Lab Oratorios Resueltos Mate III

LABORATORIO I

1. DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES CUALES SON EDO Y CUALES SON EDP.

SOLUCION:

∂ z∂ x

+ ∂ z∂ y

=x+ y Ecuación diferencial parcial

dzdx

+x+ y=0 Ecuación diferencial ordinaria

dzdx

−xy=sin θ Ecuación diferencial ordinaria

∂2 z∂ x2

−xy ∂ z∂ y

= y Ecuación diferencial parcial

d2 yd x2

+¿ Ecuación diferencial ordinaria

∂ p∂ t

+ ∂ p∂x

=tx Ecuación diferencial parcial

2. DETERMINAR EL ORDEN EN CADA UNA DE LOS EDO.

SOLUCION:

( dyd x2 )2

+ dydx

+ y=2 Ecuación diferencial parcial de primer orden

d4 yd x4

−dydx

+ y=x−4 Ecuación diferencial parcial de cuarto orden

dydx

+ y2 x=tan x Ecuación diferencial ordinaria de primer orden

d3 yd x3

+x dydx

=0 Ecuación diferencial parcial de tercer orden

( d2 yd x2 )5

+( dydx )2

+ y=0 Ecuación diferencial parcial de segundo orden

dydx

+¿ Ecuación diferencial ordinaria de primer orden

3. CUAL DE E.D.O DEL EJERCICIO (2) SON LINEALES Y CUALES NO.

SOLUCION:

( dyd x2 )2

+ dydx

+ y=2 Lineal

d4 yd x4

−dydx

+ y=x−4 Lineal

dydx

+ y2 x=tan x No lineal

d3 yd x3

+x dydx

=0 Lineal

( d2 yd x2 )5

+( dydx )2

+ y=0 Lineal

dydx

+¿ No lineal

4. DEMUESTRE QUE Y¿ x2 ES UNA SOLUCIÓN EXPLICITA DE:

xdydx

=2 y

SOLUCION:

y=x2

dydx

=2x xdydx

=2 y

x (2 x )=2 (x2 )

2 x2=2x2

5. DEMUESTRE QUE y=ex−x ES UNA SOLUCIÓN EXPLICITA DE:dydx

+ y2=e2x+(1−2x )ex+x2−1

SOLUCION:

y=ex−x

dydx

=ex −¿ X ¿ex−1

ex−1+(ex−x )2=e2x+(1−2x )ex+x2−1

ex−1+(e2x−2ex x+x2)=e2x+(1−2x )ex+x2−1

e2x+ex (1−2x )+x2−1=e2x+(1−2x )ex+x2−1

6. DETERMINE PARA QUE VALORES DE M LA FUNCIÓN G(X)=emx ES

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DADA:d2 ydx2

+6 dydx

+5 y=0

SOLUCION:

y´=memx m2 emx+6memx+5emx=0

y´ ´=m2 emx emx (m2+6m+5 )=0

m 5 = ; m= -5

m 1 = ; m=-1

7. DETERMINE PARA QUE VALORES DE M LA FUNCIÓN G(X)=em ES SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DADA:

x2d2

dx2+x dydx

− y=0

SOLUCION:

y´=mxm−1

y´ ´=(mxm−1¿=m(m-1)x(m−1−1)

y´ ´=m2−m xm−2

Remplazando en la ecuación:

x2 (m2−m )mm−2+xmxm−1−xm=0

x2 (m2−m )xm−2+mxm−xm=0

m2 xm−mxm+xmm−xm=0

m2 xm−xm=0

xm (m2−1 )=0

m2=√1

m =1

LABORATORIO N° 2

1._RESUELVE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS, SUJETOS A CONDICIONES DONDE SE DAN:

A)

dydx

=−xy

; y(1)=2

SOLUCION:

y .dy=−x .dx

y .dy+ x .dx=0

∫ x .dx+∫ y .dy=C

x2

2+ y

2

2=C

Para y (1) = 2

12

2+ 2

2

2=52

B)

3 x ( y2+1 )dx+ y (x2+2 )dy=0

SOLUCION:

3 x ( y2+1 )dx=− y (x2+2 )dy

3x

x2+2dx= − y

y2+1dy

3x

x2+2dx+ y

y2+1dy=0

∫ 3 x

x2+2dx+∫ y

y2+1dy=C

32ln (x2+2 )+ 1

2ln ( y2+1)=C

3. ln (x2+2 )+ln ( y2+1)=C

ln ⟦ (x2+2 )3 .( y2+1)⟧=C

(x2+2 )3 .( y2+1)=C

( y2+1)= C

(x2+2 )3

y=√ C

(x2+2 )3−1

C)

2 ydx+e−3x dy=0

SOLUCION:

