Lámina 1a Clase: 1 - aptus.org · 2) Natalia ha realizado su práctica de diseño durante el año...

Cálculo mental diario

a) 13 • 13 = b) 103 – 70 = c) 6:2 – 2•4 = d) 4•4 – 42:2 =e) -15 + 5•5 = f ) 12 – 6•6 = g) 5 + (3•8) = h) -20 – 5-10 = i) 8 – (6+4) = j) (-40) + (-3) =k) 3 • (-13) =l) 143 + 4–143 =

Material exclusivo para enseñanzaClase: 1Unidad 3: GeometríaLámina 1a


a) 13 • 13 = 169b) 103 – 70 = 930c) 6:2 – 2•4 = -5d) 4•4 – 42:2 = -5e) -15 + 5•5 = 10f ) 12 – 6•6 = -24g) 5 + (3•8) = 29h) -20 – 5-10 = -35i) 8 – (6+4) = -2j) (-40) + (-3) = -43k) 3 • (-13) = -39l) 143 + 4–143 = 4

Material exclusivo para enseñanzaLámina 1b Clase 1Unidad 3: Geometría

• Ubicar el transportador sobre uno de los lados del ángulo, de manera que coincida con la línea horizontal del transportador.

• Hacer coincidir el centro del transportador con el vértice del ángulo.

• Observar la medida del ángulo que marca el otro lado del ángulo del transportador.

• Contar los grados desde cero.

Material exclusivo para enseñanzaLámina 1c Clase 1Unidad 3: Geometría

Si el ángulo está entre 0º y 90º se llama agudo

Si el ángulo es de 90º se llama recto

Si el ángulo está entre 90º y 180º se llama obtuso

Si el ángulo es de 180º se llama llano

Si el ángulo está entre 180º y 360º se llama cóncavo

Si el ángulo mide 360º se llama completo

Material exclusivo para enseñanzaLámina 1d Clase 1Unidad 3: Geometría

Recortar como se indica en las imágenes:

Material exclusivo para enseñanzaLámina 1e Clase 1Unidad 3: Geometría

Con las tres partes construir un triángulo:

Ubicando sobre una línea recta los ángulos recortados de 50º y 40º

Dibujando las líneas extendidas, correspondiente a cada ángulo

Midiendo el ángulo que resulta de la intersección, ubicando y pegando finalmente el ángulo de 90º que ya estaba recortado

Material exclusivo para enseñanzaLámina 1f Clase 1Unidad 3: Geometría

Suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Material exclusivo para enseñanzaLámina 1g Clase 1Unidad 3: Geometría


Material exclusivo para enseñanzaLámina 1h Clase 1Unidad 3: Geometría

1

1 3

2

2


Se ha dividido el ángulo llano en tres y se ha formado un triángulo, o viceversa, si se recortan las “puntas” de un triángulo y se juntan, estos ángulos (puntas) forman un ángulo llano (de 180º).

Material exclusivo para enseñanzaLámina 1i Clase 1Unidad 3: Geometría

Dibujar un cuadrilátero cualquiera

Medir los ángulos interiores del cuadrilátero

Anotar en su cuaderno, siguiendo el siguiente modelo de notación:

• Medida ángulo 1: 80º




Sumar las medidas de los 4 ángulos: 80º + 79º + 116º + 85º = 360º

Material exclusivo para enseñanzaLámina 1j Clase 1Unidad 3: Geometría

Dibujar la diagonal del cuadrilátero que va entre 1 y 3

Recortar los triángulos y pegar en sus cuadernos:

En un cuadrilátero se pueden formar dos triángulos, para cada uno de ellos la suma de sus ángulos in-teriores es 180º por lo tanto, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero debe ser 360º.

Material exclusivo para enseñanzaLámina 1k Clase 1Unidad 3: Geometría

1) Alejandra quiere ubicar un espejo y necesita saber las medidas de los ángulos faltantes. Utiliza al menos dos estrategias para poder encontrar estos ángulos.

Espejo Espejo

Material exclusivo para enseñanzaLámina 1l Clase 1Unidad 3: Geometría

2) Natalia ha realizado su práctica de diseño durante el año pasado y debe preparar una breve pre-sentación de proyecto. Uno de los profesores que va estar en la comisión de práctica del colegio, es el profesor de matemática. Utilizando los datos del diseño y los dibujos iniciales de Natalia ¿qué ar-gumentos utilizarías para hacer una presentación sólida y contundente sobre el proyecto de diseño?

