La paradoja de Hawking

8/4/2019 La paradoja de Hawking

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LA PARADOJA DE HAWKING

El 21 de julio de 2004, en la conferencia GR17 en Dublin, Irlanda, (la ltima enla serie de conferencias trienales que constituyen el principal encuentro internacionalde cientficos que trabajan en relatividad y gravitacin)Stephen Hawking anunci quehaba perdido la apuesta. Dijo: "Quiero informar que la fsica est a salvo y lainformacin puede escapar de un agujero negro. Creo que he resuelto un problemamaysculo en fsica terica."

Este hecho recibi mucha atencin de la prensa y, obviamente el motivo msimportante es que el pblico est fascinado con la historia personal de Hawking, que

en realidad es impresionante. Stephen Hawking, de 62 aos, ha estado en silla deruedas durante dcadas debido a su enfermedad: esclerosis lateral amiotrpica, yhabla a travs de un sintetizador de voz conectado a una computadora en la queteclea las letras muy lentamente.

Pero el tema tiene una gran importancia en s mismo y en este artculotrataremos de explicar en qu consiste la paradoja de la prdida de informacin delos agujeros negros.

La apuesta se refiere a qu es lo que le sucede a la informacin que estescondida dentro de un agujero negro: esta informacin se destruye y se pierdepara siempre o se puede recuperar con la radiacin emitida a medida que el agujeronegro se evapora?


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Esta cuestin fue originalmente tratada por Hawking en 1974 en un trabajomuy importante donde mostr que el proceso de evaporacin de los agujeros negroscontradeca los principios de la fsica cuntica.Con esta observacin, precipit unacrisis fundamental en la fsica bsica: pareca que haba que sacrificar al menos unode los dos pilares fundacionales sobre los que se asienta la fsica moderna, la

Relatividad General y la Mecnica Cuntica.

La relatividad general, la teora de la interaccin gravitatoria formulada porAlbert Einstein, es el marco terico que nos permite entender el universo a grandesescalas: estrellas, galaxias, cmulos y supercmulos de galaxias. La MecnicaCuntica en cambio es un marco terico para entender el universo a las escalas mspequeas: molculas, tomos y toda la gama de partculas subatmicas comoelectrones, fotones y quarks.

A travs de los aos, los fsicos han confirmado experimentalmente, con unaprecisin asombrosa, prcticamente todas las predicciones realizadas por estas dos

teoras. Pero el trabajo de Hawking conduce inexorablemente a una conclusinpreocupante: la Relatividad General y la Mecnica Cuntica no pueden ser ambascorrectas, al menos cuando se aplican a los agujeros negros. Las dos teoras quesustentan el enorme progreso de la fsica del ltimo siglo parecen ser incompatibles.

Si no conocan este problema, probablemente sea porque en la mayora de loscasos, excepto en situaciones muy extremas, los fsicos estudian cosas que son muypequeas y livianas (como los tomos y sus componentes) o cosas que son enormesy muy pesadas (como las estrellas o galaxias), pero no ambas a la vez.

Esto significa que slo es necesario usar la mecnica cuntica o la relatividadgeneral, pero no las dos juntas. Los dominios de aplicacin de estas dos teoras sonmuy diferentes y en la mayora de los casos una de ellas nos permite entender elfenmeno que estudiamos sin necesidad de apelar a la otra.

Pero el universo presenta algunas situaciones extremas. En un agujero negrohay una enorme masa comprimida en un tamao minsculo. En el big bang todo eluniverso estaba concentrado en una regin microscpica. Estos escenarios sondiminutos y a la vez increblemente masivos, de manera que requieren que ambasteoras, la mecnica cuntica y la relatividad general, acten simultaneamente.

Las ecuaciones de la relatividad general y la mecnica cuntica, cuando setratan de combinar, no encajan. Preguntas fsicas bien formuladas provocanrespuestas sin sentido, ilgicas, cuando requieren la unificacin de estas dos teoras.Si uno quiere entender los agujeros negros o el origen del universo, debe admitir estahostilidad y desarrollar una teora que permita unificar las dos teoras en un nivel msprofundo de comprensin.

La sugerencia radical de Hawking en 1975, y por la que apost en 1997, fueque haba que modificar los fundamentos de la mecnica cuntica.


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Cul es el problema?

Empecemos recordando qu es un agujero negro. Seguramente casi todosUds., lectores, saben qu es: es un lugar donde la gravedad es tan intensa que lavelocidad necesaria para escapar de ella es mayor que la velocidad de la luz.

Laplace, en el siglo XVIII, sugiri que podran existir objetos con estas caractersticas;pero en el siglo XX Einstein modific las ideas vigentes acerca de la gravitacin y, enconsecuencia, de la descripcin de los agujeros negros.

Forma parte de nuestra vida cotidiana el hecho que todo lo que tiramos haciaarriba vuelve a caer. Y todos sabemos que esto se debe a la atraccin gravitatoria dela Tierra. Imaginemos que tiramos una pelota hacia arriba. Cuanto ms fuerte latiramos, mas rpido se aleja de nuestra mano y mas alto llega antes de volver a caer.

Pero si la tiramos suficientemente fuerte, si le damos una velocidad inicial cadavez mayor, llegar un momento en que no volver. La atraccin gravitatoria no podrhacerla regresar. La velocidad mnima que debe tener la pelota para escapar de la

atraccin de la Tierra se llama velocidad de escape, y es de unos 11 km/seg ~ 39000


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km/h. Si le damos a la pelota una velocidad igual o mayor que la velocidad deescape, la enviaremos al espacio y no volver a caer.

