MECANICA DE FLUIDOS II

Flujo Compresible

Laboratorio 3

Segunda parte

Onda de choque oblicuo y ondas de expansión de Prandtl-Meyer en

flujo bidimensional

Objetivos:

─ Estudiar el fenómeno de onda de choque oblicuo y de onda de expansión de Prandtl-Meyer para

un flujo bidimensional con respecto a la onda.

─ Apreciar el cambio en las propiedades del flujo, al darse una de onda de choque oblicuo y de

onda de expansión de Prandtl-Meyer.

─ Realizar un problema representativo de onda de choque oblicuo y de onda de expansión de

Prandtl-Meyer.

Introducción:

A pesar de lo visto hasta el momento; en general una onda de choque hará un ángulo oblicuo con

respecto a flujo incidente en la onda. Una onda de choque normal es simplemente un caso especial de la

familia general de ondas de choque oblicuo, nombrada de esta manera porque el ángulo que hace la onda

con el flujo incidente es de 90 grados.

Figura 1. Flujo supersónico incidente sobre una superficie cóncava, produciendo una onda de choque

oblicuo.

En términos generales, cuando un flujo supersónico es “girado hacia sí mismo” a un ángulo

dado, ocurre una onda de choque oblicuo.

Ahora bien, consideremos el siguiente ejemplo para comprender un poco mejor a las ondas de

choque oblicuo. Pensemos en una pequeña fuente de perturbación moviéndose a través de un gas

estancado; a dicha fuente le llamaremos “beeper”.

Si consideramos que la velocidad del beeper es de y que en un tiempo , este se localiza en un

punto A y emite una onda que se propaga en todas las direcciones a la velocidad del sonido . En un

segundo instante, durante un tiempo , está onda sónica se ha propagado a una distancia del punto A, y

es representada por el circulo de radio en la figura 2. Durante este mismo tiempo el beeper se ha

movido una distancia y se encuentra ahora en el punto B.

Si el beeper se mueve supersónicamente ( ), el beeper se mantendrá constantemente fuera de la

familia de ondas sónicas (entre el intervalo desde 0 hasta t, se han emitido una serie de ondas sónicas al

moverse el beeper de A hasta B). Aquí el frente de estas ondas crea una perturbación que es tangente a las

mismas; y que es descrita por la línea BC en la figura 2.

Esta línea de perturbación es definida como el cono de Mach. Adicionalmente, el ángulo ABC es el

ángulo de apertura del cono de Mach, .

Figura 2. Propagación de una perturbación en un flujo supersónico.

De la geometría de la figura 2, se deduce que es función del número de Mach local , de

acuerdo a:

Como se puede ver esta línea de perturbación es claramente oblicua a la dirección del

movimiento. En caso de que las perturbaciones sean mayores que una simple onda sónica, el frente de la

onda se volverá mayor en comparación al apreciado cuando se forma el cono de Mach, y se creará una

onda de choque oblicuo a un ángulo con respecto al flujo libre, como se aprecia en la figura 3.

Figura 3. Relación entre el ángulo de la onda de choque y el ángulo de apertura del cono de Mach.

Una vez comprendido lo anterior, podemos mencionar las relaciones entre las propiedades antes y

después de la onda. Si consideramos el volumen que se aprecia en la figura 4, y suponiendo que la onda

de choque es infinitesimalmente delgada, que se dan condiciones de estado estable, flujo estable, que el

proceso a través de la onda de choque es adiabático, que el área de sección transversal a ambos lados de la

onda de choque es la misma, que no hay dispositivos de transferencia o extracción de potencia, que no

hay cambios de energía potencia, que la fricción puede despreciarse, que el aire se comporta como gas

ideal con calores específicos constantes, y que el proceso se da de forma isoentrópica antes y después,

mas no durante de la onda de choque; a partir de las ecuaciones de conservación de masa, de energía y de

cantidad de movimiento lineal, se pueden desarrollar expresiones que relacionan las propiedades antes y

después de la onda de choque oblicuo. A continuación se listan estas ecuaciones:

Figura 4. Geometría de choque oblicuo.