2 ydx=−e−3 xdy

dx

e−3x=−dy2 y

dx

e−3x+ dy2 y

=0

∫ dx

e−3x+∫ dy2 y=C

13∫e

3x 3dx+∫ dy2 y=C

13e3x+ 1

2ln( y)=C

2e3x+3. ln ( y )=C

2e3x+ ln ( y3 )=C→

e2e3 x

+e ln ( y3 )=C

e2e3 x

+ y3=C

y=3√C−e2e

3 x

y=3√(C−e2e

3 x

)2

D)

dydx

= x+x y2

4 y ; y(1)=0

SOLUCION:

4 ydy=x (1+ y2)dx

∫ 4 y

1+ y2dy=∫ x dx

2∫ 2 y

1+ y2dy=∫ x dx

ln|1+ y2|= x2

4+C

ln|1+ y2|− x2

4=C

Para y(1) = 0

ln|1+ y2|− x2

4=ln|1+02|−1

2

4=−14

E)

dydx

=3 x2+4 x+22 y+1

; y(0)= -1

SOLUCION:

(2 y+1 )dy=(3 x2+4 x+2 )dx

∫ (2 y+1 )dy=∫ (3 x2+4 x+2 )dx

y2+ y=x3+2 x2+2 x+C

y2+ y−x3−2 x2−2 x=C

Para y(0) = -1

(−1)2+−1−03−2(0)2−2 (0 )=0

F)

(x y2+4 y2 )dy−5 x .dx=0

SOLUCION:

y2 ( x+4 )dy=5x .dx

∫ y2dy=∫ 5 x( x+4 )

dx

y3

3=5(4+x−4. ln|x+4|)

y3

3−5(4+x−4. ln|x+4|)=C

2._LA PENDIENTE DE UNA FAMILIA DE CURVAS EN CUALQUIER PUNTO (X,Y) ESTA DAD POR

dydx

=3 x+x y2

2 y+x2 y; HALLE LA ECUACIÓN DEL MIEMBRO DE LA FAMILIA

QUE PASA POR (2,1).

dydx

=3 x+x y2

2 y+x2 y

dydx

=x (3+ y2)y (2+x2)

y

3+ y2dy= x

2+x2dx

∫ y

3+ y2dy=∫ x

2+x2dx

12∫

2 y

3+ y2dy=1

2∫2x

2+x2dx

12ln|3+ y2|=1

2ln|2+x2|

3+ y2=2+ x2+C

y2−x2+1=C

Para el punto (2,1):

12−22+1=−2

ECUACIONES HOMOGENEAS:

3)

(x¿¿2+ y2)dx+2 xy .dy=0¿

SOLUCION:

∂(x¿¿2+ y2)∂ y

=2 y ¿

Por lo tanto es exacta.

∂(2 xy)∂ x

=2 y

F ( x , y )=∫(x¿¿2+ y2)dx+g ( y)¿

∂F∂ y

= ∂∂ y

¿

2 xy= ∂∂ y ( x

3

3+ y2 x)+ dgdy

2 xy=2 xy+ dgdy

dgdy

=0

Por lo tanto g(y) = 0 ; g(y) = C

F ( x , y )= x3

3+ y2 x

x3

3+ y2 x=C

4)

( y2−xy )dx+x2dy=0

SOLUCION:

Dividimos a todos losmiembros entre x2 para darle forma de

yx=v

y=x . v→dydx

=x dvdx

+v

( y2−xy )x2

dx+ x2

x2dy=0

[( yx )2

− yx ]dx+dy=0

(v2−v )=−dydx

(v2−v )=−(x dvdx +v )v2−v=−x dv

dx−v

dxx

=−v2dv

dxx

+v2dv=0

∫ dxx +∫ v2dv=C

ln|x|+ v3

3=C

ln|x|+( yx )

3

3=C

3. ln|x|+ y3

x3=C

5)

dydx

= y2+x √x2+ y2xy

SOLUCION:

dydx

= y2

xy+ x √ x

2+ y2

xy

dydx

= yx+ √x2+ y2

y

dydx

= yx+√ x2+ y2y2

dydx

= yx+√ 1

( yx )2+1

xdvdx

+v=v+√ 1

(v )2+1

xdvdx

=√ 1

(v )2+1

dv

√ 1

(v )2+1

=dxx

6)

(3 x2− y2 )dx+(x−x3 y−1 )dy=0

SOLUCION:

Dividimos acadaunode losmiembros entre y2 paraformaryx=v

(3 x2− y2 )y2

dx+(x−x3 y−1)y2

dy=0

[3( 1v )−1]dx+[ 1v− 1

v3 ]dy=0

[ 3−vv ]dx+[ v2−1v3 ]dy=0[ 3−vv ][ v2−1v3 ]

=−dydx

3v3−v4

v3−v=−[v+x dvdx ]

3v2−v3

v2−1=−v−x dv

dx

3v2−v3

v2−1+v=−x dv

dx

3v2−v3+v3−vv2−1

=−x dvdx

3v2−vv2−1

=−x dvdx

dxx

+ v2−1

3v2−vdv=0

∫ dxx

+∫ v2−13 v2−v

dv=C

ln|x|+ 16∫ (6v¿¿2−6)

