lamí -i

3. HIDRODINÁMICA DE LA ZONA FLOTANTE

3. HIDRODINÁMICA DE LA ZONA FLOTANTE

3.1. INTRODUCCIÓN

En este capítulo se presentan varios problemas fluido-

dinámicos relacionados con puentes líquidos.

Un líquido, soportado por íuerzas de tensión superfi­

cial, puede aparecer como puente entre dos sólidos no excesiva­

mente separados uno de otro. Cuando los sólidos son dos discos

circulares, paralelos y coaxiales, la configuración resultante

se parece a una "zona flotante" si se introducen varias hipótesis

simplificativas (Fig. 1).

GASO VACIO

Q

a

o CILINDRO SOLIDO

V " / / A RL

V

CILINDRO SOLIDO

0

BOBINAS DEL CALENTADOR POR INDUCCIÓN QUE RODEA EL CILINDRO

ZONA FUNDIDA

DISCO

LIQUIDO

Fig. 1. Zona flotante, a) Esquema de una instalación experimental, b) Puente líauido uara simular la zona flotante.

-3-

Como es sabido, esta técnica de la zona ílotante se

usa para producir sólidos muy puros y, en particular, rnonocris-

tales muy puros de silicio.

El proceso de purificación consiste en fundir al vacío

un extremo de una barra del material considerado, desplazando

lentamente la zona fundida a lo largo de la misma. Normalmente,

la barra se mantiene vertical, y la zona íundida queda confina­

da por fuerzas de tensión superficial, de manera que no hace fal

ta el soporte de un crisol que, entre otras cosas, contaminaría

el material.

La purificación se debe a que la zona íundida mantiene

las impurezas en solución, y estas impurezas se van desplazando

con la zona hasta el otro extremo de la barra. Además, se consi­

gue un monocristal de silicio poniendo el extremo inicial de la

barra en contacto con un pequeño monocristal. Al desplazar lenta,

mente la zona fundida el sólido crece por agregación de átomos

procedentes del líquido sin que nucleen nuevos cristales.

La máxima esbeltez (relación longitud/diámetro) de una

zona flotante depende del equilibrio entre las fuerzas de volu­

men (presión hidrostática) y las fuerzas de super:icie. Como la

presión hidrostática crece con la distancia a la frontera supe­

rior de la zona fundida, hay, para cada diámetro, una longitud

por encima de la cual la tensión superficial no es capaz de con­

tener una presión interior tan grande, y la zona se rompe.

La técnica de la zona flotante se presta al manejo de

metales líquidos de alto punto de fusión (por encima de 2ÜÜÜ ° K ) ,

pues además de evitar la comíaminación debida al crisol, no se

presentan las tensiones resultantes de la expansión diferencial

-4-

del crisol y el cristal.

A pesar de las ventajas mencionadas, las dimensiones

de las zonas que se obtienen en Tierra son insuficientes para mu

chas aplicaciones y, aunque existen métodos para estabilizar zo­

nas más esbeltas, en general, restringen mucho el abanico de ma­

teriales a los que se puede aplicar la técnica.

Las ventajas asociadas al funcionamiento en condicio­

nes de microgravedad son:

Io) Desaparece la limitación impuesta por el crecimien

to de la presión hidrostática. Esto no significa,

desgraciadamente, que se obtengan zonas de esbeltez

ilimitada porque la tensión superficial tiende a

estrangular las que sean excesivamente esbeltas.

Por ejemplo, para zonas cilindricas, debe ser

R>1/TT. En cualquier caso, las esbelteces consegui-

bles en microgravedad son mucho mayores que las

que se pueden alcanzar en Tierra y son, además, iri

dependientes de la relación tensión superficial/

/densidad del material.

2°) La microgravedad reduce la convección libre induci_

da por la flotabilidad. Esta convección se debe a

que, al depender la densidad de la temperatura, li_

geros gradientes térmicos pueden inducir movimien­

tos en el fluido.

Al principio se Drestó excesiva importancia a

la ausencia de convección libre como principal ju£

tificación de la ciencia de los materiales en el

espacio. Sin embargo, existen otros mecanismos in-

ductores de convección, sin dejar de mencionar el

que, en ciertos casos, resulta necesario producir

artificialmente la convección para uniformizar las

propiedades de la zona fundida.

3o) De entre los mecanismos que generan convección en

condiciones de microgravedad, el más conspicuo es

el debido a los gradientes de tensión superficial.

La tensión superficial depende de la temperatura

y composición de las superficies. En presencia,

por ejemplo, de un gradiente térmico aparece un

gradiente de tensión superficial. Este da origen a

tracciones en la superficie, las cuales inducen el

movimiento del fluido.

La estabilidad del equilibrio de una zona fl£

tante, bajo las perturbaciones que puedan aparecer

bien accidentalmente, bien intencionadamente, es

un motivo de preocupación. Por esa razón hay que

desplegar un gran esfuerzo analítico y experimen­

tal para tratar de aclarar estos problemas, antes

de hablar seriamente de manufactura espacial basa­

da en la técnica de la zona rlotante.

3.1.1. Organización de este Capítulo

El objetivo perseguido es el de presentar varios de los

problemas dinámicos que plantea el estudio de la zona flotante

en condiciones de microgravedad. De acuerdo con este objetivo se

plantean más problemas de los que realmente se resuelven, pero

se ha puesto especial cuidado en escribir de forma rigurosa las

-6-

ecuaciones de partida, detallando con precisión las hipótesis

simpliíicativas en que se basan.

El capítulo se puede considerar dividido en tres par­

tes. En la primera de ellas, de carácter introductorio, se discu

ten las simplificaciones que conducen desde el modelo de la Fig.

la al de la Fig. Ib, mencionando los problemas que quedan de la­

do al introducir las simplificaciones, y que debieran abordarse

en el futuro.

A continuación se formulan las ecuaciones que gobier­

nan el movimiento de un líquido newtoniano y homogéneo, en coor­

denadas cilindricas. Como la mayoría de los problemas que se abor

dan corresponden a un puente líquido, cilindrico y en rotación

alrededor de su eje de simetría, las ecuaciones aparecen escri­

tas tanto en un sistema de referencia fijo (sistema inercial) co

mo en un sistema que gira con velocidad angular constante ti (sis_

tema de referencia giratorio).

También se consideran problemas correspondientes a lí­

quidos no homogéneos. Con el fin de no complicar excesivamente

el análisis, se supone que las propiedades físicas (salvo la den

sidad) y los coeficientes de transporte no dependen de la tempe­

ratura. Además se introduce la aproximación de Boussinesq, con­

sistente en suponer que la densidad y la temperatura difieren po_

co de las de referencia, y que la presión difiere poco de la co­

rrespondiente al movimiento isotermo.

En el siguiente apartado se presentan las condiciones

de contorno cinemáticas, dinámicas y térmicas en la entre fase lí_

quido-gas (o líquido-líquido). Para ello se supone que la entre-

fase, infinitamente delgada, está en equilibrio termodinámico.

-7-

En esta parte inicial son introducidas las variables y

parámetros adimensionales que aparecen en los problemas que se

consideran.

En el resto del capítulo se presentan soluciones com­

pletas de algunos problemas típicos.

En la segunda parte se trata de los movimientos impul­

sivos de un puente líquido cilindrico, bien inicialmente en repo

so o bien girando como un sólido rígido. Estos movimientos impul

sivos se caracterizan por presentar uno (o más) pequeños paráme­

tros, debido a que: a) la perturbación introducida es pequeña,

b) o bien que la viscosidad del líquido es pequeña (relativamen­

te) o, c) que se estudia lo que ocurre poco después de haber apa

recido la perturbación impulsiva. La existencia de estos paráme­

tros pequeños justifica la utilización de métodos matemáticos

asintóticos, que son muy poderosos y que permiten obtener resul­

tados cualitativos interesantes sin excesivas dificultades.

Tras una enumeración de varios posibles problemas de

movimiento impulsivo, se consideran dos problemas fundamentales:

la ligera variación de la velocidad de rotación introducida súbi_

lamente, y la puesta en rotación súbita desde el reposo.

Finalmente, en la tercera parte se considera la convec

ción térmica inducida en condiciones de ingravidez por gradien­

tes de tensión superficial. Como primera aproximación se estudia

un problema lineal en el que un puente líquido (que si no fuera

por los gradientes térmicos estaría en reposo) es perturbado tér

nucamente a través de los discos extremos. El gradiente térmico

es tan pequeño que se pueden despreciar los términos convectivos.

El problema es entonces de tipo Stokes para el campo de velocida.

des, el cual queda desacoplado, bajo ciertas condiciones, del

campo de temperaturas.

Los problemas de convección inducida por gradientes de

tensión superficial dominarán en los próximos cinco años la Meca

nica de Fluidos Microgravitacional. Lo realizado hasta ahora co­

rresponde, bien a simulación numérica de muy dudosa validez, o

bien a modelos simplificados tipo Poiseuille o Couette que, aun­

que no están muy justificados, suministran de forma rápida y ele

gante resultados cualitativos básicos.

Sobre este tema, se ha desarrollado en el Lamf un mode­

lo matemático en el que la solución alcanzada corresponde a un ca

mino intermedio, si bien se ha juzgado oportuno no incluirla por

el momento pues, aunque se dispone ya de la primera aproximación,

se sigue trabajando para enriquecer el modelo en ciertos aspectos.

3.2. MODELO MATEMÁTICO. SIMPLIFICACIONES

El estudio teórico de una zona flotante representa un

esfuerzo descomunal, debido tanto a las propiedades del material,

que dependen de la temperatura, como a la complicación de las

perturbaciones que puedan aparecer. Por eso hay que introducir

hipótesis simplif i cativas para mantener el análisis dentro de li_

mites razonables.

1) La primera simplificación consiste en despreciar los

cambios de fase sólido-líquido. Con ello se dejan a

un lado multitud de problemas interesantes relacio­

nados con la hidrodinámica de los cambios de fase

(frentes de solidificación y fusión, influencia de

la contracción en el movimiento fluido, etc.). Es-

-9-

tos problemas no son exclusivos de la zona flotante.

Una vez introducida esta hipótesis simplifica-

tiva, la zona flotante se reduce a un puente líqui­

do situado entre dos discos circulares, paralelos y

coaxiales (Fig. Ib, pág. 1). La configuración resul

tante es interesante desde el punto de vista fluido

-dinámico por sus múltiples aplicaciones, no necesa

riamente relacionadas con la purificación o el cre­

cimiento de monocristales.

2) Se supone que el líquido es newtoniano, hipótesis

que probablemente no está justificada para líquidos

muy viscosos.

3) Finalmente, se supone que el líquido es puro, sus

propiedades son uniformes, y que permanece en equi­

librio térmico con el medio ambiente. Alguna de es­

tas simplificaciones puede ser eliminada sin compli_

car excesivamente el estudio analítico.

En muchas aplicaciones se gira la zona flotante alrede

dor de su eje de simetría con el fin de uniformizar el campo de

temperaturas. Una vez puesta la zona en movimiento, se puede mo­

dificar la velocidad de giro, bien cambiando la de los discos e><

tremos, o bien variando la distancia entre ellos.

3.3. ECUACIONES GENERALES. PROBLEMAS FLUIDOMECAN I COS

Las ecuaciones que rigen el movimiento del fluido, den

tro de las aproximaciones mencionadas en el apartado anterior,

son las ecuaciones de Navier-Stokes para un líquido, escritas

bien en un sistema de referencia inercial, bien en un sistema de

de referencia que gira con una velocidad Í2 constante.

La Fig. 2 muestra la geometría, el sistema coordenado

y las componentes de la velocidad del fluido. En lo que sigue su

pondremos que la configuración es axiIsimetrica.

GAS 0 VACIO

SOLIDO

— RL —

r G LIQUIDO

Q

SOLIDO

F i g . 2. Geometría, coordenadas y componentes de l a v e l o ­cidad para e l e s t u d i o de un puente l í q u i d o a x i l -s i m é t r i c o .

A d i m e n s i o n a l i z a n d o l a s l o n g i t u d e s con L / 2 , l a s v e l o c i -

L - 1 2 2 d a d e s con ttj, e l t i e m p o con Í2 y l a s p r e s i o n e s con pfi L M , e s a s

ec uaciones son, [l~] :

Sistema de referencia inercial

^— ( r u ) + -T — ( rw) = 0 3r dz

,2 9u . 3 u v , 3u 3p , ,, , 3t 3r r 3 z 3r

dV , d V . U V , 3v „ . 7T— + U TT— + + W 7T— = L L V , 3t 3r r 3 z '

«.. , 3w 9p . „f , , 1 i 3w 3w 3t 3r ' w 3z " 3z

(1)

(2)

(3)

(4) v

donde E, número de Ekman, es un parámetro adimensional definido

por

- 1 1 -

E = ÍHL/2) 2

siendo v la viscosidad cinemática del fluido.

—Sistema de referencia en rotació on

¿(ru)+A C r w ) = o

,2 du 3u vz 3u 3 P x r . di d r r 3 z 3r '

9 V X ,, <^V X U V X O X <^V TI

3 T + U 3 7 + — + 2 u + w 9 l z E L v

dW IW , dW 3P 1 TT— + U 7C + W TT— = - 7T + E [ L + —7T W ,

z d z r 2-

donde se ha utilizado la presión reducida:

v,2 P = p - 2

(5)

(6)

(7)

(8)

C9)

El operador L es:

r 2~3r 2 r 3r- 3z2 r2

3.4. ECUACIONES GENERALES. PROBLEMAS FLUIDOTERM I COS

Se considerará el caso de un líquido en presencia de

un campo de temperatura no uniforme.

Adimensionali zando las longitudes con L/2, las veloci_

dades con U (velocidad característica aue se define más alelan c " — , 2

te), el tiempo con L/2U , la presión con p U y la temperatura

con T , donde el subíndice r indica condiciones de referencia, r

tenemos:

Dt pA-v = Ü (1Ü)

-12-

— - — =_ 1 l£ + _l_ÍA \o 'IR Dt r p 3r pRe I3r \_¿Xi 3r + (y v- IpJV. v

Dv + u_v Dt r " pR

i_J_i_ Re \dz

dv 3z

+é

•¿ "u(

/ 3 u ,

3 r vJ

3 r ' _ +

+ 2ji r

2£ r

~3v 3 r "

~3u _9r

V

r

u r

} •

( 1 1 )

(12)

Dw __ _! _3p_ 1 f 3 Dt p 3z pRe13z

DcT Dt

U 2

pe T r r

pV-v +

n 3w , r 2 ^ „ ->

1 "c

r 3r ldz 3rv , (13)

pRe c T pPrRe r 3r r r ^

, 3T rk -—

dr 3z ,(14)

$ = p^2 9 2 9

•_3_u> , u_ , f w-) , f 3v^ •3r^ r 2

l3zJ ^3z-3u _3_w 3 z 3r

)r r } + ( Wv-f y H V'^ 2 ' (15)

donde

Re =

TT L

U 7T P c / r

Pr p c r r

~k

y todas las demás magnitudes físicas están adimensionalizadas

con los correspondientes valores de referencia. No aparece la

variable azimutal 6 porque, de nuevo, se ha supuesto que la con

figuración es axilsimétrica.

3.4.1. Aproximación de Boussinesq

Cuando los gradientes de temperatura impuestos son pe­

queños se puede simplificar considerablemente el sistema (10)-

(15). En estas condiciones:

T = 1 + e T

p = 1 - e g T T

-13-

P = P0 + £ P »

donde e<<l, 3 = - — es el coeficiente de expansión térmica del

líquido, y p Q la presión adimensional (no necesariamente unifor­

me) que existirá en el líquido cuando T=l.

En vista de que las variaciones son pequeñas, se pue­

den hacer las consideraciones siguientes:

Io. No aparecen las variaciones de densidad en la ecua

ción de continuidad.

