LA TOPOLOG´IA DE ESPACIOS METRICOS´ ANIMADA CON … · Universidad Tecnolo´gica de Pereira LA...

Universidad Tecnologica de Pereira

LA TOPOLOGIA DE ESPACIOS METRICOS

ANIMADA CON GEOGEBRA

Fabian Toledo Sanchez

Maestrıa en Ensenanza de las Matematicas

Facultad de Ciencias BasicasPereira, Risaralda

2017

Universidad Tecnologica de Pereira

LA TOPOLOGIA DE ESPACIOS METRICOS

ANIMADA CON GEOGEBRA

Trabajo presentado como requisito para optar al tıtulo de

Magister en Ensenanza de la Matematica

Fabian Toledo Sanchez

Director:Pedro Pablo Cardenas Alzate Ph.D(c)

Maestrıa en Ensenanza de las Matematicas

Facultad de Ciencias BasicasPereira, Risaralda

2017

Nota de Aceptacion

Jurado

Jurado

Jurado

Pereira, Octubre de 2017.

AGRADECIMIENTOS

Inicio dando gracias a Dios por brindarme la oportunidad de vivir, guiandome yfortaleciendome durante todo este proceso de formacion.

A mis padres porque a traves de ellos se me concedio la vida, brindando siempre ese apoyo ymostrando su mayor esfuerzo para ofrecerme lo mejor. Han sido el impulso para siempre saliradelante y mis logros, triunfos y mi camino al exito se lo dedo a ellos.

A a mis hermanos, por su constante apoyo en este arduo proceso de formacion. A mi noviapor su apoyo incondicional en mi vida, gracias por entenderme, apoyarme y por estar a milado durante todo esta etapa. A familiares y a todas las personas que directa e indirectamentehan tenido a bien ayudarme para mi formacion.

A mi asesor, Pedro Pablo Cardenas Alzate por su confianza, colaboracion, apoyo y ensenanzadurante cada uno de los cursos brindados y durante este proceso de investigacion.

Son muchas personas especiales a las que me gustarıa agradecer su apoyo, animo y companıaen diferentes etapas de este camino de formacion.

4

INDICE GENERAL

INTRODUCCION 9

1. PLANTEAMIENTO GENERAL 11

1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. MARCO TEORICO Y METODOLOGICO 13

2.1. Topologıa de espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Las TIC en la educacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Uso de Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2. Applet's con Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3. Visualizacion en Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Constructo teorico seres-humanos-con-Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. ESPACIOS METRICOS 21

3.1. Espacio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2. Ejemplos de espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1. Metrica discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.2. Metrica usual en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.3. Metrica Euclidiana en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.4. Metrica del taxi o de Manhattan en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.5. Metrica del maximo o del ajedrez en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.6. Desigualdad de Cauchy - Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.7. Desigualdad de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.8. Generalizacion de las metricas d1, d2 y d∞ para Rn . . . . . . . . . . . . 27

3.2.9. Metrica del ascensor en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.10. Metrica de la recta en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.11. Metrica del mensajero en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.12. Metrica del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5

6 INDICE GENERAL

3.2.13. Metrica de clase C[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.14. Distancia de un punto a un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.15. Distancia entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.16. Diametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. TOPOLOGIA DE ESPACIOS METRICOS 40

4.1. Bolas abiertas y cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.1. Bola abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.2. Bola cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1.3. Bola con la metrica discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1.4. Bola con la metrica usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1.5. Bola con la metrica Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.6. Bola con la metrica del maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.7. Bola con la metrica del taxi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.8. Bolas para metricas dp en R

2p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1.9. Bola con la metrica del mensajero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.10. Bola con la metrica del ascensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.1.11. Bola con la metrica de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.1.12. Bola con la metrica del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2. Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.1. Vecindad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.2. Topologıa metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.3. Conjunto cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3. Subconjuntos notables en la topologıa metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.1. Punto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.2. Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.3. Punto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.4. Punto Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.5. Punto adherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.6. Punto de acumulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4. Metricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5. APPLET CON GEOGEBRA 62

5.1. Paginas Web con los applet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2. Libro en Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 66

5.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

BIBLIOGRAFIA 68

INDICE DE FIGURAS

3.1. Distancia d(x, y) =| x− 2y | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2. Distancia d(x, y) = (x− y)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3. Desigualdad triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4. Metrica usual en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5. Metrica Euclidiana en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6. Metrica del taxi en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.7. Metrica del maximo en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.8. Metricas d1(x, y), d2(x, y) y d∞(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.9. Metrica del ascensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.10. Metrica de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.11. Metrica del mensajero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.12. Metrica del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.13. Metrica de clase C(a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.14. Distancia de un punto a un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.15. Distancia de un punto a un conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.16. Distancia entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.17. Diametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.18. Diametro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1. Bola abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2. Bola cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3. Bola abierta en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4. Bola con la metrica Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.5. Bola con la metrica Euclidiana en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.6. Bola con la metrica del maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.7. Bola con la metrica del maximo en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.8. Bola con la metrica del taxi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.9. Bola con la metrica del taxi en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.10. Bolas con las metricas d1, d2, d7 y d20 en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.11. Bola en R2(1/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.12. Bola con la metrica del mensajero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.13. Bola con la metrica del ascensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.14. Bola con la metrica de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7

8 INDICE DE FIGURAS

4.15. Bola con la metrica del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.16. Conjunto abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.17. Proposicion 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.18. Proposicion 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.19. Proposicion 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.20. Espacio de Haussdorf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.21. Proposicion 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.22. Punto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.23. Punto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.24. Punto frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.25. Punto adherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.26. Interior, exterior y frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.27. Conjunto A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.28. Interior y clausura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.29. Metricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.30. Metricas equivalentes d2 ∼ d∞ y d1 ∼ d∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1. Exporta pagina Web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2. Libro de Geogebra (Geogebrabook) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3. Capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.4. Capıtulo 2 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.5. Deslizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

INTRODUCCION

En la actualidad vivimos un escenario de constantes cambios y transformaciones provocadaspor las TIC, que inciden en una nueva forma de ensenar y aprender. Es por eso que debemosbuscar nuevas formas de motivar y lograr nuevos mecanismos para llegar al conocimientoy es allı donde radica la importancia del uso adecuado de las nuevas tecnologıas. Es porello que en este trabajo hacemos uso del software Geogebra, el cual es una herramienta deexploracion dinamica que facilita la elaboracion de multiples representaciones simultaneas deun objeto para visualizar sus propiedades o caracterısticas, este software es un excelente mediopara experimentar, explorar, descubrir, ver y manipular objetos matematicos llevados a cabodentro de un proceso de aprendizaje.

Este software lo podemos analizar desde varias perspectivas que nos acercan a propositosparticulares para mostrar determinado ente matematico, esto es, Geogebra visto como unaherramienta de visualizacion el cual puede ser usado para ofrecer una perspectiva dinamica delos conceptos, propiedades, caracterısticas y relaciones matematicas, desde multiples registrosde representacion. De esta manera, los sujetos tienen la posibilidad de ver y explorar elconocimiento matematico que, muchas veces, es inaccesible con otros dispositivos; visto comouna herramienta de construccion que permite la creacion y manipulacion de construccionesgeometricas en dos y tres dimensiones, con altos niveles de libertad y consistencia, favoreciendocon ello el estudio de objetos de la geometrıa Euclidiana y analıtica; visto como unaherramienta de descubrimiento que favorece el acercamiento a patrones, regularidades oinvariantes sobre los objetos mostrados en su interfaz que acercan a los aprendices alconocimiento matematico y Geogebra visto como una herramienta para la representaciony comunicacion.

Estos aspectos fundamentales del software nos ayudan al estudio de la visualizacion deconceptos, propiedades y caracterısticas de nociones topologicas de los espacios metricos atraves de su uso intuitivo en sus propiedades el cual nos lleva a comprender y analizarsituaciones que son ocultas, ricas en teorıas y ejemplos extraıdos del mundo real, como loes la teorıa de espacios metricos. Es por ello que en este trabajo se realizaron construccionesde la topologıa de espacios metricos para que a traves de procesos de visualizacion con suinterfaz dinamica se fortalecieran y verificaran propiedades del objeto matematico.

El documento se compone de cinco capıtulos. En el primer capıtulo se aborda el planteamiento

9

10 INTRODUCCION

del problema, la justificacion del trabajo y sus objetivos. En el segundo capıtulo se trata lafundamentacion teorica y metodologica, la cual contiene elementos esenciales acerca de lo quees la topologıa de los espacios metricos, las TIC en la educacion y los procesos de visualizacionmediante teorıas acerca del uso de Geogebra.

En el tercer capıtulo presentamos la definicion de espacio metrico brindando ejemplos queaparecen de manera natural en muchas aplicaciones, cada ejemplificacion de espacio metricoviene acompanada de una representacion grafica realizada desde el software como medio devisualizacion de propiedades y caracterısticas. Es de resaltar que estos espacios metricos son losprimeros ejemplos de espacios topologicos, los que primero surgieron en el estudio cualitativode espacios, estos generalizan las propiedades de los espacios Euclıdeos, donde sabemos medirla distancia entre dos puntos dados.

En el cuarto capıtulo presentamos la nocion de topologıa asociada a un espacio metricointroduciendo las bolas abiertas y a partir de allı se estudian los conjuntos abiertos, loscerrados y sus propiedades con sus respectivas representaciones graficas en el software. Enel quinto capıtulo presentamos applet's construidos en Geogebra los cuales se han compartidoen la propia red del software denominada GeoGebraTube mediante la creacion de un librovirtual, lo que permite globalizar el conocimiento, no solo permitiendo su descarga, sino queademas facilitando su modificacion para adaptarlos a necesidades particulares, y por ultimose presentan las conclusiones y recomendaciones a las que se llega despues de la culminaciondel presente estudio como aporte a futuras investigaciones.

CAPITULO 1

PLANTEAMIENTO GENERAL

En el presente capıtulo se plantea el problema de investigacion, los objetivos y la justificacion,tambien se describe la pertinencia del presente trabajo en terminos de la importancia queha adquirido el uso de las tecnologıas de la informacion y la comunicacion para el estudiomediante el uso de Geogebra.

1.1. Planteamiento del problema

En la actualidad en el campo de investigacion en didactica de las matematicas se haevidenciado el interes de utilizar software matematico por las ventajas pedagogicas que seobservan desde el punto de vista educativo, sus fortalezas vistas como la gran capacidadde almacenamiento, la propiedad de simular fenomenos naturales difıciles de presentar enla realidad, la interactividad con el usuario o la posibilidad de llevar a cabo un procesode aprendizaje y evaluacion individualizada, entre muchas aplicaciones educativas que estossoftware proporcionan nos llevan a pensar los modos de ensenanza en las practicas educativas,las cuales nos damos cuenta que tradicionalmente la ensenanza de las matematicas se reducea un discurso, en el cual nos limitamos a herramientas que se utilizan en el medio docente.

Estos programas matematicos potencializan procesos de ensenanza y aprendizaje, los cualesayudan a visualizar propiedades o caracterısticas de ciertos objetos matematicos, en nuestrocaso el estudio de las nociones topologicas de espacios metricos, la cual debido a suestructura matematica abstracta, presenta cierto nivel de complejidad a la hora de adquirirciertos elementos y propiedades, es allı donde a traves del uso de estrategias didacticas sehace pertinente presentar del software Geogebra para dar visualizacion clara y precisa deconceptualizaciones poco entendibles, donde su uso intuitivo en las demostraciones aplicadasnos lleva a la comprension y analisis de situaciones poco visibles que buscan de cierta formamaterializar conceptualizaciones complejas en un mundo virtual a partir de la intuiciontopologica.

De acuerdo a lo anterior, se pretende mediante este trabajo dar respuesta al siguientecuestionamiento:

¿Las construcciones topologicas de espacios metricos animadas con Geogebra permiten el

desarrollo de su conceptualizacion?

Se espera aclarar si dichas construcciones mediadas por el software permiten un desarrollopotencial de conceptos, propiedades y caracterısticas de la topologıa de espacios metricos a

11

12 1.2. OBJETIVOS

traves de la visualizacion de su interfaz dinamica mediante sus applet's interactivos.

1.2. Objetivos

A continuacion se exponen los objetivos que guiaran el desarrollo de este proceso investigativo:

1.2.1. Objetivo general

Disenar construcciones animadas con Geogebra de algunas nociones de la topologıa de espaciosmetricos para verificar sus propiedades y caracterısticas.

1.2.2. Objetivos especıficos

Presentar conceptos de la topologıa de espacios metricos identificando propiedades ycaracterısticas fundamentales para su visualizacion con Geogebra.

Describir los aspectos fundamentales de la topologıa de los espacios metricos por mediode las propiedades dinamicas del software.

Disenar un ambiente virtual (GeoGebraBook) para las nociones de la topologıa deespacios metricos a traves de la construccion de applet's.

1.3. Justificacion

En el desarrollo de este trabajo se potencializa el uso del recurso tecnologico Geogebra,el cual posibilita un mejor aprovechamiento de la creatividad, sensibilidad, experiencia,madurez y conocimiento matematico facilitando construir material interactivo para poderinducir al descubrimiento y ayudar a visualizar de muchas maneras resultados de analisisy profundizacion de los conceptos. El uso del software proporciona amplias posibilidadespara visualizar, explorar, analizar y conjeturar resultados. Las caracterısticas y propiedadesdel software permiten el desarrollo de construcciones geometricas dinamicas e interactivas,que fortalecen de alguna manera la ensenanza y el aprendizaje de conceptualizacionesmatematicas.

