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LABORATORIO DE FISICA GENERAL III MANUAL DE PRÁCTICAS Arturo Ramírez Porras, Ph.D. Heidy Gutiérrez Garro, M.Sc. Editado por: Marco A. Umaña, Ing. Leonardo Lesser Rojas, Ph.D. Escuela de Física Universidad de Costa Rica 2017
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LABORATORIO DE FISICA GENERAL III
MANUAL DE PRÁCTICAS Arturo Ramírez Porras, Ph.D. Heidy Gutiérrez Garro, M.Sc. Editado por: Marco A. Umaña, Ing. Leonardo Lesser Rojas, Ph.D. Escuela de Física Universidad de Costa Rica 2017
TABLA DE CONTENIDOS
PRÓLOGO ................................................................................................................................. 2
NORMAS DEL LABORATORIO ............................................................................................. 3
CRONOGRAMA ....................................................................................................................... 5
Dispositivos no lineales – diodos semiconductores ................................................................... 6
Campo magnético ..................................................................................................................... 12
Campo magnético de un solenoide ........................................................................................... 18
Inducción electromagnética ...................................................................................................... 24
Introducción al uso del osciloscopio analógico y digital .......................................................... 31
Circuitos RC y RL en régimen transitorio ................................................................................ 45
Oscilaciones amortiguadas ....................................................................................................... 51
Respuesta a la frecuencia – primera parte ................................................................................ 59
Respuesta a la frecuencia – segunda parte ................................................................................ 66
Leyes de la óptica geométrica .................................................................................................. 70
Óptica física – difracción e interferencia .................................................................................. 79
Polarización y fotometría .......................................................................................................... 87
Radiación térmica y Ley de Stefan-Boltzmann ........................................................................ 95
APÉNDICE A: Equipo PASCO de laboratorio ...................................................................... 103
APÉNDICE B: Propagación de errores .................................................................................. 105
APÉNDICE C: Valores cuadráticos medios o rms ................................................................ 109
APÉNDICE D: Medición del ángulo de desfase en el osciloscopio ...................................... 110
APÉNDICE E: Tabla de espectros de algunas sustancias ...................................................... 111
APÉNDICE F: Bibliografía .................................................................................................... 112
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PRÓLOGO
Este texto es el manual de trabajo para el laboratorio de electromagnetismo, óptica y física moderna ofrecido por la Escuela de Física de la Universidad de Costa Rica. Su objetivo es dotar al estudiante de los conocimientos básicos para el manejo de instrumentación sensible al mismo tiempo que comprueba varias de las leyes físicas fundamentales que se estudian en el curso teórico de física general. Se espera que el estudiante que llega a este nivel ya domine conceptos fundamentales de electricidad, energía y mecánica. Además, debe dominar el manejo de datos e incertidumbres de medidas experimentales.
En esta guía de trabajo las prácticas tienen el siguiente formato: los objetivos donde se plantean los propósitos y alcances de la práctica; la nota teórica donde se expone el fundamento teórico necesario para entender el experimento; el trabajo previo en donde se invita al estudiante a revisar conceptos o a extender conocimientos útiles para la plena comprensión del tema; la descripción del equipo o instrumentación que ha de utilizarse; el procedimiento que describe paso a paso las actividades por ser realizadas y el cuestionario que sirve como guía para la elaboración de las conclusiones. En algunas de las prácticas se añade antes de la nota teórica una sección de introducción que sirve como motivación general al tema tratado. A pesar de no estar explícitamente indicado, se le requiere al estudiante que añada secciones para análisis de resultados y conclusiones para cada práctica. Para este efecto, se ha incluido espacio adicional.
En este curso se ha hecho un importante esfuerzo por dotar a las mesas de trabajo con equipo de cómputo, por lo que se espera que el estudiante lo utilice apropiadamente tanto para registro de datos como para análisis y graficación.
Los temas cubiertos en este manual se pueden dividir en varios grupos. El primero, que comprende la primera práctica denominada “Dispositivos no-óhmicos”, pertenece al campo de la electricidad, pues se estudia el no cumplimiento de la Ley de Ohm para ciertos dispositivos. El segundo abarca las prácticas de “Campo magnético” e “Inducción electromagnética”, que se estudian en el área del magnetismo. El tercer grupo está constituido por los experimentos en donde se estudian fenómenos transitorios en circuitos electromagnéticos: “Circuitos RC y RL en régimen transitorio”, “Oscilaciones amortiguadas” y las dos de “Respuesta a la frecuencia”. El cuarto grupo tiene que ver con la óptica cuyas prácticas son “Leyes de la óptica geométrica”, “Óptica física”, “Polarización y fotometría”. Finalmente, un quinto grupo lo constituyen las prácticas relacionadas con conceptos de física moderna: “Radiación y Ley de Stefan-Boltzmann” y “Rejillas de difracción y espectros”. Hay una práctica llamada “Introducción al uso del osciloscopio” cuya meta es enseñarle al estudiante el uso de las diversas capacidades de ese importante instrumento de medición. Esta práctica se realiza antes de entrar al estudio del tercer grupo de experimentos, pues es parte esencial en ellos.
Al final de la guía se incluyen varios apéndices con información de utilidad para ciertas prácticas. El último apéndice contiene la bibliografía de consulta recomendada.
Se espera que la presente obra logre estimular el pensamiento analítico en el estudiante y que de esta forma contribuya a un mejor aprendizaje de las ciencias físicas.
Se agradece al Fís. Álvaro Amador su contribución al tratamiento de errores expuesto en el apéndice B.
A. Ramírez Porras
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NORMAS DEL LABORATORIO
1. La asistencia a todas las prácticas de laboratorio es obligatoria para aprobar el curso, por lo que una ausencia injustificada equivale a la pérdida del curso.
2. La llegada al laboratorio después de 15 minutos de la hora de inicio (y particularmente después de la finalización del examen corto) se contabilizará como media ausencia injustificada; por lo que con 2 tardías se pierde el curso. El o la estudiante que ingrese al laboratorio después de los primeros 15 minutos, no podrá realizar ninguna evaluación que se haya realizado durante ese tiempo en el laboratorio.
3. En el caso de las ausencias justificadas (enfermedad con dictamen médico, choque con parte de tránsito, participación en actividad representando a la universidad, etc), se debe realizar la reposición de la práctica correspondiente. Para realizarla, el estudiante se debe dirigir al coordinador del curso en la misma semana de la ausencia (de ser posible antes), con las pruebas que justifiquen la ausencia y solicitarle la reposición. El coordinador le indicará el grupo al que está autorizado asistir para realizar la práctica y se encargará de informar vía correo electrónico al profesor del grupo asignado. El profesor del grupo en donde se repondrá la práctica deberá informar vía correo electrónico al profesor o asistente del grupo en el que esté matriculado y con copia al coordinador, acerca del desempeño de la reposición incluyendo la nota del quiz, el trabajo previo y el trabajo en clase, así como el chequeo de la realización del informe semanal de la semana previa. Si el trámite no es completado en su totalidad la ausencia será tomada como injustificada.
4. No se realizan reposiciones de prácticas en semanas posteriores.
5. No se permite más de una ausencia justificada, la segunda ausencia justificada equivale a la pérdida del curso.
6. No es posible realizar cambios de grupo.
7. El profesor debe presentarse con puntualidad, y tiene la obligación de permanecer toda la sesión con su grupo, si no lo hace así, el estudiante tiene el derecho de informarlo al coordinador del curso. Bajo algunas circunstancias especiales (y en caso de emergencias) los profesores y asistentes del curso tienen el derecho a ausentarse con la justificación previa realizada de manera escrita a la Coordinación con al menos una semana de anticipación, para buscar como sustituirlos entre los demás colegas que tengan disponibilidad.
8. Los exámenes cortos no se reponen en ninguna circunstancia.
9. Copiar o inventar datos y resultados implica la pérdida del curso.
10. Toda práctica de laboratorio debe haber sido estudiada y comprendida en todas sus partes al momento de iniciar la sesión. En particular, las investigaciones o desarrollos del Trabajo Previo deben estar ya escritas en la libreta de laboratorio de páginas numeradas o subidas a la plataforma virtual en formato digital antes de la hora límite definida previamente por el instructor. El profesor tendrá la potestad de evaluar los conocimientos previos solicitados.
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11. Cada grupo de estudiantes que comparten una misma mesa de trabajo es responsable del equipo y las instalaciones que le corresponde, así como de su orden. Si algún equipo presentara daños, deberá comunicarlo inmediatamente a su profesor para que tome las medidas del caso. Todo el equipo pertenece a la Universidad, por lo que cualquier destrucción, sustracción o daño de cualquier índole será penalizado según el caso.
12. No se permite el uso de celulares (llamadas y mensajes) dentro del laboratorio, ni se permite salir de la clase para hacerlo. Se recomienda el uso del “Modo Avión” durante las horas de la práctica.
13. Los exámenes cortos, o cualquier otra evaluación que realice el profesor, debe estar relacionado con las prácticas, no debe incluir conceptos ajenos a éstos.
14. Los estudiantes tienen derecho a examen de ampliación cuando su nota final sea mayor o igual a sesenta y menor que sesenta y siete coma cinco.
Dr. Leonardo Lesser Rojas. – Email: [email protected]
Coordinador del curso
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CRONOGRAMA
Semana Fecha Experimento
1 07/08-11/08 Instrucciones Generales. Introducción al Equipo
2 14/08-18/08 Dispositivos no-lineales
3 21/08-25/08 Campo magnético terrestre y en espiras cuadradas
4 28/08-01/09 Campo magnético de un solenoide
5 04/09-08/09 Inducción electromagnética
6 11/09-15/09 Introducción al uso del osciloscopio analógico y digital
7 18/09-22/09 Circuitos RC y RL en régimen transitorio
8 25/09-29/09 Oscilaciones Amortiguadas
9 02/10-06/10 Respuesta a la frecuencia - Primera parte
10 09/10-13/10 Respuesta a la frecuencia - Segunda parte
11 16/10-20/10 Leyes de la óptica geométrica
12 23/10-27/10 Óptica Física-interferencia y difracción
13 30/10-03/11 Polarización y fotometría
14 06/11-10/11 Radiación y Ley de Stefan-Boltzmann
15-16 13/11-24/11 Entrega de resultados
17 27/11-01/12 Examen de Ampliación
Feriados: 15 de agosto, 15 de septiembre y 16 de octubre
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Práctica 1 Dispositivos no lineales: diodos semiconductores
Objetivos
El objetivo general es introducir el concepto de no linealidad en diodos semiconductores, así como familiarizarse con sus propiedades no lineales y su comparación con un elemento lineal. En particular, interesa lo siguiente:
1. Comprender el significado de no linealidad en componentes de circuito. 2. Construir un circuito a partir del diagrama esquemático. 3. Utilizar el digitalizador de señales con control por computadora. 4. Elaborar las curvas características de elementos lineales y no lineales. 5. Obtener la resistencia de los elementos.
Nota teórica
La palabra “diodo” tiene relación con la palabra “electrodo”. La palabra electrodo se utiliza para nombrar un elemento terminal de un circuito eléctrico. Se puede inferir que la palabra diodo se usa para un componente eléctrico de dos terminales (“di-” significa dos, y “-odo” viene del griego “odos”: camino). En efecto, los diodos de mayor uso actual están formados a partir de dos materiales semiconductores.
Un semiconductor tiene una resistividad cuyo valor oscila entre los valores de los aislantes y de los conductores. Los semiconductores se clasifican en “intrínsecos” y “extrínsecos”. a. Semiconductores intrínsecos:
Supóngase que se tiene un material con una estructura cristalina perfecta, es decir, los átomos dispuestos en figuras geométricas regulares que se repiten en todo el espacio ocupado por el material. Los electrones más alejados del núcleo (llamados electrones de valencia y que comúnmente participan en el mantenimiento de los enlaces covalentes del cristal) pueden ser excitados de tal manera que se convierten en electrones de conducción. La figura 1 muestra esquemáticamente un diagrama de un material semiconductor intrínseco, Silicio en este caso. Si se aplica un campo eléctrico al material, tales electrones serán acelerados y transportarán su carga a través del semiconductor.
Hueco
Si Si Si
Si Si Si Enlace
covalente
Electrones de
valencia
Electrón de
conducción
Átomo
Figura 1: Diagrama esquemático de parte de la configuración cristalina del silicio intrínseco, que es un átomo tetravalente. Nótese que el rompimiento de alguno de los enlaces covalentes produce lo que se denomina par electrón / hueco. Al aplicarse un campo eléctrico externo, el electrón podrá alejarse, mientras que el hueco podrá ser “llenado” por algún otro electrón, lo que a su vez produce que el hueco se desplace de sitio.
El espacio dejado por el electrón, llamado hueco, será entonces ocupado por otro electrón cercano. Éste a su vez dejará otro hueco que eventualmente será ocupado por un tercer electrón y así
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sucesivamente. En otras palabras, el hueco se desplazará a lo largo del material como si fuera una carga positiva libre.
Es bueno recalcar que el rompimiento de los enlaces puede darse por múltiples razones, una de ellas la simple agitación térmica de los átomos cuando el cristal se encuentra a temperatura ambiente. b. Semiconductores extrínsecos:
Los materiales semiconductores usualmente contienen impurezas que afectan significativamente la resistividad. En estos casos se habla de semiconductores extrínsecos. Existen dos tipos: tipo n y tipo p. A continuación se dará una explicación sobre lo que ocurre en un semiconductor tipo n.
Supóngase que se tiene un cristal de silicio, cuyos átomos son tetravalentes y contienen 14 electrones cada uno. Si dentro del cristal se sustituyen algunos átomos por otros de fósforo que son pentavalentes y tienen 15 electrones cada uno, el resultado será un cristal con impurezas que contienen un electrón más de los necesarios para formar los enlaces con los átomos vecinos, según se aprecia en la figura 2. Así, el átomo de fósforo puede perder fácilmente un electrón, el cual a su vez podrá adquirir movilidad dentro de la red y podrá desplazarse casi libremente.
Si Si Si
Si Si P
Electrón extra
del fósforo
Átomo de
silicio
Átomo de
fósforo
Figura 2: Diagrama esquemático de parte de la configuración cristalina del silicio con una impureza de fósforo, que es un átomo pentavalente. Cuatro de los electrones del fósforo forman enlaces con los de silicio vecinos, mientras que el quinto electrón es susceptible de liberarse en la red.
Si ahora se considera lo tratado en el apartado anterior sobre semiconductores intrínsecos, el resultado global es el siguiente: existe una cierta cantidad de huecos proveniente de los rompimientos de los enlaces por agitación térmica (y su equivalente cantidad de electrones) y una cantidad adicional de electrones provenientes de las ionizaciones de los átomos de fósforo. Como el número de electrones de conducción resulta mayor que el número de huecos móviles, se dice que el semiconductor es mayormente negativo en cuanto a sus propiedades de conducción, o sea, es tipo n. Los electrones en exceso se denominan portadores mayoritarios de carga, y los huecos portadores minoritarios.
Considérese ahora una red cristalina de silicio con impurezas de átomos de boro, que son trivalentes con 5 electrones. En este caso, el átomo de boro requiere que un electrón del silicio se desplace hacia él para formar el enlace. Si esto ocurre, el electrón va a dejar tras de sí un hueco que podrá ser llenado por otro electrón, el cual a su vez deja otro hueco en el lugar en que se encontraba y así sucesivamente. En otras palabras, se produce un hueco móvil. El semiconductor tendrá un exceso de huecos (que se pueden considerar como que tienen carga positiva) y por lo tanto es de tipo p. En este caso los huecos serán los portadores mayoritarios, mientras que los electrones de conducción (provenientes de los rompimientos de los enlaces) serán los portadores minoritarios.
Obsérvese que tanto en el semiconductor tipo n como en el tipo p hay neutralidad eléctrica.
c. Construcción del diodo por unión pn: Cuando se ponen en contacto las superficies de semiconductores tipo n y tipo p, los electrones
del tipo n cercanos a la interfaz se difunden a través de la superficie de separación hacia el tipo p, ocupando los huecos presentes. Esto crea en el semiconductor p una capa delgada sobrecargada de electrones, contiguo a otra capa fina del semiconductor n deficiente de electrones, y por tanto positiva. Se forma de esta manera un campo eléctrico dirigido del cristal n al cristal p. Este campo, que crea una
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situación de equilibrio que actúa como barrera para la difusión de más cargas, se denomina barrera de potencial.
La barrera de potencial es superable. Si se aplica un campo eléctrico externo con sentido opuesto y de magnitud suficiente para vencer el campo que actúa como barrera, entonces los electrones móviles del semiconductor n podrán difundirse a través de la superficie de separación, y los huecos también podrán efectuar su movimiento de p a n.
Obsérvese que si el campo externo aplicado tiene la misma dirección del campo interno, entonces los electrones móviles tenderán a alejarse de la superficie de separación y no se producirá una corriente significativa a través de la superficie.
Todo lo expuesto hasta el momento se puede resumir de manera práctica en lo siguiente: si se conecta el lado p de un diodo al polo positivo de una fuente de corriente directa, se puede derribar la barrera de potencial a partir de cierto voltaje dado y fluirá una corriente de conducción. Si se conecta la fuente con polaridad opuesta, la barrera se hará mayor (mayor resistencia) y entonces la corriente inversa será muy pequeña. Si se elabora la gráfica del voltaje aplicado a las terminales del diodo en función de la corriente, no se obtiene una línea recta. Consecuentemente, la Ley de Ohm: RIV , donde R es constante, no se satisface. Se dice entonces que el dispositivo es no óhmico o no lineal.
En el estudio de los diodos, es más usual trazar la denominada curva característica, que es la corriente a través del diodo en función del voltaje. Estas serán las curvas de interés en esta práctica.
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PARTE A
Trabajo previo
1. Elabore una figura similar a la figura 2 pero para el caso del átomo de boro (trivalente). 2. Haga diagramas que ilustren los conceptos expuestos en la sección c, “Construcción del
diodo por unión PN”. 3. Determine el valor de la barrera de potencial para los diodos de silicio y germanio. 4. Explique al menos tres usos diferentes de los diodos. 5. Mencione los diferentes tipos de diodos. 6. Lea el apéndice A sobre el equipo marca PASCO de laboratorio.
Equipo
1. Fuente de corriente directa. 2. Dos cajas de resistencias. 3. Digitalizador de señales. 4. Dos detectores de voltaje. 5. Diodo rectificador de Silicio y diodo rectificador de Germanio.
Digitalizador de señales
Detector de voltaje
Procedimiento
El siguiente es el diagrama del circuito que debe ser armado.
Diodo V0
R
Figura 12: Esquema del circuito para investigar la no linealidad del diodo. V0 representa el voltaje de la fuente de voltaje CD,
R representa la resistencia de 1000 y el otro símbolo representa el diodo.
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Curvas Características y Resistencia Asociada
La primera parte de la práctica se enfoca en obtener las curvas características y la resistencia asociada a los dispositivos (es decir, las gráficas I en función de Vd ). La corriente en el circuito se
calcula del voltaje a través de la resistencia R de la forma: RVI R / . El programa se encarga de
calcular la corriente directamente. Antes de armar el circuito, asegúrese que los componentes están en óptimas condiciones, esto es, mida las resistencias que van a utilizar y también los diodos, soliciten ayuda al profesor para que les explique como hacerlo. 1. Abra el programa Capstone de PASCO y busque el archivo correspondiente a esta práctica. Con ese
archivo usted podrá recopilar los datos obtenidos por el digitalizador en sus dos canales analógicos A y B.
2. Arme el circuito de la figura 3 usando el diodo de silicio y una resistencia R de 1000 k. Es recomendable utilizar cables de color rojo o azul cuando se sale del borne positivo de la fuente de voltaje, y utilizar cables de color negro o verde cuando se retorna a la fuente en su borne negativo.
3. Conecte las puntas de los detectores de voltaje a los extremos del diodo (canal A) y la resistencia (Canal B), tome en cuenta la polaridad, rojo es positivo, y negro negativo.
4. No encienda la fuente sino hasta que su profesor haya revisado y lo apruebe. 5. A continuación, encienda la fuente con UN VOLTAJE NULO (perilla de voltaje completamente a la izquierda). Asegúrese que la perilla de corriente esté a su máximo valor (girada totalmente hacia la derecha). 6. Cuando todo esté preparado, pulse el botón "Grabar (rojo)" (se localiza en la parte inferior izquierda) del programa PASCO Capstone para iniciar el registro. Aumente el voltaje lentamente hasta que observe que la corriente alcanza el valor de 0.040 A. NO sobrepase ese valor. Presione el mismo botón rojo para detener el muestreo. Devuelva el voltaje a CERO. 7. Con la misma configuración del circuito, vaya a la pantalla No. X. En esta pantalla se va a graficar la
Resistencia contra Corriente. Pulse el botón "GRABAR y aumente lentamente el voltaje de la fuente hasta llegar a 0.040 A (indicado en el eje X de la gráfica), recuerde no sobrepasar este valor. Presione el botón DETENER. Gire la perilla de voltaje a la izquierda para tener voltaje nulo. Regrese a la pantalla No. 2 y apague la fuente. 8. Sustituya ahora el diodo de silicio por el diodo de germanio y en la caja de resistencia cambie el valor
de k por un valor de 10 k.. Repita el procedimiento 5, 6 y 7. 9. Por último, sustituya el diodo de germanio por la segunda caja de resistencias, seleccione un valor de
100 En la primera caja de resistencias, seleccione de nuevo el valor de ky repita el procedimiento 5, 6 y 7. 10. Rotule las curvas respectivas para los diodos y la resistencia utilizando el botón de texto que aparece en la barra de herramientas que se encuentra en la barra de herramientas, parte superior de la pantalla. 11. Para cada curva utilice la herramienta de ajuste ("Fit") que se localiza en el menú vertical a la izquierda, y escoja el ajuste que se solicitan. Las curvas de resistencia no se deben ajustar. (i) Para la resistencia de la caja: ajuste lineal. (ii) Para los diodos: ajuste de exponente natural.
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12. Proceda a analizar todos sus resultados, comentando particularmente sobre las diferencias y
similitudes entre los dos diodos para las gráficas )( dVII y )(IRR dd . Asimismo, compare sus
resultados con el comportamiento de la resistencia de 100 .
Cuestionario
1. ¿Cuál es la diferencia en la curva característica del diodo de silicio con el diodo de germanio? 2. Determine el valor del potencial de barrera para cada uno de los diodos, compare sus resultados con
los valores teóricos. 3. En el caso de la resistencia, ¿cuál es el significado físico de la pendiente de la gráfica? ¿Corresponde
al valor teórico? 4. ¿Cómo varía la resistencia de un diodo en conducción cuando aumenta la corriente aplicada en sus
terminales? ¿Qué significa esta variación? ¿Qué ocurre con la resistencia de la caja?