Cuando la variación de temperatura es la única razón

de que exista convección, la velocidad característica es pequeña

y, por tanto, el tiempo característico es grande. Las variacio­

nes temporales de densidad son pequeñas por doble razón.

En cambio, cuando se impone una convección forzada; por

ejemplo, girando el puente líquido, velocidad y tiempo caracte­

rísticos son de orden unidad; las variaciones temporales y loca­

les de la densidad son de orden e, y despreciables frente a las

variaciones locales de velocidad.

2 o. En las ecuaciones de cantidad de movimiento las va

riaciones de densidad sólo se notan en el término de gradientes

de presi ón ,

^£ = Vp (1 + e 3 T T)+ e VS . p - o r

En el caso de convección libre: Vp = ü . " o

3o. En la ecuación de la energía se desprecian los tra

bajos de las fuerzas de presión y de viscosidad pues, en cüal-

2 Guier caso, es U <<c T .

c r r

Finalmente, suponemos despreciables las variaciones

con la temperatura de c, u y k.

- 1 4 -

Con e s t a s s i m p l i f i c a c i o n e s e l s i s t e m a ( 1 0 ) - ( 1 5 ) se r e ­

duce a l s i g u i e n t e :

3 ( r u ) , 3( rw) ,,

l f + u l 7 - V + ^ = - C l + e e T r T ) ^ . e | | + ¿ L u , (17)

3v 3v , uv , 3v 1 , . rrr + U ^— + + W 7T— = ñ— L V , ( 1 8 )

31 3 r r 3 z Re ' u o ' )

• ul^wH.-U-^TJ-^-cH^U^.U*»

9 T 3 T , 3 T 1 r. , 1 *\ 2, , „ .. N

3 T + U 3 7 + W 3 ^ = PFRe-(LV ] * ( 2 0 )

3.5. CONDICIONES DE CONTORNO. PROBLEMAS FLUIDOMECANICQS

Los problemas fluidomecánicos considerados en este in­

forme se refieren, en todos los casos, a un puente líquido cilíri

drico-circular girando alrededor de su eje de simetría, y las

condiciones de contorno son las particulares de este tipo de pro_

blemas. Se pueden deducir otros casos distintos de los considera,

dos aquí introduciendo modificaciones mínimas.

Habrá que imponer dichas condiciones de contorno:

1) En los discos extremos (z=+l), donde se cumplirán

las condiciones de no deslizamiento (u = 0, v = r) y la condición ci.

nemática (w=Ü).

2) En la entrefase axilsimetrica definida mediante la

ecuación r = R (1 + 1(z , t)) , Fig. 3.

-15-

O A

R(1+I(z,0)

-•r

V^f

n z=-"I1 dz

i^í

Fig. 3. Esquema de un elemento de entrefase en un plano meridiano.

3.5.1. Condiciones en la entrefase

La primera condición expresará el equilibrio de fuer­

zas normales. Estas fuerzas son, [2] : la presión capilar (dada

por la formula de Laplace), el exceso de presión local en el lí­

quido sobre la presión ambiente, y la componente normal del es­

fuerzo viscoso. En forma adimensional:

P _2 1 Re ^ 2 ( 3 1 } 2

1

3_u + R2 í31-|2 3w

r 3 z-1 3 z R ^ 1 r 3w 3ui

3 z *• 3 r Sz'

3Z1

ReCr 3z'

R(l + l)(l + R 2 ( | ^ } 2 ) 1 / 2 (1 + R 2 ( | ^ ) 2 ) 3 / 2 (21)

3z-

Cuando la velocidad característica vale ÍÍL/2, resulta l/Re = E y

ReCr = — — - ^ - — — . Este último número adimensional se llama pará-o

metro de rotación y se designa por C; es un número de Bond basa­

do en la fuerza centrífuga.

Dos condiciones de contorno adicionales resultan de ex

-16-

presar que el esfuerzo tangencial de viscosidad desaparece en la

entrefase, es decir: T • n-(n • T • n ) . n = Ü, donde T es el tensor de

esfuerzos de viscosidad y n el vector unitario normal a la entre

fase distorsionada. En forma adimensional:

a) Para la componente axial,

2R -^ f 1

3r 3z ^ 2 ,31} 2 \*r 3z/-° ' ( 2 2 )

^ 3 zJ

b) P a r a l a componente a z i m u t a l ,

3 v v 3 1 3 v 3 F " ? " R ^ F i ~ Ü ' ( 2 d )

Por otra parte, la condición cinemática de que la en­

trefase es una superficie fluida se expresará como sigue:

R | ^ - U + W R ~ = Ú • (24) dt o Z

Finalmente, se supone que la entrefase está permanente

mente adherida al borde de los discos:

l(±l,t) = Ú . (25)

Esta hipótesis parece razonable, al menos para zonas no excesiva

mente cortas y para velocidades de giro moderadas.

3.5.2. Simulación Plateau

Una forma de equilibrar ciertos efectos de la gravedad

utilizada en el siglo pasado por el físico ciego Plateau, consis_

te en suspender un líquido dentro de otro que tenga la misma den_

sidad y sea inmiscible con el anterior.

En este capítulo se va a criticar la práctica, bastan­

te extendida de utilizar la técnica de Plateau para simular pro-

-17-

blemas dinámicos. Para esto habrá que escribir las condiciones

de contorno en la entrefase de dos líquidos que tienen la misma

densidad pero distinta viscosidad.

Si el subíndice "o" indica campo fluido exterior, las

condiciones de contorno se pueden escribir de forma compacta en

función d e u = u u , v = v - v y w = w - w . y o ' p o y o

Las condiciones dinámicas son:

n „ 2 1 í 3Ü . n 2 r 9 1 - | 2 8w R H (3w _3ui 1 P o Re 1 + R 2 (31^ 2 [ 3r K ^3z J . 8z K 3 z l 3 r 3 z j

o 2 3z R e C r Í R ( l + l ) ( l + R 2 ( | i ) 2 ) 1 / 2 ( 1 + R 2 ( | i ) 2 ) 3 / 2

^ 3 z -; *• 3 z J

, ( 2 6 )

# + — + • 2 R ^ 0 j | ^ - ^ l = 0 , (27) 3 r 3z -t _p2 r_9J:l 2 l ÓT dz)

^ 3z^

9 v _ v _ R ( 3 l ] ( | v ] = (

3 r r l 3 z ; ^3z J

Las condiciones cinemáticas son:

R-^-u + wR-|^=Ü , (24) 3t 3z '

u - u = v - v = w - w - ü . (29) o o o

Finalmente, deberá seguir cumpliéndose la ecuación (25).

3.6. CONDICIONES DE CONTORNO. PROBLEMAS FLUIDOTERMICOS

La presencia de un campo de temperatura no uniforme

afecta, de dos maneras diferentes, a las condiciones de contor­

no en la entrefase: 1) Aparecen tracciones superficiales que se

deben a las variaciones de la tensión superficial con la tempe-

-18-

ratura. 2) Hay flujo de energía a través de la entrefase.

1) Las tracciones superficiales se expresan en función

del gradiente tangencial V a , siendo V = -in*(n„V).

Como suponemos que la configuración es axilsimétrica,

dichas tracciones tangenciales sólo aparecen en la condición de

contorno (22). Las condiciones de contorno dinámicas y cinemáti­

cas (21) y (23) a (25) permanecen invariables. La condición (22)

se reduce a:

Cr

1 +R2(M)2 S) 1 / 2 l dz dT S z

3z

p A l ÍÍLH _ fL^ i + ¿ ( ^ ( Ü ^ (£•!!)) da 31 da

+ -7 + K -7T - 3 — - U

dz 3z dr (30)

2) Suponiendo que la tensión superficial depende exclu

sivamente de la temperatura con dependencia lineal; que no hay

difusión másica desde o hacia la entrefase, y que la temperatura

exterior es uniforme, la ecuación de conservación de la energía

interna suministra la siguiente condición de contorno en la en­

trefase Cver Apéndice I):

T NI (1 + R

2(|1) 2) 1 / 2L^ v 3 Z J

k

3w , D 3 1 j 3 u , 3w — + R 3^ ^ + 3 r " Ká zJ 3r

+ Ü _ Üi. Al = n 3r 3 z 3 z (31)

en la que NT = -7—,—, , >—rr— es un parámetro adimensional aue mide ^ 1 (aa/dr)ruc

la relación entre la difusión térmica y el transporte convectivo

de entalpia superficial.

3.7. MOVIMIENTOS IMPULSIVOS

3.7.1. Consideraciones generales

En las aplicaciones técnicas de la zona flotante se

-19-

suele girar el puente líquido alrededor de su eje de simetría

con el fin de uniformizar el campo de temperatura.

El cuerpo de teoría existente sobre fluidos en rotación

es impresionante, y se debe fundamentalmente a Greenspan y sus

colaboradores (véase, por ejemplo, [l]), pero los problemas dis­

cutidos en este informe son nuevos: el líquido que gira está par

cialmente en contacto con paredes sólidas y parcialmente contení

do por la tensión superficial, y esta es una configuración a la

que se ha prestado muy poca atención.

El estudio cuantitativo completo de estos problemas

presenta dificultades matemáticas debidas a los términos convec­

tivos no lineales de las ecuaciones de Navier-Stokes. Se eligen

por tanto situaciones que, sin perder el interés físico, admitan

linealización.

Los ejemplos puramente fluidomecánicos que se tratan

en las secciones siguientes se pueden clasificar en dos grandes

grupos:

1) Ligera variación de la velocidad de rotación ("lin­

ear spin-up"). El líquido, para t<Ü, está girando

como sólido rígido con la velocidad angular, °,, de

las placas. En t=Ú, la velocidad de las placas se

varía en efi, pasando de 0, a íí(l + e ) , con |e|<<! (aquí

c es el llamado número de Rosby) . Lógicamente el lí_

quido necesita tiempo para alcanzar el nuevo esta­

do de rotación sólida con la velocidad angular

°,(1 + E ) , y el problema consiste en estudiar el campo

de velocidades y la forma de la superficie libre des_

de el instante de la perturbación impulsiva en ade-

-20-

lante.

2) Impulso finito ("non-linear spin-up"), tiempos pe­

queños. Los discos que limitan un puente líquido ci_

líndrico en reposo, se ponen bruscamente a girar,

en el instante t=Ü, con una velocidad ÍK1. El peque

ño parámetro e mide ahora el tiempo transcurrido

desde la puesta en movimiento.

Las ecuaciones que gobiernan el problema 1) proceden

de las fórmulas (5) a (9) linealizadas , es decir:

l(ru2 + l(rwl = 0 ( 3 2 )

dV áz

~~- 2v =- |£ + E iu , (33)

~ + 2u = E Lv (34) a t

Se han despreciado los términos cuadráticos, de orden

e . Las condiciones de contorno no se ven afectadas por esta 1¿

nealización.

Para el problema 2), hay que linealizar las ecuaciones

(1) a (4), en un sistema de referencia inercial. Se obtiene:

3(ru) , 3(rw) _ n cocí _ _ + _ _ _ 0 , (.6)

^ - ¿ = - | 2 + E Lu , (37) 3t r dr '

3t =E Lv (38)

| W = _ | 2 + E U + 4 _ ) U , (39)

completando con las debidas condiciones de contorno.

-21-

Para muchas aplicaciones conviene introducir la función

de corriente, X, definida como sigue, [l]:

_ 3X w 3r r (40)

X está relacionada con la función de corriente de Stokes, ^,

3z 3r '

mediante la expresión \¡i = rX.

Una vez introducida X, la presión desaparece de las

ecuaciones (37) y (39) derivando la primera ecuación respecto a

z la tercera respecto a r y restando. Obsérvese aue:

EL -3 1 3u 3 3t

E 3 ^ - 3 F Í E L - 3 T + ^ W ^ E L -

+ #- Ei. - ¿ + 4 3r | 3t r2

3 ) t

~3X _3r

2 3 X

3 z 2

r L Á EL 3t

X .

En vez de los sistemas (32) a (35) y (36) a (39) quedan

los sistemas, de dos ecuaciones cada uno, que aparecen en la Ta­

bla 1 de la página siguiente.

3.7.2. Problemas típicos

Muchos problemas interesantes se abordan con las ecua­

ciones y condiciones de contorno presentadas hasta el momento.

Se suele añadir la hipótesis adicional E<<1 (o, a lo más E^l, en

el caso de impulso finito y tiempos pequeños). Este caso límite

es probablemente el que presenta mayor interés matemático, aun-

Gue en las zonas flotantes de interés práctico sea grande la VÍJB

cosidad de la masa fundida.

Para resolver los problemas en que aparecen pequeños

lamí -22-

Tabla 1

Ecuaciones Lineales para Configuraciones Axilsimétricas

1) Ligera variación de la Velocidad de Ro- 2) Período Lineal de la Puesta en Rotación

tación

'{--Al

3X

X =- 2 3z

(41)

(42)

v = Ü

r 3z

(41a)

(42a)

Se puede reducir el orden de la ecuación (42a), y hacer desaparecer X, intro

duciendo Í2 = LX. La ventaja de tal sustitución puede ser grande, aunque no es fácil ex­

presar las condiciones de contorno en función sólo de Í2.

En muchos casos se puede suponer que

v = r V(z,t) ,

X = r $(z,t) ,

con lo que los sistemas anteriores se reducen a:

E J <L l u = 2 ü 3z2 3 t J 3z

3z 2 3t

, 3 j» ._ 2 3_V

(43)

(44) 3z*

3z 2 ~ 3t

r 3 3 , 2 3t 3z

V = 0

.1.4=- 2VÍ^ . 2 3z 3z

(43a)

(44a)

Integrando la segunda ecuación de cada uno de estos dos sistemas respecto a

z, y utilizando como funciones V y U = TC-J- tenemos: J 3 Z

3z

. E 3z

2 3t

2 3t

V = 2U

U =- 2V + F(t)

(45)

(46)

3z 2 3t

• V = 0 (4Sa)

E-l---3-3 z

U =- V' + F(t) . (46a)

En las ecuaciones (46) y (46a), F(t) representa el gradiente radial de presión.

En el caso de ligera variación de la velocidad de giro se pueden reducir las

dos ecuaciones (45) y (46) a una sola, [3]:

TE 3!-- 3-] |_ 3 z 3 tj (V-iU) = 2i(V-iU)-iF(t) (47)

Estos sistemas deben completarse con las condiciones de contorno apropiadas.

-23-

parámetros se utilizan técnicas matemáticas de desarrollos asin-

tóticos. Para aplicar estas técnicas hay que buscar soluciones

válidas suficientemente lejos de la entrefase (soluciones para

el núcleo central). En la literatura se encuentran muchas solu­

ciones de este tipo, Fig. 5. Ninguna de ellas cumple las condi­

ciones de contorno en la superficie libre (no era ese su objeti­

vo) lo que indica que ciertos términos despreciables en el núcleo

central varían en las proximidades de la entrefase mucho más acu

sadamente de lo que se pensaba. Esto puede ser la clave en la d£

terminación del espesor de la capa límite próxima a la entrefase

y del orden de magnitud de los términos dominantes en dicha capa.

3.7.3. Ligera variación de la velocidad de rotación

Se empieza considerando el caso 3 de la Fig. S.

Como se verá más adelante, el problema del ligero au­

mento de la velocidad de rotación presenta características muy

semejantes en los tres casos que se esquematizan en la Fig. 6,

que son:

1) Líquido contenido en un recipiente cilindrico circu_

lar.

2) Puente líquido cilindrico circular soportado por

fuerzas de tensión superficial.

3) Puente líquido cilindrico circular soportado por

otro líquido de la misma densidad pero, en general, de distinta

viscosidad.

