Language: Bulgarian - EGMO · 2020. 4. 18. · Language: Bulgarian Âðåìå çà ðàáîòà: 4...
1
EGMOnd aan Zee Netherlands 2020 European Girls’ Mathematical Olympiad Април 2020 Задача 1. Естествените числа a 0 , a 1 , a 2 , ..., a 3030 са такива, че 2a n+2 = a n+1 +4a n за n =0, 1, 2,..., 3028. Да се докаже, че поне едно от числата a 0 , a 1 , a 2 , ..., a 3030 се дели на 2 2020 . Задача 2. Да се намерят всички 2020-орки (x 1 ,x 2 ,...,x 2020 ) от неотрицателни реални числа, които изпълняват всяко от следните три условия: (1) x 1 ≤ x 2 ≤ ... ≤ x 2020 ; (2) x 2020 ≤ x 1 +1; (3) съществува пермутация (y 1 ,y 2 ,...,y 2020 ) на (x 1 ,x 2 ,...,x 2020 ), такава, че 2020 i=1 ( (x i + 1)(y i + 1) ) 2 =8 2020 i=1 x 3 i . Ако n е естествено число, пермутация на дадена n-орка е n-орка, съдържаща същите елементи в някакъв ред. Например (2, 1, 2) е пермутация на (1, 2, 2). И двете от тях са пермутации на (2, 2, 1). Всяка n-орка е пермутация на самата себе си. Задача 3. Даден е изпъкнал шестоъгълник ABCDEF , за който A = C = E и B = D = F и вътрешните ъглополовящи на A, C и E се пресичат в една точка. Да се докаже, че вътрешните ъглополовящи на B, D и F също се пресичат в една точка. Забележка: A = F AB. Останалите ъгли на шестоъгълника могат да бъдат записани по подобен начин. Language: Bulgarian Време за работа: 4 часа и 30 минути Всяка задача носи 7 точки С цел да се запази честността на състезанието, моля не обсъждайте публично и не разпространявайте задачите онлайн или чрез социалните мрежи до 01:00 часа в неделя, 19 април. Language: Bulgarian Day: 1
Transcript of Language: Bulgarian - EGMO · 2020. 4. 18. · Language: Bulgarian Âðåìå çà ðàáîòà: 4...
EGMOnd aan Zee Netherlands 2020
European Girls’ Mathematical Olympiad
Април 2020
Задача 1. Естествените числа a0, a1, a2, . . . , a3030 са такива, че
2an+2 = an+1 + 4an за n = 0, 1, 2, . . . , 3028.
Да се докаже, че поне едно от числата a0, a1, a2, . . . , a3030 се дели на 22020.
Задача 2. Да се намерят всички 2020-орки (x1, x2, . . . , x2020) от неотрицателни реални числа,които изпълняват всяко от следните три условия:
(1) x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ x2020;
(2) x2020 ≤ x1 + 1;
(3) съществува пермутация (y1, y2, . . . , y2020) на (x1, x2, . . . , x2020), такава, че
2020∑
i=1
((xi + 1)(yi + 1)
)2= 8
2020∑
i=1
x3i .
Ако n е естествено число, пермутация на дадена n-орка е n-орка, съдържаща същите елементив някакъв ред. Например (2, 1, 2) е пермутация на (1, 2, 2). И двете от тях са пермутации на(2, 2, 1). Всяка n-орка е пермутация на самата себе си.
Задача 3. Даден е изпъкнал шестоъгълник ABCDEF , за който ^A = ^C = ^E и ^B = ^D =^F и вътрешните ъглополовящи на ^A, ^C и ^E се пресичат в една точка.
Да се докаже, че вътрешните ъглополовящи на ^B, ^D и ^F също се пресичат в една точка.
Забележка: ^A = ^FAB. Останалите ъгли на шестоъгълника могат да бъдат записани поподобен начин.
Language: Bulgarian Време за работа: 4 часа и 30 минутиВсяка задача носи 7 точки
С цел да се запази честността на състезанието, моля не обсъждайте публично ине разпространявайте задачите онлайн или чрез социалните мрежи до 01:00 часа внеделя, 19 април.
Language: Bulgarian
Day: 1
