LA TEORÍA DE LOS CAMPOS CONCEPTUALES

Por Maricela Soto Quiñones

La Didáctica de las Matemáticas en tanto disciplina donde confluyen diversas miradas, ha establecido desde la perspectiva francesa, una vertiente psicológica con la cual explicitar los procesos cognitivos activados en la apropiación de los saberes matemáticos. Desde esta perspectiva los contenidos escolares son vistos a través de la psicología del desarrollo, en la que Vergnaud adopta por primera vez una noción de concepto que, a diferencia de un enfoque riguroso de la cientificidad matemática, permite ubicar al sujeto como eje central de análisis en el aprendizaje del saber. 

Con este modelo teórico, el foco de discusión gira en torno a la construcción de principios y conceptos matemáticos, enfatizando los procesos psicológicos y de desarrollo del individuo, para abordar la manera en que el lenguaje y representación logran adquirir significaciones matemáticas hasta alcanzar la sistematicidad. A decir de Vergnaud la teoría de los campos conceptuales se ha de entender como: 

“... una teoría cognoscitivista que viene a formar un marco coherente y varios principios de base para el estudio del desarrollo y del aprendizaje de competencias complejas, específicamente de esas que revelan unas ciencias y unas técnicas. (...) Es una teoría psicológica del concepto o mejor todavía, de la conceptualización de la realidad: ella permite identificar y estudiar las filiaciones y rupturas entre los conocimientos desde el punto de vista de su contenido conceptual; permite igualmente analizar la relación entre los conceptos como conocimientos explícitos y las invariantes operatorias que están implícitas en las conductas de los sujetos en situación, y de este modo profundizar el análisis de las relaciones entre significados y

significantes.” (Vergnaud, 1991: 133-135)  

Al referirse a las filiaciones y las rupturas entre conocimientos, Vergnaud indica la necesidad de analizar el saber-hacer y el saber-expresado, es decir, las concepciones explícitas e implícitas que se ven reflejadas en las competencias de los alumnos y en las cuales los conceptos y principios matemáticos (invariantes conceptuales) se organizan en esquemas de acción, para fungir como organizadores del comportamiento y la actividad mental. En este sentido, si las acciones del sujeto dependen de los saberes implícitos o explícitos, entonces se hace preciso el estudio del desarrollo cognitivo, sus continuidades, sus rupturas, sus secuencias, la dificultad inmersa en cada uno de los problemas matemáticos, los procedimientos de resolución empleados, las representaciones simbólicas y el descubrimiento de su causalidad. 

Tanto la actividad mental de los sujetos como su comportamiento, adquieren una organización superior gracias al carácter dinámico de los esquemas cognitivos, puesto que al enfrentarse a una nueva situación el alumno aplica los saberes previos, confrontándolos, ajustándolos, desechándolos o bien creando otros diferentes. 

La teoría de los campos conceptuales, no es exclusiva de las matemáticas19, sin embargo es de interés para la didáctica en tanto se ocupa del aprendizaje y desarrollo de competencias complejas, especialmente los que rigen la evolución de los procesos de conceptualización referidos a las estructuras aditivas, a las multiplicativas –dentro de las cuales se ubica la división-, las relaciones número-espacio y el álgebra. Bajo la postura de Verganud (1991) aprender matemáticas implica el conocimiento de conceptos y principios matemáticos con los cuales comprender la representación y funcionalidad de procedimientos informales y algoritmos convencionales, la explicación que

sobre el desarrollo del conocimiento matemático pudiera darse necesita la conjunción de tres aspectos: las situaciones, las invariantes y las representaciones. En lo que sigue se hará mención de éstos términos ligados al de conceptualización de lo real, que constituye el principal interés de esta teoría. 

3.1.1. Los conceptos

El aprendizaje y la enseñanza de un concepto no se reduce a una definición específica, significa el reconocimiento de las situaciones y problemas que éste puede resolver, representa una conceptualización de lo real, en la que el sujeto se enfrenta a una multiplicidad de situaciones que permiten su construcción y en las cuales un concepto se entrelaza con otros principios, conceptos, situaciones o simbolismos matemáticos, modificando su aplicación inicial.

En las escuelas normales los profesores en formación se acercan al concepto de división con una mirada de reconstrucción, este concepto ha sido manipulado a lo largo de toda una escolaridad, hecho que se ve reflejado a través de diversos niveles de representación, sin embargo es posible que aparezca cierta dificultad en el momento de identificar las situaciones problemáticas en las que dicho concepto es aplicable.  

