La Matematica de Pitagoras a Newton-Lucio Lombardo Radice

La matemtica de Pitgoras a Newton www.librosmaravillosos.com Lucio Lombardo Rdice

Colaboracin de Sergio Barros 1 Preparado por Patricio Barros



Dedicatoria

Hace nueve aos dediqu a mis hijos Daniele, Marco y Giovanni, y a mis sobrinos

Celeste, Bruna, Chiara, Renata, Guido y Andrea, que entonces eran adolescentes o

todava nios, estas pginas escritas para los pequeos.

Ahora renuevo esta dedicatoria, y la tengo que ampliar con cario a los nuevos hijos

y nietos que a travs de ellos he tenido, a Marina, Marco, Giorgio y Chris; a la

primera querida criatura de la nueva generacin, Giovannina, que acaba de nacer

de Celeste y Marco, y a muchas ms que espero la habrn de seguir.

Tendra que seguir alargando la dedicatoria de hace cinco aos, porque la nueva

generacin se multiplica: aadir slo el nombre de mi primera nietecilla, Luca, hija

de Daniele y de Brbara.

Roma, marzo de 1976



Advertencia a los lectores antes de que empiecen a leer

Hace casi dos mil trescientos aos, cuando reinaba en Egipto Ptolomeo I (que rein

del 306 al 283 a.C), el sabio griego Euclides escribi un libro famoso, los Elementos

(de geometra). Se trata del libro que, despus de la Biblia y las obras de Lenin, ha

tenido ms ediciones y se ha traducido a ms lenguas: ha sido, hasta hace algunos

decenios, el libro de geometra para la enseanza media. Pues bien, el rey Ptolomeo

empez a leerlo, pero se cans en seguida. Le costaba mucho trabajo seguir los

largos y minuciosos razonamientos de Euclides. El rey mand entonces llamar al

cientfico, y le pregunt si en geometra exista alguna va ms corta y menos

trabajosa que la de los Elementos. A lo que Euclides respondi que no, que en

matemticas no hay caminos reales.

Para entender la matemtica hay que hacer funcionar el cerebro, y esto siempre

supone algn esfuerzo. No es posible hacer unas matemticas de tebeo, no es

posible transformar su historia en una novelita. El que tenga la mente perezosa, el

que no sienta el placer de hacer trabajar su cerebro, es mejor que

ni siquiera empiece a leer. En cambio, el que no se asusta de los esfuerzos de la

mente, que no se desanime si, aqu o all, no entiende algo, a primera vista; y no

pretenda leerlo todo de corrido, sino que lea atentamente, poco a poco, saltndose

las cosas ms difciles o haciendo que se las explique alguien que haya estudiado

ms que l.

Importante: Se recomienda que todos tengan a mano papel y lpiz para poder

repetir por su cuenta los clculos, dibujos y razonamientos. Se recuerda tambin

que los apndices a los que se hace referencia en el texto se encuentran al final del

volumen.

L.L.R



Captulo 1

Los Nmeros

Contenido:

1. Un maravilloso invento del hombre

2. Una discusin con un muchacho romano antiguo

3. Clculos y bacos; zephyrus y algoritmo

4. Tambin los bacos y las cuentas con los dedos siguen siendo tiles

5. Los nmeros figurados de Pitgoras

6. Las modernas computadoras electrnicas prefieren la numeracin en base

dos

1. Un maravilloso invento del hombre

Desde muy pequeos, por lo general an antes de ir a la escuela, aprendemos a

leer las palabras y los nmeros; hasta tal punto esto se convierte en un hbito, que

no nos damos cuenta de la extraordinaria genialidad del hombre, que ha conseguido

con slo 21 letras ( 24, 26, segn los idiomas) escribir todas las posibles,

infinitas palabras, y con slo 10 cifras , todos los posibles, infinitos nmeros. Con

31 signos, pues, nos convertimos a los seis aos, y a menudo incluso antes, en

dueos de las llaves que abren los tesoros del mundo: todos los libros, todas las

tablas y todos los clculos que poetas, escritores, fsicos, astrnomos y

matemticos han podido legarnos desde que el hombre ha inventado esos dos

instrumentos admirables: la escritura alfabtica y la numeracin posicional. Son dos

invenciones que tienen algo en comn, y ambas han costado miles de aos de

esfuerzos a la mente humana.

Dar un valor al lugar que ocupa una cifra (principio posicional) era una idea ms

difcil que la de dividir las palabras en los sonidos que las componen, y escribirlas

poniendo unos detrs de otros (o, en algunos idiomas, unos debajo de otros) los

signos establecidos para aquellos sonidos, en vez de tomarse el trabajo de inventar

y recordar un dibujo distinto, un ideograma, para cada palabra. En efecto, en Italia,

por ejemplo, el origen de la escritura alfabtica se pierde en la oscuridad de la



prehistoria: antes del alfabeto latino, que es el que se emplea todava hoy, existan

el griego y el etrusco.

En cambio, la introduccin de la numeracin rabe (sera ms correcto, como

veremos, decir india), o sea de una numeracin en la que se tiene en cuenta la

posicin de las cifras, es un hecho histrico relativamente reciente, del que incluso

podemos dar la fecha. Estamos en 1202, en tiempos de Marco Polo, las Cruzadas,

Federico Barbarroja, las repblicas marineras italianas; un mercader-matemtico

italiano, Leonardo Fibonacci, llamado Leonardo el Pisano, escribe un librillo que

merecera tener la misma fama que Los viajes de Marco Polo (y quiz que la propia

Divina Comedia de Dante Alighieri), el Libro del baco (en latn: Lber abaci), en el

que explica genialmente el comodsimo sistema de los rabes para escribir los

nmeros y sus aplicaciones.

2. Una discusin con un muchacho romano antiguo.

La gran diferencia frente a la forma de escribir los nmeros empleada hasta

entonces no resida en los signos para indicar los nmeros, sino en el modo de

emplearlos. Por ejemplo, el signo (la cifra) para indicar uno es ms o menos el

mismo en la numeracin de los antiguos chinos, egipcios, romanos y en la nuestra,

que procede de los rabes: una barra, un palito, con alguna pequea variante.

I para los romanos (ver apndice nm. 1), 1 para nosotros. Pero supongamos

por un momento que nos encontramos con un muchacho de la antigua Roma y que

nos entendemos lo mejor posible con l en latn. Trazamos con un dedo en la arena,

como solan hacer los antiguos romanos en los mercados, tres palitos en fila, as:

III

El muchacho romano antiguo dir que el nmero es el tres, mientras que el

muchacho moderno dir que es el nmero ciento once. Quin tiene la razn? Los

dos, y ninguno: el caso es que uno sigue una regla, y el otro, otra. El romano,

cuando escribe: III, quiere decir:

1 + 1 + 1 = 3



mientras que nosotros, escribiendo las mismas cifras en el mismo orden, queremos

decir:

1 centena + 1 decena + 1 unidad = 100 + 10 + 1 = = ciento once.

De la misma forma, podremos convencer fcilmente al muchacho romano antiguo

de que escriba 5 en lugar de V; pero ser bastante difcil hacerle comprender que

donde pone 51, no debe leer 5 + 1 = 6 , sino 5 decenas + 1 unidad = cincuenta y

uno.

3. Clculos y bacos; zephyrus y algoritmo

En una palabra, entre nuestra forma de escribir los nmeros y la que empleaban los

antiguos romanos hay dos diferencias.

En primer lugar, ellos empleaban signos distintos de los nuestros: es la diferencia

ms visible, pero la menos importante.

En segundo lugar, creaban nuevos nmeros combinando los smbolos

fundamentales de una forma completamente distinta a la nuestra, con adiciones y

sustracciones de los nmeros representados por signos cercanos (ver la segunda

parte del apndice nm. 1).

Tratemos de escribir con el sistema de los romanos un nmero un poco elevado, por

ejemplo una fecha reciente, como se suele hacer hoy en da en el dintel de los

edificios para recordar el ao de su construccin. Probemos con mil novecientos

cincuenta y ocho. Habr que descomponerlo as: mil + novecientos + cincuenta +

ocho, y adems recordar que: novecientos = mil cien, y ocho = cinco + tres =

cinco + uno + uno + uno; escribiremos pues

MCMLVIII

Hemos tenido que utilizar ocho signos en vez de las cuatro cifras que se necesitan

para escribir 1958 en la forma de los indios; y el asunto sera mucho, pero mucho

peor si tuviramos que escribir un nmero verdaderamente grande. Y adems,



menudo trabajo tener que inventar cada vez una descomposicin que permita que

no sean necesarios demasiados signos, menudo trabajo tener que leer un nmero

un poco largo!, cundo habr que sumar?, cundo restar? Pero con el mtodo

romano para escribir los nmeros hay un inconveniente mucho ms grave: no se

pueden hacer los clculos como los hacemos nosotros, con la numeracin

rabeindia.