Gráficas, análisis, cuestionario y conclusiones
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Práctica 2 Campo magnético
Objetivos
El objetivo general es que el estudiante comprenda el origen y el carácter vectorial del campo magnético desde el punto de vista empírico. Específicamente:
1. Obtener los valores numéricos de la componente horizontal y vertical del campo magnético terrestre.
2. Estudiar el campo magnético en las vecindades de un alambre largo y recto que conduce corriente.
3. Estudiar el campo magnético en las vecindades de una espira cuadrada de corriente.
Nota teórica
En forma análoga a lo que ocurre en la electricidad, existe un tipo de fenómenos que se explican debido a una interacción magnética. Hace muchos siglos se observó que ciertos minerales de hierro tenían la propiedad de atraer pequeños trozos de hierro. Esta propiedad resulta no estar relacionada con la gravedad o con la interacción electrostática y en consecuencia se le dio el nuevo nombre de magnetismo. Originalmente el magnetismo se descubrió en materiales denominados magnéticos que tienen la característica de poseer dos polos, es decir, regiones de alta concentración magnética. A uno de los polos se le denomina polo Norte y al otro polo Sur. Tal denominación proviene del efecto de alineamiento de una aguja imantada en presencia del magnetismo terrestre. Se ha determinado que la interacción entre polos magnéticos del mismo nombre es repulsiva y entre polos de distinto nombre es atractiva. Esta característica es muy similar a la interacción entre cargas electrostáticas. Con el afán de realizar descripciones más sistemáticas de los fenómenos magnéticos, se define el concepto de campo magnético, que es una entidad vectorial. Se dice que el espacio alrededor de un imán permanente está ocupado por el campo magnético en forma algo parecida a como el campo eléctrico ocupa el espacio alrededor de una carga eléctrica. Los experimentos realizados por Oersted en 1820 demuestran que también las corrientes eléctricas producen campos magnéticos, lo que constituyó el inicio del desarrollo de una teoría formal del electromagnetismo que culminó con la proposición de las ecuaciones de Maxwell cincuenta años después. A estos experimentos se unieron otros de Ampère, Biot y Savart que aclararon con exactitud la relación entre la corriente eléctrica, la geometría del conductor que contiene tal corriente y el campo magnético. a. Campo magnético terrestre:
En el año 1600, Sir William Gilbert propuso que la Tierra actuaba como un enorme imán, con un polo magnético cerca de cada polo geográfico. De esta forma quedaba explicado el por qué las brújulas magnéticas ofrecen generalmente bien su orientación en la dirección Norte-Sur. Lo que comúnmente se denomina polo norte magnético, ubicado al norte de Canadá, es de hecho el polo sur del imán terrestre. Dicho de otro modo, cuando se usa una brújula para indicar la dirección, el extremo de la brújula que apunta hacia el norte es el polo norte verdadero del imán suspendido en la brújula, y por tanto es atraído hacia el polo sur verdadero ubicado al norte de Canadá.
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Las líneas del campo magnético terrestre no son paralelas a la superficie de la Tierra, sino que presentan cierta inclinación vertical que esencialmente varía con la latitud. Por tanto, una brújula magnética corriente (como las que utilizaron los navegantes durante muchos siglos) en realidad está detectando solo la componente
horizontal del campo terrestre ( ThB ). La
componente vertical ( TvB ) apunta hacia abajo. La
figura 1 muestra cómo se disponen los vectores de campo terrestre. Note que el campo total tiene
una inclinación angular dirigida de la horizontal hacia abajo.
BTv
BTh
B
Norte
Figura 1: Componentes horizontal y vertical del campo magnético terrestre. El campo total B tiene una inclinación
dirigida hacia abajo con respecto al plano horizontal.
b. Campo producido por una bobina cuadrada:
Considérese ahora una bobina cuadrada colocada en un plano vertical según se muestra en la figura 3. Entonces, el campo magnético producido en su centro por una corriente que circula en ella tendrá una dirección perpendicular a la bobina, según se desprende de la ley de la mano derecha. Se puede mostrar que la magnitud de BB medido en el centro de una bobina cuadrada de lado L, con N vueltas de alambre y que permite el paso de una corriente I por cada vuelta de alambre, está dada por la expresión:
I
BB
Figura 3: Campo magnético en el centro de una bobina cuadrada. La dirección mostrada del campo se puede explicar mediante la ley de la mano derecha.
L
NIBB
71028 (1)
El campo a lo largo del eje de simetría de la espira debe tener como máximo el valor dado en (1), y es de esperarse que decaiga conforme se aleje de la espira.
Trabajo previo
1. ¿Qué son la ionosfera y la magnetosfera? ¿Qué es una aurora boreal? 2. ¿Cómo funciona una brújula? 3. Deduzca el campo magnético de un cable largo y de radio R utilizando la Ley de Ampère.
Realice el cálculo dentro del cable y fuera de él. 4. Demuestre la ecuación (1) utilizando la ley de Biot y Savart (use argumentos de simetría). 5. Estudiar el apéndice A referente al uso del digitalizador de señales y sensores.
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Parte A: Componentes del campo magnético terrestre
Equipo A
1. Brújula. 2. Digitalizador de señales. 3. Sensor de campo magnético con soporte (rango de 10X). 4. Recámara de anulación de campos.
Digitalizador de señales
Sensor de campo magnético
Recámara de anulación de
campos
Procedimiento A
1. Monte el equipo en la forma que se muestra en la figura 4. Note que el sensor (que debe estar en el rango de 10X) se ha dispuesto en forma horizontal y se ha conectado a uno de los canales analógicos del digitalizador. En esta disposición, el sensor puede hacer mediciones de las dos componentes del campo terrestre:
Posición “RADIAL” componente vertical.
Posición“AXIAL” componente horizontal.
El botón “TARE” es importante pues al presionarlo toma como cero el valor de campo que esté midiendo en ese momento (en otras palabras, sirve para ajustar el valor de referencia).
Norte
Brújula
Figura 4: Montaje del equipo para el procedimiento A. El sensor debe colocarse de forma tal que los selectores se encuentren al lado. La brújula se pone sobre el sensor como ayuda para determinar la dirección Norte-Sur.
En esta parte del procedimiento será necesario anular cualquier campo para así medir los valores del campo terrestre con buena precisión, según se explica más adelante. Trate de alejar lo máximo posible el sensor de campo magnético y la brújula de la computadora, de fuentes de voltaje y del celular (este debe de estar preferiblemente guardado y en modo avión), de esta manera tratamos de eliminar las posibles interferencias que estos aparatos puedan causar. Sería también recomendable apagar las luces para realizar esta parte.
2. Coloque la brújula sobre el soporte de madera del sensor de rotación. Fije el sensor de campo magnético al sensor de rotación mediante el tornillo. Hágalo de tal forma que el eje del brazo del sensor coincida con la dirección Norte-Sur (el brazo debe apuntar hacia el Norte).
3. Medida de la componente horizontal del campo terrestre: a. Ponga el selector del sensor en posición “AXIAL”.
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b. Inserte la recámara de anulación de campos (“Zero Gauss Chamber”) en el brazo del sensor. CUIDE que el sensor no se mueva de su posición. En todo momento sostenga la recámara de anulación de campo, no deje que el sensor soporte el dispositivo.
c. Presione suavemente el botón “TARE” del sensor. Esto calibrará el valor cero de la medida. d. Presione el botón “Grabar” del programa. Tome valores durante unos 20 segundos. e. Presione el botón para detener la lectura del sensor. Note que los valores del campo están
en Gauss. f. Solicite un ajuste lineal pulsando el botón de ajuste (Fit). La componente horizontal del campo
terrestre vendrá dada por la intersección de la curva con el eje vertical. 4. Medida de la componente vertical del campo terrestre:
a. Ponga el selector del sensor en posición “RADIAL”. b. Inserte nuevamente la recámara de anulación de campos. CUIDE que el sensor no se mueva
de su posición. c. Presione suavemente el botón “TARE” del sensor. d. Presione el botón “Grabar ” del programa. Tome valores durante 20 segundos. e. Presione el botón para detener la lectura.. f. Solicite nuevamente un ajuste lineal pulsando el botón de ajuste (Fit). La componente vertical
del campo terrestre vendrá dada por la intersección de la curva con el eje vertical. 5. Con base en sus datos, reconstruya el campo magnético total y su inclinación con la horizontal.
Analice los resultados. Puede comparar el valor del campo horizontal con el brindado por el Instituto
Costarricense de Electricidad: ThB = (0,2890,001) Gauss.
Parte B: Campo magnético de una espira cuadrada
Equipo B
1. Espira cuadrada con varias vueltas de alambre. (9 vueltas) 2. Fuente de corriente directa. 3. Digitalizador de señales. 4. Sensor de campo magnético con soporte (rango de 10X). 5. Convertidor lineal. 6. Sensor de movimiento rotacional.
Convertidor lineal
Sensor de movimiento rotacional
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Procedimiento B
1. Utilice la fuente de corriente directa y forme un circuito que contenga la espira cuadrada. Si es necesario, solicite ayuda a su profesor sobre la manera de realizarlo.
2. Arme el equipo de modo que se asemeje a la figura 6. Asegúrese que el brazo del sensor de campo se desplace a lo largo del eje de simetría de la espira, de nuevo en la dirección Norte-Sur.
3. Ponga el selector del sensor de campo en posición “AXIAL”.
4. Ubique el sensor de campo en el extremo del convertidor lineal más cercano a la espira de tal modo que el brazo se ubique en el centro de la espira.
5. Encienda la fuente de corriente directa y ajuste la corriente a un valor de 0.5 A.
Eje de simetría de la espira
Sensor de campo Espira
Figura 6: Montaje del equipo: espira cuadrada, convertidor lineal con sensor de movimiento rotacional y sensor de campo magnético. Al mover la manivela del sensor rotacional, el sensor de campo debe moverse a lo largo del eje de simetría de la espira.
6. Utilice la recámara de anulación y presione el botón “TARE” para ajustar a cero el sensor. Presione
el botón “Grabar” del programa. 7. Desplace lentamente el sensor de rotación hacia atrás, a lo largo de todo el riel dentado y observe
la curva que se genera. Si al desplazar el sensor, la curva se forma hacia la izquierda, eso indica que la polaridad está invertida. Apague la fuente e intercambie los cables en los bornes de la fuente. También puede darse el caso de que las clavijas del sensor de rotación estén invertidas. Repita el procedimiento desde el punto 6.
8. Al llegar al extremo, presione el botón Detener del programa. 9. Repita el procedimiento del 6 al 8 para valores de corriente de 1.0, 1.5 y 2.0 A. 10. Analice sus resultados. En particular, utilice la ecuación (1) para calcular el porcentaje de diferencia
entre los valore teóricos y los experimentales para las distintas corrientes. Recuerde que la ecuación (1) se cumple en el centro de la espira, que corresponde al punto donde la distancia de desplazamiento del sensor es cero.
Cuestionario
1. ¿Cómo cree Ud. que influya la latitud terrestre con el ángulo de declinación del campo magnético terrestre?
2. ¿Cómo influye la intensidad de corriente en el campo magnético de la espira cuadrada? 3. ¿Qué ocurre con el campo magnético en la espira cuadrada conforme aumenta la distancia? 4. ¿El campo magnético de la Tierra es relevante en la determinación del campo magnético de la
espira cuadrada? Explique su respuesta.
17
Gráficas, análisis, cuestionario y conclusiones
18
Práctica 3 Campo magnético de un solenoide
Objetivos
El objetivo general es que el estudiante comprenda el origen y el carácter vectorial del campo magnético desde el punto de vista empírico. Específicamente:
1. Estudiar el campo magnético en las vecindades de un solenoide circular que conduce corriente. 2. Construir un mapa de líneas de inducción magnética en el plano horizontal bisector de un
solenoide. 3. Calcular la densidad de las líneas de inducción magnética y su relación con la magnitud del
campo en el solenoide.
Nota teórica
La Ley de Biot y Savart permite calcular el campo magnético debido una espira circular de corriente de radio R sobre un punto que se encuentra sobre el eje de simetría de la espira a una distancia z de su centro. La expresión es:
2/322
27102
zR
IRBE
(1)
Si la espira está compuesta no por una sino por N vueltas de alambre, el campo total se encuentra simplemente multiplicando la expresión (1) por N.
La expresión (1) se puede tomar como base para el cálculo del campo magnético de un solenoide. La figura 1 muestra la geometría del problema, en donde el campo está dado por la siguiente expresión:
21
7
coscos102
L
NIBS (2)
donde L es la longitud del solenoide, N es el número de vueltas del alambre, I es la corriente que circula
por el alambre y los ángulos 1 y 2 son los ángulos entre el punto del eje de simetría donde se quiere
calcular el campo y los extremos del solenoide.
L
1
2
p eje
Figura 1: Punto p situado en el eje del solenoide corto y cantidades geométricas importantes para el cálculo de la magnitud del campo magnético.
Limaduras de hierro espolvoreadas sobre el plano bisector del solenoide con corriente tienden a alinearse con el campo magnético y formarán en consecuencia un mapa de líneas de campo. Existen
19
zonas dentro del mapa en donde las líneas están muy dispersas y zonas donde las líneas se apretujan mucho. Se puede mostrar que en las primeras, la intensidad del campo magnético es pequeña, mientras que en las segundas el campo es más elevado. En esta práctica se podrá calcular con razonable precisión la relación entre la densidad de líneas y la intensidad del campo magnético generado por el solenoide.
Trabajo previo
1. Deduzca la ecuación (1) usando la ley de Biot y Savart. 2. Demuestre la ecuación (2). 3. ¿Cuál es la diferencia entre un solenoide y un solenoide ideal? ¿Cómo son las líneas de
campo magnético en cada caso? Realice los esquemas correspondientes. 4. ¿Qué es un toroide? Utilice la Ley de Ampère para determinar el valor del campo
magnético en su interior.
Parte A: Dependencia del campo del solenoide con la distancia
Equipo A
1. Solenoide de poca longitud. 2. Fuente de corriente directa. 3. Digitalizador de señales. 4. Sensor de campo magnético con
soporte (rango de 1X). 5. Convertidor lineal. 6. Sensor de movimiento rotacional.
Procedimiento A
1. Utilice la fuente de corriente directa y forme un
circuito que contenga el solenoide. Si es necesario, solicite ayuda a su profesor sobre la manera de realizarlo.
2. Arme el equipo de modo que se asemeje a la figura 2. Asegúrese que el brazo del sensor de campo se desplace a lo largo del eje de simetría del solenoide.
3. Ponga el selector del sensor de campo en posición “AXIAL”.
4. Ubique el sensor de campo en el extremo del convertidor lineal más cercano al solenoide de tal modo que el brazo se ubique en el centro del borde del solenoide, según muestra la figura 3,
Figura 2: Montaje del equipo para la medición del campo del solenoide en función de la distancia.
Figura 3: posición inicial del detector.
20
5. Encienda la fuente y ajuste una corriente de 0.30 A. Es muy importante que conserve esta gráfica, ya que los valores del campo magnético para distancias específicas serán utilizados en la parte C de este experimento.
6. Utilice la recámara de anulación y presione el botón “TARE” para ajustar a cero la medida. Presione el botón “Grabar” del programa.
7. Desplace lentamente el sensor de rotación hacia atrás a lo largo de todo el riel dentado y observe la curva que se genera. Si al desplazar el sensor, la curva se forma hacia la izquierda, eso indica que la polaridad está invertida. Apague la fuente e intercambie los cables en los bornes de la fuente. Repita el procedimiento desde el punto 4. También puede darse el caso de que las clavijas del sensor de rotación estén invertidas.
8. Al llegar al extremo, presione el botón Detener del programa. 9. Repita el procedimiento del 6 al 8 para valores de corriente de 0.20 A y 0.10 A. 10. Analice sus resultados.
Parte B: Dependencia del campo del solenoide con la corriente
Equipo B
1. Solenoide de poca longitud. 2. Fuente de corriente directa. 3. Digitalizador de señales. 4. Sensor de campo magnético con soporte (rango de 1X). 5. Sensor de voltaje (figura adjunta). 6. Convertidor lineal. 7. Sensor de movimiento rotacional.
Procedimiento B
1. El circuito para la parte B del experimento es el mismo que el anterior, lo que varía es que adicionamos un sensor de voltaje al canal B, las puntas del sensor de voltaje se conectan en paralelo con la fuente, observe la polaridad del sensor, de lo contrario la gráfica se formará al revés en su pantalla. Ya no vamos a mover el sensor de campo magnético en forma continua, sino que, lo moveremos a distancias específicas.
2. Coloque el extremo del brazo del sensor de campo en el centro del solenoide y del borde según se muestra en las figuras 2 y 3.
3. Ponga el selector del sensor de campo en posición “AXIAL”. Encienda la fuente y ajuste una corriente cero. Coloque la perilla de voltaje de la fuente a la mitad de su rango.
4. Tal y como lo ha hecho en los procedimientos anteriores, proceda a la anulación de campos residuales.
5. Presione el botón “Grabar” del Capstone y varíe lentamente la perilla de la corriente hasta alcanzar 0,15 A.
6. Presione el botón Detener del Capstone. 7. Repita el procedimiento del 4 a 6 para distancias de 2, 4, 6, 8 y 10 centímetros de separación entre
el borde del solenoide y el detector. 8. Realice un ajuste lineal de todos sus datos y analice los resultados. El ícono de ajuste se encuentra
en la parte inferior a la izquierda.
21
Parte C: Mapa de líneas de campo del solenoide
Equipo C
1. Solenoide de poca longitud. 2. Fuente de corriente directa. 3. Limaduras de hierro. 4. Placa soporte para insertar el solenoide. 5. Hoja grande de papel bond con muescas para fijar sobre la placa soporte
(suministrada por el profesor).
Procedimiento C
1. Fije el papel sobre la placa soporte por medio de cinta adhesiva tipo “masking tape” en los bordes de la hoja. Dibuje una línea longitudinal que corresponda al eje de simetría del plano (vea la figura 4), y marque puntos cada 2 centímetros iniciando desde el borde del solenoide hasta llegar a 10 centímetros.
2. Conecte directamente la fuente con el solenoide, y haga circular una corriente de 0.30 A
3. Inserte la placa con el papel dentro del solenoide por las muescas. Si el soporte no entra, gire el solenoide 90º con respecto a su eje de simetría e intente de nuevo. Con cuidado, espolvoree uniformemente las limaduras de hierro sobre el papel, no se exceda.
4. Dé pequeños golpes con un lápiz o lapicero sobre la placa para permitir la alineación de las limaduras. No sobrepase el valor de corriente 0.30 A (es importante llegar a este valor para así usar los datos del procedimiento A). Anote la longitud interna L del solenoide, con sus respectivas incertidumbres..
5. Visualice las líneas de campo y trace a lápiz varias líneas que salgan del centro de la bobina (en la figura 4 se muestra una de ellas). Asegúrese de trazar una línea cercana al eje de simetría.
6. Apague la fuente, retire el solenoide de la placa de manera que no se desperdiguen las limaduras. Despegue con cuidado la hoja del soporte y llame a su profesor para que recoja las limaduras de hierro.
7. Marque en la hoja el punto que corresponde al borde del solenoide (xo). A partir de él, marque otros puntos a lo largo del eje (x1, x2,…) espaciados cada 2 centímetros hasta llegar a 10 centímetros.. Para cada punto, mida la distancia perpendicular yi entre el eje y la línea cercana ya marcada, según se aprecia en la figura 4. Elabore una tabla como la siguiente:
x (cm) y (cm) BS (T) D (cm-1)
Note que la columna BS (T) corresponde a los valores del campo magnético en el eje de simetría del solenoide a una distancia x del borde. Estos valores se pueden obtener de la curva obtenida para una corriente de 0.30 A en el procedimiento A. Utilice los datos del Capstone, observe que los valores están dados en Gauss, y los valores que debe utilizar están en Teslas, por lo que debe realizar la conversión. La última columna contiene la densidad lineal D de líneas de fuerza, la cual es igual a la razón del número de líneas por unidad de longitud. D puede estimarse, para cada punto xi, de la forma siguiente:
22
yD
1 (3)
8. Haga la gráfica de BS en función de D y analícela.
yi
L
xi
eje x2 x1 xo
Figura 4: Colocación del papel en el plano bisector del solenoide. También se presenta una de las líneas de campo
cercana al eje de simetría y las cantidades geométricas pertinentes.
Cuestionario
1. ¿Cómo depende el campo magnético del solenoide con (a) la distancia y (b) la corriente? 2. Según sus resultados, ¿el solenoide utilizado se puede considerar ideal? Justifique su respuesta. 3. ¿Es posible comprobar la Ley de Gauss para magnetismo con ayuda del mapa formado? 4. ¿La forma de los mapas obtenidos se verán afectados por el campo magnético terrestre?
23
Gráficas, análisis, cuestionario y conclusiones
24
Práctica 4 Inducción electromagnética
Objetivos
El objetivo general es que el estudiante comprenda el concepto básico de la ley de inducción de Faraday en el caso de campos magnéticos variantes en el tiempo y generados por una bobina. Específicamente:
1. Comprender cómo las corrientes eléctricas variantes en una bobina pueden inducir corrientes variantes en otra bobina que no está conectada a la primera.
2. Apreciar el efecto de una barra ferromagnética sobre la fem inducida en la segunda bobina.
Introducción
La ley de inducción de Faraday-Lenz se puede enunciar de la siguiente manera: “La fem inducida en un circuito es igual al negativo de la velocidad con que cambia con el tiempo el flujo magnético a través del circuito”. En términos matemáticos, esta ley se escribe de la forma siguiente:
AdBdt
d
dt
d B
(1)
en donde AdBB
es el flujo magnético a través del circuito que subtiende un área A sobre la que
se calcula el flujo. El signo “-“ en (1) corresponde a la ley de Lenz, que dice que “en un circuito conductor cerrado, la corriente inducida aparece en una dirección tal que ésta se opone al cambio que la produce”. En otras palabras, la corriente inducida en el circuito debido al cambio en el tiempo del flujo magnético es tal que crea un flujo magnético opuesto al flujo inicial. En esta práctica se determinará la magnitud de la inducción, por lo que la ley de Lenz no será tomada en cuenta.
Según se desprende de (1), existen dos formas de generar una fem en un circuito, ya sea (a) variando el campo magnético en el tiempo, o (b) variando los parámetros geométricos del circuito de modo que el área varíe con el tiempo. En este experimento se estudiará sólo el primer caso.
Nota teórica
A continuación se estudiará el fenómeno de inducción mutua y autoinducción presente cuando una bobina de devanado apretado con corriente alterna se coloca frente a otra bobina similar. La figura 1 muestra la situación considerada. Por simplicidad, se muestran solamente las líneas de campo B12 generadas por la bobina 1 (de N1 vueltas de alambre) que inciden sobre la bobina 2 (de N2 vueltas). El campo B12 (producido
por la corriente i1) induce un flujo magnético 12
sobre cada vuelta de la bobina 2, de modo que el flujo
neto que 1 causa sobre 2 es 122N . Es importante
notar que 122N no es el flujo total que percibe la
campo B12
Bobina 1
N1 vueltas
corriente i1 corriente i2
Bobina 2
N2 vueltas
Figura 1: Una bobina 1 con corriente variante en el tiempo en presencia de otra bobina 2. La corriente de 1 induce una corriente variante en 2 cuya intensidad depende de la inductancia mutua M.
25
bobina 2, puesto que si ésta a su vez conduce una corriente i2,
tal corriente también producirá un flujo. Ahora bien, la corriente i1 producirá además un flujo sobre la misma bobina 1, de modo que el
flujo sobre una espira sola puede escribirse 11 . El flujo neto sobre todas las espiras de 1 va a ser
111N . Tenemos pues que una corriente sobre una bobina genera dos flujos: uno sobre sí misma
(autoinducción, caracterizada por una autoinductancia L) y otro sobre una bobina cercana (inducción mutua, caracterizada por una inductancia mutua M).
El flujo magnético de una bobina sobre sí misma es proporcional a la corriente que se transporta en esa bobina. De esta manera escribimos:
11111 iLN (2)
donde precisamente la autoinductancia L es la constante de proporcionalidad. Si usamos la ley de Faraday-Lenz en la forma (1), vemos que:
dt
diL
dt
Nd 11
11111
(3)
Por otro lado, el flujo de la bobina 1 sobre la otra bobina es también proporcional a i1, donde la constante de proporcionalidad es M:
dt
diM
dt
Nd 112212
(4)
Esta expresión indica que la fem inducida en la bobina 2 depende de la variación de corriente en la bobina 1 a través del parámetro de inductancia mutua. Este tratamiento es completamente análogo para el caso en que exista simultáneamente una corriente i2 en la bobina 2. La fem inducida por autoinductancia sobre 2 es:
dt
diL
dt
Nd 22
22222
(5)
Asimismo, la fem que la bobina 2 causa sobre la 1 está dada por:
dt
diM
dt
Nd 221121
(6)
Caso particular de corrientes alternantes: En esta práctica se estudia el caso de una corriente alterna sobre una bobina y su efecto sobre
la bobina cercana. El siguiente tratamiento busca encontrar las relaciones entre variables eléctricas de interés.