La velocidad de escape depende de la masa de la Tierra y de sutamao. Si imaginamos un planeta muy masivo y muy pequeo, con mucha

materia concentrada en un pequeo volumen, la atraccin gravitatoria aumentay entonces la velocidad de escape se hace mayor. Habr que lanzar las pelotasmas fuerte que en la Tierra para que puedan escapar.

En algunos casos ser necesaria una velocidad mayor a 300000km/seg. Esta es la velocidad de la luz, la mayor velocidad que se puedealcanzar segn la teora de la Relatividad Especial de Einstein. En estasituacin nada puede escapar ya que nada puede viajar mas rpido que la luz.Este objeto que no permite que nada escape de l es un agujero negro.

El tamao del agujero negro depende de su masa. Un agujero negro con la

masa del Sol tendr un radio de 3 km (mientras que el Sol tiene unos 700.000kilometros); si la masa es la de la Tierra, el agujero negro tendr un radio de 1 cm (enlugar de los 6370 km de radio terrestre); nuestro radio de agujero negro (es decir unagujero negro con la masa de un ser humano) es ms pequeo que cualquierdistancia de las que podemos medir actualmente.

Existen realmente los agujeros negros?

Como la luz no puede escapar de un agujero negro es imposible verlodirectamente. Pero hay muchos indicios de que realmente existen.

Los agujeros negros se pueden formar en procesos astrofsicos. Algunasestrellas son tan masivas que terminan sus das colapsando en agujeros negros.Cuando una estrella termin de quemar su combustible nuclear las fuerzasgravitatorias superan la presin de la radiacin y no se puede evitar el colapso. Laestrella se contrae hasta que se transforma en un agujero negro.

La masa de estas estrellas y de los agujeros negros que resultan al final de suevolucin es de unos pocos soles (entre 5 y 100 masas solares) y el tamao delagujero negro es de unos 10 km de radio. En nuestra galaxia y en las galaxiasvecinas se han identificado unas 500 estrellas de neutrones, que son la etapa previa

a la de agujero negro. Entonces debe haber al menos algunos cientos de agujerosnegros cercanos.

Hay agujeros negros con masas intermedias, entre 500 y 1000 masas solaresque han sido descubiertos recientemente. Y finalmente, tambin hay evidencias deagujeros negros en el centro de algunas galaxias. Estos son mucho ms masivos,conmasas de miles de millones deveces la masa del Sol y tamaos del orden del sistema solar (radios deaproximadamente 3 x 109 km). En nuestra galaxia parece haber evidencias, porradiacin X, de un agujero negro en el centro con una masa de 2.6 millones de soles.

Cmo los vemos? En principio podramos verlos por el modo en quedeflectan la luz, por un efecto conocido como lente gravitacional. La luz se curva al


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pasar cerca de un objeto masivo y en consecuencia se forman imgenes mltiples delobjeto que est detrs del agujero negro. En la prctica estos agujeros negros estnrodeados por gas. Este gas se calienta de un modo caracterstico y los astrnomosven la radiacin que viene de ese gas caliente.

Los agujeros negros son muy interesantes en astrofsica. Pero no vamos atratar ese aspecto en este artculo. Vamos a considerar cmo los agujeros negrospermiten investigar cuestiones de principio de la fsica fundamental; cmo semanifiesta en los agujeros negros la contradiccin entre la Mecnica Cuntica y laRelatividad General que mencionamos al comienzo.

Agujeros negros en Relatividad General

En 1905 Einstein modific las nociones de espacio y de tiempo absoluto deNewton, para resolver una paradoja: la velocidad de propagacin de la luz esindependiente del movimiento del observador.

En su teora de Relatividad Especial introdujo el concepto de espacio-tiempo,segn el cual el tiempo debe considerarse en un pie de igualdad con las dimensionesespaciales. Es decir, el tiempo transcurre de manera diferente segn la velocidad delobservador. Un reloj que se aleja a gran velocidad de nosotros atrasa respecto delnuestro.

El efecto slo es apreciable para velocidades relativas cercanas a la de la luz,es decir que no lo observamos a velocidades ordinarias. Pero se verificaexperimentalmente en los aceleradores de partculas, imprimiendo velocidadescercanas a las de la luz a partculas inestables que as decaen mucho maslentamente (es decir, tienen una vida media mayor).

En 1915 Einstein trat de encajar la gravedad en esta nueva visin del espacioy el tiempo. Tena para ello algunos indicios, como el notable descubrimiento deGalileo sobre el movimiento de cuerpos pequeos debido a la gravedad, que resultaser independiente de la naturaleza de los cuerpos. Esto le sugiri que la gravedad

podra ser una propiedad del propio espaciotiempo.

En lugar de la imagen newtoniana de la gravitacin como una atraccin entretodos los cuerpos masivos, la Relatividad General describe la gravitacin como un

efecto de la curvatura del espaciotiempo producida por la distribucin de materia.As el sol curva el espacio-tiempo y la tierra se mueve a lo largo de una trayectoriaque es la lnea de menor longitud en esa geometra curva.

La gravedad tambin cambia el modo en que transcurre el tiempo. De acuerdoa esta teora, como el campo gravitatorio es ms intenso cerca de la superficieterrestre, el tiempo transcurrir mas lento en la planta baja de un edificio, donde laatraccin gravitatoria es mayor, que en el piso superior. El efecto es muy pequeo aescala terrestre: una parte en 1015. Pero es importante en objetos ms masivos.