(1)

(2)

(3)

(4)

Y teniendo presente que:

; la ecuación (4) podría re

escribirse como:

(5)

Es importante notar que las ecuaciones derivadas del principio de conservación de masa, de

energía y de momentum lineal puede ser expresadas de manera que solo involucren las

componentes normas de las velocidades ( ). Estas mismas ecuaciones son las que

permitieron desarrollar las expresiones que relacionaban las propiedades de entrada y salida a

una onda de choque normal. La única variante que habría que tener presente es que, para el

caso de las ondas de choque oblicuo estas ecuaciones van a depender de la componente

normal del número de Mach local ( ). De la geometría de la figura 4, se deduce que:

También de la geometría se deduce que:

Donde , es la componente normal del número de Mach a la salida de la onda de choque

oblicuo y va a depender de la componente normal del número de Mach a la entrada de la onda

de choque oblicuo. En tanto, el ángulo , es el ángulo de deflexión de la onda. Se puede

demostrar que este ángulo depende únicamente de dos propiedades y :

Sí se graficará la ecuación anterior para diferentes ángulos de deflexión y número de Mach

, se obtendrían diferentes ángulos que hace la onda de choque oblicua con respecto al flujo.

Figura 5. Variación del ángulo de la onda de choque con el ángulo de deflexión del flujo para

diferentes número de Mach , gas perfecto con .

Del gráfico anterior se pueden hacer las siguientes observaciones:

Para un dado, hay un ángulo de deflexión máximo ( ). Sí la geometría existente es

tal que , entonces no existe solución para la onda de choque oblicua. En estos

casos la naturaleza establece una onda de choque curva, como se observa en la figura 6.

Figura 6. Onda de choque curva.

El valor de incremente con , por lo tanto, a mayores número de Mach la solución

para una onda de choque oblicuo puede existir a mayores ángulos de deflexión. En el caso

del aire ( ) , cuando tiende al infinito.

Para cualquier valor de menor que ; hay dos posibles soluciones de para un

valor de dado. Asociado al menor valor de se encuentra la solución a la onda de

choque oblicua débil, y asociado al mayor valor de se encuentra la solución a la onda de

choque oblicua fuerte. Esta clasificación de “débil” y “fuerte” atiende al hecho de que

para un dado; entre mayor sea el ángulo de la onda, mayor será la componente normal

del número de Mach a la entrada de la onda, y consecuentemente mayor será el aumento

de presión local. En la naturaleza la solución débil generalmente es la que prevalece. Por

lo tanto se puede suponer que al darse una onda de choque oblicuo, casi siempre la

solución que se presenta es la “débil”; a menos que se dé información, que

especifique lo contrario.

En el gráfico hay una curva que conecta todos los puntos asociados a Para los

diferentes valores de . Esta es la curva que divide la solución “débil” de la “fuerte”.

Justo debajo de esta línea hay otra curva cóncava que divide al flujo subsónico del

supersónico después de la onda. Es decir en ella el flujo es sónico, y por encima de ella

, y por debajo .

Sí , entonces será igual a 90° o a . El primer caso es cuando se da una onda de

choque normal, y el segundo es cuando se forma el cono de Mach.

Por otra parte, las ondas de choque oblicuas pueden sufrir diferentes interacciones e incluso ser

reflejadas. Este es el caso cuando el flujo pasa por una onda de choque oblicuo y es limitado por una

superficie horizontal inmediatamente (ver figura 7). Aquí la onda de choque debe reflejarse para

garantizar que el flujo sea tangente a la superficie horizontal.

Figura 7. Onda de choque reflejada sobre una superficie solida horizontal.