3 v2−vdv=C ¿

ln|x|+ 16∫ (6v¿¿2−6+5)−5

3v2−vdv=C ¿

ln|x|+ 16∫ (6v¿¿2−1)−5

3v2−vdv=C ¿

ln|x|+ 16∫ ¿¿

ln|x|+ 16

¿

ln|x|+ 16 [ ln|3 v2−v|−5∫ dv

v (3v−1) ]=Cln|x|+ 1

6[ln|3v2−v|−5……. ]=C

7)

dyd x

= y ¿¿

SOLUCION:

Debemos formaryx=v

dydx

= yx [ ln( yx )+1]

xdvdx

+v=v [ ln v+1 ]

xdvdx

+v=v . ln v+v

xdvdx

=v . ln v

dvv . ln v

=dxx

∫ dvv . ln v

=∫ dxxln|ln v|=lnx+C

ln v=x+C

ln ( yx )=x+Clny−lnx−x=C

8)

dydx

=x . sec( yx )+ y

x

Y(0)=3

SOLUCION:

Parayx=v dy

dx=x . sec( yx )x

+ yx

dydx

=sec( yx )+ yxxdvdx

+v=sec (v )+v

xdvdx

=sec (v )

dvsec (v )

=dxx

cos (v )dv=dxx

∫cos (v )dv=∫ dxx

sen(v)=ln|x|+C

sen( yx )=ln|x|+C

sen( yx )−ln|x|=C

LABORTORIO 3

ECUACIONES EXACTAS:

1._ESCRIBE CADA ECUACIÓN EN LA FORMA Mdx+Ndy=0 ; PRUEBE LA EXACTITUD, RESUELVA AQUELLAS ECUACIONES QUE SON EXACTAS:

A)

3 xdx+3 ydy=0

SOLUCION:

3 xdx+3 ydy=0

xdx+ ydy=0

∂(x )∂ y

=0

∂( y )∂ x

=0

F (x , y )=∫ xdx+g( y )

∂F∂ y

= ∂∂ y [∫ xdx ]+ dgdy

y= ∂∂ y [ x

2

2 ]+ dgdyy=0+ dg

dy

ydy=dg

∫ ydy=∫ dg

y2

2=g ( y)

Reemplazando g ( y ) en laecuacion :

F ( x , y )=∫ xdx+g ( y )

F ( x , y )= x2

2+ y

2

2

x2

2+ y

2

2=C

x2+ y2=C

B)

y´=dydx

= x− yx+ y

SOLUCION:

( x+ y )dy=( x− y )dx

( x− y )dx+(−x− y )dy=0

∂(x− y )∂ y

=−1

∂(−x− y )∂ x

=−1

F ( x , y )=∫ ( x− y )dx+g( y )

∂F∂ y

= ∂∂ y [∫ ( x− y )dx ]+ dgdy

−x− y= ∂∂ y [ x

2

2−xy ]+ dgdy

−x− y=−x+ dgdy

(− y )dy=dg

∫ (− y )dy=∫ dg

− y2

2=g ( y )


F ( x , y )=∫ ( x− y )dx+g( y )

F ( x , y )=[ x22 −xy ]− y22x2

2− y

2

2−xy=C

C)

2 xydydx

=x2− y2

SOLUCION:

2 xydy=(x2− y2 )dx

(x2− y2 )dx+(−2xy )dy=0

∂(x¿¿2− y2)∂ y

=−2 y¿

∂(−2 x y )∂ x

=−2 y

F ( x , y )=∫ (x2− y2 )dx+g( y )

∂F∂ y

= ∂∂ y [∫ (x2− y2 )dx ]+ dgdy

−2 xy= ∂∂ y [ x

3

3−x y2]+ dgdy

−2 xy=−2 xy+ dgdy

0=dgdy

Por lo tantog ( y )=0 ; g( y )=C


F ( x , y )=∫ (x2− y2 )dx+g( y )

F ( x , y )=[ x33 −x y2]+0x3

3−x y2=C

D)

y´=dydx

= xx+ y

SOLUCION:

( x+ y )dy=x .dx

x .dx+(−x− y )dy=0

∂(x )∂ y

=0

la ecuaciondiferencial no esexacta

∂(−x− y )∂ x

=−1

E)

dydx

= x− y . cosxsenx+ y

SOLUCION:

( senx+ y )dy=( x− y . cosx )dx

( y . cosx−x )dx+(senx+ y )dy=0

∂( y . cosx−x )∂ y

=cosx

∂(senx+ y )∂ x

=cosx

F ( x , y )=∫( y . cosx−x)dx+g ( y )

∂F∂ y

= ∂∂ y [∫ ( y . cosx−x )dx ]+ dgdy

senx+ y= ∂∂ y [ y . senx− x

2

2 ]+ dgdysenx+ y=senx+ dg

dy

y=dgdy

y .dy=dg

∫ y .dy=∫ dg

y2

2=g ( y)