Ni siquiera se puede hacer una adicin en columna: no tendra sentido.

Efectivamente, los antiguos romanos no realizaban los clculos con nmeros

escritos, sino con... clculos, o sea con piedrecitas. Y es que, en efecto, nuestra

palabra clculo viene de la palabra latina calculus, que significa piedrecita.

Clculo ha conservado en espaol el significado de piedrecilla, cuando se habla de

las acumulaciones que se forman en ciertos rganos debido a su mal

funcionamiento (clculo en el rin, clculo en el hgado).

Figura 1

En las columnas as formadas colocaban unas piedrecitas: en la ltima, una

piedrecita por cada sestercio; si en la ltima columna se llegaba a las diez

piedrecillas, haba que quitarlas y sustituirlas por una nica piedrecilla que se

colocaba en la penltima columna. Por lo tanto, en la penltima columna cada

piedrecita vala diez de las de la ltima; en la antepenltima, cada piedrecita vala

diez de las de la penltima, y as sucesivamente. Tambin se poda utilizar un

mtodo anlogo con unas pizarrillas apropiadas, llamadas bacos.

Est claro, pues, que en el clculo prctico con guijarros (o con los bacos) los

antiguos romanos haban alcanzado ya la idea del valor de la posicin: una

misma piedrecilla poda valer uno, diez, cien, mil, etc., segn la columna en que

estuviera colocada. Es ms, algunas veces, para ir ms de prisa, los antiguos



romanos ponan unos signos encima de los guijarros (o encima de unas fichas

adecuadas): si encima del calculus haba cierto signo, vala por dos, si haba otro

vala por tres, y as sucesivamente hasta nueve. Empezamos a aproximarnos mucho

a nuestro modo de escribir los nmeros, no es cierto? Pero todava queda un paso

muy importante, del que nos podemos dar cuenta con un ejemplo. Trataremos de

escribir el nmero tres mil setenta y cinco. Son tres millares, ninguna centena, siete

decenas y cinco unidades. Por lo tanto, empezando por el final, hay que colocar

cinco clculos en la ltima columna, siete en la penltima, ninguno en la

antepenltima y tres en la primera. O si no, para ir ms de prisa, usemos clculos

con signos encima, que indiquen cuntas piedrecillas vale cala clculo, o mejor

reemplacemos esos signos, para que nos resulte ms cmodo, por nuestras cifras

(arbigas). He aqu cmo aparece el nmero tres mil setenta y cinco en ambos

casos:

Figura 2

Observemos con atencin la ltima lnea: si borramos las lneas verticales, si

quitamos las fichas y conservamos nicamente los signos escritos en ellas, todava

nos falta una cosa para tener el nmero tres mil setenta y cinco tal como lo

escribimos nosotros: falta un signo para indicar que en el antepenltimo lugar no

hay ninguna piedrecita, es decir, que a las cinco unidades y siete decenas no se

le aade ninguna centena, sino slo tres millares exactos. Falta un signo para

indicar la columna vaca: falta el cero.

Tenis en vuestra casa un diccionario espaol-latn? Buscad la palabra cero, y

veris que en latn no existe un trmino equivalente. Encontraris el espaol cero



traducido con el latn nihil o nllus numeras, palabras que de hecho significan

nada, ningn nmero. La palabra cero, en efecto, viene del rabe sifr, que

quiere decir vaco (recordis la columna vaca en el esquema del ejemplo que

hemos puesto hace un momento?). Leonardo Pisano, en 1202, al escribir aquel

famoso Liber abaci del que ya hemos hablado, busc una palabra latina que sonara

de un modo parecido al rabe sifr, y escribi: zephyrus (que se pronuncia zefirus;

es una brisa que tambin en espaol se llama cfiro). De aqu evolucion a

cevero y finalmente a cero.

Vemos que la importancia de los rabes en la historia de los nmeros tambin se

pone de manifiesto en las palabras.

El mismo trmino usado por los rabes para el cero, es decir sifr, ha dado lugar a

nuestra palabra cifra. Y en efecto el sifr es una cifra, es ms, se trata de la cifra

por excelencia, la ms importante, la ms difcil de inventar y de entender. Ya

hemos dicho que los rabes no inventaron el cero ni la numeracin posicional, pero

fueron ellos quienes las difundieron, y quienes obtuvieron las primeras

consecuencias prcticas y tericas. Muchas veces nos creemos que la civilizacin es

slo obra nuestra, que todos los grandes progresos de la humanidad se deben a los

pueblos mediterrneos o incluso slo a la Europa Occidental. Pero reflexionemos un

poco: en el 772 d.C, cuando en Europa imperaba el feudalismo, la decadencia de la

cultura, y no haba ya casi nadie que pudiera entender los libros de ciencia de los

antiguos, en Bagdad, la capital del imperio rabe, los embajadores indios llevaban

como regalos preciados, no joyas ni oro, sino tablas de clculos astronmicos

escritas con el nuevo sistema. Y el califa, el brbaro sarraceno en los relatos de

los cruzados, pagaba con prodigalidad a los estudiosos para que difundieran por

todo su imperio el admirable descubrimiento del pensamiento humano, la nueva

forma de calcular, o algoritmo, como decimos los matemticos.

Adems, tambin la palabra algoritmo (mtodo de clculo) es una palabra rabe:

se trata de la deformacin del nombre del gran sabio a quien el califa haba confiado

la tarea de difundir la numeracin india, que se llamaba precisamente al-

Khuwarizmi. Si lo pensis bien, no creis que se trata de una forma muy noble de

convertirse en inmortal, dejando el nombre de uno a una palabra importante, que



pronuncian las generaciones sucesivas sin acordarse ya del hombre que le dio

origen?

En la poca, ms o menos, de las luchas entre los gelfos y gibelinos, de las que

hablan todos los libros de historia, hubo una lucha entre dos partidos, sin

derramamiento de sangre, y slo con derramamiento de... tinta, de la que los libros

de historia generalmente no hablan, y que sin embargo creo que no fue menos

importante para la humanidad que las anteriormente citadas; hubo una lucha entre

el partido de los abaquistas y el de los algoritmistas. Se trat de la discusin entre

los que queran seguir contando con los bacos y los que, en cambio, como

Leonardo Pisano, sostenan que haba que desechar los bacos y adoptar el

algoritmo nuevo, el mtodo de numeracin de al-Khuwarizmi. A la larga vencieron

los algoritmistas (a la larga, siempre es el progreso el que prevalece), pero fueron

necesarios dos siglos largos para que la nueva numeracin se difundiera y se

impusiera completamente.

4. Tambin los bacos y las cuentas con los dedos siguen siendo tiles

Pero no despreciemos demasiado a los pobres bacos. Todava pueden servir para

algo. Pueden ser tiles, por ejemplo, en forma de tablas de contar, con diez bolas

en cada lnea (en lugar de diez piedrecitas por columna), para que los nios

pequeos comprendan el concepto de unidad, y luego el de decena. Las tablas

de contar, por otro lado, tambin pueden servir perfectamente a los mayores (en

una oficina, en un comercio), como un instrumento simple, rpido y muy seguro

para hacer sumas. Cuando en una fila las diez bolitas se han corrido todas de un

lado a otro, por ejemplo de derecha a izquierda, se las coloca de nuevo en su

posicin inicial y se desplaza una bolita de la fila inmediatamente superior (se trata

siempre del valor de la posicin, como habris entendido: cada bolita de la ltima

fila vale una unidad, cada bolita de la penltima vale una decena, o sea diez bolitas

de las de la ltima, y as sucesivamente). Si vierais con qu rapidez, en Mosc, en

Tokio o en Pekn, las encargadas de los comercios hacen cuentas con la tabla!

Naturalmente, con la rpida difusin de las cajas registradoras, incluso en los pases

donde hay una larga tradicin de clculo manual con bacos, esta costumbre se

ir perdiendo poco a poco.