A traves del uso de Geogebra se quiere presentar teoricamente y analıticamente los procesosque se avivan en la interpretacion de conceptos, propiedades y caracterısticas de la topologıa deespacios metricos a traves de la visualizacion y la representacion con construcciones animadasque permitan rescatar las nuevas posibilidades de tratamiento del concepto matematico quegenera procesos mas claros y precisos.

Es de resaltar que, para el tratamiento de la topologıa de espacios metricos, se da una breveintroduccion a la topologıa, a traves de la teorıa de espacios metricos animada con Geogebra.El estudio de esta tematica nos muestra ejemplos que se presentan de manera natural enmuchas aplicaciones pero que debido a su caracter abstracto en algunas ocasiones no es posiblevislumbrar sus propiedades o caracterısticas, es por ello que a traves de la visualizacion y suuso intuitivo de propiedades podemos comprender y analizar situaciones de difıcil acceso.

CAPITULO 2

MARCO TEORICO Y METODOLOGICO

Esta investigacion se fundamenta teoricamente en los siguientes aspectos: la topologıa deespacios metricos, las TIC en la educacion, el uso de Geogebra a traves de procesos devisualizacion y el constructo teorico humanos-con-medios. Este constructo teorico establece laconexion directa entre los medios - en este caso Geogebra - y los seres humanos mediados porprocesos de visualizacion para abordar el conocimiento de la topologıa de espacios metricos.

Se desarrolla la definicion de topologıa asociada a un espacio metrico, iniciando desde lasnociones de topologıa hasta los inicios de formalizacion de los espacios metricos. Por otraparte, se presenta aspectos fundamentales de las TIC en la educacion orientados por medioscomputacionales como Geogebra y por ultimo se menciona la metodologia para desarrollardicha investigacion.

2.1. Topologıa de espacios metricos

La topologıa se encuentra presente en casi todas las areas de las matematicas (algebra,geometrıa, analisis, entre otras), sus metodos y resultados facilitan el tratamiento de variedadde problemas. Sus inicios pueden situarse en el siglo XV III, debido a que hasta esa epocalos problemas matematicos estaban vinculados a la idea de medida, magnitud o distancia,y en esa epoca se empiezan a plantear problemas en los que estos aspectos dejan de tenerimportancia, son problemas que no dependen de la distancia o el tamano sino del lugar. Dehecho, los primeros matematicos que los abordan dan al estudio de estos problemas el nombrede Geometria Situs1 o Analysis Situs. [1], [4], [13].

Fue Gottfried Leibniz2 el primero que parece referirse a este tipo de problemas y con el nombreanterior de Geometria Situs como lo menciona Leonhard Euler en una publicacion en 1736donde a traves de un problema (puentes de Konigsberg) soluciona problemas de este tipo, locual constituye lo que se podrıa llamar el origen de la topologıa. Es por ello que se puede decir

1Geometrıa o analisis de la situacion o de la posicion2(1646 - 1716). Filosofo y matematico aleman. Realizo varios aportes a la matematica y en especial se le

atribuye la invencion del calculo infinitesimal y fue el primero en utilizar el termino Analysis Situs, que luegose utilizarıa en el siglo XIX para referirse a lo que se conoce como topologıa.

13

14 2.1. TOPOLOGIA DE ESPACIOS METRICOS

que la topologıa surge como “aliada”de la geometrıa como lo indicaba Euler3: [14], [15].

... Ademas de aquella parte de la geometrıa que trata sobre cantidades y que se ha estudiado

en todo tiempo con gran dedicacion, el primero que menciono la otra parte, hasta entonces

desconocida, fue Leibniz, el cual la llamo geometrıa de la posicion. Leibniz determino que esta

parte se tenıa que ocupar de la sola posicion y de las propiedades provenientes de la posicion

en todo lo cual no se ha de tener en cuenta las cantidades ni su calculo. Por ello, cuando

recientemente se menciono cierto problema que parecıa realmente pertenecer a la geometrıa,

pero estaba dispuesto de tal manera que ni precisaba la determinacion de cantidades ni admitıa

solucion mediante el calculo de ellas, no dude en referirlo a la geometrıa de la posicion.

Tales consideraciones datan como el origen de la topologıa, pero fue Johann Listing (1802-1882) el primero en usar la palabra topologıa. Las ideas topologicas de Listing se debieronprincipalmente a Gauss, aunque el propio Gauss eligio no publicar ningun trabajo en topologıa.Listing escribio un artıculo en 1847 titulado Vorstudien zur Topologie aunque ya habıautilizado la palabra durante diez anos en su correspondencia con otros matematicos. En 1861Listing publico un documento en el cual describe la banda de Mobius (4 anos antes de Mobius)y estudio los componentes de las superficies y la conectividad. [17], [18], [19].

Muchos matematicos de la epoca se interesaron por el desarrollo de tal geometrica e hicierongrandes desarrollos hasta que en 1906 un matematico se intereso por contar con una definiciongeneral de lımite y de continuidad de manera que pudiera aplicarse en varios contextos, esteprimer paso para lograr esto fue a traves del concepto de espacio metrico, en el cual paracalcular la distancia entre dos objetos se debıan cumplir ciertas propiedades para que fueseuna operacion util y aplicable para calcular trayectorias, determinar lugares geometricos y paramediciones mas elaboradas, tales propiedades debıan cumplir ciertos requerimientos como lossiguientes:

Que la distancia fuese un numero positivo y en caso de ser cero sus puntos fueran iguales.

Que la distancia entre dos puntos fuese la misma sin importar su correspondencia; esdecir, que hubiese simetrıa en la determinacion de la distancia.

Que dos objetos que fueran cercanos a un tercero, estos fueran cercanos entre sı.

Si se diera el caso que se pudiera definir la distancia entre cualquier par de elementos deun conjunto que cumplieran las condiciones anteriores entonces el conjunto seria un espaciometrico o se le estaba dando una estructura metrica.(ver capıtulo 2 propiedades de la metrica).

Resulta muy curioso que, aunque el problema de determinar la distancia entre dos objetossea muy antiguo, solo fue hasta inicios del siglo XX que se pudo formalizar (axiomatizar) sudefinicion. Cabe mencionar que, de las tres condiciones, la tercera (la llamada desigualdad deltriangulo) es la menos obvia y natural.

3(1707 - 1783). Matematico suizo. Fue uno de los mas grandes matematicos de todos los tiempos por susgrandes contribuciones, realizo importantes descubrimientos en areas tan diversas como el calculo o la teorıade grafos, resolviendo el problema conocido como problema de los puentes de Konigsberg. Tambien introdujogran parte de la moderna terminologıa y notacion matematica.

2.2. LAS TIC EN LA EDUCACION 15

Dicha relacion fue reconocida como un axioma en la definicion de metrica por Maurice Frechet4

matematico frances que hizo grandes aportaciones a la topologıa. La desigualdad del trianguloes introducida por este matematico en su artıculo de 1904 Generalisation d’un theoreme de

Weierstrass y fue desarrollada posteriormente por el mismo en su tesis de 1906 Sur quelques

points du Calcul fonctionnel. A partir de su trabajo se reconocio a la desigualdad del triangulocomo una nocion central en la tarea de calcular distancias en cualquier conjunto. [21].

Despues de 1920, la topologıa metrica es objeto de exhaustivas investigaciones que logran supleno desarrollo y ponen de manifiesto su extraordinario poder unificador de toda una variedadde teorıas, hasta entonces dispersas y aparentemente independientes. En parte, su importanciaradica en que constituye una interesante generalizacion de los espacios normados5.

A su vez, la escuela de Moscu realizaba importantes descubrimientos sobre propiedades de losespacios metricos, con impresionante despliegue de actividad investigadora durante la decada1920−1930. Su principal objetivo consistıa en obtener condiciones necesarias y suficientes paraque un espacio topologico fuese metrizable. En la actualidad, la topologıa metrica constituyeuna rama de la topologıa general y los espacios metricos un caso particular de los topologicos.

Es de resaltar que todas las obras de topologıa general dedican algun espacio al tratamiento delos espacios metricos, bien como caso particular de los espacios topologicos o como una maneranatural de introducirlos. Sin embargo, la teorıa de los espacios metricos es el fundamentoindispensable para un estudio riguroso del analisis matematico muy de la mano con la intuiciongeometrica. Todo ello inclina a pensar que la teorıa de espacios metricos merecerıa un estudioindependiente y no como una parte de la topologıa general.

2.2. Las TIC en la educacion

El uso de las TIC en la educacion como herramienta facilitadora del quehacer pedagogicofomenta la capacidad creadora, la creatividad, la innovacion y acelera el proceso hacia elcambio, con ello se presenta una transformacion en los ambientes de ensenanza que favorecenla didactica y la ludica para la motivacion y la adquisicion de los diferentes conocimientos.El uso educativo de las TIC fomenta el desarrollo de actitudes favorables al aprendizaje de laciencia y la tecnologıa a traves del uso de programas interactivos y la busqueda de informacioncientıfica.

La implementacion de las TIC en la educacion es una ayuda en la formacion pedagogica,es decir, sirven de complemento o facilitador en la educacion y se deben aprovechar losrecursos que ofrece en la preparacion del material educativo para potencializar las capacidadescognitivas de cada individuo.

Las TIC en el area de matematicas permiten la visualizacion, entendiendola como lahabilidad de representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflexionar sobrela informacion visual generada a traves del uso de tecnologıa, siendo este ultimo primordial

4(1878 -1973) Matematico frances. Sus contribuciones a la matematica las realizo en el campo del analisisfuncional, la topologıa y la probabilidad. Introdujo la nocion de espacios metricos y desarrollo las primerasnociones de topologıa.

5Pareja ordenada formada por un espacio vectorial y una aplicacion llamada norma, con ciertas propiedadespor cumplir.

16 2.2. LAS TIC EN LA EDUCACION

para la vida actual. El computador permite manipular graficos, ofreciendo la posibilidad derepresentar los objetos en diferentes sistemas de representacion, circunstancia que favoreceuna mayor comprension de los objetos matematicos. Por otra parte, podemos decir que todasestas posibilidades provocan un pensamiento activo ya que el uso de los computadores nospermite proponer actividades mas amplias y profundas.

Muchos investigadores se han dado a la tarea de reflexionar sobre el uso de las TIC y enespecial de las nuevas tecnologıas, es por ello que actualmente algunos estudios (Villa-Ochoa,2011; Ruiz, 2011; Avila, 2012; Moreno, 2002), [3], [20], [22], [24] han mostrado que el usode recursos tecnologicos en un entorno de ensenanza permiten la creacion de ambientes deaprendizaje en el que se puede producir conocimiento matematico de una forma alternativa,donde se resaltan aspectos de los conceptos no siempre explıcitos en el modelo tradicional depresentacion. Segun Moreno, L. (2002) [20], el uso de las nuevas tecnologıas permite trabajarde una manera dinamica los conceptos matematicos y sus propiedades, es por ello que laimportancia de las herramientas computacionales para la educacion matematica esta asociadaa su capacidad para ofrecernos medios alternativos de expresion matematica y a su capacidadpara ofrecer formas innovadoras de manipulacion de los objetos matematicos.

Es por ello que se hace posible explorar ideas dentro de ambitos particulares, concretosy manipulables pero que contienen la semilla de lo general, lo abstracto y lo virtual.Los medios computacionales funcionan como recursos estructurantes de la exploracionmatematica del usuario. Todas estas caracterısticas de las TIC fundamentan su uso a traves deherramientas computacionales orientadas al cambio como medio didactico para la construccionde conocimiento.

2.2.1. Uso de Geogebra

En la actualidad existen muchos medios computacionales para la ensenanza de entesmatematicos, uno de ellos de gran aceptacion por la comunidad educativa es el softwarematematico Geogebra, el cual es un software interactivo de matematica con componentesdinamicas para la ensenanza de la geometrıa, algebra, calculo, entre otros. Se elabora porMarkus Hohenwarter6 junto a un equipo internacional de desarrolladores. Con el se generangraficos interactivos y son relacionados con el algebra obteniendo planillas dinamicas. Cubretodos los niveles educativos, desde el escolar mas basico al universitario mas avanzado, ypermite la elaboracion de materiales de aprendizaje libres y gratuitos.

El asistente matematico Geogebra, [12] integra el trabajo en las areas de geometrıa, algebray analisis matematico en un ambiente dinamico potenciando entre otros, el desarrollo delpensamiento variacional. En este sentido con el software al recrear ambientes dinamicos,permite a los usuarios la visualizacion y representacion de relaciones de variacion a travesdel uso de deslizadores.

Con base en lo anterior, este software puede asumirse como una herramienta didactica, puestoque es un elemento fısico o simbolico que, dentro de un ambiente de aprendizaje, provee deherramientas para la presentacion de una tematica particular, y que a la vez le proporciona alusuario una forma de representacion, visualizacion y organizacion de los conceptos trabajados

6(nacido el 24 de mayo de 1976 en Salzburgo) es un matematico austriaco y profesor de la UniversidadJohannes Kepler (JKU) en Linz.

2.2. LAS TIC EN LA EDUCACION 17

en el estudio de ciertos objetos matematicos.