El primer problema ha sido resuelto por Greenspan S

Howard [4] y merece ser discutido como guía para resolver los

otros dos. La discusión que sigue es válida para tiempos t tales

CONDICIONES DE CONTORNO

t < 0 t>:0 PEQUEÑO

PARÁMETRO

Y/////V/////A '////////////A Q

w

e = til w

Q

;•••;• - ' - i - • . , - : ;

Q<

Q

c = w - 1

V/////áZZZZ Q.

' ' • ' • • i " - " ' - 1 :

ft,

w V/////tY7777r¿

V////Á7777777. w

e = w

ft ^ ^ ^ ^ a

e = w Q i

ft<

777777?777777rA Q w

Q NO HAY PEQUEÑO PARÁMETRO EN [6]

V//////Z77777?. w

+ Gw * w L Y E EN [7 ]

íí<

T ^ T T ^ Z T ? ^ fl w

fí,

y/////k//////A

NO HAY PEQUEÑO PARÁMETRO

^ 0 * f t w

Fig. 5. Soluciones para el núcleo central. Corresponden a movimientos in­ducidos por la puesta en rotación de una o dos pJacas. Estas pla­cas, que son ilimitadas, pueden ser planas o no.

En los casos 5 y 6 las placas además de girar se desplazan axialmente.

Los casos 1 y 3 son los únicos considerados detalladamente en este capítulo.

- 2 5 -

/

•ZZZL

7777.

<4>

777A

RECIPIENTE RÍGIDO

iLLLLMttn W cl>

i >>>>}>>}

C^J

ihzz ZZZZZ2

VZZZZZZZffiZZZZZZ.

TENSIÓN SUPERFICIAL SIMULACIÓN DE EN MICROGRAVEDAD PLATEAU

Fig. 6. Los tres problemas de ligera variación de fi.

que fit>2íT, que es aproximadamente cuando las capas viscosas so­

bre las bases alcanzan un estado casi-estacionario.

Aunque hay dos escalas de tiempo que parecen gobernar

el problema, a saber, el período de rotación, 2TT/ÍÍ, y el tiempo

necesario para que la vorticidad se difunda hasta el plano me-

dio, (L/2) /v, la escala de tiempos fundamental resulta ser la

media geométrica de las dos anteriores: t = (L/2) /VPJ (es decir,

tE=l/fi/E, que es el llamado tiempo de Ekman). Para tiempos de or

den t E, el campo fluido se subdivide en 6 regiones (Fig. 7) en

las que se calculan las soluciones mediante técnicas asintoticas

(ver Apéndice II para los detalles matemáticos).

En la zona D , las longitudes características radial y

axial son de orden unidad. Las fuerzas viscosas son desprecia­

bles, mientras que las fuerzas de inercia, de Coriolis y de pre­

sión se equilibran entre sí. Ni u ni v dependen de z, con lo que

se verifica el teorema de Taylor-Proudman del movimiento colum-

nar (ver, por ejemplo, LlJ ) .

La velocidad radial, que en esta zona se dirige hacia

- 2 6 -

ISSSSSSW; msssw

xzzzzzzzzzz-zzzzzzma J23

JU

FUERZAS DOMINANTES EN LAS DIFERENTES

ZONAS 0 REGIONES FLUIDAS DE UN PUEN­

TE CILINDRICO CIRCULAR

REGIÓN

D,

D 2

D«

° 2 4

D 3 D 2 3

INERCIA

r e •

•

z COR 1 OLÍ S

e VISCOSAS

r

•

•

•

e i

PRESIÓN

z

Fig. 7. Las diferentes regiones fluidas en el caso de pequeño incre­mento de la velocidad de rotación de un cilindro circular lí_ quido limitado lateralmente por paredes rígidas o flexibles.

1 /O

el eje z, es de orden E . Aparecen también unos flujos secunda

rios axiales, simétricos respecto al plano medio, z=Ü, y dirigi­

dos hacia las capas viscosas de Ekman próximas a las bases (zonas

1/2 1/2 . D , de espesor E ). Estos flujos, de orden r , vienen a reem

plazar al fluido que, en esas capas, se aleja radialmente del eje

de rotación.

Cerca de la pared cilindrica aparece una doble estruc­

tura semejante a la de las capas de Stewartson [9]. 1/4-

En la primera capa, D , de espesor E , se reduce a

cero la velocidad radial en la región alejada de las bases, y la

velocidad azimutal se aproxima suavemente al valor v=R de la con

dición de contorno en el cilindro. El flujo radial correspondiera

te a la capa de Ekman es succionado verticalmente. Es de desta-

car que el espesor E corresponde a la distancia que puede al-

lamf 27-

canzar la difusión viscosa de la vorticidad inicialmente concen­

trada en la pared, en tiempos del orden de t .

Las fuerzas viscosas en D no son lo suficientemente

grandes como para anular, cerca de la pared, la velocidad verti­

cal. Aparece entonces una zona D , de espesor E 1 / 3 , que reduce

esta velocidad a su valor cero en la pared.

Cerca de las bases, las capas D^ y D se solapan con

la capa de Ekman, creándose unas zonas D y D en donde no só­

lo son importantes las fuerzas viscosas azimutales sino también

las radiales.

Resulta que, para valores pequeños del número de Ekman,

E, el estado de rotación como sólido rígido no se alcanza por di_

fusión de la vorticidad, como podría pensarse a primera vista.

Las capas de Ekman actúan como sumideros de fluido de pequeña vor

ticidad a través de los flujos secundarios de la zona interior,

y el tiempo característico t se puede interpretar como el nece­

sario para que un anillo de fluido interior, de momento cinético

2 . . . . MI 0, y situado a un radio 1, adquiera la velocidad angular final

(l+e)n, desplazándose hacia el eje de rotación una distancia

eL/2.

Por último, existe cerca de los rincones formados por

las bases y el área lateral del cilindro una zona D ., donde las

1 / ° longitudes características son de orden E " tanto radial como

axialmente. En esa zona, la capa límite deja de ser una capa de

tipo Ekman, y el movimiento se rige por ecuaciones de tipo elíp­

tico en vez de parabólico. Este problema es mucho más complicado

y no ha _sido abordado en [u] . Un problema análogo se discute en

§ 3.7.5.

-28-

La discusión anterior es válida en el caso de isorrota

ción simétrica; es decir, cuando las dos bases giran en todo mo­

mento con la misma velocidad y en el mismo sentido. Este es el

único caso que habrá que considerar si el líquido llena un cilin

dro circular de paredes rígidas; pero en configuraciones que no

están limitadas lateralmente, o que están limitadas por una en-

trefase, caben otras muchas situaciones.

Se entiende por isorrotacion asimétrica el caso en el

que las velocidades angulares de los discos extremos son diferen

tes, pero del mismo signo. Este problema, aparentemente sencillo,

es objeto de cierta controversia.

Los modelos matemáticos existentes hasta el momento

consideran un volumen líquido, ilimitado lateralmente, y conteni_

do entre dos discos de radio infinito que giran con las velocida.

des angulares respectivas ti y ti íti >ti >Ü).

Lo que distingue los diversos modelos entre sí es el

comportamiento del fluido fuera de las capas de Ekman próximas a

los discos.

Para Batchelor [id] todo el fluido situado fuera de es_

tas capas viscosas gira con velocidad angular ÜJ = /ÍÍ ti . La velocí

dad axial cerca del eje de giro se dirige desde el disco lento

hacia el rápido. En la capa de Ekman próxima al disco lento, la

velocidad radial se dirige hacia el eje, mientras que en la pró­

xima al disco rápido se dirige hacia fuera.

En el modelo de Stewartson [ll] , el fluido central no

tiene velocidad angular apreciable. Aparecen dos celdas separadas

por un plano paralelo a los discos, y más próximo al lento. En

cada una de estas celdas la velocidad axial está dirigida hacia

-29-

el disco más próximo.

Hay una tercera clase de modelos [l2] , con dos o más

celdas, sin simetría respecto al plano medio. La velocidad angu­

lar del fluido central varía con la distancia a los discos de

acuerdo con leyes distintas para cada modelo.

La integración numérica de las ecuaciones de Navier-

Stokes permite determinar valores del número de Reynolds, Re=E_1=

=L fü /v, entre los cuales el calculo suministra soluciones múlti

pies [13]. De momento sólo se ha reproducido experimentalmente

el modelo de Stewartson, [ll], [l4], si bien es cierto que no

existen todavía criterios que permitan escoger sistemáticamente

entre las varias soluciones teóricas. Es probable que el proceso

no estacionario que lleva a establecer la isorrotación asimétri­

ca sea determinante a la hora de configurar la solución estacio­

naria.

El problema de contrarrotación (tt >ü y 0, < Ü) es objeto

de las mismas discrepancias, aunque se sabe que el modelo de Bat-

chelor falla para ü =-Q , [15] , y que el cambio brusco de isorro

tación simétrica a contrarrotación con ü --Q, , conduce a una "ex.

plosión" de la capa límite del disco cuyo sentido de giro se in­

vierte, [l6]. Esa "explosión", en la que las velocidades en la

capa límite y el espesor de la misma se hacen infinitos en un

tiempo finito, indica que la aproximación de capa límite no es

válida en este problema, salvo para tiempos muy pequeños después

de la inversión.

3 . 7 . 3 . 1 . Caso de un p u e n t e l í q u i d o c i l i n d r i c o c i r c u l a r

Es fácil comprobar que la solución correspondiente al

-30-

cilindro circular, discutida en el § 3.7.3, y cuyos detalles ma­

temáticos se presentan en el Apéndice II, es válida, en primera

aproximación, en las zonas D1 , L? , D4 y D2l+ para estudiar la li­

gera variación de la velocidad de rotación en un puente líquido

cilindrico circular que inicialmente gira como un sólido rígido

con velocidad angular ü. Sólo la zona D es distinta (y, por tan

to, también la D ) pues aunque su espesor sigue siendo de orden

1/3

E , por razones que se explican en la Introducción del Apéndi­

ce II, ahora hay que cumplir las condiciones de contorno cinemá­

ticas y dinámicas en la superficie libre, distintas de las corres

pondientes a la pared cilindrica rígida.

El que las soluciones en D , D , D y D sigan siendo

válidas no es demasiado sorprendente, porque las columnas cilin­

dricas que giran alrededor de su eje son muy rígidas y no es fá­

cil perturbarlas desde el contorno.

1/2 Para tiempos grandes t^l/E , las variables de orden

unidad en la zona D0 serán (además de T-tE ) z y n, esta últi­

ma definida como en el Apéndice II, § 3.3:

n = E"1/3(r-R) , (-^<n<ü) ,

donde R es ahora el radio de los discos y del puente líquido no

perturbado. .

En función de estas variables el sistema de ecuaciones

(32) a (35) se reduce, en primera aproximación, al siguiente:

E - l / 3 3 u + 3 w = ú ( 1 + 8 ) . 3n 3z

- 2 v = - E - 1 / 3 | P + E 1 / 3 Í 4 , (49)

-31-

n r.1/3 82v 2u = E , (50)

Sn

3n

Los términos de variación temporal desaparecen de las

ecuaciones (49) a (51) al ser, en cada ecuación, despreciables

frente a los términos viscosos.

Se puede eliminar P por derivación cruzada de las ecua

ciones (49) y (51), pero eso no es muy conveniente aquí poraue

la presión aparece en la condición de contorno (21). Puede ser

conveniente, en cambio, manejar en paralelo la función de corrien

te X, introducida en la ecuación (40) y que, en primera aproxima

ción, está relacionada con u y w como sigue:

„ _ 3X p-1/3 3X f . u - 7T— ; w =- L TT- . ( 52)

Teniendo en cuenta la analogía, ya mencionada, entre

el presente problema y el del cilindro circular de paredes rígi­

das, introducimos, a modo de ensayo, los desarrollos (A-II.39) y

(A-II.40) para v y X, es decir:

v(n,z,x;E) =R+E 1 / 1 2v 1(n,z,i)+... , (53)

y X(TI,Z,T;E) = E 7 / 1 2 X Q ( n ,Z,T ) + . . . . (54)

Los desarrollos para u y w resultan de las ecuaciones (52) y

(54), y el de P resulta de los de v, u y de (49):

P ( n , z , x ; E ) = P ( Z , T ) + E 1 / 3 2 R T I + E 5 / 1 2 P 2 ( T I , Z , T ) + . . . . ( 5 5 )

El comportamiento de las funciones u, v, w y P para

n->-_oo s e deduce de las condiciones de empalme entre las zonas D

y D . En particular, teniendo en cuenta (A-II.46) y (A-II.48),

-32-

y

Vj (n--°-,z,r) = R n , /TTT

X o(n—,Z,T) = | ^—-nz , /TTT

(56)

(57)

de donde se obtienen fácilmente los comportamientos de u, w y P

en primera aproximación.

Las condiciones de contorno (22), (23) y (24) en la en

trefase, r = R(1 + 1(z , T)) , escritas en términos de v y X, en función

de las variables locales n y z son:

2, ^X + E 1 / 3 ¿X _ E 2 / 3

x_ £2/3 3jbX +

3n 2 R 3n R 2 3z

2 " 0

8ri R ' • • U

3X 3z

+ E R(|^+E 1)1^ + ldii R; 3 z 0 .

(58)

(59)

(6Ú)

Se considera ahora la ecuación (50) de conservación de

la componente azimutal de cantidad de movimiento, y las condicio

nes de contorno para v , que son la (56) y la deducida en prime­

ra aproximación de (59): Sv /9n=0. La solución de (50) no puede

dar para v una función lineal en n, como pasaba en el caso del

cilindro circular, (A-II.4 3 ) , porque se incumpliría la condición

de contorno deducida de (59). De aquí se deduce que los dos tér­

minos de (50) deben ser del mismo orden y que, contrariamente a

lo que se podría pensar, u es de orden E" en vez de ser de or

den E como se deduciría de la ecuación (54). Este resultado

parece sorprendente pero no lo es tanto si se tiene en cuenta que

para modificar v, aunque sólo sea ligeramente, hay que contar con

fuerzas de Coriolis mayores que las que había en la zona D .

Como resumen de lo que antecede se deduce que el desa-

-33-

rrollo (54) no es válido pero que, en cambio, lo son los (53) y

(55).

Suponiendo que la forma de la superficie libre está da

da en primera aproximación por

r= R(l+Enl1(z,i)) , (61)

donde n es un exponente positivo todavía desconocido, y recordan

do que p=P+r / 2 , la condición de contorno (21) se reduce, salvo

términos de orden superior, a:

3 2 1 P + E 5 / 1 2 P 2 + | R 2 ( l + 2 E n l 1 ) = A . ( l _ E n l ) - ^ E n j -

d Z

de la que se deduce:

1 ? 1 P 2 R efe ' (62)

5 n = YJ ' (63)

y s 2 l i

d Z R

La primera de estas ecuaciones proporciona el valor medio de la

presión. La segunda indica que la superficie libre se desplaza

5/12 radialmente de su posición inicial una cantidad de orden E y

que, por tanto, se pueden transferir las condiciones de contorno

a n = 0. Finalmente, la tercera ecuación permitirá calcular la for_

iría de la superficie libre, una vez calculada P .

3.7.3.1.1. Cálculo de la velocidad

Eliminando u, w y P del sistema de ecuaciones (48) a

(51) se obtiene la siguiente ecuación de sexto grado en v ,

3 v. ^ 2 d V.

+ 4 O (65) 8r) 3z

Con las siguientes condiciones de contorno:

Io) Para n^-00, condición (56).

2o) Para n=Ú,

a) La condición deducida en primera aproximación

de (59) :

0

b) Otra condición deducida de (60), teniendo ei

cuenta (50) y la primera de (52):

^ 2 9 v

3n' = o

c) Condición deducida de (58), (50) y (60):

3 v

3n = 0

3o) Además v debe ser una función par en z.