Tampoco despreciemos demasiado las cuentas con los dedos. Los dedos de la

mano han sido el primer abajo del hombre: el primer sistema de numeracin ha

sido el mmico, o sea con gestos de las manos. Todava se puede encontrar algn

vestigio de esto en el lenguaje: por ejemplo en espaol dgito (del latn digiti, los

dedos) indica el nmero de guarismos d las cifras. Tambin en tiempos de

Leonardo Pisano y de los primeros algoritmistas, la indigitacin (el conjunto de

reglas para hacer cuentas con los dedos) era una ciencia bastante desarrollada. Hoy

da quin estudia eso? Y sin embargo, tambin en esa vieja ciencia primitiva

podemos encontrar alguna regla interesante. Conocis, por ejemplo, la regla

turca, para obtener los productos entre ellos de los nmeros comprendidos entre

el 6 y el 9, o sea para obtener la ltima parte de la tabla pitagrica, tan antiptica y

difcil de recordar? (Ver apndice nmero 2.)

5. Los nmeros figurados de Pitgoras

Si reflexionamos un poco, encontraremos en ciertos casos, todava hoy, que para

escribir nmeros no se emplean cifras, sino grupos de signos iguales entre ellos,

tantos como sean las unidades del nmero. Por ejemplo, en los dados los nmeros

estn representados por puntos; en los naipes con oros, copas, espadas y

bastos (o con corazones, trboles, picas y diamantes. Tambin la

representacin de los nmeros con puntos constituy antiguamente una ciencia: la

ciencia de los nmeros figurados de los pitagricos (los discpulos de Pitgoras, que

vivi en el s. VI a.C, y del cual hablaremos ms detenidamente). Tambin es sta,

desde luego, una ciencia superada, pero siempre podemos sacar alguna conclusin

interesante, de una forma sencilla y elegante, y con menos esfuerzo, quiz, que

utilizando el lgebra (otro nombre rabe, que explicaremos ms adelante).

Un ejemplo. Los pitagricos denominaban los nmeros triangulares, cuadrados,

cbicos, etc., segn originara dicho nmero, por la distribucin regular de los

puntos que lo representaba, un tringulo rectngulo issceles (con los dos lados

menores iguales), un cuadrado o un cubo. Los nmeros cuadrados son,

naturalmente, los cuadrados de los nmeros.

Por ejemplo



4 = 2 x 2 = 22 (dos al cuadrado),

9 = 3 x 3, 16 = 4 x 4, 25 = 5 x 5, etc.,

se representan con los siguientes cuadrados de puntos:

Figura 3

Ahora, en lugar de descomponer estos cuadrados de puntos en sus filas (o

columnas), procedamos de la siguiente forma (ver figura 3): los dividimos en otras

tantas lneas quebradas (como eles al revs, J, o escuadras de dibujo) que

partiendo de un punto de la primera fila, bajen en lnea recta hasta la diagonal del

cuadrado, y luego doblen en ngulo recto para llegar, horizontalmente, hasta la

primera columna. Entonces se puede ver en seguida, ya en los ejemplos dibujados

al principio, que estas lneas quebradas estn formadas (de izquierda a derecha)

por 1, 3, 5, 7, 9, 11, etc., puntos. Se tiene entonces que:

El cuadrado de 2 es la suma de los dos primeros nmeros impares

(1 + 3 = 4);



el cuadrado de 3 es la suma de los tres primeros nmeros impares

(1 + 3 + 5 = 9);

el cuadrado de 4 es la suma de los cuatro primeros nmeros impares

(1 +3 + 5 + 7 = 16);

el cuadrado de 5 es la suma de los cinco primeros nmeros impares

(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25)...

En general, si llamamos N a un nmero entero cualquiera:

El cuadrado del nmero entero N es la suma de los N primeros nmeros impares.

Se puede decir de otra manera:

Se obtienen sucesivamente los cuadrados de los N primeros nmeros enteros

haciendo sucesivamente las sumas de los primeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... N, nmeros

impares.

Segn esta regla hemos construido, en el apndice nm. 3, los cuadrados de los

primeros nmeros. Naturalmente, se puede seguir hasta el nmero que interese.

6. Las modernas computadoras electrnicas prefieren la numeracin en

base dos

Nuestra numeracin, es decir la india-rabe, es decimal, o lo que es lo mismo en

base diez. En efecto, est basada en la descomposicin de un nmero en

unidades, decenas, centenas, millares, decenas de millar, centenas de millar, etc.

Ahora bien, cien es el cuadrado de diez (diez por diez), mil es el cubo de diez (diez

por diez por diez), diez mil es la cuarta potencia de diez (diez por diez por diez por

diez), y as sucesivamente.

El valor de una cifra depende del lugar; un uno colocado en un lugar vale diez

veces ms que el mismo uno colocado en el lugar siguiente, y diez veces menos

que un uno escrito en el lugar precedente. Se escribe, como sabis, 102, 103, 104,



etc. (diez al cuadrado, diez al cubo, diez a la cuarta potencia, etc.), para indicar las

sucesivas potencias de diez; en general, si se indica con la letra n un nmero entero

cualquiera, el smbolo 10n indica el producto de n factores, todos iguales a 10, y se

lee: 10 a la ensima potencia, 10 elevado a n, o tambin, ms brevemente,

10 a la ensima.

Tomemos otro nmero, por ejemplo el nmero 5, y obtengamos sus sucesivas

potencias:

52 = 25,

53 = 125,

54 = 625, etc.

En vez de dividir un nmero, por ejemplo el nmero ciento cincuenta y seis, en

unidades, decenas y centenas, podemos dividirlo perfectamente en unidades,

cinquenas, veinticinquenas y cientoveinticinquenas. Ciento cincuenta y seis

es igual a:

125 + 25 + 5 + 1;

una cientoveinticinquena ms una veinticinquena ms una cinquena ms

una unidad.

Supongamos ahora que en algn lejano planeta vive una estirpe de seres

inteligentes con una sola mano, dotada de cinco dedos: podemos estar casi seguros

de que los Unmanos escribirn el nmero ciento cincuenta y seis, o sea ciento

veinticinco + veinticinco + cinco + uno, de este modo:

1 1 1 1.

Es decir, que ellos atribuyen a las cifras el siguiente valor de posicin: en el ltimo

lugar la unidad, en el penltimo las cinquenas, en el antepenltimo las



veinticinquenas, luego las cientoveinticinquenas, y as sucesivamente. Es decir, que

partiendo de la base cinco procedern con las sucesivas potencias del cinco del

mismo modo que nosotros, que estamos dotados de diez dedos, partiendo de la

base diez procedemos para las potencias del diez. Qu querr decir para los

Unmanos (o sea en base cinco) la escritura 42?

Querr decir dos unidades ms cuatro cinquenas, o sea que querr decir veintids.

Y la escritura 2 2 3?

Naturalmente, sesenta y tres = 3 + 2 x 5 + 2 x 25. Para otros ejemplos y

problemas, ver el apndice nm. 5.

Los Unmanos, naturalmente, tendrn muchas desventajas prcticas por el hecho

de tener una sola mano y cinco dedos menos que los hombres; pero a la hora de

escribir los nmeros tienen en cambio una pequea ventaja, y tambin una

desventaja. Vamos a ver en qu consisten. La desventaja, como habris advertido,

es que un nmero para el que en base diez son suficiente dos cifras, como el

setenta y tres, por ejemplo, ellos lo tiene que escribir con tres cifras (y a medida

que avanzamos la diferencia se hace mayor); la ventaja es que slo necesitan cinco

smbolos, en lugar de los diez nuestros; slo necesitan las cifras 0, 1, 2, 3, 4.

Porque para ellos el cinco se escribe... 10 = una cinquena + cero unidades; seis se

escribe 11, siete 12, mientras ocho se escribe 13, y nueve 14; y el nmero diez,

entonces, se escribe... 20 (dos cinquenas, cero unidades); el quince se escribe 30 y

el veinte 40, mientras que al veinticinco le corresponde ya el smbolo 100 (una

veinticinquena, ninguna cinquena y ninguna unidad).

Se puede repetir el mismo juego tomando como base cualquier otro nmero,

formando sus potencias sucesivas, y finalmente dividiendo otro nmero cualquiera

en cierto nmero de unidades, de mltiplos de la base, de mltiplos del cuadrado de

la base, etc. (ver apndice nm. 5).