140º

30º 50º

50º

Material exclusivo para enseñanzaLámina 1m Clase 1Unidad 3: Geometría

¿Cuánto miden los ángulos de la siguiente figura? ¿a qué tipo de cuadrilátero corresponde?

Material exclusivo para enseñanzaLámina 1n Clase 1Unidad 3: Geometría

35º

120º

95º 110º

Utilizando el transportador se tiene que las medidas son 95º, 110º y 120º y 35º, corresponde a un cuadrilátero cualquiera.

Material exclusivo para enseñanzaLámina 1ñ Clase 1Unidad 3: Geometría

¿Cuánto miden los ángulos de la siguiente figura? ¿a qué tipo de cuadrilátero corresponde?

Material exclusivo para enseñanzaLámina 1o Clase 1Unidad 3: Geometría

149º

65º

73º 73º

Utilizando el transportador se tiene que las medidas son: 73º, 65º, 73º y 149º.

Material exclusivo para enseñanzaLámina 1p Clase 1Unidad 3: Geometría

Revisión de tareas de la clase anterior: (1) N° IV

a. La diferencia de los rayos del sol entre el ecuador y los polos es diferente. Para ciudades que están ubicadas entre Talca (Chile) y Lima (Perú), la inclinación ideal de los techos con paneles solares estaría entre 30º y 45º. A continuación se muestran tres techos con paneles solares:

A B C

• Utilizando los dibujos correspondientes a cada techo, mide con el transportador dos de los ángulos del triángulo.

A B C

57º 57º 18º 13º 42º 90º

Material exclusivo para enseñanzaLámina 2a Clase 2Unidad 3: Geometría

Revisión de tareas de la clase anterior: (1) N° IV

• Determina el tercer ángulo del triángulo utilizando una ecuación.

• Determina el tercer ángulo del triángulo utilizando una ecuación.¿Cuál de los techos, según tus mediciones, tendría una inclinación ideal?

A B C

En el caso del techo A la ecuación es: 57 + 57 + x = 180, la medida del ángulo faltante x es 66º.

En el caso del techo B la ecuación es: 18 + 13 + x = 180, la medida del ángulo faltante x es 149º.

En el caso del techo C la ecuación es: 42 + 90 + x = 180, la medida del ángulo faltante x es 48º.

X


b. Los artistas están siempre buscando formas de abstraer las formas reales y para esto tienen diferentes técnicas. Una de estas técnicas consiste en dibujar utilizando solo triángulos y cuadriláteros. En el cisne:

c. En la mariposa:

• Encuentra el cuadrilátero de medi-das: 125º, 46º, 148º.

• Encuentra el cuadrilátero de medi-das: 33º, 58º, 120º.

• Encuentra los cuadriláteros con medidas de ángulos: 90º, 68º, 135º.

• Encuentra los triángulos con medi-das de ángulos: 110º, 45º.



a) x + 4 = 10 => x = b) x - 3 = 8 => x = c) 2x = 18 => x = d) x : 4 = 3 => x = e) x + 5 = 23 => x = f ) x - 50 = 60 => x = g) 3x = 21 => x = h) x : 6 = 11 => x = i) 2x + 1 = 9 => x = j) 3x - 10 = 20 => x = k) x : 2 + 2 = 6 => x = l) x : 3 - 20 = 10 => x =



a) x + 4 = 10 => x = 6 b) x - 3 = 8 => x = 11 c) 2x = 18 => x = 9 d) x : 4 = 3 => x = 12 e) x + 5 = 23 => x = 18 f ) x - 50 = 60 => x = 110g) 3x = 21 => x = 7h) x : 6 = 11 => x = 66 i) 2x + 1 = 9 => x = 4 j) 3x - 10 = 20 => x = 10 k) x : 2 + 2 = 6 => x = 8 l) x : 3 - 20 = 10 => x = 90


No es polígono, porque no se usó regla.

No es polígono, porque no se usó regla.

Es un polígono que tiene 6 lados y 6 vértices.

Es un polígono que tiene 7 lados y 7 vértices.

✔ ✔✗ ✗

¿Qué entiendes por polígono?


No es polígono, porque es una curva abierta.

No es polígono, porque es una curva cerrada.

No es un polígono, porque dos vértices están unidos con una curva.

No es un polígono porque hay dos vértices que no están unidos.