Para un observador que est lejos de una masa muy pesada el tiempo

transcurre ms rpido que para un observador cercano. La relacin entre el intervalo


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de tiempo que transcurre entre dos tics de un reloj a cierta distancia de un cuerpomasivo y en otra posicin infinitamente alejada se llama factor de corrimiento al rojo.

PlantaaltaPlanta

En la superficie la Tierra este factor es muy pequeo, aproximadamente 10-10;en la superficie del Sol es cerca de 10-6; en la superficie de una estrella de neutroneses de 0.7. La superficie donde el tiempo se detiene, es decir donde el intervalo entretics se hace infinito, se llama horizonte de eventos y es lo que denominamos el radiodel agujero negro (lo indicaremos como rh).

Si uno lo cruza no siente nada especial, pero no puede volver a salir. La luzpuede atravesarlo hacia adentro pero no hacia afuera, no puede escapar del agujeronegro. Por eso la superficie del agujero negro se llama horizonte: es el lmite de loque pueden ver los observadores que estn afuera del agujero negro. Una vez queuno cruz el horizonte, sigue cayendo hacia adentro y termina irremediablemente enuna singularidad.

Esta es una regin de curvatura muy grande del espacio-tiempo, donde unapersona que se acercara se desgarrara. Las distintas partes de su cuerpo estaransometidas a fuerzas tan intensas que terminara despedazado. Las propias nocionesde espacio y de tiempo deben reformularse en las regiones cercanas a unasingularidad.

Cuando se forma un agujero negro se desarrolla esta singularidad, que es unaregin de curvatura infinita. Y ah fallan las teoras; no podemos describir unasingularidad con las teoras fsicas actuales. Pero esta regin est rodeada por elhorizonte, la superficie que separa el interior del exterior del agujero negro, demanera tal que algo en el interior nunca podr escapar al exterior.


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De acuerdo con la teora de Einstein, la presencia de un horizonte implica quenunca se ver la singularidad desde afuera y que, independientemente de lo quepase adentro, nada escapar hacia afuera.

La Relatividad General predice tambin que la forma final de un agujero negro,tal como se ve desde afuera, es independiente del modo en que se form. Las nicaspropiedades que conserva de todo el proceso de formacin son la masa, yeventualmente si est cargado y rota, la carga y el momento angular.

Este hecho se conoce como el teorema de no pelos, es decir que los agujerosnegros no tienen pelos (o tienen a lo sumo tres pelos). Aunque un agujero negro esun objeto macroscpico, en Relatividad General tiene una descripcin bastantesimple.

Radiacin trmica

Aunque en Relatividad General un agujero negro es un objeto del que nadapuede escapar, por efectos cunticos puede emitir radiacin. Efectivamente, Hawkingmostr en 1974 que los agujeros negros no son negros en realidad. Tienen unatemperatura caracterstica que se origina en procesos cunticos. Para entender este

efecto conviene recordar que las consecuencias de un campo gravitatorio son comolas de la aceleracin.


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Pero al acelerar, el termmetro registra una temperatura. Esta temperatura esproporcional a la aceleracin.

Todos los instrumentos se comportarn como si estuvieran rodeados por ungas de partculas, a una temperatura que aumenta proporcionalmente a su

aceleracin.

Este efecto no se ha observado todava. Es una prediccin hecha en 1970 porel fsico canadiense Bill Unruh, quien calcul la relacin exacta entre la temperatura

(T) y la aceleracin (a): T=a(h/2c). En esta frmula, h es la constante de Planck eindica que esta temperatura tiene un origen cuntico. Y c es la velocidad de la luz,300000 km/seg.

La constante de proporcionalidad entre la temperatura y la aceleracin es tanchica que el efecto no se ha podido medir experimentalmente todava. Pero no esinaccesible y hay algunas propuestas para medirlo en los prximos aos. En un

mundo clsico, sin cuntica, la constante de Planck sera cero y no habra efecto.

El efecto tambin desaparecera si la velocidad de la luz fuera infinita, y por lotanto tambin se anulara en una fsica newtoniana. Usando el principio deequivalencia entre la aceleracin y la gravedad, la temperatura de la Tierra por este

efecto es extremadamente pequea: 10-20K.

Consecuentemente, Hawking calcul que en el exterior de un agujero negro se

medira una temperatura inversamente proporcional a su masa T m-1. La constantede proporcionalidad es muy pequea y en consecuencia los agujeros negros de

masas estelares tienen temperaturas de unas pocas fracciones de grado. Son muchoms fros que los 2,7 K de la radiacin de fondo del universo. Pero un agujero negrocon masa mucho menor sera mucho ms caliente, incluso siendo de menor tamao.

Efectivamente, en 1974 Hawking predijo que los agujeros negros emitenradiacin trmica. Los agujeros negros ms pequeos tienen una temperatura ms

alta (T rh-1). Por ejemplo, los agujeros negros con la masa del sol (Ms~2 10

30 kg),

tienen una temperatura de radiacin de unos 3.6 x 10-7 K; si la masa es la de la

Tierra (MT~6 1024 kg), T ~ 0.1 K y para la masa de una montaa de unos 1018 kg la

temperatura de la radiacin trmica es de unos 7000 K, es decir, estos micro-agujeros negros se veran blancos, como estrellas!

Cul es el origen de la temperatura detectada por un observador acelerado?La temperatura es energa. Si el termmetro mide debe haber una fuente de energay sta viene de los motores de la nave del observador, que son el origen de suaceleracin.

Por el principio de equivalencia, en el caso de los agujeros negros esa energadebe originarse en el propio campo gravitatorio. Y la fuente de este campo es lamasa. Por lo tanto la energa responsable de la temperatura del agujero negroproviene de su masa.