Siempre habr quien diga: es un juego. Nosotros no somos Unmanos, tenemos

la costumbre de calcular por decenas, centenas, millares; es intil que tratemos de

embrollarnos con cinquenas y veinticinquenas. Un momento! Es muy difcil que una

conquista del hombre sea definitiva, eterna: por muy genial, por muy til que sea,

llega el momento en que otro descubrimiento le hace la competencia, por ser ms

til, ms cmodo, ms sencillo que el anterior, por lo menos en cierto terreno. Algo



parecido est ocurriendo con la numeracin posicional en base diez. Setecientos

cincuenta aos despus del librillo de Leonardo Pisano, y mil doscientos aos

despus de la histrica embajada de los indios en la corte del Califa, la numeracin

posicional en base diez tiene una peligrosa rival, que probablemente no la

suplantar nunca en las cuentas caseras, pero que ya ha ocupado su lugar en

importantes clculos ultramodernos: la numeracin posicional en base dos.

Hoy da se habla mucho de las maravillosas computadoras electrnicas. Se trata de

mquinas que ocupan, con sus vlvulas, sus circuitos y sus complicados y delicados

engranajes, los estantes de una o varias grandes salas; son capaces de hacer, en

unos minutos, clculos que supondran meses, y tal vez aos, de trabajo para un

equipo de hbiles matemticos.

Pero, en qu consiste la respuesta de las mquinas electrnicas a la pregunta que

se les plantea? Se trata de una ficha perforada (ver figura 4).

Figura 4

En efecto, por muy complicada e incomprensible que parezca, la mquina a fin de

cuentas se limita a registrar si, en un instante dado, pasa o no corriente. Por lo

tanto las posibilidades slo son dos: pasa corriente, no pasa; s, no; agujero, no

agujero; o, si queremos utilizar las palabras que voy a escribir a continuacin, en

lugar de las anteriores: uno, cero (uno por ejemplo sera el agujero, cero la falta de

perforacin, o viceversa). En resumen, la pobre mquina slo puede escribir dos



cifras: agujero, o no agujero, uno o cero. Pero su respuesta tiene que ser un

nmero: Cmo se puede escribir un nmero cualquiera con slo dos cifras?

Despus de lo dicho, la cosa es bastante sencilla: habr que escribir los nmeros en

base dos (numeracin binaria).

Ya que las potencias sucesivas del dos son cuatro, ocho, diecisis, treinta y dos,

etc., habr que descomponer el nmero en unidades, en pares, en cuartetos, en

octetos y as sucesivamente.

Y puesto que dos unidades hacen un par, de las unidades habr que tomar o bien

una (si el nmero es impar), o ninguna, si el nmero es par (y por tanto divisible en

pares sin resto); puesto que dos pares hacen un cuarteto, de los pares habr que

tomar o uno, o ninguno, y as sucesivamente.

Por lo tanto, para escribir un nmero basta con las cifras 0 y 1 (o si queris, no

perforacin y perforacin en la ficha). Pero estudiad el apndice nmero 6: es

ms claro que una explicacin general, necesariamente condensada.



Captulo 2

Los Tringulos

Contenido:

1. La ciencia ms antigua es la geometra

2. Tales mide la pirmide de Keops con un bastn, dos sobras y una idea

3. Historia y leyenda del teorema de Pitgoras

4. La demostracin de Pitgoras, con dos descomposiciones distintas de un

cuadrado

1. La ciencia ms antigua es la geometra.

La humanidad, a lo largo de su historia, ha estudiado las matemticas en un orden

inverso al que se sigue en nuestros centros de enseanza, o casi. En efecto, la

numeracin decimal (arbigo-india) es la primera cosa que se aprende, en cuanto

se va a la escuela, cuando en realidad ha sido como hemos visto una conquista

tarda de una humanidad muy versada ya en geometra. Se podra incluso decir que

la geometra es varios miles de aos ms antigua que la aritmtica: sin lugar a

dudas la geometra ha sido la primera verdadera ciencia construida por el hombre,

la nica verdadera ciencia de la antigua Grecia: ya adulta cuando la fsica, la

qumica, la biologa y la geologa todava no haban nacido, y la medicina daba sus

primeros pasos. Slo la astronoma estaba bastante desarrollada, pero qu era la

astronoma de los caldeos, de los egipcios, de los griegos, sino geometra?

Navegacin implica astronoma y astronoma implica geometra: he aqu la razn

por la que los antiguos pueblos navegantes del Mediterrneo tuvieran que

convertirse en excelentes gemetras. Pero tambin arquitectura implica geometra;

y sobre todo implica geometra la agrimensura. En efecto, agri-mensura es la

traduccin literal, en latn, del griego geometra: en espaol, medida (metra) del

suelo (o sea de la tierra, que en griego se dice ge: recordemos a Gea, la diosa de la

Tierra).

Los griegos tenan un verdadero culto por la geometra, que llevaron a un alto grado

de perfeccin. La consideraron, como se suele decir hoy da, una ciencia formativa,

es decir una ciencia que acostumbra al hombre a razonar, que afina la inteligencia;



incluso decan que no haba que estudiarla con fines prcticos, sino para el honor

de la mente humana. Platn, el gran filsofo discpulo de Scrates, en su escuela

(la Academia), donde se discutan los ms difciles problemas de la lgica, de la

poltica, del arte, de la vida y de la muerte, haba hecho escribir encima de la

puerta: No entre el que no sea gemetra. Tambin deca Platn que Dios mismo

geometriza, y probablemente con esto quera afirmar que el universo est

constituido segn formas y leyes geomtricas.

Este culto a la geometra como ciencia soberana, que es la clave para la

comprensin de todo el universo, estaba an muy vivo en el gran Galileo Galilei

(1564-1642). He aqu lo que escriba Galilei: Este grandsimo libro que

continuamente tenemos abierto ante los ojos (hablo del universo)... no se puede

entender si antes no se aprende a entender la lengua, y a conocer los caracteres en

los cuales est escrito. Est escrito en lengua matemtica y los caracteres son

tringulos, crculos y otras figuras geomtricas....

No obstante, la geometra griega permaneci fiel al significado literal de su nombre:

los estudiosos griegos se ocuparon sobre todo de las medidas: medidas de

longitudes, de reas y de volmenes. Para medir desarrollaron algunas teoras que

an hoy se aprenden en las escuelas ms o menos de la misma forma en que

fueron enunciadas hace dos mil doscientos aos por Euclides: la ley de la semejanza

y la ley de la equivalencia. Realmente no podemos hacer una exposicin ordenada

de ellas (por otro lado, ya se da en la escuela); pero querramos, con algn

ejemplo, hacer ver su alcance y su genialidad.

2. Tales mide la pirmide de Keops con un bastn, dos sombras y una idea.

Cuando el sabio Tales de Mileto, hacia el ao 600 a.C, se encontraba en Egipto, un

enviado del faran le pidi, en nombre del soberano, que calculara la altura de la

pirmide de Keops. En efecto, corra la voz de que el sabio saba medir la altura de

construcciones elevadas, por arte geomtrica, sin subir a ellas. Tales se apoy en

un bastn; esper hasta que, a media maana, la sombra de su bastn, mantenido

en posicin vertical, tuvo una longitud igual a la del bastn; entonces dijo al

enviado: Ve y mide rpidamente la longitud de la sombra de la pirmide: en este

momento es tan larga como la misma pirmide.



Para ser preciso, Tales tena que haber dicho que aadiera a la sombra de la

pirmide la mitad del lado de su base, porque la pirmide tiene una ancha base que

roba una parte de la sombra que tendra si tuviera la forma de un palo fino y

vertical; puede que lo dijera, aunque la leyenda no lo refiere, quiz para no

estropear con demasiados detalles tcnicos una respuesta tan bella en su

simplicidad.

Para no complicar las cosas, vamos a pensar en un campanario fino y afilado en

lugar de una pirmide: tomemos un bastn, no importa de qu longitud, y a

cualquier hora del da (siempre que no est nublado!) dispongmonos a medir el

campanario: con un bastn, dos sombras y una idea.

Supongamos, en primer lugar, que el campanario sea vertical, o sea erigido

perpendicularmente al suelo, como el de San Marco, y que no est inclinado como la

Torre de Pisa o la Garisenda de Bolonia.

Pongamos entonces tambin vertical nuestro

bastn y midamos su sombra (con un metro,

por ejemplo, o si queremos tambin con el

mismo bastn, tomado como metro).