F ( x , y )=∫ ( y . cosx−x )dx+g ( y )

F ( x , y )= y . senx− x2

2+ y

2

2

y . senx− x2

2+ y

2

2=C

F)

drdφ

= r2. senφ2r .cosφ−1

SOLUCION:

(2 r .cos φ−1 )dr=(r2 . sen φ )dx

(r2 . sen φ )dφ−(2r .cos φ−1 )dr=0

(r2 . sen φ )dφ+(1−2r .cosφ )dr=0

∂(r2 . sen φ)∂r

=2 r . sen φ

∂(1−2r .cosφ)∂φ

=−2 r (−sen φ )=2r . sen φ

F (r ,φ )=∫ (r2 . senφ )dr+g(r )

∂F∂φ

= ∂∂φ [∫ (r2 . senφ )dr ]+ dgdφ

1−2 r .cosφ= ∂∂φ [ r33 . senφ]+ dgdr

1−2 r .cosφ= r3

3.cosφ+ dg

dr

1−2 r .cosφ− r3

3.cosφ=dg

dr

(1−2r .cos φ− r33 .cosφ)dr=dg

∫(1−2 r .cosφ− r33 .cosφ)dr=∫ dgr−r2 .cos φ− r

4

12.cos φ=g(φ)

r−(r 2+ r412 ) .cosφ=g(φ)Reemplazando g (φ ) en la ecuacion :

F (r ,φ )=∫ (r2 . senφ )dr+g(r )

F (r ,φ )= r3

3. sen φ+r−(r2+ r 412 ) .cos φ

r3

3. sen φ+r−(r2+ r412 ) .cosφ=C

G)

( y . e−x−sen x )dx−(e−x+2 y )dy=0

SOLUCION:

( sen x− y . e−x )dx+(e− x+2 y )dy=0

∂ (sen x− y . e− x)∂ y

=−e−x

∂ (e−x+2 y )∂ x

=−e− x

F ( x , y )=∫ ( sen x− y . e−x )dx+g ( y )

∂F∂ y

= ∂∂ y [∫ ( sen x− y . e−x )dx ]+ dgdy

e− x+2 y= ∂∂ y

[−cos x+ ye− x ]+ dgdy

e− x+2 y=e−x+ dgdy

2 y=dgdy

2 y .dy=dg

∫2 y .dy=∫dg

y2=g( y)

Reemplazando g ( y ) en laecuación :

F ( x , y )=∫ ( sen x− y . e−x )dx+g ( y )

F ( x , y )=−cos x+ y e−x+ y2

−cos x+ y e− x+ y2=C

H)

(x2+ yx )dx+ ( ln x+2 y )dy=0

SOLUCION:

∂(x2+ yx )∂ y

=1x

∂ (ln x+2 y )∂x

=1x

F ( x , y )=∫(x2+ yx )dx+g ¿

∂F∂ y

= ∂∂ y [∫( x2+ yx )dx ]+ dgdy

ln|x|+2 y= ∂∂ y [ x

3

3+ y . ln|x|]+ dgdy

ln|x|+2 y=ln|x|+ dgdy

2 y=dgdy

∫2 y .dy=∫dg

y2=g( y)


F ( x , y )=∫(x2+ yx )dx+g ( y )

F ( x , y )= x3

3+ y . ln|x|+ y2

x3

3+ y . ln|x|+ y2=C

2._RESUELVA CADA ECUACIÓN SUJETA A LAS CONDICIONES INDICADAS:

dydx

= y−2x2 y−x

; y (1 )=2

SOLUCIÓN:

(2 y−x )dy=( y−2x )dx

( y−2x )dx+ ( x−2 y )dy=0

∂( y−2x )∂ y

=1

∂(x−2 y )∂ x

=1

Dividimos entre x acadamiembro endonde ayx=v ; dy

dx=x dvdx

+v

( yx −2 xx )dx+( xx−2 yx )dy=0

( v−2 )dx+ (1−2v )dy=0

( v−2 )dx=(2v−1 )dy

(v−2 )(2v−1 )

=dydx

(v−2 )(2v−1 )

=x dvdx

+v

(v−2 )−v (2v−1)(2v−1 )

=xdvdx

v−2−2v2+v2v−1

=x dvdx

−2(1−v2)2v−1

=x dvdx

dxx

=(2 v−1 )

