La recta

Ing. Mercedes Alexandra Villa Achupallas M.Sc

Definición.-• Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que

tomados dos puntos diferentes cualquiera del lugar, el valor de la

pendiente es siempre constante-

• Analíticamente, la línea recta es una ecuación lineal o de primer grado

definida entre dos variables.

• Podemos definir también la recta como la distancia más corta entre dos

puntos, y como una relación directamente proporcional entre dos

variables, por ejemplo hablando de “x” y de “y”; al aumentar “x”

aumenta “y” de igual manera al disminuir “x” disminuirá también “y”.

Pendiente de una recta

• La pendiente de una recta es igual a

la tangente del ángulo:

tan θ = m

• Sí se conoce dos puntos de la recta L

su pendiente será:

h≠0

Características de la pendiente de una recta:

• Una recta cuya pendiente es positiva se eleva de izquierda a derecha;

mientras que una recta cuya pendiente es negativa cae de izquierda a

derecha.

• Cuando las rectas L1 y L2 son paralelas su pendiente es igual.

m1=m2

• Cuando las rectas L1 y L2 son perpendiculares se satisface la siguiente

expresión:

m1.m2=-1

• Una recta horizontal paralela al eje de las “x” tiene como m=0.

• Una recta vertical paralela al eje de las “y” tiene como m=∞; su pendiente

se la considera con un valor indeterminado.

Formas de la ecuación de una recta:

• Una ecuación queda determinada completamente si se

conocen algunas condiciones; como por ejemplo:

• Dos de sus puntos;

• Un punto y su dirección (ángulo de inclinación ó pendiente);

de ahí que la ecuación de una recta puede determinarse

mediante las siguientes formas.

1º Forma punto pendiente• Cuando de la recta se conoce el punto P1(x1;y1) y su pendiente m.

2º Forma cartesiana:• Cuando de la recta se conocen dos de sus puntos P1(x1;y1) y P2 (x2;y2).

Hallar las ecuaciones de las rectas que satisfagan las condiciones

siguientes, y trazar las gráficas correspondientes.

1. Pasa por el punto A(-3;4) y de m=3/2.

Intersecciones:

X=0 ⇒ Y=17/2

Y=0 ⇒ X=-17/3

Ejercicios:

2. Pasa por los puntos A(2;-5) y B(4;3).

Intersecciones:X=0 ⇒ Y=-13

Y=0 ⇒ X=-13/4

3. En el triángulo de vértices (-2;1); (4;7) y (6;-3), determinar

las ecuaciones.

De los lados:

4. De la altura levantada desde el vértice B hacia el eje x:

5. De la recta que pasa por C y es paralela al lado AB:

3º FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.

Una ecuación lineal o de primer grado definida en la variables “x”,

“y” es de la forma:

Ax + By + C = 0Donde:

A; B; C ≠ 0.

Sí: Ax + By + C = 0, la dividimos para B, despejando “y”, tenemos:

•Comparando con la ecuación pendiente y

ordenada en el origen, podemos decir:

Condiciones de la forma general.

•Sí A≠0 y B=0, → Ax+C=0

•Sí A=0 y B≠0, → By+C=0

•Sí A≠0 y B≠0, → Ax+By=0

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS.

•Sean las rectas cuyas ecuaciones generales son:

L1: Ax +By + C = 0

L2: A’x+B’y+C’= 0

•Entonces las posiciones relativas pueden ser:

•Paralelas:

Sí L1 es paralela a L2, entonces: m1 = m2.

•Perpendiculares:Sí L1 es perpendicular a L2, entonces m1*m2=-1.

•Coincidentes:Dos rectas son coincidentes si tienen un punto común y la misma

dirección o pendiente.

Dividiendo L1 y L2 por A y A’, respectivamente, y despejando “x”,

tenemos:

•Intersección en uno y solamente un punto.

Dos rectas de intersecan en un solo punto cuando se cumple la

siguiente relación:

1. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto ·3;-4) y es

perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-3;-5) y (4;2)

-Para l1: -Para l2:

Ejercicios:

2. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado

por los puntos (3;5) y (-5;3).