Supongamos que encontramos que la sombra,

por ejemplo, es dos veces ms larga que el

bastn. Entonces, tambin la sombra del

campanario ser en ese momento dos veces

ms larga que el campanario; para obtener la

altura del campanario, bastar, pues, con

medir su sombra con un metro, y dividir el

nmero obtenido por dos. La explicacin

geomtrica es la siguiente: el bastn vertical,

su sombra y el rayo de sol que va de la punta

del bastn al final de la sombra (ver figura 5)

forman un tringulo rectngulo. El campanario

vertical, su sombra y el rayo de sol que va de la cima del campanario hasta el

extremo de su sombra forman otro tringulo rectngulo, que tiene la misma forma

que el anterior, porque los ngulos son iguales en los dos tringulos (las sombras se

Figura 5



han tomado en el mismo momento, por lo que los rayos solares tienen la misma

inclinacin). Por lo tanto, se trata de dos tringulos con la misma forma, o sea

semejantes; el del campanario es por lo tanto como el del bastn, pero de mayor

tamao. Ya que los dos tringulos, como hemos dicho, tienen la misma forma, al

pasar del ms pequeo al ms grande se tienen que respetar las proporciones: o

sea que si la sombra del bastn es el doble del bastn, tambin la sombra del

campanario ser el doble del campanario. Si queremos podemos medir tambin

sombra con sombra y altura con altura (campanario con bastn), en lugar de

comparar cada altura con su respectiva sombra. Es decir, que se podra razonar as:

Si la sombra del campanario es cien veces ms larga que la del bastn, entonces

el campanario es cien veces ms alto que el bastn. Se dir entonces que las

cuatro magnitudes: sombra del campanario, sombra del bastn, campanario y

bastn estn en proporcin en el orden dado, y una frase como la que hemos

puesto antes entre comillas asumir la expresin matemtica ms generalizada: La

sombra del campanario es al campanario como la sombra del bastn al bastn, por

lo que se puede de una proporcin obtener la otra, que tiene la misma validez que

la primera, cambiando entre s de lugar las magnitudes intermedias, la segunda y la

tercera: es una de las reglas que permiten trabajar con proporciones, la llamada

permutacin de los medios.

Figura 6

Pero no es necesario que los dos tringulos semejantes tengan un ngulo recto para

establecer las proporciones de que hemos hablado entre sus lados. Basta con que



cada ngulo de uno de los tringulos sea igual al ngulo correspondiente del otro

tringulo. As, el razonamiento que se ha hecho para un campanario vertical se

puede repetir en el caso de la Torre de Pisa siempre que el bastn tenga la misma

inclinacin que la torre (ver figura 6).

Resumiendo, en general si dos tringulos tienen los ngulos iguales, los lados

correspondientes estn en proporcin: o sea, que si un lado de uno de ellos es

igual a tantas veces el lado correspondiente del otro, entonces otro lado del

mismo tringulo ser igual a tantas veces el lado correspondiente del otro

tringulo.

3. Historia y leyenda del teorema de Pitgoras.

Los gemetras griegos llevaron a un grado altsimo de perfeccin tcnica y lgica el

estudio de las proporciones entre magnitudes, y particularmente la comparacin

entre figuras semejantes. Basaron en tal estudio no slo el clculo de longitudes

desconocidas (como la altura de la pirmide de Keops), sino tambin el de las reas

de muchas figuras planas limitadas por rectas, o el de los volmenes de los slidos

limitados por planos. Para comparar las reas de dos figuras planas semejantes (o

sea, de la misma forma) hay que comparar no ya los lados correspondientes, sino

los cuadrados de los lados correspondientes. Un sencillsimo ejemplo os convencer

de ello.

Figura 7

Supongamos que la escala de un mapa topogrfico sea tal que en l la longitud de

un centmetro corresponda a la distancia real de un kilmetro. Tomemos dos

cuadraditos del mapa: uno con el lado de un centmetro, y otro con el lado de dos



centmetros. Son semejantes, porque tienen los ngulos iguales (cuatro ngulos

rectos: todos los cuadrados son semejantes entre s), y la proporcin entre los lados

es de uno a dos, es decir que cada lado del segundo es el doble del correspondiente

lado del primero. Pero el segundo cuadrado se puede descomponer, no ya en dos

cuadrados iguales al primero, sino en cuatro (ver figura 7), y por eso representa en

el mapa una regin que tiene el rea no de dos, sino de cuatro kilmetros

cuadrados.

As, si el lado del segundo hubiera sido tres veces el del primero, el rea del

segundo sera nueve veces el rea del primero (ver figura 7). Pero nueve es el

cuadrado de tres, as como cuatro es el cuadrado de dos: en general, la relacin de

las reas de dos cuadrados es el cuadrado de la relacin de los lados. La misma

regla es vlida para tringulos semejantes (sean o no rectngulos). Y es que si

tengo dos tringulos (rectngulos) semejantes, el doble de los dos son dos

rectngulos semejantes: entonces su relacin ser igual a la de los

correspondientes rectngulos semejantes. (Pero esto se cumple tambin en

cualquier tringulo semejante). La ley de la semejanza lo repetimos fue

enunciada por los griegos con tal perfeccin que an hoy se estudia en la escuela

ms o menos como la estudiaban los muchachos de Atenas o Alejandra en los

Elementos de Euclides, hace dos mil trescientos aos.

Sin embargo, estoy de acuerdo con los investigadores que piensan que en un

primer momento los griegos realizaron el clculo de las superficies por una va ms

sencilla y natural que la que se basa en la comparacin de figuras semejantes, y en

general, en las proporciones. Tomemos un famoso ejemplo: el de Pitgoras y su

teorema: En un tringulo rectngulo, el rea del cuadrado construido sobre la

hipotenusa es igual a la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los

dos catetos (la hipotenusa es el lado ms largo, el que se opone al ngulo recto;

los catetos son los dos lados menores, adyacentes o sea al lado del ngulo

recto). La leyenda dice que Pitgoras se dio cuenta del alcance de su demostracin

hasta el punto de ordenar una hecatombe, es decir, el sacrificio de cien bueyes a los

dioses, en seal de agradecimiento y de alegra. Naturalmente, sobre el

descubrimiento de Pitgoras no tenemos ni peridicos, ni libros, ni revistas de la

poca, porque en esa poca no haba ni peridicos, ni libros, ni revistas. Slo nos



han llegado leyendas, o mejor dicho historias contadas por escritores que vivieron

varios siglos despus.

Aun as, hay muchas razones que nos hacen creer la historia de Pitgoras. A lo

mejor no se llamaba Pitgoras ni sacrific cien bueyes, sino uno solo, o a lo mejor ni

siquiera sacrific un corderillo, todo eso puede ser una leyenda. Pero que un

estudioso de la Magna Grecia (con esta expresin se indicaban la Italia meridional y

Sicilia), que vivi hacia el ao 600 a C, haya demostrado, con un razonamiento

general, la relacin que hoy llamamos de Pitgoras entre los cuadrados de los

catetos y el de la hipotenusa, para cualquier tipo de tringulo rectngulo, creemos

que es un hecho histrico, o sea verdad. Sabemos con certeza que, muchos siglos

antes de Pitgoras, en Egipto y en Caldea haba conocidos ejemplos de tringulos

rectngulos sobre los que se poda verificar prcticamente la relacin mencionada

anteriormente. Por ejemplo, si los dos catetos tienen de longitud 3 y 4 (metros o

centmetros, etc., lo que se quiera tomar como unidad de medida), se verifica con la

experiencia que, entonces, la hipotenusa mide 5 (con respecto a la misma unidad

de medida).

Despus se comprueba que el cuadrado de 3 ms el cuadrado de 4 es igual al

cuadrado de 5, o sea que:

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52

Sabemos adems que en la poca de Pitgoras, en las islas griegas y en la Magna

Grecia, la geometra se transforma y pasa de ser un compendio de reglas prcticas

y observaciones aisladas, a una ciencia racional, con razonamientos generales sobre

las figuras en general (y no ya sobre aquel tringulo rectngulo de lados 3, 4 y 5 o

sobre otro en particular, sino sobre todos los tringulos rectngulos).

Por lo tanto, Pitgoras con o sin hecatombe demostr realmente, sobre el 600

a.C, que la suma de los cuadrados de los dos catetos, en un tringulo rectngulo,

es siempre igual, o, mejor dicho, equivalente, al cuadrado de la hipotenusa. Pero,

aunque estemos convencidos de que fue Pitgoras quien lo demostr, nos

preguntamos: cmo lo demostr?



