JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), no obstante haber sido amigo de un famoso como Napolen (1769-1821), lleg a nuestros das por mrito propio. Fue el noveno hijo de doce hermanos y qued hurfano a los 10 aos.Durante su juventud, y aun en contra de su voluntad, fue preparado para sacerdote, pero a los 13 aos no poda seguir ocultando su inters por las matemticas. As, a los 14 aos haba completado el estudio de los 6 volmenes del Cours de mathmatique de Bzout y a los 15 reciba el primer premio por su estudio de Bossut's Mchanique en gnral. A los 21 aos Fourier escriba:

Ayer fue mi cumpleaos nmero 21. A esa edad Newton y Pascal ya haban adquirido ttulos e inmortalidad...

Quera ir al ejrcito, pero como slo era hijo de un sastre le previnieron que no poda servir ms que de cargador de caones. Pero la Revolucin Francesa le lleg a tiempo y se propuso ser oficial de artillera. De esta manera aplicara las matemticas, que era lo que realmente le interesaba; casi lo mismo que quiso hacer Napolen, nacido pocos meses despus de Fourier.

Fourier sin embargo, no tuvo tanto xito como Napolen en su empresa, pues demostr tener demasiada facilidad para las matemticas. A pesar de todo, su carrera estuvo muy ligada a la de Napolen y lleg a ser su Oficial de Artillera (calculaba las trayectorias de los proyectiles). Lo acompa a Egipto en 1798 y fue gobernador de una parte de ese pas. All fund y fue secretario del Instituto de Matemticas de El Cairo hasta su regreso a Francia en 1801.

En 1808 y despus de haber hecho importantes descubrimientos matemticos, Napolen le dio el ttulo de barn. En contra de algunas expectativas, Fourier sobrevivi a la cada de su amigo y lleg a recibir nuevos honores de los restaurados Borbones. En 1822 fue secretario adjunto de la Academia de Ciencias, donde conoci al naturalista Cuvier (1769-1832) de quien fue amigo.

En 1801, Fourier regres de Egipto, y comenz a ocuparse de lleno en la ciencia. Sus asuntos militares no le haban ido demasiado bien y decidi que ya haba tenido bastante con el ejrcito. El problema que ms le interesaba era el modo en que el calor flua de un punto a otro a travs de un objeto en particular.

Si leyes constantes regulan la distribucin del calor en la materia slida, cul es la expresin matemtica de esas leyes?

Al estilo de las novelas de la poca, estudiaba hasta altas horas de la noche a la luz de las velas, atentando as contra su delicada salud: sufra de asma, insomnio e hipotiroidismo. La introduccin al tema "Thorie analytique de la chaleur" contiene un resumen de los antecedentes de la poca:

El gran gemetra Arqumedes explic los principios matemticos del balance de los slidos y los fluidos. Vivi aproximadamente 18 siglos antes que Galileo, el primer inventor de las teoras sobre dinmica. Newton uni en esta nueva ciencia todo el sistema del universo. Estas teoras tienen una admirable perfeccin y nos ensean que la mayor parte de los fenmenos pueden ser sujetos a un pequeo nmero de leyes fundamentales, pero...

En un primer momento concibi un modelo terico de transferencia de calor mediante un mecanismo de compuertas. Luego estudi la transferencia de calor en cuerpos continuos. La cuestin que se debata era si el calor se propagaba en forma lineal o logartmica y en forma continua o a travs de saltos.

El calor penetra en los lquidos y determina movimientos interiores producidos por los cambios de la temperatura y por la densidad de las molculas que se pueden expresar mediante ecuaciones diferenciales e integrales. Esta difcil bsqueda exiga un anlisis especial fundado en teoremas nuevos. Estas cuestiones principales que yo he resuelto no haban sido sometidas a clculo hasta el momento.

Fourier sugiri que el problema se poda resolver mediante un simple patrn sinusoidal que debera atenuarse gradualmente hasta que la temperatura fuera uniforme en todo el cuerpo. No fue fcil de convencer a sus detractores entre los que se hallaba Laplace (1749-1827), Biot (1774-1862) y Poisson (1781-1840). En realidad ellos no comprendan el significado de los trminos diferencia de temperatura y gradiente de temperatura.