Si se retoma la noción de conceptualización a partir de Piaget, se explicita la transformación de esquemas de acción en nociones y operaciones para llegar a una toma de conciencia. La conceptualización constituye el tránsito de la acción hacia la representación sobre un plano superior, lo cual se alcanza ante el deseo de encontrar una explicación causal de los acontecimientos. Los conceptos que en un primer momento han sido aplicados para dar esa explicación son transformados en función de la interacción que realizan con otros conceptos y principios matemáticos, enfrentándose a nuevas formas de simbolización. Hablar

de concepto entonces lleva a esta consideración: 

“Un concepto C es una tripleta de tres conjuntos: C = (S, I, R)

S:  Es el conjunto de situaciones que le dan sentido al concepto –la referencia-.

I: Es el conjunto de invariantes sobre las cuales reposa la operacionalidad de los esquemas –el significado-.

R: Es el conjunto de formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten representar simbólicamente el concepto, sus propiedades, las situaciones y los procedimientos de tratamiento –el significante-.” (Vergnaud, 1991: 145) 

El concepto de división por ejemplo, está implicado en situaciones de reparto y de agrupamiento (S), en su manejo interactúan una serie de invariantes que aparecen en forma de axiomas20 (I) y su representación simbólica se enfoca a un algoritmo específico en cuyo mecanismo de insertan los algoritmos propios de la suma, la resta y la multiplicación (R). 

Como puede verse la construcción del concepto no se logra con un solo tipo de situación sino que adquiere su significado, mediante la interrelación entre invariantes, representaciones y su aplicación consecuente en diferentes situaciones. A continuación se hace una breve descripción de dichas nociones tomando a la división de números naturales como el concepto matriz que en este estudio se ocupa.  

3.1.2. Invariantes

A lo largo de su desarrollo, los sujetos son capaces de dominar ciertos principios y conceptos matemáticos así como las propiedades que les subyacen, la interrelación que puede suscitarse entre los mismos y las operaciones

para su transformación, esto, en conjunto viene a constituir las invariantes conceptuales que permiten el desarrollo de esquemas mentales. 

A decir de Vergnaud las invariantes conceptuales suelen estar implícitas al inicio del desarrollo del niño, estableciendo las bases necesarias para los saberes formales, este primer conocimiento conforma los conceptos y teoremas en acto, debido a que pueden ser percibidos en las acciones infantiles pero no explicitados como un conocimiento conceptual elaborado. 

Los conceptos en acto, aluden a categorías referidas a los objetos, sus propiedades y sus evoluciones cuyo conocimiento permite hacer una interpretación de la realidad y aplicar los esquemas adecuados a un determinado tipo de situación. La resolución de problemas de división mediante procedimientos informales constituye un ejemplo de conceptos en acto, mientras tanto, los teoremas en acto se manifiestan como proposiciones verdaderas que se aplican en un gran número de situaciones, en éstas, los alumnos manifiestan ciertos axiomas matemáticos, pero sin ser comprendidos como tal, por ejemplo en un agrupamiento de conjuntos el estudiante normalista puede aplicar el axioma A/B=C donde A representa el total de elementos que integran el conjunto, B el número de elementos de cada grupo y C el total de grupos formados. 

Un campo conceptual entonces, se compone por varias situaciones cuyo manejo implica una familia de operaciones –la multiplicación y la división se insertan en el campo multiplicativo- y un conjunto de conceptos y teoremas con los cuales analizar esas situaciones como tareas matemáticas, de esta forma los conceptos inmersos en el campo multiplicativo se asocian con: la proporción simple y proporción múltiple, la función lineal, el cociente y el producto de dimensiones, la fracción, el múltiplo y el

divisor, entre otros, mientras que los teoremas incluyen las propiedades de isomorfismo de la función lineal o las propiedades del coeficiente constante. (Cfr. Vergnaud, en Ávila, 2001: 22) 

Los conceptos y teoremas permiten reflexionar sobre las tareas cognitivas implicadas en las situaciones así como los esquemas mentales activados por los alumnos en el manejo de las mismas. Cuando Vergnaud establece que un concepto se constituye por situaciones, invariantes y representaciones, expresa dos supuestos de gran relevancia en la comprensión del desarrollo cognitivo: a) el conocimiento de una invariante permite al alumno entender que ésta puede ser adecuada para una situación pero no para otra, y b) los principios lógico-matemáticos se derivan también de la abstracción empírica y no sólo de la abstracción reflexiva.  

