7/25/2019 La Teora de Conjuntos 1

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LA TEORA DE CONJUNTOS

La teora de conjuntos es una rama de las matemticas que estudia las

propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos,

consideradas como objetos en s mismas. Los conjuntos y sus operaciones

ms elementales son una herramienta bsica en la formulacin de cualquier

teora matemtica.1

Sin embargo, la teora de los conjuntos es lo suficientemente rica como para

construir el resto de objetos y estructuras de inters en matemticas: n!meros,

funciones, figuras geomtricas,..." y junto con la lgica permite estudiar los

fundamentos de aquella. #n la actualidad se acepta que el conjunto de a$iomas

de la teora de %ermelo&'raen(el es suficiente para desarrollar toda la

matemtica.

)dems, la propia teora de conjuntos es objeto de estudio per se, no slo

como herramienta au$iliar, en particular las propiedades y relaciones de los

conjuntos infinitos. #n esta disciplina es habitual que se presenten casos de

propiedades indemostrables o contradictorias, como la hiptesis del continuo o

la e$istencia de un cardinal inaccesible. *or esta ra+n, sus ra+onamientos y

tcnicas se apoyan en gran medida en la lgica.

#l desarrollo histrico de la teora de conjuntos se atribuye a eorg -antor, que

comen+ a inestigar cuestiones conjuntistas /puras0 del infinito en la segunda

mitad del siglo 2, precedido por algunas ideas de 3ernhard 3ol+ano e

influenciado por 4ichard 5ede(ind. #l descubrimiento de las paradojas de la

teora cantoriana, de conjuntos, formali+ada por ottlob 'rege, propici los

trabajos de 3ertrand 4ussell, #rnst %ermelo, )braham 'raen(el y otros a

principios del siglo .

La teora de conjuntos ms elemental es una de las herramientas bsicas del

lenguaje matemtico. 5ados unos elementos, unos objetos matemticos

como n!meroso polgonospor ejemplo, puede imaginarse una coleccin

determinada de estos objetos, un conjunto. -ada uno de estos elementospertenece al conjunto, y esta nocin de pertenenciaes la relacin relatia a

1

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgonoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_pertenenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgonoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_pertenenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero

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conjuntos ms bsica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su e+ como

elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento aa un

conjuntoAse indica como aA.

6na relacin entre conjuntos deriada de la relacin de pertenencia es la

relacin de inclusin. 6na subcoleccin de elementos Bde un conjunto

dadoAes un subconjuntodeA, y se indica como BA.

Ejemplos.

Los conjuntos numricosusuales en matemticas son: el conjunto de

los n!meros naturalesN, el de los n!meros enterosZ, el de los n!meros

racionalesQ, el de los n!meros realesRy el de los n!meros complejosC.

-ada uno es subconjunto del siguiente:

#l espacio tridimensionalE7es un conjunto de objetos elementales

denominadospuntosp,pE7. Las rectasry planosson conjuntos de

puntos a su e+, y en particular son subconjuntos de E7, rE7yE7.

lgebra de coj!"os

#$isten unas operacionesbsicas que permiten manipular los conjuntos y sus

elementos, similares a las operaciones aritmticas, constituyendo el lgebra de

conjuntos:

U#$.La uninde dos conjuntosAy Bes el conjuntoABque

contiene cada elemento que est por lo menos en uno de ellos.

%"ersecc#$.La interseccinde dos conjuntosAy Bes el

conjuntoA8 Bque contiene todos los elementos comunes deAy B.

D#&erec#a.La diferenciaentre dos conjuntosAy Bes el

conjuntoA9 Bque contiene todos los elementos deAque no pertenecen

a B.

Compleme"o.#l complementode un conjuntoAes el conjuntoAque

contiene todos los elementos respecto de alg!n conjunto referencial; que

no pertenecen aA.

D#&erec#a s#m'"r#caLa diferencia simtricade dos conjuntosAy Bes

el conjuntoA< Bcon todos los elementos que pertenecen, o bien aA, o

bien a B, pero no a ambos a la e+.

=

https://es.wikipedia.org/wiki/Subconjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntos_num%C3%A9ricoshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteroshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_realeshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complejoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_tridimensionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttps://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_binariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica#Operaciones_b.C3.A1sicashttps://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Complemento_de_un_conjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_universalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_sim%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Subconjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntos_num%C3%A9ricoshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteroshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_realeshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complejoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_tridimensionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttps://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_binariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica#Operaciones_b.C3.A1sicashttps://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Complemento_de_un_conjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_universalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_sim%C3%A9trica

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(rod!c"o car"es#ao.#l producto cartesianode dos conjuntosAy Bes

el conjuntoA> Bque contiene todos los pares ordenadosa, b; cuyo primer

elemento apertenece aAy su segundo elemento bpertenece a B.

?eora a$iomtica de conjuntos

La teora informal de conjuntosapela a la intuicin para determinar cmo se

comportan los conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca

de las propiedades de estos que llean a contradiccin si se ra+ona de esta

manera, como la famosa paradoja de 4ussell. @istricamente sta fue una de

las ra+ones para el desarrollo de las teoras axiomticas de conjuntos, siendo

otra el inters en determinar e$actamente qu enunciados acerca de los

conjuntos necesitan que se asuma el polmico a$ioma de eleccinpara ser

demostrados.

Las teoras a$iomticas de conjuntos son colecciones precisas

de a$iomasescogidos para poder deriar todas las propiedades de los

conjuntos con el suficiente rigor matemtico. )lgunos ejemplos conocidos son:

La teora de conjuntos de %ermelo&'raen(el

La teora de conjuntos de Aeumann&3ernays&Bdel

La teora de conjuntos de Corse&Delley

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https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Pares_ordenadoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_informal_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Russellhttps://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_elecci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Axiomahttps://es.wikipedia.org/wiki/Rigor_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkelhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos_de_Von_Neumann-Bernays-G%C3%B6delhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos_de_Morse-Kelleyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Pares_ordenadoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_informal_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Russellhttps://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_elecci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Axiomahttps://es.wikipedia.org/wiki/Rigor_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkelhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos_de_Von_Neumann-Bernays-G%C3%B6delhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos_de_Morse-Kelley