Supóngase que sobre la bobina 1 ingresa una corriente alterna de la forma titi o sin)( 11 ,
donde i1o es la amplitud de la corriente y es la frecuencia angular de pulsación. Utilizando la ecuación (4) se obtiene:
)cos(
)sin()( 1
112 tMi
dt
tidMt o
o
(7)
Si se usa la relación: )2/sin(cos , la ecuación (7) se puede escribir:
2sin)( 112
tMit o (8)
26
que es de la forma )sin()( max tt . Esta expresión dice que tanto la corriente en la bobina 1
como la fem inducida en la bobina 2 son funciones senosoidales, con un desfase de 90º entre ambas. En otras palabras, se induce en la bobina 2 una corriente alterna.
Como se verá en el procedimiento, en la práctica se utilizarán voltímetros que funcionan en el modo “AC”, es decir, corriente alterna. En tal caso, los valores desplegados por los instrumentos no son los valores instantáneos, sino los valores eficaces, o valores medios cuadráticos (rms). Refiérase al apéndice C para las explicaciones del caso. El valor eficaz del voltaje dado en (8), según la prescripción de dicho apéndice, vendrá dado por:
rms
o
rmsiM
Mi1
112
2
(9)
donde se ha usado: 2/11 ormsii . Este resultado dice que existe una relación lineal entre los valores
eficaces de la fem inducida a la bobina 2 y la corriente de la bobina 1. Otra expresión puede encontrarse para la fem inducida en la bobina 1 por la corriente de 2:
rms
o
rmsiM
Mi2
221
2
(10)
lo que viene a corroborar el fenómeno de inducción mutua, o sea, una corriente sobre una bobina causa una corriente sobre la otra, la que a su vez produce una corriente sobre la primera que se suma sobre la corriente original. Cuando un amperímetro mide la corriente sobre una bobina, en realidad está midiendo la suma algebraica de las dos contribuciones. Lo mismo pasa con los voltajes.
En todo caso, es razonable suponer que mientras mayor sea el voltaje en la bobina 1, tanto mayor será el voltaje a través de la bobina 2. Por otro lado, si la bobina 2 se aleja de la 1, es lógico esperar que la inductancia mutua M disminuya, y por tanto la interacción de 1 sobre 2 (y viceversa) se reduzca. Son estas suposiciones las que se desea comprobar experimentalmente en esta práctica.
Trabajo previo
1. Calcule la autoinductancia de un solenoide largo y recto. 2. Investigue la relación entre la inductancia mutua M y las inductancias L1 y L2 de dos
solenoides cercanos. 3. Investigue qué ocurre con la autoinductancia de un solenoide cuando se le introduce una
barra de un material ferromagnético. ¿Qué efectos tiene esto sobre la fem inducida en el segundo solenoide?
4. ¿Qué es un transformador? ¿Qué tipos de transformadores hay? ¿Cuál es la relación de transformación?
5. ¿Qué es un circuito magnético? ¿Qué es la reluctancia?
Equipo
1. Generador de Señales (onda sinusoidal) 2. Cajas de sustitución de resistencias 3. Bobinas de diferente número de vueltas 4. Barras metálicas 5. Digitalizador PASCO 850 6. Detectores de voltaje
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Digitalizador de señales
Detector de voltaje
Procedimiento
Parte A Número de vueltas variable 1. Arme el circuito de la figura 2. En el canal A y B se coloca el detector de voltaje. Con esto, los canales
deben conectarse respectivamente a las bobinas indicadas en la figura: en el canal A la bobina primaria (L1, la del lado de la fuente) y canal B a la bobina secundaria (L2).
L2 L1
R1
E0
1
R2
2
D
Canal A Canal B
f = 500 Hz
Figura 2a: Circuito de inducción mutua. Los canales A y B del digitalizador miden las caídas de potencial a través de los inductores. D representa la distancia entre los bordes próximos de los inductores.
Figura 2b: Detalle de la colocación de las bobinas.
2. Coloque las bobinas con número de vueltas iguales (N1 = N2 = 400 vueltas), de modo que estén en
contacto (esto es, D = 0). 3. Ingrese en el programa Capstone y busque el archivo de esta práctica. 4. Establezca en la fuente una frecuencia de 100 Hz y mínimo voltaje. Note que la resistencia del primario
tiene un valor de 20 y la del secundario de 10000 k.
En el programa, busque la página que contiene la gráfica de voltaje 12 vs . Pulse la tecla Grabar
para iniciar el registro de datos. Aumente gradualmente el voltaje de la fuente hasta el máximo permitido por la perilla. Observe cómo se va formando la curva. Al llegar al tope de la perilla de voltaje, presione la tecla Detener . Baje el voltaje de la fuente al mínimo.
5. Utilice la herramienta de texto que se encuentra en el borde superior de la gráfica para anotar como leyenda cercana a la curva recién elaborada: “Bobinas en contacto, sin barra, N1 = N2 = 400 vueltas”.
6. Cambie la bobina primaria, por la bobina con 200 vueltas y repita el procedimiento de los puntos 4 y 5, en la misma gráfica, de tal forma que pueda comparar los resultados.
7. Repita el procedimiento para la bobina de 1600 vueltas. 8. Repita los pasos anteriores pero cambiando la bobina secundaria y dejando la primaria en 400
vueltas.
28
Parte B Núcleo de hierro 9. Utilizando las bobinas de igual número de vueltas en el primario y en el secundario, con D = 0, repita
el punto 4 pero en una gráfica nueva. 10. De nuevo utilice la herramienta de texto para anotar la leyenda "Bobinas en contacto, sin barra, N1 =
N2 = 400 vueltas". 11. Inserte ahora la barra metálica horizontal a través de las bobinas,
tal como se muestra en la figura 3. Repita el punto 4 en la misma gráfica para de este modo poder comparar sus resultados.
12. De nuevo utilice la herramienta de texto para anotar la leyenda "Bobinas en contacto, con barra, N1 = N2 = 400 vueltas".
13. Seleccione cada curva (simplemente pulsando cualquier punto de ellas con el botón izquierdo del ratón) y solicite un ajuste lineal con la herramienta “Fit”.
Figura 3: Bobinas con barra de hierro horizontal.
Parte C Distancia variable 14. Retire la barra metálica y cambie la bobina primaria por la de 1600 vueltas y la secundaria por 3200
vueltas. 15. Busque la página en el programa que le brindará una nueva gráfica para registrar los datos.
16. Con las bobinas en contacto, registre los datos de 12 vs en todo el rango de voltaje que
proporciona la fuente (ver punto 4). 17. Separe las bobinas de modo que D = 2 cm y repita el punto 16 en la misma gráfica. 18. Repita el procedimiento de toma de datos para separaciones de 4, 6 y 8 cm. 19. Vuelva a colocar la barra metálica. Busque la página con una nueva gráfica y repita todo lo anterior
para las distintas distancias (de 0 a 8 cm). 20. Proceda a tabular en el programa Excel lo siguiente: en una columna los valores de D y en otra
columna los valores de 2 (cuando 1 tiene el valor de, por ejemplo, 1 V). Haga dos conjuntos, uno
para el caso SIN barra y otro para el caso CON barra.
21. Grafique 2 vs D para los dos casos (en una misma gráfica para que pueda comparar resultados).
22. Analice todos los resultados.
Parte D Circuito magnético 23. Utilice las bobinas de la parte C. 24. Busque la página en el programa que le brindará una nueva gráfica para registrar los datos. 25. Con las bobinas colocadas en cada una de las configuraciones de la figura 4 (barra horizontal, forma
de U y rectangular), registre los datos de 12 vs en todo el rango de voltaje que proporciona la
fuente.
29
Figura 4: Bobinas con barras metálicas de diferentes formas: barra horizontal, U y rectangular.
26. Rotule cada gráfica con la forma del núcleo. 27. Realice el ajuste de cada una de las gráficas.
Cuestionario
1. ¿Qué relación existe entre las caídas de voltaje en las bobinas cuando se encuentran en contacto? 2. ¿Qué relación existe entre las caídas de voltaje en las bobinas cuando se cambie el número de
vueltas en el primario? ¿Y en el secundario? 3. ¿Qué función desempeña la barra de metal en cuanto a las caídas de voltaje? 4. ¿Cómo varía el voltaje en la bobina 2 con la distancia de separación entre las bobinas? 5. ¿Se puede decir que las bobinas actúan como un transformador? Explique. 6. Explique por qué varía el voltaje en la bobina 2 al cambiar la forma de la barra metálica. ¿Con cuál
configuración se da el mejor fenómeno de inducción? ¿Por qué?
30
Gráficas, análisis, cuestionario y conclusiones
31
Práctica 5 Introducción al uso del osciloscopio analógico y digital
Objetivos
En esta práctica el estudiante debe familiarizarse con los principios fundamentales del funcionamiento de un osciloscopio de rayos catódicos (ORC) y de un osciloscopio digital (OD), así como de las técnicas básicas de sus modos de operación. Específicamente, se desea lo siguiente:
1. Utilizar el osciloscopio de doble trazo en cualquiera de sus dos canales. 2. Identificar y medir voltajes de señales CD. 3. Utilizar el generador de señales periódicas. 4. Identificar y medir frecuencias y voltajes de señales periódicas, particularmente señales
sinusoidales. 5. Sustituir el barrido horizontal automático del osciloscopio por una señal externa. 6. Identificar los límites de medición del osciloscopio, tanto en frecuencia como en voltaje.
Nota teórica
El osciloscopio de rayos catódicos (ORC) es uno de los instrumentos más comunes y útiles en muchos laboratorios modernos. La palabra osciloscopio es una combinación de los vocablos “oscilación” y “scopio” (del griego “skopein”, ver). Se utiliza para representar gráficamente la amplitud instantánea de una tensión en función del tiempo. Como su nombre lo sugiere, la parte fundamental de un ORC es un tubo de rayos catódicos. El tubo es de vidrio y tiene en el interior aire o nitrógeno muy enrarecido, es decir, a presiones muy bajas (hasta el orden de 10-5 Torr, o mm de Mercurio). El término rayos catódicos fue asignado a la emanación proveniente de un electrodo llamado cátodo colocado en un tubo al vacío. La palabra “cátodo” proviene del término griego “katodos” que significa “camino descendente”. Se asignó ese nombre al electrodo de menor potencial en un elemento de circuito dado. Hoy es sabido que tal emanación está conformada por un haz de electrones excitados térmicamente y acelerados hacia el ánodo (del griego, “camino ascendente”) o polo positivo del tubo al vacío.
La figura 1 muestra una representación esquemática del tubo de un ORC. La pantalla es fluorescente, es decir, produce luminiscencia a temperatura ambiente que proviene de la desexcitación de sus átomos en diversos pasos o niveles de energía hasta alcanzar su estado base.
Placas de
deflexión
vertical
FilamentoRejilla
Ánodos
Cañón electrónico
Placas de
deflexión
horizontal
Pantalla
Figura 1: Esquema simplificado del tubo de rayos catódicos. Se observa el cañón electrónico, las placas deflectoras y la
pantalla. Vista de frente, la pantalla luce como la de un televisor pequeño.
32
El cañón electrónico está compuesto por un filamento que, al ser calentado por una corriente, excita los electrones del cátodo, los cuales son atraídos hacia los ánodos situados después de una rejilla colimadora cuya función es limitar el número de electrones que pasan (esto está asociado con el brillo). Los ánodos se disponen de tal manera que configuran un haz fino de electrones. La diferencia de potencial entre ánodo y cátodo es del orden de los kV, y usualmente se denomina voltaje de aceleración.
El haz pasa luego a través de dos pares de placas. Las primeras (llamadas placas de deflexión vertical) permiten alterar la dirección del haz en dirección vertical, hacia arriba o hacia abajo dependiendo de la polaridad aplicada. Las segundas (placas de deflexión horizontal) producen desviaciones horizontales, hacia la izquierda o la derecha. La función precisa de estas placas se discute en el apartado siguiente.
Función de las placas de deflexión El haz de electrones emerge del cañón de electrones como un punto que se observaría en el centro de la pantalla a no ser que sufra alguna desviación posterior. La figura 2 muestra esta situación, donde el potencial aplicado a cada par de placas es cero. El haz se ha representado como un pequeño círculo oscuro en el centro de la pantalla.
En la figura 3 se presentan varios ejemplos de cómo puede lucir la pantalla con diversos voltajes aplicados a las placas de deflexión. En (a) y (b) se aplica un voltaje constante a solo uno de los canales, por lo que el círculo solamente se mueve en una dirección. En la situación (c) se aplican voltajes en los dos pares de placas, por lo que el círculo se ha movido en las direcciones vertical y horizontal. En (d) se ha insertado una señal oscilatoria del tipo sinusoidal a las placas de deflexión vertical al igual que un voltaje constante a las otras. El resultado es que el círculo se mueve armónicamente hacia arriba y hacia abajo. Si la señal periódica es de suficiente alta frecuencia (de aproximadamente 20 Hz hacia arriba), el ojo deja de percibir el movimiento oscilatorio y queda en la retina la impresión de un segmento de recta fijo. En estas circunstancias no es posible apreciar el carácter temporal de la señal.
VH
VV
Figura 2: Representación esquemática de la pantalla fluorescente vista de frente. Se muestran también las placas de deflexión horizontal y vertical y sus respectivas variables de voltaje, VH y VV.
(a) 0VV , 0HV (b) 0VV , 0HV
(c) 0VV , 0HV (d) oscVV , 0HV
Figura 3: Algunos casos de desviaciones del haz de electrones. (a) Voltaje positivo en las placas horizontales; (b) Voltaje negativo en las placas verticales; (c) Combinación de los voltajes anteriores; (d) Voltaje oscilante en las placas verticales y positivo en las horizontales.
Barrido automático del canal horizontal El problema mencionado al final del apartado anterior tiene fácil solución. Como se ha visto, la posición del punto en la pantalla depende de las tensiones aplicadas a las placas en un instante dado. Supóngase que se tienen dos señales de tensión variable con el tiempo, una sinusoidal y otra lineal. La figura 4 muestra los diagramas en el tiempo de ellas. Se conecta la señal lineal a las placas de deflexión
33
horizontal y la otra a las de deflexión vertical. La figura 5 presenta la construcción de la señal vista en pantalla a partir de las dos anteriores. Nótese que si se conoce la pendiente de la señal lineal, es posible reconstruir la onda sinusoidal como función del tiempo. En la construcción de la figura 5 se observa que se ha aprovechado tan sólo la mitad de la pantalla. Para lograr la representación de la señal en toda la pantalla, se puede utilizar una señal interna del ORC conectada al canal horizontal tipo diente de sierra (figura 6) que empieza en valores negativos de voltaje, sube a valores positivos y luego regresa casi instantáneamente al inicio. Cuando el voltaje cambia del mínimo al máximo, el haz de electrones se desplaza en su componente horizontal del extremo izquierdo al derecho de la pantalla. Se dice entonces que hace un barrido horizontal y el circuito responsable de esto es llamado “oscilador de barrido horizontal” o “circuito base de tiempos”.
VV
tT
T/20
VH
tTT/20
Figura 4: Representación gráfica de (a) una señal sinusoidal y de (b) una señal lineal. Las escalas de tiempo utilizadas
son arbitrarias.
VV
tT
T/20
VH
t
T
T/2
0
Pantalla
Figura 5: Construcción de una señal sinusoidal conectada al canal vertical sincronizada con una señal
lineal conectada al canal vertical.
VH
tT0 2T 3T
Figura 6: Tensión del oscilador de barrido horizontal en función del tiempo. T es el período de la señal.
34
La pendiente m de la señal diente de sierra puede variarse para hacer que se distinga mejor la señal del canal vertical (a mayor pendiente, la señal vertical se “extiende” más sobre la pantalla, según se puede deducir de la figura 5). Se puede escribir:
TntnTmttVH )1( para )( (1)
en donde n es un número natural. Por otro lado, la deflexión horizontal X que sufre el haz es proporcional a la tensión VH. Esto se expresa:
hXVH (2)
donde h es una constante. Igualando (1) y (2) y despejando para X se halla:
th
mX (3)
Puesto que en la pantalla es fácil medir las deflexiones X , se puede entonces despejar t de (3) y escribir:
XKt t (4)
donde Kt es una constante denominada constante de calibración. En otras palabras, si se conoce el desplazamiento X y la constante Kt, se puede calcular el tiempo que transcurrió desde el punto inicial hasta el final del desplazamiento. Las distintas constantes de calibración están definidas en el aparato, y generalmente vienen indicadas en la perilla de base de tiempos (“TIME/DIV” por ejemplo) y se expresan
en s/div, ms/div o s/div, según el caso (“div” significa división, y equivale a 1 cm). La forma de medir voltajes verticales es totalmente análoga. La ecuación es:
YKV VV (5)
donde KV es la constante de calibración para tensiones verticales, también llamada ganancia debido a su utilidad para amplificar señales pequeñas. Las ganancias vienen indicadas en las perillas de los canales
(“VOLT/DIV”) y se expresan en V/div, mV/div o V/div. Para facilitar la medida de las desviaciones tanto horizontales (X) como verticales (Y), la pantalla posee una cuadrícula en donde cada unidad longitudinal representa una división (o 1 cm), y las pequeñas marcas intercaladas (por lo general cuatro marcas por división) se denominan subdivisiones.
Trabajo previo
1. En forma similar a la figura 3, dibuje la imagen del haz de electrones que aparecería en la pantalla del ORC en los siguientes casos:
(a) 0VV , 0HV
(b) 0VV , 0HV
(c) 0VV , osc HV
2. Repase el significado de los términos “voltaje pico”, “voltaje pico-pico” y “voltaje rms” (ver apéndice C)
Equipo
1. Osciloscopio de rayos catódicos (ORC). 2. Osciloscopio digital (OD). 3. Generador de señales. 4. Dos fuentes CD. 5. Multímetro VOM.
35
Indicaciones generales
Un instrumento de laboratorio que es esencial para la visualización de formas de onda, medir periodos y voltajes es el osciloscopio. En el presente laboratorio se utilizarán osciloscopios analógicos y digitales, éstos últimos son de gran precisión cuando de obtener información sobre una onda se trata, ya que lo hace de forma automática y el usuario le programa lo que desea medir.
Figura 7. Osciloscopio Analógico
Figura 8. Osciloscopio Digital
En los osciloscopios analógicos es de primordial importancia antes de realizar cualquier medición,
realizar el proceso de calibración. Si este proceso no se realiza de manera correcta, las mediciones que se hagan no serán reales y estarán totalmente erróneas.
36
Para la calibración de un osciloscopio analógico, lo primero que se debe tener en cuenta es que algunas perillas de control del ORC (osciloscopio de rayos catódicos) son extraíbles y tienen funciones asociadas. En la figura 9, se muestran las perillas de control a las cuales se les debe poner especial cuidado.
Figura 9. Controles con funciones especiales
Todas las perillas de control con funciones adicionales deben estar en su posición original y giradas totalmente a la derecha (salvo la de posición horizontal). Por ejemplo, las perillas selectoras de voltaje de cada canal, deben ser giradas a la derecha hasta escuchar un click.
Una vez aseguradas las perillas de control en mención, se procede a obtener una línea de referencia cero para ambos canales tal y como se muestra en la figura 10. Para la línea de referencia los selectores del tipo de voltaje deben estar en la posición central (GND) y el control de TIME/DIV no puede estar en el modo XY. Las perillas de control del TRIGGER deben de estar en la posición superior.
37
Figura 10. Línea de referencia (GND)
Se juega con el ajuste vertical y horizontal hasta que se tenga en cada canal una línea de
referencia. Ajuste el foco y la intensidad de forma tal que sea vea el trazo fino, si se pone mucha intensidad la pantalla de fósforo podría quemarse.
Figura 11. Pantalla de ORC
La pantalla cuadriculada del osciloscopio está asociada al control de ganancia vertical (selectora
de voltaje) y al control de ganancia horizontal (control de tiempo). Cada cuadro (división) medido horizontalmente representa la unidad que indique la posición de la ganancia horizontal, ya sea en milisegundos/división (ms/div) o microsegundos/división (μs/div). Para saber el periodo de una onda basta contar el número de cuadros y multiplicarlo por el factor la escala (Kt).
De la misma manera, cada división en la posición vertical representa la unidad que indique el control de ganancia vertical, ya sea en voltios/división (V/div) o milivoltios/división (mV/div). De la misma
38
manera que para el tiempo, si se desea conocer la amplitud de una señal, basta con contar el número de divisiones en forma vertical y multiplicarlas por el factor de escala respectivo. No hay que olvidarse que estas amplitudes son amplitudes pico, no RMS como la medida que se obtiene con un multímetro.
El osciloscopio digital es un avance tecnológico respecto a su predecesor, el cual está al total
alcance, al principio es intimidante pero su uso es sumamente sencillo. En el laboratorio se utilizarán varios modelos y marcas de osciloscopios digitales, Tektronics, BK
Precision, Agilent. Todos realizan las mismas funciones, lo que varía entre ellos son los menú para accesar a las diferentes secciones. El modelo de la figura (Tektronix TBS 1052B) tiene la ventaja de que su pantalla es más ancha que las del resto de modelos.
Al encender el osciloscopio digital (OD), este inicia con un auto chequeo de sus funciones, unos cuantos segundos después salen trazos en su pantalla. Puede observarse en la figura 12 que se tienen dos botones de color amarillo y celeste respectivamente, ellos representan los canales 1 y 2 del OD, el trazo amarillo en el osciloscopio será siempre su canal No.1, por consiguiente el trazo celeste será el canal No. 2. Si se presiona el botón amarillo (1), se desplegará el menú del canal, acá se puede ajustar los parámetros que se requieran pero solo con respecto al canal. Un parámetro muy importante es el que se llama SONDA, el valor debe estar en 1X. Si el valor no está correcto, las mediciones que se hagan serán erróneas, así que es altamente recomendable que sea una de las primeras cosas que se revisen. Análogamente, si se presiona el botón celeste (2), podrá repetir el mismo proceso que hizo antes para el canal 1.
Figura 12. Controles del OD
39
Una de las funciones de mucha utilidad que tiene el OD es el botón de AUTOSET, cuando se presiona este botón, el OD se resetea y por sí mismo ajusta las señales de entrada y las despliega en la pantalla. Cuando se ajusta un canal de entrada o se han variado parámetros en algún otro menú como MEASURE (MEDIDAS) o CURSOR, si se oprime el botón AUTOSET éstos menú volverán a su configuración original y será necesario volver a ajustarlos.
Con el menú MEASURE, se pueden obtener muchas mediciones en la pantalla, basta con especificar en el menú si son de amplitud o son de tiempo. La facilidad CURSOR, le permite hacer mediciones exactas de amplitud o periodo según se desee, es tan simple como accesar el menú correspondiente.
Otra de las funciones prácticas es RUN/STOP, es posible fijar la señal en la pantalla completamente para observación o medición de parámetros con los cursores.
Las perillas de control con los colores circundantes amarillo o celeste son las de escala de control de ganancia vertical (selectora de escala de voltaje o SCALE) y de ajuste de posición (POSITION), y son análogas a las perillas de control de voltaje VOLTS/DIV y POSITION del ORC. La perilla de control de ganancia horizontal (control de tiempo) que dice SCALE, es la análoga a la de TIME/DIV del ORC.
Una de las mejores funciones que tienen los OD es la de poder almacenar en un dispositivo USB imágenes de la pantalla. El menú le ofrece diferentes formas de almacenamiento y opciones de imágenes a grabar. Para esto debe accesarse el menú y escoger lo que se desea.