Pero la temperatura no slo es energa. Es energa en movimiento aleatorio. Ypara entender por qu es aleatorio el movimiento de las partculas que detecta el


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observador acelerado o de las que crea el campo gravitatorio del agujero negro hayque entender otros principios bsicos de la Mecnica Cuntica.

El vaco, por ejemplo, es un lugar muy interesante en Mecnica Cuntica. Haypares de partcula-antipartcula que se crean continuamente y luego se aniquilan. An

en un vaco perfecto, se crean y destruyen constantemente pares de partculasvirtuales.

Por ejemplo, un fotn puede decaer en un par electrn-positrn y luego elelectrn y positrn se aniquilan creando un nuevo fotn. Aunque no podemos verlas,sabemos que estas partculas virtuales estn realmente en el espacio vaco porquedejan algunas trazas detectables. Un efecto de los fotones virtuales es producir unpequeo corrimiento en los niveles de energa de los tomos, que ha sido medido congran precisin.

Otra manifestacin de estas partculas virtuales es el efecto Casimir. Este

efecto es una atraccin que se observa entre dos placas paralelas de metaldescargadas y se debe a que se pueden crear menos partculas virtuales entre lasplacas que en el espacio que las rodea y por lo tanto se genera una presin de afuerahacia adentro que acerca a las placas.

El principio de indeterminacin de Heisenberg permite explicar que estaspartculas virtuales existan por perodos de tiempo cortos an cuando no hayasuficiente energa para crearlas. Se crean por incertezas en la energa. Se podradecir que toman prestada la energa necesaria para su creacin y luego rpidamentela devuelven y desaparecen. Tpicamente estos cuantos virtuales se pueden separarcierta distancia antes de recombinarse y aniquilarse.


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El proceso por el cual el observador acelerado detecta partculas calientes ylos agujeros negros adquieren temperatura es esta creacin de pares virtualespartcula-antipartcula por efectos cunticos. En algunos casos es posible separar elpar usando energa externa para evitar la aniquilacin, y entonces las partculasvirtuales se convierten en reales.

Por ejemplo, supongamos que el par partcula-antipartcula se forma justo en elhorizonte del agujero negro. Si un miembro del par cae dentro del agujero negro elobservador que est afuera no puede ver la aniquilacin del par y debe interpretar elcuanto que ve como una partcula real.

Lo mismo le sucede al observador acelerado en el espacio vaco, que tambintiene un horizonte, una regin oculta del universo a la que no tiene acceso.

La antipartcula, digamos, cae detrs de su horizonte y el detector mide la

partcula que qued en su regin accesible del universo.

Las propiedades de los miembros del par partcula-antipartcula estncorrelacionadas de manera que una descripcin completa de uno de ellos requierenecesariamente un conocimiento del otro. Cada partcula que detecta el observadoracelerado est correlacionada con la antipartcula que est del otro lado delhorizonte.

Esto implica que parte de la informacin necesaria para hacer una descripcincompleta de las partculas que forman la radiacin de los agujeros negros esinaccesible porque est en la antipartcula que cay en la regin oculta, detrs del

horizonte. En consecuencia, lo que se observa es intrnsecamente aleatorio, no hay


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forma de predecir exactamente cmo se comportarn las partculas y el resultado esque lo que se ve es aleatorio. Pero movimiento aleatorio es, por definicin, calor.

Entonces, las partculas detectadas por el observador acelerado o el que estafuera del agujero negro estn calientes.

Las propiedades trmicas de los agujeros negros entonces mezclan laMecnica Cuntica con la Relatividad General. Es muy difcil mezclar estas teoras. Sise intenta hacerlo aparecen problemas. Y es en este contexto que surge la paradojade la prdida de informacin de los agujeros negros o paradoja de Hawking. Veamosen qu consiste.

Evaporacin del agujero negro


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La radiacin emitida por un agujero negro, llamada radiacin de Hawking, selleva energa. Y esto implica que un agujero negro en el espacio vaco debe perdermasa, porque no hay otra fuente de energa que compense la radiacin que emite.

El proceso por el cual un agujero negro pierde su masa por radiacin se llama

evaporacin del agujero negro. A medida que un agujero negro emite radiacin, sumasa disminuye. Pero como su temperatura es inversamente proporcional a su masa,a medida que pierde masa se calienta. Se hace ms y ms pequeo y ms y mscaliente. Se va evaporando. Parecera que llegar un momento en que no le quedems masa y desaparecer.

La evaporacin de un agujero negro astrofsico es un proceso muy lento. Lavelocidad de evaporacin, que depende de la temperatura, es muy lenta porque lapropia temperatura es muy baja inicialmente. Un agujero negro de la masa del soldemorara unas 1060 veces la edad actual del universo en evaporarse. Por lo tantono es algo que podamos observar pronto. Pero un agujero negro de unos 1012 kg

tiene una vida comparable a la edad del universo, es decir que podramos observar elproceso de evaporacin de estos agujeros negros si se formaron durante el big bang.

Entonces, si tenemos suficiente paciencia para esperar, el agujero negromicroscpico es muy caliente, se evapora ms rpido, se hace ms y ms pequeo,ms y ms caliente. Nada puede impedir que convierta toda su masa en radiacin ydesaparezca completamente.

Y esto nos coloca frente a la paradoja de la prdida de informacin. Lapregunta sobre qu sucede al final de la evaporacin del agujero negro es lo queconduce a la paradoja de Hawking: Qu sucede con la informacin atrapada dentrodel agujero negro?

