ladick villar leyton Precalculo demana 7ma edición

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  • 1. Preclculo Demana Waits Foley Kennedy Demana Waits Foley Kennedy s p t i m a E d i c i n Sptima Edicin Grfico, numrico, algebraico Grfico, numrico, algebraico Preclculo Este reconocido libro aborda el preclculo desde una perspectiva novedosa y reformada que integra la tecnologa de graficacin como una herramienta esencial para el descubrimiento matemtico y para la solucin efectiva de problemas. A lo largo del texto se explican las ecuaciones paramtricas, las funciones definidas por partes y la notacin de lmite. Todo con un enfoque intuitivo y de continuidad para que el estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento crtico. Entre lo ms destacable que este libro nos ofrece se encuentra: Este libro cuenta con una gran cantidad de materiales en lnea para alumnos y profesores; entre ellos, un curso precargado en CourseCompass con exmenes, manuales, videos y animaciones, as como un sin- nmero de ejercicios de autoevaluacin. Adems, este curso cuenta con MyMathLab, un exclusivo sistema de ejercicios en lnea que permite al profesor seleccionar de entre una gran cantidad de opciones, los ejercicios que desee asignar en sus tareas. MyMathLab lleva al alumno paso a paso hacia la mejor com- prensin del ejercicio y le da seguimiento de su progreso. MyMathLab no slo ofrece retroalimentacin en funcin de las respuestas del alumno, tambin le genera un plan de estudio personalizado con base en sus errores. Una gua que, a travs de una exploracin tradicional de doce funciones bsicas y sus propie- dades, refuerza la relacin que existe entre sus representaciones algebraica, grfica y numrica. Una visin novedosa para la solucin de problemas, as como un vocabulario completo de funcio- nes y aplicaciones con datos reales. De igual manera, la obra presenta temas de instruccin cuantitativa (tales como probabilidad, estadstica y matemticas financieras) y concluye con un captulo que prepara al lector para abordar dos temas cen- trales: la tasa de cambio instantnea y la acumulacin continua. Todos los captulos incluyen notas al margen, ideas clave, ejercicios de repaso, preguntas de examen estandarizado, exploraciones, proyectos y mltiples ejercicios (ms de 6000 en todo el libro). port. Precalculo Demana OTRA.ind1 1 4/27/07 7:47:00 PM

2. Frmulas de lgebra Exponentes Si todas las bases son diferentes de cero: umun umn u u m n umn u0 1 un u 1 n uvm umvm umn umn ( u v ) m u vm m Radicales y exponentes racionales Si todas las races son nmeros reales: n uv n u n v n u v v 0 m n u mn u n un u n um n um n un u1/n n u um/n u1/nm n um um/n um1/n n um Productos especiales u vu v u2 v2 u v2 u2 2uv v2 u v2 u2 2uv v2 u v3 u3 3u2v 3uv2 v3 u v3 u3 3u2v 3uv2 v3 Factorizacin de polinomios u2 v2 u vu v u2 2uv v2 u v2 u2 2uv v2 u v2 u3 v3 u vu2 uv v2 u3 v3 u vu2 uv v2 Desigualdades Si u v y v w, entonces u w. Si u v, entonces u w v w. Si u v y c 0, entonces uc vc. Si u v y c 0, entonces uc vc. Si c 0, u c es equivalente a c u c. Si c 0, u c es equivalente a u c o bien u c. Frmula cuadrtica Si a 0, las soluciones de la ecuacin ax2 bx c 0 estn dadas por x b 2a b2 4ac . Logaritmos Si 0 b 1, 0 a 1, x, R, S, 0 y logb x si, y slo si, by x logb 1 0 logb b 1 logb by y blogbx x logb RS logb R logb S logb R S logb R logb S logb Rc c logb R logb x l l o o g g a a b x Determinantes ad bc Sucesiones y series aritmticas an a1 n 1d Sn n( a1 2 an )o Sn n 2 2a1 n 1d Sucesiones y series geomtricas an a1 rn1 Sn a1 1 1 r rn r 1 S 1 a 1 r r 1 serie geomtrica infinita. Factorial n! n n 1 n 2 3 2 1 n n 1! n!, 0! 1 Coeficiente binomial ( ) r!(n n ! r)! (enteros n y r, n r 0) Teorema del binomio Si n es un entero positivo a bn ( )an ( )an1 b ( )anr br ( )bnn n n r n 1 n 0 n r b d a c u n par u n impar n u n v 3. Frmulas de geometra Tringulo h a sen rea 1 2 bh Trapecio rea h 2 a b Crculo rea r2 Circunferencia 2r Sector circular rea 2 r2 ( en radianes) s r ( en radianes) Cono circular recto Volumen r 3 2h rea de la superficie lateral rr2 h2 Cilindro circular recto Volumen r2h rea de la superficie lateral 2rh Tringulo rectngulo Teorema de Pitgoras: c2 a2 b2 Paralelogramo rea bh Anillo circular rea R2 r2 Elipse rea ab Cono Volumen A 3 h (A rea de la base) Esfera Volumen 4 3 r3 rea de la superficie 4r2 Frmulas de trigonometra Medida angular radianes 180 Por lo que 1 radin 1 80 grados, y 1 grado 1 80 radianes. Identidades recprocas sen x cs 1 c x csc x se 1 n x cos x se 1 c x sec x co 1 s x tan x co 1 t x cot x ta 1 n x Identidades cociente tan x s c e o n s x x cot x c se o n s x x Identidades pitagricas sen2 x cos2 x 1 tan2 x 1 sec2 x 1 cot2 x csc2 x r A h a b R r h b a c b r h r h r s r a h b ac h b 4. PreclculoGrfico, numrico, algebraico Franklin D. Demana The Ohio State University Bert K. Waits The Ohio State University Gregory D. Foley Liberal Arts and Science Academy of Austin Daniel Kennedy Baylor School S P T I M A E D I C I N TRADUCCIN Vctor Hugo Ibarra Mercado Escuela de Actuara Universidad Anhuac, Mxico REVISIN TCNICA M. en C. Javier Alfaro Pastor Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico Dr. Ernesto Filio Lpez Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologas Avanzadas Instituto Politcnico Nacional (Mxico) *AP es una marca registrada del College Board, el cual no avala ni est involucrado en la produccin de este libro. 5. Authorized translation from the English language edition, entitled Precalculus: graphical, numerical, algebraic 7th ed., by Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D. Foley and Daniel Kennedy, published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, Copyright 2007. All rights reserved. ISBN 0-321-35693-4 Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Precalculus: graphical, numerical, algebraic 7a ed., por Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D. Foley y Daniel Kennedy, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison Wesley, Copyright 2007. Todos los derechos reservados. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en espaol Editor: Rubn Fuerte Rivera e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Bernardino Gutirrez Hernndez Supervisor de produccin: Rodrigo Romero Villalobos SPTIMA EDICIN, 2007 D.R. 2007 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5 piso, Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico E-mail: [email protected] Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031. Addison Wesley es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus represen- tantes. ISBN 10: 970-26-1016-8 ISBN 13: 978-970-26-1016-8 Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 09 08 07 06 DEMANA, FRANKLIN D. y cols. Preclculo. Grfico, numrico, algebraico Sptima edicin Pearson Educacin, Mxico, 2007 ISBN: 970-26-1016-8 rea: Matemticas Formato: 21 27 cm Pginas: 1056 Edicin en Ingls Publisher Greg Tobin Executive Editor Anne Kelly Project Editor Joanne Ha Managing Editor Karen Wernholm Senior Production SupervisorJeffrey Holcomb Supplements Coordinator Emily Portwood Software Development John OBrien and Mary Durnwald Developmental Editor Elka Block Cover Design Suzanne Heiser Project Management Kathy Smith Cover photo Royalty-Free/Corbis. Ferris wheel in Odaiba, Tokyo. 6. Contenido v Contenido CAPTULO R Requisitos 1 R.1 Nmeros reales 2 Representacin de nmeros reales ~ Orden y notacin de intervalo ~ Propiedades bsicas del lgebra ~ Exponentes enteros ~ Notacin cientfica R.2 Sistema de coordenadas cartesianas 14 El plano cartesiano ~ Valor absoluto de un nmero real ~ Frmulas de la distancia ~ Frmulas para el punto medio ~ Ecuaciones de circunferencias ~ Aplicaciones R.3 Ecuaciones y desigualdades lineales 24 Ecuaciones ~ Resolucin de ecuaciones ~ Ecuaciones lineales con una variable ~ Desigualdades lineales en una variable R.4 Rectas en el plano 31 Pendiente de una recta ~ Ecuacin de una recta en la forma punto pendiente ~ Ecuacin de una recta en la forma pendiente interseccin al origen ~ Graficacin de ecuaciones lineales con dos variables ~ Rectas paralelas y rectas perpendiculares ~ Aplicacin de ecuaciones lineales con dos variables R.5 Resolucin de ecuaciones en forma grfica, numrica y algebraica 44 Resolucin de manera grfica de ecuaciones ~ Resolucin de ecuaciones cuadrticas ~ Aproximacin en forma grfica de soluciones de ecuaciones ~ Aproximacin de soluciones de ecuaciones, de forma numrica, mediante tablas ~ Resolucin de ecuaciones mediante la determinacin de intersecciones R.6 Nmeros complejos 53 Nmeros complejos ~ Operaciones con nmeros complejos ~ Conjugados y divisin complejos ~ Soluciones complejas de ecuaciones cuadrticas R.7 Resolucin de desigualdades en forma algebraica y grfica 59 Resolucin de desigualdades con valor absoluto ~ Resolucin de desigualdades cuadrticas ~ Aproximacin a soluciones de desigualdades ~ Movimiento de proyectiles Ideas Clave 65 Ejercicios de repaso 66 CAPTULO 1 Funciones y grficas 69 1.1 Modelacin y resolucin de ecuaciones 70 Modelos numricos ~ Modelos algebraicos ~ Modelos grficos ~ Propiedad del factor cero ~ Resolucin de 7. vi Contenido problemas ~ Fallas de los graficadores y comportamiento oculto ~ Un comentario acerca de las demostraciones 1.2 Funciones y sus propiedades 86 Definicin y notacin de funcin ~ Dominio y rango ~ Continuidad ~ Funciones crecientes y funciones decrecientes ~ Acotamiento ~ Extremos locales y absolutos ~ Simetra ~ Asntotas ~ Comportamiento en los extremos 1.3 Doce funciones bsicas 106 Qu pueden decirnos las grficas ~ Doce funciones bsicas ~ Anlisis grfico de funciones 1.4 Construccin de funciones a partir de funciones 117 Combinacin algebraica de funciones ~ Composicin de funciones ~ Relaciones y funciones definidas en forma implcita 1.5 Relaciones paramtricas e inversas 127 Relaciones definidas en forma paramtrica ~ Relaciones inversas y funciones inversas 1.6 Transformaciones grficas 138 Transformaciones ~ Traslaciones vertical y horizontal ~ Reflexiones con respecto a los ejes ~ Alargamientos y compresiones horizontal y vertical ~ Combinacin de transformaciones 1.7 Modelacin con funciones 151 Funciones a partir de frmulas ~ Funciones a partir de grficas ~ Funciones a partir de descripciones verbales ~ Funciones a partir de datos Matemticas en el trabajo 164 Ideas clave 164 Ejercicios de repaso 165 Proyecto 168 CAPTULO 2 Funciones polinomiales, potencia y racionales 169 2.1 Funciones lineales y cuadrticas, y modelacin 170 Funciones polinomiales ~ Funciones lineales y sus grficas ~ Tasa (razn) promedio de cambio ~ Correlacin lineal y modelacin ~ Funciones cuadrticas y sus grficas ~ Aplicaciones de funciones cuadrticas 2.2 Funciones potencia con modelacin 188 Funciones potencia y variacin ~ Funciones monomiales y sus grficas ~ Grficas de funciones potencia ~ Modelacin con funciones potencia 8. Contenido vii 2.3 Funciones polinomiales de grado superior con modelacin 200 Grficas de funciones polinomiales ~ Determinacin del comportamiento en los extremos de funciones polinomiales ~ Ceros (races) de funciones polinomiales ~ El teorema del valor intermedio ~ Modelacin 2.4 Ceros reales