La utilizacion de este programa de geometrıa dinamica permite abordar la geometrıa y otrosaspectos de las matematicas, a traves de la experimentacion y la manipulacion de distintoselementos, facilitando la realizacion de construcciones para deducir resultados y propiedadesa partir de la observacion directa.

El uso y aplicabilidad del software ha estado presente en el foco por varios investigadores en lamateria, es ası como Godoy (2011), afirma que “Geogebra es un software educativo que permite

un aprendizaje experimental y por descubrimiento, donde el disenador crea ambientes ricos

en situaciones que el usuario puede explorar, es decir, estos pueden construir sus elementos

y extraer conclusiones de acuerdo a determinadas propiedades”.7 [9] El estudiante debe llegaral conocimiento a partir de experiencias creando sus propios modelos de pensamiento, suspropias interpretaciones del problema, por lo que nos brinda un adecuado medio para nuestroobjetivo.

Segun Espina (2006), “el software permite realizar construcciones dinamicas de manera facil

e intuitiva”, [7] en este sentido, los estudiantes pueden trabajar esta aplicacion de manerainteractiva y sencilla, afirmando que no es un proceso complicado y que, ademas, no serequieren secciones extensas para su explicacion y funcionamiento.

Estas apreciaciones nos orientan al uso del software de geometrıa dinamica como un mediode visualizacion para verificar conceptos, caracterısticas y propiedades de estos objetosmatematicos a traves de construcciones dinamicas.

2.2.2. Applet con Geogebra

Como fundamento teorico del presente trabajo se tiene la construccion de applet's enGeogebra, entendido este como una aplicacion que se ejecuta dentro de otro programa8, porejemplo un navegador web. El navegador web es el anfitrion donde se ejecuta el applet o enaplicaciones como telefonos moviles que soportan el modelo de programacion por applet's.

Estos applet's son pequenos programas que se incrustan entre otros contenidos dentro deuna pagina web, lo que permite que el acceso a ellos o su aprovechamiento sean mucho masinmediatos o comodos. Su contenido no es estatico sino que permite la interaccion por partedel usuario en escenas donde se pueden manipular diversos elementos, observar los cambiosgenerados y extraer conclusiones o aprender a partir de esas interacciones.

Uno de los beneficios fundamentales de los applet's es el apoyo multimedia que ofrecen estasherramientas, que permiten comunicar y visualizar un concepto de una forma mas efectiva quelas imagenes fijas o simples descripciones, incluyendo la posibilidad de manipulacion de dichasapplet's. Ventaja que se combina con la facilidad de ejemplificar u ofrecer demostraciones deideas expresadas de una forma mas realista e intuitiva, lo que ayuda a que el usuario puedaelaborar sus propias conjeturas.

7Godoy, 2011, p. 388Un navegador Web.

18 2.2. LAS TIC EN LA EDUCACION

Con el uso de Geogebra potencializamos las fortalezas de los applet's a traves de suinterfaz dinamica con la cual recreamos objetos matematicos mediante la visualizacion desus caracterısticas y propiedades. El software nos muestra lo esencial para crear paginas Webque permitan la interaccion de los usuarios con el applet de Geogebra a traves de formulariosHTML, estas planillas dinamicas se pueden exportar a formato HTML usando los comandosexistentes en el software, como se presenta en el capıtulo 5.

2.2.3. Visualizacion en Geogebra

Las virtudes de Geogebra son fortalecidas por procesos de visualuzacion que brinda a travesde su caracter dinamico, es por ello que presentamos apreciaciones de investigadores sobreestos procesos. Arcavi (2003), [2] define la visualizacion como “la capacidad, el proceso y el

producto de la creacion, interpretacion, uso y reflexion sobre figuras, imagenes, diagramas, en

nuestra mente, sobre el papel o con herramientas tecnologicas con el proposito de representar

y comunicar informacion, pensar y desarrollar ideas y avanzar la comprension”.

Es por ello que la visualizacion puesta al servicio de la interpretacion de conceptos opropiedades de un objeto matematico, pueden tambien ir mas alla de su papel procedimentale inspirar una solucion general y creativa. Ademas, las representaciones de formas visualespueden ser elementos legıtimos en las demostraciones matematicas.

La principal caracterıstica atribuida por Arcavi (2003) a la visualizacion es que ofrece unmetodo de ver lo invisible, de aquı que muchas personas creen que la visualizacion es unahabilidad innata y una cuestion que debe permanecer al margen de la actividad educativa.Sin embargo, en nuestro caso, cobra un papel fundamental en la comprension de los conceptos,caracterısticas y propiedades de la topologia de espacios metricos, dados los procesos demanipular, experimentar y generar conjeturas visuales, a traves del uso del software Geogebra.

La visualizacion que se posibilita con el software de geometrıa dinamica permite al usuario nosolo ver sino ademas explorar las relaciones matematicas y conceptuales que pueden resultardifıciles de “comprender” cuando no se hacıa uso de los recursos tecnologicos, esta es unarazon principal por la que se hace necesario la incorporacion de recursos como Geogebra enun entorno de ensenanza. [10], [11].

Por otra parte, Shipulina (2013), [23] afirma que los recursos tecnologicos dinamizan lavisualizacion ya que ponen en escena representaciones simbolicas, numericas y graficas, enmanera simultanea, de un mismo objeto o situacion. Ası, trabajar en un entorno de geometrıadinamica, no solo permite obtener las representaciones visuales de una situacion sino queademas diferentes representaciones como la numerica, la tabular y la algebraica que puedeayudar a proponer una posible solucion a un ejercicio, problema o situacion planteada.

En nuestra propuesta, la visualizacion estarıa asociada a las figuras geometricas que sepresentan para la comprension de conceptos, propiedades y caracterısticas de la topologıa delos espacios metricos. En este sentido, con la aplicacion del software Geogebra pretendemosque a partir de los elementos disenados en esta herramienta, se logren procesos de visualizacionpara la comprension y construccion de conocimientos para abordar la tematica presentada.

2.3. CONSTRUCTO TEORICO SERES-HUMANOS-CON-GEOGEBRA 19

2.3. Constructo teorico seres-humanos-con-Geogebra

En Borba y Villarreal (2005), [5] se presenta un constructo teorico denominado humans-with-media en el cual se discute como el conocimiento matematico es el resultado deuna construccion de un colectivo pensante de seres-humanos-con-medios. Estos autorespuntualizan que los medios empleados para comunicar, representar y para producir ideasmatematicas condicionan el tipo de matematicas que son construidas y el tipo de pensamientoa ser desarrollado en esos procesos. [6].

El constructo teorico de estos investigadores esta fundamentado epistemologicamente en losplanteamientos de Levy (1993), [16] quien, segun Borba y Villarreal (2005), afirma que latecnologıa y los artefactos deben ser vistos en interrelacion con los seres humanos, de dichainterrelacion depende la manera en que producimos conocimiento.

Villarreal y Borba (2010) [25], senalan tambien, que el constructo teorico de seres-humanos-con-medios esta soportado en dos pilares, los cuales mencionan que la cognicion no esun trabajo individual sino mas bien de naturaleza colectiva; y que la cognicion incluyeherramientas, dispositivos, artefactos y medios con los cuales el conocimiento es producido.Dentro de este constructo teorico, la separacion entre seres humanos y medios no tienesentido, pues los medios son componentes del sujeto epistemico, no son simples auxiliaresni complementos, sino una parte esencial y constitutiva de este. Para estos investigadores, losmedios son tan relevantes que el uso de diferentes tipos de medios conduce a la produccionde diferentes tipos conocimiento.

La visualizacion en seres-humanos-con-Geogebra

La vision del constructo teorico seres-humanos-con-medios permea diferentes esferas deinvestigacion al interior de la educacion matematica, tal es el caso de la modelacionmatematica, la experimentacion y la visualizacion. Dado que el interes de este trabajo sefocaliza en la interaccion con el software Geogebra y en como a traves de la visualizacion deconceptos, propiedades y caracterısticas de la topologıa de espacios metricos surgen algunasideas para el diseno de estrategias al interior del trabajo, centramos nuestra atencion en loselementos teoricos que sobre la visualizacion se desarrollan en seres-humanos-con-medios.

Para Borba y Villarreal (2005) la visualizacion ha sido considerada como una formade razonamiento en la investigacion en matematicas y en educacion matematica. Estosinvestigadores presentan dos niveles en los que puede considerarse la visualizacion: el primeroasociado a su uso en la prueba matematica formal; y otro, relacionado con su uso en otrasactividades matematicas tales como la elaboracion de conjeturas, la solucion de problemas olos intentos de explicar algunos resultados matematicos a usuarios.

Al interior del constructo teorico presentado en este apartado, la visualizacion es un procesoque va mas alla del simple acto de mostrar una imagen. Al ser el constructo teorico seres-humanos-con-medios asumido como una unidad, la separacion entre lo interno y externo notiene sentido, pues dicha dicotomıa carece de valor ya que los lımites entre ellos no son clarospara el ser cognitivo. Para los autores, esta vision es compatible cuando sugieren que nuestrasexperiencias, memorias e intenciones se llevan con nosotros.

20 2.4. METODOLOGIA

Basado en los planteamientos teoricos de Borba y Villarreal en este trabajo se presentanalgunas situaciones con las cuales se puede producir conocimiento matematico usando softwarecomo el Geogebra a traves de la visualizacion de sus entes dinamicos para verificar propiedadesy caracterısticas de la topologıa de espacios metricos.

2.4. Metodologıa

En este proyecto se hace referencia al enfoque cualitativo el cual orienta el proceso deinvestigacion. Este modelo es pertinente al tema de estudio, pues pretende facilitar lavisualizacion de imagenes dinamicas y la comprension de los conceptos (topologıa de espaciosmetricos) que conllevan al conocimiento de sus propiedades y caracterısticas.

Es ası como para potencializar procesos y la apropiacion de conceptualizaciones de la topologıade espacios metricos se presentara cada una de las definiciones, teoremas, propiedadesy caracterısticas para su respectiva interpretacion con las ejemplificaciones realizadas enGeogebra.

Luego de presentar las debidas definiciones de la topologia de espacios metricos consus respectivas ejemplificaciones se procedera a desarrollar applet's animados mediantedeslizadores, los cuales dinamizan el proceso de abstraccion a traves de la visualizacion de suspropiedades y caracterısticas. Con estos applet's se formara un libro de Geogebra en la propiared del software denominada GeoGebraTube9 [8] lo que permite globalizar el conocimiento, nosolo permitiendo su descarga, sino que ademas facilitando su modificacion para adaptarlos anecesidades particulares.

Cada animacion presentada con Geogebra posee caracterısticas esenciales para sucomprension, analisis e interpretacion. Las demostraciones seran palpadas mediante lavisualizacion como medio de adquisicion de conocimiento.

9http://geogebratube.org/

CAPITULO 3

ESPACIOS METRICOS

En este capıtulo presentamos la definicion de espacio metrico brindando ejemplos que aparecende manera natural en muchas aplicaciones, cada ejemplificacion de espacio metrico vieneacompanada de una representacion grafica realizada desde el software Geogebra como mediode visualizacion de propiedades y caracterısticas de cada espacio metrico.

Antes de iniciar presentando la definicion de espacio metrico haremos un preambuloconsiderando ejemplos extraıdos del medio en los cuales tomamos como referencia ladiferencia entre lo que verdaderamente esta cerca o lejos, ası que como primera aproximacionconsideramos que la distancia es una funcion que a cada par de objetos distintos se le asignaun numero real positivo. Sin embargo basta considerar unos ejemplos para concluir que estafuncion no puede ser arbitraria.

Por ejemplo, si se pudiera definir la distancia d(x, y) =| x − 2y | (como se presenta en lafigura 3.1) en el conjunto de numeros reales, ocurrirıan cosas demasiado extranas, esto es, ladistancia entre 100 y 50 serıa 0, pero la distancia de 50 a 100 serıa 150, es decir, 100 estarıamuy cerca, infinitamente cerca, de 50, pero 50 estarıa lejos de 100, como se presenta en lafigura 3.1.

Figura 3.1: Distancia d(x, y) =| x− 2y |

Ahora si tomamos o definimos la distancia de la siguiente manera, d(x, y) = (x − y)2 ocurreque para ir de 0 a 2 tendrıamos que caminar 4 unidades, pero si vamos de 0 a 1 y despues de1 a 2 caminamos menos, ya que d(0, 1) + d(1, 2) = 2 (ver figura 3.2).

21

22 3.1. ESPACIO METRICO

Figura 3.2: Distancia d(x, y) = (x− y)2

En los anteriores ejemplos se evidencian contradicciones debido a las formulaciones acerca dela definicion de distancia, estas dificultades sugirieron a los matematicos de principios del sigloXX, especialmente a Maurice Frechet, quien presenta la siguiente definicion general y rigurosaque se ajusta a las necesidades matematicas y evita casos extranos como los anteriores.

3.1. Espacio metrico

Un espacio metrico es un conjunto E dotado de una funcion d : E × E −→ R, la cual asociaa cada par (x, y) ∈ E × E un numero real d(x, y), tal que:

(i). d(x, y) ≥ 0,∀x, y ∈ E

(ii). d(x, y) = 0 ⇔ x = y

(iii). d(x, y) = d(y, x),∀x, y ∈ E

(iv). d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z),∀x, y, z ∈ E.