Este mtodo no deja nada de vago e indeterminado en las soluciones y conduce hasta las ltimas aplicaciones numricas, condicin necesaria de toda bsqueda y sin la cual slo se llegara a transformaciones intiles.

En 1809 apareci en el Bulletin des Sciences una actualizacin sobre el tema de la propagacin del calor. Su autor era Poisson, amigo de Biot y editor de la publicacin. El artculo cita generosamente a Biot y critica los hallazgos de Fourier. Esta publicacin fue considerada por sus contemporneos como un verdadero insulto para Fourier. De todas formas l deca:

El estudio profundo de la naturaleza es la fuente ms fecunda de los descubrimientos matemticos.Esto excluye cuestiones vagas y clculos sin sentido: los elementos fundamentales son aquellos que se reproducen en todos los fenmenos naturales. El anlisis matemtico se halla tan extendido como la naturaleza misma.

En 1810 el Instituto de Francia anuncia el Grand Prix des Mathematiques para el prximo ao. El tema: "la propagacin del calor en los cuerpos slidos". El ttulo ideal para Fourier! La eleccin estaba ciertamente influenciada por las argucias polticas de Laplace y Monge (1746-1818, particip de la expedicin napolenica a Egipto) ahora partidarios de la causa de Fourier y de Lagrange (1736-1813), uno de sus detractores. El jurado estaba constituido por Lagrange, Laplace y otros. Fourier gan el premio pero no el reconocimiento sincero de ellos que, si bien aceptaron los derechos de autor de las ecuaciones, criticaron el mtodo experimental.

Hacia el ao 1822, ampliando su teorema, complet su estudio sobre el flujo del calor y lo public en un libro llamado Teora Analtica del Calor, que inspir en Ohm (1787-1854) razonamientos anlogos sobre el flujo elctrico. En su libro, Fourier, por primera vez, dej sentada la necesidad de utilizar un sistema de unidades prefijado para el uso de ecuaciones cientficas. Pero el texto original no se incorpor a la biblioteca de las Memoires de l' Acadmie des Sciences hasta 1826, ao en que Fourier fue electo Secretario permanente.Fourier recopil todo su ingenio matemtico y describi lo que hoy se conoce como teorema de Fourier. Segn ste, cualquier oscilacin peridica esto es, cualquier variacin que tarde o temprano se repite exactamente una y otra vez, por complicada que sea, se puede descomponer en series de movimientos ondulatorios simples y regulares (con diferentes amplitudes y frecuencias), la suma de los cuales es la variacin peridica compleja original. Es decir, se puede expresar como una serie matemtica en la cual los trminos son funciones trigonomtricas. Esta recreacin de la seal constituye justamente las series de Fourier. Como cualquier seal slo puede ser observada por un perodo limitado de tiempo, se debe asumir que es un ciclo de esa seal peridica y as es posible formar las series de Fourier.

Este anlisis rene los fenmenos ms diversos y descubre las analogas secretas que los unifican. Si el hombre slo conoce el espectculo de los cielos por pocas sucesivas separadas por siglos, si la accin de la gravedad y el calor se exacerban en el interior del globo slido a profundidades que jams sern accesibles, el anlisis matemtico puede atrapar las leyes de estos fenmenos. El anlisis nos entrega una informacin mensurable y parece ser una facultad de la razn humana destinada a suplir la brevedad de la vida y la imperfeccin de los sentidos.

El teorema de Fourier tiene muchas aplicaciones; puede ser utilizado en el estudio del sonido y de la luz y desde luego, en cualquier fenmeno ondulatorio. El estudio matemtico de tales fenmenos, se llama anlisis armnico. Por su teorema, Fourier gan fama de cientfico y adems el ttulo de barn.Pero l segua asombrndose con sus descubrimientos:

...y lo que es ms notable sigue la misma marcha de todos los fenmenos, los interpreta por el mismo lenguaje como para atestiguar la unidad, simplicidad y orden de un universo predecible. Si nuestros sentidos pudieran captar este orden, nos causara una impresin comparable a las resonancias armnicas.