de funciones polinomiales 214 Divisin larga y el algoritmo de la divisin ~ Teoremas del residuo y del factor ~ Divisin sinttica ~ Teorema de los ceros racionales ~ Cotas superior e inferior 2.5 Ceros complejos y el teorema fundamental del lgebra 228 Dos teoremas importantes ~ Ceros complejos conjugados ~ Factorizacin con coeficientes reales 2.6 Grficas de funciones racionales 237 Funciones racionales ~ Transformaciones de la funcin recproca ~ Lmites y asntotas ~ Anlisis de grficas de funciones racionales ~ Exploracin de humedad relativa 2.7 Resolucin de ecuaciones con una variable 248 Resolucin de ecuaciones racionales ~ Soluciones extraas ~ Aplicaciones 2.8 Resolucin de desigualdades con una variable 257 Desigualdades lineales ~ Desigualdades racionales ~ Otras desigualdades ~ Aplicaciones Matemticas en el trabajo 267 Ideas clave 268 Ejercicios de repaso 269 Proyecto 273 CAPTULO 3 Funciones exponencial, logstica y logartmica 275 3.1 Funciones exponencial y logstica 276 Funciones exponenciales y sus grficas ~ La base natural e ~ Funciones logsticas y sus grficas ~ Modelos de poblacin 3.2 Modelacin exponencial y logstica 290 Tasa de porcentaje constante y funciones exponenciales ~ Modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial ~ Uso de regresin para modelar poblaciones ~ Otros modelos logsticos 3.3 Funciones logartmicas y sus grficas 300 Funciones inversas de exponenciales ~ Logaritmos comunes, base 10 ~ Logaritmos naturales, base e ~ Grficas de funciones logartmicas ~ Medicin del sonido usando decibeles 9. viii Contenido 3.4 Propiedades de las funciones logartmicas 310 Propiedades de los logaritmos ~ Cambio de base ~ Grficas de funciones logartmicas con base b ~ Cmo expresar informacin de otra forma 3.5 Modelacin y resolucin de ecuaciones 320 Resolucin de ecuaciones exponenciales ~ Resolucin de ecuaciones logartmicas ~ rdenes de magnitud y modelos logartmicos ~ Ley de enfriamiento de Newton ~ Transformacin logartmica ~ Tres tipos de transformaciones logartmicas 3.6 Matemticas financieras 334 Inters capitalizable anualmente ~ Inters capitalizable k veces por ao ~ Porcentaje de rendimiento anual ~ Rendimiento porcentual anual ~ Anualidades, valor futuro ~ Prstamos e hipotecas, valor presente Ideas clave 344 Ejercicios de repaso 344 Proyecto 348 CAPTULO 4 Funciones trigonomtricas 349 4.1 Los ngulos y sus medidas 350 El problema de la medicin angular ~ Grados y radianes ~ Longitud de un arco circular ~ Movimiento angular y lineal 4.2 Funciones trigonomtricas de ngulos agudos 360 Trigonometra del tringulo rectngulo ~ Dos tringulos famosos ~ Evaluacin de las funciones trigonomtricas con calculadora ~ Errores comunes que se cometen con la calculadora cuando se evalan las funciones trigonomtricas ~ Aplicaciones de la trigonometra del tringulo rectngulo 4.3 Trigonometra ampliada: las funciones circulares 370 Funciones trigonomtricas de cualquier ngulo ~ Funciones trigonomtricas de nmeros reales ~ Funciones peridicas ~ El crculo unitario de 16 puntos 4.4 Grficas del seno y el coseno: sinusoides 384 Revisin de las ondas bsicas ~ Sinusoidales y transformaciones ~ Modelacin del comportamiento peridico con sinusoidales 4.5 Grficas de la tangente, cotangente, secante y cosecante 396 La funcin tangente ~ La funcin cotangente ~ La funcin secante ~ La funcin cosecante 4.6 Grficas de funciones trigonomtricas compuestas 405 Combinacin de funciones algebraicas y trigonomtricas ~ Sumas y diferencias de sinusoidales ~ Oscilacin amortiguada 10. Contenido ix 4.7 Funciones trigonomtricas inversas 414 Funcin seno inverso ~ Funciones coseno y tangente inversas ~ Composicin de funciones trigonomtricas y funciones trigonomtricas inversas ~ Aplicaciones de las funciones trigonomtricas inversas 4.8 Resolucin de problemas con trigonometra 425 Ms problemas con tringulos rectngulos ~ Movimiento armnico simple Ideas clave 438 Ejercicios de repaso 439 Proyecto 442 CAPTULO 5 Trigonometra analtica 443 5.1 Identidades fundamentales 444 Identidades ~ Identidades trigonomtricas bsicas ~ Identidades pitagricas ~ Identidades de cofunciones ~ Identidades impar-par ~ Simplificacin de expresiones trigonomtricas ~ Resolucin de ecuaciones trigonomtricas 5.2 Demostracin de identidades trigonomtricas 454 Una estrategia de demostracin ~ Demostracin de identidades ~ Refutacin de las que no son identidades ~ Identidades en clculo 5.3 Identidades de suma y diferencia 463 Coseno de una diferencia ~ Coseno de una suma ~ Seno de una diferencia o de una suma ~ Tangente de una diferencia o de una suma ~ Verificacin algebraica de una sinusoidal 5.4 Identidades de mltiplos de un ngulo 471 Identidades de ngulo doble ~ Identidades para reducir potencias ~ Identidades de medio ngulo ~ Resolucin de ecuaciones trigonomtricas 5.5 Ley de los senos 478 Deduccin de la ley de los senos ~ Resolucin de tringulos (AAL, ALA) ~ El caso ambiguo (LLA) ~ Aplicaciones 5.6 Ley de los cosenos 487 Deduccin de la ley de los cosenos ~ Resolucin de tringulos (LAL, LLL) ~ rea de un tringulo y la frmula de Hern ~ Aplicaciones Matemticas en el trabajo 496 Ideas clave 497 Ejercicios de repaso 497 Proyecto 500 11. x Contenido CAPTULO 6 Aplicaciones de trigonometra 501 6.1 Vectores en el plano 502 Vectores en dos dimensiones ~ Operaciones con vectores ~ Vectores unitarios ~ ngulos de direccin ~ Aplicaciones de vectores 6.2 Producto punto de vectores 514 El producto punto ~ ngulo entre vectores ~ Proyeccin de un vector sobre otro ~ Trabajo 6.3 Ecuaciones paramtricas y movimiento 522 Ecuaciones paramtricas ~ Curvas paramtricas ~ Eliminacin del parmetro ~ Rectas y segmentos de recta ~ Simulacin de movimiento con una graficadora 6.4 Coordenadas polares 534 El sistema de coordenadas polares ~ Transformacin de coordenadas ~ Transformacin de ecuaciones ~ Determinacin de la distancia mediante coordenadas polares 6.5 Grficas de ecuaciones polares 541 Curvas polares y curvas paramtricas ~ Simetra ~ Anlisis de curvas polares ~ Rosas ~ Limaones (Caracoles) ~ Otras curvas polares 6.6 Teorema de Moivre y races n-simas 550 El plano complejo ~ Forma trigonomtrica de los nmeros complejos ~ Multiplicacin y divisin de nmeros complejos ~ Potencias de nmeros complejos ~ Races de nmeros complejos Ideas Clave 561 Ejercicios de repaso 562 Proyecto 565 CAPTULO 7 Sistemas y matrices 567 7.1 Resolucin de sistemas de dos ecuaciones 568 El mtodo de sustitucin ~ Resolucin grfica de sistemas ~ El mtodo de eliminacin ~ Aplicaciones 7.2 lgebra de matrices 579 Matrices ~ Suma y resta de matrices ~ Multiplicacin de matrices ~ Matrices identidad e inversa de una matriz ~ Vectores en dos dimensiones ~ Aplicaciones 7.3 Sistemas lineales de varias variables y operaciones por renglones 594 Forma triangular para sistemas lineales ~ Eliminacin gaussiana ~ Operaciones elementales por renglones y forma escalonada por renglones ~ Forma escalonada reducida por renglones ~ Resolucin de sistemas con matrices inversas ~ Aplicaciones 12. Contenido xi 7.4 Fracciones parciales 608 Descomposicin en fracciones parciales ~ Denominadores con factores lineales ~ Denominadores con factores cuadrticos irreducibles ~ Aplicaciones 7.5 Sistemas de desigualdades con dos variables 617 Grfica de una desigualdad ~ Sistemas de desigualdades ~ Programacin lineal Matemticas en el trabajo 625 Ideas clave 626 Ejercicios de repaso 626 Proyecto 630 CAPTULO 8 Geometra analtica en dos y tres dimensiones 631 8.1 Secciones cnicas y parbolas 632 Secciones cnicas ~ Geometra de una parbola ~ Traslacin de parbolas ~ Propiedad reflectante de una parbola 8.2 Elipses 644 Geometra de una elipse ~ Traslacin de elipses ~ rbitas y excentricidad ~ Propiedad reflectante de una elipse 8.3 Hiprbolas 656 Geometra de una hiprbola ~ Traslacin de hiprbolas ~ rbitas y excentricidad ~ Propiedad reflectante de una hiprbola ~ Navegacin de rango amplio 8.4 Traslacin y rotacin de ejes 666 Ecuaciones de segundo grado de dos variables ~ Traslacin de ejes en comparacin con la traslacin de grficas ~ Rotacin de los ejes ~ Criterio del discriminante 8.5 Ecuaciones polares de las cnicas 675 Excentricidad (revisin) ~ Cmo escribir ecuaciones polares para las cnicas ~ Anlisis de las ecuaciones polares de las cnicas ~ rbitas (revisin) 8.6 Sistema coordenado cartesiano tridimensional 685 Coordenadas cartesianas tridimensionales ~ Frmulas de la distancia y del punto medio ~ Ecuacin de la esfera ~ Planos y otras superficies ~ Vectores en el espacio ~ Rectas en el espacio Ideas Clave 695 Ejercicios de repaso 696 Proyecto 698 13. xii Contenido CAPTULO 9 Matemticas discretas 699 9.1 Combinatoria bsica 700 Discreto en comparacin con continuo ~ La importancia del conteo ~ El principio de multiplicacin del conteo ~ Permutaciones ~ Combinaciones ~ Subconjuntos de un conjunto con n elementos 9.2 El teorema del binomio 711 Potencias de binomios ~ Tringulo de Pascal ~ El teorema del binomio ~ Identidades factoriales 9.3 Probabilidad 718 Espacios muestrales y funciones de probabilidad ~ Clculo de las probabilidades ~ Diagramas de Venn y diagramas de rbol ~ Probabilidad condicional ~ Distribuciones binomiales 9.4 Sucesiones 732 Sucesiones infinitas ~ Lmites de sucesiones infinitas ~ Sucesiones aritmticas y geomtricas ~ Sucesiones y calculadoras graficadoras 9.5 Series 742 Notacin de suma ~ Sumas de sucesiones aritmticas y geomtricas ~ Series infinitas ~ Convergencia de series geomtricas 9.6 Induccin matemtica 752 El problema de las Torres de Hanoi ~ El principio de induccin matemtica ~ Induccin y deduccin 9.7 Estadstica y datos (enfoque grfico) 759 Estadstica ~ Visualizacin de datos categricos ~ Grficas de tallos ~ Tablas de frecuencia ~ Histogramas ~ Diagramas de tiempo 9.8 Estadstica y datos (enfoque algebraico) 771 Parmetros y estadstica ~ Media, mediana y moda ~ Resumen de cinco nmeros ~ Diagramas de caja (boxplot) ~ Varianza y desviacin estndar ~ Distribuciones normales Matemticas en el trabajo 785 Ideas Clave 786 Ejercicios de repaso 786 Proyecto 790 CAPTULO 10 Una introduccin al clculo: lmites, derivadas e integrales 791 10.1 Lmites y movimiento: el problema de la tangente 792 Velocidad promedio ~ Velocidad instantnea ~ Revisin de lmites ~ Relacin con las rectas tangentes ~ La derivada 14. Contenido xiii 10.2 Lmites y movimiento: el problema del rea 804 Distancia a partir de una velocidad constante ~ Distancia a partir de una velocidad cambiante ~ Lmites en el infinito ~ La relacin con las reas ~ La integral definida 10.3 Ms acerca de los lmites 813 Un poco de historia ~ Definicin informal de lmite ~ Propiedades de los lmites ~ Lmites de funciones continuas ~ Lmites laterales y de dos lados ~ Lmites que tienden a infinito 10.4 Integrales y derivadas numricas 826 Derivadas obtenidas con calculadora ~ Integrales definidas obtenidas con calculadora ~ Clculo de la derivada a partir de datos ~ Clculo de la integral definida a partir de datos Ideas Clave 836 Ejercicios de repaso 836 Proyecto 838 APNDICE A Panorama general de los apndices A.1 Radicales y exponentes racionales 839 Radicales ~ Simplificacin de expresiones con radicales ~ Racionalizacin del denominador ~ Exponentes racionales A.2 Polinomios y