Una vez resuelto este problema, se puede calcular u ,

w y X , que deben tender a cero para n^-°°. Los resultados son, o o

en primera aproximación:

,5/12 u = E' u Q ( n , z , T ) + . . . ,

— 1 oo 3

u : 1 M _ _ y (-D*-1 / 2 7 k c o s i r k : o 2 • u

'ITT k = l

/2TTkri . e +

+ 2e /2-rrk n / 2

COS [^r- / 2 l l k r) + -5- ) ( 6 6 )

v = R + E 1 / 1 2 v l ( n , z , i ) + . . .

R e " 1 , " ( - l ) k - 1

COS TT k z 'fTT k = l /2TTk

/ 2 7Tk n ^ e +

, „ /2TTk n / 2 /3" / 7 r - 1 -+ 2 e eos -y - / 2 i r k n > . ( 6 7 )

r l / 1 2 , w

w = E w ( ri , z , T ) + . . .

1 Re o 2

TIT k = 1

k - 1 r_4 - TT k

1 / 3

l (~1) ( T T ) s i n * k z / 2 i T k n

„ / 2 ¥ k n / 2 / 3 ^ - ^ 2 e e o s -7T- /2Tik n ( 6 8 )

x = E 5 / 1 2 X ( n , z , i ) +

_ T oo ' ,

Y 1 Re v , . . k - 1 /2rTk . X = - — ¿ ( - D -T- s i n TÍ k z ' o 2

/TT x k = 1 TTk

/2TTk TI , e +

, „ /2Tík n / 2 r / 3 3í7T^r . 2TTY

+ 2 e e o s [-y- /2Tík n + - r - j 2 (69)

La expresión de X permite dibujar las líneas de corrieri

te en la zona D , como se hace en la Fig. 8. Comparando esta fi­

gura con la Fig. A-II.2 se comprueba que existe una recirculación

2iñx _, Re-* V

,-.05

2. _ 1. -T)

Fig. 8. Configuración de la corriente en la zona D

-36-

en las proximidades de la superficie libre. Esta recirculación

no ha sido todavía observada experimentalmente, aunque se han ha

liado corrientes secundarias en las proximidades de entrefases

en movimiento en varios y diversos tipos de movimientos fluidos.

3.7.3.1.2. Cálculo de 1 1

Para deducir de C64) la forma de la superficie libre

es necesario calcular primeramente la presión reducida, P . Esto

se puede hacer mediante las ecuaciones (49) y (51) de conserva­

ción de las componentes radial y axial, respectivamente, de can­

tidad de movimiento teniendo en cuenta, además, las ecuaciones

(52) a (55). El resultado final es:

P 2 ( Ü , Z ; T ) = - 2 Re

- 1 oo

I ( -1) 'TTT k = l

k-1 /2nk TTk

eos TT kz . ( 70 )

Llevando esta expresión de P a la ecuación (64) con las dos cori

diciones suplementarias,

Io) de simetría:

1 Cz ,T ) = 1 (-Z ,T )

y 2o) de invariancia del volumen:

1 1, (z,i)dz = 0

se tiene finalmente:

1 , ( Z , T ) = - 2 CR 1

2 e _ 1 OO

( - 1 ) k - 1 / 2^k r— . L . 2 , 2 D 2 . D 3 „ TTk 'TTT k = l TT k R - 1 - R C

e o s TT k z . ( 7 1 )

En la Fig. 9 se presentan varios resultados típicos.

Hay que observar que, de acuerdo con la ecuación (71), el despla.

zamiento de la superficie libre se hace infinitamente grande cuan

Fig. 9. Formas de la superficie libre para puentes líquidos de distinta es­beltez, 1/R, y un valor determinado del parámetro de rotación, C=2.

Las curvas han sido deducidas del estudio de la zona D3 y, por lo tanto, no son válidas en las proximidades de las placas, z=±l.

La curva para R=4 es muy próxima a la correspondiente al lími­te de estabilidad de Gillis, ecuación (72).

-38-

do el radio adimensional, R, del puente líquido cilindrico está

relacionado con el parámetro de rotación, C, mediante la expre­

sión:

1 7T ,

R= • (72) /l+R3C

La ecuación (72) da la máxima relación longitud/diáme­

tro para la que es estable un puente líquido cilindrico que gira

con velocidad angular adimensional C. Esta fórmula ha sido dada

anteriormente por Gillis [17].

3.7.3.1.3. Zona Dg-

El estudio de esta zona no ofrece especiales dificul­

tades. Las ecuaciones diferenciales son las de la capa de Ekman,

por tanto las mismas que en D y D , Ver Apéndice II, § 3.3. La

única diferencia consiste en que el comportamiento lejos de los

discos extremos es distinto en cada caso, y ahora se obtendrá,

de acuerdo con las condiciones de empalme ya mencionadas, hacien_

do z=±l en las ecuaciones (66) a (69).

La solución obtenida no presenta un interés inmediato

porque, como ya se ha dicho en los párrafos finales del § 3.7.3

y del Apéndice II, tal solución no es válida cerca de la superfi^

cié libre, donde aparece una zona, la D , en la que las varia­

ciones axiales de las distintas propiedades son del mismo orden

aue las radiales.

El estudio de esta zona, cuya estructura puede gober­

nar de forma crucial el crecimiento de los cristales, será abor

dado en breve.

-39-

3.7.4. Ligera variación de la velocidad de rotación. Simulación

de Plateau

Se considera un puente líquido cilindrico circular so­

portado exteriormente por otro líquido de la misma densidad, p,

pero de distinta viscosidad, \i (y /y%l). En lo sucesivo el sub­

índice o se referirá al fluido de soporte exterior.

Los dos líquidos; la columna soportada y el cinturón

de soporte, están contenidos entre dos discos paralelos de radio

infinitamente grande, y están separados por una entrefase cilin­

drica.

La configuración gira inicialmente como un solido rígi

do con velocidad angular fi pero, de repente, se aumenta ligera­

mente la velocidad angular, bien de los dos discos considerados

como continuos, o bien de aquella parte de los discos que está

en contacto con el puente soportado.

El núcleo fundamental del análisis que se desarrolla a

continuación se refiere al primero de los dos casos mencionados:

los discos se aceleran como sólidos continuos. Pero se discutirán

con detalle las implicaciones resultantes de suponer que sólo se

acelera la parte interior de cada disco.

3 . 7 . 4 . 1 . l o n a s _ p 1 0 , J p 2 0 , _ D 4 0 x J 2 4 0

Las consideraciones hechas en el § 1 del Apéndice II,

pero aplicadas al fluido exterior próximo a la entrefase, sugie­

ren que existe una estructura de capas muy semejante a la del

fluido soportado interior, Fig. lú.

Cada una de las capas D. tendrá un espesor y una es-

tructura análogos a los de la capa D. homologa, con varias dife-

40-

' / / / / / / / / / / / / / ^ ^

D, D,

^sssssssssw,^W^

Rao^c °to

D2A D23 D230 D240 D20

Fig. 10. Las diferentes regiones fluidas en el caso del pequeño incremen_ to de la velocidad de rotación de un puente cilindrico circular soportado mediante un líquido exterior de la misma densidad pe­ro distinta viscosidad.

rencias básicas:

Io) El parámetro pequeño será:

y E =-2- E . o u

-1/2 2o) El tiempo característico sera t E =(u /y) t„ y,

por tanto, la variable temporal, T , estará relacionada con T rae

diante la expresión:

1/2

o v u

3o) Lo mismo ocurrirá con las variables geométricas

En particular:

1/4

1/3

o

4o) La solución en D será radicalmente distinta de

la obtenida en D (§ 3.1, Apéndice II). La razón es que el meca-

-41-

nismo de transporte de vorticidad es ahora exclusivamente difusi

vo a partir de las capas D 4 Q y D2Q. No existe en D±Q ese mecanis

mo convectivo tan eficaz que existía en D , pues el fluido lanza

do hacia fuera en las capas de Ekman no abandona dichas capas por

que no hay pared lateral exterior que le obligue a hacerlo. Por

lo tanto la solución en la zona D será, en primera aproxima­

ción, la correspondiente al torbellino irrotacional

R2

v = — , oo r

con X =Ú oo

5o) La solución en D, „ será formalmente idéntica a la 40

calculada en el § 3.2, Apéndice II,

v = R-Re~ °íaerf(^ -^)+b) , o *• ¿ / — '

/ T O

pero ahora el empalme con D obliga a que sea b=-a=l.

El empalme D -D indica que:

~To r 1/12 , . „ 1/12 Re E v^^íu -*°°,Z,T ) =E — n ,

o 10 o ' o o , o O

1/12 donde v,n(n_ , z ,x_) es el coeficiente de E en el desarrollo de

la componente azimutal de la velocidad para la zona D 30

3.7.4.2. Zonas D? y D 30

Es de esperar que la solución en D no difiera mucho de

la calculada en el § 3.7.3.1 para un puente líquido que inicial-

mente es cilindrico circular y que está soportado por fuerzas de

tensión superficial. En efecto: la ecuación diferencial para v

sigue siendo la (65); las ecuaciones para u y w son las (50) y

-42-

(48) respectivamente; las condiciones de empalme con D son tam­

bién las mismas, y solo cambiarán las condiciones en la entrefa­

se. Estas consideraciones sugieren las expresiones siguientes:

v(n,z,x;E) = R + E 1 / 1 2V l(n,z,T) + . . . ,

Re'

/TTT L k = 1 j = 1 l l eos TT kz A e KJ I , (73)

kj

donde a, „ =/2rFk; kl

_ ÍTT/3 -ÍTT/3 a k 2 " e a k i ; a k 3 = e a^

., , y A son factores kl k]

constantes que se deducirán de las condiciones en la entrefase.

De las ecuaciones (50) y (73),

u(n,z,x;E) =E u (n,z,x)+

1 Re' . i oo

O l

2 « k ^ T y eos ir kz A, . a, . e , (74) L L k] kj

'TT T k = 1 j = 1

F i n a l m e n t e , de (48) y ( 7 4 ) ,

w ( n , z , x ; E ) =E w ( n , z , x ) + .

w o 2

— 1 oo 3

1 Re r r sen 7T kz A 3 > ) ; A, . a . . e

/ , „ . „ TTk k] k] /TTT k = l i = l

a k n ( 7 5 )

Las expresiones de las componentes de la velocidad del

campo exterior, escritas en las variables n ,Z,T ;E serán análo ^ o o o —

gas a las anteriores. Ahora bien, como interesa utilizar el mis­

mo pequeño parámetro, E, y la misma variable temporal, x, tanto

para el fluido interior como para el exterior, introduciremos las

íunciones v*, u" y w" definidas como sigue:

E^ / 1 2v 1 0(n o,z,x o)=E1 / 1 2ví 0(n,z,x) ,

io l y '

1/12 Re '7TX

7/12 ,. ,Vo ,1/2,

Mo

• y y eos TT kz B . e k=l j=l k ]

-a k j(^) i , (76)

Lamí #Ssoa •43

donde las B son otros factores constantes que también se dedi

cirán de las condiciones en la entrefase.

r 5 / 1 2 / N „5/12 * , E o U o o ( n o ' Z ' T o ) = E U o o ( n ' Z ' T ) '

V

0 0 M ¿ rrz , * . . k] k 3 'TTT k = l j = 1

1/3

(77)

Finalmente,

1/12 , v J / 1 2 A, . w (n , Z , T ) = E w ( n , z , x ) ,

o 0 0 0 0 0 0 '

w 0 0

u 1/12 1 R - T oo

2 ÍT T k = 1 j = 1

sen TI kz n . 3 . k J ~ y 0

u 1 / 3

TTk B. . a, . e

k] k3 ( 7 8 )

Las condiciones de contorno en la entrefase, una vez

linealizadas y trasladadas a n=Ú, son:

Io) De la ecuación (27),

^ = Ú dr) U '

que suministra una primera relación entre A, . y B, . ^ r k 3 k]

a i f M 3 / 4 1

.{A^-íf) Bkl|-ak2

3 / 4

A k 9 - m Bk y y 3 / 4

( 7 9 )

2 o) De la ecuación ( 2 8 ) ,

3n o ,

y teniendo en cuenta la identidad

\ s e n ^ x = _ k = l k 2

X <7T ,

se obtiene:

-44-

í P 3 / 4

«k2 Akl + ( ^ ) B k l > + M 0 - 3 / 4

« k 2 A k 2 + ( ^ ) B k 2 |

+ ak. -M 3 / 4 k - 1

A k 3+ ^ ^ H " 1 ' 2 1 l - ( ~

M_l/2 ( l --^)T ( 8 0 )

3o) De la ecuación (24) ,

u = Ü

de donde se deduce

ak 1Ak 1-ak 3Ak 2-

ak2 Ak3 = ü (81)

4o) Finalmente, de (29) y (81),

u = v„-v =w -w , oo 1 10 o oo

de las que se obtienen los siguientes tres grupos de ecuaciones:

ak 1Bk 1-ak 3Bk 2-ak2

Bk 3 = ° » (82)

1/12 1/12 A*,-(f Bkl+Ak2-(-p) Bk2+Ak3-(-^)

1/12 5k3 = Ú, (83)

1/12 y Ak 1 +(-/) Bkl-A,

1/12

2 »• y Bk 2-A k 3-, l J

. ^ , 1 / 1 2

B k 3=Ú. (84)

Los seis grupos de ecuaciones (79) a (84) permiten ob-

1/12 -• tener A, . y (u /u) B, ., y de ahí las comDonentes de la veloci

kj J o k] " —

dad en las zonas D y D . Los resultados finales son:

1) En D3: n<0

u = _ I ^ - F ( ^ , T ) l (-l)1""1 / M c o s TT kz | F1 (n)+ (^ o l 'TTT k = l

2/3 F2(n)

con

t^Y--^

U 1/2 p_l/2 (l-(-¡f) )T

(85)

p 2/3 ,Pr.H/3

l+(^f) +(^)

y

lamf «aSsoD -45.

F 1 ( n ) = e +2 e

3. -, 3 /2Trk n -§/2iTk n /o 3

F 2 ( n ) r 2 e "2 e c o s ^ / 2 ¥ k n

Re" . k - 1 r r M o ^ r ( - 1 ) V 2 / 3 \

<n ( ~ , T ) J 1 "7 iS" C O S 7 r k z r i ( n ) + ( i r ) G 2( I > } > . < 8 6 >

• 3, 1 3 /2?kn T /2?Tr i / - 3

G.Cn) = e +2e¿ eos 4 f /2¥k n ,

G2(n)=2 e +2 e

3 1 3

^2irk n ^ / 2 u k n r- 3

w = 1 Re~T . ^ < 1 / 3

o 2 ' ITT

F ( ^ . T ) I ( - D ^ ^ f " s e n , k z Í H ^ n ) * 0 / 0

^ f ) H 2 (n )h (87 )

H^n) = e

3 -, 3

/2^k n -/2iTk n ^ 3

-2 e eos — /2irk n ,

3 -, 3

/ 2 í kn -v '^ iTn ^ 3

H 2 ( n ) = 2 e - 2 e 2 ' ~ c o ^ / 3

1 p - T JJ 00 3

\ - \ * j = T { - f , A l ( - I ) 1 5 " 1 "Wsen.y.z F ^ n ) ^ ) F 0 ( n ) . ( 8 8 ) /TTT k = l

. y „ 2 / 3

M J f2

Hay q u e o b s e r v a r que c u a n d o n = 0 l a s e c u a c i o n e s ( 8 5 ) a ( 8 8 ) c o i r i

c i d e n c o n l a s ( 6 6 ) a ( 6 9 ) , como e r a de s u p o n e r .

