGÙN EL ÀNGULO DE CORTE, SE ORIGINA UNA SECCIÒN EN EL SÒLIDO, ESTE PUEDE SER UNA CIRCUNFERENCIA, PARÀBOLA, ELIPSE O HIPERBOLA.

COMENCEMOS CUANDO EL PLANO SE ENCUENTRA EN FORMA HORIZONTAL, AL INTERCEPTAR AL CONO LO CORTARA FORMANDO UNA SECCIÒN LAMADA

CIRCUNFERENCIA.

EL PLANO PUEDE DESLIZARLO PARALELAMENTE A TRAVES DEL SÒLIDO Y SIEMPRE EL CORTE SERÀ UNA CIRCUNFERENCIA

EL PLANO COMIENZA A FORMAR UN ÀNGULO EN SENTIDO ANTIHORARIO, EL CORTE SECCIONAL SE CONOCE COMO ELIPSE

EL PLANO CORTA POR LA BASE AL CONO EN UN ÀNGULO MENOR A 90º APARECE LA SECCIÓN CÓNICA LLAMADA PARÁBOLA

EL PLANO INTERCEPTA A AMBOS CONOS POR LA BASE FORMANDO UN ÀNGULO DE 90º Y APARECE LA SECCIÓN CÓNICA LLAMADA HIPÉRBOLA

Así como en los otros casos, el plano se puede mover paralelamente y seguir mostrando una hipérbola

𝑩

Es el lugar geométrico formado por todos los puntos cuya distancia a un punto fijo llamado centro es una constante a la cual denominamos radio.

x

y

(h,k)

(𝒙 ,𝒚 )

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠=√(𝑥−h)2+(𝑦−𝑘)2

Ecuación ordinaria16=(𝑥−3) ²+(𝑦−4 )²

FORMACIÒN DE LA CIRCUNFERENCIA

𝑨𝑨𝑩¿𝑩−𝑨¿ (𝒙 ,𝒚 )−(𝒉 ,𝒌)

¿ (𝒙−𝒉 ,𝒚 −𝒌 )

𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜=√(𝑥−h)2+(𝑦−𝑘)2

(𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜)2=(𝑥−h)2+(𝑦−𝑘)2

(𝑥−1 )2+ (𝑦−3 )2=25

𝟏

𝟑

(𝑥+2 )2+(𝑦−4 )2=9

−𝟐

𝟒

(𝑥 )2+ (𝑦−5 )2=4

𝟓

(𝑥+2 )2+(𝑦 )2=16

−𝟐

(𝑥 )2+ (𝑦 )2=8Ecuación Canónica

¿Halle la Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (6,-3) y radio 7?

(𝒙−𝟔)𝟐+(𝒚+𝟑)𝟐=¿𝟒𝟗

¿Halle la Ecuación de la circunferencia canónica de radio 5?

(𝒙 )𝟐+ (𝒚 )𝟐=𝟐𝟓

(𝒙−𝟑)𝟐+(𝒚 −𝟐)𝟐=𝟒𝒙𝟐−𝟔 𝒙+𝟗+𝒚𝟐−𝟒 𝒚+𝟒=𝟒𝒙𝟐+𝒚𝟐−𝟔 𝒙−𝟒 𝒚+𝟗=𝟎Ecuación General

𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟖𝒙+𝟔 𝒚+𝟗=𝟎 ¿Es una circunferencia?

𝒙𝟐+𝟖𝒙+𝒚𝟐+𝟔 𝒚+𝟗=𝟎¿¿𝟒−𝟏𝟔+¿ ¿𝟑−𝟗+𝟗=𝟎

(𝒙+𝟒)𝟐+(𝒚+𝟑)𝟐=𝟏𝟔−𝟒

−𝟑

𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟖𝒙+𝟔 𝒚+𝟐𝟓=𝟎(𝒙+𝟒)𝟐−𝟏𝟔+(𝒚+𝟑 )𝟐−𝟗+𝟐𝟓=𝟎

(𝒙+𝟒)𝟐+(𝒚+𝟑)𝟐=𝟎−𝟒

−𝟑

𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟖𝒙+𝟔 𝒚+𝟐𝟔=𝟎(𝒙+𝟒)𝟐−𝟏𝟔+(𝒚+𝟑 )𝟐−𝟗+𝟐𝟔=𝟎

(𝒙+𝟒)𝟐+(𝒚+𝟑)𝟐=−𝟏 No existe una circunferencia

PARÀBOLA

QRecta Directriz

L

La distancia de Q a F es igual a la distancia de Q a la recta L ; el cociente entre estas distancias es la característica

principal de una cónica llamada Excentricidad en este caso el valor es 1.

FORMACIÒN DE LA PARÀBOLA

F

Recta Directriz

Q

Distancia de Q a F =

Al cociente entre estas distancias se le llama excentricidad

Foco

𝑄𝐹

Distancia de Q a la recta Directriz=

𝑒=|𝑄𝐹||𝑄𝑙|

= 1

Vértice

Recta Directriz

Foco

Lado Recto MN

P

2P

Características:1.- Las rectas Directriz y eje Focal son ortogonales.2.- El Vértice es el punto medio entre el Foco y la Recta Directriz.3.- El lado Recto pasa por el Foco y es ortogonal al eje Focal.

