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Mecánica Laboratorio Nº 4: Momento de Inercia Página 1 MOMENTO DE INERCIA I. LOGROS Determinar experimentalmente el momento de inercia de cuerpos rígidos respecto a sus ejes de simetría. Verificar experimentalmente el teorema de Steiner. II. PRINCIPIOS TEÓRICOS El momento de inercia es una medida de la resistencia de un cuerpo a cambios en su movimiento rotacional. Para cuerpos rígidos con una distribución continua de masa y considerando un eje de rotación arbitrario, viene dado por: ∫ (1) siendo la distancia perpendicular del elemento de masa al eje de rotación. Si el eje de rotación es el eje de simetría que pasa a través del centro de masa (CM) del cuerpo, el momento de inercia toma su valor mínimo . Figura 1. Momento de inercia alrededor del eje de simetría . (a) Cilindro sólido o disco. (b) Esfera sólida. Así por ejemplo, el alrededor del eje de simetría del cilindro sólido, disco y esfera sólida, cada uno de masa y radio , se muestran en la figura 1. LABORATORIO Nº 4
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Mecánica
Laboratorio Nº 4: Momento de Inercia Página 1
MOMENTO DE INERCIA
I. LOGROS
Determinar experimentalmente el momento de inercia de cuerpos rígidos
respecto a sus ejes de simetría.
Verificar experimentalmente el teorema de Steiner.
II. PRINCIPIOS TEÓRICOS
El momento de inercia es una medida de la resistencia de un cuerpo a cambios
en su movimiento rotacional. Para cuerpos rígidos con una distribución continua
de masa y considerando un eje de rotación arbitrario, viene dado por:
∫ (1)
siendo la distancia perpendicular del elemento de masa al eje de rotación. Si
el eje de rotación es el eje de simetría que pasa a través del centro de masa (CM)
del cuerpo, el momento de inercia toma su valor mínimo .
Figura 1. Momento de inercia alrededor del eje de simetría . (a) Cilindro sólido o disco. (b)
Esfera sólida.
Así por ejemplo, el alrededor del eje de simetría del cilindro sólido, disco y
esfera sólida, cada uno de masa y radio , se muestran en la figura 1.
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Si se desplaza paralelamente el eje de rotación una distancia respecto al eje de
simetría del cuerpo de masa , su momento de inercia es dado por:
(2)
Esta relación es llamada el Teorema de Steiner o Teorema de los ejes paralelos.
La figura 2 muestra un cuerpo rígido sobre un eje de torsión con un resorte
espiral. Si desplazamos un ángulo respecto a la posición de equilibrio (P.E), el
resorte ejerce un momento de torsión de restitución sobre el cuerpo hacia la
P.E., según la ley de Hooke:
(3)
Figura 2. El resorte espiral ejerce un momento de torsión hacia la P.E. proporcional a .
donde es la constante de torsión del resorte. Si dejamos oscilar libremente el
cuerpo, despreciando el rozamiento del aire, se origina un movimiento armónico
simple (MAS) angular, cuyo periodo viene dado por la expresión:
√
(4)
donde obtenemos que:
(
)
(5)
Usaremos esta última ecuación para calcular experimentalmente el momento de
inercia de cuerpos rígidos, midiendo el periodo de oscilación del cuerpo en base al
sistema de la figura 2 y sabiendo que
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III. PARTE EXPERIMENTAL
a) Materiales y Equipos:
- Una (01) cilindro sólido.
- Una (01) esfera.
- Una (01) placa de soporte para el cilindro.
- Un (01) eje de torsión.
- Un (01) trípode (base para eje de torsión).
- Un (01) disco de metal.
- Una (01) balanza de tres brazos (división de escala: 0.1 g)
- Un (01) cronómetro.
- Una (01) regla (división de escala 1 mm)
- Un (01) vernier o pie de rey.
- Un (01) nonio.
b) Procedimiento:
Figura 3. Montaje experimental para el cálculo experimental del momento de inercia
alrededor del eje de simetría.
Parte 1: Determinación del de la esfera.
1. Mida la masa y el radio y regístrelos en la tabla 1.
2. Monte el sistema experimental que se muestra en la figura 3.a, posicionando la
esfera en el eje de torsión.