2) En D 3 0 : n>0

1 Re - T V 2 / 3 u J

0 0 - 2 - 7 = = - ^1T^ F C-TT^) I ( - l ) k _ 1 / 2 7 k c o s ^ k z • /TTT M k = l

1/3 , u„ 2 / 3 1 / 3

V " ^ ^ + i l f i M - ( ^ ) n) 1.(89)

- T 1/S ( 1 - < V / 2 ) T M <(JL) ' e ^ ' M ' - rro 10 / ^y

1^ >

( - 1 ) k - 1 l - H — > 1 I ¿ 3 ;; COS 7T k z •

k = l /2?Tk

1/3 , , ^ 2 / 3 1 / 3

-(£> ")+(lf) M-<^> 1) > . ( 9 0 )

En la Fig. 11 se ha representado v y v en función

de n, para diferentes valores de y /y y en el plano z=Ú. Para

dibujar esta figura se ha despreciado la influencia del tiempo T

en F, de manera que la configuración resultante es válida en el

límite T->Ü .

El examen de la Fig. 11 demuestra que la convexidad de

v depende del valor de la relación y /y. Cuando y /y<l la deriva,

da segunda de v es negativa, y pasa lo contrario cuando y /y>l.

Si además se tiene en cuenta la ecuación (50), se llega a la con

clusión de que, al menos en las proximidades de z=nr0, las part^

culas fluidas se mueven hacia el eje de giro cuando y /y<l, y se

alejan del eje de giro cuando y /y>l. Esto permite predecir que

cuando es y /y<l el puente presentará un cuello cerca de z = 0 y

que presentará, por el contrario, un vientre cuando y /y>l, Fig.

12.

Para ver cómo la influencia del tiempo T puede modifi­

car estas conclusiones, en la Fig. 13 se ha representado la ex­

presión :

Fig. 11. Componente azimutal de la velocidad, v, en función de la distancia a la posición no perturbada de la entrefase, n, para diferentes valores de la relación de viscosidades, u /y. Las curvas corres­ponden a la sección media del puente líquido (z=0) y a valores pequeños de T.

Y////////////////////"' W", i'.

.»' • l » l l l l

'•i--i,'r;' , ,-;"í ,*í"'-:'-'

. rj 'ü , • .'í.iv. tfKMfjfr 'Mili

Y//////////////////////.

LIQUIDO VISCOSO Interior

^777777777777777777////

LIQUIDO VISCOSO Exterior

Fig. 12. Simulación de Plateau con ligera variación de la velocidad de rotación cuando el líquido de soporte exterior es menos o más viscoso que el soportado interior.

Fig. 13. Función que indica la influencia del tiempo, T, en la distorsión que produce en el campo de velocidades la simulación de Plateau, para distintos valores de u /y.

-49-

en función de x y para los mismos valores de la relación \i /\\ que

aparecen en la Fig. 11. Se observa que, excepto en el caso p =0,

todas las funciones representadas cambian de signo para un valor

suficientemente grande de T, lo que indica que las conclusiones

anteriores son solo válidas para valores pequeños de T, pero que

hay que modificarlas para valores grandes.

La razón del curioso comportamiento que presenta la zo

na próxima a la entrefase al variar x es clara. El tiempo carac­

terístico es menor para el líquido más viscoso que para el menos

viscoso y esto implica dos efectos contrarios: Io Como el líqui­

do más viscoso se pone en rotación más rápidamente, arrastrará

al menos viscoso, y este efecto se notará fundamentalmente al

principio, es decir: para valores pequeños de x. 2o El líquido

más viscoso alcanzará las condiciones de rotación como sólido rí_

gido antes que el menos viscoso. Cuando en el líquido más visco­

so las componentes radial y axial de la velocidad son ya prácti­

camente nulas, en el líquido menos viscoso todavía presentan va­

lores apreciables. Por tanto, para valores grandes de x el líqui_

do menos viscoso arrastrará axialmente al más viscoso.

3.7.4.2.1. Cálculo de 1 1

Para calcular la forma de la entrefase hay que tener

en cuenta la ecuación (64) en la que P será ahora la diferencia

de las presiones reducidas a uno y otro lado de la entrefase.

Para calcular P (Ú,z,x) se recurre a la siguiente pare

ja de ecuaciones deducidas de (49) y (51):

= 2v , (93)

-50-

3Pn d w 2 o

3z (94) 3n'

El resultado final, particularizado en n=Ü, es

P 2 ( Ü , Z , T ) = - 2 Re - T y 2 / 3

F ( ^ , r ) ( l + 2 ( -£ ) ) I (-1) TTT M M k = l

k - 1 / 27Tk TTk

e o s TT k z , ( 9 5)

que coincide con la expresión (7ú) en el caso particular de que

sea y =0 . o

Análogamente, P „ „ ( 0 , Z , T ) se deducirá de un sist ema en 20 ' ' o

todo análogo al (93),(94), pero escrito en términos de las varia.

bles dependientes e independientes de la zona D .

Finalmente, definiendo, como es habitual, P* (0,z,x)

en la forma:

tendremos

E o5 / 1 2 P 2 0 ( Ü , Z , T O ) = E 5 / 1 2 P ^ ( Ü , Z , T ) ,

P 25 :

Q(0,Z,T) = 2 T> -T y y 2/3 Re r r o i r M o V0 2/3

TTT H k = l TTk

(96)

Teniendo en cuenta las ecuaciones (64), (95) y (96) se

obtiene la siguiente ecuación diferencial que permite calcular

el desplazamiento radial de la entrefase.

3 3 1 ~T TI °° / 1 , 1 - , „„ e nr

Mo i v / . sk -1 /2frk , — T + _ i =2C—-_G{— ,T) l (-1) - r r - c o s . k 9z R /¡TT k = l

TTk (97)

s iendo,

Gí-^ ,x ' y 2 / 3 y 4 / 3 1 y

1 + 4 p > ) + ( I ° ) F ( - ^ , T ) v y J ^ y J J V

Comparando las ecuaciones (97) y (64) se observa que

ahora ha desaparecido del primer miembro el término RC1 . Dicho

término resulta de que P en el segundo miembro de (64) es la

-51-

presión reducida y no la estática. Como en el segundo miembro de

(97) aparece ahora la diferencia de presiones reducidas, que es

igual a la diferencia de presiones estáticas, no habrá que intro

ducir el término RC1 en el primer miembro.

La solución de (97) con las mismas condiciones de sime

tría e invariancia del volumen utilizadas para obtener (71) es;

i ( \- OCP 2 e r( ° 1 V (-D /27Tk . ,.aS

l1(z,x)-2CR — G ( — ,T) l Co S,kz . (98)

/TTT k = l T í k R - l

Al comparar las expresiones (71) y (9 8) se descubre que

no siempre es lo mismo suponer u =0 que suponer que no hay líqui^

do en el exterior. Por ejemplo, de (98) se deduce que el despla­

zamiento de la superficie libre se hace infinitamente grande cuan

do TTR=1 y que, por tanto, la máxima relación longitud/diámetro

para la que el puente soportado es estable es la dada por el cri_

terio de Rayleigh para un puente en reposo, ya mencionado en la

Introducción, y no por el criterio de Gillis (72). En consecuen­

cia, el proceso de girar un puente líquido soportado exteriormen

te por un líquido de la misma densidad no desestabiliza el puen­

te. Este resultado no es nuevo [18].

3.7.4.3. Z_ojTa_p230

Si la presencia de un líquido exterior de la misma deri

sidad estabiliza un puente líquido en rotación, no está muy cla­

ro que se pueda utilizar la técnica de Plateau para comprobar ex

perimentalmente el resultado de Gillis, como pretenden hacer al­

gunos autores [14].

Pudiera pensarse que sólo se estabiliza el puente cuari

do se acelera el líquido exterior, pero no cuando se mantiene la

-52-

primitiva velocidad de rotación de éste. Por el contrario, el he_

cho de que la conclusión referente a que el líquido exterior anu

la el efecto desestabilizador de la rotación se haya deducido del

análisis de las zonas D y D , sin necesidad de conocer la es-

tructura de D , parece indicar que dicha conclusión es válida

tanto si los discos se aceleran como sólidos continuos, como si

sólo se acelera exclusivamente la parte interior de cada disco.

No es difícil encontrar dos distribuciones de velocidad

azimutal en la zona D.„„ que se comportan de la misma manera le-2 ó 0

jos de los discos, pero que en los discos cumplen las condiciones

de contorno apropiadas a cada caso.

Las ecuaciones diferenciales en la zona D n son las

clásicas de la capa de Ekman (ver ecuaciones (A-II.26) y (A-II.

27) en § 3.1 del Apéndice II). Eliminando X' por derivación ten_e

mos , en términos de las funciones y variables de la zona D„„ ,

la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

85(v'-R) 3(v'-R)

o

cuya solución general, no divergente lejos del disco, es:

v'-R=A+Be~^cosC +Ce~^sen^

La condición de acoplamiento con D indica que (ecua­

ción (76)) en cualquiera de los dos casos considerados debe ser:

-, 1/12 Jo 'lCT''o A = t,y xz v„„(n„,±i,T ) .

La condición de contorno en el disco será:

Io) Si el disco es un sólido rígido cuya velocidad an­

gular aumenta en un momento dado:

-53-

v'-R = A + B = Ú . o

2o) Si sólo se acelera la parte del disco en contacto

con el puente soportado:

v'-R = A+B =- R o

En el primer caso la solución será:

v'=R+E 1 / 1 2v„„(n ,±1,T )<l-e~^cos£> , o 10 o o

y en el segundo

,1/12 , + 1 • T 11/1 „~£, v1 = [R+E ' v„n(n ,±1;T )]<l-e ^cos^> . o l O o ' o

Conviene advertir, sin embargo, que la controversia no

queda completamente zanjada mientras no se estudien de forma ri­

gurosa las zonas D . D , „, D„ n y D„ . & 40' 240' 1 0 - 2 0

3.7.5. Puesta en rotación. El problema del rincón

En este apartado se considera un puente líquido cilin­

drico, en reposo, contenido entre dos discos circulares coaxia­

les, de radio RL/2, distantes entre sí una distancia L. Súbitameri

te, uno de los discos comienza a girar alrededor del eje de sime

tría del sistema con velocidad angular 0,. El problema consiste

en saber cómo se transmite esta rotación al líquido, por difusión

viscosa, durante los primeros instantes de la puesta en rotación

(capa de Rayleigh giratoria).

La solución para el núcleo central fue obtenida por

Benton [5], quien consideró la súbita puesta en rotación, en su

plano, de un disco de radio infinitamente grande en contacto con

una masa líquida que llena el semiespacio superior al disco.

Para obtener la solución, se expresan formalmente las

componentes de la velocidad y de la presión en serie de poten­

cias de un pequeño parámetro e, que mide el tiempo desde el co­

mienzo del giro. Al introducir estas series en el sistema de ecua

clones (1) a (4), como el desarrollo debe ser válido para valores

arbitrarios pequeños de e, los coeficientes de los términos en

las sucesivas potencias de e deben satisfacer por separado las

ecuaciones. Esto proporciona una sucesión de ecuaciones diferen­

ciales lineales ordinarias relativamente sencillas, cuyos térmi­

nos independientes se calculan de antemano para cada aproxima­

ción. Además las ecuaciones están desacopladas y se puede escri­

bir sus soluciones, en forma cerrada. En la práctica aparecen, sin

embargo, dos razones por las que es difícil el cálculo de los tér

minos de orden superior:

1) La expresión del término independiente se complica

más y más al aumentar el orden de la aproximación.

2) El esquema de perturbaciones no es válido cuando el

radio del disco es finito, y hay que examinar en detalle lo que

ocurre en el rincón, con los sucesivos grados de aproximación,

para obtener una solución uniformemente válida.

Las dos soluciones mencionadas, la correspondiente al

núcleo central y la correspondiente al rincón, se complementan

entre sí; cada una es válida donde falla la otra, y deben acoplar_

se en una región intermedia de validez común, Fig. 14.

En el caso presente, sólo se ha obtenido una solución

uniformemente válida en primera aproximación. Esto es una hazaña

relativamente modesta si se tiene en cuenta que, juzgando por lo

que ocurre con la solución de Benton, la aproximación lineal só­

lo es válida para giros del disco de menos de medio radián, mien

-55-

i

i ZONA NO PERTURBADA

Fig. 1*4. Las distintas regiones existentes en la puesta en rotación de un puente líquido cilindrico. El orden de magnitud del espesor de estas zonas se discute más adelante.

tras que el alcanzar la configuración estacionaria requiere más

de dos revoluciones. Pensamos, sin embargo, que esta complicada

solución representa un primer paso, y que sirve para ilustrar las

dificultades del problema del rincón, problema que es de gran in

teres.

3.7.5.1. Solución en el núcleo central

Es lógico pensar que haya un núcleo central que, al me

nos en primera aproximación, no siente los efectos de la superfi_

cié libre. La solución en ese núcleo central será, en primera

aproximación, la de Benton.

La capa viscosa producida cerca del disco es muy delga_

da al principio; por lo tanto, con el fin de manejar variables

-56-

independientes de orden unidad, introducimos un tiempo dilatado,

T, y una variable dilatada normal al disco, n,

t

2/EET

Hay que observar que la longitud característica utili­

zada para adimensionalizar es aquí RL/2, única longitud que apa­

rece, pues no hay interacción alguna entre las placas.

Los desarrollos en serie de Benton son:

u(r,z,t;c) = eir[f 1(n) + (eT)2f2(n) + (eT)

l+.f3(n) + . . .] ,

v(r,z,t;e) =r[g (n)+(ei) g (n)+(eT) g (n)+(eT) g (n)+...]

w (z,t;e) =-4ei/Ee7 [h (n ) + (ET) h (n) + (ET) h (n) + . ••] ,

p(z,t;e)-^ = 2EeT[p1(n) + (cT)2p2(n) + (eT)

l+p3(ri) + .. •] •

El razonamiento que conduce a estos desarrollos, preseri

tado detalladamente por Benton, se puede resumir como sigue:

En primer lugar, es evidente que el problema que esta­

mos considerando es la contrapartida en rotación del problema b L

dimensional del movimiento impulsivo de una placa que se despla­

za en su plano con velocidad U. Es el llamado "primer problema

de Stokes" (Schlichting [19]). La solución de este problema se

expresa en función de una variable de semejanza, n = z/2/vT. De aquí

podemos conjeturar que, en primera aproximación,

v ( r , z , t) = r g ( n )

Como v produce fuerzas centrífugas que valen, por uni-

o

dad de masa, v /r, aparecerá una aceleración radial. Para tiem­

pos pequeños, esta aceleración será puramente local, porque los

términos convectivos son claramente de orden suüerior. Por eso

57

en la ecuación (2) 3u/3t deberá ser del mismo orden que v /r,

u ( r , z , t ) = e x r f ( n )

A un flujo radial hacia fuera debe corresponder un flu

jo axial hacia el disco, y la ecuación de continuidad (1) sugie­

re que:

w(r,z,t) -~kex /Eex h (n)

Por último, la expresión para p resulta de la ecuación

(4) en la que 3w/3t^3p/3z,

1 p(r,z,t) - = 2 E e x p 1 ( n )

Es interesante observar que las series avanzan como

(ex) , lo que asegura la rápida convergencia de la solución para

tiempos pequeños.

Las funciones f , g y h fueron calculadas en forma

cerrada por Thiriot (citado por Benton). p fue calculada por

Nigam [20]. Benton calculó g en forma cerrada y f , f , g , g ,

h y h mediante integración numérica. Todas estas funciones apa.

recen tabuladas en el trabajo de Benton. Algunas de ellas se pre

sentan en la Fig. 15.

Los términos dominantes en el cálculo de la primera

aproximación son los que aparecen en el siguiente sistema de ecua.

ciones, que conviene escribir pues sirve de guía para estimar el

orden de. magnitud de los términos en la región del rincón:

(ru) , 9(rw) _ , 3r dz ' U '

3 3t

2 ) E -

3 z •>

• u = 0

(99)

C10Ü)

1

Fig. 15. Las funciones f^, Í2, g y h^ calculadas por Benton [5].