De igual manera, debemos mencionar a la antítesis de las ondas de choque oblicuo; las ondas de

expansión de Prandtl-Meyer. Este fenómeno se da cuando un flujo supersónico es “girado hacia afuera de

sí mismo”, como se muestra en la figura 8.

Figura 8. Flujo supersónico incidente sobre una superficie convexa, produciendo una onda de expansión

de Prandtl-Meyer.

La figura anterior muestra al abanico de expansión; este puede ser visualizado como un número

infinito de ondas de Mach (ver concepto de cono de Mach); cada una con un ángulo dado.

Sí observamos la figura 9, el abanico de expansión está limitado por una onda de Mach que hace un

ángulo con respecto al flujo entrante; y por una onda de Mach que hace un ángulo con respecto al

flujo saliente del abanico. Se debe resaltar que como el abanico está formado por una sucesión continua

de ondas de Mach, el proceso a través de este fenómeno es isoentrópico; siempre y cuando no exista

transferencia de calor.

Figura 9.Relación entre , y en una onda de expansión de Prandtl-Meyer.

Ahora bien, a partir de la construcción geométrica para cambios infinitesimales del ángulo de

deflexión (d ) a través de una onda de expansión infinitesimalmente débil, de la definición del número de

Mach ( ) y del ángulo de Mach ( ) se puede desarrollar una expresión que relacione el ángulo de

deflexión con los números de Mach antes y después del abanico de expansión:

De donde se encuentra que:

Esta es la llamada función de Prandtl-Meyer, la cual al integrar queda como:

Finalmente la ecuación para el ángulo de deflexión mostrada anteriormente se puede re escribir como:

Lo anterior deja claro, que cuando se da una onda de expansión de Prandtl-Meyer, será función de

y . Problemas:

1. Considere un flujo de aire a un número de Mach de 4. Si se desea llevar este flujo a un régimen

subsónico por medio de un sistema de ondas de choque con la menor perdida de presión total posible.

¿Cuál de las siguientes configuraciones sería la más eficiente?

a. Onda de choque normal.

b. Onda de choque oblicuo con un ángulo de deflexión de 25.3°, seguida por una onda de choque normal.

c. Onda de choque oblicuo con un ángulo de deflexión de 25.3°, seguida por una segunda onda de choque

oblicuo con un ángulo de deflexión de 20°, seguida está a su vez por una onda de choque normal.

d. Onda de choque oblicuo con un ángulo de deflexión de 25.3°, que es reflejada sobre una superficie

horizontal.

2. Considera un flujo supersónico que incide sobre una superficie convexa formando una onda de

expansión de Prandtl-Meyer, como se observa en la figura 9. Sí el ángulo de deflexión es de 23.38°, y

sabiendo que el número de Mach a la entrada del abanico de expansión es de 2, la presión y temperatura

local tienen un valor de 101.325 kPa y 450 K, respectivamente. Determine:

a. El número de Mach a la salida del abanico de expansión.

b. La presión (kPa), la temperatura (K) y la densidad a la salida del abanico (kg/m3).

c. La presión de estancamiento (kPa) y la temperatura de estancamiento (K) a la entrada y a la salida del

abanico.

d. Los ángulos que forman las ondas de Mach ( ) que delimitan al abanico de expansión.

Nota: Para ambos problemas suponga que el aire se comporta como gas ideal con calores

específicos constantes, que en el proceso se puede ignorar la fricción y que se da de forma adiabática.

Asignación complementaria:

A partir de la función de Prandtl-Meyer, determine los diferentes valores de , para un rango

de , en intervalos de 0.02.

Nota: Se recomienda generar esta tabla antes de resolver el problema.

Referencias:

─ Anderson, John D., 2005, FUDAMENTOS DE AERODINAMICA, McGraw-Hill.

─ Çengel, Y., Cimbala, J., 2007, MECANICA DE FLUIDOS: Fundamentos y Aplicaciones,

McGraw-Hill.