El proceso de evaporacin contina hasta que la temperatura es tan alta quecada fotn emitido tiene una energa muy grande llamada energa de Planck. En esemomento la masa del agujero negro es casi como la masa de Planck, unos 2 x 10 -5 gy su horizonte es de unas pocas longitudes de Planck (10-33 cm).

Estas unidades de Planck definen el rgimen donde los efectos cunticos de lagravedad se hacen importantes. Qu sucede a estas energas, a estas distancias?Cmo evoluciona despus el agujero negro? Cmo termina su vida, si es que

termina? Esto slo podr responderlo una teora de la gravedad cuntica. El agujeronegro, desaparecer complementamente? O comenzarn a jugar otros aspectos,impredecibles por ahora, mientras no tengamos una teora de la gravedad cuntica?La apuesta de John Preskill fue a favor de una respuesta afirmativa a esta ltimapregunta.

La escala de Planck que acabamos de mencionar es muy interesante. A estasdistancias deberamos observar los cuantos elementales que forman el espacio y eltiempo. Por otro lado, para observar distancias tan pequeas necesitaramosenergas muy grandes. Consecuentemente, la energa de Planck es enorme (1019GeV), comparable a la que tuvo lugar durante el big bang. A estas energas tan

grandes, mucho mayores que cualquier energa que podemos alcanzar en loslaboratorios terrestres o incluso que podemos observar en los procesos astrofsicos


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ms energticos del universo, las propias nociones de espacio y de tiempo deEinstein podran no ser vlidas.

Para poder entender la fsica a estas escalas es necesaria una teora de lagravedad cuntica, una teora que nos permita combinar de manera consistente la

Relatividad General y la Mecnica Cuntica.

Pero si intentamos aplicar las reglas de la Mecnica Cuntica a la RelatividadGeneral, de manera anloga a cmo se aplican en otros procesos (por ejemplo a loselectrones y fotones) aparecen problemas de consistencia matemtica en lasecuaciones, los clculos dan resultados infinitos que no tienen sentido y surgenparadojas fsicas como las que plantea la evaporacin de los agujeros negros, queahora vamos a describir.

Antes de explicar en qu consiste la paradoja, todava es necesario definir losconceptos de entropa e informacin en la fsica cuntica.

Entropa de los agujeros negros

La cantidad de aleatoriedad hay en un sistema caliente se llama entropa. Esdecir, la entropa es una medida de cunto desorden o aleatoriedad hay en elmovimiento de los tomos de un sistema caliente.

En un sistema aleatorio, como un gas a cierta temperatura, hay una grancantidad de entropa en el movimiento aleatorio de las molculas. Esta entropa esinformacin sobre las posiciones y movimientos de las molculas que no quedaespecificada cuando se describe el gas en trminos de cantidades como densidad ytemperatura.

Estas cantidades se promedian sobre todos los tomos en el gas, as quecuando uno habla de un gas en estos trminos la mayora de la informacin sobre lasposiciones y movimientos reales de las molculas se desprecia. La entropa de ungas es una medida de esta informacin. En una descripcin macroscpica la entropaes proporcional a la energa de las molculas del gas e inversamente proporcional asu temperatura.

La informacin sobre los estados exactos de las partculas calientes que ve el

observador acelerado no es completa porque est codificada en los estados de laspartculas de su regin inaccesible (detrs del horizonte).

Como la aleatoriedad es resultado de la presencia de una regin oculta, laentropa debera estar relacionada con el tamao del mundo que no puede ver elobservador acelerado o el observador que est afuera del agujero negro. Es decir, laentropa debera tener que ver con el tamao de la regin inaccesible al observador.En realidad resulta ser una medida del tamao de la frontera que lo separa de suregin oculta.

Adems el cambio en la entropa del agujero negro es la cantidad de energa

que emiti o absorbi dividida por su temperatura. Sabemos expresar la energa delagujero negro en trminos de su tamao (E m rh), y tambin sabemos expresar


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su temperatura en funcin de su masa (T m-1 rh-1). Entonces podemos encontrar

la dependencia de la entropa del agujero negro con su tamao: S = E/T m2 rh2.

La entropa de la radiacin caliente que se observa resulta ser precisamenteproporcional al rea del horizonte. Esta relacin entre el rea del horizonte y la

entropa fue descubierta en 1970 por un estudiante de doctorado: Jacob Bekenstein.Bekenstein y Unruh estaban dirigidos por John Wheeler, quien un ao antes habadado su nombre a los agujeros negros.

Para agujeros negros simples, que no rotan y no tienen carga elctrica, losvalores de la temperatura y la entropa se pueden expresar entonces de manera muysencilla. El rea del horizonte es proporcional al cuadrado de la masa. La entropa Ses proporcional al rea: S = A/4hG. Es decir, la entropa es del rea del horizontede eventos del agujero negro dividido por la unidad de rea de Planck. Esta frmulaes muy interesante. La unidad de rea de Planck es el cuadrado de la longitud dePlanck: 10-66 cm2.

En consecuencia, la entropa de un agujero negro es enorme: para un agujeronegro de la masa del Sol, la entropa es aproximadamente 1078. Este nmero es muygrande (la entropa del Sol es unos 20 rdenes de magnitud menor).

Hay una gran contradiccin en lo que hemos dicho hasta ahora. Por un lado,cuando describimos a los agujeros negros en Relatividad General dijimos que son

objetos muy simples, con muy poca estructura. Independientemente de cmo seformaron, los agujeros negros se pueden caracterizar muy simplemente, es decir sus


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propiedades fsicas se pueden describir completamente especificando slo su masa(y eventualmente su carga y momento angular).