3 z ->

3 „ 3 2 \ 3p 3t 3 2J 3z

(101)

(102)

ara f

Las ecuaciones y condiciones de contorno que resultan

1 , g 1, h 1 y p 1 son:

a) De la ecuación (101)

dg d2g

dn A + 2 n ^ l = o , con g l(0) = l, g1(») = 0 (103)

b) De la ecuación (100),

df d 2 f

dn Y+ 2 n ~dé~ _ l 4 f i " " U g i 2 ' c o n í

1i 0 ) = 0^ f 1 ( ° ° ) = o ( 1 0 4 )

c ) De l a e c u a c i ó n ( 9 9 ) ,

dn = f „ , con h „ ( 0 ) = 0

1 ' 1 ( 1 0 5 )

-59-

d) De la ecuación (102),

2 d h dh dp

^ r + 2 r i ^ r - 6 h l = - - d T ' C O n P1í0>=Po = cte. (106)

3.7.5.2. Solución en el rincón

Es probable que la solución en el núcleo central no val

ga cerca de la superficie libre , en donde hay que cumplir las com

pilcadas condiciones de contorno (21) a (25). Sin embargo, es lo

gico pensar que la región de invalidez de la solución del núcleo

central es muy estrecha. Esto sugiere introducir una coordenada

radial, E, , de orden unidad, definida en la forma siguiente:

r = 1 + e E,

El espesor de esta zona del rincón en la dirección z (normal al

disco) deberá seguir siendo de orden e , como ocurría en el nú

cleo central.

En relación con las componentes de velocidad, es de re

saltar que: 1) La componente radial u deberá seguir siendo de or

den e, pues de lo contrario su valor para £; + -«> no se acoplaría

con el valor de u en el núcleo central. 2) Por el contrario, la

componente normal al disco, w, deberá ser mayor que en el núcleo

central, dado que toda la masa fluida que se acerca al disco atra

vesando un área de orden unidad debe alejarse de él a través de

una corona exterior que, probablemente, es muy delgada. Una vez

conocido el exponente n, la ecuación de continuidad (1) dará el

orden de magnitud de w. 3) La componente azimutal de la veloci­

dad, v, será de orden unidad, como ocurría en el núcleo central,

ya que está inducida directamente por el giro del disco.

Si el espesor radial de la zona del rincón es de orden

-60-

e , las derivadas respecto a r aparecerán ampliadas en el factor

e . Esto es lo que se espera de la solución en el rincón donde

ciertas magnitudes fluidas deberán variar más acusadamente que

en el núcleo central.

De la condición de conservación de la componente radial

de cantidad de movimiento se deduce que la componente radial de

la aceleración local está gobernada por el desequilibrio entre

fuerzas centrífugas y fuerzas viscosas. En el núcleo central el

9 2

término viscoso dominante era E 3 u/3z . Este término no puede

ser el responsable de las acusadas deceleraciones radiales que

se espera que existan en el rincón, porque su efecto es tanto me

nos eficaz cuanto más disminuye u. Además, ni los términos con­

vectivos no lineales ni el de fuerza centrífuga pueden producir

dicha deceleración. Deducimos, por tanto, que la única posibili-9 9 >»

dad es que exista, junto a E 3 u/3z , otro término viscoso del

orden de 3u/3t. Esta idea será la clave para determinar n.

Los cuatro términos viscosos que aparecen en el segun­

do miembro de (2), a saber: .2

^ 2 d u

2 r — — r u " r 9r ' ,_2 '

L 2 ' r 8r 3z'

son, respectivamente y en las proximidades del rincón, del orden

de: 1 0 , - , 1 _ i-,

1 ; e , l-2n 1-n

por lo tanto n=l/2.

Una vez conocido el espesor radial de la región, las

variables de orden unidad en ella serán:

2/EsT

61

2/ETT

t

Las derivadas respecto a las variables naturales, r, z

y t, están relacionadas con las derivadas respecto a £, n y T me

diante las expresiones siguientes:

3r

_3_ dz

2/E ex

2/EF

_3_

se

_3_ 3n

Los operadores diferenciales 3/3t y EL- —• escritos en las nuevas

variables son:

S 3 n 3 + i _3_ 3t 2ST 3^ 2ei 3n e 3T

EL -2 2

, 1__ + -1— + 2T — + 2n — - 4T ~ 3t Uex | _ 2 „„2 ^ 3C 3n 3x

1

3C 3n'

E 1 E

1 + 2 / E S T C 2 / E i T 3^ (1 + 2 / E e T ^ ) 2

LOS desarrollos correspondientes a las magnitudes flui_

das en la región del rincón serán:

u(r,z,t) = CT[rf1(n)+u1(C,n) + 2/EsTu2(C,n) + - • • ] (1Ú7)

'(r,z,t) =rg1(n)+v1(C,n)+2/EETv2(C,n)+.•• , (108)

w(r,z,t) = £T[w1(C,ri) + 2v/ET:Fw2(£;,n)-

1+/EeTh1(n) + . . .] ,(109)

p(r,z,t) = ± + 5p- [P1(5,n) + 2/ETr"P2(C,n)+4/EeT ? 1 ( n ) + ...].( 110 )

Para la función de corriente, X, el desarrollo será:

- 6 2 -

X ( r , z , t ) = 2 E T / E C T [ r h 1 ( n ) + X 1 ( C , n ) + 2 / E F r X ( £ , n ) + . . . ] . ( 1 1 1 )

En lo sucesivo, se utilizará también la componente azimutal del

rotacional, 0:

dz dr

El desarrollo para fi será:

df (n) Ü ( r , z , t ) = [ r — — + fl ( ? , M ) + 2 / E T T f i 0 U , n ) + . • • ] • (112)

2/EFF =—á2== ! 2

Los términos subrayados en las ecuaciones (107) a (112)

son los que también aparecen en el núcleo central.

Las presiones en la ecuación (110) son estáticas (no

reducidas) en todos los casos.

Obsérvese que mientras la solución en el núcleo cen­

tral avanza según las potencias pares de ei, en la zona del rin­

cón avanza según las potencias de /EGT . Además, dentro de la aprcí

mación utilizada hasta el momento, no se nota en el rincón la in_

fluencia de los términos no lineales de las ecuaciones (2) a (4).

Esto indica que se puede estudiar la corriente en esta zona uti­

lizando las ecuaciones lineales (36) a (39), ó (41a) y (42a), y

que esto se puede hacer para las tres primeras aproximaciones.

3.7.5.3. Las condiciones de contorno en la superficie libre

La condición cinemática en la superficie libre (24),

escrita con R=l, pues aquí la única longitud que aparece es el

radio del puente líquido no perturbado, indica que:

l(z,t) = (eT)2L1(n) + 2(eT)2/EÍTL2(n) + - • • . (113)

Con esta expresión y teniendo en cuenta las ecuaciones (1Ú7) a

-63-

(110), las condiciones de contorno (21) a (25) (con R=l) se redu

cen a:

P 1 ( ü , n ) - 2 ~—u1(c,n) + 2 / E T T [ P 2 ( ü , n ) + 2 p 1 ( n ) -

- 2f ( n ) - 2 ^ — u ( 5 , n ) ] + . . . = o , ( U 4 )

~ — w 1 ( 5 , n ) + ^ u 1 ( o s n ) + - H í f ( n ) + t, = o

, p¡ 3u (o ,n ) + 2 /ET? [ ^~w 2 ( c ,n )+ - ~ ] + . . . = ú , cus)

^ — v 1 ( c , n ) + 2/ÉTT [ ^ — v ( ? , n ) - v ( ü , n ) ] + . . .= ú , (116)

dL (TI) HL^CnKn — ^ 2 [ f 1 ( n ) + u 1 ( o , n ) ] +

d L 0 ( n ) 2 + 2 / E E T [ 5 L 2 ( n ) - n — 5 7 7 — - 2 u 2 ( o , n ) ] + . . . = o , (117)

L ( 0 ) + 2 / E F T L ( 0 ) + . . .= 0 . (118)

Estas condiciones de contorno se han transferido a 5 = 0, dado que

la posición de la superficie libre difiere de E, = 0 en términos de

orden (ex) .

3.7.5.4. Ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno adi­

cionales

Escribiendo el sistema (4 la) , (42a ) en las variables de

la región del rincón, teniendo en cuenta los desarrollos (108),

(111) y (112), y las ecuaciones (103), (104) y (105) llegamos,

tras despreciar infinitésimos de orden superior, al sistema si­

guiente :

-64-

2

2 3£ 2 3n 3 T H [ v 1 ( 5 , n ) + 2 / E e T v ( C , n ) ] = Ü , ( 1 1 9 )

2 2

l ^ + 2 C 9 T + ~T+2n-^T- l 4T¿} /TfQi (^ ri ) + 2 / E ^ a 2 ( e , n ) ] = o,( i20) 1 o t, dn j

c o n

| — 2 " + —2] f x1 ^ ' n ) + 2/EFFx2(^,n)]=£21(e,n) + 2/EFF a 2 ( e , n ) . (121)

3 £ 2 3 n 2 a

Las condiciones de contorno en el disco (n=Ü) serán:

1) Para la v:

v ( £ , 0 ) + 2 / E E T v (£,0) = 0

2) Para la función de corriente:

2a) Procedente de u=0,

[xi(^,n) + 2^FTX2(C,n)] = ü ,

(122)

2b) Procedente de w=ú,

(123)

^ [ X ( £ , Ú ) + 2 /EiT X 0(£ , 0)] + 2 v^iT X ( E, o t, 1 l 1

0)=0. (124)

Como la solución en la zona del rincón es la del núcleo

central más términos adicionales , estos términos adicionales de­

ben ser nulos cuando £-•-«>. Lo mismo ocurrirá cuando r)->°° •

3.7.5.5. Resumen de ecuaciones y condiciones de contorno para la

zona del rincón en las dos primeras aproximaciones

Primera aproximación.

• Ecuaciones diferenciales.

3 v

H

3v 3 v 3v I + 2 £ - ^ + T-+ 2n -rr^- = 0

H . 2 3n

3n (125)

d2ü 3Q 82fi 3Q

2 2 3 X 8 X

~ + ^ = 0 . (127)

Condiciones de contorno en la superficie libre (£=0)

•~\

T-r~— v (£,n) = 0 , (128)

32x (o,n) df.(n) 2 -jr Q C O . r , ) - - ^ - • (129)

3n

Condiciones de contorno en el disco (n=0).

v (5,0) = ^ X CC ,Ú) = g ~ X (í,n) = Ú . (130)

Condiciones de contorno a gran distancia del origen

(£ +n -*°°).

V (£,n) =-^-x1(£sn) = -x1(£,n) = o . (131)

Es evidente que v _.(•£,n) = 0 y que, por tanto, la solución

v=rg (n) es uniformemente válida, en primera aproximación, en t£

do el dominio fluido.

Segunda aproximación.

• Ecuaciones diferenciales.

2 2 3 v 3v 3 v 3v0 — f + 2 t - ^ + — f + 2 n T ^ - 4 v 2 = 0 , (132)

át, ÓT]

d2Q dü 32S2 3Q ^ + 2 £ 1 - / + — ~ + 2 r ) - ^ - k n =0 , (133)

H 2 3C 3n2 3n 2

9 2

3 X. 3 X 0

f + ^ = fi . (134) 3C 3n

•66-

• Condiciones de contorno en la superficie libre (£=ü)

H K = o v2(^,n) = ü ,

9 x2(o,n)

8n (ü ,n) = ü

(135)

(136)

Condiciones de contorno en el disco (n=Ü)

vo(C,0) = AX2(^,o)+X1(C,Ú)= y-¿ X2C4,n)= 0.(137) n = o

2

• Condiciones de contorno a gran distancia del origen

Í ¡r2, 2 s

v2U,n) =^x2(Csn)+x1(c,Ti)=-^x2(C,n)= o . ci38)

Se ve que también en este orden es v (£,n)=0. El pro­

blema para X (C,u) resultaría homogéneo con condiciones de con­

torno homogéneas, y por tanto X (£,n)5ú, si resultaran simultá-

2 2

neamente nulos X (£,0) y X (£,ri) para E, + n ^°°. Aunque existe li­

bertad para suponer que uno de los dos es nulo, no la hay para

suponer que lo son los dos. El que ambos fueran nulos querría de_

cir que la primera corrección en el rincón se limita a redistri­

buir el gasto radial procedente del núcleo central, sin modifi­

car el valor global. Todo el gasto que llega al cilindro de ra­

dio unidad se emplearía, al menos en la primera fase de la pues­

ta en rotación, en llenar el espacio que deja vacante el despla­

zamiento de la superficie libre. Por el momento no se puede sa­

ber si esto es cierto o no.

3.8. CONCLUSIONES

El trabajo presentado en las casi cien páginas de es-

-67-

te capítulo, con sus Apéndices, ha supuesto algo más de cinco me

ses-hombre dedicados a esta tarea y forma parte de un ambicioso

plan cuyo fin es el de poder disponer, de una forma clara y lo

más resumida posible, de todo un arsenal de soluciones matemáti­

cas con las que impulsar el estudio de la hidrodinámica de las

zonas flotantes.

El programa supone una enorme labor de recapitulación

y profundización en el tema, mejorando modelos ya establecidos y

alumbrando otros nuevos con los que abordar aspectos aún no tra­

tados .

Como reflejo de este esfuerzo, la versión actual del

capítulo cubre los dos primeros puntos señalados en el § 3.1.1,

planteándose de forma sistemática las ecuaciones y condiciones

de contorno que rigen en los modelos fluidomecánicos y fluidotér

micos, con un análisis amplio de diversos problemas relacionados

con los movimientos impulsivos. Desgraciadamente, dificultades

aparecidas en el proceso de cálculo numérico, han retrasado la

obtención de resultados con los que completar el modelo fluido-

térmico ya desarrollado teóricamente, por lo que esta parte no

ha podido ser incluida en estas páginas.

•68-

APÉNDICE I

CONDICIÓN DE CONTORNO TÉRMICA EN LA ENTREFASE

-69-

La ecuación de conservación de la energía interna en

la entrefase es:

|f+Vt.[vt-e]+6[n-Jn]= a Vt.vt , (A-I.l)

siendo:

e la energía interna por unidad de área de la entre-

fase;

6 indica salto a través de la entrefase; -y

J el vector flujo difusivo de energía. Cuando no hay

difusión de masa desde o hacia la entrefase, -y

J =-k*VT. Se supone que k es independiente de la

temperatura. V = - n^(n^V)

V = ru (v^n)

Todas las magnitudes utilizadas en este Apéndice I tie_

nen dimensiones.

De acuerdo con la ecuación de Gibbs-Duhem,

do + s dT = 0

de manera que si o depende sólo de T y depende linealmente,

da „ . . —-=_ s = Constante .

De la ecuación de Euler,

e = Ts + o ,

se deduce que e debe ser constante, y con esto (A-I.l) se redu­

ce a:

•da ó[n-3n]= (f£) T(Vt-vt) . (A-I.2)

-70-

Si ahora suponemos que no hay flujo diíusivo masico

desde o hacia la entrefase y que la temperatura exterior es uni­

forme, la ecuación anterior se convierte en:

kn-VT^ (^) T(Vt-vt) . (A-I.3)

Introduciendo el parámetro adimensional

k N

1" (§?)A llegamos a la ecuación (31), que está escrita en variables adi-

mensionales.