Lo anterior se ejemplifica cuando los estudiantes normalistas aplican el principio de división en una situación de reparto A¸B=?, en la que se les pide que dividan un conjunto inicial entre un segundo elemento, para obtener una tercera cantidad, sin embargo, es probable que no puedan aplicar este mismo principio en una situación donde el conjunto inicial sea desconocido y se busque un factor que multiplicado por un número conocido permita obtener un resultado también conocido ?XB=C, así aunque ambas situaciones se resuelven con una división implican una relación diferente entre los datos. La comprensión de las invariantes operacionales estará vinculada con la apropiación e implementación de la representación simbólica, la cual viene a explicitar la conceptualización lograda, en la resolución de las situaciones mencionadas los alumnos determinarán diversos procedimientos y representaciones que son el reflejo de su desarrollo cognitivo. 

3.1.3. Representaciones.

Desde la perspectiva de Vergnaud la representación permite el proceso de abstracción, generalización e internalización de los esquemas como producto de la acción, dando preámbulo a la organización de las conductas superiores en los sujetos. En este sentido el autor señala tres puntualizaciones respecto de la noción de representación: 

• “La representación no es un epifenómeno, al contrario, es funcional e indispensable para el sujeto en el tratamiento de situaciones.

• La representación no está encerrada en una lógica de utilización por el sujeto de «sistemas de significantes sociales, lingüísticos y no lingüísticos» incluso, si se refiere a esos significantes sociales, puede también testimoniar la aparición de nuevas conductas en situación.

• La representación debe ser analizada en todos sus aspectos funcionales con el saber, a la vez que en sus componentes simbólicos y procesuales.” (en Portugais, 1995: p.3)

 La representación constituye la mediación entre la actividad interna y externa del sujeto en el razonamiento de las situaciones matemáticas, haciéndose manifiesta de manera explícita con el lenguaje oral, escrito o gráfico o bien de forma implícita mediante los teoremas en acto. Los sistemas simbólicos vienen a reflejar la conceptualización que cada alumno ha logrado hasta un momento determinado. Dichos sistemas abordan por un lado, la abstracción de una realidad que ha sido estructurada a través de múltiples convencionalidades transmitidas socialmente y por otro el proceso mental de desarrollo, estas características ayudan a comprender la importancia de la representación para el desarrollo y aplicación de los conocimientos matemáticos.  

Los profesores en formación, además de comprender las

invariantes conceptuales de la lógica matemática, deben también conocer las simbolizaciones convencionales que cada cultura ha elaborado, así por ejemplo la representación de las operaciones aritméticas guarda una lógica basada en las reglas del sistema decimal de numeración, como es el valor posicional y el agrupamiento en unidades, decenas, centenas, etc. 

Por otra parte, es necesario comprender que esa representación es arbitraria -no guarda relación simbólica con los conceptos matemáticos-, y que para un mismo concepto se establecen situaciones de simbología diversa, por ejemplo la representación algorítmica de la división puede manifestar ciertas contradicciones con las simbolizaciones informales, que se agudizan cuando se presentan diferentes algoritmos con una lógica específica para resolver una operación de dividir.21 Además los conocimientos matemáticos son adquiridos en contextos diversos por los sujetos –escolar y extraescolar-, es con relación a éstos como van a ser simbolizados, resulta imprescindible por tanto identificar cómo influyen dichas simbolizaciones para establecer las situaciones adecuadas que conlleven a la comprensión de representaciones simbólicas institucionalizadas.

 

3.1.4. Las situaciones:

Analizar las situaciones desde una perspectiva psicológica implica comprender los procesos cognitivos y las respuestas que expresan los sujetos a través de las situaciones en las que son confrontados. Las situaciones vienen a dotar de significado a la interacción entre invariantes y representación, los principios lógicos de los conceptos y los códigos simbólicos serán entonces definidos mediante el sentido que una situación le designe.

La noción de situación es abordada ampliamente por Brousseau22, sin embargo el planteamiento que hace Vergnaud se limita al sentido psicológico, es decir, analiza las situaciones problemáticas y las tareas presentadas a los alumnos para reflejar el desarrollo cognitivo alcanzado. Desde esta postura, en un campo conceptual específico -como el campo de las estructuras multiplicativas-, existe una gran variedad de situaciones, con una naturaleza distinta, que se ubican en dos categorías de clasificación:

 

• “Una primera categoría de situaciones «para las cuales el sujeto dispone en su repertorio, en un momento dado de su desarrollo y bajo ciertas circunstancias, de competencias necesarias en el tratamiento relativamente inmediato a la situaciones»