Figura No.13 Controles de Almacenamiento del OD
Recuerde que los osciloscopios digitales son frágiles, cuide de no golpearlos y mucho menos que se caigan de una mesa de laboratorio.
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Procedimiento
a. Localización de controles en la carátula del osciloscopio La siguiente es una fotografía del panel de controles del osciloscopio BK Precision modelo 1541C. Señale las posiciones de los siguientes elementos:
(a) Interruptor de encendido (f) Controles de centrado vertical (k) Selector de modo de trabajo (canales) (b) Luz de encendido (g) Control de base de tiempos (l) Conector de tierra común (c) Control de intensidad (h) Conexión de entrada a canal 1 (m) Perilla reguladora de sincronismo (d) Control de enfoque (i) Conexión de entrada a canal 2 (n) Selector de fuente de señal (en “Trigger”) (e) Control de centrado horizontal
(j) Controles de ganancia vertical (ñ) Selector de modo de operación (en “Trigger”)
b. Conexión de señales de corriente directa: operación en modo X-Y.
El osciloscopio permite estudiar dos señales simultáneamente, ya sea en forma independiente (gráficas de voltaje en función del tiempo) o en combinación (canal Y contra canal X). Por esta razón a este tipo de osciloscopios se le llama de doble trazo. En esta parte se utilizará el osciloscopio en el segundo modo de operación (señal de canal Y en función de señal de canal X) denominado modo X-Y. Escuche las instrucciones de su profesor sobre cómo seleccionar este modo de operación en el ORC y el OD de su mesa.
41
Arme el circuito de la figura 7, donde una de las fuentes (A) está conectada al canal 1 y la otra fuente (B) al canal 2 de cada uno de los osciloscopios. Observe en su ORC y su OD cuál canal corresponde a deflexiones en X y en Y. Proceda a establecer los voltajes que se indican en los cuadros debajo de la figura 7 para cada canal y dibuje allí la posición del haz de electrones obtenida.
ORC A B
CH 1 CH 2
OD
Figura 7: Osciloscopios conectados a dos fuentes de señales CD, una en cada canal. Los
osciloscopios deben operar en el modo X-Y.
VH = 0, VV = 8 V KH = KV =
VH = 8 V , VV = 0 KH = KV =
VH = 8 V, VV = 8 V KH = KV =
VH = 4 V, VV = 6 V KH = KV =
c. Inversión de polaridad en los canales: operación en modo X-Y.
Proceda a invertir la polaridad de una o de las dos fuentes, según el caso, para dibujar las señales de las situaciones que se presentan a continuación.
VH = 0, VV = - 8 V KH = KV =
VH = - 8 V , VV = 0 KH = KV =
VH = - 8 V, VV = - 8 V KH = KV =
VH = - 4 V, VV = 6 V KH = KV =
d. Conexión de una señal constante y una sinusoidal: operación en modo X-Y.
Desconecte una de las fuentes CD y conecte el generador de señales en modo sinusoidal. Gradúe su frecuencia a 1 kHz. Dibuje las señales obtenidas para los casos siguientes:
42
VH = 0, VV = 10 Vp
KH = KV =
VH = 5 V , VV = 10 Vp
KH = KV =
VH = 10 Vp, VV = 5 V KH = KV =
VH = VV = 10 Vp
KH = KV =
donde VP significa voltaje pico, o sea, la amplitud de voltaje.
Para el último caso (VH = VV = 10 Vp), disminuya la frecuencia hasta que logre divisar el movimiento del punto del haz de electrones. Describa su movimiento y explique lo que está ocurriendo.
e. Utilización del barrido horizontal automático del ORC.
Retire la fuente DC y deje solo el generador de señales conectado al canal 1 (conecte el canal 2 directamente a tierra). Proceda a dibujar las señales que aparecen en la pantalla para los siguientes casos, cambiando adecuadamente la conexión del generador al canal respectivo, o conectándola simultáneamente a ambos canales. Escoja una ganancia vertical y un barrido horizontal adecuado para observar al menos una oscilación de las señales de entrada.
V1= 4 Vp, V2= 0
Kt = KV1 = KV2 =
V1=0, V2= 4 Vp
Kt = KV1 = KV2 =
V1= 4 Vp, V2= 4 Vp Kt = KV1 = KV2 =
Asegúrese de marcar en los diagramas a qué canal corresponde cada señal.
f. Lectura de períodos y voltajes de señales sinusoidales
a) Conecte el generador de señales en modo sinusoidal a cualquiera de los dos canales. Ajuste una amplitud de 4 V (Vpico) una frecuencia de 50 Hz. Conecte el VOM (en modo AC) para medir la caída de voltaje a través de la fuente.
b) Anote la lectura de la frecuencia que despliega el generador (fgen). Mida el período (TORC) y con Tf /1 calcule la frecuencia (fORC) obtenida por el osciloscopio. Lleve nota de la ganancia vertical
(KV) y de la constante de tiempos (Kt). Anote también Vpico, Vpico-pico y Vrms calculado a partir de Vpico. Anote VVOM y calcule el porcentaje de diferencia con respecto a Vrms.
c) Efectúe paralelamente las mismas mediciones con el OD y compare. d) Varíe la frecuencia de la fuente para abarcar un rango hasta los MHz. Tabule toda la información,
incluyendo la del punto b) y c) en una tabla como la siguiente:
43
fgen (Hz)
TORC/OD (s)
fORC/OD (Hz)
KV ORC/OD (V/div)
Kt ORC/OD
(s/div) Vpico ORC/OD
(V) Vpico-pico ORC/OD
(V) Vrms ORC/OD
(V) VVOM
(V) %V
ORC/OD
Observe si existe alguna diferencia significativa entre los voltajes Vrms (ORC, OD) y VVOM. ¿A qué puede deberse?
Cuestionario
1. ¿Por qué se dice que el osciloscopio es un voltímetro muy sensible? 2. ¿Cuál es el mayor voltaje pico-pico que se puede leer directamente con el osciloscopio? 3. ¿Cuál es el menor tiempo que se puede leer directamente con el osciloscopio?
44
Gráficas, análisis, cuestionario y conclusiones
45
Práctica 6 Circuitos RC y RL en régimen transitorio
Objetivos
El objetivo principal es el estudio de los circuitos RC y RL en régimen transitorio ante un estímulo del tipo onda cuadrada. Específicamente, se desea:
1. Estudiar la operación transitoria de circuitos RC y RL.
2. Determinar las constantes de tiempo C y L.
Nota teórica
a. Circuito RC: Los resistores son elementos de circuito que absorben energía eléctrica y la convierten
básicamente en calor (y luz en algunos casos). Dos elementos pasivos que son capaces de almacenar energía son los capacitores (o condensadores) y los inductores. Los condensadores almacenan energía eléctrica en forma de carga estática entre sus placas. La diferencia de potencial entre las placas es proporcional a la carga almacenada, siendo la constante de proporcionalidad el inverso de la capacitancia C. Si se construye un circuito RC como el mostrado en la figura 1, se sabe que la fuente proporcionará la energía necesaria al condensador para cargarse. No
C E0
R
Figura 1: circuito RC
obstante, este proceso se ve limitado por la resistencia de los conductores y del resistor, por lo que el proceso de carga de un condensador debe tomar más tiempo en circuitos de alta resistencia. Asimismo, la capacitancia de un condensador también afectará el tiempo de carga: a mayor capacitancia, mayor el tiempo para cargar el capacitor. De esta forma, se extrae que el producto RC está directamente relacionado con el tiempo de carga del condensador según se verá a continuación.
Según el circuito de la figura 1, podemos escribir la ley de voltajes de Kirchoff:
00 CR VVE (1)
Pero: dt
dqRRiVR y
C
qVC , por lo que (1) se escribe:
0EC
q
dt
dqR (2)
que es una ecuación diferencial de variables separables. Si consideramos la condición inicial: 0)0( tq , la solución de (2) se escribe:
Cteqtq
/
max 1)(
(3)
El voltaje a través del capacitor será:
Ct
C eEC
tqtV
/
0 1)(
)(
(4)
46
+E0
T
2
T 0
t
E0(t)
(a)
0,632E0
C
+E0
T
2
T 0
t
VC(t)
(b)
Figura 2: (a) Forma de la onda cuadrada de entrada; (b) Forma de la onda a través del capacitor.
donde se ha tomado CqE /max0 cuando el capacitor está totalmente cargado y RCC la
constante de tiempo capacitiva del circuito RC. Este análisis es válido sólo para las condiciones iniciales anotadas arriba. En la situación de la figura 2(a), en donde la fuente provee una onda cuadrada de periodo T (de valor E0 entre 0 y T/2 y de valor 0 entre T/2 y T), la diferencia está en que cada vez que la fuente cambia de polaridad, la función exponencial invierte su concavidad de modo que aparece la curva de la figura 2(b). Nótese que se ha supuesto que el período T de la onda cuadrada es mucho mayor que la constante de tiempo capacitiva.
De la ecuación (4) y la figura 2(b) podemos dar una interpretación de la constante de tiempo.
Nótese que en C
t , el voltaje VC toma el valor eE /110 , o sea:
0632,0 EtV CC (5)
Esto es, la constante de tiempo capacitiva es el tiempo que hay que esperar para que el capacitor se cargue al 63,2% de su valor máximo de carga. Si se pone el osciloscopio de modo que se pueda observar el voltaje a través de C, se verá en la pantalla una curva como la de la figura 2, de manera que en principio basta con señalar el punto donde la curva sube al 63,2% del valor máximo de voltaje y extraer
directamente C. En la práctica esto no es sencillo, así que se utilizará el procedimiento que se describe a continuación.
b. Medida de C: Teniendo la situación señalada en la figura 2(b), se puede fácilmente leer el voltaje
correspondiente a la mitad del valor máximo. Sea tmed el tiempo correspondiente a esta situación. Entonces, en la ecuación (4) se tendrá:
Cmedt
medC eEE
ttV/
00 1
2
(6)
Luego de eliminar E0 y reagrupar, se puede despejar C en función de tmed:
medmed
C tt
443,12ln (7)
Esta expresión permite obtener la constante de tiempo capacitiva en forma experimental.
c. Circuito RL y medida de L: En la figura 3(a) se presenta un circuito RL. De nuevo, según Kirchoff:
00 LR VVE (8)
Pero: RiVR y dt
diLVL , por lo que (8) se escribe:
47
L E0
R
(a)
0,368E0
-E0
L
+E0
T
2
T 0
t
VL(t)
(b)
Figura 3: (a) Circuito RL; (b) Forma de la onda a través del inductor.
0ERi
dt
diL (9)
La solución de (9) sujeta a la condición inicial 0)0( ti es:
Lte
R
Eti
/0 1 )(
(10)
en donde L es llamada la constante de tiempo del inductor y está dada por RLL / . El voltaje a través
del inductor será entonces: Lt
L eEtV/
0 )(
(11)
La figura 3(b) muestra la curva de voltaje a través del inductor cuando la fuente provee una onda
cuadrada. De nuevo, la interpretación de L se hace para la situación L
t . Introduciendo en la
ecuación (11) se tiene:
0368,0 EtV LL (12)
es decir, L es el tiempo que hay que esperar para que el voltaje a través del inductor caiga al 36,8% de
su valor inicial. Para obtener L a partir de la pantalla del osciloscopio, se procede de forma parecida al
caso de C. Es posible mostrar que la constante de tiempo inductiva está dada por:
medmed
L tt
443,12ln (13)
donde de nuevo tmed es el tiempo que le toma a VL caer a la mitad de su valor inicial. En esta práctica se desea comprobar que los valores dados por las ecuaciones (7) y (13) coinciden con buena precisión con
los valores teóricos obtenidos de RCC y RLL / .
Trabajo previo
Realice los siguientes pasos intermedios entre las ecuaciones señaladas: 1. (2) y (3). 2. (6) y (7) 3. (9) y (10) 4. (13) a partir de (10).
48
Equipo
1. Generador de señales. 2. Osciloscopio Digital 3. Caja de sustitución de resistencias. 4. Caja de sustitución de capacitancias. 5. Bobina.
Antes de armar cualquier circuito, proceda a medir los valores de las resistencias y capacitancias que va a utilizar en ambos circuitos, anote estos valores en su guía. Tome nota de las indicaciones de su instructor para realizarlo correctamente.
Procedimiento
1. Circuito RC:
a. Arme el circuito de la figura 1 con Rnominal en 1 k y Cnominal en 0.1 F (valores nominales de las carátulas). Ponga el canal 1 del osciloscopio digital para medir la señal de entrada y el canal 2 para medir el voltaje a través del capacitor.
b. Ajuste una frecuencia baja del generador (unos 200 Hz o menos) de modo que el periodo de la señal de entrada sea bastante mayor que la curva de carga del capacitor. Ponga un valor de E0 de alrededor de 2 V.
c. Mida tmed (utilice los cursores del osciloscopio) en la situación en que VC está a mitad de su valor
máximo y calcule C (experimental) con (7). Anote todos los datos en una tabla cuyo encabezado aparece abajo.
d. Repita los pasos c. y d. para otros valores de Rnominal y Cnominal.
e. Determine C a partir de RCC (teórico, use los valores nominales). Anote los porcentajes
de diferencia entre los valore teóricos y los experimentales.
Diagrama de señales del osciloscopio
Señal de entrada Voltaje del capacitor Frecuencia del generador = Voltaje de fuente E0 =
Rnominal (Ohm)
Cnominal
(F)
Rreal (Ohm)
Creal
(F) C (s)
teórico
tmed (s) C (s) experim.
% diferencia
49
2. Circuito RL: a. Del circuito que se usó en la parte anterior, sustituya el capacitor por un inductor de 840 mH
(valor nominal) de modo que el circuito quede como el de la figura 3(a). Ajuste Rnominal a alrededor
de 2 k. El valor real del inductor es de 863 mH. b. Repita los pasos del procedimiento del circuito RC para este caso, haciendo las debidas
modificaciones al procedimiento para hallar los L teóricos y experimentales y hacer las debidas comparaciones. Diagrama de señales del osciloscopio
Señal de entrada Voltaje del inductor Frecuencia del generador = Voltaje de fuente E0 = Inductancia L =
Rnominal (Ohm)
R (Ohm)
L (s) teórico
tmed (s) L (s) experimental
% diferencia
Cuestionario
1. ¿Cómo influye el período del generador en las medidas de las constantes de tiempo? 2. ¿En qué influye la resistencia interna del generador en las mediciones? ¿Qué otras resistencias
puede haber presentes? 3. ¿Bajo qué condiciones de R y C se obtienen los mínimos porcentajes de diferencia?
50
Gráficas, análisis, cuestionario y conclusiones
51
Práctica 7 Oscilaciones amortiguadas
Objetivos
En esta práctica se desea estudiar, en el caso de un circuito RLC serie, la capacidad de almacenaje de energía del capacitor y del inductor, así como la capacidad de disipación de energía por parte de un resistor. Específicamente:
1. Corroborar el carácter oscilatorio del almacenamiento de energía en el circuito RLC en el caso de subamortiguamiento.
2. Observar el decaimiento exponencial de la envolvente de carga en el capacitor en el mismo caso.
3. Calcular y buscar valores experimentales de la resistencia crítica del circuito RLC, es decir, de la resistencia límite en que el sistema deja de oscilar.
4. Observar el estado de sobreamortiguamiento del sistema. 5. Observar el estado de resonancia del circuito.
Nota teórica
Considérese el circuito de la figura 1. Cuando el interruptor se encuentra en la posición A, el capacitor C se carga hasta un valor máximo que está determinado por la capacitancia y la diferencia de potencial entre sus bornes. Si ahora se desconecta la fuente colocando el interruptor en el punto B (suponiendo que ese instante corresponde a 0t ), el capacitor comenzará a descargarse a través del resistor R y del inductor L. Para un cierto tiempo t después, se puede escribir la ley de voltajes de Kirchoff de la forma:
Figura 1: Circuito RLC en serie. La fuente E0 se conecta al cerrar el interruptor..
0C
qRi
dt
diL (1)
I es la corriente del circuito y q la carga contenida en el capacitor. Haciendo uso de la identidad:
dt
dqi (2)
se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden siguiente:
52
01
2
2
qLCdt
dq
L
R
dt
qd (3)
Esta ecuación tiene soluciones que dependen de los valores de la ecuación característica:
012
LCL
R (4)
que se determinan por:
LCL
R
L
R 1
42 2
2
2,1 (5)
Si se expresa el discriminante como:
LCL
R 1
4 2
2
(6)
existen tres posibles tipos de solución, dependiendo de los valores de R, L y C, a saber: (a) 0 , (b)
0 y (c) 0 . A continuación se analizan brevemente los casos.
a. Subamortiguamiento ( 0 ):
En este caso es complejo y existe una solución armónica de la forma:
)cos()( )2/(
0 teqtq tLR (7)
donde se ha usado la condición inicial 0)0( qtq y:
2
2
1
L
R
LC (8)
es la frecuencia angular natural de oscilación del circuito. El voltaje a través del capacitor puede entonces escribirse:
)cos()(
)( )2/(0 teC
q
C
tqtV tLR
C (9)
La figura 2 muestra la gráfica de VC vs t . En ella se muestra también la llamada envolvente que es una línea imaginaria que muestra el decaimiento en amplitud de las oscilaciones. Puede comprobarse de (9) que la amplitud es función del tiempo y tiene la forma:
tLReC
q )2/(0 (10)
La descarga del capacitor ocurre de forma oscilante. Esta curva se puede interpretar en términos de energía, según se pide realizar en el trabajo previo. Físicamente, se está dando un intercambio de energía entre el capacitor y el inductor, aunque con la presencia del resistor parte de esa energía se transforma en calor y se disipa. b. Amortiguamiento critico ( 0 ):
Representa la condición límite para que el sistema deje de oscilar. A la resistencia que hace que el discriminante sea igual a cero se le denomina resistencia crítica. Se puede comprobar que la expresión para ésta viene dada por:
C
LRc 2 (11)
53
VC
t
Figura 2: Señal de voltaje a través del capacitor en condiciones de subamortiguamiento (línea continua). Las líneas de trazos representan la envolvente de la señal.
La solución para la función de carga en el capacitor se escribe:
/
0 1)( tet
qtq
(12)
donde:
R
L2 (13)
es la llamada constante de tiempo. La representación gráfica del voltaje en el capacitor se muestra en la figura 3. La señal tiende asintóticamente a cero conforme el tiempo va a infinito. c. Sobreamortiguamiento ( 0 ):
En este caso la resistencia del circuito es mayor que el valor de resistencia crítica dada por (11). El sistema no oscila y la solución general para la carga es:
ttee
qtq 12
21
21
0)(
(14)
En la figura 3 también se muestra la gráfica de la carga en función del tiempo. Nótese que la pendiente inicial con respecto al caso crítico es más pronunciada. De nuevo, la señal tiende asintóticamente a cero conforme el tempo se hace infinito.
Trabajo previo
1. Repase los conceptos asociados con el sistema masa-resorte desde el punto de vista del desplazamiento de la masa y de la energía del sistema. Estudie los casos siguientes: (a) sistema sin fricción, y (b) sistema con rozamiento.
2. Exprese la energía almacenada en un capacitor en términos de: (a) el voltaje aplicado entre sus placas, y (b) la carga almacenada en una de las placas.
3. Haga las siguientes comparaciones: (a) el circuito LC con el sistema masa-resorte sin fricción, y (b) el circuito RLC con el sistema masa-resorte con fricción (haga dibujos).
4. Repase los conceptos de oscilación forzada y resonancia del sistema masa-resorte. 5. Repase el concepto de semivida t1/2.
54
t
VC
crítico
sobreamortiguado
Figura 3: Representación gráfica del decaimiento del voltaje en el capacitor para los casos de amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento, según se indica.
Figura 4: Circuito RLC para el estudio de las oscilaciones amortiguadas
Equipo
1. Generador de señales. 2. Osciloscopio digital 3. Caja de sustitución de resistencias. 4. Caja de sustitución de capacitancias. 5. Bobina.
Procedimiento
Al igual que en el experimento anterior proceda a medir los valores de resistencia y capacitancia que va a utilizar en el circuito. Anote estos valores en su guía. 1. Arme el circuito de la figura 4. Nótese que se desea observar el comportamiento en voltaje del
capacitor en el osciloscopio. Seleccione en la fuente el modo de onda cuadrada. 2. Subamortiguamiento:
a. Ponga un valor de 0 en la caja de resistencias. En tal caso, note que la resistencia del circuito
será la suma de la resistencia interna del generador (50 Ω) y la resistencia de la bobina (62.5 Ω).
b. Utilice un valor de capacitancia de 0.01 F, para el generador señales utilice una onda cuadrada de 50 Hz aproximadamente. Deben emplearse a fondo sus conocimientos adquiridos en el manejo del osciloscopio digital para hallar una forma de onda similar a la figura 2. La frecuencia
55
dada es solo de referencia, durante el proceso de encontrar una forma de onda semejante a la figura 2 puede variarse para mejor visualización.. Note que en las transiciones de la onda cuadrada la fuente intenta cargar el capacitor rápidamente con la polaridad en un sentido, cuando se encontraba cargado en el sentido opuesto. Estos cambios repentinos no son aceptados instantáneamente por el sistema, por lo que oscila en la forma vista en la pantalla..
Figura de la pantalla del O D
c. Calcule la frecuencia natural (rad/s) de oscilación del circuito a partir de los datos de R, L y C y usando la ecuación (8). Compárela con la frecuencia obtenida experimentalmente.
d. Encuentre el valor de la semivida t1/2 de la amplitud de la oscilación (es decir, el tiempo necesario para que la amplitud decaiga a la mitad de su valor original. Para ello, debe imaginar la
envolvente de la señal). Compárelo con el valor teórico dado por 693.0)2(ln2/1 t , con
dada por (13).
3. Amortiguamiento crítico: Busque experimentalmente el valor de la resistencia crítica Rc. Para esto, aumente gradualmente los valores de resistencia de la caja y observe en qué momento la señal en la pantalla deja de asemejarse a la de la figura 2. Compare el valor de su resistencia crítica experimental (no olvide las resistencias de la fuente y del inductor) con el valor teórico dado por la ecuación (11).
Figura de la pantalla del OD
56
4. Sobreamortiguamiento: Ajuste en la caja de resistencias un valor mayor a la resistencia crítica. Comente.
Figura de la pantalla del OD
5. Ajuste un valor de 0 nuevamente en la caja de resistencias para regresar a las condiciones de subamortiguamiento. Aumente gradualmente la frecuencia del generador hasta hacerla igual o ligeramente superior a la frecuencia natural de oscilación del circuito. Describa y explique lo observado en pantalla.
Figura de la pantalla del OD
57
Cuestionario
1. ¿Qué relación tienen la frecuencia de la oscilación amortiguada y la frecuencia del generador? 2. ¿Cómo se puede explicar desde el punto de vista de energía el caso de sobreamortiguamiento? 3. Además de los instrumentos, ¿qué otros factores de error pueden estar involucrados? (¿Se conocen
con certeza todos los parámetros del sistema?)
58
Gráficas, análisis, cuestionario y conclusiones
59
Práctica 8 Respuesta a la frecuencia – primera parte
Objetivos
En esta práctica se desea estudiar la influencia de la frecuencia suministrada por una fuente de voltaje senosoidal de amplitud constante sobre los circuitos RC serie y RL serie. Específicamente:
1. Estudiar el comportamiento del voltaje a través del resistor con la variación en la frecuencia de la señal de entrada.
2. Estudiar el comportamiento del ángulo de desfase entre el voltaje de la fuente y la corriente del circuito con la variación en la frecuencia de la señal de entrada.