−2(1−v2)dv

dxx

+(2v−1 )2(1−v2)

dv=0

∫ dxx + 12∫

(2v−1 )(1−v2)

dv=C

ln x+ 12 [∫ 2v

1−v2dv−∫ 1

1−v2dv ]=C

ln x+ 12 [−∫ −2v

1−v2dv−∫ 1

1−v2dv ]=C

ln x+ 12 [−ln|1−v2|−12 ln|1+v1−v |]=C

ln x−12ln|(1−v2) .( 1+v1−v )|=C

ln x−12ln|(1−v )(1+v )( 1+v1−v )|=Cln x−1

2ln|(1+v)2|=C

ln x−ln (1+v )=C

ln ( x1+v )=C

ln ( x

1+yx )=C

ln ( x2x+ y )=Cx2

x+ y=C

Para y(1)=2

x2

x+ y= 12

1+2=13

Segunda forma de solución:

dydx

= y−2x2 y−x

; y (1 )=2

(2 y−x )dy=( y−2x )dx

( y−2x )dx+ ( x−2 y )dy=0

F ( x , y )=∫ ( y−2 x )dx+g ( y)

∂F∂ y

= ∂∂ y [∫ ( y−2x )dx ]+ dgdy

x−2 y= ∂∂ y

[ yx−x2 ]+ dgdy

x−2 y=x+ dgdy

(−2 y )dy=dg

−∫ (2 y )dy=∫dg

− y2=g ( y)


F ( x , y )=∫ ( y−2 x )dx+g ( y)

F ( x , y )= yx−x2− y2

yx−x2− y2=C

Para y(1) = 2

yx−x2− y2=2 (1 )−(12 )−(22)=−3

B)

2 xydx+ (x2+1 )dy=0 ; y (1 )=−1

SOLUCION:

∂(2 xy)∂ y

=2 x

∂ (x2+1 )∂ x

=2x

F ( x , y )=∫2xydx+g ( y)

∂F∂ y

= ∂∂ y [∫2 xydx ]+ dgdy

x2+1= ∂∂ y

[ y x2 ]+ dgdy

x2+1=x2+ dgdy

1=dgdy

∫ dy=∫dg

y=g ( y)


F ( x , y )=∫2xydx+g ( y)

F ( x , y )= y x2+ y

y (x2+1 )=C

Para y(1) = -1

y (x2+1 )=−1 (12+1 )=−¿

C)

dydx

=2 x−sen yx .cos y

; y (2 )=0

SOLUCION:

( x .cos y )dy=(2x−seny )dx

( sen y−2 x )dx+¿

∂(sen y−2 x)∂ y

=cos y

∂¿¿

F ( x , y )=∫ (sen y−2 x )dx+g( y)

∂F∂ y

= ∂∂ y [∫ ( sen y−2 x )dx ]+ dgdy

x .cos y= ∂∂ y

[ x . sen y−x2 ]+ dgdy

x .cos y=x .cos y+ dgdy

1=dgdy

∫ dy=∫dg

y=g ( y)


F ( x , y )=∫ (sen y−2 x )dx+g( y)

F ( x , y )=x . sen y−x2+ y

x . sen y−x2+ y=C

Para y(2) = 0

x . sen y−x2+ y=2 ( sen0 )−22+0=−4

3.- RESOLVER:

A)(3 x+2 y2)dx+(2 xy )dy

SOLUCIÓN:

Hallando el factor integrante:

μ ( x )=exp∫ 4 y−2 y2xy

dx

Entonces:

μ ( x )=x

Por lo tanto, la nueva ecuación es:

(3 x2+2x y2 )dx+ (2x2 y )dy=0

dMdy

=dNdxentonces ,4 xy=4 xy….. (laecuacion yaes exacta)

Entonces :N (x , y )= ddy

¿

2 x2 y= d

dy(x3+x2 y2)+g ´ ( y )

2 x2 y=2 x2 y+g´ ( y ) , entonces , g ´ ( y )=0…… .. por lotanto g ( y )=C

Entonces :

F ( x , y )=x3+ x2 y2+c

B)(2 x2− y )dx+xdy=0

SOLUCION:

Hallando el factor integrante:

μ ( x )=exp∫−1−1

xdx

μ ( x )=x−2

*Por lo tanto, la nueva ecuación es:

(2−x−2 y )dx+(x−1 )dy=0

dMdy

=dNdxentonces , x−2=x−2… ..(la ecuacion yaes exacta)


¿

x−1= ddy

(2 x+ yx−1 )+g ´ ( y )

x−1=x−1+g´ ( y ) , entonces ,g ´ ( y )=0…… .. por lotanto g ( y )=C

Entonces :

F ( x , y )=2 x+x−1 y+c

C) ( y¿¿2cos x− y )dx+ (x+ y2 )dy=0¿

SOLUCION:

*Hallando el factor integrante:

μ ( y )=exp∫1– ¿¿¿ ¿

μ ( y )= y−2

*Por lo tanto, la nueva ecuación es:

(cosx− y−1 )dx+(xy−2+1 )dy=0

dMdy

=dNdxentonces , y−2= y−2….. (laecuacion yaes exacta)


¿

xy−2+1= d

dy( senx−x y−1 )+g ´ ( y )

xy−2+1=xy−2+g´ ( y ) , entonces , g ´ ( y )=1…… .. por lotanto g ( y )= y

Entonces :

F ( x , y )=senx−x y−1+ y

LABORATORIO 4

ECUACIÓN DE PRIMER ORDEN LINEAL:

1)

x y ,+4 y=0

SOLUCION:

xdydx

+4 y=0 p(x )=4 ; Q(X)=0

Dividimos entre x:

dydx

+ 4xy=0

Factor integrador:

e∫ 4x dx=¿ e4 ln x=x4¿

Multiplicamos. x4:

(x4 ) dydx

+ 4xy (x4 )=0 (x4 )

Entonces tenemos:

dydx

( y (x4 ))=∫ dx

y (x4 )=x+c

y= x+cx4

2) y,+ yx=2 x+2

SOLUCION:

dydx

+ 1x( y)=2x+2 p (x)=¿

1x

Factor integrador:

e∫ 1x dx=¿e ln x=x ¿

Multiplicamos.x:

(x ) dydx

+ 1x( y)(x )=2 x+2(x)

Entonces tenemos:

dydx

( y (x))=∫2 x2+2 xdx

y (x )=2x3

3+ 2 x

2

2+c

y=

2x3

3+ 2 x

2

2+c

x

3) y ,=ex− y

SOLUCION:

dydx

+ y=ex p(x )=¿ 1

Factor integrador:

e∫1dx=¿e x ¿

Multiplicamos.ex:

(e x) dydx

+ y (ex )=ex (ex)

Entonces tenemos:

(e x) dydx

+ y (ex )=e2x

dydx

( y (ex ))=∫ e2 xdx

dydx

( y (ex ))=12∫ e

2 x2dx

y (ex )=12e2 x+c

y=

12e2x+c

ex

4) y ,+3 y=sen x

SOLUCION:

dydx

+3 y=sin x p(x )=¿ 3

Factor integrador:

e∫3dx=¿e3 x¿

Multiplicamos.e3x:

(e3x ) y ,+3 y (e3x)=(e3 x)sen x

Entonces tenemos:

d ydx

( y (e3x ))=∫e3x sen x dx

y (e3x )= e3x

10¿

y= e3x

10¿¿

5) x sen xdydx

+(sen x+x cos x ) y=x ex

SOLUCION:

Dividimos entrex sin x:

Tenemos:

dydx

+( sen x+x cos x )x sen x

y= x ex

x sen x

dydx

+( 1x +cot x) y= ex

sen x

p(x )=¿ ( 1x +cot x )Factor integrador:

e∫ 1x +cot xdx=¿e ln x+¿ ln|sen x|=xsen x¿ ¿

Multiplicamos.x sen x :

( x sen x ) dydx

+( 1x +cot x) y ( x sen x )=(x sen x ) ex

sen x

( x sen x ) dydx

+( 1x +cot x) y ( x sen x )=(x)ex

dydxy ( x sen x )=∫ x exdx

y ( x sen x )=ex (x−1)+c

y=ex (x−1)+cx sen x

ECUACIONES DE BERNOULLI:

7)

dydx

+2 xy=x2 y5 Dividimos entre: y

3

SOLUCION:

y−3dydx

+2xy−2=x2

v= y−2

−12dvdx

+2 xv=x2

dvdx

+(−4 xv )=−2x2

μx=e∫−4 xdx=e−2 x

2

ddx

∫ ve− 2x2=−2∫ x2 e−2x2dx

ve−2x2

=−2(−x2

4e−2x

2

−18e−2x

2)+c

v=x2

2+14

+c .e2x2

8)

Dividimos entre: y2

SOLUCION:

y−2= x2

2+ 14+c .e2 x

2

dydx

+ yx=xy 2

y−2dydx

+ y−1

x= x

v= y−1

−dvdx

+vx

=x

dvdx

−vx=x

μx=e∫ dxx

μx=x

ddx

∫ vxdx=−∫ x2dx

vx2=−x3

3+c

v=−x3

+c . x−2

y−1=c . x−2−x3

ECUACIONES DE RICCATI

11) dydx

=2− y+ y2 y (x)=2

SOLUCION:

dydx

= y2− y−2 y=μ+1z

p ( x )=1q ( x )=−1 r (x )=−2entonces : y=2+ 1z

dydx

=−z−2 dzdx

−z−2 dzdx

=(2+1z )2

−(2+ 1z )−2−z−2 dz

dx=4+ 4

z+ 1z2

−2−1z−2

−z−2 dzdx

=4 z+1−zz2

−z−2 dzdx

=(3 z+1 )(z−2)

−dzdx

+ (−3 ) z=1 ……(multiplicado por (−¿¿

dzdx

+3 z=−1

Ahora hallamos el factor integrador:

p ( x )=3entonces e∫3dx=e3x

Multiplicamos el factor integrador:

(e3x ) dzdx

+3 (e3 x) z=−e3 x

(e3x ) z=−∫e3x dx

(e3x ) z=−13e3x+c

z=

−13e3 x+c

(e3x )

Entonces la ecuación general es: y=2+1z

Reemplazando (z):

y=2+ 1−13e3 x+c

(e3 x )