La propiedad (iv) es denominada desigualdad triangular porque si dados tres puntos (x, y, z)en el plano, como se muestra en la figura 3.3, entonces (iv) establece que la longitud de unode los tres lados del triangulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros doslados.

Figura 3.3: Desigualdad triangular

La funcion d recibe el nombre de metrica en E (o distancia en E). Un espacio metrico esentonces un par ordenado (E, d), donde E es un conjunto y d una metrica sobre E.

3.2. EJEMPLOS DE ESPACIOS METRICOS 23

3.2. Ejemplos de espacios metricos

A continuacion se presentan una variedad de ejemplos de espacios metricos particulares, encada uno de ellos se pone de manifiesto la definicion de metrica.

3.2.1. Metrica discreta

Sea E un conjunto no vacıo y d la funcion de E × E en R definida por:

d(x, y) =

0, si x = y

1, si x 6= y

La demostracion de que (E, d) es un espacio metrico se reduce a una comprobacion. Alespacio metrico (E, d) se le llama discreto, aunque carece de mayor interes, dada su evidentetrivialidad, nos indica que todo conjunto no vacıo puede proveerse de una metrica. Por otraparte, los espacios discretos se emplean con frecuencia como contraejemplos.

3.2.2. Metrica usual en R

Si E = R y d : R×R −→ R esta definida por d(x, y) =| x− y |, para x, y ∈ R, entonces (E, d)es un espacio metrico.

Figura 3.4: Metrica usual en R

Las condiciones de distancia se deducen inmediatamente de las propiedades conocidas delvalor absoluto, esto es, la distancia siempre es positiva y la distancia de x a y es la misma quela distancia de y a x, como se presenta en la figura 3.4. A esta metrica le llamaremos metricausual o Euclidea de R.

3.2.3. Metrica Euclidiana en R2

Si E = R2 y d : R2 × R

2 −→ R definida para x = (x1, y1), y = (x2, y2) ∈ R2 por:

d2(x, y) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

24 3.2. EJEMPLOS DE ESPACIOS METRICOS

Figura 3.5: Metrica Euclidiana en R2

En la figura 3.5 se evidencia la manera usual de medir en R2 y se verifican los axiomas

correspondientes a la definicion de metrica. Esta metrica se denomina metrica usual oEuclidiana.

3.2.4. Metrica del taxi o de Manhattan en R2

Si E = R2 y d : R2 × R


d1(x, y) =| x1 − x2 | + | y1 − y2 |

Figura 3.6: Metrica del taxi en R2

En la figura 3.6 se observa la distancia entre dos puntos cuya medida viene determinada poruna generalizacion de la metrica usual sobre R, en la cual menciona que para medir la distanciaentre B y A hallamos primero la distancia horizontal entre las primeras componentes de B yA, es decir, x1 e x2 y le anadimos la distancia vertical entre y1 e y2.

El nombre se debe a que la distancia se puede interpretar como la longitud del recorrido deun taxi, que en una ciudad cuadriculada (Manhattan), va desde un punto al otro con un sologiro del volante.


3.2.5. Metrica del maximo o del ajedrez en R2

Si E = R2 y d : R2 × R


d∞(x, y) = max{| x1 − x2 |, | y1 − y2 |}

Figura 3.7: Metrica del maximo en R2

En la metrica del maximo la distancia entre dos puntos viene determinada por la maximadistancia horizontal o vertical entre dos puntos, es decir, si queremos determinar el recorridoentre el punto B y el punto A (ver figura 3.7) tomamos la mayor longitud horizontal o verticalentre sus componentes.

El nombre se debe a que esta metrica se puede interpretar de la siguiente manera: si pensamosen un tablero de ajedrez y en el una sola pieza, el rey; este puede alcanzar en un solomovimiento las ocho casillas que le rodean. Pues bien, la distancia entre dos casillas es elmınimo numero de movimientos que debe hacer el rey para ir de una casilla a la otra.

Hasta el momento se han presentado ejemplos de metricas en R2 pero no se ha realizado un

recorrido de sus argumentos de validez que comprueben que verdaderamente corresponden auna metrica; a continuacion se presentan dos resultados de gran importancia para esbozar lasdemostraciones de la desigualdad triangular para los anteriores resultados.

3.2.6. Desigualdad de Cauchy - Schwartz

Si a1, a2, · · · , an y b1, b2, · · · , bn son numeros reales arbitrarios, tenemos que:

(

n∑

k=1

ak · bk)2

6

(

n∑

k=1

a2k

)

·(

n∑

k=1

b2k

)

Demostracion:

Una suma de cuadrados nunca puede ser negativa, por tanto:


(∀x ∈ R),

(

n∑

k=1

akx+ bk

)2

≥ 0

Esta ultima desigualdad puede ser escrita en la forma:

Ax2 + 2Bx+ C ≥ 0,

donde

A =

n∑

k=1

a2k; B =

n∑

k=1

ak · bk; C =

n∑

k=1

b2k

Debemos demostrar que B2 ≤ A · C, para A ≥ 0; ası, tenemos que:

Si A = 0, ak = 0 para todo k, ak · bk = 0, para todo k y ası la desigualdad B2 ≤ A · Ces valida.

Si A > 0, sea x = −B

A; entonces, A ·

(

−B

A

)2

+ 2B ·(

−B

A

)

+ C ≥ 0.

Ası, −B2

A+ C ≥ 0, y como A > 0, −B2 +A · C ≥ 0, entonces B2 ≤ A · C. �

Por tanto queda demostrada la desigualdad de Cauchy - Schwartz.

3.2.7. Desigualdad de Minkowski

Si a1, a2, · · · , an y b1, b2, · · · , bn son numeros reales arbitrarios, tenemos que:

(

n∑

k=1

(ak + bk)2

)1/2

6

(

n∑

k=1

a2k

)1/2

+

(

n∑

k=1

b2k

)1/2

Demostracion:

Demostrar la desigualdad de Minkowski, es equivalente a demostrar la desigualdad:

n∑

k=1

(ak + bk)2 6

n∑

k=1

a2k +n∑

k=1

b2k + 2 ·(

n∑

k=1

a2k

)1/2

·(

n∑

k=1

b2k

)1/2

Si desarrollamos la sumatoria de la izquierda, obtenemos:

n∑

k=1

(ak + bk)2 =

n∑

k=1

a2k +n∑

k=1

b2k + 2 ·n∑

k=1

a2k · b2kr


Con lo cual, solo queda simplificar y aplicar la desigualdad de Cauchy - Schwarz y se demuestrala desigualdad de Minkowski.�

3.2.8. Generalizacion de las metricas d1, d2 y d∞ para Rn

Las metricas d1, d2 y d∞ se pueden generalizar para Rn de la siguiente manera:

Sean x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn e y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ R

n, se definen:

d1(x, y) =

n∑

i=1

| xi − yi |

d2(x, y) =

√

√

√

√

n∑

i=1

(xi − yi)2

d∞(x, y) = max1≤i≤n

| xi − yi |

Figura 3.8: Metricas d1(x, y), d2(x, y) y d∞(x, y)

La figura 3.8 presenta las metricas d1, d2 y d∞ en R2, a continuacion se presentan

demostraciones de las metricas para generalizaciones en Rn.

La demostracion de que d1 y d∞ son metricas se valida verificando propiedades del valorabsoluto, en efecto, tal y como se han definido, las dos son no negativas, ademas como| xi − yi |= 0 y (xi − yi)

2 = 0 si, y solo si, xi = yi se cumple la propiedad (ii) de metrica.

Ademas | xi − yi |=| yi − xi | y (xi − yi)2 = (yi − xi)

2, con lo que obtenemos la propiedad(iii). Para demostrar la desigualdad triangular hay que tener en cuenta propiedades del valorabsoluto para cada i, esto es:

| xi − zi |≤| xi − yi | + | yi − zi |

Ası para el caso de la metrica d1 tenemos que:


d1(x, z) =

n∑

i=1

| xi−zi |=n∑

i=1

| xi−yi+yi−zi |=n∑

i=1

| (xi−yi)+(yi−zi) |≤n∑

i=1

(| xi−yi | + | yi−zi) |

=n∑

i=1

| xi − yi | +n∑

i=1

| yi − zi) |= d1(x, y) + d1(y, z)

Ası, d1(x, z) ≤ d1(x, y) + d1(y, z) y se cumple la desigualdad triangular.�

Para d∞(x, y) se tiene que:

d∞(x, z) = max1≤i≤n

| xi − zi | = max1≤i≤n

| xi − yi + yi − zi | ≤ max1≤i≤n

| xi − yi | + | yi − zi |

= max1≤i≤n

| xi − yi |+ max1≤i≤n

| yi − zi | = d∞(x, y) + d∞(y, z)

Ası, d∞(x, z) ≤ d∞(x, y) + d∞(y, z) y se cumple la desigualdad triangular. Por tanto quedademostrado que d1 y d∞ cumplen las propiedades para una metrica.�

Lo mismo sucede con las propiedades (i), (ii) y (iii) para la distancia usual d2. Para demostrarla propiedad (iv) se debe tener en cuenta la desigualdad de Cauchy-Schwarz demostradaanteriormente, esto es:

Si x = (x1 · · · xn) ∈ Rn, y = (y1 · · · yn) ∈ R

n, z = (z1 · · · zn) ∈ Rn, entonces:

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

En efecto,

d(x, z) =

(

n∑

i=1

(xi − zi)2

)1/2

=

(

n∑

i=1

[(xi − yi) + (yi − zi)]2

)1/2

(

n∑

i=1

[(xi − yi)2 + 2(xi − yi)(yi − zi) + (yi − zi)

2]

)1/2

=

(

n∑

i=1

(xi − yi)2 + 2 ·

n∑

i=1

(xi − yi)(yi − zi) +

n∑

i=1

(yi − zi)2

)1/2

Aplicando la desigualdad de Cauchy - Schwarz, tenemos que:

(

n∑

i=1

(xi − yi)2 + 2 ·

n∑

i=1

(xi − yi)(yi − zi) +n∑

i=1

(yi − zi)2

)1/2


≤

n∑

i=1

(xi − yi)2 + 2 ·

(

n∑

i=1

(xi − yi)2

)1/2

·(

n∑

i=1

(yi − zi)2

)1/2

+n∑

i=1

(yi − zi)2

1/2

=

(

n∑

i=1

(xi − yi)2

)1/2

+

(

n∑

i=1

(yi − zi)2

)1/2

2

1/2

=

(

n∑

i=1

(xi − yi)2

)1/2

+

(

n∑

i=1

(yi − zi)2

)1/2

= d(x, y) + d(y, z)

Ası, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) y se cumple la desigualdad triangular.�

Por tanto, (Rn, d2) es un espacio metrico.

3.2.9. Metrica del ascensor en R2

En el espacio con la metrica del maximo en R2 se define la metrica del ascensor como:

d((x1, y1), (x2, y2)) =

{

| y1 − y2 |, x1 = x2

| y1 | + | x1 − x2 | + | y2 |, x1 6= x2

Figura 3.9: Metrica del ascensor

La metrica del ascensor puede interpretarse de la siguiente manera: Si pensamos en el planocomo la union de todas las rectas verticales y a su vez, pensamos en estas como si se tratarade edificios, entonces la distancia entre dos puntos que estan en la misma recta vertical, estoes, la distancia entre A y B (ver figura 3.9), es solo el valor absoluto de la diferencia de lascoordenadas verticales, esto puede interpretarse como el recorrido de un ascensor que va desdeuna planta a otra en el mismo edificio, es decir, desde punto A que se encuentra en la planta5 hasta el punto B que se encuentra en la planta 2.

Si los puntos estan en verticales diferentes, entonces la distancia es la suma | y1 | + | x1−x2 |+ | y2 |, lo que puede interpretarse como el recorrido que consiste en bajar con el ascensor del


primer edificio hasta la planta baja (recta de abscisas), ir por la calle hasta el segundo edificioy subir con el ascensor del segundo edificio hasta la planta que indica la segunda coordenadadel segundo punto, es decir, si quisieramos ir del punto A al punto C que se encuentra en otrarecta vertical tendrıamos que realizar los movimientos anteriormente mencionados.

Para comprobar que la distancia del ascensor cumple con las propiedades de una metrica, bastacon demostrar la desigualdad triangular, ya que las propiedades (i)− (iii) se comprueban dederivaciones del valor absoluto. A continuacion demostraremos la desigualdad triangular.

Sean (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) ∈ R2.

