La Teoría de números entre los árabes
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La Teoría de números entre los árabes
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La Teoría de números entre los árabes. Fuentes griegas. Al-Hayyay ibn-Yusuf ibn Matar (IX). Adelardo de Bath. Elementos de Euclides (libros VII, VIII y IX) . Ishaq ibn. Hunayn (X) (corregida por Tabit ibn Qurra) . Qusta ibn Luqa (X) ( El arte del álgebra ). Aritmética de Diofanto . - PowerPoint PPT Presentation
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La Teoría de números entre los árabes
Fuentes griegas
Elementos de Euclides(libros VII, VIII y IX)
Al-Hayyay ibn-Yusuf ibn Matar (IX)
Ishaq ibn. Hunayn (X)(corregida por Tabit ibn Qurra)
Adelardo de Bath
Aritmética de Diofanto Qusta ibn Luqa (X)
(El arte del álgebra)
Tabit b. Qurra y los números amigosDos números son amigos si cada uno de ellos es la suma de los divisores propios del otro. Ejemplo: 220 y 284 (el par de números amigos más pequeño, ya conocido por los pitagóricos)
Si los siguientes números son primos:
Entonces los siguientes números son amigos:
123 np 123 1 nq 123 122 nr
pqa n2 rb n2
n p q r a b2 11 5 71 220 2843 23 11 2874 47 23 1151 17296 1814165 956 191 957 383 191 73727 9363584 9437056
Al-Banna (XII-XIII)
Descartes
Abu Kamil ibn Aslam ibn Mohammed, llamado el calculista egipcio, nació en el año 850. Escribió un Álgebra cuya última parte consiste en una colección de 38 problemas indeterminados.
El Álgebra de Abu Kamil
22 1098 yxx 22 ybxax
222
2yzba
2
2
22ybaax
12510928 2
22 112125
22 105125
152 xy
611 xy
910 xy
145 xy
El libro de las cosas curiosas en el arte del cálculo de Abu Kamil
10041
31
212
100
vuzyx
vuzyx
243
12
punzmy
101 mpn
uzyx43
32
21
10047
35
23
uzyuzyx
1005753 pnmuzyx
903 m 28m 58y
955 n 18n 54z
877 p 12p 50u
¡¡¡1443 soluciones!!!
El al-Badi de Al-KarayiAl-Karayi perteneció a la escuela de Bagdad y en murió en 1016. En su obra al-Fahri que aparecen varios problemas indeterminados, la mayoría procedentes de la Aritmética de Diofanto. En otro trabajo, titulado al-Badi, estudia la ecuación cbxaxy 22
Na
Nc
uaxy aubcux
2
2
uxcy aucubx
2
0 bNcaaucaau
x
2
2 )()( caxuy
dxcbxax2
El teorema chino
)(mod.........................
)(mod)(mod
22
11
nn max
maxmax
),(mcd) que siempre(
)(mod
jiij
ijji
mmmji
maa
e
Tres ladrones entran en un comercio y cada uno de ellos se lleva una vasija llena de arroz, las tres de la misma capacidad. Los ladrones son capturados y las vasijas recuperadas, y se ve que en la primera queda solo una unidad de capacidad, 14 en la segunda y una en la tercera. El primer ladrón confiesa que vació la suya utilizando un cucharón para caballos, cuya capacidad es de 19 unidades. El segundo, que había usado un zueco de capacidad 17, y el tercero que se había valido de un cuenco de capacidad 12. ¿Cuál es la capacidad de las vasijas? (Chu Shih Chieh)
)12(mod1)17(mod14)19(mod1
xxx
1211714191
wxvxux
13172282281
vttx 3193x
Un caballero tropieza con una mujer que lleva una cesta de huevos y todos se rompen. El caballero desea resarcir a la mujer de la pérdida, y le pregunta cuántos huevos había en la cesta. La mujer sólo sabe que si se cogían de dos en dos, sobraba uno, si de tres en tres, dos, si de cuatro en cuatro, tres, si de cinco en cinco, cuatro, si de seis en seis, cinco, y si de siete en siete, no sobra ninguno. ¿Cuál es el número de huevos? (Brahmagupta)
uv 6017
vxux
7601
119x
17v
2u
)7(mod0)6(mod5)5(mod4)4(mod3)3(mod2)2(mod1
xxxxxx
El problema de AlhacénAbu Ali al-Hasan Ibn al-Haytam (Alhacén para los occidentales), nació en Basora en el 965 y estudió en Bagdad, pero la mayor parte de su vida la pasó en Egipto. Tiene varios trabajos sobre teoría de números, casi todos perdidos, pero tenemos noticias de ellos gracias a Ibn Abi Usaybia (XIII). Sí llegó hasta nosotros un opúsculo titulado Tratado de al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytam sobre la resolución de un problema numérico, en el cual se resuelve un caso del teorema chino. Y se aborda por dos caminos diferentes, uno que da una solución particular y otro que llega a todas las posibles. Pero lo más interesante del primero consiste en que usa el teorema de Wilson.
Teorema de Wilson: primoesppp )(mod01)!1(
)7(mod01)!17(721165432
Primera solución del problema de Alhacén
Demostrado esto, decimos que esta propiedad es necesaria para todo número primo, es decir, que para todo número primo (que es el número que no es múltiplo más que de la unidad), si se multiplican los números que le preceden los unos por los otros según el método que lo hemos hecho, y si se añade uno al producto, entonces si se divide la suma por uno de los números que le preceden, queda un uno, y si se divide por el número primo, no queda nada.
Segunda solución del problema de Alhacén
yxN 7160
x y N
5 3 301
12 7 721
19 11 1141
26 15 1561
33 19 1981
40 23 2401
yxx 71456 yx 714
Un triángulo racionalDado un número a, encontrar triángulos rectángulos racionales uno de cuyos catetos sea a (transmitido por al-Samawal, s. XIII).
222 xya
uuayxyx
2
))((
(Alhacén)
(al-Samawal)
222 ayx 1))(( 2 ayxyx
uuay
uuax
22
22
21
21 22
ayax1
2
yxayx
La prueba del nuevedcbaabcdn 101001000
358022429
123456
)11111(9)( cbadcban
)9)(mod( dcban
)9(mod21129
)9(mod6243580224
)9(mod321123456
Z 9Z
623
La prueba del oncedcbaabcdn 101001000
1223151833
)11(mod71833
)11(mod415
)11(mod1122
)11(mod33
1347
)991(11)( cbadcban
)11)(mod( dcban
Teorema de Benalbana
dcban 101001000
Si la cifra de la izquierda de un número se multiplica por 3 y se le suma la segunda, el resultado se multiplica por 3 y se le suma la tercera, y así hasta acabar con las cifras, el número que sale de ello da el mismo resto que el número al ser dividido entre 7. (Benalbana, siglo XIII)
)()( 12321 mmmmmm bbabaababa
cbadcban 3927))3(3(3
)13139(7791973 cbacbann