• La segunda categoría de clases «para las cuales el sujeto no dispone de todas las competencias necesarias, lo que lo obliga a un tiempo de reflexión y de exploración, a unos titubeos, a unas tentativas abandonadas y lo conducen eventualmente al éxito, eventualmente al fracaso»” (Vergnaud, 1991: 135-136)

 Los dos tipos de situaciones exigen diferentes actitudes por los sujetos, en la primera, los sujetos poseen los esquemas mentales necesarios para resolver una situación y actúan de manera similar a como lo han hecho en situaciones anteriores, la segunda categoría por su parte, implica tanto el uso de varios esquemas en la búsqueda de una acomodación como el ajuste ante una situación desconocida, hasta llegar al dominio del campo conceptual. Puede afirmarse que la comprensión de una situación dependerá de la relación que los sujetos visualicen entre invariantes y situaciones, en este sentido los alumnos normalistas harán uso del concepto de división y su representación simbólica en la medida que identifiquen que

tanto en las situaciones de reparto como en las de agrupamiento éste se encuentra implícito. El entendimiento de la situación demanda una relación con los principios y conceptos matemáticos, así como su simbolización correspondiente, o bien, si las invariantes involucradas en un sistema de representación se ajustan también a una situación presentada.  

Vergnaud (1991) afirma que el desarrollo cognitivo es un proceso de conceptuación de un dominio específico y que debe estudiarse desde las situaciones y los conceptos subyacentes, este proceso, que en un principio parte de la experiencia y de un saber ordinario alcanza paulatinamente un nivel científico. Dicha transición es explicada a través de la noción de esquema.

3.1.5. La teoría del esquema.

El concepto de esquema es considerado por Piaget (en Coll, 1998) la unidad funcional que posibilita el intercambio entre sujeto y objeto. Si bien se reconoce que está  compuesto por reglas de acción y de anticipaciones, es preciso comprender que el esquema también se compone de invariantes operatorias (conceptos en acto y teoremas en acto) y de inferencias, de aquí que Vergnaud retome la postura piagetana cuando define el esquema como “... la organización invariante de la conducta para una clase de situaciones dada...” (en Portugais, 1995: 49) 

Retomando las categorías de situaciones señaladas, es posible señalar que las acciones externadas por cada una adquieren un funcionamiento cognitivo distinto, en la primera categoría se tendrá un sólo esquema puesto que ya se conoce lo que va a realizarse en una especie de automatización23, un ejemplo de ello es el dominio del mecanismo algorítmico de la división, en cambio en la segunda habrá varios esquemas que tratarán de ajustarse a la situación planteada, la cual tal vez no externe que se

trata de una división. 

El esquema alude a la organización de la conducta y a la representación de la misma, cuyo funcionamiento cognitivo deriva de los esquemas previamente formados en los sujetos, los procesos de acomodación y asimilación referidos en la teoría piagetana son contemplados por Vergnaud para colocar en el centro de análisis a los esquemas, que aunado al de situación, permiten la construcción de competencias y conocimientos. A pesar de tener una fuerte vinculación con Piaget, Vergnaud argumenta que el trabajo piagetiano fue un tanto limitado en función a la explicación pragmática y funcional del conocimiento, señalando que: 

“El proyecto Piagetiano se desvía de analizar las fuentes prácticas del desarrollo cognoscitivo para acceder a los mecanismos formadores de la razón para investigar cómo los esquemas sensorio motores se organizan en el plano del pensamiento en sistemas operatorios.” (Portugais, 1995: 43) 

En este sentido no hubo un estudio específico sobre la vinculación conocimiento-actividad, situación que trató de superarse con las aportaciones de Vergnaud al definir varios aspectos relativos a la teoría de los esquemas: por un lado argumenta que éstos se encargan de organizar la actividad y conducta en una situación, además son vistos como una forma de actividad que se manifiesta a través de gestos, actitudes, razonamientos cognitivos, el lenguaje, etc., elementos que se van enriqueciendo con la experiencia, por otra parte asevera que la asimilación propia de cada esquema es una función esencial en el conocimiento, puesto que ante una situación nueva los esquemas existentes se confrontan, al no ajustarse, se produce una acomodación que permite establecer nuevos esquemas. 

A partir de lo anterior, el esquema trata de adaptarse a la situación, Vergnaud establece que “... el esquema no es un estereotipo, lo que es invariante es la organización, no la actividad o la conducta...” (en Portugais, 1995: 44-45). Transpolando este planteamiento al trabajo con la división, se tendrá que, en una situación de reparto en la que los estudiantes normalistas tienen una cantidad a distribuir (N A) y una cantidad entre la que debe ser repartida (N B), pueden hacer uso de la resta, tomando como punto de partida el N A, al cual irán restando el N B cuantas veces es necesario hasta agotar el N A para después contar el número de veces que fue restado, identificando así el cociente, lo mismo sucederá con la suma pero en sentido inverso, o bien pudieran emplear la multiplicación por aproximaciones sucesivas hasta llegar al resultado. En esta referencia aunque existan variaciones en las actividades, la organización del esquema incluye repartir un N A entre un N B para encontrar un cociente específico. 