12) dydx

=1−x− y+xy2 y (x)=1

SOLUCION:

dydx

=xy2− y−x+1 y=μ+ 1z

p ( x )=xq ( x )=−1 r ( x )=x−1entonces : y=1+1z

dydx

=−z−2 dzdx

−z−2 dzdx

=x (1+ 1z )2

−(1+1z )−( x−1)

−z−2 dzdx

=x+ 2xz

+ xz2

−1−1z−x+1

−z−2 dzdx

=2xz−x−zz2

−z−2 dzdx

=(2 xz−x−z )(z2)

−dzdx

=z (2x−1)−x

−dzdx

−z (2x−1)=−x ……(multiplicado por (−¿¿

dzdx

+z (2 x−1)=x


p ( x )=(2 x−1)entonces e∫2x−1dx=ex2−x


(ex2−x ) dzdx

+z (ex2−x ) (2x−1 )=(ex2−x) x

(ex2−x )z=∫ xex

2− xdx

z=∫ xe x

2− xdx

(ex2−x )

Entonces la ecuación general es: y=1+1z

Reemplazando (z): y=1+ 1

∫ xex2− xdx

(ex2−x )

13) dydx

=−4x2

−1xy+ y2 y (x)= 2

x

SOLUCION:

dydx

= y2−1xy− 4

x2y=μ+ 1

z

p ( x )=1q ( x )=−1xr ( x )=−4

x2entonces : y=2

x+ 1z

dydx

=−2 x−2−z−2 dzdx

−2 x−2−z−2 dzdx

=( 2x +1z )

2

−1x ( 2x +1

z )− 4x2

−2x2

− 1

z2dzdx

= 4

x2+ 4xz

+ 1z2

− 2

x2− 1xz

− 4

x2

−2z2dzdx

= 3xz

−dzdx

=3 z2

2 xz

−dzdx

=3 z2 x

−dzdx

−3 z2 x

=0 ……(multiplicado por (−¿¿

dzdx

+ 3 z2 x

=0


p ( x )=( 32 x

)entonces e∫ 32xdx=e

32ln x

¿ x32


(x32 ) dzdx

+z ( x32 )( 32 x )=(x

32 )(0)

(x32 ) dzdx

+z ( x32 )( 32 x )=0

z ( x32 )=∫ dx

z ( x32 )=x+c

z= x+c

x32

Entonces la ecuación general es: y=2x+ 1z

Reemplazando (z): y=2x+ 1x+c

x32

LABORATORIO 5

A) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:

1). y ,,+ y=0

SOLUCION:

r2+1=0 r=−b±√b2−4 ac2a

r=−0±√02−4 (1 )(1)

2(1) r 1=√4

2i

r 2=−√42i

Ecuación: y=e0(c1cos √ 42 x+c2 sen √ 42 x)

2). y ,,+4 y=0

SOLUCION:

r2+4=0 r=−b±√b2−4 ac2a

r=−0±√02−4 (1 )(4)

2(1) r 1=√16

2i

r 2=−√162i

Ecuación: y=e0(c1cos √162 x+c2 sen √162x )

3). y ,,−6 y ,+10 y=0

SOLUCION:

r2−6 r+10=0 r=−b±√b2−4 ac2a

r=−(−6)±√(−6)2−4 (1 )(10)

2(1) r 1=3+2 i

r 2=3−2 i

Ecuación: y=e3 x (c 1cos 2x+c 2 sen2 x )

4). y ,,−10 y ,+26 y=0

SOLUCION:

r2−10 r+26=0 r=−b±√b2−4 ac2a

r=−(−10)±√(−10)2−4 (1 )(26)

2(1) r 1=5+1 i

r 2=5−1i

Ecuación: y=e5 x (c 1cos 1x+c 2 sen1 x )

5). y ,,+4 y ,+6 y=0

SOLUCION:

r2+4 r+6=0 r=−b±√b2−4 ac2a

r=−4±√(4 )2−4 (1 )(6)

2(1) r 1=−2+√2 i

r 2=−2−√2 i

Ecuación: y=e−2x (c 1cos√2 x+c 2 sen√ 2x )

6). y ,,−4 y ,+7 y=0

SOLUCION:

r2−4 r+7=0 r=−b±√b2−4 ac2a

r=−(−4 )±√(−4)2−4 (1 )(7)

2(1) r 1=4+√3 i

r 2=4−√3

Ecuación: y=e4x (c1cos √3x+c2 sen √3 x )

RESUELVA EL PROBLEMA DE VALOR INICIAL DADO:

7). y ,,+2 y ,+2 y=0 y (0 )=2 , y , (0)=1

SOLUCION:

r2+2 r+2=0 r=−b±√b2−4 ac2a

r=−2±√(2)2−4 (1 )(2)

2(1) r 1=−2+1 i

r 2=−2−1i

Ecuación: y=e−2x (c 1cos x+c2 sen x )