3. Obtener experimentalmente la frecuencia de media potencia.
Nota teórica
a. Circuito RLC serie La figura 1 muestra el circuito RLC
serie alimentado por una fuente de voltaje sinusoidal de voltaje pico E0 y frecuencia f. De acuerdo con la ley de voltajes de Kirchhoff, la ecuación del circuito se puede escribir:
)(teC
qRi
dt
diL (1)
Frecuencia
f
R
Voltaje pico
E0
CL
Figura 1: Circuito RLC serie.
donde i(t) es la corriente instantánea que pasa por el circuito, q(t) la carga almacenada en el capacitor y e(t) la tensión instantánea de la fuente que tiene la forma:
)sin()( 0 tEte (2)
con f 2 la frecuencia angular. Hay varias maneras de resolver la ecuación (1). Aquí interesa
exponer algunos argumentos geométricos que ayudarán a entender su solución. Estos argumentos están basados en el método de fasores que el estudiante deberá repasar con más profundidad en los libros de texto* pues aquí solo se expondrán los conceptos generales. b. Diagrama fasorial de un resistor
Un fasor es un vector que gira alrededor del origen con velocidad angular constante. Esta definición se adapta bien a la descripción del voltaje suministrado por la fuente cuya función de tiempo está dada en (2). La figura 2 muestra la representación geométrica del fasor de la fuente en términos
de la amplitud E0 y de la velocidad angular . Nótese que la proyección del fasor E0 sobre el eje y reconstruye la forma funcional (2).
t
e(t)
E0
Figura 2: Fasor del voltaje de entrada e(t).
* Ver por ejemplo: Resnick, Halliday y Krane (1994) o Eisberg y Lerner (1984).
60
A continuación se analizará el caso de los fasores del resistor, capacitor e inductor por aparte. c. Diagrama fasorial de un circuito con resistor R
Supóngase que se retiran del circuito de la figura 1 el capacitor y el inductor, de modo que la fuente solo estará conectada al resistor. En ese caso la ecuación (1) se reduce a lo siguiente:
)sin()()( 0 tEtetiR (3)
lo que significa:
)sin()sin()( 00 tIt
R
Eti (4)
Esta expresión dice que se puede definir el
i(t)
I0
t
e(t) = vR(t)
E0 = VR
Figura 3: Fasores asociados con el circuito del resistor.
fasor corriente de modo que es colineal con el fasor de la fuente, según se muestra en la figura 3 (las escalas para voltaje y corriente no necesariamente son las mismas). Esto es así pues no existe ningún ángulo de desfase entre e(t) e i(t). Este desfase nulo hace que se diga que en este circuito la corriente está en fase con el voltaje aplicado al resistor. El voltaje en el resistor es entonces:
)sin()sin()()()( 0 tVtRItiRtv RR (5)
donde se ha definido 0RIVR el fasor de caída de potencial en el resistor que resulta ser igual al fasor
de la fuente. d. Diagrama fasorial del circuito con capacitor
Considérese ahora el caso de la fuente conectada directamente al capacitor (sin resistor ni inductor). La ecuación (1) tendrá la forma:
)sin()(
0 tEC
tq (6)
Reacomodando y derivando se obtiene:
)cos()(
)( 0 tCEdt
tdqti (7)
Definiendo CX C /1 (llamada reactancia
capacitiva) se puede escribir:
90º
i(t)
I0
t
e(t) = vC(t)
E0 = VC
Figura 4: Fasores asociados con el circuito del capacitor.
2sin)( 0
tX
Eti
C
(8)
donde se ha usado la igualdad trigonométrica: )2/sin()cos( tt . Notamos que existe un desfase
de 90º entre el fasor de la fuente y el fasor corriente. Se dice entonces que la corriente en el circuito está adelantada con respecto al voltaje de la fuente. Esto se muestra en la figura 4. Estudiando las unidades en (8), es posible darse cuenta que la reactancia capacitiva tiene unidades de resistencia. En realidad, XC juega un papel semejante al de la resistencia para un resistor, e indica la propiedad del capacitor de oponerse al paso de la corriente. Obsérvese que la reactancia capacitiva depende de la frecuencia en forma inversa: a mayor frecuencia, menor reactancia. Esto sugiere
61
que un capacitor actúa como un buen conductor a altas frecuencias, pero es mal conductor a bajas frecuencias.
El fasor de caída de voltaje a través del capacitor es pues: 00 EIXV CC , según se muestra
también en la figura 4. e. Diagrama fasorial del circuito con inductor
Considérese finalmente el caso de la fuente conectada directamente al inductor (sin resistor ni capacitor). La ecuación (1) queda:
)sin()(
0 tEdt
tdiL (9)
Reacomodando e integrando se obtiene:
)cos()( 0 tL
Eti
(10)
Definiendo LX L (llamada reactancia
inductiva) se puede escribir:
-90º
i(t)I0
t
e(t) = vL(t)
E0 = VL
Figura 5: Fasores asociados con el circuito del inductor.
2sin)( 0
tX
Eti
L
(11)
donde se ha usado la igualdad trigonométrica: )2/sin()cos( tt . Notamos que existe un
desfase de -90º entre el fasor de la fuente y el fasor corriente. Se dice entonces que la corriente en el circuito está atrasada con respecto al voltaje de la fuente. Esto se muestra en la figura 5. Nuevamente, la reactancia inductiva tiene unidades de resistencia, y representa la propiedad del
inductor de oponerse al paso de la corriente. Debido a la relación directa con , la reactancia es mayor conforme aumenta la frecuencia, lo que implica que el inductor se comporta como mal conductor a altas frecuencias (lo contrario que para el capacitor) y viceversa.
El fasor de caída de voltaje a través del inductor es pues: 00 EIXV LL , según se muestra
también en la figura 5. f. Circuitos RC y RL
Ahora se está en capacidad de analizar los circuitos RC y RL por el método fasorial. Es de notar que las distintas contribuciones de las caídas de voltaje se suman fasorialmente. La figura 6 muestra los diagramas para los citados circuitos.
Nótese que en ambos casos se ha incluido la contribución del resistor, y que el fasor E0 no es ya
colineal con VR sino que está separado por un ángulo con respecto a éste. Este ángulo precisamente
se denomina ángulo de desfase de la fuente con respecto a la corriente. Para el circuito RC el valor de es negativo, mientras que para el RL es positivo.
En este punto es necesario hacer una consideración que se presentará en el experimento. En todo el análisis que se ha hecho hasta el momento, se ha considerado a R como la resistencia del resistor. En general, es más apropiado decir que R es la resistencia total del circuito, que incluye las resistencias del resistor, cables de conexión, inductor, generador, etc. Por lo tanto, en adelante se escribirá “R” para denotar la resistencia del resistor, “Rtot” para la resistencia total, “Rgen” para la resistencia del generador, etc.
Es posible hallar expresiones de en función de los parámetros del circuito utilizando los triángulos rectángulos definidos por VR y E0, como se verá a continuación:
62
E0
VR,tot
t
I0
VC
(a)
E0
VR,tot
VL
t
I0
(b)
Figura 6: Fasores asociados con los circuitos en estudio: (a) Circuito RC; (b) Circuito RL.
(a) RC:
CRCRIR
IX
V
V
tottottot
C
totR
C
1tan)(
1tan 1
0
0
,
(12)
(b) RL:
tottottot
L
totR
L
R
L
R
L
IR
IX
V
V
1
0
0
,
tan)( tan (13)
El signo “-“ en (12) se introduce por lo discutido arriba.
También es de interés expresar la magnitud de la caída de potencial en el resistor VR. El tratamiento es el siguiente:
(a) RC:
2
2
0
2
0
22
0
222
,0
1
CRIIXIRVVE totCtotCtotR
Pero: 0RIVR , así que:
2
2
0
1)(
CR
REV
tot
R
(14)
(b) RL: 22
0
2
0
22
0
222
,0 LRIIXIRVVE totLtotLtotR
De nuevo: 0RIVR , por lo que:
22
0)(LR
REV
tot
R
(15)
Para el circuito RC, gentot RRR , mientras que para el RL, Lgentot RRRR . Son las expresiones
(12) a (15) las que interesa verificar en esta práctica.
Trabajo previo
1. Haga las gráficas cualitativas (esto es, dibuje la forma de las curvas) de las funciones )( dadas en (12) y (13). Incluya los casos límite 0 y .
2. Repita lo anterior para )(RV expresadas en (14) y (15).
3. ¿Qué significa “frecuencia de media potencia (f1/2)”? ¿Cuáles son las expresiones de f1/2 para los circuitos RC y RL?
4. Lea el apéndice D (“Medición de ángulos de desfase en el osciloscopio”).
63
5. Lleve lista en Excel la Tabla que va a utilizar para recoger la información del experimento. Tenga especial cuidado cuando digite la fórmulas correspondientes.
Equipo
1. Generador de señales. 2. Un digitalizador de señales PASCO 850. 3. Un detector de voltaje. 4. Caja de sustitución de resistencias. 5. Caja de sustitución de capacitancias. 6. Bobina.
Procedimiento
NOTA: en esta práctica se deben determinar los ángulos de desfase entre señales que entran en los dos canales. El procedimiento para hacerlo se encuentra en el apéndice D. Al igual que en el experimento anterior proceda a medir los valores de resistencia y capacitancia que va a utilizar en el circuito. Anote estos valores en su guía 1. Circuito RC:
a. Arme el circuito de la figura 7. Seleccione:
R = 12 k, C = 0.033 F, E0 = 6 VP y fgenerador = 50 Hz.
b. Conecte el sensor de voltaje del canal B, del digitalizador de señales, entre los terminales de la resistencia y los terminales del sensor del voltaje del canal A entre los terminales de la fuente.
c. Busque la práctica correspondiente en el CAPSTONE.
Figura 7: Circuito RC.
d. Ajuste el voltaje de salida del generador de señales en 6 VP, una vez hecho esto, la perilla de amplitud de salida del generador ya no se vuelve a manipular. Será (exclusivamente) la perilla de frecuencia con la que se obtendrán los valores de voltaje solicitados.
e. Proceda a variar la frecuencia del generador de modo que VR vaya tomando los valores: 0.5, 1.0, 1.5, 2.0,... V hasta tratar de alcanzar los 6 VP (no sobrepase el valor de 10 kHz en frecuencia).
f. Asegúrese que el voltaje pico de la señal de entrada se mantenga constante, para ello observe la pantalla en la que se despliega la señal de entrada. Lleve el registro del periodo experimental de la señal de entrada (T) y calcule su frecuencia experimental Tf /1 (note que no debe
anotar el valor de frecuencia desplegado en la pantalla del generador). Tome simultáneamente
las medidas necesarias para medir el ángulo de desfase . Anote los valores teóricos de VR y dados por las ecuaciones (14) y (12), respectivamente (recuerde que R es la resistencia total, incluyendo la resistencia del generador).
E0 = ( ) V, C = F, R =
T (s) f (Hz) VR,exp (V) VR,teo (V) A (cm) B (cm) exp (º) teo (º)
(teor)2/1f Hz
64
g. Elabore las gráficas fvsVR y fvs por separado. Use un eje logarítmico para la frecuencia.
Haga las gráficas de la siguiente manera: ponga los puntos experimentales de forma destacada (escoja algún símbolo grande como círculo, cuadrado, estrella, etc.). Luego, inserte los puntos teóricos correspondientes sin que se destaquen. Con éstos, trace la curva teórica en forma suave y continua. Esta manera de presentar los resultados es muy útil pues destaca las diferencias o coincidencias entre las medidas experimentales y las curvas teóricas.
h. Señale en sus gráficas el punto correspondiente a la frecuencia de media potencia
)2/(12/1 CRf tot . Interprete la presencia de este punto.
2. Circuito RL:
a. Arme el circuito de la figura 8. Seleccione:
R = 2 k E0 = 6 V y fgenerador = 50 Hz. Recuerde que L = 840 mH (valor nominal).
b. Conecte el sensor de voltaje del canal B entre los terminales de la resistencia y los terminales del sensor del voltaje del canal A entre los terminales de la fuente.
c. Busque la práctica correspondiente en el Capstone.
Figura 8: Circuito RL.
d. Ajuste el voltaje de salida del generador de señales en 6 VP, una vez hecho esto, la perilla de amplitud de salida del generador ya no se vuelve a manipular. Será (exclusivamente) la perilla de frecuencia con la que se obtendrán los valores de voltaje solicitados.
e. Proceda a variar la frecuencia del generador de modo que VR vaya tomando los valores: 5.5, 5.0, 4.5, 4.0,... V hasta tratar de alcanzar 0 V (no sobrepase el valor de 10 kHz en frecuencia).
f. Asegúrese que el voltaje pico de la señal de entrada se mantenga constante. Realice el mismo tipo de medidas que para el circuito anterior, llenando una tabla de datos como la siguiente. Use las ecuaciones teóricas (15) y (13).
E0 = ( ) V, L = mH, R =
T (s) f (Hz) VR,exp (V) VR,teo (V) A (cm) B (cm) exp (º) teo (º)
(teor)2/1f Hz
g. Grafique fvsVR y fvs por separado siguiendo los mismos lineamientos ya expuestos.
h. Señale la frecuencia de media potencia )2/(2/1 LRf tot en sus gráficas e interprete.
Cuestionario
1. Dibuje un diagrama del circuito que emplearía par medir el ángulo de fase entre el voltaje de entrada y el voltaje a través del capacitor en el circuito RC.
2. Estos circuitos se pueden denominar “filtro paso bajo” y “filtro paso alto”. ¿A cuál corresponde el circuito RC y el RL?
3. ¿Cómo luciría cualitativamente la gráfica de vsVC en el RC? ¿Y la gráfica vsVL en el RL?
4. ¿Qué se puede decir de la concordancia teoría-experimento entre los valores de f1/2 ?
65
Gráficas, análisis, cuestionario y conclusiones
66
Práctica 9 Respuesta a la frecuencia – segunda parte
Objetivos
En esta práctica se desea estudiar la influencia de la frecuencia suministrada por una fuente de voltaje sinusoidal de amplitud constante sobre un circuito RLC. Específicamente:
1. Estudiar el comportamiento del voltaje a través del resistor con la variación en la frecuencia de la señal de entrada.
2. Estudiar el comportamiento del ángulo de desfase entre el voltaje de la fuente y la corriente del circuito con la variación en la frecuencia de la señal de entrada.
3. Comparar las curvas de VR vs f y vs f para dos casos de capacitancias distintas. 4. Obtener el valor experimental de la frecuencia de resonancia.
Nota teórica
La figura 1 muestra el circuito RLC serie considerado en la nota teórica de la práctica anterior. La ecuación diferencial que lo describe , según la ley de voltajes de Kirchhoff, es:
)(teC
qiR
dt
diL tot (1)
donde Lgentot RRRR . Si ahora se
considera el método de fasores ya explicado en la anterior práctica, es posible construir el diagrama fasorial mostrado en la figura (2). Nótese que debido a los desfases de VL y VC con respecto a I0, aquéllos resultan ser antiparalelos. Se puede
entonces mostrar que el ángulo de desfase entre la fuente y la corriente está dado por:
totR
CL
/1tan)( 1
(2)
Por otro lado, la relación entre la corriente y el voltaje de la fuente es:
00 ZIE (3)
Frecuencia
f
R
Voltaje pico
E0
CL
Figura 1: Circuito RLC serie.
VL - VC
VC
E0
VR
VL
t
I0
Figura 2: Fasores asociados con el circuito RLC.
donde Z tiene unidades de resistencia y es denominada impedancia. La impedancia representa la oposición neta al paso de la corriente y depende tanto de la resistencia Rtot como de las reactancias XC y XL. Su expresión en términos de Rtot, C y L es:
2
2 1
CLRZ tot
(4)
De esta manera, despejando la corriente de (3) y usando 0RIVR , se obtiene la expresión para la
caída de voltaje en el resistor:
67
2
2
0
1)(
CLR
REV
tot
R
(5)
Nótese que existe una frecuencia angular particular 0 que hace que el radical sea mínimo:
LC
10 o
LCf
1
2
10
(6)
Esta frecuencia es denominada frecuencia de resonancia del circuito, y representa la condición de máxima caída de voltaje en el resistor. En tal caso, se tiene que los fasores VL y VC tienen la misma magnitud y se cancelan, por lo que el circuito se comporta como uno totalmente resistivo. Una consideración similar se puede hacer para el ángulo de desfase dado en (2). Cuando el circuito se encuentra en resonancia, se tiene 0 y el fasor de la fuente coincide con el fasor de
corriente. Si el circuito no está en resonancia, dependiendo de los valores de , L y C, se puede tener
0 (que implica VL > VC: circuito mayormente inductivo) o bien 0 (VL < VC: circuito mayormente
capacitivo).
Trabajo previo
1. Demuestre las expresiones de la (2) a la (6).
2. Haga una gráfica cualitativa de vsVR y vs considerando los límites 0 ,
y 0 .
3. Lleve lista en Excel la Tabla que va a utilizar para recoger la información del experimento. Tenga especial cuidado cuando digite la fórmulas correspondientes.
Equipo
1. Generador de señales. 2. Un detector de voltaje. 3. Un digitalizador de señales. 4. Caja de sustitución de resistencias. 5. Caja de sustitución de capacitancias. 6. Bobina.
Procedimiento
NOTA: en esta práctica se deben determinar de nuevo los ángulos de desfase entre señales que entran en los dos canales. Repase el apéndice D. Al igual que en el experimento anterior proceda a medir los valores de resistencia y capacitancia que va a utilizar en el circuito. Anote estos valores en su libreta de laboratorio.
1. Arme el circuito de la figura 1 con los siguientes parámetros: R = 1 k, C = 0.33 F y E0 = 6 VP. Recuerde que L = 840 mH (valor nominal). Conecte el canal B del digitalizador de señales a R y el canal A a E0.
2. Una vez armado el circuito y constatar que se tienen 6 VP en su canal A. Se procede a encontrar la frecuencia de resonancia del circuito. Manipule la perilla de control de frecuencia hasta obtener la
68
máxima caída de voltaje en la resistencia. Lea de su generador esa frecuencia, esta frecuencia es solo de referencia. La tabla que debe confeccionar tendrá once valores, este valor de resonancia será el sexto valor. A partir de la frecuencia de resonancia, obtenga cinco valores hacia arriba y cinco valores hacia abajo a razón de 50 Hz de separación. Esto es, si su frecuencia de resonancia fue de 400 Hz, la siguiente será a 450 Hz y así hasta completar cinco valores hacia arriba. Lo mismo 350 Hz, 300 Hz, hasta completar cinco valores hacia abajo.
3. Elabore las gráficas fvsVR y fvs por separado siguiendo los mismos lineamientos
presentados en la práctica anterior. La frecuencia tiene escala logarítmica. Debe tenerse especial cuidado cuando se hagan las gráficas de fase. La gráfica real tiene forma de S alargada. Si al momento de graficar le sale como en forma de V, está incorrecta, revise porque hay un signo menos involucrado que no se tomó en cuenta.
4. Señale en sus gráficas la frecuencia de resonancia 0f . Analice sus resultados.
E0 = ( ) V, C = F, L = mH, R = RL =
T (s) f (Hz) VR,exp (V) VR,teo (V) A (cm) B (cm) exp (º) teo (º)
f0 (teórico) = Hz
5. Repita los puntos 2, 3 y 4 para el mismo circuito pero cambiando el valor de capacitancia a 0.033 F. Construya las curvas sobre las mismas gráficas de la parte anterior para hacer una buena comparación.
Cuestionario
1. Si los circuitos RC y RL se denominan paso alto y paso bajo, ¿cómo llamaría Ud. el circuito RLC? 2. ¿En qué se diferencian las curvas )( para los dos casos de capacitancia?
3. ¿En qué se diferencian las curvas )(RV para los dos casos de capacitancia? ¿Puede Ud. ahora
explicar cuál es el principio de operación de un selector de canales de radio o televisor con base en esto?
69
Gráficas, análisis, cuestionario y conclusiones
70
Práctica 10 Leyes de la óptica geométrica
Objetivos
Estudiar las leyes fundamentales de la óptica geométrica y la ley de los espejos esféricos y las lentes delgadas. Específicamente se desea:
1. Redescubrir las leyes de la reflexión y la refracción. 2. Determinar el índice de refracción de un material transparente. 3. Obtener el ángulo crítico de reflexión total interna para dos medios transparentes. 4. Determinar la distancia focal de un espejo esférico y de una lente convergente. 5. Determinar el aumento lateral de una imagen.
Introducción
La luz visible es un conjunto de ondas electromagnéticas (OEM) cuyas longitudes de onda van desde los 400 nm (color violeta) hasta los 700 nm (color rojo). En una OEM lo que oscila es el campo eléctrico y el campo magnético en forma perpendicular entre sí y ambos a la vez perpendiculares a la dirección de propagación. Cuando la luz se encuentra con un obstáculo, usualmente su trayectoria (originalmente rectilínea) cambia de dirección. Dependiendo del tamaño característico del obstáculo “a“ con respecto a
la longitud de onda “”, es posible discernir dos posibles casos para el análisis de la situación:
a) a >> : el obstáculo es mucho más grande que la longitud de onda. En este caso el fenómeno ondulatorio no es crucial, por lo que el comportamiento de la luz se puede estudiar desde el punto de vista de frentes de onda o de rayos. Ejemplos son los espejos (planos y esféricos), superficies refringentes y lentes.
b) a ~ : el obstáculo es comparable con la longitud de onda. En este caso, la naturaleza ondulatoria de la luz se manifiesta en forma importante y produce los fenómenos de difracción e interferencia. Ejemplos son las rendijas delgadas.
En el primer caso se habla de la óptica geométrica mientras que en el segundo se habla de óptica física.
Nota teórica
Ley de la reflexión: La figura 1 muestra el caso de un rayo de luz i que incide sobre la interfase entre dos medios transparentes (n1 y n2) caracterizados por su índice de refracción n, el cual se definirá más adelante. El rayo incide a cierto ángulo
1 (denominado ángulo de incidencia) con respecto a la dirección N-N´ denominada recta normal o simplemente normal que está centrada en el punto donde el rayo i toca la interfaz y es perpendicular a la interfaz entre los medios. Es posible mostrar, ya sea usando el Principio de Superposición de Ondas de Huygens o el Principio de Mínimo Camino Óptico de Fermat, que el rayo reflejado r´ por la interfase tiene un ángulo de reflexión
1´ tal que se cumple lo siguiente:
1 ´1
2
n2
n1
i r ́
r
N
N´
Figura 1: Un rayo i incide desde un medio de índice de refracción n1 hacia un medio de índice n2. Parte del rayo se refleja (rayo r´) y parte se refracta (rayo
r ).
71
1
´
1 (1)
Esta es la denominada Ley de la Reflexión y dice que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia. Esta importante ley es la que gobierna todos los fenómenos de reflexión tanto en espejos planos como esféricos. Ley de la refracción: La refracción es un fenómeno de la luz que consiste en el cambio de dirección y velocidad que experimenta un rayo de luz cuando atraviesa la frontera entre dos medios transparentes. En la figura 1 se ilustra lo que ocurre cuando parte del rayo incidente i del medio n1 pasa al medio n2 como rayo
refractado r. El ángulo de refracción 2 se mide también con respecto a la normal. Se puede mostrar, ya sea de nuevo con el principio de Huygens o de Fermat, que la relación entre los ángulos de incidencia y refracción está dada por la Ley de la Refracción o Ley de Snell:
2211 sinsin nn (2)
donde el índice de refracción n está relacionado con la velocidad de la luz c en el vacío y la velocidad en el medio respectivo v según la siguiente expresión:
v
cn (3)
En el aire, v ~ c, por lo que naire ~ 1. En otros medios transparentes como agua, plástico o vidrio, la luz viaja a velocidades menores, por lo que sus respectivos índices serán mayores a 1. Cuanto mayor sea el índice de refracción, se dice que el medio es ópticamente más denso. Nótese que si el medio 1 es el aire y se conocen experimentalmente los ángulos de incidencia y refracción, es posible determinar el índice del medio 2 de la ecuación (2).