4. La demostracin de Pitgoras, con dos descomposiciones distintas de un

cuadrado

La demostracin del teorema de Pitgoras que se suele estudiar en la escuela, no es

ciertamente la de Pitgoras. En primer lugar, es demasiado difcil para la poca de

Pitgoras: adems, sabemos, gracias a un tal Proclo, comentarista de los

Elementos de Euclides, que tal demostracin ha sido obra del mismo Euclides.

Entonces? La eleccin es difcil. En efecto, un matemtico francs, Fourrey, que a

principios de nuestro siglo se dedic a recopilar todas las demostraciones conocidas

del famoso teorema, consigui reunir...unas cincuenta. Nosotros creemos, sin

embargo, que tiene razn un matemtico, sobre 1700, Bretschneider, quien

afirmaba, que la demostracin original de Pitgoras es la que vamos a exponer a

continuacin con la ayuda de dos figuras.

En la primera figura tomamos el cuadrado que tiene por lado A + B, suma de los

dos segmentos A y B, y lo dividimos en varias partes: el cuadrado del lado A, el del

lado B, y dos rectngulos de lados A y B; dividiendo por la mitad, con la diagonal,

cada uno de los rectngulos de lados A y B, obtenemos en su lugar cuatro

tringulos rectngulos de catetos A y B.

En la segunda figura tomamos el mismo cuadrado, o sea el cuadrado de la suma A

+ B, de dos segmentos A y B, pero lo descomponemos (lo cortamos en pedazos) de

una forma distinta. Nos resultan as cuatro tringulos rectngulos de catetos A y B,

pero esta vez obtenemos adems un nico cuadrado, el que tiene por lado la



hipotenusa del tringulo rectngulo de catetos A y B (para aqullos que duden de

que se trate de un cuadrado, ver Respuestas a ciertas dudas, apndice nm. 19).

Tenemos entonces dos cuadrados iguales (los grandes, de lado A + B); si de ellos,

tanto de uno como de otro, sacamos una misma superficie, la de los cuatro

tringulos rectngulos con catetos A y B, las partes que nos quedan seguirn

teniendo una superficie igual: pero las partes que nos quedan son, en la primera

figura, la suma de los cuadrados de los catetos A y B, y en la segunda el cuadrado

de la hipotenusa. El teorema de Pitgoras queda demostrado; probablemente, a la

manera de Pitgoras.



Captulo 3

Las medidas

Contenido:

1. Nmero y medida

2. Las dificultades importantes comienzan con las lneas curvas

3. Una idea genial de Arqumedes

4. Un tramo de curva infinitamente pequeo, es un tramo de recta?

5. Recubramos una regin plana con hilos. Rellenemos un slido con hojas

6. Fueron necesarios mil ochocientos cincuenta aos para inventar de nuevo el

mtodo de Arqumedes

7. La matemtica moderna slo tiene trescientos aos

1. Nmero y medidas

Ya hemos dicho que la geometra es, ante todo, la ciencia de la medida; medida de

longitudes, de reas, de volmenes.

La primera y ms sencilla medida es la de una longitud. Ya que la medida es una

comparacin, habr que medir siempre una longitud con respecto a otra longitud (y

por la misma razn una superficie con respecto a otra superficie, y un volumen con

respecto a otro). Conviene fijar de una vez por todas una de las dos longitudes, o

sea comparar una longitud cualquiera con otra longitud fija que siempre ser la

misma. Es conveniente, en una palabra, fijar una unidad de medida, un metro.

Mientras los intercambios y las relaciones culturales entre los pases fueron escasos,

en cada pas se usaban metros distintos: por ejemplo, pulgadas, pies, yardas y

millas en Inglaterra, archinas y verstas en Rusia, codos, estadios y millas en la

antigedad clsica, y as sucesivamente. Con el desarrollo del comercio, de las

comunicaciones, de los intercambios culturales, y sobre todo gracias a los

cientficos, en el siglo pasado se fijaron algunas unidades de medida

internacionales, e incluso se ha fundado una oficina internacional de pesos y

medidas, que tiene su sede en Pars. En esta oficina hay una longitud-patrn,

aqulla con respecto a la cual se tienen que medir todas las dems: el metro por



excelencia, una barra de platino que es, aproximadamente, la cuarenta millonsima

parte del meridiano terrestre.

Una vez fijado el metro, se determina la medida de una longitud (o segmento) con

las siguientes operaciones:

1. Se hace coincidir el inicio del metro con el inicio del segmento; luego se

superpone el metro al segmento y se seala el punto del segmento que coincide con

el final del metro; se vuelve a realizar esta operacin a partir de este nuevo punto,

y se repite hasta que el final del metro coincide con el final del segmento, o bien el

trozo de segmento que sobra es menor que el metro. En el primer caso, si por

ejemplo el metro se ha trasladado exactamente cinco veces, y no hay resto ,

se dir que la medida del segmento es de 5 metros exactos.

En el segundo caso, en cambio, supongamos que despus de haber superpuesto el

metro cinco veces, nos quede un pedazo de segmento ms corto que el metro:

entonces diremos que el segmento es ms largo que 5 metros, pero menos que 6

metros. En este caso 5 metros es una de sus medidas aproximada por defecto,

mientras que 6 metros es la medida aproximada por exceso; la aproximacin se

hace a menos de un metro.

Figura 9

2. Si hay un resto, ms corto que un metro, se mide con la dcima parte del metro,

el decmetro. Si el trozo que sobra se puede medir exactamente con el decmetro,

hemos terminado, porque hemos encontrado la medida exacta en metros y en

decmetros. Por ejemplo, en nuestro caso, si el resto se cubre exactamente con 4

decmetros, uno tras otro, la medida exacta ser 5 metros y 4 decmetros: 5,4

metros. Si todava nos queda un resto, esta vez ms corto que un decmetro, en

metros y decmetros slo tendremos una medida aproximada; por ejemplo, ms de



5,4 metros, menos de 5,5. Entonces tratamos de cubrir exactamente el nuevo resto

con cierto nmero de centmetros, o sea dcimas de decmetros.

Si lo logramos, habremos terminado, y si no quedar un nuevo resto, que

trataremos de cubrir exactamente con cierto nmero de dcimos de centmetro, es

decir con milmetros...

Y as sucesivamente, hasta que...

Hasta cundo? En la prctica, hasta que el resto sea despreciable con respecto a la

finalidad que nos proponemos con la medida. Si hay que medir una carretera larga

y rectilnea, los decmetros ya se pueden desechar; si medimos una estatura, en

general desechamos los milmetros; el obrero que tiene que fabricar engranajes y

mecanismos muy precisos, tendr que ser exacto quiz hasta la dcima de

milmetro; el cientfico en su laboratorio no debe olvidar ni siquiera las micras,

milsimas de milmetro. Sin embargo todos ellos, ya sean agrimensores u obreros,

tcnicos o cientficos, llegados a un cierto punto se paran, se conforman con una

aproximacin. Todos, excepto el matemtico.

Al matemtico no le interesa el resultado de utilidad prctica, sino el procedimiento

de la medida. El matemtico se pregunta: Debe pararse este procedimiento a

partir de un momento dado? Hay que llegar en cualquier caso a la medida exacta,

aunque sea con millones de cifras decimales? O es que hay casos en que

tendremos un sobrante, cada vez ms pequeo, hasta el infinito?.

Los matemticos han encontrado una respuesta a su problema.

La respuesta puede resultar sorprendente: hay longitudes que no se pueden medir

exactamente por un metro determinado, ni siquiera recurriendo a milmillonsimas

de metro, o a partes de metro an ms vertiginosamente pequeas.

Es preciso, pues, introducir una gran divisin con dos categoras de longitud, en

relacin a un metro determinado:

1a categora. Longitudes (segmentos) que se pueden medir exactamente,

aunque sea recurriendo a dcimas, centsimas, milsimas y a los sucesivos

submltiplos decimales del metro. Los segmentos de esta primera

categora se llaman conmensurables con el metro: su medida es un nmero

decimal que siempre se puede reducir a una fraccin, o sea a un nmero

racional, aun cuando en ocasiones sea peridico (se llama as un nmero



decimal con infinitas cifras que, a partir de un punto determinado, se repiten

en grupos iguales entre s). En resumen, si habiendo dividido el metro en un

cierto nmero, n, de partes, el segmento contiene m de estas partes,

entonces su medida con respecto al metro, o sea la relacin del segmento con

el metro, es la fraccin m/n,

2a categora. Longitudes (segmentos) para los cuales necesariamente nos

tenemos que conformar con una medida aproximada con respecto al metro.