Por otro lado, acabamos de decir que los agujeros negros tienen una enormeentropa y una gran entropa indica gran complejidad. La cantidad de movimiento

aleatorio, impredecible, es muy grande. Entonces en qu quedamos: los agujerosnegros son simples o son complejos?

De dnde proviene la entropa? Uno de los grandes logros de la mecnicacuntica fue explicar el origen microscpico del comportamiento termodinmico de lossistemas macroscpicos. Las propiedades termodinmicas de los gases se puedenentender en trminos de estados cuantizados de la energa de sus tomos ymolculas. Entonces, cul es la fsica microscpica que explica las propiedadestermodinmicas de los agujeros negros?

Cada molcula de un gas, como partcula cuntica, tiene estados de energacuantizados y para un gas, se pueden contar los microestados accesibles a esas

molculas. La entropa es el logaritmo de ese nmero. En fsica estadstica cuntica,una gran entropa se asocia con un gran nmero de estados cunticos accesibles enlos que el sistema puede fluctuar en equilibrio trmico.

Qu son todos estos grados de libertad cunticos microscpicos del agujeronegro que dan origen a esta entropa? Qu son estas partculas que se estnmoviendo aleatoriamente y originan el calor y la entropa del agujero negro?Necesitamos una teora cuntica de los agujeros negros que nos revele qu es suentropa, que nos de una interpretacin de la entropa en trminos de estadosmicroscpicos del agujero negro.

Los agujeros negros en Relatividad General son independientes de qu losforma y de cmo se forman. Sus propiedades trmicas dependen de la gravedad y dela Mecnica Cuntica. Por lo tanto el origen de su entropa debera ser explicado poruna teora de la gravedad cuntica.

A grandes rasgos, intuimos que la entropa del agujero negro debera venir delmovimiento de los cuantos del espacio-tiempo, de las partculas elementales queforman el espacio y el tiempo. Y para saber qu son estos cuantos de espacio-tiemponecesitamos una teora de la gravedad cuntica. Parecera que si entendemos estosaspectos trmicos de los agujeros negros, aprenderemos algo sobre la estrucura

cuntica del espacio-tiempo.

Informacin en mecnica cuntica

Otro aspecto de la mecnica cuntica relevante para esta discusin es que lainformacin no se puede destruir.

Supongamos que codificamos la informacin que hay en una enciclopedia enbits, as como una computadora almacena la informacin, en secuencias de ceros yunos. Si escaneamos la enciclopedia y guardamos la informacin en la computadora,al da siguiente podremos leerla sin inconvenientes en principio. Pero en Mecnica

Cuntica la evolucin temporal de un sistema lo hace cada vez ms complicado.


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Los distintos bits de informacin estn correlacionados y evolucionan con eltiempo de manera que no se puede conocer el estado de cada uno de ellos sin tenerun conocimiento completo de todos. De manera que si queremos leer unaenciclopedia cuntica al da siguiente de haberla codificado necesitamos una enormecantidad de informacin.

Esto no significa que no podamos leerla, que la informacin se destruye. Sloque se hace ms y ms difcil reconstruirla a medida que pasa el tiempo. Pero lainformacin no se destruye.

Esta es una premisa bsica de la Mecnica Cuntica. En principio, uno puedeleer la enciclopedia codificada cunticamente, slo que con el tiempo se hace cadavez ms difcil. Se dice que el sistema cuntico se "termaliza". Pero lo importante esque la informacin no se puede destruir. Esta es una premisa bsica de la MecnicaCuntica que se verifica experimentalmente en todos los procesos conocidos hasta elmomento.

Aunque los procesos fsicos pueden transformar la informacin contenida enun sistema y hacerla inaccesible en la prctica, en principio la informacin siempre sedebe poder recuperar. Una analoga de esta afirmacin sera: Si quemamos laEnciclopedia Britnica o la Enciclopedia de la Real Academia Espaola, las llamas y

las cenizas sern muy parecidas en los dos casos, pero en realidad hay diferencias


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sutiles: con suficiente inteligencia y tecnologa avanzada debera ser posible decifrarel contenido de la enciclopedia observando las llamas y las cenizas.

La Paradoja

Ahora estamos en condiciones de apreciar la paradoja de Hawking.Supongamos que tenemos una enciclopedia con gran cantidad de informacin.Imaginemos que los bits de informacin que codifican el contenido de la enciclopediaforman un gas que colapsa por la fuerza de la gravedad y forman un agujero negro.

Segn la Relatividad General, el agujero negro formado por la EnciclopediaBritnica o la Enciclopedia de la Real Academia Espaola, sern exactamente igualessi las dos enciclopedias tienen la misma masa. Se dice que el agujero negro no tienepelos.

Estos agujeros negros (llammoslos britnico y espaol) empiezan a emitirradiacin. Segn Hawking esta radiacin no tiene absolutamente ninguna informacin

sobre la enciclopedia que dio origen al agujero negro.

En efecto, parte de la informacin que necesitamos para reconstruir laenciclopedia est detrs del horizonte, fuera de cualquier contacto causal con elexterior. No hay ningn problema con esto porque en realidad slo estamos mirandouna parte del sistema completo. La radiacin no lleva informacin porque parte delsistema es inaccesible, est detrs del horizonte.

Pero supongamos que esperamos pacientemente hasta que el agujero negroemiti la mayor parte de su masa. Esto puede llevar mucho tiempo.