Veamos que d((x1, y1), (x3, y3)) ≤ d((x1, y1), (x2, y2)) + d((x2, y2), (x3, y3))

Tomando los siguientes casos x1 = x3 o x1 6= x3, tenemos que:

Si x1 = x3, entonces:

d((x1, y1), (x3, y3)) =| y1 − y3 | (1)

� x1 = x2 o x1 6= x2

Si x1 = x2, entonces

d((x1, y1), (x2, y2)) =| y1 − y2 | (2)

d((x2, y2), (x3, y3)) =| y2 − y3 | (3) (por ser x1 = x2 = x3)

y en este caso de (1), (2) y (3), la desigualdad triangular se cumple puesto que:

| y1 − y3 |≤| y1 − y2 | + | y2 − y3 |

� Si x1 6= x2, entonces:

d((x1, y1), (x2, y2)) =| y1 | + | y2 | + | x1 − x2 | (4)

d((x2, y2), (x3, y3)) =| y2 | + | y3 | + | x2 − x3 | (5) (por ser x2 6= x3)

De (1), (4) y (5) se tiene la validez de la desigualdad triangular ya que:

| y1 − y3 |≤| y1 | + | y2 | + | x1 − x3 | + | y2 | + | y3 | + | x2 − x3 |

Si x1 6= x3, entonces:

d((x1, y1), (x3, y3)) =| y1 | + | y3 | + | x1 − x3 | (6)


x2 = x1 o x2 = x3 o (x2 6= x3 y x2 6= x1)

� Si x2 = x1, entonces

(6), (2) y (5) se deduce la validez de la desigualdad triangular, ya que:

| y1 | + | y3 | + | x1 − x3 |≤| y1 − y2 | + | y2 | + | y3 | + | x2 − x3 |� Si x2 = x3, entonces

(6), (3) y (4) se deduce la validez de la desigualdad triangular, ya que:

| y1 | + | y3 | + | x1 − x3 |≤| y1 | + | y2 | + | x1 − x2 | + | y2 − y3 |� Si x2 6= x3 y x2 6= x1, entonces:

(6), (4) y (5) se concluye que la desigualdad triangular se cumple, puesto que:

| y1 | + | y3 | + | x1 − x3 |≤| y1 | + | y2 | + | x2 − x1 | + | y2 | + | y3 | + | x2 − x3 |

Ası, se cumple la desigualdad triangular d((x1, y1), (x3, y3)) ≤ d((x1, y1), (x2, y2)) +d((x2, y2), (x3, y3)) y por tanto d((x1, y1), (x2, y2)) es una metrica.�

3.2.10. Metrica de la recta en R2

En la metrica del maximo en R2 se define la metrica de la recta como:

d((x1, y1), (x2, y2)) =

{

| x2 − x1 |, y1 = y2

| x1 | + | y2 − y1 | + | x2 |, y1 6= y2

Figura 3.10: Metrica de la recta

La metrica de recta es una derivacion de la metrica del ascensor, en el caso del plano sipensamos en la union de todas las rectas horizontales (ver figura 3.10), entonces la distancia


entre dos puntos que estan en la misma recta horizontal es solo el valor absoluto de la diferenciade las coordenadas horizontales.

Si estan en rectas horizontales diferentes entonces la distancia es la suma | x1 | + | y2 − y1 |+ | x2 |, lo que se puede interpretar como el recorrido en linea recta hacia un punto llegandohasta una recta fija para luego realizar un recorrido vertical hasta alcanzar la otra recta yavanzar hasta su destino. La demostracion de la propiedades de metrica son similares a lasrealizadas en el ejemplo anterior.

3.2.11. Metrica del mensajero en R2

En el espacio Euclidiano R2 se define la metrica del mensajero como:

d((x1, y1), (x2, y2)) =

{

√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2, x1y2 = x2y1√

x21 + y21 +√

x22 + y22, x1y2 6= x2y1

Figura 3.11: Metrica del mensajero

La metrica del mensajero en R2 se considera como la distancia entre dos puntos distintos

del plano la cual equivale a la suma de las distancias Euclıdeas de ambos puntos al origen,es decir, para dirigirnos desde el punto A al punto C (ver figura 3.11), primero se halla ladistancia Euclidea de A al origen la cual corresponde a 2 veces la distancia entre A y B y sele adiciona la distancia Euclidea entre el origen y el punto final (C).

Esta metrica se puede interpretar de la siguiente manera: si se midiese el camino que recorreuna carta que sale desde un primer punto (A), llega a un segundo punto (B) y luego pasapor la oficina de correos, situada en el origen, y de allı va al punto final (C), en el que esta eldestinatario de la carta.

3.2.12. Metrica del supremo

Sea C[a, b] el conjunto de las funciones reales continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Seanf, g ∈ C[a, b] definimos:

d(f, g) = sup{| f(x)− g(x) |: x ∈ [a, b]}


La metrica del supremo corresponde con la mayor separacion vertical entre las graficas delas funciones, en la figura 3.12 se observa de color azul la mayor distancia vertical entre lasfunciones f(x) y g(x) para el intervalo de −2 a 2.

Figura 3.12: Metrica del supremo

A continuacion se presenta la demostracion de que d(f, g) cumple las propiedades para unametrica.

En efecto. En primer lugar d(f, g) esta bien definida, puesto que | f(x)− g(x) | es una funcioncontinua en [a, b] y, por tanto, existe el supremo.

Por otra parte, | f(x)− g(x) | es positiva o cero para todo x ∈ [a, b], esto es: d(f, g) ≥ 0.

Ademas, d(f, g) = 0 si y solo si | f(x) − g(x) |= 0 para todo x ∈ [a, b], esto es, si y solo sif(x) = g(x) para todo x ∈ [a, b].

Finalmente, para demostrar la desigualdad triangular, tomemos h ∈ C[a, b] y veamos qued(f, g) = d(f, h) + d(h, g). En efecto, tenemos que:

d(f, g) = Sup{| f(x)− g(x) |: x ∈ [a, b]}

= Sup{| f(x)− h(x) + h(x)− g(x) |: x ∈ [a, b]}

≤ Sup{| f(x)− h(x) | + | h(x)− g(x) |} : x ∈ [a, b]}

≤ Sup{| f(x)− h(x) | +Sup | h(x)− g(x) |: x ∈ [a, b]}

= d(f, h) + d(h, g)

Ası, (C[a, b], d(f, g)) es un espacio metrico. �


3.2.13. Metrica de clase C[a, b]

Sea C[a, b] el conjunto de las funciones reales continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Seanf, g ∈ C[a, b] definimos:

d(f, g) =

∫ b

a| f(x)− g(x) | dx

Ası d(f, g) es el area de la region comprendida entre las graficas de las funciones (ver figura3.13).

Figura 3.13: Metrica de clase C(a, b)

A continuacion se presenta la demostracion de que d(f, g) cumple las propiedades para unametrica.

En efecto, sabemos que si f(x) ≥ 0, entonces∫ ba f(x)dx ≥ 0 para cada x ∈ [a, b] y tambien

que∫ ba f(x)dx = 0 si, y solo si, f(x) = 0; por tanto se cumplen las dos primeras condiciones

de distancia.

De la simetrıa del valor absoluto | f(x)−g(x) |=| g(x)−f(x) |, se obtiene la tercera condicion;y por ultimo, demostraremos la desigualdad triangular con h ∈ C[a, b], esto es:

d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g)

En efecto,

d(f, g) =

∫ b

a| f(x)− g(x) | dx

=

∫ b

a| f(x)− h(x) + h(x)− g(x) | dx

≤∫ b

a(| f(x)− h(x) | + | h(x) − g(x) |)dx


=

∫ b

a| f(x)− h(x) | dx+

∫ b

a| h(x)− g(x) | dx

= d(f, h) + d(h, g)

Ası, d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g). Por tanto (C[a, b], d(f, g)) es un espacio metrico.�

3.2.14. Distancia de un punto a un conjunto

Nos planteamos ahora la posibilidad de medir distancias entre un punto y un conjunto, o entredos conjuntos, a partir de la distancia definida en un espacio metrico.

Definicion:

Sea (E, d) un espacio metrico, A un subconjunto de E y x un punto de E. La distancia de x

al subconjunto A se define como:

d(x,A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}

Figura 3.14: Distancia de un punto a un conjunto

La metrica d(x,A), es decir, la distancia entre un punto y un conjunto corresponde a la menordistancia entre el punto y el conjunto, esto es, si unimos cada punto del conjunto A con elpunto x mediante un segmento (ver figura 3.14), escogerıamos el de menor longitud (colorrojo); precisamente la menor longitud serıa la distancia del punto x al conjunto A.

Es de resaltar que el ınfimo de un conjunto de numeros reales acotado inferiormente siempreexiste y d(x,A) es la maxima cota inferior de las distancias de x a los puntos de A.


3.2.15. Distancia entre conjuntos

Tomemos ahora dos conjuntos no vacıos A,B ⊂ E. El conjunto de numeros reales constituidopor todas las distancias entre un punto de A y uno de B, tal conjunto esta acotadoinferiormente por 0, por lo cual debe admitir extremo inferior no menor que 0. Este conjuntose denota y se define por:

d(A,B) = inf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}

La d(A,B) es la maxima cota inferior de las distancias de los puntos x de A a los puntos y

de B.

De las definiciones anteriores se sigue las siguientes proposiciones:

Proposicion:

Sean A y B subconjuntos no vacıos de E y sea x ∈ E. Entonces:

(i) d(x,A), d(A,B) y d(A) son numeros reales no negativos.

(ii) Si x ∈ E, entonces d(x,A) = 0.

(iii) Si A ∩B no es vacıa, entonces d(A,B) = 0.

(iv) Si A es finito, entonces d(A) < ∞ y A es acotado.

Ejemplos de distancia entre conjuntos

1). Si d es la metrica discreta sobre E, sean x ∈ E y A,B ⊂ E, entonces:

d(x,A) =

1, si x 6= A

0, si x ∈ A

y

d(A,B) =

1, si A ∩B = ∅

0, si A ∩B 6= ∅

Los anteriores resultados verifican la proposicion mencionada.


2). Consideremos R con la metrica usual d(x, y) =| x− y | y sea A = (1, 2] ⊂ R (ver figura3.15), entonces:

Figura 3.15: Distancia de un punto a un conjunto.

d(32 , A) = inf{| 32 − x |: x ∈ (1, 2]} = 0;

d(1, A) = inf{| 1− x |: x ∈ (1, 2]} = 0;

d(0, A) = inf{| x |: x ∈ (1, 2]} = 1;

3). En (R2, d2) consideremos los subconjuntos:

A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1

B = {(x, y) ∈ R2 : x+ y = 2

Figura 3.16: Distancia entre conjuntos

Vamos a calcular la distancia d(A,B). La figura 3.16 ayuda a visualizar que la distanciaque queremos calcular es la diferencia entre la longitud de la diagonal de un cuadradode lado 1, que es

√2, y el radio del cırculo A que es 1, por tanto, la distancia buscada

es d(A,B) =√2− 1.


3.2.16. Diametro

Sea (E, d) un espacio metrico y B ⊂ E un subconjunto acotado. El diametro de B,representado por diam(B) = d(B), se define como:

diam(B) = d(B) = sup{d(x, y) : x, y ∈ B}

Figura 3.17: Diametro

El d(B) en la mayor distancia entre puntos de un determinado conjunto (ver figura 3.17), estecorresponde a la mınima cota superior de las distancias entre los puntos de B. Si el diametrode B es finito, es decir d(B) < ∅, entonces se dice que B es acotado.

Ejemplos de Diametros

1). Los diametros de los subconjuntos [1, 2], [1, 2) y {0} ∪ [1, 2) de R con la distancia usualson, respectivamente, 1, 1 y 2.

En efecto, en el caso de [1, 2] no hay nada que probar pues 1 es precisamente, la longituddel intervalo. En el caso del intervalo [1, 2), supongamos que d([1, 2)) = r < 1, entonces1 + r ∈ [1, 2), y existe ǫ > 0 tal que 1 + r + ǫ ∈ [1, 2) con lo que:

d(1, 1 + r + ǫ) =| 1 + r + ǫ− 1 |= r + ǫ > r,

en contra de que d([1, 2)) = r.

2). Consideremos el subconjunto A = [0, 1] × [0, 1] de R2, es decir, el cuadrado unidad, y

veamos su diametro para cada una de las distancias d1, d2 y d∞ (ver figura 3.18).


Figura 3.18: Diametro.

En el caso de d1 el diametro es:

diam1(A) = d1(A) = 2,

Pues se trata del maximo del las sumas de los valores absolutos de las diferencias entrelas coordenadas, es decir, la suma de dos lados del cuadrado. (ver figura 3.18).

En el caso d2 es la mayor distancia entre dos puntos del cuadrado, es decir, la longitudde la diagonal. (ver figura 3.18).

diam2(A) = d2(A) =√2.

Por ultimo, en el caso d∞, se trata del mayor valor absoluto de la diferencia entrecoordenadas, es decir la longitud de uno de los lados, esto es

diam∞(A) = d∞(A) = 1.

El diametro de un conjunto, como era de esperar, depende de la distancia.�

CAPITULO 4

TOPOLOGIA DE ESPACIOS METRICOS

En este capıtulo se presenta la nocion de topologıa asociado a un espacio metrico introduciendolas bolas abiertas y a partir de allı se estudian los conjuntos abiertos, los cerrados ysus propiedades. Se presentan representaciones graficas mediante el software Geogebra dedefiniciones y propiedades establecidas de la topologıa de espacios metricos.

4.1. Bolas abiertas y cerradas

En los espacios metricos, hay ciertos subconjuntos con propiedades muy notables y que serevelan como el instrumento indispensable para un estudio riguroso del analisis. Estos son losconjuntos abiertos. Dado un espacio metrico (E, d), existen unos subconjuntos relevantes deel capaces de describir a los vecinos de un punto controlando la distancia (grado de cercanıa)y que ademas serıan los encargados de definirnos la topologıa inherente a la metrica.

4.1.1. Bola abierta

Sea E un espacio metrico, x ∈ E, r > 0. Entonces la bola abierta en E de centro x y radio r,es el conjunto:

B(x, r) = {a ∈ E : d(x, a) < r}.