71

APÉNDICE II

CILINDRO CIRCULAR DE PAREDES RÍGIDAS CON LIGERO

INCREMENTO DE LA VELOCIDAD DE ROTACIÓN

(E<<1, t^E 1 / 2 )

-72-

1. INTRODUCCIÓN

En el artículo ya mencionado de Greenspan y Howard [k]

se puede encontrar el resultado correspondiente a la configura­

ción de cilindro circular de paredes rígidas, pero no se explica

la manera de cómo llegar a estos resultados. Por esta razón, en

este Apéndice, se establecen las ecuaciones y las condiciones de

contorno que permiten obtener la solución en forma de desarrollos

asintóticos. El método seguido y las aproximaciones realizadas

son un buen ejemplo de cómo proceden las técnicas asintóticas

cuando intervienen capas límite.

Antes de entrar en el desarrollo analítico propiamente

dicho, es necesario estudiar con detalle las posibilidades que

existen en cuanto a órdenes de magnitud. Este análisis dará la

pauta a seguir en los desarrollos asintóticos.

Para ello se consideran las ecuaciones linealizadas de

un movimiento axilsimétrico, (32) a (35). Eliminando las tres com

ponentes de la velocidad entre las cuatro ecuaciones, se llega a

una ecuación diferencial de sexto orden para la presión reducida,

P:

(EL-E1/2#-)2LP =-k ^ , (A-II.l) d z

-1/2 donde, como se estudia el problema para tiempos de orden h ,

se ha utilizado una variable temporal, T, de orden unidad definí^

1/2 da por x=E t.

En zonas de evoluciones bruscas de las magnitudes flui_

das, al menos un término del primer miembro de (A-II.l) será del

mismo orden que el segundo miembro.

Una de tales zonas puede existir cerca de las bases.

73

En efecto, definiendo una variable local de orden unidad 5=E~az,

con a>Ü, se obtiene:

E2-6a!_tP+L|E-2ar_P=0

Ambos sumandos serán del mismo orden si a=l/2, es decir si el

pesor de las capas viscosas próximas a las bases es de orden

r-1/2

es

Para determinar si puede existir una capa de cortadura

axial, cerca de r=R, se define n=E~ (r-R), con b>0. Conservando

los términos dominantes de (A-II.l):

E2-6bi__P+49_lP = 0

3n 9z 2

de donde se deduce que el espesor de tal capa ha de ser de orden

E 1 / 3 .

En la zona interior del fluido, es decir, allí donde

las variables espaciales, r y z, sean de orden unidad, las ecua-

s • 1/2

clones (41) y (42) indican, después de sustituir t por T = E t,

que si las variaciones radiales de v son de orden unidad, X ha

1/2 •* 1 I' 1 de ser de orden E . Por tanto, u y w serán de orden E . Las

mismas ecuaciones (41) y (.42), pero escritas con la variable E,

de las capas de Ekman, indican también que en esas capas la velo

cidad radial es de orden unidad.

Si se supone entonces que solo existe una capa axial,

1/3 cerca de r=R, de espesor E , el flujo que se desarrolla en

1/2 • • ella, y que resulta ser de orden E por mera continuidad entre

la zona interior y las capas de Ekman, impone variables vertica-

T p-1/3 0)í j -, T^I/6 T , , „ - n l / 2 j T • £_

les w^E 7r— , de. orden E . Luego X^E , y de la ecuación

(41) en variables locales, v resulta de orden E 1/6 con lo que

-74-

todo empalme con la zona interior, en donde v es de orden unidad,

es imposible.

En conclusión, por exigencias de continuidad, se ha de

considerar la necesidad de una capa de espesor diferente de E 1^ 3

y para la cual: 92P/8z2=Ú, según se deduce de (A-II.l). La capa

1/3 de espesor E , si existe, estará sumergida en esta nueva capa.

Si se supone que el nuevo espesor es de orden Ec con c>0, la va­

riable local es p=E~c(r-R). La ecuación (MI) se escribe, salvo

términos despreciables:

2 rl-2c 3 v /p 3v „ 3X

1/2 lo que sugiere, con v^l, que b=l/4 y por tanto X^E

Como se verá en el transcurso del cálculo, esta capa

no es capaz de empalmar con la zona interior y a la vez de veri­

ficar la condición de contorno en r=R. Por tanto, la capa de es-

1/3 * • •

pesor E deberá existir, pero con un flujo axial que ya no se­

rá de orden E

Es de destacar que esta descripción no será válida pa­

ra tiempos t pequeños Cr=t/E es de orden unidad), es decir hasta

un par de revoluciones después del arranque. El problema para t

pequeños requiere un tratamiento distinto que se presenta a con­

tinuación, limitado al estudio del núcleo central.

2. SOLUCIÓN EN EL NÚCLEO CENTRAL. TIEMPOS DE ORDEN UNIDAD.

Aunque en este Apéndice se trata de estudiar el compor

tamiento del líquido contenido en el cilindro para tiempos, t,

del orden de 1//ÉT, contados a partir del momento en que se modi­

ficó la velocidad de giro, el hecho de que en el núcleo central

-75-

(zonas D1 y D^) aparezca el tiempo como variable independiente

en un sistema parabólico, obliga a resolver el problema en este

núcleo central para tiempos, t, de orden unidad. En caso contra­

rio, no se podrían imponer las condiciones iniciales para x=0.

El problema para el núcleo central está dado por las

ecuaciones (43) y (44) 6 (45) y (46) con las condiciones inicia­

les :

t=0 ; U=V=0 , (A-II.2)

las condiciones de contorno ( T > 0 ) :

z = ±l ; U = V-l = c|> = 0 , (A-II.3)

y las condiciones de simetría:

z = 0 ; <$> = ~- = —• = 0 . (A-II.4) T d Z d Z

2.1. ZONA D2

Como sucede en los problemas de capa límite viscosa, los

2 2 términos en d /Sz de las ecuaciones (45) y (46) indican la exis_

1/2 • • tencia de capas de espesor E en las proximidades de las bases.

En dichas capas las fuerzas de viscosidad son comparables a las

de inercia.

Para estudiar lo que ocurre, por ejemplo en las proxi­

midades de z=-l, se dilata la distancia a dicha base introducien

do la variable £ de orden unidad,

£ = E~ 1 / 2(z+l)

Los desarrollos de U y V serán:

U' (C,t;E) = U' CS ,t)+E 1 / 2 U,1(S,t) + . . . , CA-II.5)

•76-

V'(C,t;E) = V o(C,t) + E1 / 2V' 1(5,t) + ... , (A-II.6)

donde las primas se utilizan para identificar las magnitudes flui

das en esta zona D .

El gradiente radial de presión debe estar impuesto de_s

de la zona D 1, donde es de orden E1 / 2 como se verá más adelante

(§ 2.2). El desarrollo para F(t) será:

F(t;E) = E 1 / 2 F (t) + . . . (A-II.7)

Llevando CA-II.5), (A-II.6) y (A-II.7) a (45) y (46),

una vez escritas estas ecuaciones en las variables independien­

tes £ y t, se tiene en primera aproximación:

32

.2 dtJ o ) V = 2 U»

„r2 8tJ o

con las condiciones iniciales:

2 V o

y

t = 0 , ^ > 0 ; U ' = V =0 ' ^ ' o o

las condiciones de contorno (t>Ú):

U' = V -1 = 0 , o o C = 0 ;

Introduciendo la función compleja

U' = V = 0 o o

CU,t) = e' 2it $o(C,t)= vo(c,t)-i uoU,t)

resulta el siguiente problema para 0 (5»"t)

—Ecuación diferencial

.2^ o o_

~. r 2 ot = 0

(A-II.8)

-77-

Condiciones iniciale:

t = 0 C>0 ; $ =0 . o

Condiciones de contorno (t>0)

£ = 0 ; = e 2it

= 0

Este problema está resuelto en Carslaw £ Jaeger . La

solución final es:

K -v2-±e

C(£,t) = e - U + i)£ 2 f2/t 2y 2 dp .

'TT •'o

La integral que aparece en el segundo miembro de esta expresión

está calculada en Abramowitz £ Stegun:

C(C,t)=-|íe(1 + i H e r f c ( - ^ ; + (l+i)/t ) + 2/t

+ e- ( 1 + i H e r f c ( - ¿ - - (l + i)/t) 2/t

,1/2,

(A-II.9)

Teniendo en cuenta que U=3<})/Sz=E %$/%£,, se deduce

de (A-II.8) y (A-II.9) la primera aproximación para la función

de corriente <j)' :

C(x,t)dx +. . . '(C,t;E) =-E 1 / 2J

'o

Para integrar el segundo miembro, se utiliza la siguiente expre­

sión :

ax e d X erfc(bx+c)dx = erfc(bx + c)

1 e

a

a -^abc

4b2

erf (bx + 2 b ¿ a)+ Const

de la que se deduce:

< f > ' ( £ , t ; E ) , 1 / 2

1 + 1 e ( l + i)¿*erfc(-¿-+(l + i)/F)-

2/t

. - ( 1 + i H e r fc ( - £ - - ( l + i ) / t ) + 2 e r f ( ( l + i ) / t ) l + .... 2 / t J

A gran d i s t a n c i a de l a bas,e z = - l :

(*) ' ( - , t ;E)=-E 1 / 2 J l + i

e r f ( ( l + i ) / t ) + . . . =

= - E 1 / 2 J L ( l + i ) 2

S ( 2 / | ) + i C ( 2 # +

donde <S y C son, respectivamente, las integrales seno y coseno

de Fresnel. Por lo tanto:

(A-II.10) <}>'(<*>,t;E) = E 1 / 2 S(2J^)

2.2. ZONA D 1

En esta zona la variable z es del orden de la unidad,

y las fuerzas de inercia predominan sobre las de viscosidad. Los

desarrollos de U, V y F son:

U(z,t;E)=E1/2U1(z,t)+EU2(z,t)+...

,1/2

(A-II.11)

V(z,t;E) =Ea/ZV1(z,t)+EV2(z,t)+... , (A-II.12)

F(t;E)=E 1 / 2F 1(t)+EF 2(t)+... . (A-II.13)

Sustituyendo en las ecuaciones (45) y (46) se obtiene,

en primera aproximación:

St 1

-2- u 3t Ul

= - 2 LT

2 V - F

(A-II.14)

(A-II.15)

La condición de simetría (A-II.4) indica que U , V y

-79-

F son funciones a lo sumo de t.

Para realizar el empalme con la zona D es necesario

calcular la función de corriente <j)(z,t;E):

<|>(z,t;E) = E 1 / 2 z U (t) + . . .

La condición de empalme deberá expresar que el compor­

tamiento en la base (z=-l) de la solución válida para la zona D 1

coincide con el comportamiento a gran distancia de la base de la

solución válida para' la zona D [l^] . Es decir:

<¿>(-l,t;E) = <J>' C"o,t;E) ,

de donde, recordando (A-II.1Q) se deduce, en primera aproxima­

ción

U Ct) =-S(2\^) CA-II.16)

De las ecuaciones CA-II.14), (.A-II.15) y (A-II.16)

•t

V (t) = 2 ( s(2\f}dx=2tS(2\^)+\/| eos 2t- -i C{ 2 *%)

F^t) = 2 V1(t) + ^ S ( 2 Vf) = 2 V2(t) sen 2t

'•nt

Para valores grandes de t

l^Ct)

v ^ t ^ t

F„(t) = 2t 1

CA-II.17)

CA-II.18)

(A-II.19)

Este comportamiento para tiempos grandes será tenido

en cuenta para obtener el comportamiento de las componentes de

la velocidad en el núcleo central para valores x pequeños, uti­

lizando el principio del acoplamiento. Bastará para ello expre-

-80-

sar que el comportamiento para tiempos grandes de la solución co

rrespondiente a tiempos pequeños coincide con el comportamiento

para tiempos pequeños de la solución correspondiente a tiempos

grandes, [l4j .

3. SOLUCIÓN PARA TIEMPOS GRANDES

Una vez resuelto el problema para t^l, se puede pasar

al problema para t^E~ 1 / 2. Según se justificó en la introducción

a este Apéndice, el campo fluido queda dividido en seis regiones

(Fig. A-II.l): las capas de Ekman D , D y D y el núcleo cen­

tral, subdividido en la zona interior no viscosa D y las dos ca

pas de cortadura axiales D y D .

Fig. A-II.l. Las diferentes regiones fluidas en el caso del pequeño in­cremento de la velocidad de rotación de un cilindro circular.

3 • 1 • ZONAS D x Y D 2

Las variables características de orden unidad en'D

— 1/2 son: r en sentido radial, y £ = E (z±l) en sentido axial (con

signo más o menos, según se trate de la capa D inferior: z=-l,

o superior: z=+l). Las variables de orden unidad en D. serán las

variables naturales r y z.

Las ecuaciones (41) y (42) sugieren entonces unos desa

rrollos de v y de X del tipo:

1) En D„ , 1 '

v(r,z,T;E)^vo(r,z,T)+E1/2v1(r,z,T)+... (A-II.2Ü)

X(r,z,x;E)'vE1/2Xo(r,z,T)+EX1(r,z,T) + . . . . (A-II.21)

2) En D 2,

v'(r,^,T;E)^v'o(r,C,T)+E1/2v'1(r,^,T) + ... ,(A-I1.22)

X' (r,C,T;E)a,E1/2X'o(r,C,T)+EX'1(r,C,T) + ... .(A-II.2 3)

Introduciendo estos desarrollos en las ecuaciones (41)

y (42), se obtienen las siguientes secuencias de problemas:

— Primera aproximación.

1) En D :

3v dX -r-2- + 2 -^-2- = 0 , (A-II.24)

ól dZ

9v o

3z = 0 . (A-II.25)

2) En D2:

32v' 3X' ° 2 —^ = 0 , (A-II.26)

ae2 H

34X' 3v' - + 2 - ^ = 0 , -(A-II.27)

Estas dos últimas ecuaciones son las clásicas de la

capa de Ekman. Se obtendrán las mismas ecuaciones para las zonas

D_ y D„ , lo que pone de relieve la idéntica naturaleza de to-2 3 J 24 ' ^ ^

das ellas.

-82-

Las condiciones de contorno en las bases se han de im­

poner utilizando las variables de D 2 (es decir, para £=0, tanto

en la base superior como en la inferior). Estas condiciones son:

v' (r,o ,t) = r o '

c) X '

X' (r,o,x) = _ ° Cr,o,-r) = Ü . O ót,

El empalme se debe realizar, partiendo de D , tanto con

la capa D superior como con la inferior. Para la inferior, esto

significa:

v (r,-l,T)=v' (r,+°°,T) , o o

X (r,-l,x )= X' Cr,+«»,T) o o

El principio utilizado para obtener estas ecuaciones es el mismo

que el que se utilizo en el § 2.2 para empalmar las zonas D y D

de la solución correspondiente a tiempos pequeños.

De CA-II.25) se obtiene:

v = v Cr ,T ) , o o

y de (A-II.24)

9v X' (r,z,T)=--| -V-2-+ X:: Cr,r) , (A-II.28) o 2 3T O

donde X" (r, T) es una función arbitraria de r v T. o

Las soluciones de CA-II.26) y (A-II.27), teniendo en

cuenta las condiciones en £=Ú y el aue las magnitudes deben per­

manecer finitas para £>+°°, se escriben:

v' = r-2A < e, cos£-l > , o

X'=A(e - 5<cos5+sen£>-l) , o

en donde A puede ser, a lo sumo, función de r y T. Por tanto:

-83-

v'o(r ,+°°,T) = r+2A

X' (r,+°°,T) =- A . o '

De (A-II.28) y las condiciones de empalme superior e inferior:

X (r,-l,i) = A 9v 1_ o 2 3 — + X "o (r , T ) = X 'o (r , +oo , T ) = _ A

1 3 v 1 o

X o(r, + l,x) =-j -jT+ XSírt(r,T) =- X^(r,+oo,T) = A . o

Restando una ecuación de la otra,

Dv ° -- 2A

3T

Pero v (r,i)=r+2A, luego -2A=r-v (r,x), y por tanto:

9v —— = r - v (r ,T ) . 3T O

Con lo cual:

v (r,T) = r + Ce"'1 . (A-II.29)

Teniendo en cuenta las ecuaciones (A-II.12) y (A-II.18)

la representación para tiempos grandes de la velocidad azimutal

correspondiente a tiempos pequeños será:

rV(z,t^;E)^E 1 / 2rt+...