3. Hallar la ecuación de una recta determinando los coeficientes de la

forma general, sí los segmentos que determinan sobre los ejes “X”, y “Y”,

es decir sus intersecciones son 5 y -3, respectivamente.

4. Demostrar que las rectas

2x-y-1=0;

x-8y+37=0;

2x-y-16=0;

x-8y7+7=0,

forman un paralelogramo, hallar las ecuaciones de sus

diagonales y sus distancias, considere que la distancia

entre dos puntos está dada por:

Intersecciones entre rectas:

Paralelogramo resultante:

Hipo: ABCD es un paralelogramo

Tesis: ml1 = ml3 y ml2 = ml4

Ecuaciones de las Diagonales:

Distancia de las Diagonales:

4º FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA:

• La forma normal de la ecuación de una recta está

dada por:

x.cos w + y.sen w – p = 0

• Donde:

p → longitud de la norma trazada desde el

origen hasta la recta.

w → ángulo medido desde el eje positivo de la

“X” en sentido anti horario.

Reemplazando en la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, tenemos:

Como p = IInII (n→→→→un vector normal).

Donde el signo del radical se escoge de la siguiente manera:

a) Sí C ≠ 0; el signo del radical será contrario al signo de C.

b) Sí C = 0 y B ≠ 0; el signo del radical será el mismo signo de B.

c) Sí C = 0 y B = 0; el signo del radical será el mismo signo de A.

APLICACIONES DE LA FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA

Distancia de un punto a una recta dada.

• En geometría se define la distancia de un punto a una recta dada

como la medida del segmento perpendicular desde el punto a la

recta, la distancia a una recta Ax+By+C=0, desde un punto P( x1 ; y1 ),

puede obtenerse sustituyendo las coordenadas del punto en el

primer miembro de la forma normal de la ecuación de la recta.

• Las distancias siempre son positivas, pero en geometría analítica es

necesario darle sentido a una distancia por lo que se consideran

distancias positivas y negativas.

Sí la recta pasa por el origen.

• Si el punto P(x1; y1), esta encima de la recta, la distancia será positiva.

• Si el punto P(x1; y1), esta por debajo de la recta, la distancia será

negativa.

Sí la recta no pasa por el origen.

• Sí el punto P(x1; y1), y el origen del plano cartesiano están a diferente

lado de la recta, la distancia será positiva.

• Sí el punto P(x1; y1), y el origen del plano cartesiano se encuentran al

mismo lado de la recta, la distancia será negativa.

Determinación de las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por la intersección de dos rectas dadas.

• Bisectriz, es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos

suplementarios.

• Las bisectrices de los ángulos suplementarios, se cortan

perpendicularmente.

Supóngase que las ecuaciones de las rectas dadas son:

L : Ax+By+C=0

L’: A’x+B’y+C’=0

• Bisectriz 1:

• Bisectriz 2:

Hallar la distancia de la recta 3x+4y-5=0 al punto

P(2,-5).

Ejercicios:

2. Hallar la distancia entre las rectas paralelas 5x+4y-14=0 y 10x+8y-12=0.

3. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos

formados por las rectas x+y-1=0 y 2x-y+1=0 y demostrar

que son perpendiculares entre sí.

Bisectriz 1:

Bisectriz 2:

Ecuaciones de cada Bisectriz:

4. Hallar las ecuaciones de 2 de las bisectrices y el punto de intersección

llamado incentro de los ángulos interiores del triángulo de lados:

7x-y+11=0; x+y-15=0 y 7x+17y+65=0.

Bisectriz 1:

Bisectriz 2:

Incentro:

TAREA:Los ejercicios que se encuentran a continuación, son tomados

de la Geometría Analítica de Charles Lehmann; reimpresión

del 2001, editorial Limusa.- México; ejercicio Grupo 9.

• Paralelo A.- ejercicios pares.

• Paralelos B y C.- ejercicios impares.

Gracias por Gracias por Gracias por Gracias por

su atenciónsu atenciónsu atenciónsu atención