factorizacin 845 Cmo sumar, restar y multiplicar polinomios ~ Productos especiales ~ Factorizacin de polinomios mediante los productos especiales ~ Factorizacin de trinomios ~ Factorizacin por agrupacin A.3 Expresiones fraccionales 852 Dominio de una expresin algebraica ~ Reduccin de expresiones racionales ~ Operaciones con expresiones racionales ~ Expresiones racionales compuestas APNDICE B Frmulas importantes B.1 Frmulas de lgebra 857 Exponentes ~ Radicales y exponentes racionales ~ Productos especiales ~ Factorizacin de polinomios ~ Desigualdades ~ Frmula cuadrtica ~ Logaritmos ~ Determinantes ~ Sucesiones y series aritmticas ~ Sucesiones y series geomtricas ~ Factorial ~ Coeficiente binomial ~ Teorema del binomio B.2 Frmulas de geometra 858 Tringulo ~ Trapecio ~ Crculo ~ Sector circular ~ Cono circular recto ~ Cilindro circular recto ~ Tringulo rectngulo ~ Paralelogramo ~ Anillo circular ~ Elipse ~ Cono ~ Esfera 15. xiv Contenido B.3 Frmulas de trigonometra 859 Medida angular ~ Identidades recprocas ~ Identidades cociente ~ Identidades pitagricas ~ Identidades impar-par ~ Identidades de suma y diferencia ~ Identidades de cofuncin ~ Identidades del ngulo doble ~ Identidades para reducir potencias ~ Identidades del ngulo medio ~ Tringulos ~ Forma trigonomtrica de un nmero complejo ~ Teorema de Moivre B.4 Frmulas de geometra analtica 860 Frmulas bsicas ~ Ecuaciones de una recta ~ Ecuacin de una circunferencia ~ Parbolas con vrtice en (h, k) ~ Elipses con centro en (h, k) y a b 0 ~ Hiprbolas con centro en (h, k) B.5 Galera de funciones bsicas 862 APNDICE C C.1 Lgica: Una introduccin 863 Proposiciones ~ Proposiciones compuestas C.2 Condicionales y bicondicionales 869 Formas de proposiciones ~ Razonamiento vlido Glosario 877 Respuestas seleccionadas 895 ndice de aplicaciones 1014 ndice 1017 16. Acerca de los autores Franklin D. Demana Frank Demana recibi sus ttulos de maestra y doctorado en matemticas en la Universidad Estatal de Michigan y es profesor emrito de ma- temticas en la Universidad Estatal de Ohio. Como activo partidario del uso de la tecnologa en la enseanza y el aprendizaje de las matemti- cas, es cofundador del programa nacional de desarrollo profesional T3 (Teachers Teaching with Technology, Maestros Enseando con Tecnologa). Ha sido director y uno de los principales investigadores de actividades financiadas con ms de diez millones de dlares por la NSF (National Science Foundation, Fundacin Nacional para la Ciencia). Actualmente es investigador codirector del Departamento de Educacin Matemtica e Investigacin Educativa de la Ciencia de Estados Unidos, que tiene asignados fondos de 3 millones de dlares, en un programa otorgado a la Universidad Estatal de Ohio. Adems de presentarse frecuentemente en congresos profesionales, ha publicado una amplia varie- dad de artculos en el campo de la instruccin matemtica potenciada con computadoras y calculadoras. El Dr. Demana tambin es cofundador (junto con Bert Waits) de la ICTCM (International Conference on Technology in Collegiate Mathematics, Conferencia Internacional sobre Tec- nologa en Matemticas Universitarias) que se celebra ao con ao. Recibi, junto con el Dr. Waits, el premio Glenn Gilbert National Leadership de 1997, otorgado por el Consejo de Supervisores de Matemticas de Ohio (Ohio Council of Teachers of Mathematics). El Dr. Demana es coautor de Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic; Essential Algebra: A Calculator Approach; Transition to College Mathe- matics; College Algebra and Trigonometry: A Graphing Approach; College Algebra: A Graphing Approach; Precalculus: Functions and Graphs e Intermediate Algebra: A Graphing Approach. Bert K. Waits Bert Waits recibi su doctorado en la Universidad Estatal de Ohio y actualmente es profesor emrito de matemticas de la misma. El Dr. Waits es cofundador del programa de desarrollo profesional T3, y ha sido codirector o investigador principal de varios grandes proyectos de la NSF. Ha publicado artculos en ms de 50 revistas profesionales reconocidas nacionalmente. Con frecuencia imparte conferencias, talleres y minicur- sos en reuniones nacionales de la MAA (Mathematics American Association, Asociacin Matemtica de Amrica) y la NCTM (National Coun- cil of Teachers of Mathematics, Consejo Nacional de Maestros de Matemticas) sobre el uso de la tecnologa informtica para mejorar la enseanza y el aprendizaje de matemticas. Ha sido invitado a presentaciones en las ediciones 6, 7 y 8 del ICME (International Congress on Mathematical Education, Congreso Internacional de Educacin Matemtica) en Budapest (1988), Quebec (1992) y Sevilla (1996), respectiva- mente. El Dr. Waits recibi, junto con el Dr. Demana, el premio Glenn Gilbert National Leadership de 1997, otorgado por el Consejo de Super- visores de Matemticas de Ohio y es cofundador (con Frank Demana) de la ICTCM. Tambin fue uno de los acreedores al premio Christofferson-Fawcett Mathematics Education otorgado por el Consejo de Maestros de Matemticas de Ohio. El Dr. Waits es coautor de Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic; College Algebra and Trigonometry: A Graphing Approach; College Al- gebra: A Graphing Approach; Precalculus: Functions and Graphs y de Intermediate Algebra: A Graphing Approach Gregory D. Foley Greg Foley recibi sus ttulos de licenciatura y maestra en matemticas, y doctorado en educacin matemtica en la Universidad de Texas en Austin. Es director de la Academia de Ciencias y Artes, el programa acadmico avanzado de preparatoria del Austin Independent School Dis- trict en Texas. El Dr. Foley ha impartido desde cursos elementales de aritmtica hasta cursos de matemticas a nivel universitario (en el que tam- bin imparte clases en educacin matemtica). De 1977 a 2004 ha formado parte de la facultad de tiempo completo en North Harris County College, Austin Community College, The Ohio State University, Sam Hoston State University y Appalachian State University, donde fue Cate- drtico Distinguido de Educacin Matemtica en el departamento de Ciencias Matemticas, y dirigi el programa MELT (Mathematics Educa- tion Leadership Training, Capacitacin de Lderes en Educacin Matemtica). El Dr. Foley ha presentado ms de 200 conferencias y talleres en Estados Unidos y otros pases, ha dirigido varios proyectos con apoyo financiero y ha publicado artculos en varias revistas profesionales. Ac- tivo en varias sociedades, es miembro del Comit para la Educacin en Matemticas de Maestros de la MAA. En 1988, el Dr. Foley recibi el premio bianual AMATYC (American Mathematical Association of Two-Years Colleges, Asociacin Matemtica Estadounidense para los Dos Primeros Aos Universitarios) para la Excelencia Matemtica, y en 2005, recibi el premio anual de T3. Daniel Kennedy Dan Kennedy recibi su ttulo de licenciatura en el College of the Holy Cross, y su maestra y doctorado en matemticas en la Universidad de Carolina del Norte, en Chapel Hill. Desde 1973 ha enseado matemticas en Baylor School en Chattanooga, Tennessee, donde ostenta la Cte- dra Distinguida Cartter Lupton. El Dr. Kennedy se convirti en conferencista de Advanced Placement Calculus en 1978, que lo llev a un nivel creciente de compromiso con el programa como asesor en talleres, lder de mesas y en desarrollo de exmenes. Se uni al Advanced Placement Calculus Test Development Committee en 1986. En 1990 fue el primer maestro de preparatoria en 35 aos en presidir ese comit. Durante su titularidad, el programa inici el requerimiento de calculadoras graficadoras, para dejar sentadas las bases para la reforma de 1988 del curricu- lum de Advanced Placement Calculus. Autor de 1997 Teachers Guide-AP*Calculus, el Dr. Kennedy ha dirigido ms de 50 talleres para maes- tros de clculo a nivel bachillerato. Sus artculos sobre enseanza de matemticas han aparecido en Mathematics Teacher y American Mathematical Monthly, y es conferencista frecuente en congresos profesionales y civiles sobre reformas de la educacin. El Dr. Kennedy fue nombrado Tandy Technology Scholar en 1992 y fue ganador de un Presidential Award en 1995. El Dr. Kennedy es coautor de Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic; Prentice Hall Algebra I; Prentice Hall Geometry y de Prentice Hall Algebra 2. xv 17. xvi Prefacio Dado que desde 1990 se ha puesto mucha atencin en reformar los cursos de clcu- lo, sorprende que los de preclculo hayan mantenido su forma tradicional. En esta edicin de Preclculo: grfico, numrico y algebraico, los autores presentan un cur- so de preclculo reformado. Para aquellos estudiantes que planeen continuar con un curso de clculo, esta obra concluye con un captulo que los prepara para abordar dos temas centrales: la tasa de cambio instantnea y la acumulacin continua. Este interesante avance intuitivo es til y ms razonable que la incursin tradicional y ca- rente de motivacin del clculo de lmites. Reconociendo que el de preclculo podra ser un curso terminal para muchos estudian- tes, los autores tambin incluyen temas de instruccin cuantitativa tales como proba- bilidad, estadstica y matemticas financieras. Su objetivo es proporcionarles buenas habilidades de pensamiento crtico, necesarias para tener xito en cualquier empresa. Continuando con el espritu de las ediciones anteriores, los autores han integrado la tecnologa de graficacin a todo el curso, no como un tema adicional sino como una herramienta esencial para el descubrimiento matemtico y la resolucin efectiva de problemas. Esta tecnologa permite estudiar un catlogo completo de funciones b- sicas desde el inicio del curso, lo que permite dar una idea de las propiedades de fun- ciones que en otros libros no se ven sino hasta los captulos finales. Al relacionar el lgebra de funciones con la visualizacin de sus grficas, los autores incluso presen- tan a los estudiantes ecuaciones paramtricas, funciones definidas por partes, nota- cin de lmite y una comprensin intuitiva de continuidad desde el captulo 1. Una vez que los estudiantes se sienten cmodos con el lenguaje de funciones, los autores los guan a travs de una exploracin ms tradicional de doce funciones b- sicas y sus propiedades algebraicas, reforzando siempre la relacin que existe entre sus representaciones algebraica, grfica y numrica. Con respecto a la modelacin, el libro utiliza un enfoque consistente que permite dar nfasis en cada captulo al uso de tipos particulares de funciones para modelar comportamientos del mundo real. Nuestro enfoque La regla de los cuatro mtodos: Un enfoque equilibrado Una de las caractersticas principales de este libro es el equilibrio entre los mto- dos algebraico, numrico, grfico y verbal para representar problemas: la regla de los cuatro mtodos. Por ejemplo, obtenemos soluciones de forma algebraica cuan- do sta es la tcnica ms apropiada para hacerlo y recurrimos a las soluciones gr- fica o numrica cuando el lgebra es difcil de usar. Recomendamos a los estudiantes resolver los problemas con mtodo y luego respaldar o confirmar sus soluciones mediante uno distinto, pues creemos que deben aprender el valor de ca- da una de estas representaciones para posteriormente elegir la ms apropiada de acuerdo a cada problema. Este enfoque refuerza la idea de que, para entender un problema completamente, son necesarias las comprensiones tanto algebraica como grfica y numrica. Enfoque de resolucin de problemas En los ejemplos a todo lo largo del texto se enfatiza la resolucin sistemtica de problemas usando la siguiente variacin del proceso de resolucin de problemas de Polya: Comprender el problema. Desarrollar un modelo matemtico. 