Figura 4.1: Bola abierta

En ocasiones se escribe BE(x, r) para enfatizar el hecho de que sus puntos son de E (ver figura4.1).

40

4.1. BOLAS ABIERTAS Y CERRADAS 41

4.1.2. Bola cerrada

Sea E un espacio metrico, x ∈ E, r > 0. Entonces la bola cerrada en E de centro x y radio r,es el conjunto:

B(x, r) = {a ∈ E : d(x, a) ≤ r}.

Figura 4.2: Bola cerrada

Regularmente se escribe BE(x, r) para enfatizar el hecho de que sus puntos son de E.(verfigura 4.2).

A continuacion se presentan una variedad de ejemplos de bolas.

4.1.3. Bola con la metrica discreta

Sea un espacio metrico discreto (E, dD), la bola B(x, r) es el conjunto:

B(x, r) =

{x}, si r ≤ 1

E, si r > 1

La bola B(x, r) con la metrica discreta corresponde al conjunto E si el radio es mayor que 1y corresponde a su centro cuando su radio es menor o igual que 1.

4.1.4. Bola con la metrica usual

En el espacio metrico (R, d), donde d(x, y) =| x− y | para x, y ∈ R, dados a ∈ R y ǫ > 0. Labola abierta de centro a y radio ǫ, es el intervalo abierto: (ver figura 4.3).

(a− ǫ, a+ ǫ) = {x ∈ R : a− ǫ < x < a+ ǫ}

Figura 4.3: Bola abierta en R

42 4.1. BOLAS ABIERTAS Y CERRADAS

La bola cerrada de centro a y radio ǫ, es el intervalo cerrado:

[a− ǫ, a+ ǫ] = {x ∈ R : a− ǫ ≤ x ≤ a+ ǫ}

4.1.5. Bola con la metrica Euclidiana

En el espacio metrico (R2, d2), tenemos que:

B((a, b), r) = {(x, y) ∈ R2 : (x− a)2 + (y − b)2 < r2}

Corresponde al interior del circulo de radio r centrado en un punto (a, b).(ver figura 4.4).

Figura 4.4: Bola con la metrica Euclidiana

En el espacio metrico (R3, d2), se tiene:

B((a, b, c), r) = {(x, y, z) ∈ R3 : (x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 < r2}

Corresponde al interior de la bola solida de radio r centrada en (a, b, c). (ver figura 4.5).

Figura 4.5: Bola con la metrica Euclidiana en R3

Nota: La apariencia geometrica de una bola en R2 o R

3 no necesariamente es esferica. Laapariencia geometrica de una bola depende de la metrica en consideracion.

4.1.6. Bola con la metrica del maximo

En el espacio metrico (R2, d∞), la bola con centro en 0 y radio r es:

B((0, 0), r) = {(x, y) ∈ R2 : max{| x |, | y |} < r

La bolaB(0, r) es el interior del cuadrado de centro 0 y de lados paralelos a los ejes coordenadosy con longitud 2r. (ver figura 4.6).


Figura 4.6: Bola con la metrica del maximo

Los puntos del plano que verifican max{| x |, | y |} < r es | x |< r e | y |< r, estas coordenadasx e y estan en el intervalo (−r, r), ası la bola sera:

B((0, 0), r) = (−r, r)× (−r, r)

De igual forma se tiene que para (a, b) ∈ R2, la bola es:

B((a, b), R) = (a− r, a+ r)× (b− r, b + r)

En el espacio metrico (R3, d∞), la bola corresponde a un cubo como se presenta en la figura4.7.

Figura 4.7: Bola con la metrica del maximo en R3

4.1.7. Bola con la metrica del taxi.

En el espacio metrico (R2, d1), la bola con centro en 0 y radio r es:

B((0, 0), r) = {(x, y) ∈ R2 :| x | + | y |} < r

La bola B(0, r) es el interior del rombo centrado en el punto (0, 0) y con vertices en los puntos(0, r), (0,−r), (r, 0), (−r, 0). (ver figura 4.8).


Figura 4.8: Bola con la metrica del taxi.

La bola B(0, r) corresponde a los puntos del plano que verifican | x | + | y |< r. Si suponemosque x, y ≥ 0 se debe cumplir que x + y < r, es decir, se trata de los puntos del plano cuyascoordenadas son no negativas y verifican y < r − x; en definitiva, los puntos del primercuadrante que estan por debajo de la recta y = r − x. Razonando de la misma manera sobrelos posibles signos de las coordenadas se obtiene el cuadrado al cual nos referıamos antes.

En el espacio metrico (R3, d1), la bola corresponde a un octaedro como se presenta en la figura4.9.

Figura 4.9: Bola con la metrica del taxi en R3

4.1.8. Bolas para metricas dp en R2p

Podemos generalizar los ejemplos anteriores y definir una metrica dp en R2 para cada numero

real p ≥ 1. (con ello tenemos una coleccion infinita de metricas).

dp(x, y) =

(

n∑

i=1

| xi − yi |p)1/p

El espacio metrico resultante es notado por algunos autores como l2p, para el caso p = 2 es lamanera usual de medir en R

2.

La figura 4.10 nos presenta las bolas correspondientes a la generalizacion anterior parap = 1, 2, 7 y p = 20 en R

2.


Figura 4.10: Bolas con las metricas d1, d2, d7 y d20 en R2

En R2p la definicion de la metrica dp con la condicion p ≥ 1 no debe pasar desapercibida,

puesto que en el caso p < 1 no obtenemos una metrica. Por ejemplo, para p = 12 y

n = 2 (ver figura 4.11) la desigualdad triangular no se verifica en el caso de los puntosx = (1, 1), y = (0, 0), z = (1, 0) pues d(x, y) = 4 mientras que d(x, z) = d(z, y) = 1.

Figura 4.11: Bola en R2(1/2)

4.1.9. Bola con la metrica del mensajero.

En el espacio metrico (R2, d), la bola con centro en A y radio r, correspondiente a la metrica:

d((x1, y1), (x2, y2)) =

{

√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2, x1y2 = x2y1√

x21 + y21 +√

x22 + y22, x1y2 6= x2y1

Figura 4.12: Bola con la metrica del mensajero


Es una extension de la bola con la metrica Euclidiana con centro en un punto A. (ver figura4.12.

Las bolas para la metrica del mensajero centradas en un punto y con radio positivo, consistenen el centro (en este caso A) unido con la bola Euclidiana centrada en el origen y de radio r

menos la distancia del centro al origen. Si el radio es menor o igual que esa distancia, entoncesla bola se reduce al centro.

4.1.10. Bola con la metrica del ascensor.

En el espacio metrico (R2, d), la bola con centro en A y radio r correspondiente a la metrica:

d((x1, y1), (x2, y2)) =

{

| y1 − y2 |, x1 = x2

| y1 | + | x1 − x2 | + | y2 |, x1 6= x2

Es una extension de la bola con la metrica del maximo con centro en un punto A. (ver figura4.13.

Figura 4.13: Bola con la metrica del ascensor

La bola correspondiente a la metrica tiene las siguientes especificaciones: En primer lugarB((0, 0), 1) = {(x, y) : d((0, 0), (x, y) < 1}; veamos que puntos son: si x = 0, entoncesd((0, 0), (0, y)) =| y |< 1, de modo que se trata del segmento vertical (ver figura 4.13,izquierda), sobre el eje Y que va del punto (0,−1) al (0, 1), excluidos ambos extremos; a esteconjunto hay que unirle los que verifican que x 6= 0, y entonces d((0, 0), (x, y)) =| x | + | y |< 1y este conjunto ya lo hemos estudiado, se trata del rombo, sin el “borde”, con vertices en(1, 0), (0, 1), (−1, 0) y (0,−1) (ver figura 4.13, derecha) y esta es la bola buscada puesto queel segmento anterior esta contenido en el rombo. De forma similar puede encontrar el restode las bolas que se piden.

4.1.11. Bola con la metrica de la recta

En el espacio metrico (R2, d), la bola con centro en A y radio r correspondiente a la metrica:

d((x1, y1), (x2, y2)) =

{

| x2 − x1 |, y1 = y2

| x1 | + | y2 − y1 | + | x2 |, y1 6= y2


Es una extension de la bola con la metrica del maximo con centro en un punto A (ver figura4.14) y cumple las mismas especificaciones de la metrica del ascensor.

Figura 4.14: Bola con la metrica de la recta

4.1.12. Bola con la metrica del supremo

Sea d la metrica de la clase C[a, b] de todas las funciones continuas cuyo domino es [a, b]definida por:

d(f, g) = sup{| f(x)− g(x) |: x ∈ [a, b]}

Dados r > 0 y una funcion f0 ∈ C[a, b], entonces la bola abierta B(f0, r), consiste en todaslas funciones continuas g cuyas graficas se encuentran en el area limitada por f0 − r y f0 + r,como se indica en la figura 4.15.

Figura 4.15: Bola con la metrica del supremo

La bola B(f0, r) es el conjunto

B(f0, r) = {g ∈ (C([a, b],R)) : sup{| f0(x)− f(x) |≤ r : x ∈ [a, b]}}

La bola corresponde al area limitada por las funciones f0 − r y f0 + r.

48 4.2. CONJUNTOS ABIERTOS Y CERRADOS

4.2. Conjuntos abiertos y cerrados

Definicion:

Sea (E, d) un espacio metrico y S ⊂ E. Diremos que S es un conjunto abierto, si para cadapunto a ∈ S, existe una bola B(a, r) contenida en S (ver figura 4.16).

Figura 4.16: Conjunto abierto

4.2.1. Vecindad

Sea (E, d) un espacio metrico, a ∈ E y V ⊂ E, se dice que V es una vecindad de a si exister > 0, tal que:

a ∈ BE(a, r) ⊂ V

Proposicion 1:

Si (E, d) es un espacio metrico, p0 ∈ E y r > 0, BE(p0, r) es un conjunto abierto, si y solo si,toda bola abierta es un conjunto abierto.

Demostracion:

Consideremos la bola abierta B(a, r) y x ∈ B(a, r) un punto cualquiera de ella. Nosproponemos demostrar que existe una bola abierta de centro x contenida en B(a, r).(verfigura 4.17).

Figura 4.17: Proposicion 1

4.2. CONJUNTOS ABIERTOS Y CERRADOS 49

En efecto, sea p = r−d(a, x) > 0. Veamos que B(x, p) ⊂ B(a, r) como se presenta en la figura4.17. Sea y un punto cualquiera de B(x, p), entonces d(x, y) < p.

Ası,

d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y) < d(a, x) + p = r

Luego y ∈ B(a, r) y por tanto:

B(x, p) ⊂ B(a, r)

Ası, toda bola abierta es un conjunto abierto.

Proposicion 2:

La interseccion de dos bolas abiertas en un espacio metrico (E, d), es un abierto.

Demostracion:

Si la interseccion de ambas bolas es vacıa, no hay nada que probar. Supongamos entonces quex ∈ B(a, r) ∩B(b, s) (ver figura 4.18) y veamos que tal interseccion es una bola abierta de x.


Se cumple que d(x, a) < r y d(x, b) < s, tomemos β < min{r − d(x, a), s − d(x − b)} ycomprobemos que B(x, β) ⊂ B(a, r) ∩B(b, s).

En efecto, si y ∈ B(x, β), entonces:

d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a) < β + d(x, a) < r − d(x, a) + d(x, a) = r

y por tanto y ∈ B(x, a). De la misma forma se prueba que B(x, β) ⊂ B(b, s). �

Con esto hemos probado que la interseccion de las dos bolas contiene una bola centrada encada uno de sus puntos y, por lo tanto es un abierto.

Proposicion 3:

No todo conjunto abierto es una bola abierta.

Ası, el subconjunto de R2:


A = {(x, y) ∈ R2 :| x |< 1, | x |< 2}

no es una bola abierta de R2 para la distancia Euclidiana y sin embargo sı es un subconjunto

abierto.

El conjunto A es el rectangulo abierto (sin “bordes”) (−1, 1)×(−2, 2). Para ver que es abierto,debemos comprobar que contiene una bola, de radio adecuado, centrada en cada uno de suspuntos. Sea (a, b) ∈ A , es decir a ∈ (−1, 1) y b ∈ (−2, 2); si tomamos r < (1− | a |, 2− | b |)se tiene que B((a, b), r) ⊂ A. (ver figura 4.19, izquierda).


En efecto, si (x, y) ∈ B((a, b), r) se tiene (x − a)2 + (y − b)2 < r2, de donde se deduce que| x− a |< r < 1− | a | y, por tanto,

−1+ | a | +a < x < 1− | a | +a

de modo que si | a |= a (a ≥ 0) queda −1 + 2a < x < 1 y x ∈ (−1, 1), y si | a |= −a (a < 0)se obtiene que −1 < x < 1 + 2a, que tambien es x ∈ (−1, 1). De forma similar se compruebaque y ∈ (−2, 2).

Por el contrario, el siguiente conjunto no es abierto B = {(x, y) ∈ R2 :| x |< 1, | x |≤ 2}. (ver

figura 4.19, derecha).

En efecto, B es el rectangulo (−1, 1) × [−2, 2]. Para comprobar que no es abierto basta conencontrar un punto de B tal que cualquier bola con centro en ese punto tenga puntos fuera deB. Tomemos el punto (0, 2), entonces para todo r > 0 el punto (0; 2 + r

2) 6∈ B y, sin embargo,esta en la bola B((0, 2), r).


