UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA DEL CONO SUR DE LIMA

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ING. ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

LABORATORIO N 5

TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

Docente: Ing. Gustavo Paz Purizaca.

Presentado por: Yupanqui Ttito, Edgar S.

MATRIZ

Introducción

Las matrices y los determinantes son herramientas del ´algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.

Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton.

Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales, Económicas y Biológicas.

Definición

Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:

Abreviadamente se puede expresar A = (aij). Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna. Así el elemento a23 esta en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representaran con letras mayúsculas.

Tipos de matrices

1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.Por ejemplo,

es una matriz nula de tamaño 2x5.2. Se llama matriz fila a la que solo tiene una fila, es decir su dimensión es 1xn.

Por ejemplo,

es una matriz fila de tamaño 1x4.

3. Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será mx1, como por ejemplo:

es una matriz columna de tamaño 3x1.

ALGUNAS FUNCIONES BÁSICAS DE MATRICES EN MATLAB:

Funcion Descripcióneye matriz identidadzeros matriz de cerosones matriz de unosdiag matriz diagonaltriu matriz triangular superiortril matriz triangular inferiormagic cuadrado mágicorand matriz de números. aleatoriosinv(x) Calcula la inversa de una

matriz cuadradadet(x) Calcula el determinante de

una matriz cuadradatoeplitz(v) define una matriz simétrica de

diagonal constante con v como primera fila y primera columna.

toeplitz(w, v) define una matriz simétrica de diagonal constante con w como primera columna y v como primera fila.

trace(A) es la traza = suma de los elementos de la diagonal = suma de autovalores.

imshow(f,G) donde f es la imagen a mostrar y G es el número de nivelesde intensidad a mostrar.

LA TRANSFORMADA RAPIDA DE FOURIER

Considérese la Transformada Discreta de Fourier (DFT):

X( )n

= 0

N 1

k

.x 0( )k exp....j 2 n k

N

..n 0 N 1 (22-1)

donde se ha remplazado k.T por k y n/N.T por n por conveniencia de notación.

Se percibe que la ecuación (22-1) describe el cómputo de N ecuaciones. Por ejemplo, si N = 4 y si se hace:

W exp..j 2

N

(22-2)

la expresión (22.1) puede ser escrita como:

X( )0 .x 0( )0 W0 .x 0( )1 W

0 .x 0( )2 W0 .x 0( )3 W

0

X( )1 .x 0( )0 W0 .x 0( )1 W

1 .x 0( )2 W2 .x 0( )3 W

3

(22-3)

X( )2 .x 0( )0 W0 .x 0( )1 W

2 .x 0( )2 W4 .x 0( )3 W

6

X( )3 .x 0( )0 W0 .x 0( )1 W

3 .x 0( )2 W6 .x 0( )3 W

9

Las ecuaciones anteriores pueden ser más fácilmente representadas en forma matricial:

X( )0

X( )1

X( )2

X( )3

.

W0

W0

W0

W0

W0

W1

W2

W3

W0

W2

W4

W6

W0

W3

W6

W9

x 0( )0

x 0( )1

x 0( )2

x 0( )3

(22-4)

o más compactamente:

X( )n .W.n kx 0( )k

(22-5)

El examen de (22-4) revela que ya que W y posiblemente x0(k) sean complejas, entonces son

necesarias N2 multiplicaciones complejas y N.(N-1) adiciones para realizar el cómputo matricial requerido.

La FFT debe su éxito al hecho que el algoritmo reduce el número de multiplicaciones y adiciones requeridas en el cálculo de (22-4). Ahora se discutirá, a nivel intuitivo, como se lleva a cabo esta reducción.

PROPIEDAD DE LINEALIDAD

function [y1,y2]=linealidad(n)x1=rand(n);x2=rand(n);X1=fft(x1);X2=fft(x2);X=7*x1+5*x2;y1=fft(X)y2=7*X1+5*X2end

ConclusiónComo se ve en las dos últimas imágenes, se comprueba la propiedad de la linealidad. El espectro de la suma de dos matrices es igual a la sumas de los espectros de dichas matrices.

PROPIEDAD DEL DESPLAZAMIENTO

function [y1,y2]=desplazamiento(n)x1=rand(n,n);a=zeros(n,4);b=zeros(4,n+4);x11=[x1 a;b]X11=fft(x11)x12=[b;a x1];X12=fft(x12)y1=det(X11)y2=det(X12)end

ConclusiónPrimero creamos una matriz dentro de otra y rellena de ceros, luego realizamos el espectro de dicha función y la comparamos con el espectro de misma matriz pero estas ves la matriz pequeña se desplaza a otra posición cuales quiera. Se comprueba que los espectros son los mismo solo que están desplazados.

PROPIEDAD DE LA SEPARABILIDAD

function [y1,y2]=separabilidad(n)x1=rand(3,1);X1=fft(x1);x2=rand(1,3);X2=fft(x2);x3=x1*x2;ty1=fft(x3)ty2=X1*X2end

ConclusiónEn esta ocasión no se pudo comprobar la propiedad de separabilidad en el programa Matlab. Queda pendiente su resolución.

PROPIEDAD DE SIMETRIA CONJUGADA

function [y]=simetria(n) a1=4*rand(n) x1=round(a1)X1=fft(x1) end

ConclusiónSe comprueba la propiedad de la simetría, se puede ver en la imagen que los valores de cada columna se repiten simétricamente a excepción de la primera fila de la matriz.

PROPIEDAD DE LA ROTACION

ConclusiónLamentablemente no se pudo comprobar esta propiedad.

PROPIEDAD DEL ESCALADO

function [y1,y2]=escalado(n) m1=round(1+3*rand(n,1)); m2=round(2+5*rand(n,1)); m3=round(3+2*rand(n,1)); z1=zeros(n,2); z2=zeros(n,2); d1=[m1 z1 m2 z2 m3]; x1=[m1 m2 m3] A1=d1(1:1,1:7);A2=d1(2:2,1:7);A3=d1(3:3,1:7); z=zeros(2,n+4);

A=[A1;z];B=[A2;z];C=[A;B];x2=[C;A3]

X11=fft(x1) y1=det(X11) X22=fft(x2) y2=det(X22)

ConclusiónSe realiza una matriz aleatoria y luego se intercalan dos ceros entre cada uno de los valores originales, incrementando por tres cada una de sus dimensiones.

PROPIEDAD DE RELLENADO CON CEROS

function [y1,y2]=rellenado(n,n1)

n1=n+4;x1=5*rand(n,n); x1=round(x1) a=zeros(n,4); b=zeros(4,n1); x2=[x1 a;b] X11=fft(x1); X12=fft(x2); Y1=(X11) Y2=(X12) end

TAREA:

1. Grabar un archivo de sonido con su voz (Pronunciar correctamente su nombre y apellidos, visualizar en la gráfica característica de dicho archivo en Matlab).

x=wavread('nombre2.wav');figure (1)plot(x)Y=fft(x);A=Y.*conj(Y); f=(100:3000);figure (2)plot(f,A(1:2901))

0 2 4 6 8 10 12 14 16

x 104

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10x 10

6

ConclusiónEn la primera imagen de su puede apreciar el grafico de la señal de voz obtenida de un audio grabado en formato “wav”. (En este caso mi nombre completo dicho por mi persona). Y en la siguiente imagen se aprecia el espectro de mi voz en frecuencia.