18. Resolver el modelo matemtico y respaldar o confirmar las soluciones. Interpretar la solucin. Encontrarn el uso de este mtodo a lo largo de todo el libro. Doce funciones bsicas Las doce funciones bsicas, que se presentan enseguida, se resaltan en todo el libro como un tema principal: Funcin identidad Funcin cuadrtica Funcin cbica Funcin recproca Funcin raz cuadrada Funcin exponencial Funcin logaritmo natural Funcin seno Funcin coseno Funcin valor absoluto Funcin mximo entero Funcin logstica Una de las caractersticas ms distintivas de este texto es que presenta a los estu- diantes un vocabulario completo de funciones al principio del curso. En el captu- lo 1, los estudiantes conocen grficamente las doce funciones bsicas y son capaces de compararlas y contrastarlas conforme aprenden conceptos como dominio, ran- go, simetra, continuidad, comportamiento en los extremos, asntotas, mximos y mnimo, e incluso periodicidad; conceptos difciles de apreciar cuando los nicos ejemplos a los que un maestro puede hacer referencia son los polinomios. Con es- te libro, desde las primeras semanas de clase los estudiantes sern capaces de ca- racterizar funciones mediante sus comportamientos por ejemplo, gracias a la tecnologa de graficacin ya no es necesario entender radianes antes de poder aprender que la funcin seno es acotada, peridica, impar y continua, con dominio (, ) y rango [1, 1]. Una vez que los estudiantes tienen una buena compren- sin de las funciones en general, el resto del curso consiste en el estudio, con ma- yor profundidad, de diferentes tipos de funciones, particularmente con respecto a sus propiedades algebraicas y la modelacin de aplicaciones. Estas funciones se utilizan para desarrollar las habilidades fundamentales de anli- sis requeridas para los cursos de clculo y matemticas avanzadas. La seccin 1.2 proporciona un panorama de estas funciones mediante un examen de sus grficas. Para una fcil consulta, el apndice B incluye una ga- lera completa de funcio- nes bsicas. Cada funcin bsica se re- visa posteriormente en el libro mediante un anlisis ms profundo que incluye la investigacin de propie- dades algebraicas. Adems, se resumen las caractersticas generales de familias de funciones. Prefacio xvii Doce funciones bsicas La funcin identidad f x x Hecho interesante: sta es la nica funcin que acta sobre todo nmero real y lo deja igual. FIGURA 1.36 3 2 1 1 2 3 y x 5 4 3 2 1 321 4 5 Funcin cuadrtica fx x2 Hecho interesante: La grfica de esta funcin, denominada parbola, tiene una propiedad de reflexin que es til en la fabricacin de faros y discos de satlites. FIGURA 1.37 5 4 3 2 1 1 y x 5 4 3 2 1 321 4 5 Funciones exponenciales f (x) bx Dominio: Todos los reales Rango: (0, ) Continua No tiene simetra: no es par ni impar Acotada por abajo, pero no por arriba No tiene mximo ni mnimo Asntota horizontal: y 0 Ni tiene asntotas verticales Si b > 1 (consulte la figura 3.3 a)) entonces, f es una funcin creciente, lm x f x 0 y lm x f x . Si 0 < b < 1 (consulte figura 3.3 b)) entonces, f es una funcin decreciente, lm x f x y lm x f x 0. FIGURA 3.3 Grficas de f(x) bx para a) b 1 y b) 0 b 1. y x f (x bx b > 1 (0, 1) a) (1, b) y x f (x) bx 0 < b < 1 (0, 1) b) (1, b) FIGURA 3.29 f x logb x, b 1. y x (b, 1) (1, 0) Funciones logartmicas f(x) logbx, con b 1 Dominio: (0, ) Rango: Todos los reales Continua Creciente en su dominio No es simtrica: no es par ni impar No est acotada por arriba ni por abajo No tiene mximos ni mnimos No tiene asntotas horizontales Asntota vertical: x 0 Comportamiento en los extremos lm x logbx 19. Aplicaciones y datos reales La mayor parte de las aplicaciones en el texto estn basadas en datos reales de las fuentes citadas y, para abordar su anlisis, los estudiantes no requieren experiencia alguna en los campos de origen de las mismas. A medida que avanzan en el anlisis de las aplicaciones, los estudiantes se exponen a funciones como mecanismos para modelar datos, y son mo- tivados para aprender acerca de cmo varias funciones pueden ayudar a modelar problemas de la vida real. Aprenden a analizar, modelar y grafi- car datos, e interpretar grficas y ajustar curvas. Adems, la representa- cin tabular de datos presentada en este texto enfatiza la idea de que una funcin es una correspondencia entre variables numricas. Esto ayuda a los estudiantes a construir la relacin entre los nmeros y sus grficas, y a reconocer la importancia de una comprensin completa grfica, nu- mrica y algebraica de un problema. Puede consultar una lista comple- ta de aplicaciones en el ndice de aplicaciones, en la pgina 1014. Cambios de contenido en esta edicin Para los instructores, hemos agregado el tratamiento adicional de temas que los estudiantes generalmente encuentran desafiantes, en especial en los captulos 1, 2 y 9. Adems, donde ha sido apropiado, hemos actualizado todos los datos de los ejemplos y ejercicios. Tambin arreglamos ciertas secciones para acomodar mejor la lon- gitud de los periodos de enseanza y agregado cuantiosas fuentes, tanto para maestros nuevos como para experi- mentados. Por todo lo anterior, creemos firmemente que los cambios descritos hacen de la presente edicin la obra ms efectiva disponible para los estudiantes. Captulo R Ahora, se presentan los nmeros complejos en la seccin R.6; anteriormente este tema se trataba hasta el captulo 2. Captulo 1 La seccin 1.4 de la edicin anterior se ha dividido en dos para proporcionar ma- yor prctica en la composicin de funciones y dedicar una seccin completa a las funciones inversas. Se han agregado representaciones grficas de composiciones con valor absoluto. Captulo 2 La seccin sobre nmeros complejos se traslad al captulo R para hacer ms di- dctica la extensin de este captulo. Se incluyeron las subsecciones Aplicaciones de funciones cuadrticas y Funciones monomiales y sus grficas para resaltar estos temas. Captulo 4 Se agregaron ejercicios de exploracin para presentar las funciones arcosecante y arcocosecante, y sus opciones de dominio asociadas. Captulo 6 Ahora, el material de este captulo est unificado bajo el ttulo Aplicaciones de trigo- nometra. La seccin de vectores se simplific y se introdujo una nueva subseccin que relaciona los temas de curvas polares y curvas paramtricas. La representacin geomtrica de nmeros complejos se pas del captulo 2 a la seccin 6.6. Captulo 8 El proyecto actualizado del captulo, Elipses como modelos del movimiento de un pndulo, aborda la aplicacin de elipses. xviii Prefacio EJEMPLO 6 Modelacin de la poblacin de Estados Unidos mediante regresin exponencial Utilice la informacin de 1900 a 2000 en la tabla 3.9 y regresin exponencial para pronosticar la poblacin de Estados Unidos en 2003. SOLUCIN Modele Sea P(t) la poblacin, en millones, de Estados Unidos t aos despus de 1900. La figura 3.15 a) muestra un diagrama de dispersin de la informacin. Utilizando regresin exponencial, encontramos un modelo para los datos de 1990-2000: Pt 80.5514 1.01289t. La figura 3.15 b) muestra el diagrama de dispersin con una grfica del modelo poblacional que acabamos de encontrar. Puede ver que la curva se ajusta muy bien a los datos. El coeficiente de determinacin es r2 0.995, lo que indica un buen ajuste y apoya la evidencia visual. Resuelva grficamente Para pronosticar la poblacin de Estados Unidos en 2003, sustituimos t 103 en el modelo de regresin. La figura 3.15 c) muestra que P(103) 80.5514 1.01289103 301.3. contina FIGURA 3.15 Diagramas de dispersin y grficas para el ejemplo 6. La x en negro denota al dato para 2003. La x en gris en c) denota la prediccin del modelo para 2003. [10, 120] por [0, 400] c) X=103 Y=301.29248 5514*1.01289^XY1=80. [10, 120] por [0, 400] b) [10, 120] por [0, 400] a) Tabla 3.9 Poblacin (en millones) Ao Poblacin 1900 76.2 1910 92.2 1920 106.0 1930 123.2 1940 132.2 1950 151.3 1960 179.3 1970 203.3 1980 226.5 1990 248.7 2000 281.4 2003 290.8 Fuente: World Almanac and Book of Facts 2005. Interprete El modelo pronostica que la poblacin de Estados Unidos en 2003 fue 301.3 millones. La poblacin real fue 290.8 millones. Sobreestimamos por 10.5 millo- nes, menos del 4% de error. Ahora resuelva el ejercicio 43. 20. Captulo 9 Ahora hay dos secciones separadas para sucesiones y series; ms ejemplos y ejerci- cios que las abordan, y un tratamiento ms amplio de convergencia de sucesiones. Captulo 10 Este primer avance del clculo proporciona una perspectiva histrica de esta disci- plina, y presenta estudios clsicos de movimiento mediante los problemas de recta tangente y problemas de rea. Luego se investigan los lmites; el captulo termina con una inspeccin grfica y numrica de derivadas e integrales. Caractersticas nuevas o mejoradas Varias caractersticas se han resaltado en esta revisin para ayudar a los es- tudiantes a alcanzar el dominio de las habilidades y conceptos del curso. Nos satisface ofrecer las siguientes caractersticas nuevas o mejoradas: Los inicios de captulo incluyen una fotografa para motivar y la descrip- cin general de una aplicacin que puede resolverse con los temas del ca- ptulo. La aplicacin se revisa posteriormente mediante un problema especfico que se resuelve. Estos problemas permiten a los estudiantes ex- plorar situaciones realistas usando mtodos grficos, numricos y algebrai- cos. Tambin se pide a los estudiantes modelar situaciones de problemas mediante las funciones estudiadas en el captulo. Adems, aqu es donde se listan las secciones del captulo. La seccin Panorama general del captulo le da un sentido a lo que se aprender. Este panorama proporciona un mapa del captulo e indica cmo se relacionan sus temas bajo una idea general. Esto siempre es til para re- cordar que las matemticas no son modulares, sino que estn interrelacio- nadas, y que las habilidades y conceptos del curso se fundamentan unos sobre otros para dar paso a la comprensin de los procesos y sus relaciones ms complicadas. De forma anloga, la caracters- tica Aprender acerca de porque proporciona las ideas generales de cada seccin y ex- plica su propsito. Es importante leer esta parte y revisarla una vez terminado el captulo para ase- gurarse de que ha comprendido todos los temas importantes que acaba de estudiar. Prefacio xix 69 Funciones y grficas Uno de los principios centrales en economa es que el valor del dinero no es constante, sino una funcin del tiempo. Dado que muchas fortunas se ganan y se pierden tratando de predecir el valor futuro del dinero, se pone mucha atencin a indicadores cuantitativos como el ndice de precios al consumidor, una medida bsica de la inflacin en varios sectores de la economa. Consulte la pgina 159 para conocer el comportamiento del ndice de precios al consumidor a travs del tiempo. 