Proposicion 4: (Propiedad de Hausdorff)

Sea (E, d) un espacio metrico y dos puntos distintos x, y ∈ E. Entonces existen rx, ry > 0tales que:

B(x, rx) ∩B(y, ry) = ∅

Demostracion:

Sea r = d(x, y), entonces las bolas B(x, r2) y B(y, r2 ) abiertas, tienen interseccion vacıa. (verfigura 4.20). En efecto, veamos que ningun punto de la primera bola puede estar en la segunda.

Figura 4.20: Espacio de Haussdorf

Si z ∈ B(x, r2), entonces, por la desigualdad triangular:

d(z, y) ≥ d(x, y)− d(z − x) = r − d(z, x) > r − r

2=

r

2

con lo que z 6= B(y, r2 ). Para la otra bola se hace de la misma forma.

El siguiente teorema nos proporciona conjuntos abiertos diferentes a las bolas abiertas:

Teorema:

Sea (E, d) un espacio metrico:

i) El subconjunto vacıo es abierto en (E, d).

ii) El subconjunto E es abierto en (E, d).

iii) La union de cualquier coleccion de subconjuntos abiertos de E es abierto en (E, d).

iv) La interseccion de un numero finito de subconjuntos abiertos de E es abierto en (E, d).

Demostracion:

i). Es claro que la afirmacion:

∀x ∈ ∅,∃r > 0 : B(x, r) ⊂ ∅

Siempre es cierto. Luego todos los puntos de ∅ son puntos interiores, es decir, ∅ es unconjunto abierto.


ii). Dado x ∈ E, al tomar cualquier r > 0, se tiene:

B(x, r) ⊂ E

Ası, x es punto interior de E y es abierto en (E, d).

iii). Sea (Gi)i∈I una familia arbitraria de subconjuntos abiertos de (E, d).

Veamos que G =⋃

i∈IGi es abierto en (E, d).

Sea x ∈ G , entonces ∃i ∈ I, x ∈ Gi. Como Gi es abierto ∃r > 0 tal que:

B(x, r) ⊂ Gi ⊂⋃

i∈IGi

Es decir, x es punto interior de G, ası G es abierto.

iv). Sea {G1, G2, · · ·Gn} una coleccion finita de abiertos en (E, d) y sea G = G1 ∩G2 ∩G3 ∩

· · · ∩Gn =

n⋂

i=1

Gi. Demostremos que G es abierto en (E, d).

Sea x0 ∈ G, entonces x0 ∈ Gi,∀i, i = 1, 2, 3, · · · , n. Como Gi es abierto, entonces:

∃ri > 0 : B(x0, ri) ⊂ Gi i = 1, 2, 3, · · · , n.

Sea r = min{r1, r2, · · · , rn > 0. (Todo subconjunto finito no vacıo de numeros realestiene un elemento maximo y un elemento mınimo), entonces:

∀i = 1, 2, 3, · · · , n. B(x0, r) ⊂ B(x0, ri) ⊂ Gi

Es decir, B(x0, r) esta contenida en cada Gi, luego:

B(x0, r) ⊂n⋂

i=1

Gi = G

Ası, se concluye entonces que G es abierto en (E, d). �

4.2.2. Topologıa metrica

Sea (E, d) un espacio metrico. La coleccion de todas las bolas B(a, r), para a ∈ E y r > 0, esuna base para una topologıa en E, denominada topologıa metrica inducida por d.

A la familia τ formada por todos los conjuntos abiertos de (E, d) se les denomina topologıainducida en E por la distancia d. En lo que sigue, cuando hablemos de un espacio metrico losupondremos siempre dotado de la topologıa inducida por la distancia.


4.2.3. Conjunto cerrado

Dado un espacio metrico (E, d) y S ⊂ E, se dice que S es cerrado en (E, d) si E−S es abiertoen (E, d). (S es cerrado si su complemento es abierto).

Proposicion 5:

Toda bola cerrada en un espacio metrico (E, d) es un conjunto cerrado.

Demostracion:

Sea la bola cerrada B(p0, r) en un espacio metrico (E, d), veamos que E − B(p0, r) esabierto.(ver figura 4.21)


En efecto, sea p0 ∈ E, r > 0. Consideremos p ∈ E−BE(p0, r), entonces d(p0, p) > r, llamemosr∗ = d(p0, p)− r > 0. Construyamos BE(p, r

∗).

Sea q ∈ BE(p, r∗), d(p, q) < d(p0, p)− r. De tal manera que:

d(p0, q) = d(p0, q) + d(p, q) − d(p, q) ≥ d(p0, p)− d(p, q) > r

Luego, q 6∈ BE(p0, r), entonces q ∈ E −BE(p0, r). Ası, se ha demostrado que:

BE(p, r∗ ⊂ E −BE(p0, r)

Es decir, E −BE(p0, r) es abierto en (E, d), ası, BE(p0, r) es cerrado en (E, d). �

Existen conjuntos que pueden ser abiertos y cerrados. Sea X 6= ∅, x ∈ X. Consideremos en X

la metrica discreta, entonces B(x, 12) = B(x, 12) = {x}.

Es decir, el conjunto {x} en este espacio metrico es a la vez abierto y cerrado.

Con relacion a los conjuntos cerrados se tiene:

Teorema:

Sea (E, d) un espacio metrico:

i). El subconjunto E es cerrado en (E, d)

ii). El subconjunto vacıo es cerrado en (E, d).

54 4.3. SUBCONJUNTOS NOTABLES EN LA TOPOLOGIA METRICA

iii). La interseccion de cualquier coleccion de subconjuntos cerrados de E es cerrado en(E, d).

iv). La union de un numero finito de subconjuntos cerrados de E es cerrado en (E, d).

Demostracion:

i). E − E = ∅ es abierto en (E, d). Luego E es cerrado en (E, d).

ii). E − ∅ = E es abierto en (E, d). Luego ∅ es cerrado en (E, d).

iii). Sea (Fi)i∈I una familia cualquiera de subconjuntos cerrados de (E, d) y sea F =⋂

i∈IFi,

entonces:

E − F = E −(

⋂

i∈IFI

)

=⋃

i∈I(E − Fi)

Como cada E − Fi es abierto en (E, d), entonces E − F es abierto en (E, d) y ası, F escerrado en (E, d).

iv). Sea {F1, F2, · · ·Fn} una coleccion finita de subconjuntos cerrados de (E, d) y sea

F =

n⋃

i=1

(Fi), entonces:

E − F = E −(

n⋃

i=1

FI

)

=n⋂

i=1

(E − Fi)

El cual es abierto por ser interseccion de un numero finito de conjuntos abiertos. LuegoF es cerrado en (E, d). �

4.3. Subconjuntos notables en la topologıa metrica

A continuacion se introducen una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos quepor el importante papel que juegan en la topologıa metrica llamamos subconjunto notables,estos son: la adherencia de un conjunto, los puntos de acumulacion, puntos interiores, puntosexteriores y punto frontera, presentando relaciones entre ellos.

4.3.1. Punto interior

Sea (E, d) un espacio metrico y S ⊂ E, a ∈ S, a es llamado un punto interior de S en (E, d)si:

∃r > 0 : BE(a, r) ⊂ S.

4.3. SUBCONJUNTOS NOTABLES EN LA TOPOLOGIA METRICA 55

4.3.2. Interior

Si (E, d) es un espacio metrico y S ⊂ E, se define el interior de S, como el conjunto (verfigura 4.22):

{a ∈ S : a es un punto interior de S}

Figura 4.22: Punto interior

Otra manera de definir un conjunto abierto es:

Si (E, d) es un espacio metrico y S ⊂ E, diremos que S es abierto en E si todos sus puntosson interiores, es decir, si:

(∀s ∈ S), (s ∈ int(S))

De la definicion es claro que para (E, d) espacio metrico, S ⊂ E.

S es abierto en E ⇔ S = int(S)

4.3.3. Punto exterior

Un punto x ∈ E es un punto exterior a un conjunto A ⊂ E si existe una bola abiertaB(x, r) contenida en el complementario de A. El conjunto de los puntos exteriores a A sellama exterior de A y se designa por ext(A). (ver figura 4.23).

Figura 4.23: Punto exterior


4.3.4. Punto Frontera

Un punto x ∈ E es un punto frontera de un conjunto A ⊂ E si toda bola abierta B(x, r)contiene puntos de A y de su complementario. (ver figura 4.24)

Es decir, x es punto frontera de A, si y solo si:

∀r > 0, B(x, r) ∩A 6= ∅

El conjunto de los puntos frontera de A se llama frontera de A y se designa por fr(A) o ∂A.

Figura 4.24: Punto frontera

Consecuencia directa de la definicion es que int(A) ⊂ A y ext(A) ⊂ E−A. Notese, sin embargo,que la condicion de interior, exterior o frontera de un punto depende de la existencia o no deciertas bolas abiertas y, por tanto, de la distancia como se haya definido. Esto significa quepara un conjunto dado un punto puede ser interior a un conjunto si se considera una distanciay no serlo si se considera otra distancia.

Como se ha visto, los puntos interiores pueden servir para caracterizar a los conjuntos abiertos.De forma analoga, existen puntos que permiten caracterizar a los conjuntos cerrados: son lospuntos adherentes. Intuitivamente, un punto x es adherente a un conjunto A si no puedesepararse de A mediante una bola abierta. La definicion precisa y apropiada es la siguiente.

4.3.5. Punto adherente

Un punto x ∈ E es un punto adherente a un conjunto A ⊂ E cuando todo bola abiertaB(x, r) contiene puntos de A. (ver figura 4.25).

El conjunto de puntos adherentes a A se llama adherencia o clausura de A y se designa porA.

4.3.6. Punto de acumulacion

Un punto x ∈ E es un punto de acumulacion de un conjunto A ⊂ E cuando toda bolaabierta B(x, r) contiene puntos de A distintos de x.

Es decir, si para todo abierto S de x se cumple:

4.3. SUBCONJUNTOS NOTABLES EN LA TOPOLOGIA METRICA 57

Figura 4.25: Punto adherente

(S − {x}) ∩A 6= ∅El conjunto de puntos de acumulacion de A se llama el conjunto derivado de A y se designapor A′.

Ejemplos subconjuntos notables:

1). En (R2, d2) consideremos el subconjunto

A = {(x, y) ∈ R2 : 4x2 + y2 < 1}

Si tomamos el punto a = (0,−14 ) ∈ A podemos encontrar una bola abierta B(a, r)

incluida en A; basta tomar, por ejemplo, r = 14 . (ver figura 4.26).

Sea ahora el punto b = (1,−1), la bola abierta B(b, 12) esta incluida en el complementariode A.

Figura 4.26: Interior, exterior y frontera

Es decir, no solo a ∈ A y b ∈ E − A, sino que ademas podrıamos decir informalmente,que a esta completamente dentro de A y que b esta completamente fuera de A. Con


otras palabras: los puntos suficientemente cercanos a a son tambien de A y los puntossuficientemente cercanos a b son tambien del complementario de A.

Ahora bien, no todos los puntos de R2 se comportan de esta forma, para el punto c =

(14 ,√23 ) no existe ninguna bola abierta B(c, r) contenida en A o en su complementario;

esto es: toda bola abierta B(c, r) contiene a la vez puntos de A y puntos de sucomplementario, lo que supone que existen puntos cercanos que pertenecen a A y puntoscercanos que no pertenecen a A. (ver figura 4.26).

2). Consideremos en R2 con la metrica usual o Euclidiana el conjunto:

A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y < 1; 0 < x < 1} ∪ {(2, 0)}

A continuacion realizaremos una representacion grafica y hallaremos A, int(A), A′ y ∂A.

Figura 4.27: Conjunto A

En efecto, se trata del cuadrado unidad sin los “bordes”(ver figura 4.27), con excepciondel segmento que une el origen con el punto (1, 0), sin estos vertices, junto con el punto(2, 0), como muestra el grafico.

Veamos que el segmento que une el origen con el punto (0, 1) esta en A; en efecto sea (0, t)un punto de dicho segmento; entonces, cualquier bola B((0, t), ε) contiene puntos de A,en concreto el punto ( ε2 , t), ya que d((0, t), ( ε2 , t)) =

ε2 < ε. (ver figura 4.28, derecha)

De forma analoga se ve que los otros dos segmentos tambien estan en la adherencia.Entonces A = {(x, y) ∈ R

2 : 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ x ≤ 1} ∪ {(2, 0)},es decir el cuadrado consus aristas y el punto (2, 0).

El (2, 0) es un punto aislado pues la bola B((2, 0), 12) no contiene puntos de A distintos

de (2, 0) pues la primera coordenada de todos sus puntos es mayor que 1. (ver figura4.28, derecha)

4.4. METRICAS EQUIVALENTES 59

Figura 4.28: Interior y clausura

El interior coincide con el cuadrado sin la arista inferior, en efecto, si (s, t) cumple 0 < s < 1y 0 < t < 1, tomando el radio de la bola como en la proposicion 3 y efectuando los calculosque en el se hacen, se prueba que (s, t) es interior. (ver figura 4.28, izquierda)

La frontera es A− int(A) y por tanto esta formada por las aristas del cuadrado junto con elpunto (2, 0). Por ultimo, los puntos de acumulacion son los adherentes menos los aislados, demodo que A′ es el cuadrado con sus aristas.