Pero si tenemos suficiente paciencia, en algn momento el agujero negro seevaporar completamente, el horizonte de eventos desaparecer y ya no podremosdecir que la informacin que falta est detrs del horizonte. La informacin queestaba codificada en los bits adentro del agujero negro se pierde inevitablemente, caeen la singularidad y ninguna medicin que podamos hacer en la radiacin que quednos permitir recuperar esa informacin.


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En la jerga fsica se dice que un estado cuntico puro, con mucha informacin(toda la informacin contenida en la enciclopedia, por ejemplo) ha evolucionado haciaun estado mezcla, con gran cantidad de informacin faltante (la radiacin trmica queemiti el agujero negro).

Esta es la paradoja de la prdida de informacin. Es una paradoja en el sentidoque hemos seguido los principios bsicos de la Relatividad General y la MecnicaCuntica hasta el final y hemos concluido que un estado puro evoluciona a un estadomezcla, lo cual viola los principios de la Mecnica Cuntica.

Es decir, podemos formar un agujero negro de muy distintas maneras, perosiempre se evapora de la misma forma, aunque los principios de la MecnicaCuntica implican que debera haber una descripcin precisa de los agujeros negrosy que no todos los agujeros negros deberan evaporarse dejando los mismosresiduos, indistinguibles unos de otros.

Debera haber diferencias sutiles en lo que queda cuando el agujero negro se

evapor, segn cmo se form. Si los agujeros negros respetaran las leyes de laMecnica Cuntica, entonces si un agujero negro se forma a partir de unaenciclopedia, eventualmente deberamos ser capaces, en principio, de leer laenciclopedia observando cuidadosamente la luz emitida cuando el agujero negro seevapor.

Pero Hawking mostr que la evaporacin del agujero negro es un fenmenodiferente de los procesos fsicos ordinarios; la informacin que cae detrs delhorizonte de eventos de un agujero negro se perder para siempre, permaneciendooculta aun despus que el agujero negro se evapor completamente y desapareci.

La contradiccn entre la Mecnica Cuntica, que implica que necesitamos lainformacin, y la Relatividad General, que implica que no la podemos tener porque


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desapareci en una singularidad, se denomina la paradoja de la prdida deinformacin.

La marcha atrs de Hawking

Durante cerca de 30 aos Hawking dijo que los agujeros negros puedendestruir informacin cuntica. Como vimos, este tipo de destruccin de informacinviola los principios de la Mecnica Cuntica.

Por lo tanto Hawking sugiri que esta teora deba ser abandonada o por lomenos modificada. Esa era una postura revolucionaria: propona abandonar unateora que ha sido verificada experimentalmente con una precisin impresionante.

Pero en su charla de Dublin, el pasado mes de julio, Hawking presentesquemticamente un argumento que, segn dijo, sustenta la conclusin que no hayprdida de informacin. Sin embargo, el propio ganador de la apuesta, John Preskill,

confes que no entenda la nueva propuesta de Hawking y manifest su expectativapor conocer los detalles en la versin impresa, que todava, hasta la fecha en que seescribe este artculo, no se ha dado a publicidad.

Dijo Preskill: "Tengo la fuerte impresin de que el nuevo trabajo de Hawking,aun si resultara ampliamente aceptado, todava dejar cuestiones oscuras sobre elmecanismo explcito por el cual la informacin puede escapar del agujero negro.Pero de todas formas acept el trofeo y pidi como recompensa una enciclopedia debaseball. En tanto Kip Thorne, el compaero de apuesta de Hawking, dijo que queraestudiar el nuevo trabajo antes de decidir si acepta la derrota. Hawking no semanifest contrariado por eso y propuso que le devolviera la mitad del costo de laenciclopedia cuando estuviera convencido.

Muchos fsicos todava adhieren a la posicin anterior de Hawking y no estnconformes con su cambio de posicin. Otros, nunca aceptaron la propuesta originalde modificar la Mecnica Cuntica. Pero la gran mayora todava no conoce losdetalles del nuevo trabajo.


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Holografa y agujeros negros

Para concluir con una visin ms optimista del problema, presentamos muyesquemticamente las nuevas ideas sobre este tema que surgieron en los ltimosaos en el contexto de las teoras de cuerdas.

En efecto, parece haber una posible solucin a los problemas asociados con lafsica de los agujeros negros en el marco de la teora de cuerdas o teora M. Enparticular, Juan Martn Maldacena, un joven argentino que ha realizado aportesimportantsimos en esta rea, ha demostrado que en el marco de esa teora ciertos

agujeros negros preservan la informacin de una manera muy sutil.


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La teora de cuerdas surgi en la dcada de 1970 para explicar lasinteracciones fuertes. Actualmente est todava en construccin, no se conocenaun los principios que la sustentan, pero se sabe que proporciona unadescripcin unificada de todas las interacciones.

Se basa en la suposicin de que los elementos bsicos de la naturalezason objetos unidimensionales, cuerdas. Una cuerda oscila cuando viaja en elespacio-tiempo y esas oscilaciones son el origen de las partculas queobservamos a bajas energas. El gravitn, la partcula que transmite lainteraccin gravitatoria, es uno de los modos de oscilacin de una cuerdacerrada. Otras partculas son cuerdas que oscilan de una manera diferente oson excitaciones de una cuerda abierta.

Estas cuerdas interactan unindose y dividindose, y los clculos quedescriben estos procesos dan respuestas finitas razonables. Como todava nose han observado, estas cuerdas deben ser ms pequeas que las distancias

ms cortas que se han medido, que son de unos 1018 m.