1.1 Modelacin y resolucin de ecuaciones 1.2 Funciones y sus propiedades 1.3 Doce funciones bsicas 1.4 Construccin de funciones a partir de funciones 1.5 Relaciones paramtricas e inversas 1.6 Transformaciones grficas 1.7 Modelacin con funciones CAPTULO 1 PROBLEMA DE INICIO DE CAPTULO (de la pgina 69) PROBLEMA: La tabla siguiente muestra el crecimiento en el ndice de pre- cios de computadoras (IPC) para vivienda, para aos seleccionados entre 1980 y 2003 (con base en dlares de 1983). Cmo podemos construir una funcin para predecir el IPC para los aos 20042010? SOLUCIN: En la figura 1.87 se muestra un diagrama de dispersin de los datos, en donde x es el nmero de aos desde 1980. Como los datos caen cer- ca de una recta inclinada, podemos utilizar una calculadora para calcular la recta de regresin para modelar los datos. La ecuacin de la recta de regresin es y 4.37x 83.20. Como lo muestra la figura 1.88, la recta se ajusta muy bien a los datos. Para predecir el IPC vivienda para 2004, utilizamos x 24 en la ecuacin de la recta de regresin. En forma anloga, podemos predecir el IPC vivienda para cada uno de los aos del 2004 al 2010 como se muestra a continuacin: Incluso con un ajuste de regresin tan impresionante como el de la figura 1.88, es riesgoso predecir ms all del conjunto de datos. Estadsticas como el IPC son dependientes de muchos factores voltiles que rpidamente pueden dejar a cualquier modelo matemtico obsoleto. De hecho, muchos economistas con- vencidos de que el crecimiento no poda sostenerse, empezaron a alertar en 2003 que la burbuja de vivienda reventara antes de 2010. ndice de precios de computadoras (vivienda) Ao IPC vivienda 1980 81.1 1985 107.7 1990 128.5 1995 148.5 1998 160.4 1999 163.9 2000 169.6 2001 176.4 2002 180.3 2003 184.8 Fuente: Oficina de Estadsticas Laborales, de acuerdo con The Almanac and Book of Facts 2005. IPC (vivienda) pronosticado Ao IPC vivienda pronosticado 2004 y 4.37(24) 83.20 188.1 2005 y 4.37(25) 83.20 192.5 2006 y 4.37(26) 83.20 196.8 2007 y 4.37(27) 83.20 201.2 2008 y 4.37(28) 83.20 205.6 2009 y 4.37(29) 83.20 209.9 2010 y 4.37(30) 83.20 214.3 Panorama general del captulo 3 En este captulo estudiaremos tres familias interrelacionadas de funciones: expo- nencial, logstica y logartmica. Las funciones polinomiales, funciones racionales y funciones potencia con exponentes racionales son funciones algebraicas; es decir, son funciones obtenidas al sumar, restar, multiplicar y dividir constantes y una variable independiente, y elevar expresiones a potencias enteras y extraer ra- ces. En este captulo y el siguiente, exploraremos las funciones trascendentales, que van ms all que trascienden a estas operaciones algebraicas. Al igual que sus primas algebraicas, las funciones exponencial, logstica y logart- mica tienen muchas aplicaciones. Las exponenciales modelan crecimiento y decai- miento con respecto al tiempo, tal como el crecimiento sin restricciones de poblaciones y el decaimiento de sustancias radiactivas. Las funciones logsticas modelan crecimiento restringido de poblaciones, ciertas reacciones qumicas y la propagacin de rumores y enfermedades. Las funciones logartmicas son la base de la escala Richter de la intensidad de terremotos, la escala de acidez pH y la medi- da del sonido en decibeles. El captulo termina con un estudio de matemticas financieras, una aplicacin de las funciones exponenciales y logartmicas que se utiliza con frecuencia cuando se realizan inversiones. 276 CAPTULO 3 Funciones exponencial, logstica y logartmica 3.1 Funciones exponencial y logstica Aprender acerca de Las funciones exponenciales y sus grficas La base natural e Las funciones logsticas y sus grficas Los modelos de poblacin . . . porque Las funciones exponencial y logstica modelan muchos patrones de crecimiento, incluyendo el de poblaciones humanas y animales. Funciones exponenciales y sus grficas Cada una de las funciones f x x2 y g(x) 2x incluyen una base elevada a un exponente, pero los papeles estn al revs: Para f x x2, la base es la variable x y el exponente es la constante 2; f es una conocida funcin monomial y potencia. Para g(x) 2x, la base es la constante 2 y el exponente es la variable x; g es una funcin exponencial. Consulte la figura 3.1. FIGURA 3.1 Bosquejo de g(x) 2x. x 11112233 22 33 44 y 55 1010 1515 202202 DEFINICIN Funcin exponencial Sean a y b nmeros reales constantes. Una funcin exponencial en x es una funcin que puede escribirse en la forma f x a bx, donde a es diferente de cero, b es positiva y b 1. La constante a es el valor inicial de f (el valor en x 0) y b es la base. Las funciones exponenciales estn definidas y son continuas para todos los nme- ros reales. Es importante reconocer si una funcin es una funcin exponencial. 21. Con el fin de facilitar su localizacin y consulta, el vocabulario se resalta en gris. Las propiedades estn en recuadros de color para que sea fcil encontrarlas. Cada ejemplo termina con una sugeren- cia de Ahora resuelva un ejercicio rela- cionado. Resolver el o los ejercicios sugeridos es una forma sencilla de com- probar la comprensin del material so- bre la marcha y no al final de cada seccin o captulo para ver si consigue hacerlo. Se proporcionan alternativas para estos ejemplos en el paquete de Acetatos y trans- parencias (en ingls). Exploraciones aparecen en todo el texto y proporcionan la perfecta oportunidad para ser un estudiante activo y descubrir las matemticas por su propia cuenta. Es- to le ayudar a refinar su pensamiento crtico y sus habilidades de resolucin de problemas. Algunas exploraciones estn basadas en la tecnologa; otras implican la exploracin de ideas y relaciones matemticas. A lo largo del texto aparecen Notas al margen rela- cionadas con varios temas. Las sugerencias le ofrecen consejos prcticos en el uso de su graficadora para obtener resultados mejores y ms precisos. Las notas al margen incluyen comentarios histricos, sugeren- cias acerca de ejemplos e ideas adicionales para ayu- darle a evitar errores y riesgos. El icono Adelanto de clculo se en- cuentra a lo largo del texto antes de mu- chos ejemplos y temas para marcar los conceptos que los estudiantes encontrarn nuevamente en clculo. Se resaltan las ideas que presagian clculo como lmites, mximos y mnimos, asntotas y continuidad. Al inicio del texto, la idea de lmite se presenta de forma intuitiva y empleando un enfoque conceptual. En los prime- ros captulos se introduce algo de la notacin y el lenguaje de clculo, y se utiliza en todo el texto para establecer familiaridad. El icono Datos de la Web/reales se utiliza para marcar los ejemplos y ejerci- cios que utilizan datos reales citados. El material de Repaso de captulo est constituido por secciones dedica- das a ayudar a los estudiantes a revisar los conceptos ledos. Las Ideas clave constan de tres partes: Propiedades, Teoremas y Frmulas; Procedi- mientos; y Galera de funciones. Los Ejercicios de repaso representan una gama completa de ejercicios tratados en el captulo y dan prctica adi- cional en las ideas desarrolladas. Los ejercicios marcados en azul indican problemas que constituiran un buen examen de prctica. Cada captulo concluye con un Proyecto que pide a los estudiantes analizar datos. Pue- den asignarse de forma individual o para trabajo en equipo. Cada proyec- to desarrolla los conceptos e ideas enseados en el captulo, y muchos proyectos remiten a la Web para investigacin posterior de datos reales. xx Prefacio En los ejercicios 71 y 72 utilice la informacin de la tabla 3.28. 71. Modelacin poblacional Determine un modelo exponencial de regresin para la poblacin de Georgia y utilcelo para pronosticar la poblacin en 2005. 72. Modelacin poblacional Determine un modelo logstico de regresin para la poblacin de Illinois y utilcelo para pronos- ticar la poblacin en 2010. Tabla 3.28 Poblaciones de dos estados de Estados Unidos (en millones) Ao Georgia Illinois 1900 2.2 4.8 1910 2.6 5.6 1920 2.9 6.5 1930 2.9 7.6 1940 3.1 7.9 1950 3.4 8.7 1960 3.9 10.1 1970 4.6 11.1 1980 5.5 11.4 1990 6.5 11.4 2000 8.2 12.4 Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos, de acuerdo con el World Almanac and Book of Facts 2005. Logaritmos comunes, base 10 Los logaritmos con base 10 se denominan logaritmos comunes. Debido a su relacin con nuestro sistema de base 10, el sistema mtrico y la notacin cientfi- ca, los logaritmos comunes son especialmente tiles. Con frecuencia quitamos el subndice 10 para la base cuando usamos logaritmos comunes. La funcin logarit- mo comn log10 x = log x es la inversa de la funcin exponencial f x = 10x. As y log x si y slo si 10y x. Aplicando esta relacin podemos obtener otras relaciones para los logaritmos con base 10. Propiedades bsicas de los logaritmos comunes Sea x y y nmeros reales con x 0. log 1 0 ya que 100 1. log 10 1 ya que 101 10. log 10y y ya que 10y 10y. 10log x x ya que log x log x. EXPLORACIN 1 Grficas de funciones exponenciales 1. Grafique cada funcin en la ventana de visualizacin [2, 2] por [1, 6]. a) y1 2x b) y2 3x c) y3 4x d) y4 5x Qu punto tienen en comn las cuatro grficas? Analice las funciones, con respecto a dominio, rango, continuidad, comportamiento creciente o decreciente, simetra, acotamiento, mximos y mnimos, asntotas y comportamiento en los extremos. 2. Grafique cada funcin en la ventana de visualizacin [2, 2] por [1, 6]. a) y1 ( 1 2 )x b) y2 ( 1 3 )x c) y3 ( 1 4 )x d) y4 ( 1 5 )x Cul punto es comn a las cuatro grficas? Analice las funciones, con respecto a dominio, rango, continuidad, comportamiento creciente o decreciente, simetra, acotamiento, mximos y mnimos, asntotas y comportamiento en los extremos. UN POCO DE HISTORIA Las funciones logartmicas fueron desarrolladas alrededor de 1594, como herramientas computacionales, por el matemtico escocs John Napier (1550- 1617). Originalmente, les llam nmeros artificiales, pero cambi el nombre por el de logaritmos, que significa nmeros de clculo o nmeros para calcular. Grficas de funciones logartmicas con base b Con la frmula de cambio de base podemos rescribir cualquier funcin logartmi- ca gx logb x como gx l l n n b x ln 1 b ln x. As, toda funcin logartmica es un mltiplo constante de la funcin logaritmo natural, f x ln x. Si la base es b 1, la grfica de g(x) logb x es un alarga- miento o compresin vertical, en un factor de 1/ln b, de la grfica de f x ln x. Si 0 b 1 tambin se requiere una reflexin respecto del eje x. IDEAS CLAVE DEL CAPTULO 3 PROPIEDADES, TEOREMAS Y FRMULAS Crecimiento y decaimiento exponencial 279 Funciones exponenciales f(x) = bx 280 Funciones exponenciales y la base e 282 Modelo exponencial de poblacin 290 Cambio entre forma logartmica y exponencial 300 Propiedades bsicas de los logaritmos 301 Propiedades bsicas de los logaritmos comunes 302 Propiedades bsicas de logaritmos naturales 304 Propiedades de los logaritmos 310 Frmula de cambio de base para logaritmos 313 Funciones logartmicas f(x) = logbx, con b 1 314 Propiedades de inyectividad (uno a uno) 320 Ley de enfriamiento de Newton 326 Inters capitalizable anualmente 334 Inters compuesto k veces por ao 335 Porcentaje de rendimiento anual 336 Rendimiento porcentual anual 337 Valor presente de una anualidad 340 PROCEDIMIENTOS Cmo expresar informacin de otra forma 314- 316 Transformacin logartmica 328-329 GALERA DE FUNCIONES f (x) ex f (x) 1 1 ex f (x) ln x [2, 6] por [3, 3] Logartmica natural [4.7, 4.7] por [0.5, 1.5] Logstica bsica [4, 4] por [1, 5] Exponencial SOLUCIN a) La grfica de g(x) e2x se obtiene mediante una compresin horizontal de la grfica de f x ex en un factor de 2 (consulte la figura 3.7 a)). b) Podemos obtener la grfica de h(x) ex mediante una reflexin de la grfi- ca de f x ex con respecto al eje y (figura 3.7 b)). c) Podemos obtener la grfica de k(x) 3ex mediante un alargamiento vertical, en un factor de 3, de la grfica de f x ex (figura 3.7 c)). Ahora resuelva el ejercicio 21. SECCIN 3.1 Funciones exponencial y logstica 283 EJEMPLO 5 Transformacin de funciones exponenciales Describa cmo transformar la grfica de f x ex en la grfica de la funcin dada. Bosqueje las grficas y respalde su respuesta con una graficadora. a) g(x) e2x b) h(x) ex c) k(x) 3ex contina 22. En los ejercicios del 5 al 10 describa cmo transformar la grfica de f en la grfica de g(x) 2x o h(x) ex. Haga un bosquejo y res- palde su respuesta con un graficadora. 