Existen dos posibles situaciones en donde es posible al menos determinar qué ángulo (1 o 2) es mayor, de acuerdo con la relación entre los índices:
a) n1 < n2 : la luz pasa de un medio menos denso a uno más denso. Despejando 2 de (2), se nota
que queda 2 < 1. Esto quiere decir que el rayo refractado sale en una dirección más cercana a la normal.
b) n1 > n2 : la luz pasa de un medio más denso a uno menos denso. Aquí se encuentra 2 > 1, lo que indica que el rayo refractado se aleja de la normal.
En la última situación, nótese que si el ángulo de incidencia progresivamente se va aumentando desde
cero, el ángulo de refracción eventualmente tenderá a ser de 90º antes de que1 llegue a ese valor. Si
1 se sigue aumentando, la Ley de Snell (2) deja ya de cumplirse y por tanto desaparece el rayo refractado, quedando únicamente el reflejado que cumple con (1). Cuando ocurre esto se dice que se presenta el fenómeno de reflexión total interna. El menor ángulo de incidencia al que esto ocurre se
denomina ángulo crítico c y se obtiene de (2) haciendo 2 = 90º:
1
21sinn
nc (4)
Si, por ejemplo, el medio n2 es el aire y se determina experimentalmente el ángulo crítico, es posible determinar el índice de refracción n1 de (4):
c
nsin
11 (5)
Esta expresión representa una forma alternativa de determinar el índice de refracción de un medio, aparte del ya señalado arriba con el uso de la ecuación (2). El fenómeno de reflexión total interna es la base para el desarrollo de las fibras ópticas.
72
Ley de los espejos y las lentes esféricas: Los espejos y las lentes delgadas esféricas constituyen dispositivos en donde ocurre reflexión y refracción debido a superficies esféricas. Los espejos presentan una superficie esférica para la reflexión de los rayos de luz incidentes, mientras que las lentes delgadas (formadas por un medio transparente como vidrio o plástico) presentan dos superficies en las que puede haber refracción de los rayos de luz incidentes. Estos dispositivos se clasifican en dos grupos según el efecto que produzcan sobre los rayos de luz que incidan sobre ellos:
- Convergentes: luego de recibir los rayos incidentes, el dispositivo tiende a desviar los rayos (reflejados en espejos, refractados en lentes) de modo que su dirección de propagación se acerca al eje de simetría del dispositivo (llamado también eje óptico).
- Divergentes: luego de recibir los rayos incidentes, el dispositivo tiende a desviar los rayos de modo que su dirección de propagación se aleja del eje óptico.
Un espejo convergente es llamado igualmente cóncavo mientras que uno divergente se denomina convexo. En el caso de las lentes, se pueden dar varios casos de acuerdo con la forma de las superficies que delimitan a la lente y que se muestran en la figura 2. Para los convergentes se tiene, de izquierda a derecha, lente biconvexa, plano convexa y menisco convexa. Para los divergentes, lente bicóncava, plano cóncava y menisco cóncava.
Los espejos y las lentes convergentes son capaces de concentrar un haz de rayos luminosos paralelos (que incidan en zonas no muy alejadas del centro de la lente) en una pequeña región denominada punto focal. En la figura 3 se muestran dos de estos casos. La distancia a lo largo del eje de simetría de la lente (denominada eje óptico) entre su centro y el punto focal se llama distancia focal, y se denota f.
Distancia focal
f
Punto focal
(a)
Distancia focal
f
Punto focal
(b)
Figura 3: Construcción del punto focal de (a) un espejo cóncavo y (b) una lente convergente, por rayos que inciden paralelos al eje óptico
Convergentes
Divergentes
Figura 2: Geometrías de las lentes convergentes y divergentes.
73
Cuando un objeto (es decir, una fuente de rayos de luz, ya sea que la fuente emita luz en sí misma o que refleje la luz de otras fuentes) se ubica al frente de un espejo o una lente convergente, los rayos de luz convergen en lo que se denomina una imagen del objeto. Se pueden dar dos casos de imágenes: (a) imagen real cuando la distancia entre el objeto y el espejo o la lente (llamada distancia objeto “o”) es mayor que la distancia focal, y (b) imagen virtual cuando la distancia objeto es menor que la distancia focal. La distancia entre el espejo o la lente y la posición de la imagen se denomina distancia imagen “i”. La figura 4 muestra las construcciones de rayos para el caso de imágenes reales. F es el llamado punto focal principal y F´ el punto focal secundario. En esta práctica interesa establecer las situaciones representadas en esta figura, donde las imágenes reales pueden proyectarse sobre una pantalla localizada exactamente a una distancia i . Existe una relación matemática entre o, i y f denominada ecuación de los espejos y las lentes esféricas delgadas:
fio
111 (6)
Esta ecuación constituye el fundamento para determinar la distancia focal de un espejo o una lente convergente cuando se conoce la posición del objeto y de la imagen. Para su aplicación, se debe respetar un convenio de signos dado por lo siguiente:
a) La distancia objeto es positiva siempre que el objeto se encuentre del lado donde proviene la luz. En caso contrario es negativa.
b) La distancia imagen es positiva siempre que la imagen se encuentre del lado hacia donde se dirige la luz reflejada (espejos) o transmitida (lentes). En caso contrario es negativa.
c) La distancia focal de los espejos y lentes convergentes es positiva, mientras que la de los divergentes es negativa.
En la figura 4 se presentan las cantidades oy y iy que representan las alturas del objeto y la
imagen, respectivamente, medidas a partir del eje óptico. Se define entonces el aumento o magnificación lateral de la lente como la cantidad:
o
i
y
ym (7)
El signo “-“ toma en cuenta la orientación de la imagen de modo que si m es negativo, la imagen está invertida, y si es positivo, la imagen está derecha. La magnitud de m indica si la imagen es aumentada (
1m ), disminuida ( 1m ) o sin aumento ( 1m ). Es posible mostrar que hay una relación entre oy
y iy con o e i de modo que se cumple:
F
yo
f
o
i
Objeto
Imagen
real
yi
F´
F yo
f f
o i
Objeto
Imagen
real
yi
(a)
(b)
Figura 4: Construcción de rayos para un objeto situado frente a (a) un espejo convergente y (b) una lente convergente. En ambos casos la distancia objeto “o” es mayor que distancia focal “f ”.
74
o
im (8)
Finalmente, se define la potencia dióptrica P como el inverso de la distancia focal (expresada en metros). Esto es:
fP
1 (9)
La unidad de potencia dióptrica es la dioptría, equivalente a 1 m-1. Este parámetro es muy utilizado por los optometristas para referirse a las graduaciones de los anteojos de las personas.
Trabajo previo
1. Investigue en qué consiste el principio de superposición de Huygens y el principio de Fermat.
2. Demuestre la ecuación (4). 3. Demuestre la ecuación (6) tanto para espejos como para lentes. 4. Demuestre la ecuación (8).
Parte A: Reflexión y refracción
Equipo A
1. Banco óptico que consiste en: riel metálico horizontal con graduación métrica, fuente de luz, mesa óptica circular con soporte y pantalla.
2. Pieza acrílica en forma semicircular. NOTA: el equipo óptico es sumamente delicado. Por favor tome las precauciones necesarias para no dañar los elementos con un manejo inadecuado: golpes, ralladuras, dobleces, etc.
(a)
Rayo
refractado
Rayo
reflejado
Rayo
incidente
Normal
1
2
´1
(b)
Figura 5: (a) Dispositivo experimental. (b) Un rayo incide en la parte plana de la pieza semicircular a un ángulo de
incidencia 1. Los rayos reflejado y refractado salen con ángulos respectivos ´1 y 2.
Procedimiento A
75
1. Coloque la pieza semicircular acrílica sobre la mesa óptica de modo que la cara plana mire hacia la fuente de luz, según se muestra en la figura 5(a). La pieza debe estar adecuadamente colocada en el centro de la mesa.
2. Haga que la luz de la fuente salga por una ranura sencilla e incida sobre el centro de la superficie plana de la pieza acrílica. Observe la formación de los rayos reflejados y refractados cuando Ud. gira la tabla a distintos ángulos de incidencia. Refiérase a la figura 5(b).
3. Para distintos ángulos de incidencia, proceda a medir los ángulos de reflexión y de refracción. Recopile los resultados en una tabla de datos como la que se ofrece abajo.
4. En cuanto a la última columna de la tabla, use la ecuación (2) para determinar el índice de refracción del material de la pieza semicircular y promédielo (el resultado va en la última casilla).
1 (º) ´1 (º) 2 (º) nacrílico
Promedio de nacrílico =
5. Elabore la gráfica 11 vs y ajústela. ¿Se comprueba la ley de la Reflexión?
6. Elabore la gráfica 21 sin vssin y ajústela. ¿Se obtiene una línea recta? ¿Se cumple entonces
la Ley de Snell? ¿Cuál es el valor de nacrílico obtenido de esta gráfica? 7. Haga ahora incidir el rayo por el lado semicircular. Observe la formación de los rayos reflejado y
refractado. Aumente poco a poco el ángulo de incidencia. Cuando el ángulo de refracción sea de 90º, mida el ángulo crítico obtenido y use la ecuación (5) para determinar el índice de refracción del medio. Compare su resultado con el promedio obtenido de la tabla.
Parte B: Espejo esférico
Equipo B
1. Banco óptico que consiste en: riel metálico horizontal con graduación métrica, espejo esférico montado en soporte y pantalla en soporte.
El estudiante debe además aportar un compás que utilizará como ayuda para la medición de los tamaños de las imágenes en la pantalla.
Procedimiento B
1. Instale el equipo de modo que quede como se muestra en la figura 6. La parte cóncava del espejo debe mirar hacia la fuente de luz. Observe que la distancia objeto o es la distancia entre fuente de luz y espejo, mientras que la distancia imagen i es la distancia entre espejo y semipantalla, tal como se deduce de la figura 4(a).
76
2. Coloque el espejo a unos 15 cm de la fuente de luz (que se mantendrá fija) y encuentre la posición de la imagen real, moviendo apropiadamente la semipantalla hasta lograr un óptimo enfoque. Anote las distancias o e i en una tabla como la que se ofrece a continuación. Además calcule la distancia focal del espejo usando la ecuación (6) y la potencia dióptrica del espejo por medio de la ecuación (9). Anote también el tamaño del objeto yo y de la imagen yi.
3. Repita para otras posiciones del espejo (aumentando la distancia objeto), anotando cada vez las distancias en la tabla de datos.
Espejo cóncavo fnominal = cm; Tamaño del objeto: yo = ( ) cm
o (cm) i (cm) 1/o (cm-1) 1/i (cm-1) yi (cm)* f (cm) P (m-1) m = -yi / yo m = -i /o %m‡
Notas: *: representa el tamaño de la imagen sobre la semipantalla. ‡: diferencia porcentual entre las columnas que calculan m.
4. Calcule el valor promedio de f con su respectiva desviación estándar y compárelo con el valor nominal
dado por el fabricante. ¿Son coincidentes los valores?
Parte C: Lente delgada esférica
Equipo C
1. Banco óptico que consiste en: riel metálico horizontal con graduación métrica, lente delgada montada en soporte y pantalla en soporte.
Procedimiento C
1. En el dispositivo de la parte anterior, sustituya la semipantalla por una lente delgada convergente, y el espejo por una pantalla (lámina metálica blanca). Note ahora que la distancia objeto o es la distancia entre fuente de luz y la lente, mientras que la distancia imagen i es la distancia entre la lente y la pantalla, según se deduce ahora de la figura 4(b).
2. Coloque la lente a cierta distancia de la fuente (que nuevamente se mantendrá fija) y encuentre la posición de la imagen real, moviendo apropiadamente la pantalla hasta lograr un óptimo enfoque. Anote las distancias o e i en cm en otra tabla como la siguiente.
Lente convergente fnominal = cm; Tamaño del objeto: yo = ( ) cm
o (cm) i (cm) 1/o (cm-1) 1/i (cm-1) yi (cm) f (cm) P (m-1) m = -yi / yo m = -i /o %m
Figura 6: Dispositivo experimental para medición de la distancia
focal de un espejo cóncavo.
77
3. Repita para otras posiciones de la lente y complete la tabla de datos. 4. Calcule el valor promedio de f con su respectiva desviación estándar y compárelo con el valor nominal
dado por el fabricante. ¿Son coincidentes los valores?
Cuestionario
1. ¿Se cumple la ley de la reflexión y la ley de Snell? ¿Qué factores de error pueden estar incidiendo? 2. ¿Cuál de las dos determinaciones del índice de refracción (por promedio sobre los datos o por ángulo
crítico) le parece más precisa? Justifique. 3. ¿Es preciso el método de determinación de las distancias focales a partir de la ecuación (6)? ¿Qué
factores de error pueden estar influyendo?
78
Gráficas, análisis, cuestionario y conclusiones
79
Práctica 11 Óptica física – difracción e interferencia
Objetivos
Estudiar los patrones de difracción e interferencia de ranuras simples, dobles, múltiples y aberturas circulares. Específicamente se desea:
1. Determinar el ancho de ranuras rectangulares. 2. Determinar el diámetro de aberturas circulares. 3. Determinar las distancias de separación entre ranuras rectangulares.
Nota teórica
Difracción por una ranura rectangular: La figura 1 muestra el caso de luz monocromática (de
longitud de onda ) que incide sobre una rendija de
ancho a, en donde a ~ . Debido a su carácter ondulatorio, la luz no sigue una trayectoria necesariamente rectilínea enfrente de la ranura hacia la pantalla que se encuentra a una distancia L, sino que cerca de los bordes de la ranura se dobla hacia todas direcciones. El resultado final es que se encuentra sobre la pantalla una zona central de alta iluminación (justo enfrente de la rendija), seguido de una serie de mínimos y máximos de intensidad luminosa. Este fenómeno es
denominado “patrón de difracción”. Si es el ángulo entre el eje de simetría de la ranura y la posición central de cada mínimo de intensidad luminosa, se puede mostrar que este ángulo está relacionado con la longitud de onda y el ancho de la ranura de la siguiente forma:
ma sen (1)
donde ,3,2,1 m representa el número o el orden del mínimo en cuestión. Si m es positivo, los
ángulos son positivos (se toman en cuenta los mínimos que se encuentran hacia arriba de la figura), pero si m es negativo, los ángulos son negativos (se toman los mínimos que están hacia abajo). Ahora, si ymin(m) es la posición de cualquiera de los mínimos medida sobre la pantalla, se puede ver que:
a
L
m = 1
m = 2
y
m = -1
m = -2
luz
Figura 1: Luz monocromática incide sobre una ranura de tamaño “a ”. Si se coloca una pantalla a una distancia L después de la ranura, se formará un patrón de máximos y mínimos de intensidad luminosa, cuyo perfil se muestra como la curva
ondulante.
Figura 2: Patrón de difracción de una rendija rectangular iluminada con luz monocromática. Nótese la presencia del máximo principal en el centro de la figura, y los mínimos (zonas oscuras) a ambos lados de aquél.
80
22/sen Lyy minmin . Si L es lo suficientemente
grande ( minyL ), entonces Lymin /sen , por lo
que la ecuación (1) se escribe:
mLmya )(min (2)
La figura 2 muestra el patrón de difracción para una ranura rectangular, tal como se vería sobre una pantalla. En esta práctica se desea verificar la validez de la ecuación (2). Difracción por una abertura circular Cuando la luz monocromática pasa a través de una abertura circular, se produce un patrón de difracción sobre una pantalla cercana como el que se presenta en la figura 3. Nótese la presencia de un disco central (correspondiente al máximo principal mencionado atrás) y una serie de anillos concéntricos. La posición angular del primer mínimo (es decir, el anillo oscuro que rodea el disco principal) está dada por:
22.1sin d (3) donde d es el diámetro de la abertura. Obsérvese que la diferencia de esta expresión con respecto a la ecuación (1) para m = 1 es el factor 1.22 que proviene de tomar en consideración la geometría circular de la abertura. Aquí nuevamente se ve que si ymin es la posición lineal sobre la pantalla del primer mínimo medida con respecto al centro del disco principal (o bien, 2ymin es el diámetro del centro del primer anillo oscuro, según se ve en la figura), L es la distancia entre la abertura y la pantalla y
se cumple que minyL , se tendrá:
Lyd 22.1min (4)
Esta expresión será utilizada en el procedimiento. Interferencia por una rendija doble El experimento de interferencia de Young consiste en hacer pasar un haz de luz monocromática a través de dos ranuras rectangulares muy próximas, tal como se muestra en la figura 4(a). Por el momento se considerarán las ranuras como de ancho despreciable. Nuevamente, el patrón formado en la pantalla es una serie de franjas claras y oscuras (máximos y mínimos, respectivamente), según se puede ver en la figura 4(b). La condición para que se produzca un máximo de intensidad está dada por la siguiente expresión:
md sin (5)
donde d es la distancia entre ranuras y ,2,1,0 m es el orden del máximo. Si ahora ymáx(m) es la
posición del máximo de orden m medida a lo largo de la pantalla, tal como muestra la figura 4(a), y
máxyL , se cumple entonces:
Figura 3: Patrón de difracción de una abertura
circular iluminada con luz monocromática. ymin es
el radio al centro del primer mínimo.
d
L
m = 1
m = 2
y
m = -1
m = -2
m = 0 luz
(a)
(b)
Figura 4: (a) Luz monocromática incide sobre dos ranuras de ancho despreciable separadas una distancia “d ”. Si se coloca una pantalla a una distancia L después de las ranuras, se formará un patrón de máximos y mínimos de intensidad luminosa, cuyo perfil se muestra como la curva
ondulante. (b) Patrón de interferencia obtenido.
81
mLmyd máx )( (6)
Esta expresión también será utilizada en el procedimiento. Note que la distancia entre máximos consecutivos es constante, a diferencia del caso de difracción pura. Interferencia modulada por difracción Si en el experimento de Young anterior se toma en cuenta ahora el ancho a de las ranuras (con da ),
el patrón de interferencia de la figura 4(a) estará modulado por el patrón de difracción de la figura 1. La figura 5(a) muestra el patrón resultante. Se observa una zona clara central (correspondiente al máximo principal de difracción) que contiene una serie de máximos y mínimos de interferencia. En la figura 5(b) se muestra el perfil resultante de la modulación. A pesar de la difracción, es siempre posible hallar la distancia de separación d entre rendijas analizando la separación entre los máximos de interferencia y aplicando la ecuación (6), según se verá en el procedimiento.
Trabajo previo
1. ¿Qué ocurre con la posición de los primeros mínimos de difracción ( 1m ) en la ranura
rectangular si su ancho a disminuye? ¿Y si disminuye? 2. ¿Qué ocurre con la posición del primer mínimo de difracción de la abertura circular si su
diámetro d disminuye? ¿Y si disminuye? 3. Demuestre la ecuación (5).
Parte A: Difracción
Equipo A
1. Banco óptico que consiste en: riel metálico horizontal con graduación métrica, diodos láser en montura con fuente de voltaje (verde y rojo), disco óptico denominado “Single slit set” [ver figura 6(a)] en soporte y pantalla.
(a)
Curva de difracción Curva de interferencia
(b)
Figura 5: (a) Patrón de interferencia modulada por difracción de una rendija doble rectangular en el
caso en que da . (b) Curva de intensidad de
luz del patrón de interferencia. La línea punteada corresponde a la difracción y la línea rellena a la interferencia.
82
NOTA: el equipo óptico es sumamente delicado. Por favor tome las precauciones necesarias para no dañar los elementos con un manejo inadecuado: golpes, rayaduras, dobleces, etc. NUNCA dirija la luz del láser directamente hacia su ojo o hacia el de alguna otra persona.
Procedimiento A
Difracción por ranuras rectangulares: 1. Coloque el diodo láser rojo en el riel metálico cerca del “0” de la graduación. A unos cuantos
centímetros enfrente, coloque el disco óptico denominado “SINGLE SLIT SET” según muestra la figura 6(c). Coloque la pantalla al extremo final del banco. Seleccione en el disco la ranura marcada “a = 0.02 mm” (sección de “Single Slits”).
(a)
(b)
(c)
Figura 6: Discos ópticos con ranuras y aberturas circulares. El disco (a) se usa para la parte de difracción mientras que el disco (b) para la parte de interferencia. En (c) se muestra la forma de ensamblar el disco y su disposición en el banco óptico junto con el láser.
2. Encienda el láser. Si es necesario, haga los ajustes con los tornillos de posicionamiento para que
el haz de luz pase a través de la ranura seleccionada. Observe el patrón formado en la pantalla. 3. Mida la distancia L entre la ranura y la pantalla, así como la distancia entre los dos primeros
mínimos del patrón de difracción. Note que esta distancia es 2ymin. Use la ecuación (2) para determinar el ancho experimental de la ranura, en donde se usa m = 1. Note que la longitud de onda de la luz que sale del láser es 670 nm. NO raye ni haga marcas en la pantalla. Fije una hoja de papel.
4. Repita el punto anterior para las otras ranuras del disco (0.04 mm, 0.08 mm y 0.16 mm). Recopile todos los datos en la tabla siguiente.
5. Obtenga el porcentaje de diferencia con respecto al valor nominal del ancho (primera columna). Comente sobre posibles errores.
= nm; L = ( ± ) cm
Ancho nominal de ranura a (mm)
2ymin (mm) ymin (mm) Ancho calculado de ranura a (mm)
% Error en a
83
0.02
0.04
0.08
.0.16
6. Elabore la gráfica miny vs Ancho nominal y ajústela a una función potencial. Compare los
parámetros de ajuste con la expresión teórica: aLy /min .
7. Repita todo el procedimiento para el diodo láser verde. Comente las diferencias en sus resultados.
Difracción por una abertura circular:
8. Cambie el diodo láser por el de color rojo y gire el disco de modo que la luz pase ahora por la abertura circular (sección de “Circular Apertures”) marcada “0.2 mm DIA”. Ajuste los tornillos si es necesario para obtener un buen patrón en la pantalla.
9. Mida la distancia 2ymin que se ilustra en la figura 3. Calcule entonces ymin y de allí el diámetro experimental d de la abertura usando la ecuación (4). Calcule finalmente el porcentaje de error con el valor nominal.
10. Repita el punto anterior para la abertura circular marcada “0.4 mm DIA”. Reúna todos los datos en la tabla siguiente:
= nm; L = ( ± ) cm
Ancho nominal de abertura d (mm)
2ymin (mm) ymin (mm) Ancho calculado de abertura d (mm)
% Error en d
0.2
0.4
11. Repita el procedimiento para el diodo láser verde. Comente las diferencias en sus resultados.
Parte B: Interferencia
Equipo B
1. Banco óptico que consiste en: riel metálico horizontal con graduación métrica, diodos láser en montura con fuente de voltaje (verde y rojo), disco óptico denominado “Multiple slit set” [ver figura 6(b)] en soporte y pantalla.
Procedimiento B
Interferencia por una rendija doble: 1. Cambie el diodo láser por el de color rojo. Retire el disco “SINGLE SLIT SET” y coloque el disco
“MULTIPLE SLIT SET” en la forma mostrada por la figura 6(c). Seleccione en el disco la ranura doble con indicación “a = 0.04 , d = 0.25” (sección “Double Slits”). Ajuste los tornillos del láser si es necesario. Observe cuidadosamente el patrón formado en la pantalla y trate de relacionarlo con el de la figura 5(a).
84
2. Mida la distancia (ymáx) entre dos máximos consecutivos. Use la ecuación (6) para obtener el valor experimental de la separación d de las ranuras.