Vimos que la Relatividad General relaciona la curvatura del espacio-tiempo conla distribucin de materia y energa. Pero cmo aparecen las ecuaciones de Einsteinen la teora de cuerdas?

Las coordenadas de una cuerda en el espacio-tiempo curvo sienten lacurvatura. Para que la propagacin de la cuerda sea consistente con la MecnicaCuntica, el espacio curvo en el que se propaga la cuerda debe ser una solucin delas ecuaciones de Einstein con correcciones.

Es decir, la teora de cuerdas no predice las ecuaciones de Einsteinexactamente, les agrega una serie infinita de correcciones. En circunstanciasnormales, si solo miramos escalas de distancia mucho mas grandes que la escala dela cuerda, esas correcciones no son medibles. Y en ese caso las ecuaciones admitensoluciones de agujeros negros.

Pero a medida que la escala de distancias se hace mas pequea lascorrecciones se hacen mas grandes hasta que las ecuaciones de Einstein ya nodescriben el resultado adecuadamente. Cuando los trminos de correccin se hacengrandes, no hay geometra del espacio-tiempo que pueda describir el resultado.

Las ecuaciones que determinan la geometra del espacio-tiempo se hacenimplosible de resolver excepto para condiciones muy particulares. Esta es unaindicacin de que tal vez la geometra del espacio-tiempo no es algo fundamental enla teora de cuerdas, sino algo que emerge en la teora a escalas de distanciagrandes.

Agujeros negros y branas en teora de cuerdas


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En teora de cuerdas hay relaciones de dualidad segn las cuales a pequeasdistancias o cuando las fuerzas se hacen muy intensas, hay una descripcinalternativa del mismo sistema fsico que es muy diferente. Estas simetras dedualidad permitieron descubrir que las teoras de cuerdas no slo contienen cuerdassino tambin objetos de mayor dimensionalidad, llamados p-branas y D-branas. Unapartcula puntual es una cero-brana, las cuerdas son 1-branas, las membranas son 2-branas, y as siguiendo.

Los agujeros negros de una teora de cuerdas son una coleccin de cuerdasen una regin muy pequea del espacio. Se pueden describir alternativamente comoun conjunto de D-branas en la representacin dual de la teora, donde es posiblecalcular el nmero de estados cunticos accesibles al sistema.

Cuando consideramos las dos representaciones duales del agujero negro, seencuentra que la entropa calculada contando microestados en el sistema de D-branas coincide con del rea del agujero negro (o la p-brana) de la descripcindual. Las D-branas son los cuantos fundamentales de un agujero negro.

Estos clculos fueron realizados originalmente por A. Strominger y C. Vafa en1996 para algunos agujeros negros muy particulares (con una carga igual a su masaen unidades adecuadas). Mas tarde la equivalencia se verific para otros agujerosnegros algo mas generales. Pero aunque el resultado es muy alentador, todava es

un desafo encontrar la descripcin equivalente para cualquier agujero negro.


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Holografa

La relacin entre la entropa y el rea del agujero negro es muy interesante. Esun ejemplo del holograma ptico usual en el cual una superficie bidimensional (lapantalla del televisor, por ejemplo) codifica informacin sobre la forma tridimensionalde un objeto.

Una idea parecida fue propuesta hace ya algunos aos por G. t Hooft y L.Susskind, que sugirieron que el nmero de grados de libertad que describen unaregin en una teora de gravedad es proporcional al rea de esa regin. Maldacenaencontr una realizacin explcita de esta propuesta en la teora de cuerdas. Pudodescribir el interior de un espacio-tiempo particular (llamado Anti-de Sitter) entrminos de una teora en la frontera de ese espacio-tiempo, que tiene una dimensin

menos. Segn esta idea, las partculas que viven en el borde del espacio-tiempodescriben un objeto que est en el interior.

Los agujeros negros en el interior se describen mediante un gran nmero departculas en el borde. La fsica gravitatoria en el interior, cuando resulta muycomplicada, se puede describir de manera alternativa mediante partculasinteractuantes en el borde. La teora de la frontera es una teora de partculasrelativamente sencilla. Entonces hay dos descripciones equivalentes de la mismafsica.

Cuando una de ellas resulta incapaz de resolver un problema, se apela a laotra, que permite abordar las preguntas sin respuesta en la primera formulacin. Unateora de partculas relativamente sencilla en el borde puede describir objetos muycomplicados del interior.


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El espacio-tiempo emerge dinmicamente en este esquema, a partir de la

interaccin de las partculas que viven en la frontera. Y en esta formulacin no hayprdida de informacin porque la teora cuntica de las partculas del borde es unateora unitaria que respeta los postulados de la Mecnica Cuntica.

Para concluir podemos afirmar que los agujeros negros son objetosfascinantes en los cuales los efectos de la curvatura del espacio-tiempo nos colocanfrente a situaciones lmite, en las que se hace necesario desarrollar nuevas teoras,nuevas ideas. Los agujeros negros combinados con la Mecnica Cunticarepresentan un desafo muy interesante para nuestra comprensin del espacio-tiempo. La teora de cuerdas es capaz de unificar aspectos clsicos y cunticos de

los agujeros negros y en esta formulacin no hay prdida de informacin.

La descripcin microscpica de la entropa del agujero negro en trminos de D-branas o la representacin hologrfica de estos objetos en trminos de partculas dela frontera del espacio-tiempo, constituyen maneras nuevas y muy interesantes dedescribir el espacio-tiempo.

Javier de Lucas

borde

Partculas que viven en la frontera

describen un

objetoen el

interior


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La paradoja de Hawking

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