✗ ✗✗ ✗

Ahora dibuja un objeto que no sea un polígono


No es polígono, porque hay un segmento que no esta completamente unido a otro.

Es un polígono que tiene 5 vértices y 5 líneas que los unen.

Es un polígono que tiene 5 vértices y 5 líneas que los unen.

✗ ✔ ✔

Ahora dibuja un objeto que no sea un polígono


Convexo(sus ángulos miden a lo más 180º)

Regular(tiene todos sus lados y ángulos iguales)

Cóncavo (tiene un ángulo que es mayor a 180º)

Irregular(no tiene sus lados ni ángulos iguales)

Un polígono es una figura de dos dimensiones, que se forma en un trazado cerrado, con mínimo de tres puntos diferentes no colineales, los cuales están unidos por trazos de segmentos lineales, que son llamados, lados o canto.Un polígono tiene la misma cantidad de vértices que segmentos que lo conforman, por ejemplo un triángulo o un cuadrilátero.

La superficie que se encuentra dentro del polígono también es denominada polígono.Existen dos clasificaciones de los polígonos:


Anota la cantidad de lados y vértices que tienen los polígonos y el nombre que corresponda


Flor Suspiro AzulCantidad de lados: 5Cantidad de vértices: 5

Nombre: Pentágono

Polígonos en nuestro entorno

BaldosasCantidad de lados: 6Cantidad de vértices: 6

Nombre: hexágono (podría ser regular)

Material exclusivo para enseñanzaLámina 2k Clase 2Unidad 3: Geometría

Panal de abejasCantidad de lados: 6Cantidad de vértices: 6

Nombre: hexágono (podría ser regular)

BotonesCantidad de lados: 7Cantidad de vértices: 7

Nombre: heptágono


Material exclusivo para enseñanzaLámina 2l Clase 2Unidad 3: Geometría

CamaCantidad de lados: 8Cantidad de vértices: 8

Nombre: Octógono

TinaCantidad de lados: 8Cantidad de vértices: 8

Nombre: Octógono


Material exclusivo para enseñanzaLámina 2m Clase 2Unidad 3: Geometría

3 segmentos/ lados o cantos -> triángulo

4 segmentos/ lados o canto-> cuadrilátero

5 segmentos/ lados o canto-> pentágono

6 segmentos/ lados o canto-> hexágono

7 segmentos/ lados o canto-> heptágono

8 segmentos/ lados o canto-> octógono

Material exclusivo para enseñanzaLámina 2n Clase 2Unidad 3: Geometría

Actividad 2: Reconociendo polígonos en las caras de cortes.

1) Consideremos la siguiente pirámide y supongamos que se puede “cortar” y separar.

¿Qué polígonos podríamos ver con cortes horizontales y verticales?

5

a

Material exclusivo para enseñanzaLámina 2ñ Clase 3Unidad 3: Geometría

Material exclusivo para enseñanzaLámina 2o Clase 3Unidad 3: Geometría

2) Si se considera ahora un cubo

¿Cuántos polígonos diferentes y de que tipo se pueden encontrar en las caras de los cortes?

Material exclusivo para enseñanzaLámina 2p Clase 3Unidad 3: Geometría

Solución:

En las caras de los cortes se pueden ver triángulos, triángulos equiláteros, cuadriláteros, cuadrados, pentágonos y hexágonos (regulares).

Material exclusivo para enseñanzaLámina 2q Clase 3Unidad 3: Geometría


IV. La siguiente figura representa la cara de un pato.

a. ¿Cuántos diferentes polígonos hay? Identifícalos y escribe su nombre

b. ¿Dónde se encuentran los ángulos de 135º y 67º?

Hay tres tipos diferentes de polígonos: tres triángulos, dos cuadriláteros (trapecios) y un polígono cóncavo de 8 vértices.

135º

67º

Anota el tipo de ángulo:

a) = b) =c) =d) = e) = f ) = g) = h) = i) = j) = k) = l) =


Anota el tipo de ángulo:

a) = obtuso b) = cóncavoc) = agudod) = rectoe) = obtusof ) = obtusog) = cóncavoh) = llanoi) = completoj) = llanok) = cóncavol) = agudo


Triángulos y polígonos

En los triángulos, se denominan los puntos con mayúsculas latinas, los lados en frente con las mismas minúsculas latinas y los ángulos con letras griegas (α, β, γ...) que corresponden a los puntos.