3. Proceda a llenar la siguiente tabla de datos para las cuatro ranuras dobles del disco:
= nm; L = ( ± ) cm
Ancho nominal de ranura a (mm)
Distancia nominal entre ranuras d (mm)
ymax (mm) Distancia calculada entre ranuras d (mm)
% Error en d
0.04 0.25
0.50
0.08 0.25
0.50
4. Repita el procedimiento para el diodo de color verde. Comente las diferencias entre ambos resultados. Interferencia por rendijas múltiples: 5. Gire ahora el disco hacia la zona marcada “Multiple Slits”. Seleccione una tras otra las posiciones
marcadas “2”, “3”, “4” y “5” (que representan 2, 3, 4 y 5 ranuras, todas de ancho 0.04 mm y separadas 0.125 mm). Observe con cuidado los patrones formados. Use el espacio provisto en la página siguiente para dibujar los posibles perfiles de intensidad luminosa [como se presentan en las figuras 1 y 4(a)]. Discuta con sus compañeros posibles explicaciones sobre el fenómeno. Realice el procedimiento para ambos diodos láser.
85
Cuestionario 1. ¿Qué ocurre con las posiciones de los primeros mínimos (m = 1) de difracción conforme se ensancha
la ranura rectangular? ¿Qué ocurriría en el límite a ? 2. ¿Qué ocurre con el diámetro del anillo del primer mínimo de difracción conforme se ensancha la
abertura circular? ¿Qué ocurriría en el límite d ? 3. ¿En qué cambia el patrón de interferencia cuando se ensanchan las ranuras (con d constante)? ¿Hay
variación en la distancia entre máximos de interferencia? 4. De acuerdo con lo observado en el punto 9 del procedimiento, ¿cómo cree que luciría el perfil de
intensidad luminosa para el caso de una rendija múltiple en donde el número de ranuras es elevado? (Tal rendija múltiple se denomina rejilla de difracción).
5. Comente las diferencias y similitudes de los resultados obtenidos cuando se utiliza el diodo láser de color rojo y el de color verde.
86
Gráficas, análisis, cuestionario y conclusiones
87
Práctica 12 Polarización y fotometría
Objetivos
En esta práctica se desea estudiar el efecto de dos polarizadores sobre luz blanca incidente, así como determinar el comportamiento de la intensidad de la luz en función de la distancia a la fuente y en función de la apertura de un diafragma. Específicamente se persiguen las siguientes metas:
1. Utilizar un detector de luz y un luxómetro. 2. Confirmar la Ley de Malus. 3. Obtener la ley inverso cuadrado para la intensidad de luz con la distancia. 4. Comprobar la ley cuadrática para la intensidad de luz con el diámetro de apertura.
Nota teórica
Polarización En la figura 1 se muestra el caso de una onda electromagnética plana que se propaga sobre el eje z. El campo eléctrico asociado con la onda oscila a lo largo de la dirección definida por el eje x, mientras que el campo magnético lo hace a lo largo de la dirección y. Se dice entonces que la onda está polarizada linealmente. Por definición, la dirección de polarización corresponde a la dirección del campo eléctrico, por lo que en este caso la polarización es a lo largo del eje x. El plano de polarización de la onda es el plano x-z. Por lo general, la luz proveniente de las fuentes de luz incandescentes (como los bombillos) tiene polarización al azar, es decir, el conjunto de ondas tiene tantas direcciones de polarización que no hay definido un plano de polarización preferencial. En este caso se dice que la onda es no polarizada, o bien que tiene polarización natural. Es posible polarizar la luz utilizando una lámina polarizadora, o simplemente, un polarizador. En un polarizador, existe cierta dirección característica mostrada mediante una línea, una flecha, etc. Si la luz natural incide sobre un polarizador, prácticamente todas las ondas electromagnéticas se absorben
E
B
x
y
z
Figura 1: Una onda electromagnética plana se propaga a lo largo del eje z. El campo eléctrico oscila a lo largo del eje x y el magnético a lo largo del eje y.
Polarizador
1
Luz natural Luz polarizada
0I
Luz polarizada Polarizador
2
20
1
II 2
12 cosII
Figura 2: Polarización consecutiva de la luz natural. El polarizador 1 selecciona una dirección de polarización específica.
El polarizador 2 (cuya dirección de polarización está girada un ángulo respecto al 1) selecciona la componente a lo
largo de su propia dirección.
88
salvo las ondas que llevan la dirección de polarización coincidente con la dirección de polarización de la lámina. La situación se muestra en la figura 2, donde además se ha incluido un segundo polarizador (con dirección de polarización distinta) que a su vez selecciona una nueva dirección. Ley de Malus Un análisis de intensidad luminosa de la situación mostrada en la figura 2 da los siguientes resultados: la intensidad que sale del primer polarizador es la mitad de la intensidad de la luz natural original, esto es:
2
01
II (1)
donde 0I es la intensidad de la luz natural (medida en candelas o lux) e 1I es la intensidad que sale
del polarizador 1. Si el polarizador 2 tiene una dirección girada un ángulo con respecto al polarizador
1, la intensidad 2I que sale de aquél viene dada por:
2
12 cosII (2)
Esta expresión es conocida con el nombre de ley de Malus. Nótese que si el ángulo es 90º, la intensidad
2I es nula, lo que implica que, en principio, dos polarizadores puestos uno tras otro en ángulo recto
absorben la luz que incide sobre ellos. En la práctica esta afirmación no es del todo correcta puesto que un polarizador real no es totalmente eficiente en seleccionar sólo la luz a lo largo de su dirección de polarización, por lo que puede quedar un resto de luz polarizada en otra dirección. En el procedimiento se verá una manera de restar esta contribución de modo que aún así la ley de Malus pueda ser comprobada. Variación de la intensidad luminosa con la distancia La figura 2 muestra la situación en que la fuente luminosa se encuentra tan alejada de los polarizadores que se puede considerar la luz como una onda plana cuyos rayos viajan en forma paralela. Este no es el caso en general, cuando la distancia entre los dispositivos analizadores o detectores es cercana a la fuente de luz. En tal situación es necesario considerar la luz como formada por ondas esféricas cuyos rayos son ahora radiales. Es pues interesante estudiar como se comporta la intensidad de luz conforme un detector de luz (llamado a veces fotómetro) se aleja de la fuente. La figura 3 muestra la geometría de una fuente de luz que emite ondas esféricas en todas
direcciones. A una distancia 1r de la fuente existe una intensidad luminosa 1I (en W/m2) distribuida en
un área 1A . A una distancia mayor 2r
la intensidad en el área 2A es 2I . La
energía lumínica que pasa en cada
unidad de tiempo por 1A es 11AI , y
para 2A es 22 AI . Por conservación
de la energía, las dos energías deben ser iguales ya que no hay fuentes ni
sumideros entre 1r y 2r , por lo que:
2211 AIAI (3)
Esta ecuación se obtuvo considerando solamente parte de la intensidad total, puesto que la luz se emite isotrópicamente. Si se calcula
1r
2r
Fuente
de luz
2I
1I
A1
A2
Figura 3: Geometría de la situación donde una fuente de luz emite ondas esféricas.
89
la energía por unidad de tiempo (o sea, potencia) total en una esfera de radio 1r y se iguala con la
energía en la esfera 2r : 2
2,2
2
1,1 44 rIrI tottot (4)
Supóngase que 1r está justamente sobre la fuente de luz de modo que 0
2
1,1 4 PrI tot es la potencia
total de la fuente y r2 = r es la variable, la ecuación (4) se escribe:
22
0
4)(
r
k
r
PrI tot
(5)
Esta es la llamada ley inverso cuadrado en la intensidad luminosa, y dice, por ejemplo, que si la distancia a la fuente se duplica, la intensidad decae a la cuarta parte del valor inicial. Se desea comprobar la validez de esta ley. Variación de la intensidad luminosa con la apertura Supóngase ahora que se tiene una abertura circular (llamada para estos efectos apertura) de diámetro
máximo 0d a través del que pasa una intensidad
luminosa 0I . ¿Cuál es la intensidad I que pasa a través
de una apertura de menor tamaño (diámetro 0dd y
área A)? Evidentemente, si la luz se distribuye
uniformemente en el área 0A , la relación entre
intensidad de luz y área será la misma tanto en 0A como
en A, es decir:
)(/)(/ 00 dAdIAI (6)
Para aberturas circulares, 4/2dA , por lo que, despejando para I ,se obtiene:
22
00 /)( kdddIdI (7)
Esto significa que la intensidad luminosa que pasa a través de una apertura sigue una ley cuadrática con el diámetro. Nuevamente se desea en esta práctica comprobar esta ley.
Trabajo previo
1. Demuestre las ecuaciones (1) y (2). 2. Investigue sobre las unidades de intensidad luminosa y sus equivalencias.
Parte A: Polarización
Equipo A
Banco óptico que consiste en: riel metálico horizontal con graduación métrica, polarizadores con graduación angular montados en soporte, diodo de luz (verde y rojo), disco de apertura, sensor de rotación, sensor de luz. NOTA: el equipo óptico es sumamente delicado. Por favor tome las precauciones necesarias para no dañar los elementos con un manejo inadecuado: golpes, rayaduras, dobleces, etc.
d0
d
I0, A0
I(d), A(d)
Figura 4: Luz de intensidad I0 pasa a través de una abertura circular de área A0, correspondiente a un diámetro d0. La intensidad I(d) que pasa por una
abertura de diámetro d < d0 es una función de d.
90
Procedimiento A
Calibración
1. Arme el dispositivo que se muestra en la figura 5. Utilice el diodo láser rojo.
2. Asegúrese de que el disco de apertura este colocado de tal forma que “translucent mask” cubra la apertura para el sensor de luz (Figura 6), sino es así rótelo hasta que se coloque en la Posición correcta.
Figura 6: Use “translucent mask”
3. Coloque el sistema como se muestra en la Figura 7.
Figura 7: Posición del equipo
Figura 5: Dispositivo experimental para la determinación de la ley de Malus.
91
4. Abra la práctica de polarización en Data Studio. 5. Apague las luces del salón de clases. 6. Verifique en cada vez que haga una medición la gráfica de la página 2 del Data Studio. Si el valor
en el voltaje alcanza el valor de 4,5 V, disminuya la ganancia en el interruptor del sensor de luz. Si el valor del voltaje es menor de 0,5 V, aumente la ganancia en el interruptor en el sensor de luz.
2 Polarizadores
7. Puesto que la luz láser ya está polarizada, el polarizador debe estar alineado con el eje del láser de la polarización. Primero quite de la pista el polarizador que tiene el sensor de movimiento. Colóquese en la gráfica de la página 5, haga clic en INICIO y luego gire el polarizador que no tiene el sensor de movimiento rotatorio hasta que la intensidad de la luz en el gráfico se encuentra en su máximo. La figura 8 muestra el procedimiento pero con el polarizador que tiene el sensor de rotación.
Figura 8: Rotación de Polarizadores
8. Para permitir la máxima intensidad de luz pase a través de los dos polarizadores, reemplace el
polarizador del punto 6 con el polarizador que tiene el sensor de rotación y realice el mismo procedimiento descrito en el punto 7.
9. Coloque los dos polarizadores en la pista. 10. Vaya a la gráfica de la página 6, pulse INICIO, gire lentamente el polarizador que tiene el sensor
de movimiento rotatorio hasta 360° y pulse DETENER. 11. Rotule la gráfica indicando el número de polarizador y el color del diodo láser.
12. Para realizar el ajuste de datos, escoja el ajuste definido por el usuario y escriba cos2, con las constantes adecuadas para realizar el ajuste. La figura 9 muestra un ejemplo de la ventana.
Figura 9: Ajuste definido por el usuario
92
13. Pruebe otros ajustes: cos3ycos4Determine si funcionan o no y por qué. 14. Repita el procedimiento anterior para el diodo de color verde. 15. Compare ambos resultados.
3 Polarizadores 16. Coloque otro polarizador en su pista, tal como se muestra en la figura 10.
17. Repita el punto 7 en con los polarizadores 1 y 2. 18. Repita el punto 8 con el polarizador que tiene el sensor de movimiento. 19. Repita el procedimiento 9, 10 y 11 en la misma gráfica donde realizó la parte de los dos
polarizadores. 20. Compare los resultados obtenidos en ambas partes, indique las similitudes y diferencias.
Parte B: Fotometría
Equipo B
Banco óptico que consiste en: riel metálico horizontal con graduación métrica, fuente de luz blanca con fuente de voltaje, disco de aperturas, detector de luz conectado con luxómetro de mano.
Procedimiento B
Fotometría: variación con la distancia
1. Asegúrese que la fuente de luz se encuentre en el cero de la escala métrica del banco. Acerque el fotómetro lo más que pueda a la fuente pero observando que la luz ilumine por completo el detector del fotómetro.
2. Tome la lectura de la intensidad de luz que marca el luxómetro (si el cono de luz que sale de la fuente no cubre totalmente al detector, aléjelo de modo que lo haga). Si es necesario, cambie de escala. Anote también la posición del detector.
3. Llene la siguiente tabla para distancias consecutivamente mayores entre fuente y detector. Intente cubrir todo el espacio del banco.
Distancia r (cm) Lectura del luxómetro I (lux) Incertidumbre I (lux)
93
4. Elabore la gráfica de I vs r. Ajuste los datos con una curva del tipo potencial. Calcule el % de error del exponente de r obtenido con respecto al valor teórico –2.
Fotometría: variación con la apertura
5. Acerque el detector a la fuente de modo que tenga una buena lectura de intensidad en el calibre de 200 lux.
6. Coloque, en contacto con el detector, el disco de aperturas. Seleccione la apertura de diámetro 25.0 mm y anote la lectura del luxómetro. Para un mejor resultado, observe que la luz que sale de d no ilumine todo el detector del fotómetro.
7. Repita para las demás aperturas del disco, sin mover la posición el detector. 8. Recopile toda la información en la siguiente tabla.
Diámetro d Lectura del luxómetro I (lux)
25.0
17.7
12.5
8.8
6.3
4.4
13. Elabore la gráfica I vs d. Ajuste los datos con una función potencial. Calcule el % de error del
exponente de d obtenido con respecto al valor +2.
Cuestionario
1. Depende los resultados de polarización de la longitud de onda. Explique en detalle. 2. ¿Se cumple la ley de Malus? ¿Qué factores de error hay presentes? 3. ¿Cómo cambian los resultados al aumentar el número de polarizador? Explique. 4. ¿Qué ocurriría al aumentar el número de polarizadores? 5. ¿Se obtiene la ley inverso cuadrado? ¿Qué errores puede haber? 6. ¿Es la intensidad de luz una función cuadrática de la apertura? ¿Qué otros factores de error
hay?
94
Gráficas, análisis, cuestionario y conclusiones
95
Práctica 13 Radiación térmica y Ley de Stefan-Boltzmann
Objetivos El objetivo general de esta práctica es el estudio de la radiación térmica proveniente de objetos calientes. En particular:
1. Medir la tasa de radiación térmica desde superficies diversas de un objeto caliente. 2. Medir la absorción y transmisión térmicas de distintos materiales. 3. Verificar la validez de la ley de Stefan-Boltzmann de un cuerpo radiante.
Nota teórica
Se conoce por el nombre de radiación térmica a la radiación electromagnética emitida por un cuerpo a causa de la temperatura. Un cuerpo tal como una silla, una mesa o una persona a temperatura ambiente emite radiación en el rango del infrarrojo. El espectro de tal emisión es continuo, lo que quiere decir que emite en una banda ininterrumpida de longitudes de onda. Si el cuerpo soporta cambios grandes de temperatura sin desintegrarse (como en el caso de los metales), es posible notar dos aspectos importantes a la hora de calentarlo: (a) cuanto más elevada es la temperatura, mayor es la cantidad de radiación térmica que emite, y al mismo tiempo (b) se acorta la longitud de onda de aquella parte del espectro en que irradia más intensamente. La figura 1 ilustra este comportamiento con la temperatura. Una interesante consecuencia de (b) es que el cuerpo, que a temperatura ambiente es opaco, empieza a emitir luz visible: primero en rojo oscuro, pasando por amarillo-naranja brillante y luego al “blanco vivo”. Ya que las características del espectro dependen de la temperatura, se puede calcular esta temperatura a partir de la radiación que emite el cuerpo. Este principio se ha aplicado con éxito en términos astronómicos para determinar la temperatura de las estrellas.
Los cuerpos no sólo emiten radiación térmica, sino que también pueden absorberla. Un cuerpo más frío que su entorno tiende a absorber radiación y por tanto se calienta. Normalmente alcanzará un equilibrio térmico con el entorno, de modo que la velocidad de absorción iguala la velocidad de emisión.
La radiación térmica emitida por el cuerpo depende, además de la temperatura, del material del que está hecho, de su forma y de la naturaleza de su superficie. Como regla general, cuanto más rugosa la superficie, tanto más radiación es capaz de emitir, aunque en un factor menor comparado con la dependencia de la temperatura.
Una comprensión cabal de la emisión térmica es difícil en términos de ideas físicas simples, por lo que se recurre al concepto del “radiador ideal”, en forma análoga a como se define el “gas ideal” en el problema de los gases reales. El radiador ideal es aquel cuerpo cuya emisión térmica sólo depende de su temperatura. Este radiador ideal se puede
Figura 1: Curvas de radiancia espectral para radiación de cavidad a cuatro temperaturas diferentes. Note que al aumentar la temperatura, la longitud de onda del pico de la curva se corre hacia valores menores y el alto aumenta considerablemente.
96
obtener formando una cavidad dentro del cuerpo
caliente y asegurándose de mantener las paredes de la cavidad a temperatura uniforme Perforando un pequeño orificio a través de la pared del cuerpo de modo que parte de la radiación
pueda escapar, se obtiene el espectro característico del radiador ideal. Este espectro se denomina espectro de radiación de cavidad, o espectro de radiación de cuerpo negro. Este modelo de “radiación en una caja” ha ayudado a entender la naturaleza de la radiación térmica así como el modelo del gas ideal (“materia en una caja”) ayudó a entender la materia en forma gaseosa.
En 1884, J. Stefan relacionó empíricamente la intensidad radiante )(TI (o sea, la potencia total
irradiada por unidad de área de abertura de cavidad, sumada en todas las longitudes de onda) de un cuerpo negro con la temperatura. Poco después, Boltzmann dedujo una explicación teórica de lo que hoy día se conoce como la ley de Stefan-Boltzmann:
4)( TTI (1)
donde es una constante universal (constante de Stefan-Boltzmann) cuyo valor es
)K. W/(m10670,5 428 . No obstante, los cuerpo calientes ordinarios irradian siempre menos
eficientemente de lo que lo hacen los radiadores de cavidad, por lo que la ecuación (1) puede escribirse:
4)( TTI (2)
donde es llamado emisividad de la superficie. En un cuerpo negro, 1 , pero en cuerpos ordinarios
1 , y usualmente es función de la temperatura.
Trabajo previo
1. Investigue lo que significa el concepto de radiancia espectral. 2. Investigue sobre la llamada ley de desplazamiento de Wien.
Parte A: Tasa de radiación térmica desde diferentes superficies
Equipo A
1. Cubo de radiación térmica (o “cubo de Leslie”): presenta cuatro diferentes superficies irradiadoras que se pueden calentar desde temperatura ambiente hasta unos 120ºC con un bombillo de 100 W. La potencia entregada por el bombillo se controla mediante un conmutador y una perilla de variación continua. La temperatura del cubo se determina mediante un termistor incorporado.
2. Sensor de radiación: mide las intensidades relativas de la radiación térmica incidente. Consiste en una termopila en miniatura que produce un voltaje proporcional a la intensidad de radiación que le llega. Tiene un obturador que debe permanecer cerrado mientras no se esté midiendo para así evitar fluctuaciones térmicas. Los pines que se extienden al frente protegen la termopila y ofrecen una distancia de referencia repetible.
3. Dos multímetros digitales: uno como ohmímetro y otro como voltímetro.
97
Cubo de radiación Sensor térmico con base
Procedimiento A
NOTA: las superficies del cubo pueden calentarse mucho. Tenga el cuidado de NO TOCARLAS. 1. Conecte el ohmímetro al cubo de
radiación y el voltímetro al sensor de radiación como se muestra en la figura 2.
2. Encienda el bombillo interno del cubo y coloque la perilla de control en posición “HIGH”. Observe el ohmímetro. Cuando
llegue a 40 k gire la perilla a la posición 5. (Si el cubo ha sido precalentado, ponga la perilla en posición 5 directamente).
3. Espere hasta que la lectura del ohmímetro se estabilice alrededor de un valor relativamente fijo.
Figura 2: Montaje del equipo para la medición de la tasa de radiación térmica.
4. Acerque el sensor a una de las superficies del cubo hasta que los pines queden en contacto con la superficie. Abra el obturador del sensor y mida el valor de voltaje del voltímetro. Realice la medida en forma rápida de modo que pueda cerrar el obturador para evita el sobrecalentamiento de la termopila.
5. Anote la resistencia del termistor con el ohmímetro y utilice la tabla incorporada al cubo para determinar la temperatura del cubo.
6. Repita los puntos 3. al 5. para otras dos posiciones de la perilla del cubo (Ej: posiciones 7 y HIGH). Se sugiere la siguiente tabla de datos:
Superficie Lectura del voltímetro (mV)
Perilla en posición 5 Posición 7 Posición HIGH
Negra
Blanca
Aluminio brillante
Aluminio opaca
Resistencia termistor ()
Temperatura (ºC)
7. Compare las tasas de emisión para las distintas superficies y en las distintas temperaturas. Puede
graficar sus datos para proveer una mejor discusión del tema.
Parte B: Absorción y transmisión de radiación térmica
Equipo B
98
Adicionalmente al equipo de la parte A, se agrega una placa de vidrio y de otros materiales plásticos transparentes.
Procedimiento B
NOTA: se pueden hacer las mediciones de esta parte mientras espera el equilibrio térmico señalado en el punto 3. de la parte anterior. 1. Coloque el sensor a unos 5 cm del centro de la superficie negra del cubo y anote la lectura del
voltímetro. 2. Interponga la placa de vidrio entre el sensor y el cubo. Anote la lectura del voltímetro. 3. Repita el punto 2. con los otros materiales. Puede recopilar los datos en una tabla como la siguiente:
Tipo de material
Lectura del voltímetro (mV) Coeficiente de transmisión CT
Coeficiente de absorción CA Sin placa
interpuesta Con placa
interpuesta
Vidrio
El coeficiente de transmisión se calcula como la razón entre la lectura con placa interpuesta entre la lectura sin placa interpuesta. El coeficiente de absorción se obtiene de:
1 AT CC (3)
4. Compare los coeficientes para los diversos materiales.
Parte C: Ley de Stefan-Boltzmann a altas temperaturas
Equipo C
1. Lámpara de Stefan-Boltzmann: es una fuente de radiación térmica a alta temperatura que, bien alineada, provee una buena aproximación a una fuente puntual. El uso de alta temperatura simplifica el análisis porque la cuarta potencia de la temperatura en esta ley hace que la temperatura ambiente no tenga incidencia en las medidas. Al ajustar la potencia que consume (13 V máx, 2 A mín, 3 A máx) se varía la temperatura del filamento en el orden de 3000ºC.
2. Sensor de radiación con base. 3. Fuente de voltaje variable. 4. Tres multímetros operando dos como voltímetros y uno como amperímetro.
Procedimiento C
1. Mida la temperatura ambiental ( REFT ) en grados Kelvin y la resistencia el filamento de la lámpara de
Stefan-Boltzmann a esta temperatura ( REFR ). Es importante medir con buena precisión esta
resistencia para no incurrir en grandes errores en la determinación posterior de la temperatura del filamento.
Lámpara de Stefan-Boltzmann
99
2. Arme el equipo según se muestra en la figura 3. Un voltímetro debe conectarse directamente a las terminales de la lámpara de Stefan-Boltzmann. El sensor debe colocarse a la misma altura que el filamento con la cara frontal a unos 6 cm del filamento.