5. f x 4x 3 6. f x 4x 7. f x 8x 3 8. f x 8x 3 9. f x e2x3 10. f x e3x4 En los ejercicios 11 y 12 determine la interseccin y y las asntotas horizontales. 11. f x 5 1 3 0 e 0 0.05x 12. f x 5 2 5 e 0 0.04x En los ejercicios 13 y 14 indique si la funcin es una funcin con crecimiento exponencial o una funcin con decaimiento exponen- cial, y describa su comportamiento en los extremos mediante lmites. 13. f x e4x 2 14. f x 25x3 1 En los ejercicios del 15 al 18 grafique la funcin y analcela con respecto al dominio, continuidad, comportamiento creciente o decreciente, simetra, acotamiento, mnimos y mximos, asntotas y comportamiento en los extremos. 15. f x e3x 1 16. gx 34x1 2 17. f x 1 3 6 0.4x 18. gx 4 1 2 0 e 0 0.01x En los ejercicios del 19 al 22 determine la funcin exponencial que satisface las condiciones dadas. 19 V l i i i l 24 i t t d 5 3% di i En los ejercicios del 31 al 34 reescriba la ecuacin en forma exponencial. 31. log3 x 5 32. log2 x y 33. ln x y 2 34. log a b 3 En los ejercicios del 35 al 38 describa cmo transformar la grfica de y log2x en la grfica de la funcin dada. Bosqueje a mano la grfica y respalde su respuesta con un graficadora. 35. f x log2 x 4 36. gx log2 4 x 37. hx log2 x 1 2 38. hx log2 x 1 4 En los ejercicios del 39 al 42 grafique la funcin y analcela con respecto a dominio, continuidad, comportamiento creciente o decreciente, simetra, acotamiento, mnimos y mximos, asntotas y comportamiento en los extremos. 39. f x x ln x 40. f x x2 ln x 41. f x x2 ln x 42. f x ln x x En los ejercicios del 43 al 54 resuelva la ecuacin. 43. 10x 4 44. ex 0.25 45. 1.05x 3 46. ln x 5.4 47. log x 7 48. 3x3 5 49. 3 log2 x 1 7 50. 2 log3 x 3 4 51. 5 52. 4 50 e2x 11 53. log x 2 log x 1 4 54. ln 3x 4 ln 2x 1 5 3x 3x 2 SECCIN 3.6 Matemticas financieras 345 Conjuntos de ejercicios Cada conjunto de ejercicios inicia con un Repaso rpido para ayu- darle a revisar las habilidades necesarias en el conjunto de ejercicios y, por tanto, recuerdan nuevamente que las matemticas no son mo- dulares. Tambin hay indicaciones Para obtener ayuda consulte la seccin... de modo que los estudiantes estn preparado para resolver la seccin de ejercicios. Hay ms de 6,000 ejercicios, incluyendo 680 ejercicios de repaso rpido. Despus del Repaso rpido estn los ejercicios que permiten practicar las habilidades matemticas aprendidas en la seccin. Es- tos ejercicios han sido cuidadosamente clasificados desde rutinarios hasta desafiantes. En cada conjunto de ejercicios se prueba cada uno de los siguientes tipos de habilidades: Manipulacin algebraica y analtica. Enlace de lgebra a geometra. Interpretacin de grficas. Representacin grfica y numrica de funciones. Anlisis de datos. En estas partes se incluyen tambin ejercicios que inducen al razo- namiento: Preguntas de examen estandarizado Incluyen dos problemas de falso-verdadero con justificaciones y cuatro preguntas de op- cin mltiple. Exploraciones Son oportunidades para que los estudiantes des- cubran matemticas por ellos mismos o en grupos. Con frecuen- cia estos ejercicios requieren el uso de pensamiento crtico para explorar ideas. Los ejercicios Escriba para aprender desarrollan las habilida- des de comunicacin en matemticas y proporcionan la oportu- nidad de demostrar la comprensin de ideas importantes. Prefacio xxi Anlisis del rebote de una pelota Cuando una pelota rebota hacia arriba y hacia abajo sobre una superficie plana, su altura mxima disminuye con cada rebote. Cada rebote es un porcentaje de la altura previa; para la mayora de las pelotas, el porcentaje es constante. En este proyecto utilizar un dispositivo de deteccin de movimien- to para recolectar datos del rebote de una pelota debajo de un detector de movimiento, luego determinar un modelo matemtico que describa la altura mxima del rebote como una funcin del nmero del rebote. Recoleccin de datos Configure el sistema CBLTM (calculadora de laboratorio) con un detector de movimiento o un sistema CBRTM (calcu- ladora de campo) para recolectar la informacin de la pelo- ta que rebota, mediante un programa para la CBL o la aplicacin Ball Bounce (pelota que rebota) para el CBR. Consulte la gua de la CBL/CBR para instruccin especfica de configuracin. Mantenga la pelota al menos a 2 pies del detector y sultela para que rebote hacia arriba y hacia abajo, directamente debajo del detector. Esos programas convierten la distancia contra el tiempo a altura con respecto del suelo contra el tiempo. La grfica muestra un ejemplo de datos recolectados con una pelota de racquetbol y la CBR. La tabla de abajo muestra todas las alturas mximas recopiladas. EXPLORACIONES 1. Si usted rene informacin mediante una CBL o CBR, en su calculadora graficadora o en la pantalla de la compu- tadora debe aparecer una grfica de la altura contra el tiempo. Localice la altura mxima para cada rebote, re- gistre el dato en una tabla y utilice otras listas de su calcu- ladora para introducirlo. Si no tiene acceso a una CBL/CBR, ingrese en su calculadora o computadora los datos dados en la tabla. 2. Qu porcentaje de la altura del rebote 0 es la altura del rebote 1? Calcule el porcentaje al que regresa para cada rebote. El nmero ser casi constante. 3. Haga un diagrama de dispersin para la altura mxima en contra del nmero de rebote. 4. Para el rebote 1, la altura se predice multiplicando la altura del rebote 0, o H, por el porcentaje P. La segunda altura se predice multiplicando esta altura HP por P lo que da HP2. Explique por qu y HPx es el modelo adecuado para estos datos, donde x es el nmero de rebote. 5. Ingrese esta ecuacin a su calculadora utilizando sus va- lores para H y P. Cmo se ajusta el modelo a sus datos? 6. Utilice las caractersticas estadsticas de su calculadora para determinar la regresin exponencial para estos datos. Comprela con la ecuacin que utiliz como modelo. 7. Si utiliza un tipo diferente de pelota, cmo cambiaran sus datos y su ecuacin? 8. Qu factores cambiaran el valor de H y qu factores influiran en el valor de P? 9. Rescriba su ecuacin usando la base e, en lugar de usar P como la base para la ecuacin exponencial. 10. Qu podra decir acerca de cmo se ve la grfica de ln(altura del rebote) contra el nmero de rebote? 11. Trace ln(altura del rebote) contra nmero de rebote. Calcu- le la regresin lineal y utilice el concepto de re-expresin (transformacin) logartmica, para explicar cmo la pen- diente y la interseccin y estn relacionadas con P y H. Nmero de rebote Altura mxima (pies) 0 2.7188 1 2.1426 2 1.6565 3 1.2640 4 0.98309 5 0.77783 Tiempo (seg) Altura(pies) [0, 4.25] por [0, 3] CAPTULO 3 ProyectoCAPTULO 3 Ejercicios de repaso La coleccin de ejercicios marcados en azul podra utilizarse como un examen del captulo. En los ejercicios 1 y 2 calcule el valor exacto de la funcin para el valor de x dado. No utilice calculadora. 1. f x 3 4x para x 1 3 2. f x 6 3x para x 3 2 En los ejercicios 3 y 4 determine una frmula para la funcin exponencial cuya grfica se muestra en la figura. 3. 4. y x (3, 1) (0, 2) y x (0, 3) (2, 6) REPASO RPIDO 3.5 (Para obtener ayuda consulte las secciones R.1 y 1.4) En los ejercicios del 1 al 4 pruebe que cada funcin, en el par dado, es la inversa de la otra. 1. f x e2x y gx ln x12) 2. f x 10x2 y gx log x2, x 0 3. f x 13 ln x y gx e3x 4. f x 3 log x2, x 0 y gx 10x6 En los ejercicios 5 y 6 escriba el nmero en notacin cientfica. 5. La distancia media de Jpiter al Sol es alrededor de 778,300,000 km. 6. Un ncleo atmico tiene un dimetro de casi 0.000000000000001 m. En los ejercicios 7 y 8 escriba el nmero en forma decimal. 7. El nmero de Avogadro es alrededor de 6.02 1023. 8. La unidad de masa atmica es casi 1.66 1027 kg. En los ejercicios 9 y 10 utilice notacin cientfica para simpli- ficar la expresin (deje su respuesta en notacin cientfica). 9. 186,00031,000,000 10. 0 0 .0 .0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 8 Preguntas de examen estandarizado 59. Verdadero o falso El orden de magnitud de un nmero posi- tivo es su logaritmo natural. Justifique su respuesta. 60. Verdadero o falso De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, un objeto tender a la temperatura del medio que lo rodea. Justifique su respuesta. En los ejercicios del 61 al 64 resuelva el problema sin utilizar una calculadora. 61. Opcin mltiple Resuelva 23x 1 32. A) x 1 B) x 2 C) x 4 D) x 11 E) x 13 62. Opcin mltiple Resuelva ln x 1. A) x 1 B) x 1e C) x 1 D) x e E) No hay solucin posible. 63. Opcin mltiple Cuntas veces fue ms fuerte el terremoto de 2001 en Arequipa, Per (R1 8.1) que el terremoto doble de 1998 en la provincia de Takhar, Afganistn (R2 6.1)? A) 2 B) 6.1 C) 8.1 D) 14.2 E) 100 64. Opcin mltiple La ley de enfriamiento de Newton es A) Un modelo exponencial B) Un modelo lineal C) Un modelo logartmico D) Un modelo logstico E) Un modelo potencia Exploraciones En los ejercicios 65 y 66 utilice la tabla 3.26. Determine si una ecuacin de regresin lineal, logartmica, exponencial, potencia o logstica constituye el mejor modelo para los datos. Explique el por qu de su eleccin. Respalde su redaccin con tablas y grficas, como considere necesario. 65. Escriba para aprender Modelacin poblacional Cul ecuacin de regresin es el mejor modelo para la poblacin de Alaska? 66. Escriba para aprender Modelacin poblacional Cul ecuacin de regresin es el mejor modelo para la poblacin de Hawai? 67. Actividad en grupo Modelacin poblacional La fun- cin f x k ecx2 , donde c y k son constantes positivas, es una curva en forma de campana que es til en probabilidad y estadstica. a) Grafique f para c 1 y k 0.1, 0.5, 1, 2, 10. Explique el efecto del cambio en k. b) Grafique f para k 1 y c 0.1, 0.5, 1, 2, 10. Explique el efecto del cambio en c. Ampliacin de las ideas 68. Escriba para aprender Pruebe, si u/v = 10n, para u > 0 y v > 0, y luego log u log v = n. Explique cmo este resultado relaciona a potencias de diez y rdenes de magnitud. 