Los segmentos de esta segunda categora se llaman inconmensurables con el

metro. Su medida conduce a una sucesin sin fin (y no peridica) de cifras

decimales; se trata, en suma, de un nmero con infinitas cifras decimales y

no peridico, un nmero irracional.

Estos profundos resultados son debidos al pensamiento de los antiguos griegos. La

primera demostracin de la inconmensurabilidad de dos segmentos se remonta

hasta Pitgoras, con la demostracin de que en un cuadrado la diagonal no se

puede medir exactamente (con una fraccin) tomando el lado como metro. La

demostracin puede entenderla cualquier muchacho inteligente; de todas formas,

para no interrumpir el hilo de nuestro razonamiento, la dejamos aparte (ver

apndice nm. 8). Una teora completa y rigurosa de las relaciones entre los

segmentos es obra y gloria de Euclides y de su genial predecesor Eudoxo.

2. Las dificultades importantes comienzan con las lneas curvas

Vemos que incluso la medida de un segmento de recta presenta una serie de

dificultades, y conduce a problemas arduos y a descubrimientos inesperados.

Pero an as se perfila con claridad la idea fundamental, la de la comparacin entre

el segmento de una lnea recta y un metro lineal, rectilneo, mediante sucesivas

superposiciones.

Pero, cmo abordar la cuestin cuando tenemos, en cambio, que medir con un

metro rectilneo una lnea curva?

La primera idea que nos viene a la cabeza es tomar un metro flexible, por ejemplo

una cuerda de un metro de longitud.



Es sta la primera idea que se les ocurri a los hombres para medir la longitud de la

lnea curva ms sencilla, y en cierto sentido la ms importante de todas: la

circunferencia.

Tenemos un documento de ello muy fidedigno, nada menos que en el Primer Libro

de los Reyes, de la Biblia, donde se habla del templo construido por Salomn en

Jerusaln, entre 1014 y 1007 a.C. El rey

Salomn construy una gran pila de bronce,

circular, de 10 codos de borde a borde, o

como diramos nosotros, de diez codos de

dimetro (el codo era una medida de longitud

aproximadamente igual a medio metro).

Una cuerda de 30 codos la rodeaba por

completo. Segn el Libro de los Reyes, por lo

tanto, la circunferencia (el contorno ) de un

crculo es el triple de su dimetro (30 es igual

a tres veces 10). Vemos que el error es

bastante grande: podramos decir que es un error... codal, porque, precisamente,

midiendo con ms atencin, se habra visto que al dar la vuelta a la pila de Salomn

haba que aadir otro codo de cuerda, y para ser exactos otros cuatro dcimos de

codo, y luego un trocito ms.

El sistema de la cuerda para medir la circunferencia es muy imperfecto, debido a las

inevitables aproximaciones en las operaciones de medida, y no nos permite medir

con ms exactitud que con centmetros o milmetros: el sistema no sirve para

establecer la medida, todo lo aproximada que queramos, de cada circunferencia en

metros-dimetros (es decir, tomando el dimetro como metro o unidad de

medida).

Nos encontramos en el mismo caso desgraciado de antes (ver apndice nm. 8),

cuando intentbamos medir la diagonal de un cuadrado con el metro-lado. En

efecto, veamos cuntos dimetros entran en una circunferencia: son tres, pero

sobra un trozo ms corto que el dimetro. Midamos este primer sobrante en

dcimas de dimetro: cabe una dcima de dimetro, pero an sobra una porcin

ms pequea que la dcima de dimetro. Midamos este segundo sobrante en

Figura 10



centsimas de dimetro: entran cuatro, pero todava sobra un trozo de

circunferencia, ms corto que una centsima de dimetro.

Llegados a este punto, si no tenemos a nuestra disposicin unos instrumentos de

medicin muy precisos, deberemos detenernos porque lo que sobra es demasiado

pequeo para nuestros sentidos, a no ser que el dimetro, y por lo tanto la

circunferencia en cuestin, sean gigantescos. Pero podemos seguir con el

pensamiento y el razonamiento, y podemos demostrar (aunque resulte demasiado

difcil de explicar para esta sencilla historia) que siempre habr un resto, cada vez

ms pequeo al ir avanzando en la medida, por muy pequeas que sean las

fracciones de dimetro empleadas, y por consiguiente por mucho que se reduzca

ese resto.

3. Una idea genial de Arqumedes

Todos, hasta los nios, han odo alguna vez hablar de Arqumedes.

Tambin es sabido que Arqumedes muri, en el 212 a.C, cuando los romanos

conquistaron su ciudad, Siracusa, que l, segn la leyenda, haba defendido

ingeniosamente con los famosos espejos ustorios, que concentraban los rayos

solares sobre las naves romanas y las quemaban, y con otros mil artificios, que

(siempre segn la leyenda, por boca del historiador Plutarco) haban aterrorizado a

los romanos. Cuando los soldados romanos invadieron por fin la ciudad, Arqumedes

estaba absorto meditando sobre algunas figuras que haba trazado con el dedo en el

polvo de la calle: un soldado invasor estaba a punto de tocarlas con el pie, y

entonces Arqumedes se encar con l dicindole: Noli tangere crculos meos!

(No toques mis crculos!). El soldado, enfurecido, lo mat (y es que adems los

romanos, al contrario que los griegos como es sabido, eran excelentes soldados

pero malos matemticos).

Quiz se trate de una leyenda. Pero en toda leyenda hay algo de verdad.

Arqumedes reflexionando sobre el crculo, tan absorto en su reflexin que no se da

cuenta de los incendios y saqueos que se producen a su alrededor: esto es verdad.

A lo mejor es la verdad de la poesa, que sin embargo, no es menos verdadera que

la de las tomas en directo de la televisin; y, muy a menudo, ms verdadera,

incluso.



Pero lo cierto es que Arqumedes (quiz el genio cientfico ms grande de todos los

tiempos) fue el primero que se enfrent de un modo sistemtico y racional (no con

un cordel, sino con la mente!) al problema de la medida de la circunferencia con

respecto a su dimetro tomado como unidad de medida. He aqu otro bello ejemplo

de la importancia del mtodo. En el fondo, bajo el punto de vista numrico, el

resultado que Arqumedes expone en su obra Acerca de la medida del crculo no es

mucho mejor del que se podra obtener midiendo una circunferencia con un cordel

de la longitud del dimetro. Veamos el resultado, en palabras del mismo

Arqumedes:

La circunferencia de un crculo es igual al triple del dimetro ms cierta porcin del

dimetro que es ms pequea que 1/7 del dimetro, y ms grande que 10/71 del

mismo dimetro.

Dividamos 1 por 7: obtenemos un nmero decimal (peridico) cuyas primeras cifras

son: 0,142..., o sea un nmero mayor que 142/100; por eso la circunferencia es

menor que 3,142 veces su dimetro. Dividamos 10 por 71: obtenemos un nmero

decimal cuyas primeras cifras son 0,140; por eso la circunferencia es mayor que

3,140 veces su dimetro.

Estamos ya acostumbrados a escribir en cifras decimales el nmero de Arqumedes,

el famoso (pi griega) que nos dice, precisamente, cuntas veces el dimetro

est incluido en la circunferencia ( es la relacin entre la circunferencia y el

dimetro). La traduccin de las fracciones 1/7 y 10/71 a los decimales 0,142 y

0,140 nos dice, por tanto, que el nmero es mayor que 3,140... y ms pequeo

que 3,142... El valor aproximado que nos sugiere Arqumedes es el medio: 3,141...