V = VérticeF = FocoP = Parámetroe= Excentricidad = 1

Generación de la Parábola y sus características

Lado Recto

Eje Focal

Principales Características:1.- El vértice es el punto medio entre el Foco y la Recta Directriz.2.- La Distancia del Vértice al Foco ò a la recta Directriz se llama Parámetro(P)3.- La medida del lado recto es 4 P

P

2p

Recta DirectrizA

B

Recta Directriz

Eje Focal

V

F

M

N

X

P

X

Y

Eje Focal

Recta DirectrizLado Recto

F

V

Su Ecuación General es Ax2 + Bxy +Cy2 +Dx +Ey + F = 0

Es la Ecuación de cualquier

cónica

𝒙𝟐−𝟑 𝒙𝒚 +𝒚𝟐−𝟒 𝒙+𝟔 𝒚−𝟖=𝟎

Representa a cualquier

cónica

𝒙𝟐+𝒚𝟐−𝟐 𝒙+𝟓 𝒚+𝟑=𝟎

Para identificar a cualquier cónica

¿Cuál podría ser una circunferencia?

𝑎 .3 𝑥+2𝑥 ²−5 𝑦 – 2 𝑦 ²+8=0𝑏 .4 𝑥+5 𝑥 ²−5 𝑦+2 𝑦 ²+8=0𝑐 .5 𝑥−𝑥 ²−5 𝑦 – 5 𝑦 ²+8=0𝑑 .6 𝑥+2 𝑥 ²−5 𝑦+8=0

Condición:

1.- Deben estar ambas variables cuadráticas:

2.- Deben tener el mismo signo:

3.- Deben tener el mismo coeficiente:

¿Cómo reconocer una Parábola?

“Basta que no se encuentre una de las variables cuadráticas”

6x + 2x² - 5y + 8 = 0

X² - 4x - 8y + 12 = 0

X² - 4x = 8y - 12

(x - 2)² - 4 = 8y - 12

(x - 2)² = 8y - 8

(x - 2)² = 8( y - 1)

(x-h)² = 4P (y – k)

V = (h, k)

2

1

x

y

F

4P = 8

Y² +6y +12x -15 = 0

Y² +6y = - 12x +15

(Y + 3)² - 9= - 12x +15

(Y + 3)² = - 12x + 24

(Y + 3)² = - 12(x -2)

V = (2,-3)4P = 12

( Y – k)² = 4P (x – h)

x

y

2

-3F

(𝑿−𝒉) ²=𝟒𝒑 (𝒀 −𝒌)(𝒀 −𝒌) ²=𝟒𝒑 (𝑿−𝒉)

Ecuaciones Modificadas

𝟒𝒑<𝟎 𝟒𝒑<𝟎

𝟒𝒑>𝟎 𝟒𝒑>𝟎

RECEPTOR

EL OBSERVATORIO DE ARECIBO (PUERTO RICO)

LA ELIPSE

Es el lugar geométrico generado por 2 puntos estáticos llamados focos de la elipse y que cumplen la siguiente propiedad:Si toma un punto cualquiera del espacio y calcula la suma de las distancias de este punto a cada foco, este valor pasa ser una constante, luego cualquier otro punto que cumpla con este valor es un punto de la Elipse

F1 F2

QF1Q + F2Q = 2a

A pesar de esta característica el punto más importante es la excentricidad, calculada como el cociente entre la distancia del Punto Q a un foco y la distancia del punto Q a una recta directriz , cuyo valor se encuentra entre 0 y 1. (0<e<1)

Recta DirectrizL

Distancia de QF1

Distancia de QL e =

Generación de la Elipse

Eje Mayor

Eje Menor

V1 V2

B1

B2

bF1 F2c

Recta Directriz

Principales características:• C = (h,k) centro de la Elipse• F1 ,F2 = Focos• V1 ,V2 = Vértices• a = Distancia del centro a cualquier Vértice• c = Distancia del centro a cualquier Foco• b = Distancia del centro a cualquier extremo del eje menor

Datos importantes:• Los Ejes son ortogonales• El centro es punto medio de los Focos y punto medio de los Vértices• Se cumple que a2 = b2 + c2 , por lo tanto la distancia de un Foco a un extremo del Eje menor es “a”• La Excentricidad es e = c/a

aC=(h,k)

Q

a

V 1

V 2

F 1

F 2

L1

L2

X

Y

(h,k)

Como cualquier otra cónica, su posición real puede ser en cualquier cuadrante y su ecuación general debe transformarse de manera que sea fácil de identificar

B 1

B 2

(h,k)F₁ F₂

B₁

B₂

V₁ V₂

F₁ ,F₂ = FocosV₁ ,V₂ = Vértices (eje mayor)B₁ ,B₂ = Eje menor(h,k) = Centro de la Elipse

La distancia delCentro a cualquierVértice es “a”

La distancia delCentro a cualquierFoco es “c”

La distancia delCentro a cualquierLado del ejeMenor es “b”

b

a

c

Se cumple:a²=b²+c²

¿Cómo reconocer una circunferencia?