4.4. Metricas equivalentes

Hemos visto que es posible definir metricas diferentes sobre un mismo conjunto E, y queesto da lugar a espacios metricos que, al menos en principio, han de considerarse distintos.Sin embargo no siempre las topologıas inducidas por tales metricas son diferentes, esto es,los conjuntos abiertos en una metrica son conjuntos abiertos en la otra metrica y viceversa.En este sentido, cabe considerar, desde un punto de vista topologico, ambos espacios comoidenticos. El estudio de bajo que condiciones ocurre tal cosa es el objeto de este apartado.

Definicion 1:

Dos metricas d y d∗ sobre un mismo conjunto E son equivalentes si dan lugar a la mismatopologıa metrica, es decir, si τd = τd∗ , esto es, si generan los mismos conjuntos abiertos.

Proposicion 1:

Sean d y d∗ dos metricas definidas sobre un conjunto E. Entonces d y d∗son equivalentes si,y solo si, para todo x ∈ E y para todo r > 0 existe δ > 0 tal que:

Bd(x, δ) ⊂ Bd∗(x, r)

y existe δ∗ > 0 tal que:

Bd∗(x, δ∗) ⊂ Bd(x, r)

Demostracion:

Supongamos que d y d∗ son equivalentes. Dados x ∈ E y r > 0, Bd∗(x, r) es un abiertode τd∗ y, por tanto, tambien esta en τd; entonces existe δ > 0 tal que Bd(x, δ) ⊂ Bd∗(x, r).

60 4.4. METRICAS EQUIVALENTES

Analogamente se demuestra la segunda afirmacion.

Recıprocamente, si suponemos que se cumplen las dos afirmaciones, veamos que d y d∗ sonequivalentes. Sea A un abierto de τd y sea x ∈ A. Entonces existe r > 0 tal que Bd(x, r) ⊂ A.

Aplicando la segunda propiedad, existirıa δ∗ > 0 tal que Bd∗(x, δ∗) ⊂ Bd(x, r), y, como esto

es para todo x ∈ A, tenemos que A ∈ τd∗ y es, por tanto, es abierto en esta topologıa. Deforma analoga se demuestra que todo abierto de τd∗ lo es tambien de τd. �

Ejemplo:

Las metricas d1, d2 y d∞ son equivalentes en R2.

Demostracion:

Dado ǫ > 0, existe un δ = ǫ tal que, para todo x ∈ R2, se tiene que:

Bd1(x, δ) ⊂ Bd2(x, ǫ)

En efecto, si y ∈ Bd1(x, δ) entonces d1(x, y) < δ, esto es. (ver figura 4.29, izquierda):

| y1 − x1 | + | y2 − x2 |< δ, ∀x, y ∈ R2

Figura 4.29: Metricas equivalentes

Ahora, si:

√

(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 ≤√

(y1 − x1)2 +√

(y2 − x2)2 =| y1 − x1 | + | y2 − x2 |< ǫ

Ası,

d2(x, y) =

(

2∑

i=1

(yi − xi)2

)1/2

≤2∑

i=1

| yi − xi |= d1(x, y) < ǫ

Luego, y ∈ Bd2(x, ǫ) y ası,

Bd1(x, ǫ) ⊂ Bd2(x, ǫ)

4.4. METRICAS EQUIVALENTES 61

y entonces tenemos que todo abierto en (E, d2) es abierto en (E, d1). �

Recıprocamente, dado ǫ > 0, x ∈ R2 y δ =

ǫ√2tal que:

Bd2(x, δ) ⊂ Bd1(x, ǫ)

En efecto, si y ∈ Bd2(x, δ) entonces d2(x, y) < δ, esto es (ver figura 4.29, derecha):

d2(x, y) =√

(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 < δ =ǫ√2

Entonces se prueba analıticamente que:

| y1 − x1 | + | y2 − x2 |< ǫ

Ası, d1(x, y) < ǫ y entonces y ∈ Bd1(x, ǫ), como se querıa demostrar. �

Luego los abiertos en (E, d1) son abiertos en (E, d1), por tanto, d1 ∼ d2 en R2. Analogamente

se demuestra que d2 ∼ d∞ o d1 ∼ d∞(ver figura 4.30)

Figura 4.30: Metricas equivalentes d2 ∼ d∞ y d1 ∼ d∞

Con lo anterior observamos que las metricas generan los mismos conjuntos abiertos, es decir,inducen a la misma topologıa.

CAPITULO 5

APPLET CON GEOGEBRA

Este capıtulo presenta los applet's construidos en Geogebra los cuales se han compartido en lapropia red del software denominada GeoGebraTube (http://geogebratube.org/) lo que permiteglobalizar el conocimiento, no solo permitiendo su descarga, sino que ademas facilitando sumodificacion para adaptarlos a necesidades particulares.

Con cada uno de los applet's se ha realizado un libro virtual en la pagina de Geogebradistribuido por capıtulos, en el cual visualizamos las caracterısticas y propiedades de losespacios metricos. Cada capıtulo del libro virtual presenta una informacion detallada de cadaobjeto matematico de la topologıa de espacios metricos y su especificacion para realizar laanimacion mediante el software.

Estos applet's corresponden a una aplicacion creada en Geogebra que permite ilustrar demanera interactiva y visual los conceptos, caracterısticas y propiedades de la topologıade espacios metricos. Por su naturaleza, estas aplicaciones son apropiadas para realizaractividades de exploracion intuitiva de conceptos e ideas matematicas que en cierto sentidose tornan complexas.

5.1. Paginas Web con los applet

Para crear una pagina web con los applet's correspondientes a las construcciones, basta abrirla construccion de Geogebra y usar la opcion del Menu Archivo 7→ Exporta 7→ Hoja dinamicacomo pagina web (HTML). (Como se presenta en la figura 5.1)

Figura 5.1: Exporta pagina Web

Los anteriores pasos exportan la construccion para su visualizacion en internet, es decir, como

62

5.2. LIBRO EN GEOGEBRA 63

applet dentro de una pagina HTML. El archivo HTML exportado puede abrirse con cualquiernavegador. Por supuesto, se puede editar con cualquier procesador de texto o con un editorde paginas web. Tambien se pueden copiar y pegar los applet's de una pagina a otra, con loque podemos tener una unica pagina web con varios applet's.

Con dicho procedimiento se exportaron todos los applet's construidos en Geogebra deconceptos de la topologıa de espacios metricos para su visualizacion y manipulacion en lapagina web del software para que usuarios puedan interactuar con los applet's mediante lasespecificaciones presentadas.

5.2. Libro en Geogebra

Luego de exportar todas las construcciones realizadas se ha disenado un libro en Geogebra(GeoGebraBook) (ver figura 5.2) el cual es una coleccion de materiales y hojas de trabajocomo medio interactivo para aprender y ensenar a todo nivel educativo con textos en lıneailustrados y dinamicos. A dicho libro podemos acceder a traves del siguiente link:

https://ggbm.at/rwuQVu7V

Figura 5.2: Libro de Geogebra (Geogebrabook)

Con dicho libro interactivo podemos experimentar todos los conceptos, caracterısticas ypropiedades de la topologıa de espacios metricos mediante la manipulacion de sus applet's,ya que es un excelente recurso para visualizar y comprender los diferentes conceptos.

Este libro de Geogebra denominado TOPOLOGIA DE ESPACIOS METRICOS estacompuesto por 4 capıtulos (ver figura 5.2), cada uno de ellos enriquecido con las ilustracionesrepresentativas que ayudan a visualizar las caracterısticas fundamentales de cada tematica.

En el capıtulo 1 se presenta la definicion de distancia o metrica abordando ejemplos queaparecen de manera natural en muchas aplicaciones, (ver figura 5.3). Este capıtulo contiene

64 5.2. LIBRO EN GEOGEBRA

14 applet's en los cuales se da una breve explicacion del concepto y se menciona de formadetallada el uso de las animaciones a trav´

ısticas de la metrica en cuestion.

En los cap on de topologıa asociado aun espacio metrico introduciendo las bolas abiertas y a partir de allı se estudian los conjuntosabiertos, los cerrados y sus propiedades y caracterısticas.

Figura 5.4: Capıtulo 2 y 3

ıtulos 2, 3 y 4 del libro (ver figura 5.4)se presentan la noci´

es de los deslizadores (ver figura 5.3, derecha) paraverificar propiedades o caracter

Figura 5.3: Capıtulo 1

5.2. LIBRO EN GEOGEBRA 65

Cada uno de estos capıtulos del Geogebrabook tienen una cantidad determinada de applet's(10, 10 y 2 respectivamente) cada uno de ellos con su respectiva descripcion y enfocados aldinamismo que ofrece el software el cual favorece la exploracion de forma natural gracias a doscaracterısticas fundamentales que presenta, como lo es el proceso constructivo y la movilidad.

En todos los applet's se han creado deslizadores (ver figura 5.5) para animar la imagen ofigura, con ello se busca que el usuario visualice y verifique las propiedades de los conceptospresentados. Cabe mencionar que cuando la animacion automatica se encuentra activada,aparece un boton en la esquina inferior izquierda de la vista grafica. Este boton permite parary reiniciar el avance (ver figura 5.5 parte inferior izquierda).

andose una animacion. Estoscontroladores u objetos de accion anaden interactividad y posibilidades de control sobre losobjetos.

En cada uno de los applet's se tiene en cuenta el proceso constructivo el cual nos permiteanalizar la situacion en pasos sucesivos partiendo de los mas simples. Los deslizadorespresentados en cada applet permiten la facilidad con la que podemos arrastrar los objetos,obligandolos a adquirir muchas posiciones distintas los cuales permiten la observacion de lascaracterısticas y propiedades inherentes a la topologıa de espacios metricos, con ello buscamosestablecer conjeturas al variar los parametros del deslizador obteniendo varias representacionesde manera directa. Este dinamismo de las construcciones de applet's con Geogebra permitenrealizar inferencias a traves de procesos de visualizacion que experimentamos mediante el usode deslizadores.

Es de resaltar que un deslizador es un controlador que permite mover o como su nombrelo indica deslizar un punto sobre determinada figura visualiz´

Figura 5.5: Deslizadores

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Producto de la interaccion con el software Geogebra a traves de la construccion de susapplet's para la visualizacion de conceptos, propiedades y caracterısticas de la topologıa de losespacios metricos, el presente espacio da el cierre a este trabajo en el cual se recogen algunasconclusiones y recomendaciones.

5.3. Conclusiones

El caracter geometrico de la topologıa de espacios metricos facilito la construccionde applet's dinamicos en Geogebra en la visualizacion de conceptos, propiedades ycaracterısticas.

Los ejemplos extraıdos del entorno de los espacios metricos junto con el dinamismo delas construcciones con el software permitio verificar sus propiedades o caracterısticas.

Durante nuestra interaccion con el software Geogebra pudimos observar diversasalternativas de aproximarse a los conceptos de la topologıa de espacios metricos yal software mismo. Las necesidades que fueron surgiendo asociados a los momentosde incertidumbre experimentados en la interaccion con el software, hizo que nuevaspreguntas emergieran y al abordarlas se pudo ampliar tanto en la vision de algunosobjetos matematicos como en las potencialidades del software. Consideramos de sumaimportancia el papel de tales preguntas, ya que en la misma interaccion se fuerondesencadenando conjeturas y surgieron mayores evidencias para su confirmacion orefutacion.

En ese sentido observamos desde nuestra experiencia, como a traves de la interaccioncon el software surgen nuevos cuestionamientos que alimentan la exploracion delsoftware mismo y redimensionan la mirada sobre la tematica tratada, a la vez, detales cuestionamientos surgieron nuevas necesidades con las cuales conocimos otraspotencialidades del software, hasta el momento no exploradas.

Las construcciones en Geogebra son un medio que posibilitan la comprension de algunosconceptos, propiedades y caracterısticas inmersos en la topologıa de espacios metricos,dado que propicia procesos de visualizacion, experimentacion, generacion y validacionde conjeturas visuales los cuales contribuyen con la produccion del conocimiento.

66

5.4. RECOMENDACIONES 67

No consideramos el uso del software como un medio para ensenar o aprendermatematicas de manera mas facil, sino que consideramos que, a traves del procesodinamico mediado por procesos de pensamiento, la construccion del conocimientomatematico es diferente y parece armonizar con los elementos de una parte de nuestrasociedad en donde el uso de las nuevas tecnologıas se ha potencializado e incorporadotanto a la cotidianidad, que ya hacen parte inherente de la cultura.

5.4. Recomendaciones

Las siguientes son una serie de recomendaciones que surgen como producto complementariodel presente trabajo. Son cuestiones que quedan abiertas para ser asumidas en posterioresprocesos de indagacion.

Brindar en los cursos de topologıa un tiempo prudente al estudio de los espacios metricosjunto con sus aplicaciones a traves del dinamismo de Geogebra.

Aplicar y validar el libro de Geogebra en la conceptualizacion de la topologıa de espaciosmetricos.

Usar e implementar el software Geogebra en el aula como una herramienta informaticapara fortalecer procesos de ensenanza-aprendizaje de cualquier area de la matematica.

Fomentar el uso de las tecnologıas (software matematicos) en los procesos devisualzizacion de tematicas no solo a nivel de educacion media sino tambien a niveluniversitaria.

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