69. Energa potencial La energa potencial E (la energa alma- cenada para usarla posteriormente) entre dos iones en cierta estructura molecular se modela mediante la funcin E 5 r .6 10er3 donde r es la distancia que separa los ncleos. a) Escriba para aprender Grafique esta funcin en la ven- tana 10, 10 por 10, 30 y explique cul parte de la grfica no representa esta situacin de energa potencial. b) Identifique una ventana de visualizacin que muestre la parte de la grfica (con r 10) que represente esta situacin y determine el valor mximo para E. 70. En el ejemplo 8, el modelo de la ley de enfriamiento de Newton era Tt Tm T0 Tmekt 61.656 0.92770t Determine el valor de k. 71. Justifique la conclusin hecha acerca de la regresin logartmi- ca natural de la pgina 329. 72.Justifique la conclusin realizada acerca de la regresin poten- cia de la pgina 329. En los ejercicios del 73 al 78 resuelva la ecuacin o la desigualdad. 73. ex x 5 74. e2x 8x 1 0 75. ex 5 ln x 76. ln x e2x 3 77. 2 log x 4 log 3 0 78. 2 log x 1 2 log 6 0 Tabla 3.26 Poblaciones de dos estados de Estados Unidos (en miles) Ao Alaska Hawai 1900 63.6 154 1910 64.4 192 1920 55.0 256 1930 59.2 368 1940 72.5 423 1950 128.6 500 1960 226.2 633 1970 302.6 770 1980 401.9 965 1990 550.0 1108 2000 626.9 1212 Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos. 23. Los ejercicios Actividad en grupo le piden abordar los problemas en equipo o resolverlos en forma individual o proyectos grupales. Los ejercicios Ampliacin de las ideas van ms all de los que se presentaron en el texto. Estos ejercicios son ampliaciones desafiantes del material del libro. Esta variedad de ejercicios proporciona suficiente flexibilidad para enfatizar las ha- bilidades ms necesarias para cada estudiante o grupo. Suplementos y recursos Para el instructor (en ingls) Manual de recursos Revisin de conceptos importantes, hojas de clculo para actividad en grupo, exmenes muestra de captulos, preguntas de preparacin para exmenes estan- darizados, problemas de concurso. Manual de soluciones Soluciones completas a todos los ejercicios, incluyendo Repaso rpido, Ejerci- cios, Exploraciones y Repaso de captulo. Exmenes y cuestionarios Dos exmenes por captulo, dos cuestionarios por cada tres o cuatro secciones, dos exmenes de mitad de curso que cubren los captulos del R al 5, dos ex- menes finales que cubren los captulos del 6 al 10. Recursos de tecnologa MyMathLab MyMathLab es un exclusivo sistema de ejercicios en lnea que permite al alumno acceder a un sinnmero de ejercicios generados algortmicamente y obtener retroa- limentacin en funcin de sus errores. Con MyMathLab, el profesor puede seleccionar los ejercicios que desee incluir en ca- da tarea y el alumno obtendr retroalimentacin personalizada, adems de una serie de herramientas que le guiarn paso a paso en la resolucin de un problema. MyMath- Lab incluye tambin videos y animaciones para la mejor comprensin de los temas. MyMathLab es el nico sistema de ejercicios en lnea que hace un diagnstico del avance de cada alumno y le genera nuevos ejercicios y actividades personalizadas en funcin de sus necesidades. MyMathLab est montado sobre CourseCompass, la plataforma en lnea basada en Blackboard, exclusiva de Pearson Educacin. Esta combinacin, ofrece a los pro- fesores una vanguardia educativa en lnea, lder a nivel mundial. Para mayor informacin consulte a su representante de Pearson Educacin cmo obtener acceso a estos recursos. TestGen TestGen permite al instructor construir, editar, imprimir y administrar exmenes mediante un banco computarizado de preguntas, desarrollado para cubrir todos los objetivos del texto. TestGen tiene una base algortmica, lo que permite a los ins- tructores crear versiones mltiples y equivalentes de la misma pregunta o el mismo examen con el clic de un botn. Tambin pueden modificar preguntas o agregar otras nuevas. Los exmenes pueden imprimirse o darse a resolver en lnea. Sitio Web Nuestro sitio Web, www.pearsoneducacion.net/demana, proporciona recursos din- micos. Incluye material para descargar, para la calculadora graficadora TI, cuestio- narios en lnea, sugerencias de enseanza, sugerencias de estudio, exploraciones y proyectos de final de captulo. xxii Prefacio 24. Agradecimientos Deseamos expresar nuestro agradecimiento a los revisores de esta edicin y de las anteriores, quienes proporcionaron valiosas ideas y comentarios. Un agradecimien- to especial a nuestra asesora Cynthia Schimek, Secondary Mathematics Curricu- lum Specialist, Katy Independent School District, Texas, por su gua e invaluables ideas en esta revisin. xxiii Judy Ackerman Montgomery College Ignacio Alarcon Santa Barbara City College Ray Barton Olympus High School Nicholas G. Belloit Florida Community College at Jacksonville Margaret A. Blumberg University of Southwestern Louisiana Ray Cannon Baylor University Marilyn P. Carlson Arizona State University Edward Champy Northern Essex Community College Janis M. Cimperman Saint Cloud State University Wil Clarke La Sierra University Marilyn Cobb Lake Travis High School Donna Costello Plano Senior High School Gerry Cox Lake Michigan College Deborah A. Crocker Appalachian State University Marian J. Ellison University of WisconsinStout Donna H. Foss University of Central Arkansas Betty Givan Eastern Kentucky University Brian Gray Howard Community College Daniel Harned Michigan State University Vahack Haroutunian Fresno City College Celeste Hernandez Richland College Rich Hoelter Raritan Valley Community College Dwight H. Horan Wentworth Institute of Technology Margaret Hovde Grossmont College Miles Hubbard Saint Cloud State University Sally Jackman Richland College T. J. Johnson Hendrickson High School Stephen C. King University of South CarolinaAiken Jeanne Kirk William Howard Taft High School Georgianna Klein Grand Valley State University Deborah L. Kruschwitz-List University of WisconsinStout Carlton A. Lane Hillsborough Community College James Larson Lake Michigan University Edward D. Laughbaum Columbus State Community College Ron Marshall Western Carolina University Janet Martin Lubbock High School 25. Beverly K. Michael University of Pittsburgh Paul Mlakar St. Marks School of Texas John W. Petro Western Michigan University Cynthia M. Piez University of Idaho Debra Poese Montgomery College Jack Porter University of Kansas Antonio R. Quesada The University of Akron Hilary Risser Plano West Senior High Thomas H. Rousseau Siena College David K. Ruch Sam Houston State University Sid Saks Cuyahoga Community College Mary Margaret Shoaf-Grubbs College of New Rochelle Malcolm Soule California State University, Northridge Sandy Spears Jefferson Community College Shirley R. Stavros Saint Cloud State University Stuart Thomas University of Oregon Janina Udrys Schoolcraft College Mary Voxman University of Idaho Eddie Warren University of Texas at Arlington Steven J. Wilson Johnson County Community College Gordon Woodward University of Nebraska Cathleen Zucco-Teveloff Trinity College xxiv Agradecimientos Extendemos ese agradecimiento especial a Chris Brueningsen, Linda Antinone y Bill Bower por su trabajo en los proyectos de captulo. Tambin agradecemos a Pe- rian Herring, Frank Purcell y Tom Wegleitner por su meticulosa revisin del texto. Igualmente estamos agradecidos con Besbit Graphics, quien realiz un sorprenden- te trabajo de composicin y correccin de pruebas, y especficamente a Kathy Smith y a Harry Druding por su hbil manejo de todo el proceso de produccin. Por ltimo, damos las gracias al excepcional y profesional equipo de Addison-Wesley, por su asesora y apoyo en la revisin de este texto, en particular a Anne Kelly, Becky Anderson, Greg Tobin, Rich Williams, Neil Heyden, Gary Schwartz, Marnie Greenhut, Joanne Ha, Karen Wernholm, Jeffrey Holcomb, Barbara Atkinson, Evelyn Beaton, Beth Anderson, Maureen McLaughlin y Michelle Murray. Un re- conocimiento particular se debe a Elka Block, quien de manera incasable nos ayud en todo el desarrollo y produccin de esta obra. F. D. D. B. K. W. G. D. F. D. K. 26. 1 Requisitos Las grandes distancias se miden en aos-luz; un ao-luz es la distancia que la luz recorre en un ao. Los astrnomos emplean la velocidad de la luz, aproximadamente 186,000 millas por segundo (300,000 kilmetros por segundo) para aproximar distancias entre planetas (puede consultar ejemplos de esto en la pgina 39). R.1 Nmeros reales R.2 Sistema de coordenadas cartesianas R.3 Ecuaciones y desigualdades lineales R.4 Rectas en el plano R.5 Resolucin de ecuaciones en forma grfica, numrica y algebraica R.6 Nmeros complejos R.7 Resolucin de desigualdades en forma algebraica y grfica CAPTULO R 27. Visin general del captulo R Histricamente, el lgebra se ha empleado para representar problemas con smbo- los (modelos algebraicos) y resolverlos reduciendo la solucin a manipulaciones algebraicas. Esta tcnica an es relevante en nuestros das. Actualmente, las calcu- ladoras graficadoras se utilizan para plantear problemas mediante grficas (mode- los grficos) y resolverlos con tcnicas numricas y grficas. Comenzaremos por las propiedades bsicas de los nmeros reales y nos introduci- remos al estudio del valor absoluto, las frmulas de la distancia y el punto medio, y escribiremos ecuaciones de circunferencias. Adems, emplearemos la pendiente de una recta para escribir las ecuaciones estndar de rectas y aplicaciones en donde se involucran ecuaciones lineales. Finalmente, resolveremos ecuaciones y desigual- dades con tcnicas algebraicas y grficas. 2 CAPTULO R Requisitos R.1 Nmeros reales Aprender acerca de... La representacin de nmeros reales El orden y la notacin de intervalo Las propiedades bsicas del lgebra Los exponentes enteros La notacin cientfica . . . porque Estos temas son fundamenta- les en el estudio de la matem- tica y la ciencia. Representacin de nmeros reales Un nmero real es cualquier nmero que pueda escribirse como un decimal. Los nmeros reales se representan mediante smbolos tales como 8, 0, 1.75, 2.33..., 0.36, 85, 3, 3 16, e, y . El conjunto de los nmeros reales contiene a otros subconjuntos importantes: Los nmeros naturales (o de conteo): 1, 2, 3, . . . Los enteros no negativos: 0, 1, 2, 3, . . . Los enteros: . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . Las llaves { } son utilizadas para encerrar a los elementos, u objetos, de un con- junto. Los nmeros racionales son otro importante subconjunto de los nmeros rea- les. Un nmero racional es cualquier nmero que pueda escribirse como una razn (o cociente) a/b de dos enteros, donde b 0. Podemos utilizar la notacin de construccin de conjuntos para describir a los nmeros racionales: { a b a, b son enteros y b 0} La lnea vertical que sigue a a/b se lee tal que. La forma decimal de un nmero racional o bien termina, como 7/4 = 1.75, o bien se repite infinitamente como 4/11 = 0.363636... 0.36. La barra sobre el 36 in- dica un bloque de dgitos que se repiten. Un nmero es irracional si no es racio- nal. La forma decimal de un nmero irracional es infinita y no se repite. Por ejemplo 3 = 1.7320508. . . y = 3.14159265. . . En una calculadora, los nmeros reales se aproximan dando slo unos cuantos de sus dgitos. Algunas veces no muy frecuentemente es posible determinar con una calculadora la forma decimal de nmeros racionales. 