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3. Desplace un ángulo respecto a su posición de equilibrio (máximo 180°) en
sentido de compresión del resorte y déjelo oscilar libremente.
4. Mida el tiempo que tarda en realizar 5 oscilaciones en torno a su eje de
simetría.
5. Realice 4 veces más los procedimientos (3) y (4) y luego obtenga el tiempo
promedio . Registre este dato en la tabla 1.
6. Calcule el periodo de oscilación , sabiendo que
y
regístrelo en la tabla 1.
Parte 2: Determinación del del cilindro sólido.
7. Mida la masa y el radio del cilindro.
8. Adhiera el cilindro a la placa de soporte como en la figura 3.b y repita los
pasos de (3) a (6), registrando los datos en la tabla 2.1.
9. Retire el cilindro de la placa de soporte como se aprecia en la figura 3.c y
repita nuevamente los procedimientos de (3) a (6), registrando los datos en la
tabla 2.2.
Parte 3: Verificación del teorema de Steiner.
10. Mida la masa y el radio del disco.
11. Repita los procedimientos de (3) a (6) registrando los datos en la tabla 3,
ubicando el disco en el eje de torsión de manera que oscile alrededor de su eje
de simetría, como se muestra en la figura 4.a
12. Sitúe el disco de forma que oscile en torno a otro eje de rotación paralelo al
anterior y mida la distancia entre los ejes, como se muestra en la figura 4.b.
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13. Repita los procedimientos de (3) a (6), registrando los datos en la tabla 3.
(Tener en cuenta que el desplazamiento será un ángulo mínimo de 270° y
máximo de 360°).
Figura 4. Montaje experimental para la verificación del teorema de Steiner.
c) Actividad
Calcule:
1. El momento de inercia experimental de la esfera usando la ecuación (5), y
regístrelo en la tabla 1.
2. El momento de inercia experimental del cilindro sólido adherido a la
placa de soporte como , y regístrelo en la tabla 2.1. Usar la
ecuación (5).
3. El momento de inercia experimental de la placa de soporte y
regístrelo en la tabla 2.2. Usar la ecuación (5).
4. El momento de inercia experimental del cilindro sólido
y regístrelo en la tabla 2.3. Para ello use:
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5. El momento de inercia referencial de la esfera y cilindro sólido usando las
ecuaciones que se muestran en la figura 1 según corresponda, registrándolos en
la tabla 1 y tabla 2.3 respectivamente.
Registre en la tabla 3:
6. El momento de inercia experimental del disco con el eje de torsión en el eje de
simetría, usando la ecuación (5).
7. El momento de inercia referencial del disco con el eje de torsión en el eje de
simetría usando la ecuación correspondiente que se muestra en la figura 1.
8. El momento de inercia experimental del disco con el eje de torsión a la
distancia del eje de simetría usando la ecuación (5).
9. El momento de inercia referencial del disco con el eje de torsión a la distancia
del eje de simetría usando la ecuación (2), tomando como el valor
encontrado en la actividad (7).
10. Calcule el error relativo porcentual de los valores del momento de
inercia según correspondan.
IV. RESULTADOS
Los datos obtenidos, regístrelos en la tabla 1, tabla 2 y tabla 3.
Tabla 1. Datos y cálculo del momento de inercia alrededor del eje de simetría de la esfera.
Cuerpo
rígido
Masa
(kg)
Radio
(m)
N°
oscilac.
Esfera
sólida
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Tabla 2. Datos y cálculo del momento de inercia alrededor del eje de simetría del cilindro sólido.
Masa = ____________ (kg) Radio = ____________ (m)
Tabla 2.1
Cuerpo rígido N°
oscilac.
Cilindro sólido
en la placa de
soporte
Tabla 2.2
Cuerpo
rígido
N°
oscilac.
Placa de
soporte
Tabla 2.3
Cuerpo
rígido
Cilindro
sólido
Tabla 3. Datos y cálculo de la verificación del teorema de Steiner.
Masa = ____________ (kg) Radio = ____________ (m)
Cuerpo
rígido Eje de torsión
N°
oscilac.
Disco
Eje de simetría
Distancia
del eje de simetría
Autor: Fís. Oscar Félix Vivanco Valerio.