La teoría de los campos conceptuales alude entonces a una doble caracterización de la noción de esquema: 

“Por un lado toma en cuenta los aspectos estructurales del esquema al analizarlos en términos de invariantes operacionales (...) Con invariantes operacionales uno busca dar un contenido matemático a la organización de la conducta que puede detectarse en un contexto. Por otro lado desde el punto de vista funcional de la epistemología genética ubica a los esquemas en el centro del proceso general de adaptación de las estructuras de conocimiento ...” (Portugais, 1995: 45) 

Para el análisis del conocimiento didáctico de la división en profesores en formación, el concepto de esquema permite dar cuenta tanto de las actitudes que desarrollan ante una situación, como de la transformación en el desarrollo del conocimiento de dicho contenido, por ejemplo, al trabajar con un algoritmo nuevo los alumnos pudieran externar al

inicio ciertos errores que proceden de la adaptación a un mecanismo diferente, esto se modifica paulatinamente con el acercamiento y ejercitación de dicho algoritmo hasta ser asimilado y acomodado en los esquemas preexistentes, dándole continuidad y ruptura al conocimiento.

Siguiendo a Vergnaud el esquema se analiza mediante cuatro categorías de elementos, que en conjunto hacen del esquema una totalidad dinámica y funcional: propósitos, reglas de acción, inferencias e invariantes operatorias, en el contexto de la división dichos componentes se verían reflejados de la siguiente manera: 

Los propósitos se definen en función de la situación, los alumnos se acercarán a un problema de división ante la necesidad de encontrar una respuesta, anticipándose a la misma y modificando sus estrategias de resolución a partir de los resultados encontrados. 

Las reglas de acción vienen a producir ciertas conductas, acercándose a las acciones observables a través de los teoremas en acto, es decir, se encargan de guiar tanto la recopilación de información como la actividad misma, un ejemplo es la manera en que se opta por realizar una división. 

Las inferencias permiten realizar algunas anticipaciones sobre los resultados de la acción, los alumnos deciden qué información es relevante para resolver el problema de división, modificando o replanteando las acciones durante la resolución, por ejemplo al identificar que se trata de un problema de este tipo, los estudiantes predicen que se trata de un conjunto inicial mayor que deberá ser repartido o agrupado en otros conjuntos menores, lo cual les ayuda a determinar la elección de un algoritmo que lleve a este resultado. 

Las invariantes operatorias son “... objetos, propiedades,

relaciones y procesos que el pensamiento recorta de la realidad para organizar la acción...” (Portugais; 1995: 51), y su principal función es: 

“Reconocer los objetos matemáticos, sus propiedades, sus relaciones y las transformaciones que estos objetos experimentan. La función principal de las invariantes operacionales es extraer y seleccionar la información pertinente y de inferir las consecuencias útiles para la acción, controlar la toma de información subsiguiente. Es entonces una función de conceptuación y de inferencia.” (Portugais, 1995: 59)

 

Haciendo alusión al conocimiento matemático, éste se refleja inicialmente a través de invariantes, vistas como conceptos y teoremas, así, en el campo de las estructuras multiplicativas, la división experimenta en su interior una diversidad de invariantes que si bien no han sido contemplados propiamente como conceptos científicos, deben ser reconocidos hasta llegar a su cientificidad. La conjunción de estos cuatro componentes permite comprender las acciones que los alumnos realizan ante un problema específico, así como las posibles anticipaciones que de ellas se derivan, llevando propiamente a la construcción de nuevos esquemas cognitivos. 

En conclusión, con la teoría de los campos conceptuales se comprende que el aprendizaje matemático no puede teorizarse sólo a partir del simbolismo o las situaciones, es preciso tomar en cuenta el sentido de estos elementos, considerando a los alumnos en situaciones de acción en las que organizan su pensamiento. El funcionamiento cognitivo de los alumnos está relacionado con el estado de los saberes implícitos o explícitos, por este motivo es necesario que dentro de la didáctica se analicen las rupturas y continuidades del desarrollo del pensamiento,

los procedimientos en la resolución de problemas, las representaciones simbólicas, los errores y la construcción de nuevos saberes matemáticos.