𝑎 .3 𝑥+2𝑥 ²−3 𝑦 – 2 𝑦 ²+1=0

𝑏 .4 𝑥+2 𝑥 ²−5 𝑦+2 𝑦 ²+8=0

𝑐 .5 𝑥−2𝑥 ²−5 𝑦 –5 𝑦 ²+8=0

𝑑 .6 𝑥+2 𝑥 ²−5 𝑦+8=0

Condición:1.- Deben estar ambas variables cuadráticas:

2.- Deben tener el mismo signo:

3.- Deben tener el mismo coeficiente:

¿Cómo reconocer una Parábola? Condición:

1.- Debe estar solo una variable cuadrática:

¿Cómo reconocer una Elipse? Condición:

1.- Deben estar ambas variables cuadráticas:

2.- Deben tener el mismo signo:

3.- Deben tener diferente coeficiente:

( x-h )²

a²

( y-k )²

b²+ = 1

Ecuaciones Modificadas

x x

y y

𝒗 ₁

𝒗 ₁

𝒗 ₂

𝒗 ₂B₁

B₁

B₂

B₂f₂

f₂

f₁

f₁

( x-h )²

a²+

( y-k )²

b²= 1

(𝒉 ,𝒌) (𝒉 ,𝒌)

Ecuación General𝟐 𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟖 𝒙+𝟔 𝒚+𝟗=𝟎¿Es una Elipse?

𝟐 𝒙𝟐+𝟖 𝒙+𝒚𝟐+𝟔 𝒚+𝟗=𝟎

𝟐 {¿¿𝟐 −𝟒 }+¿ ¿𝟑−𝟗+𝟗=𝟎

𝟐(𝒙+𝟒)𝟐−𝟖+(𝒚+𝟑 )𝟐−𝟗+𝟗=𝟎

−𝟒

−𝟑

𝟐 𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟖 𝒙+𝟔 𝒚+𝟏𝟕=𝟎𝟐(𝒙+𝟒)𝟐−𝟖+(𝒚+𝟑 )𝟐−𝟗+𝟏𝟕=𝟎

𝟐(𝒙+𝟒)𝟐+(𝒚+𝟑)𝟐=𝟎−𝟒

−𝟑

𝟐 𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟖 𝒙+𝟔 𝒚+𝟏𝟖=𝟎𝟐(𝒙+𝟒)𝟐−𝟏𝟔+ (𝒚+𝟑 )𝟐−𝟗+𝟏𝟖=𝟎

𝟐(𝒙+𝟒)𝟐+(𝒚+𝟑)𝟐=−𝟏 No existe una Elipse

𝟐(𝒙¿¿𝟐+𝟒 𝒙)+𝒚𝟐+𝟔 𝒚+𝟗=𝟎¿

𝟐(𝒙+𝟒)𝟐+(𝒚+𝟑 )𝟐=𝟖

𝟐(𝒙+𝟒)𝟐

𝟖+

(𝒚+𝟑 )𝟐

𝟖=𝟏

(𝒙+𝟒)𝟐

𝟒+

(𝒚+𝟑 )𝟐

𝟖=𝟏

LITOTRIPTOR

F1

LA HIPERBOLA

Es generada por 2 puntos estáticos denominados Focos, cualquier punto del espacio que cumpla la condición de la distancia de este punto a un foco menos la distancia de este punto a otro foco en valor absoluto es una constante.Cualquier otro punto que cumpla con este valor es un punto de la Hipérbola.

F2

Q

Distancia de QF1 - Distancia de QF2 = Constante

Recta Directriz

La formación es igual a las anteriores cónicas considerando a la Excentricidad, es decir que la distancia del punto al foco entre la distancia de este punto a la recta directriz es una constante mayor a 1. Observe la posición de la directriz y el foco.

Excentricidad =QF1/QL

F1 V2

GENERACIÓN DE LA HIPERBOLA

F2V1

Asíntota de la Hipérbola

Eje Transverso

Eje conjugado

a

b c

Se cumple por la misma posición de las distancias del centro que : c2= a2+b2

Recta Directriz

LA EXCENTRICIDAD SIGUE SIENDO e= c/a

Resumen de las ecuaciones de las cónicas

Siempre busque las variables al cuadrado, de faltar una cualquiera, entonces se trata de una Parábola.Si tiene las dos variables al cuadrado y de signos diferentes, entonces se trata de una Hipérbola.Si tiene las dos variables al cuadrado y son los signos iguales, entonces observe los coeficientes.Si son iguales, podría ser Circunferencia.Si son diferentes podría ser Elipse.

Recuerde: (x – h)2+ (y – k)2 = r2 (x – h)2 = 4p(y-k) ò (y – k)2 = 4p(x-h)

(x – h)2 (y – k)2 = 1

a2 b2

(x – h)2 (y – k)2 = 1

a2 b2+ -