En la primera condición: y (0 )=2

2=e−2(0) (c1cos (0)+c2 sen(0))

2=c1

Derivando:

Ecuación: y=e−2x (c 1cos x+c2 sen x )

y=c1e−2x cos x+c2e−2x sen x

y ,=c 1( (e−2x ), cos x+e−2x (cos x ) ,)+c2 ((e−2 x ),sen x+e−2 x ( sen x ),)

y ,=c 1 (−2e−2 xcos x−e−2x sen x )+c2 (−2e−2x sen x+e−2 xcos x )

Reemplazando:

1=−c1(2)−c2(−1) y ,(0)=1

1=−(2)(2)−c2 (−1)

5=c2

Respuesta de la ecuación: y=e−2x (2cos x+5 sen x )

8). y ,,+2 y ,+17 y=0 y (0 )=1 , y ,(0)=−1

SOLUCON:

r2+2 r+17=0 r=−b±√b2−4 ac2a

r=−2±√(2)2−4 (1 )(17)

2(1) r 1=−2+4 i

r 2=−2−4 i

Ecuación: y=e−2x (c 1cos4 x+c2sin 4 x )


1=e−2(0) (c1cos 4(0)+c2 sen 4(0))

1=c1

Derivando:

Ecuación: y=e−2x (c 1cos4 x+c2 sen 4 x )

y=c1e−2x cos4 x+c 2e−2x sen4 x

y ,=c 1( (e−2x ), cos4 x+e−2 x (cos 4 x ),)+c2 ( (e−2x ), sen4 x+e−2 x ( sen4 x ), )

y ,=c 1 (−2e−2 xcos 4 x−4e−2x sen 4 x )+c2 (−2e−2x sen 4 x+4 e−2xcos 4 x )

Reemplazando:

−1=(−2)c1−(2)c 2(−2) y ,(0)=−1

−1=− (2 ) (1 )+(4)c 2

14=c2

Respuesta de la ecuación: y=e−2x (1cos4 x+ 14 sen4 x )

9). y ,,+9 y=0 y (0 )=1 , y ,(0)=1

SOLUCION:

r2+9=0 r=−b±√b2−4 ac2a

r=−0±√(0)2−4 (1 )(9)

2(1) r 1=+3 i

r 2=−3 i

Ecuación: y=e(0)x (c1cos3 x+c 2 sen3 x )


1=e(0) (0 )(c 1cos3(0)+c 2 sen3(0))

1=c1

Derivando:

Ecuación: y= (c1cos3 x+c2 sen3x )

y ,=−c 1 ( (3x ), sen3 x )+c 2 ( (3x ), cos3 x)

y ,=−c 1 (3 ) sen3 x+ (3 ) c2cos3 x

Reemplazando:

1=(3)c2 y ,(0)=1

13=c2

Respuesta de la ecuación: y=(1cos3 x+ 13 sen3 x )

10). y ,,−2 y ,+2 y=0 y (π )=eπ , y ,(π )=0

SOLUCION:

r2−2r+2=0 r=−b±√b2−4 ac2a

r=−(−2)±√(−2)2−4 (1 )(2)

2(1) r 1=1+1 i

r 2=1−1i

Ecuación: y=ex (c1cos(1) x+c2 sen (1)x )

En la primera condición: y (π )=eπ

eπ=e (π ) (c1cos(1) (π )+c2 sen(1)(π ) )

−1=c1

Derivando:

Ecuación: y=ex (c1cos(1) x+c2 sen (1)x )

y=c1ex cos x+c2ex sen x

y ,=c 1( (ex ),cos x+ex (cos x ), )+c2( (ex) ,sen x+e x (sen x ) ,)

y ,=c 1 (excos x−ex sen x )+c 2 (ex sen x+excos x )

Reemplazando:

0=(−1)c1eπ+c2(−1)eπ y ,(π )=0

c 1eπ=c2(−1)eπ

(−1)eπ=c2(−1)eπ

1=c2

Respuesta de la Ecuación: y=ex ((−1)cos x+(1) sen x ).

HALLAR LA SOLUCIÓN GENERAL DE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES.

11). y ,, ,+3 y , ,− y ,−3 y=0

SOLUCION:

r3+3 r2−r−3=0

1 3 −1−3 r−3=0 r¿3

−¿3 −303 r+1=0 r¿−1

10−10 r−1=0 r¿1

1 1 1

1 1 0 ecuación general:

−1−1 y=e3 x ((c1)cos x+(c 2)sin x )

1 0

12).4 y , ,,+12 y ,,+9 y ,=0

SOLUCION: 4 r3+12 r2+9 r=0

r (4 r¿¿2+12 r+9)=0¿

r 3=0 r=−b±√b2−4 ac2a

r=−(12)±√(12)2−4 (4 )(9)

2(4)

r 1=r 2=32

Ecuación general:

y= (c1+c 2x ) e32x +c 3e (0 ) x

Lab Oratorios Resueltos Mate III

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