La solución para tiempos grandes CA-II.2Ú) escrita en

la variable t será:

1/2 3 v0( r , ' z > T )

1 / 2 v(r,z,r^Ü;E)%v (r , z , 0 ) + E 1 / z t 1 + E 1 ' v- (r , z , 0 ) = . . . .

O dT 1 T =0

La condición de acoplamiento suministra dos ecuaciones:

vQCr,z,0) = 0 ,

v 3v(r,z,x) t 1^ + v1(r,z,0) = r t .

T = 0

A la vista de (A-II.29) deducimos

C =- r

(A-II.30)

De la primera de estas dos ecuaciones, llevada a (A-II

v (r ,z ,0) = Ü

.29) deducimos la primera aproximación para la velocidad azimu­tal en D,

1

v (r,T) = r(1-e )

De forma semejante

X -- T7 z r e

Para la capa D inferior, resulta:

' = r + r e Ce cos£-l) ,

X' = -^r e T [l-e ^ < cosí+sení >]

Segunda aproximación.

1) En D„ :

3v 3X 1 + 2

9T " 3z

= 0 .

= 0

3z

2) En D,

2v 3zv 3X' 3v' L _ 2 °

3£

34X' 3v' — +2

'£ 3x

2 ax

3C ac2 IT '

Las condiciones de contorno en D son:

3XV

v (r^,!) = X^Cr.O.T) = -j~ Cr,0,x)= 0

•85-

Además, se han de empalmar en z = ±l y £>+°° las solucio­

nes correspondientes de V l y v , X1 y X , según el principio

mencionado en el § 2.2.

Procediendo de manera parecida a como se resolvió la

primera aproximación, y teniendo en cuenta la condición inicial

(A-II.30) , resulta:

3 ., -T

X1 = | z r e"T(T-l) ,

3 - T - £ v ' = -ff r T e + e ^ < • • • > 1 4 '

X'^ | r e _ T(l-i)-|? e~ T + e~C <•••>

Aparece por tanto que, en primera aproximación, el fluí

do interior se mueve en columnas que se desplazan radialmente a

la vez que aumentan su velocidad azimutal. La velocidad axial, w,

es antisimétrica respecto de z=0 y de orden E"

locidad radial u es positiva y de orden unidad, como se había

previsto en la introducción a este Apéndice.

,1/2 , y en D , la ve

3-2- ZONAS D/, Y D2/[

donde

Las variables de orden unidad en la zona D son p y z,

p = E 1 / 4(r-R) , -*><p<0 .

En la zona D dichas variables serán p y £:

4 = E _ 1 / 2(z±l) , 0<£<+°° .

Las condiciones de empalme de las zonas D^ y D ? 4 con D

y D , respectivamente, expresarán matemáticamente que el compor-

-Se­

ntamiento lejano (p->—oo) de las soluciones de D y D ha de ser

idéntico al de las soluciones del núcleo central a una distancia

1/4 de orden E de las paredes laterales.

Este último comportamiento se pondrá de manifiesto sus

1/4 tituyendo r por R+E p en las soluciones del núcleo central. Ci

ñéndose a los dos primeros términos, se obtiene para las expre­

siones de la velocidad y de la función de corriente halladas en

V v ( r = R + E 1 / 4 p , z , T ; E ) = R ( l - e ~ T ) + E l / 4 p ( l - e ~ T ) + . . . ,

X ( r = R + E 1 M p , z , T ; E ) = - E 1 / 2 | z R e " T - E 3 / 4 ^ z p e _ T + . . . .

Fórmulas parecidas se obtendrían a partir de las expresiones cal_

culadas en D , aunque, como se verá más adelante, no resulta ne­

cesario tenerlas en cuenta.

Los desarrollos de la velocidad azimutal v y de la fun

ción de corriente, X, en las zonas D y D , han de ser compati­

bles con estas condiciones de empalme, con las ecuaciones (41) y

(42) y con las condiciones de contorno en las bases (£=Ü). Resul^

1/4 tan los siguientes desarrollos en potencias de E :

Io) En D4,

1/4

v(p,z,x;E)=v (p,z,t)+E v (p,z,x)+... ,

X(p,z,x;E) =El/2Xo(p,z,T)+E3/4X1(p,z,T)+... .

2o) En D24,

V ' ( P , ^ , T ; E ) = V,O ( P , ^ , T ) + E

1 / 4 V ' 1 ( P , C , T ) + . . . , .

X'(p,5,T;E)=El/2X'o(p,C,T)+E3/4X,

1(p,e,T) + . . . .

Se han de realizar los oportunos empalmes entre D y

-87-

D24 (inferior y superior) de manera semejante a como se hizo en­

tre D1 y D2.

La secuencia de problemas que resulta de introducir los

desarrollos en las ecuaciones (41) y (42), escritas en las varia

bles locales, es la siguiente:

— Primera aproximación.

Io) En D, ,

(A-II.31) 9 v 9v

0 O „ 2 9 T 9p

9v

9X

9 z

(A-II.32)

con -v

v (p->-°o,z,T) =R(l-e ) ,

X (p->—°°,Z,T) : - y z R e

2o) En D„, se obtienen para v' v X' las ecuaciones 24- ^ o - o

características de la capa de Ekman (A-II.26) y (A-II.27).

Las condiciones de contorno para la zona D son dos.

Por una parte, el empalme D, -D^, , que se realizará de manera i den r í 4 Z 4 —

tica al de D -D„ . Por otra parte, el empalme entre las zonas D„

y D explicado más arriba. Estas son condiciones suficientes pa­

ra resolver el sistema (A-II.31) y (A-II.32), cuyo orden de dife_

renciación es dos. Las condiciones de contorno para D , sobre la base,

son

V CP,Ú,T) =R ,

X ' ( p , Ü , T ) = ^~- ( P , C, T ) = 0 . dh=o

El empalme entre las zonas D^ y D no aporta condicic)

-88-

nes suplementarias, ya que se cumple automáticamente. Ello es de

bido a que la naturaleza de D24 es idéntica a la de D : se trata

de una capa de Ekman casi estacionaria.

—Segunda aproximación.

1°) En D4,

92v1 3v 3v 8X

~2--^T + ~df = 2 T T ' (A-II.33)

3v 0 , CA-II.34) dz

con ? v (p-*-°°,z,T ) = p(l-e )

1 -T X (p-^_oo?z jT ) =_ z p e

2o) En D . Las ecuaciones diferenciales siguen sien

do las ecuaciones homogéneas de la capa de Ekman, escritas para

v'a y x ^ .

En las bases, £ = 0 :

v'l=P '

ax'

De nuevo, no será necesario imponer el empalme D -D .

Las ecuaciones (A-II.31) y (A-II.33) conducirán a fun­

ciones del tipo (aerf(-x -~r)+b}, para las que una condición ini_

cial (T-*Ú) es equivalente a un empalme (p->--«>). Por el contrario,

una condición T->+°° es una condición inicial para la variable P

Dado que el líquido evoluciona en el cilindro hacia el estado de

rotación como sólido rígido, la perturbación deberá anularse pa­

ra T"*+°°.

-89-

Estos problemas son entonces problemas bien planteado;

es decir, no precisan de condiciones de contorno o empalmes su­

plementarios para obtener la solución. Los desarrollos de v y X

son :

1°) En D 4 ,

v^R-R e T e r f ( - - ^ - ) + E 1 M p ( l - e ~ T ) - 4 - °~ T ~ - ^ í - p

2 / 7 i ¿ p e e r f c í M , ( A - I I . 35 )

2/7 J

X = - E 1 / 2 f z - - T R e e r f (- - £ - } -E P i r 3 / 4 1

2/7 -Ó z P e l+jerfc(--2-)

2/7 , ( A - I I . 3 6 )

2 o ) En D 2 4 ,

- T v '^R-R e e r f - -í

2/7 < 1-e s c o s C > +

+ E i p-p e l + | e r f í - - £ 2 / T

< 1-e s c o s £ > , ( A - I I . 3 7 )

X ' ^ E 1 / 2 ~R e T e r f 2/7

)< 1-e T ( c o s £ + s e n O > +

, 1 r 3 / 4 + o-E p 1+ jerfc

2 / 7 • < 1-e n c o s e + s e n O > . ( A - I I . 3 8 )

Las e c u a c i o n e s ( A - I I . 3 5 ) - ( A - I I . 3 8 ) r e v e l a n l a s s i g u i e n

t e s c a r a c t e r í s t i c a s de l a capa de e s p e s o r E 1/4

1) En el borde p->-Ú , la velocidad azimutal v es viR, es

decir, la capa D adapta la velocidad azimutal a su valor v=R en

,1/2

la pared.

2) La velocidad axial w pasa de ser de orden E"1'^ en

± / ¡4 D„ a ser de orden E (lo cual muestra que la zona D, succiona

el flujo radial de la capa de Ekamn) y para p-+ü , tiene un valor

finito, incompatible con su valor nulo en la pared. Debe existir

1/3 una capa de espesor E cerca de la pared para lograr cumplir

todas las condiciones de contorno.

3) La velocidad radial u, negativa en D y de orden

1/2 . ,. E , como en la región interior, se reduce a cero cerca de la

pared ( p-*-0 ) .

4) El flujo en la capa D2l+ pasa de ser radial a ser

axial, alejando el fluido de las placas.

3.3. ZONAS D3 _L_D23

Las variables de orden unidad en D son z y n; esta úl

tima definida por:

n = E~1/3(r-R) , C-~<n<0)

En D las variables de orden unidad serán n y la va­

riable E, de las capas de Ekman :

£ = E~1/2Cz±l) .

De nuevo hay que realizar empalmes con D y D .

1/12 En D y D , p es del orden de E n pues, de acuerdo

1/4 1/3

con las respectivas definiciones de p y n, pE ^nE . Introdu­

ciendo este valor de p en las soluciones (A-II.35) a (A-II.38)

obtenidas para D y D , y teniendo en cuenta que:

/ 2 í x3 + 1 erf x = — < x — + . . . > , /ÍT l J

se obtiene el comportamiento de las soluciones de D y D a dis_

1/12 tancias de la pared de orden E . Este comportamiento ha de ser

idéntico al de las soluciones de D^ y D para p->-°°.

Los desarrollos compatibles con los empalmes, las con­

diciones de contorno en las bases y en la pared lateral del ciliri

dro, y las ecuaciones (41) y (42) son:

Io) En D

-91-

v(n,z,T;E)^vo(n,z,T)+E1/12v1(n,z,T)+E

1/Uv2(n,z,T)+...,(A-I1.39)

X(n,z,x;E)^E7/12Xo(n,z,T) + .. . . (A-II.i+O)

2o) En D23,

v '(n,C5T;E)^v'o(n!C,T)+E1/12v'1(n,^,T)+E

1/4v'2(T1,e,T) + . .., (A-II.41)

X'(n,?,T;E)^E7/12X'o(n,^,T) + . .. . (A-ii.42)

Es fácil cerciorarse de que los términos v y v' son o o

v = R . y v' = R o o

lo que traduce el hecho de que la adaptación de la velocidad azi

mutal esta efectivamente realizada en D, y D„, .

Las posteriores aproximaciones en D vendrán dadas por

las siguientes ecuaciones:

3 v = 0 , (A-II.43) ^ 2

92v 9X^ ^ - 2 - ^ = 0 , CA-II.44)

9n

34X 3v -2-+. 2-r-z-= 0 , (A-II.U5)

~ 4 3z 3n

con las condiciones de contorno en la pared lateral:

V ( 0 , Z , T ) = v (0 ,z ,T) = 0 ,

X (0,Z,T) = -p- C0,Z,T) = 0 . O Ó Z

Los empalmes suministran las relaciones:

-T

v„ (H^-~,Z,T) = R n , (A-II.46) i / —

/7TT

-92-

-T v2(n-^-»,z,T) =- JJ —

T /7TT

v / N R e Xo(n+-°°,z ,T ) = — — zn 'ITT

(A-II.47)

(A-II.48)

Las dos aproximaciones, v y X ' , v'2 y X' , en D si­

guen verificando las ecuaciones de la capa de Ekman.

Las condiciones de contorno para D están dadas sobre

la base, es decir:

V' I(TI,Ú,T)=V,2(TI,Ú,T)=Ú

3X 8X x * (n , ü , x ) = x', (n , o , T ) = -~- (n, o , T ) = - 5 ^ - (n , ü , x) = ú

9í H

De nuevo es innecesario imponer nuevas condiciones de

empalme entre D y D

Los resultados de estos cálculos son

I o ) En D 3 ,

w R / / — 12 T &

/TTT /TTT ^ '

X ^ E 7 / 1 2 R ^ TTT L-

j z n - f (n ,z )

siendo

00 ( n k + 1 h v 7 n /2k¥^ r^z

f ( n ? z ) = l (-D , ¡n s e n k T r 2 f e / 2 k 7 T T 1 - 2 e ' c o s < ^ / 2 k ? n + ? > ] , k = l (2k7í)

1 / 3 2

TT

3"'

3 7 1

g ( n , z ) = i í ^ c o s k . z í e ^ ^ ^ e 2 k ^ c o s < 2 ^ fen_^>) .

k = l-2kTT 2 3

2 o ) En D 2 3 ,

- 9 3

- T

V% R + E 1 / 1 2 R n ^ < 1 - e ' ^ c o s £¡ > -' T T T

r 1 / 4 R e T ^3 p e T

T / T T T T / T T T

- T Y„ -p7/12 R e ' , , -F rA r v X^E y n ( 1-e ^ < e o s £ + sen£;>)

;(n - 1 ) < l - e ^ c o s £ > ,

"TTT

•E 3 /4 R e

- T

2 ' 7 T T

• _ T W + g ( n 1 - D ) ( l - e C < c o s ^ + s enC > ) .

Las series f y g aparecen al plantear una ecuación di­

ferencial para X , eliminando v entre (A-II.44) y (A-II.45):

o 3 X

3n

d2x + 4 0 ,

3z'

con X = 3Xo 1 e~T

- -~— = 0 e n n = ÜyX=- ?-R z n o 8z ' J o 2 o - • -"n z

p a r a n-->-c

Este problema se puede abordar por separación de variables, con­

duciendo a las series arriba escritas.

Todavía queda en las proximidades del rincón z = ±l, r=R

una zona cuyas longitudes características tanto axial como radial_

1/2 mente son de orden E . El problema resultante es ahora de tipo

elíptico, su solución es mucho más complicada y no ha sido abor­

dada en [4]. Un problema análogo se discute en el § 3.7.5.

El esquema global de las líneas de corriente en plano

meridiano es entonces el indicado en la Fig. A-II.2.

La coherencia de los resultados obtenidos confirma la

elección inicial de los órdenes de magnitud y de los diversos de_

sarrollos asintóticos , ofreciendo una visión detallada de la evp_

lución del campo fluido. En particular, es importante subrayar

que las aproximaciones calculadas en D , D , D y D son inde­

pendientes de las condiciones de contorno en el interior de la

CAPA DE EKMAN

CAPAS CILINDRICAS , 1/3 1/4 (E Y E )

Fig. A-II.2. Líneas de corriente en un plano meridiano. Cilin_ dro circular de paredes rígidas. De Benton 6 Clark .

capa D . Esto significa que se podrán resolver problemas de pe­

queña variación de la velocidad de rotación con otras condicio­

nes de contorno exteriores (superficie libre, entrefase,...) con

sólo analizar de nuevo la capa D . Las zonas interiores permane

cerán .inalteradas, por lo menos dentro de los órdenes calculados

en este Apéndice.

-95-

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