28. EJEMPLO 1 Anlisis de formas decimales de nmeros racionales Determine la forma decimal de 1/16, 55/27 y 1/17. SOLUCIN La figura R.1 sugiere que la forma decimal de 1/16 termina y que 55/27 se repite en bloques de 037. 1 1 6 0.0625 y 5 2 5 7 2.037 Con base en la figura R.1, no podemos predecir la forma decimal exacta de 1/17; sin embargo, decimos que 1/17 0.0588235294. EL smbolo se lee es apro- ximadamente igual a. Podemos utilizar la divisin larga (consulte el ejercicio 66) para mostrar que 1 1 7 0.0588235294117647. Los nmeros reales y los puntos de una recta pueden hacerse corresponder uno a uno para formar una recta de nmeros reales. Iniciamos con una recta horizontal y asociamos el nmero real cero con un punto O, el origen. Se consideran nme- ros positivos a los situados a la derecha del origen y nmeros negativos los que estn a la izquierda, como se muestra en la figura R.2. Cada nmero real corresponde a uno y slo a un punto de la recta de nmeros rea- les, y cada punto en la recta de nmeros reales corresponde a uno y slo un nme- ro real. Entre cada par de nmeros reales en la recta numrica existe una infinidad de nmeros reales ms. El nmero asociado con un punto es la coordenada del punto. Siempre que el con- texto sea claro, seguiremos la convencin estndar de usar el nmero real para el nombre tanto del punto como de su coordenada. Orden y notacin de intervalo El conjunto de nmeros reales est ordenado. Esto significa que podemos compa- rar cualesquiera dos nmeros reales que no sean iguales mediante desigualdades y decir que uno es menor que o mayor que el otro. Ahora resuelva el ejercicio 3. SECCIN R.1 Nmeros reales 3 FIGURA R.1 Representacin decimal en una calculadora de 1/16, 55/27 y 1/17, con la configuracin de la calculadora en modo decimal de punto flotante (ejemplo 1). FIGURA R.2 La recta de los nmeros reales. 5 4 3 2 1 0 Nmeros reales negativos Nmeros reales positivos 1 2 3 4 5 O3 29. En forma geomtrica, a b significa que a se encuentra a la derecha de b (tam- bin que b est a la izquierda de a) en la recta numrica. Por ejemplo, como 6 3, 6 est a la derecha de 3 en la recta numrica. Tambin observe que a 0 significa que a 0 o simplemente a es positivo y a 0 significa que a es negativo. Somos capaces de comparar cualesquiera dos nmeros reales debido a la siguiente propiedad importante de los nmeros reales. 4 CAPTULO R Requisitos OPUESTOS Y LA RECTA NUMRICA a 0 a 0 Si a 0, entonces, en la recta numrica, a est a la izquierda del 0 y su opuesto (o simtrico) est a la derecha del 0. Por tanto, a 0. Propiedad de tricotoma Sean a y b cualesquiera dos nmeros reales. Slo una de las siguientes expresiones es verdadera: a b, a b, o a b. FIGURA R.3 En grficas de desigualdades, los parntesis corresponden a y , y los corchetes a y . (Ejemplos 2 y 3.) x3 2 1 0 1 2 3 4 5 d) 5 4 3 2 1 0 1 2 3 x 0.5 c) 23 1 0 1 2 3 4 5 x b) a) 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x Orden de los nmeros reales Sean a y b cualesquiera dos nmeros reales. Smbolo Definicin Se lee a b a b es positivo a es mayor que b a b a b es negativo a es menor que b a b a b es positivo o cero a es mayor o igual b a b a b es negativo o cero a es menor o igual a b Los smbolos , , , u son smbolos de desigualdades. SISTEMAS NO ORDENADOS No todos los sistemas de nmeros estn ordenados. Por ejemplo, el sistema de nmeros complejos, que se introducir en la seccin R.6, no tiene un orden natural. Las desigualdades pueden utilizarse para describir intervalos de nmeros reales, como se ilustra en el ejemplo 2. EJEMPLO 2 Interpretacin de desigualdades Describa y grafique el intervalo de nmeros reales para la desigualdad. a) x 3 b) 1 x 4 SOLUCIN a) La desigualdad x 3 describe todos los nmeros reales menores que 3 (figu- ra R.3a). b) La desigualdad doble 1 x 4 representa a todos los nmeros reales entre 1 y 4, excluyendo a 1 e incluyendo a 4 (figura R.3b). EJEMPLO 3 Escritura de desigualdades Escriba un intervalo de nmeros reales mediante una desigualdad y dibuje su gr- fica. a) Los nmeros reales entre 4 y 0.5. b) Los nmeros reales mayores o iguales a cero. SOLUCIN a) 4 x 0.5 (figura R.3c) b) x 0 (figura R.3d) Ahora resuelva el ejercicio 13. Ahora resuelva el ejercicio 5. 30. Como se muestra en el ejemplo 2, las desigualdades definen intervalos en la recta numrica. Con frecuencia, empleamos [2, 5] para describir el intervalo acotado de- terminado por 2 x 5. Este intervalo es cerrado ya que contiene a los extremos 2 y 5. Existen cuatro tipos de intervalos acotados. SECCIN R.1 Nmeros reales 5 El intervalo de nmeros reales determinado mediante la desigualdad x 2 puede describirse mediante el intervalo no acotado (, 2). Este intervalo es abierto, ya que no contiene a su extremo 2. Utilizamos la notacin de intervalo (, ) para representar a todo el conjunto de nmeros reales. Los smbolos (infinito negativo) y (infinito positivo), no son nmeros reales, pero nos permiten utilizar la notacin de intervalos para inter- valos no acotados. Existen cuatro tipos de intervalos no acotados. Intervalos acotados de nmeros reales Sean a y b nmeros reales con a b. Notacin de Tipo de Notacin de intervalo intervalo desigualdades Grfica a, b Cerrado a x b a, b Abierto a x b a, b Semi-abierto a x b a, b Semi-abierto a x b Los nmeros a y b son los extremos de cada intervalo. a b a b a b a b Intervalos no acotados de nmeros reales Sean a y b nmeros reales. Notacin de Tipo de Notacin de intervalo intervalo desigualdades Grfica a, Cerrado x a a, Abierto x a , b Cerrado x b , b Abierto x b Cada uno de estos intervalos tiene exactamente un extremo, a o b. a a b b NOTACIN DE INTERVALOS EN Puesto que no es un nmero real, utilizamos (, 2) en lugar de [, 2) para describir a x 2. De forma anloga, utilizamos [1, ) en lugar de [1, ] para describir x 1. 31. EJEMPLO 4 Conversin entre intervalos y desigualdades Convierta de notacin de intervalos a notacin de desigualdades, o viceversa. De- termine los extremos; indique si el intervalo es acotado o no y su tipo, y grafique el intervalo. a) [6, 3) b) (, 1) c) 2 x 3 SOLUCIN a) El intervalo [6, 3) corresponde a 6 x < 3, es acotado y es semi-abierto (consulte la figura R.4a). Los puntos extremos son 6 y 3. b) El intervalo (, 1) corresponde a x < 1, es no acotado y abierto (consul- te la figura R.4b). El nico punto extremo es 1. c) La desigualdad 2 x 3 corresponde al intervalo cerrado y acotado [2, 3] (consulte la figura R.4c). Los extremos son 2 y 3. Propiedades bsicas del lgebra El lgebra incluye el uso de letras y otros smbolos para representar nmeros rea- les. Una variable es una letra o smbolo (por ejemplo, x, y, t, ) que representa un nmero real no especificado. Una constante es una letra o smbolo (por ejemplo, 2, 0, 3, ) que representa un nmero real especfico. Una expresin algebrai- ca es una combinacin de variables y constantes que incluyen suma, resta, multi- plicacin, divisin, potencias y races. Enunciamos algunas de las propiedades de las operaciones aritmticas de suma, resta, multiplicacin y divisin representadas por los smbolos , , (o ) y (o /), respectivamente. La suma y multiplicacin son las operaciones primarias. La resta y la divisin se definen en trminos de la suma y la multiplicacin. Resta: a b a (b) Divisin: a b a( 1 b ), b 0 En las definiciones anteriores, b es el inverso aditivo u opuesto de b, y 1/b es el inverso multiplicativo o recproco de b. Quiz le sorprenda, pero los inversos aditi- vos no siempre son nmeros negativos. El inverso aditivo de 5 es el nmero negativo 5. Sin embargo, el inverso aditivo de 3 es el nmero positivo 3. Ahora resuelva el ejercicio 29. 6 CAPTULO R Requisitos FIGURA R.4 Grficas de los intervalos de nmeros reales del ejemplo 4. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 xc) 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 xb) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 xa) RESTA VS. NMEROS NEGATIVOS En muchas calculadoras, existen dos teclas , una para la resta y otra para nmeros negativos u opuestos. Asegrese de aprender a utilizar de forma correcta ambas teclas. El uso incorrecto puede conducir a resultados errneos. 32. Las propiedades siguientes se cumplen para los nmeros reales, las variables y las expresiones algebraicas. Los miembros izquierdos de las ecuaciones para la propiedad distributiva muestran la forma factorizada de las expresiones algebraicas, y los miembros derechos muestran la forma desarrollada. EJEMPLO 5 Uso de la propiedad distributiva a) Escriba la forma desarrollada de (a 2)x. b) Escriba la forma factorizada de 3y by. SOLUCIN a) (a 2)x ax 2x b) 3y by (3 b)y A continuacin se presentan algunas propiedades del inverso aditivo junto con ejemplos que ayudan a ilustrar sus significados. Ahora resuelva el ejercicio 37. SECCIN R.1 Nmeros reales 7 Propiedades algebraicas Sean u, v y w nmeros reales, variables o expresiones algebraicas. 1. Propiedad conmutativa 4. Propiedad del inverso Suma: u v v u Suma: u (u) 0 Multiplicacin: uv vu Multiplicacin: u 1 u 1, u 0 2. Propiedad asociativa 5. Propiedad distributiva Suma: Multiplicacin sobre la suma: u v w u v w uv w uv uw Multiplicacin: (uv)w u(vw) u vw uw vw 3. Propiedad de la identidad Multiplicacin sobre la resta: Suma: u 0 u uv w uv uw Multiplicacin: u 1 u u vw uw vw Propiedades del inverso aditivo Sean u y v nmeros reales, variables o expresiones algebraicas. Propiedad Ejemplo 1. u u 3 3 2. uv uv uv 43 43 4 3 12 3. uv uv 67 6 7 42 4. 1u u 15 5 5. u v u v 7 9 7 9 16 33. Exponentes enteros La notacin exponencial se utiliza para escribir en forma corta los productos de fac- tores que se repiten. Por ejemplo: (3)(3)(3)(3) (3)4 y (2x 1)(2x 1) (2x 1)2. Las dos expresiones exponenciales del ejemplo 6 tienen el mismo valor pero dife- rentes bases. Cercirese de entender la diferencia. EJEMPLO 6 Identificacin de la base a) En (3)5, la base es 3. b) En 35, la base es 3. A continuacin estn las propiedades de exponentes junto con ejemplos que ayu- dan a ilustrar sus significados. Ahora resuelva el ejercicio 43. 8 CAPTULO R Requisitos Notacin exponencial Sea a un nmero real, variable o expresin algebraica y n un entero posi- tivo. Entonces an a a a, n factores donde n es el exponente, a es la base y an es la n-sima potencia de a, se lee como a a la n. Propiedades de los exponentes Sean u y v nmeros reales, variables o expresiones algebraicas, y sean m y n enteros. Se supone que todas las bases son distintas de cero. Propiedad Ejemplo 1. umun umn 53 54 534 57 2. u u m n umn x x9 4 x94 x5 3. u0 1 80 1 4. un u 1 n y3 y 1 3 5. uvm umvm 2z5 25z5 32z5 6. umn umn x23 x23 x6 7. ( u v ) m u vm m ( a b ) 7 a b 7 7 COMPRENSIN DE LA NOTACIN (3)2 9 32 9 Tenga cuidado! } 34. Simplificar una expresin que incluya potencias significa rescribirla de modo que cada factor aparezca una sola vez, todos los exponentes sean positivos, y los expo- nentes y constantes se reduzcan tanto como sea posible. EJEMPLO 7 Simplificacin de expresiones que incluyen a potencias a) 2ab35a2b5 10aa2b3b5 10a3b8 b) u u 2 v 1 v3 2 u v2 2 v u 3 1 u v