Si la luz est compuesta por un espectro de colores que pueden ser evidenciados mediante un prisma, la transformacin rpida de Fourier (TRF) es un prisma matemtico, descompone una seal compleja en una serie infinita de ondas con determinadas amplitudes y frecuencias. La amplitud de una seal compleja en funcin de la frecuencia (p. ej. en Hertzios) constituye el espectro del signo. El anlisis espectral se puede caracterizar entonces en trminos de su frecuencia centroide, que conceptualmente representa la "masa central" del espectro, y se define como frecuencia en la cual la amplitud (o fuerza) de los componentes por arriba y por debajo de ella estn exactamente balanceadas. Por lo que se ve, se trata de una cuestin bastante compleja.

Jean Baptiste Joseph Fourier es uno de los cientficos conmemorados en la Torre Eiffel y un crter de la luna lleva su nombre. Para suerte de Darwin, Cuvier, que haba ordenado el reino animal pero crea en el gnesis, rechaz la evolucin de las especies.

Teora analtica del calor: discurso preliminar. http://wwwfourier.ujf-grenoble.fr/chaleur.html.Biografa J.B.J Fourier. http://www.astro.gla.ac.uk/z~davidk/fourier.htm.Bracewell, Ronald N.: The Fourier Transform. Scientific American,June 1989, p 62Enciclopedia Biogrfica de Ciencia y Tecnologa. LibreraHuemul. Av. Sta. Fe 2237 Issac Asimov. Emec Editores,Alsina 2041 Bs. As. 1973.

LA TEORA ANALTICA DEL CALOR

Al parecer, antes de ocuparse del problema de la distribucin del calor en slidos conductores, Fourier haba realizado algunas contribuciones al problema de la vibracin de los cuerpos sonoros.En particular, se sabe que estaba bien familiarizado con la Mecnica Celeste de Lagrange y las contribuciones de Daniel Bernoulli al problema de la cuerda vibrante.Lo que no nos es conocido es cundo y porqu Fourier orient sus intereses hacia el problema de la distribucin del calor, aunque es casi seguro que esto debi suceder alrededor de 1804, tras leer un trabajo de J. B. Biot (1774-1862) sobre el tema. En dicho artculo Biot estudiaba la evolucin temporal de la distribucin del calor en una barra metlica delgada y muy larga, cuando sta se calienta desde uno de sus extremos. Biot asuma la conocida ley de enfriamiento de Newton, segn la cual la cantidad de calor intercambiada por dos cuerpos que se ponen en contacto es proporcional a la diferencia de sus temperaturas. Sin embargo, su modelo no era correcto, como l mismo reconocera posteriormente. El problema bsico es que Biot asuma el mismo tipo de intercambio de calor entre la superficie de la barra metlica y el aire que en el interior de la barra.

La Ecuacin del Calor es apropiada para el abordaje de una Matemtica Aplicada al contexto de carreras de Ingeniera pues involucra conceptos inherentes a disciplinas como Fsica y Termodinmica; de manera que es terreno frtil para presentar la Matemtica vinculada a reas propias de la Ingeniera; adems los conceptos matemticos asociados al planteo y resolucin de esta ecuacin, son de una riqueza y un nivel de complejidad interesantes, ya que entran en escena Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP), Series de Fourier, Anlisis Real y Anlisis Complejo; sobre el tratamiento analtico de cada una de estas cuestiones volveremos ms adelante, ahora vamos a hacer un breve recorrido por la Historia de las Matemticas, para ver cmo se fue gestando la Ecuacin del Calor y los aportes que hicieron los matemticos y fsicos ms destacados de la poca (Siglos XVIII y XIX). No estara completa la gnesis de la Ecuacin del Calor si no hiciramos referencia a su gran predecesora: La Ecuacin de la Cuerda Vibrante ( Ecuacin de Onda), que plantea la forma que adoptar la funcin y(x,t) que representa el desplazamiento vertical en funcin del tiempo de cada punto (ubicado en la abscisa x) de una cuerda de longitud L fija en ambos extremos, siendo dicha cuerda apartada en el instante inicial de su posicin de equilibrio y adquiriendo as la forma de una funcin continua y(x,0) = f(x). Encontrar el modelo matemtico que resuelva el Problema de la Cuerda Vibrante data de principios del Siglo XVIII y de l se han ocupado matemticos y fsicos clebres. Uno de los primeros en trabajar en el tema ha sido el afamado matemtico suizo Johann Bernoulli (1667-1748) quien en 1727 propuso una solucin, que si bien no era del todo incorrecta, careca de la generalidad necesaria; en 1746 el matemtico francs Jean le Rond DAlembert (1717-1783) encontr el modelo matemtico que representaba este fenmeno, consistente en la EDP:

Donde a es una constante que depende de las caractersticas fsicas de la cuerda. DAlembert adems propuso una solucin para esta ecuacin, de la forma: y(x,t) 1/ 2 f (x at) f (x at); esta solucin consiste en la superposicin de dos ondas viajeras a travs de la cuerda, en direcciones opuestas. En 1749, el destacado matemtico suizo Leonhard Euler (1707-1783) tambin present sus aportes y coincidi en gran parte con la solucin de DAlembert, pero aadiendo un carcter ms general a la solucin y admitiendo que la funcin f(x) podra presentar puntos no diferenciables incluso discontinuidades finitas, es decir continua a tramos. La solucin de DAlembert tiene un carcter netamente matemtico, pero no aporta demasiado acerca de la cuestin fsica del fenmeno; es as que los fsicos y matemticos de la poca continuaron trabajando para hallar una solucin ms satisfactoria. As dando continuidad a los trabajos de su padre, Daniel Bernoulli (1700-1782) en 1753 present otra solucin a la Ecuacin de la Cuerda, de la forma: , donde los coeficientes bk dependen de las condiciones iniciales. As, segn Bernoulli la cuerda oscila simultneamente con varias frecuencias, mediante la superposicin de ondas senoidales y cosenoidales, planteando de esta manera la posibilidad de desarrollar funciones en series trigonomtricas. Esta solucin es mucho ms significativa desde el punto de vista fsico que la de DAlembert y explica los distintos armnicos que se producen en la vibracin de las cuerdas de los instrumentos musicales; sucede que Bernoulli adems de ser matemtico, tambin se dedicaba a la Fsica y a la Msica. An siendo correcta la solucin de Bernoulli, gener varias crticas por parte de sus colegas, en particular de DAlembert y Euler, que se rehusaban a admitir que una funcin general pudiera ser expresada en trminos de series infinitas de funciones trigonomtricas. A pesar de todas las crticas, Bernoulli estaba en lo correcto y su propuesta de desarrollar en series trigonomtricas funciones arbitrarias, sera retomada ms tarde por Fourier y Dirichlet, en cuyos trabajos constan las bases analticas que demuestran la posibilidad de dichas expansiones. El matemtico y fsico francs Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) fue pionero en el estudio de la transferencia del calor en slidos y fue quien dedujo la denominada Ecuacin del Calor, que consiste en una EDP cuya versin tridimensional es:

donde u(x,y,z,t) representa la temperatura en cada punto del interior del slido en cada instante de tiempo y es una constante que depende del material. Fourier present en 1807 los resultados de sus investigaciones a la Academia de Ciencias de Pars y fue evaluado por destacadas personalidades, entre ellos Pierre Simon Laplace (1749-1827) y Joseph Louis Lagrange (1736-1813); pero el trabajo no tuvo buena aceptacin y recibi muchas crticas, entre ellas la falta de rigurosidad en los fundamentos analticos - a pesar que los resultados coincidan con las observaciones empricas- y otra cuestin muy controversial fue la propuesta de Fourier de expandir en series trigonomtricas una funcin arbitraria; l afirmaba que una funcin f(x) poda desarrollarse como:

y encontr tambin las expresiones para calcular los coeficientes ak y bk; son las que actualmente se conocen como Series de Fourier. Si bien la expansin en series trigonomtricas no fue una idea original de Fourier (ya hemos visto que Daniel Bernoulli varias dcadas antes ya las haba propuesto) el verdadero mrito de Fourier ha sido encontrar el modelo matemtico correcto para la conduccin del calor, desarrollar el Mtodo de Separacin de Variables para resolver una EDP y encontrar su solucin mediante la aplicacin de series trigonomtricas. Pese a las controversias generadas por el trabajo de Fourier, los integrantes de la Academia de Pars no pudieron dejar de reconocer la relevancia del campo de estudio y as decidieron que la temtica para el Gran Premio de la Academia para 1812 sera la propagacin del calor en cuerpos slidos; por supuesto Fourier se present y gan el Premio, pero decidieron que su trabajo no sera publicado en las Memorias de la Academia, por las razones citadas anteriormente. A pesar del traspi, Fourier continu trabajando tenazmente, mejorando y ampliando su teora y en 1822 public su obra Thorie Analytique de la Chaleur; al poco tiempo fue nombrado Secretario de la Academia y entonces consigui publicar su trabajo de 1807 - prcticamente sin cambio alguno- en las Memorias de la Academia de 1826. Fourier inaugur un campo frtil de trabajo para fsicos y matemticos a principios del Siglo XIX con su Teora Analtica del Calor y sus desarrollos en series trigonomtricas; varias personalidades de la ciencia continuaron sus trabajos, entre los cuales cabe destacar al matemtico alemn Johann P: Lejeune Dirichlet (1805-1859), quien en 1829 dio una demostracin rigurosa de la convergencia de las Series de Fourier para funciones generales, an las continuas por tramos. Recin entonces los trabajos de Fourier y D. Bernoulli fueron reconocidos y aceptados plenamente.

Joseph Fourier es considerado uno de los ms grandes matemticos aplicados de la historia y su Teora Analtica del Calor es reconocida como uno de los pilares de la Fsica Terica; adems los aportes de Las Series y las Transformadas de Fourier a distintas ramas de la Ingeniera son indiscutibles.

En la Academia eran conscientes de la importancia del problema de la distribucin del calor, as como de los avances significativos que Fourier, Biot, y otros estaban realizando en este tema. Es por ello que decidieron que la temtica propuesta para el Gran Premio que deban conceder para 1812 fuera precisamente el estudio de la propagacin del calor en slidos conductores. Como era de esperar, Fourier se present al premio con una memoria en la que adems de revisar lo realizado hasta 1807, inclua sus nuevos clculos con la integral de Fourier.El jurado, compuesto por Lagrange, Laplace, Lacroix, Malus y Hay, concedi el premio a Fourier, pero decidi que el trabajo no sera aceptado para su publicacin en las Memorias de la Academia porque careca del rigor y la generalidad necesarios. Fourier, que estaba resentido con la Academia por el trato dado a su obra fundamental, decidi finalmente publicar sus investigaciones por s mismo en 1822 en un volumen al que titul Teora Analtica del calor. Curiosamente, ese ao fue nombrado secretario perpetuo de la Academia y entonces vio el cielo abierto, publicando en las Memorias el trabajo que haba sido premiado en 1811, y que llevaba por ttulo Teora del movimiento del calor en los cuerpos slidos. Este trabajo apareci en dos partes, la primera en las Memorias correspondientes a 1819/20 y la segunda en las de 1821/22 (que vio la luz en 1826). En el prlogo de su Teora Analtica el propio Fourier explicaba las idas y venidas de su obra, reconociendo finalmente que Los retrasos en la publicacin [de mi obra] habrn contribuido a hacer el trabajo ms claro y ms completo

Para los que conocen el gran campo de las ecuaciones diferenciales, estas tambin se pueden resolver mediante mtodos con series de potencias. Debido a esto, Fourier hizo un gran uso de su Serie en el estudio del calor.Thorie Analytique de la Chaleur (Teora Analtica Del Calor), se convirti en su obra cumbre y que en realidad no fue tanto su estudio del calor lo que lo hizo famoso, sino el descubrir un recurso matemtico que hoy en da es usado en Electricidad en el Anlisis Espectral de una Seal para corriente alterna, y en muchas reas mas de la ciencia moderna , y que en su poca fue rechazado por un grupo conformado por Laplace, Monge, Lagrange y Lacroix porque no contena nada nuevo y nada interesante. Sin embargo, Fourier es uno de los pocos afortunados matemticos: su nombre ha arraigado en todos los idiomas civilizados como un adjetivo que es bien conocido por los fsicos y los matemticos de todas las partes del mundo.

La Teora Analtica del Calor es considerada actualmente una de las obras maestras de la ciencia y la tecnologa y, para los fsicos, es sin duda uno de los documentos fundacionales de la fsica terica. El impacto que ha tenido el Anlisis de Fourier sobre las matemticas, la fsica y las distintas ingenieras est fuera de duda y, de hecho, muchos pensamos que la ciencia y la tecnologa modernas no hubieran sido posibles sin el desarrollo correcto de las ideas de Fourier.

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