En polígonos, se denominan los puntos con mayúsculas latinas, los lados al lado en sentido positivo (contra el reloj) con minúsculas latinas y los ángulos con letras griegas que corresponden a los puntos.

α=49,65°

γ=48,33°

β=81,81°

A

C

B

a

c

b

B

C

A

cb

a

D

d

Ee

α=108°

β=108°

γ=108°

δ=108°

ε=108°


¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de un polígono con 7 esquinas?

A

B

C

D

E

FG

Polígono Suma de los ángulos

3 180°

4 360°

5 ¿?

6 ¿?

7 ¿?

9 ¿?


Un polígono de n lados tiene n – 2 triángulos, por lo tanto la suma de los ángulos interiores es:

Suma de ángulos interiores = (cantidad de lados – 2) • 180º = (n – 2) · 180º

¿Cómo calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono?


Un polígono de n lados puede tener en su interior n triángulos, entonces la suma de los ángulos interiores se obtiene como:

n · 180º – 360º = suma de los ángulos interiores.

Los 360º corresponden a los ángulos que no son ángulos interiores del polígono (pintados en rojo).

180º 180º

¿Cómo calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono?


Completar la siguiente tablaI.

Nombre del polígono Cantidad de lados (vértices) Suma de los ángulos interiores

Hexágono

4

540º

Octógono

Eneágono 9

180º

Decágono 1440º

Nombre del polígono Cantidad de lados (vértices) Suma de los ángulos interiores

Hexágono 6 720º

Cuadrilátero 4 360º

Pentágono 5 540º

Octógono 8 1080

Eneágono 9 1260

Triángulo 3 180º

Decágono 10 1440º


Determinar el ángulo que falta en las siguientes figuras:II.

α = 102º

β = 65º

δ = 125º

α

β

δ

γB

A

D

C

α β

γ

γ = 80º

β = 73ºB

A C

α = γ =

a. b.

73º + 80º + α = 180º

27º 68º

102º + 65º + 125º + γ = 360º


α = 99º

β = 98º

δ = 129º

ε = 117º

α = 69º

β = 150º

δ = 104º

ε = 125º

E

α β

δ

εγ

BA

D

C

αβ

δ

ε

γ

BA

D

E

C

γ = γ =

c. d.

97º

98º + 99º + 117º + 129º + γ = 540º 69º + 150º + γ + 104º + 125º = 540º

92º



β = 142º

γ = 120º

δ = 60º

α β

δ

γ

BA

D

C

α =

e.

α + 142º + 120º + 60º = 360º

38º


a) 0,444444… =

b) 0,555555… =

c) 0,133333… =

d) 0,122222… =

e) 0,191919… =

f ) 0,636363… =

g) 2 – 3 =

h) (– 3) + 4 =

i) 5 – (– 6) =

j) (– 6) – (– 7) =



a) 0,444444… =

b) 0,555555… =

c) 0,133333… = =

d) 0,122222… =

e) 0,191919… =

f ) 0,636363… =

g) 2 – 3 = -1

h) (– 3) + 4 = 1

i) 5 – (– 6) = 11

j) (– 6) – (– 7) = 1

4 9 5 9 1290

2 15

11 9019 99 63 99


• Ángulos complementarios son los que suman un recto (90º)

• Ángulos suplementarios son los que suman un llano (180º)

Ángulos, rectas y paralelas

• Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado y el vértice comunes y el otro en lado en la misma línea recta.

• Dos ángulos son opuestos por el vértice si tienen el vértice en común y los lados del uno son prolongación de los del otro ángulo.

• Los ángulos exteriores de un polígono son los ángulos suplementarios, es decir los ángulos que se forman al extender el lado del polígono.

• Los ángulos interiores de un polígono son aquellos ángulos que quedan dentro de la figura y que se forma por un vértice y dos lados consecutivos del polígono. En el dibujo del triángulo ABC de lados a, b y c hay tres ángulos interiores: α, β, γ.

Ángulos complementarios

e

a

Ángulos suplementarios

i

o

Ángulos adyacentes Ángulos opuestos por el vértice

d

ce f

A

C

B

A

C

Bc

b

γ

α β

a


¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un polígono?


Pentágono que se va reduciendo a punto.


Proposiciones:

La suma de los ángulos exteriores de un polígono de n lados es siempre 360º.

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es igual a 180º (n – 2).


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