3. Encienda la fuente y ajuste un voltaje de 1 V. Anote el valor de la corriente que circula a través de la lámpara y la medida del sensor.
4. Repita las medidas anteriores variando el voltaje de la fuente de 1 V en 1 V hasta los 12 V. NO exceda ese valor.
Figura 3: Montaje del equipo para la medición de la radiación térmica de alta temperatura. La fuente alimenta el bombillo, en paralelo debe colocarse el voltímetro que se ve a la derecha y en serie el multímetro (no se muestra en la figura).
Entre las lecturas, cierre el obturador del sensor con el fin de mantener relativamente constante la temperatura del sensor.
5. Al finalizar la toma de datos, apague el equipo y proceda a calcular las resistencias del filamento de la forma:
IVR / para cada uno de los datos de voltaje V y sus correspondientes corrientes I.
6. A continuación, calcule el factor resistencia relativa de la forma:
REFRR /
usando el valor de REFR medido en el punto 1. Con esta resistencia relativa, se puede calcular la
temperatura del filamento utilizando la siguiente curva de calibración de la lámpara:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Resistencia Relativa
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Tem
pera
tura
(K)
100
Puede construir una tabla de datos como la siguiente:
RREF () =
V (V) I (A) R () Resist. Relativa T (K) Volt. Sensor (mV)
7. Construya la gráfica Volt. Sensor vs. T y ajústela con una función potencial. Comente sobre sus
resultados.
Cuestionario
1. ¿Qué superficie provee la mayor tasa de radiación térmica? ¿Cómo varía esa tasa con la temperatura?
2. Justifique la ecuación (3). 3. ¿Qué material de los estudiados en la parte B transmite mejor la radiación térmica? ¿Cuál es mejor
material para absorberla? 4. ¿Se cumplió la ley de Stefan-Boltzmann? Explique en detalle.
101
Gráficas, análisis, cuestionario y conclusiones
102
103
APÉNDICE A: Equipo PASCO de laboratorio
La Universidad de Costa Rica ha adquirido equipo de la compañía PASCO Scientific para modernizar el laboratorio de la física general III. Dicho equipo se puede catalogar en tres tipos:
1. Detección de señales. 2. Digitalización de señales. 3. Equipo accesorio.
1. Detección de señales
En este laboratorio se trabaja sobre los datos adquiridos por dispositivos sensibles a ciertas magnitudes físicas: voltaje, corriente, campo magnético, posición, intensidad luminosa, etc. A continuación se describen los detectores (llamados también sensores) y las magnitudes que miden.
Sensor Magnitud física que detecta
Características
CI-6503
Voltaje
10 V AC/DC
CI-6556
Corriente
Corriente máxima: 1.5 A DC o RMS AC Sensitividad:
5 mA (ganancia 1X) 0.5 mA (ganancia 10X)
CI-6520A
Campo magnético
Modos de medida:
Axial y Radial Sensitividad:
±10 Gauss (ganancia 1X) ±100 Gauss (ganancia 10X) ±1000 Gauss (ganancia 100X)
CI-6538
Posición lineal o angular
Modos de medida:
Rotacional y Lineal Resolución en modo Lineal:
0.055 mm
104
2. Digitalización de señales
Se dispone de un digitalizador de señales Pasco 850 Universal Interface que tiene como entradas 4 canales digitales, 4 canales analógicos y 4 puertos de sensores PASPORT. Cuenta también con un generador de onda sinusoidal incorporado de 15 W. Los canales analógicos son muestreados a razón de 10 MHz en 1 o 2 canales o 1 MHz en 4 canales y convertidos a señales digitales de 14 bits de 2,5 mV de resolución. Los canales analógicos tienen tiempo de muestreo de 0.1 ms, correspondientes a 1 mm de resolución para el sensor de rotación. La fuente de poder suple hasta de ±15 V a 1 A en CD y CA. La interfaz con la computadora se realiza por conexión USB 2.0 (4890 Mbps).
3. Equipo accesorio
Otro equipo de que se dispone es el siguiente:
Elemento Nombre Características
OS-8535
Convertidor lineal
Es un dispositivo que cuenta con un riel dentado en donde se inserta el sensor de rotación (CI-6538) para que se obtenga un movimiento de traslación lineal.
EM-8652
Recámara de campo cero
Es un cilindro metálico de alta permeabilidad magnética que produce un campo magnético nulo en su cavidad interna. Se utiliza insertándolo en el detector de campo magnético (CI-6520A) para anular la presencia del campo terrestre.
4. Programa de adquisición y despliegue de datos
El equipo PASCO cuenta con un programa de adquisición, despliegue y análisis de datos denominado CapstoneTM. Las señales provenientes del digitalizador (Pasco 850 Universal Interface) son desplegadas por el programa tal y como el operador desea que aparezcan. Las medidas pueden ser tomadas en tiempo real o bien residentes en memoria para su posterior análisis. Su profesor se encargará de detallarle con mayor profundidad todo lo referente al programa cuando así se requiera.
105
APÉNDICE B: Propagación de errores*
Introducción
La ciencia en su rama experimental y en particular la física experimental está basada en la obtención de información cuantitativa al respecto de los fenómenos físicos que resulta pertinente estudiar. Con el análisis de dicha información cuantitativa se logran alcanzar los objetivos propuestos en la investigación.
El proceso por el cual se obtiene información cuantitativa a nivel experimental recibe el nombre de medición. Las mediciones pueden ser divididas en dos clases: mediciones directas y mediciones indirectas.
Las mediciones directas son aquellas que se llevan a cabo al comparar una magnitud física (cualquier propiedad del fenómeno físico en observación) con un patrón de medida que ha sido definido por convención previamente, el cual se utiliza en la forma de un instrumento de medición. Las medidas indirectas son aquellas que se obtienen como resultado de aplicar funciones matemáticas a una o varias magnitudes físicas que han sido determinadas de forma directa. Es importante notar que la información cuantitativa fundamental es la medida directa, aún si la medida indirecta es el resultado buscado, pues esta segunda se deriva de la primera.
En el ámbito experimental es bien sabido que toda medida directa tiene asociada una incertidumbre o diferencia entre el valor obtenido y el valor que se considera verdadero. Esta incertidumbre puede tener, en general, dos tipos de causas: Los errores de medición sistemáticos, que se producen por la inadecuada calibración del instrumento de medición o sus inherentes limitaciones, o bien los errores de medición aleatorios, que son causados por la variabilidad no controlada de factores que modifican el valor de la magnitud física en estudio.
Los errores de medición sistemáticos pueden ser cuantificados fácilmente y no se requiere más que el análisis del instrumento de medición utilizado. Un error sistemático es determinado para una sola medida directa. Por otra parte, los errores de medición aleatorios no pueden ser cuantificados con la misma facilidad que los errores sistemáticos y en especial no pueden ser determinados para una sola medida directa, sino que es imprescindible un grupo de medidas directas de la misma magnitud física, bajo las mismas condiciones que son controlables, para establecer una estimación del error aleatorio.
Determinación de la incertidumbre en una sola medida directa
Si se tiene una única medida directa, la incertidumbre de dicha medida es igual a la incertidumbre
del instrumento de medición. Así, si m es la incertidumbre del instrumento de medición, determinada por el fabricante o alguno otro de los criterios disponibles, si m es el valor obtenido del instrumento de medición para la magnitud física en estudio M, y entonces el valor que se debe reportar de la magnitud M es:
unidadesmmM
La incertidumbre de una única medida directa también puede ser expresada en forma porcentual, de manera que el valor de la magnitud física M se puede reportar alternativamente como:
%m
munidadesmM
* Un tratamiento más extenso puede encontrarse en F. Fernández (1984), pp. 257-275.
106
Determinación de la incertidumbre en un grupo de medidas directas de la misma magnitud física
Cuando se realizan varias medidas directas con el objetivo de cuantificar los errores aleatorios, se considera que el valor que representa al grupo de medidas de la misma magnitud física es el valor promedio. Nótese que idealmente, si no existieran errores de tipo aleatorio si se realizan n repeticiones de la medida de la misma magnitud física se deben obtener n valores idénticos, sin embargo, la presencia de errores aleatorios provoca que no todos los n valores sean idénticos, de forma que es por ello que se utiliza el valor promedio como el valor representativo del grupo de medidas.
El valor promedio m de n medidas directas de la misma magnitud física M se define a partir del valor obtenido en cada medición mi y el número n de mediciones por medio de la ecuación:
n
m
m
n
i
i 1
(A1)
Normalmente se acepta que la incertidumbre en el valor representativo del grupo de medidas directas es la desviación estándar muestral, que se denota por sm y que se calcula, una vez que se ha obtenido m , a partir de la ecuación:
1
1
2
n
mm
s
n
i
i
m (A2)
La desviación estándar muestral se puede considerar como la cuantificación de los errores aleatorios presentes en el grupo de medidas directas.
Entonces, para un grupo de medidas directas de la misma magnitud física M obtenidas bajo las mismas condiciones controlables con el objetivo de determinar el efecto de los errores aleatorios, el valor representativo de la magnitud física M se debe reportar como:
unidadessmM m
O bien como:
%m
sunidadesmM m
Determinación de la incertidumbre en las medidas indirectas
Puesto que ya se ha señalado que las medidas directas tienen asociada una incertidumbre, la del instrumento en el caso de una única medida y la desviación estándar muestral en el caso de varias medidas de la misma magnitud física, y puesto que ya se estableció con anterioridad que las medidas indirectas son calculadas por medio de ecuaciones matemáticas que involucran medidas directas, es claro que las medidas indirectas tienen que tener incertidumbre y que esta debe estar relacionada con la incertidumbre de las medidas directas que se usaron en el cálculo y la forma particular de la ecuación utilizada.
No importa si se ha realizado una única medida directa de una magnitud física o bien varias medidas directas de la misma, en última instancia el cálculo del valor de la medida indirecta y la determinación de su incertidumbre se puede realizar con el valor reportado para la magnitud física:
unidadesmmM unidadessmM m
Valor reportado para una única medida directa de una magnitud física M
Valor reportado como representativo de un grupo de medidas directas de una misma magnitud M
107
Para establecer claramente el procedimiento que se debe llevar a cabo se presentará primero cómo realizar el cálculo del valor de la medida indirecta y posteriormente se presentará como realizar la determinación de la incertidumbre del valor calculado para la medida indirecta.
Cálculo del valor de la medida indirecta
Supongamos que se desea calcular el valor de una magnitud física A que depende de dos magnitudes física M y P que se pueden medir directamente. Supongamos también que el valor de A se obtiene al aplicar una función f conocida a M y P. Matemáticamente:
PMfA , (A3)
Para calcular el valor de la magnitud física A tan solo es necesario determinar el valor de la magnitud física M, el cual puede ser m o m dependiendo del proceso utilizado, así como el valor de la
magnitud física P, el cual puede ser igualmente p o p , y evaluar la función f en los valores anteriores,
de forma que el valor calculado a de la medida indirecta de la magnitud física A, según sea el caso, es:
pmfaopmfa ,, (A4)
La idea desarrollada anteriormente puede ser ampliada de forma inmediata a una magnitud física A medida indirectamente que depende de más medidas directas, llamadas por ejemplo M, P, Q, pues en este caso es evidente que:
qpmfaoqpmfa ,,,, (A5)
Determinación de la incertidumbre en el valor calculado de la medida indirecta
– Propagación de errores
El valor calculado de la medida indirecta no puede ser igual al valor verdadero de la magnitud física en estudio pues debe tener alguna incertidumbre asociada. La incertidumbre en este valor es el resultado de la incertidumbre presente en las medidas directas que permitieron calcular dicho valor, ya
sea la de los instrumentos m y p o bien la desviación estándar sm y sp según sea el caso.
La incertidumbre en el valor calculado de la medida indirecta, la cual se denotará a, se obtiene por un método llamado propagación de errores.
En forma resumida el método de propagación de errores establece que a se calcula, para el caso en que las medidas directas de las magnitudes físicas M y P son independientes entre sí (situación que generalmente es la que se presenta), por medio de la ecuación:
)(
)(
2
,
2
2
,
2
2
,
2
2
,
2
vecesnmedidasPyMsP
fs
M
fa
o
vezsolaunamedidasPyMpP
fm
M
fa
p
pm
m
pm
pmpm
(A6)
Una vez presentadas las anteriores ecuaciones resulta evidente, lo mismo que en el apartado anterior la extensión al caso de una medida indirecta que depende de más medidas directas.
En el caso en que las medidas directas de las magnitudes físicas M y P sean dependientes entre
sí, a se determina por medio de la ecuación:
108
)(
)(
,,
,,
vecesnmedidasPyMSP
fS
M
fa
o
vezsolaunamedidasPyMpP
fm
M
fa
p
pm
m
pm
pmpm
(A7)
También en este caso, una vez presentadas las anteriores ecuaciones resulta evidente la extensión a la situación de una medida indirecta que depende de más medidas directas.
A veces es posible encontrar expresiones que permiten determinan medidas indirectas que involucran magnitudes físicas o variables que son independientes entre sí, así como variables que son dependientes entre sí. Una situación de estas se presenta en la expresión usada para calcular el campo magnético en puntos sobre el eje de simetría principal de un solenoide (ecuación A8), en donde N, I y L
son independientes entre sí e independientes de los ángulos 1 y 2, pero los ángulos 1 y 2 no son independientes entre sí:
12
7
coscos102
L
NIBs (A8)
Bajo estas circunstancias, lo más aconsejable es introducir una nueva variable que elimine el problema
que se ha presentado. Para el ejemplo de la ecuación A8, la nueva variable sería 12 coscos W
, en términos de la cual se conseguiría que N, I, L y W sean todas independientes entre sí, de manera que las ecuaciones (A6) son aplicables.
Presentación de la medida indirecta
Una vez calculado el valor a de la medida indirecta de la magnitud física A y determinada su incertidumbre, la magnitud física A medida de forma indirecta deber ser reportada como:
unidadesaaA
O bien como:
%a
aunidadesaA
109
APÉNDICE C: Valores cuadráticos medios o rms
Definición de valor medio
El valor medio de una variable A(t) que varía en el tiempo durante un tiempo o período T se define de la siguiente manera:
TTT
dttAT
dtdttAA000
)(1
/)( (B1)
En el caso particular de corriente alterna, donde A es el voltaje suministrado por una fuente de la forma
)sin()( max tt , donde max es la amplitud del voltaje (también llamado voltaje pico) y la
frecuencia angular de oscilación, el valor medio de (t) es:
0)cos()sin(1
0
max
0
max T
T
tT
dttT
(B2)
La última igualdad se da pues T/2 y queda 0)0cos()2cos( . En otras palabras, la integral
de la función seno evaluada en un período es cero. El cálculo da el mismo resultado aún para el caso de
un desfase dentro del argumento de la función seno, es decir: )sin()( max tt , con el desfase.
Como se puede ver, la evaluación de valores medios de variables alternantes no brinda información interesante sobre el sistema, por lo que se desea hacer el cálculo del valor medio cuadrático que se describirá a continuación.
Valores medios cuadráticos o “rms”
El término “rms” proviene del inglés: root mean square. También se le conoce como “valor eficaz”. En los libros de texto, usualmente aparece este concepto asociado con el cálculo de la potencia media consumida por un resistor cuando una corriente alterna lo atraviesa durante un período de tiempo. Aquí se hará una definición operacional del valor medio cuadrático de una variable variante con el tiempo A(t):
T
rms dttAT
tAA0
22 )(1
)( (B3)
Para el ejemplo del voltaje de corriente alterna, se encuentra:
22)(sin
1 max
2
max
0
22
max
T
rms dttT
(B4)
Esta expresión dice que el valor eficaz del voltaje es proporcional a la amplitud de la señal oscilatoria. Los voltímetros (y amperímetros) que usan el modo “AC” (corriente alterna) no miden la amplitud de la señal, sino precisamente el valor eficaz. Sabiendo de antemano la frecuencia de la señal alterna y el valor medio cuadrático, es fácil reconstruir la función oscilatoria, al menos hasta una constante de fase.
En el caso de un amperímetro, la relación entre rmsi e maxi es:
2
maxrms
ii (B5)
110
APÉNDICE D: Medición del ángulo de desfase en el osciloscopio
En la práctica “Introducción al uso del osciloscopio” se ha estudiado cómo introducir una señal de voltaje a las placas de barrido horizontal en sustitución del barrido automático del aparato. En ese caso, el osciloscopio se trabaja en modo “x-y”, que significa que en la pantalla se muestra una gráfica de la señal de canal y en función de la señal de canal x. Este modo de operación es muy útil para determinar el ángulo de desfase cuando las dos señales son periódicas. En general, si las dos señales poseen frecuencias no necesariamente iguales y ángulo de desfase no nulo, se forman unas figuras llamadas “figuras de Lissajous”. Aquí se estudia el caso particular en que las frecuencias de la señales de entrada son iguales.
En la figura C1 adjunta se muestran tres posible combinaciones de señales senosoidales que presentan distintos desfases. Por conveniencia, se ha mostrado una misma señal horizontal en la parte baja de la figura, mientras que se ha representado tres señales distintas en el canal vertical con desfases de 0º, 45º y 90º. Se nota que las figuras van de un segmento de recta en (a) a un círculo en (c), pasando por una elipse en (b) de semieje mayor a 45º con la horizontal.
En el caso general de desfase , la figura resultante será una elipse de semieje mayor inclinado, según se muestra en la figura C2. Supóngase que se introduce una señal en las placas horizontales dada por:
)sin()( max tVtV HH (C1)
mientras que para las placas verticales:
)sin()( tbtVV (C2)
donde VHmax y b son respectivamente las amplitudes (o valores pico) de las señales horizontal y vertical. En 0t , el voltaje en las placas horizontales es nulo mientras que en las verticales vale sinb . Si la medida
vertical en la pantalla es a, como se muestra
en la figura, entonces: sinba , o bien:
b
a1sin (C3)
Pero las cantidades a y b son proporcionales a las medidas A (distancia entre los intercep-
VV
(a)
VH
t
(b) t
(c) t
t
Imágenes
en pantallaDesfases
0º
45º
90º
Figura C1: Formación de figuras de Lissajous con
señales senosoidales de misma frecuencia pero fases
distintas.
Ba
b
A
Figura C2: Cantidades importantes para el cálculo del
ángulo de desfase entre dos ondas senosoidales de
misma frecuencia y ángulo de desfase . La elipse debe
estar centrada en el origen.
tos de la elipse con el eje vertical) y B (amplitud vertical de la elipse), así que podemos determinar el ángulo de desfase de la forma:
B
A1sin (C4)
111
APÉNDICE E: Tabla de espectros de algunas sustancias*
40
00
42
00
44
00
46
00
48
00
50
00
52
00
54
00
56
00
58
00
60
00
62
00
64
00
66
00
68
00
70
00
Longitud de onda (Å)
He
lio
40
00
42
00
44
00
46
00
48
00
50
00
52
00
54
00
56
00
58
00
60
00
62
00
64
00
66
00
68
00
70
00
Ca
dm
io
40
00
42
00
44
00
46
00
48
00
50
00
52
00
54
00
56
00
58
00
60
00
62
00
64
00
66
00
68
00
70
00
Me
rcu
rio
40
00
42
00
44
00
46
00
48
00
50
00
52
00
54
00
56
00
58
00
60
00
62
00
64
00
66
00
68
00
70
00
So
dio
40
00
42
00
44
00
46
00
48
00
50
00
52
00
54
00
56
00
58
00
60
00
62
00
64
00
66
00
68
00
70
00
Ne
on
Violeta Azul Verde Amarillo RojoNaranja
Tabla de longitudes de onda de las líneas espectrales (números en Å)
Neón Sodio Mercurio Cadmio Helio
5850 5687 4062 4415 4026 6150 5703 4390 5086 4471 6400 5906 4984 5360 4713 6500 5922 5469 6438 4921 , 5015
6156 5875 , 6678
* Fuentes: Zeilik (1997); Resnick, Halliday, Krane (1994); R. C. Weast - editor - (1979); CICIMA (2002).
112
APÉNDICE F: Bibliografía Guías de laboratorio R. Jiménez, J. A. Bolívar, M. Umaña, Laboratorio de Física IV, manual de prácticas. 2ª edición. Editorial
Alma Mater, San José, Costa Rica, 1997. J. A. Villalobos, Laboratorio de Física II, manual de prácticas. Editorial de la Universidad de Costa Rica,
San José, Costa Rica, 1988. F. Fernández, C. Baixeras, M. Casas, Prácticas de Física General. Editorial Alhambra, Madrid, España,
1984. J. A. Araya Pochet, Prácticas de Electromagnetismo. Editorial de la Universidad de Costa Rica, San
José, Costa Rica, 1983. U. Haber Schaim et al, Laboratory Guide PSSC Physics. D. C. Heath and Co., Lexington, Ma., Estados
Unidos, 1976. J. Goldemberg, Física General y Experimental, Vol 3. Nueva Editorial Interamericana S. A., México,
1974. W. Westphal, Prácticas de Física. Editorial Labor S. A., Barcelona, España, 1965. A. Portis, Laboratory Physics – Part A, Berkeley Physics Laboratory. Berkeley Physics Department.
McGraw Hill Book Co., Estados Unidos, 1964. Leybold-Heraus GMBH, Sección 5: Experimentos sobre la óptica y la física atómica y nuclear. Alemania
Federal. PASCO Scientific, manuales de instrucciones variados sobre prácticas de óptica. Estados Unidos. Textos generales de física D. Halliday, R. Resnick, K. Krane, Física Vol. 2, versión ampliada. 3ª edición. Compañía Editorial
Continental S. A., México, 1994. D. Halliday, R. Resnick, Fundamentos de Física, versión ampliada. Compañía Editorial Continental S. A.
de C. V., México, 1986. M. Alonso, E. J. Finn, Física Vol. 2, Campos y Ondas. Fondo Educativo Interamericano, México, 1985. R. Eisberg, L. Lerner, Física, Fundamentos y Aplicaciones. Vol. 2. McGraw Hill, New York, Estados
Unidos, 1984.
113
A. Soler, P. Negro, Física Práctica Básica. Editorial Alhambra, Madrid, España, 1973. Textos generales de electrónica R. Boylestad y L. Nashelsky, Electrónica, teoría de circuitos. 4ª edición. Prentice Hall Hispanoamericano
S. A., México, 1989. J. Millman, C. Halkias, Electrónica, fundamentos y aplicaciones. Editorial Hispano Europeo, España,
1979. J. J. Brophy, Basic Electronics for Scientists. McGraw Hill Book Co., Estados Unidos, 1977. R. R. Benedict, N. Weiner, Circuitos electrónicos industriales y sus aplicaciones. Urmo, España, 1976. J. Millman, C. C. Halkias, Integrated Electronics: analog and digital circuits and systems. McGraw-Hill
Book Co., Estados Unidos, 1972. Boylestad, Nashelsky, Electrónica: Teoría de Circuitos y Dispositivos Electrónicos, Prentice Hall ,Octava
edición, pags. 998, 1004 Textos avanzados y otros M. Zeilik, Astronomy, The Evolving Universe. 8ª edición. John Wiley & Sons, Inc., Estados Unidos,
1997. I. Miller, J. E. Freund, Probabilidad y Estadística para Ingenieros. 3ª edición. Prentice-Hall
Hispanoamericana, México, 1987. R. C. Weast (editor), CRC Handbook of Chemistry and Physics. 59ª edición. CRC Press, Inc., Florida,
Estados Unidos, 1979. J. Marion, Classical Dynamics of Particles and Systems. Academic Press, Inc., Estados Unidos, 1970. E. Hecht, A. Zajac, Óptica. Fondo Educativo Interamericano, S.A., Estados Unidos, 1977. Infografía http://www.electrónica2000.net/curso elect/leccion12.htm http://www.electronica2000.com/fuentes/fuenreg.htm