Se trata de un paso adelante muy pequeo en los clculos (una cifra decimal exacta

de ms); pero se trata de un paso adelante enorme en el pensamiento. En primer

lugar, puesto que Arqumedes razona con todos los crculos posibles y no mide ste

o aqul crculo con el metro-dimetro, podemos estar seguros de que el nmero

de veces que el dimetro est contenido en la circunferencia de su crculo es

siempre el mismo (de lo que no estaramos seguros ni siquiera despus de realizar

diez mil pruebas con diez mil crculos, porque los crculos no son diez mil, sino

infinitos). En segundo lugar, el mtodo de Arqumedes (que explicaremos a

continuacin) permite encontrar todas las cifras decimales exactas del nmero



que se quiera, siempre que se tenga la paciencia de llevar adelante unos clculos

cada vez ms engorrosos. La idea de Arqumedes, como suele ocurrir, es genial

porque es sencilla. En primer lugar inscribe en una circunferencia un polgono

regular de 6 lados (hexgono regular) dividiendo la circunferencia en 6 arcos

iguales; despus otro regular de 12 lados (dividiendo por la mitad cada ngulo

formado por dos radios consecutivos del hexgono), despus uno regular de 24

lados, luego de 48, luego de 96, dividiendo siempre por la mitad los ngulos y sus

respectivos arcos de circunferencia (ver las figuras 11 y 12). Los permetros de

estos polgonos estn todos encerrados dentro de la circunferencia, y son ms

pequeos que ella: la diferencia disminuye a medida que aumenta el nmero de

lados (ni siquiera hemos dibujado los polgonos inscritos de 48 y de 96 lados,

porque el dibujo resultara demasiado confuso). Ahora bien, ese 3,140... = 3 + 1/7

veces el dimetro, es precisamente el permetro (el contorno) del polgono regular

de 96 lados inscrito (es decir, trazado dentro de la circunferencia y con los vrtices

en ella), mientras que ese 3 + 10/71 veces el dimetro, es la medida del polgono

regular de 96 lados circunscrito (o sea con todos los lados tangentes a la

circunferencia). Para los polgonos circunscritos se hace el mismo razonamiento que

para los inscritos.

Figura 11

Pero en el caso de los primeros, cuanto mayor es el nmero de lados ms pequeo

se hace el permetro; tambin en ellos, al aumentar el nmero de lados su

permetro se aproxima cada vez ms a la circunferencia, confundindose con

ella...s el nmero de lados tiende a ser infinito.



Figura 12

Los romanos conquistaron Siracusa, pero no se apoderaron del mtodo de

Arqumedes, que en cambio fue perfeccionado en la lejana India, tres siglos ms

tarde, por Aryabhatta, un gran matemtico del siglo I d.C. Aryabhatta da para el

siguiente valor:

Se trata de un valor tan aproximado que es el que an hoy se emplea en la prctica

(es aproximado por exceso; el valor exacto es ms pequeo: 3,14159...) Cmo se

las haba arreglado para obtenerlo aquel matemtico indio de tan difcil nombre?

Haba ido ms all, tomando los polgonos reguladores de 192 (o sea, dos veces 96)

y 384 (dos veces 192) lados.

Tomando el dimetro igual a 100 (metros, por ejemplo, o centmetros, o lo que

queris) iba encontrando para la longitud de los permetros (medida con respecto al

dimetro, igual a 100) de los polgonos regulares inscritos de 6, 12, 24, 48, 96, 192

y 384 lados, los siguientes valores:

Para el polgono de 6 lados 90.000









Ahora bien:

98.694/100 = 3,1416.

Podemos solamente controlar con facilidad que 90.000 es la medida del permetro

del hexgono regular (con respecto al dimetro): 90.000 es el cuadrado de 300,

por lo que 90.000 =300. Ya que se ha tomado el dimetro igual a 100, la relacin

entre el permetro del hexgono regular inscrito y el dimetro es 3. Todo concuerda

pues, como han estudiado los mayores en la escuela, el lado del hexgono regular

inscrito es igual al radio, o sea a la mitad del dimetro, que en nuestro caso es 50;

el permetro es seis veces el lado, o sea 300, y las cuentas nos salen.

4. Un tramo de curva infinitamente pequeo, es un tramo de recta?

Ya hemos dicho que, si tratamos de dibujar en el espacio normal de una pgina de

libro un polgono regular de gran nmero de lados, por ejemplo el que hemos

nombrado de 384 lados, inscrito en una circunferencia, los lados del polgono no se

distinguiran bien de los correspondientes 384 pequeos arcos en que se dividira la

circunferencia. Imaginemos, lo que sucede si tratamos de dibujar en la misma

pgina un polgono regular de un milln de lados inscrito en una circunferencia, con

un dimetro, por fuerza, de diez o como mximo veinte centmetros, ya que si no,

no cabe en la pgina. El pequesimo lado del polgono sera tan pequeo que

estara contenido en el espesor del trazo del lpiz o del bolgrafo con que dibujamos

el crculo. Y es que en la prctica no podemos trazar lneas ideales, sin anchura, sin

espesor. Por eso en la prctica un pequeo segmento de recta, que sea lo bastante

pequeo, se confunde con el arco de una circunferencia lo bastante grande que

pase por sus extremos.



Lo mismo se puede decir para cualquier curva, por muy... curvada que est.

Figura 13

Si una curva est poco curvada, un arco suyo bastante grande ya no se separa

mucho del tramo de recta (segmento) que une sus extremos; pero, por muy

curvada que est, siempre ser posible dividirla en pequeos arcos, lo bastante

pequeos como para que se aproximen lo que se quiera a los correspondientes

segmentos que unen los extremos de los pequeos arcos, o sea a las

correspondientes cuerdas. Por lo tanto, en la prctica se obtendr un valor

aproximado de la longitud de un tramo cualquiera de curva dividindolo en gran

nmero de arquitos, y midiendo cada una de las cuerdas para hacer luego la suma

de las medidas obtenidas. Cuanto ms pequeos sean los arcos en que se subdivide

la curva, tanto ms la poligonal, o sea la lnea quebrada que forman las cuerdas, se

aproximar a la curva, y tanto ms pequeo ser el error que se cometa tomando

como medida de la curva la de la lnea poligonal.

De acuerdo hasta aqu. Pero, y la medida exacta de la longitud de la curva? Se

puede obtener con este procedimiento?

Para obtenerla, tendremos que imaginar que dividimos la curva, no ya en muchos

arcos muy pequeos, sino en infinitos arcos infinitamente pequeos; tendremos que

imaginarnos la circunferencia, por ejemplo, como un polgono regular de infinitos

lados puntiformes, y por tanto tan pequeos que no se puedan dividir por la mitad:

es decir, indivisibles.

He aqu una idea que, si lo pensis bien, no es muy difcil de entender y resulta muy

atractiva. La idea es en realidad muy antigua, pero justo porque la geometra griega

estaba muy desarrollada y perfeccionada, no poda ser aceptada por los griegos de

esta forma tan poco precisa, tan imaginativa.

Infinitos lados infinitamente pequeos: se trata de una frase que suena bien, pero

qu significado preciso tiene? Los griegos no queran que en geometra se usaran



trminos que no estuvieran bien definidos, y por eso no admitan que se introdujera

en los razonamientos algo tan vago e indeterminado como el infinito: lo

infinitamente grande y lo infinitamente pequeo. Como siempre, las actitudes

mentales demasiado rgidas no son las ms adecuadas, son poco fecundas.

Los griegos (mejor dicho, como veremos, aquellos griegos) que no queran que se

razonara con el infinito, tenan muy buenas razones de su parte; pero en realidad el

mrito de uno de los mayores progresos de las matemticas, y por lo tanto del

pensamiento humano, lo tienen esos otros griegos, esos estudiosos medievales y

esos cientficos del Renacimiento que tuvieron la valenta de trabajar con un nmero

infinito de magnitudes infinitamente pequeas. Creemos que, poniendo un poco de

atencin, se pueden entender algunos de estos audaces intentos: por lo menos los

primeros, aqullos que tienen un carcter ms geomtrico, ms intuitivo.

5. Recubramos una regin plana con hilos. Rellenemos un slido con hojas

Se entender mejor el asunto si en vez de hablar de la longitud de las curvas,

hablamos del rea de las superficies planas y del volumen de los slidos. Si

tenemos una porcin de plano delimitada por una curva cerrada regular (por

ejemplo, un crculo), podemos imaginar que est formada por un tejido de hilos

paralelos, infinitos e infinitamente finos. As tambin, si tenemos un slido

contenido en una superficie regular (por ejemplo una esfera, un cilindro o un

cono), podemos imaginar que est compuesto de infinitas hojas, infinitamente finas,

superpuestas o estratificadas. En el caso de una figura plana, podemos tambin

imaginar que el tejido sea ms de fantasa, como se dice en el lenguaje de la

moda. Por ejemplo, si tenemos un crculo lo podemos imaginar compuesto por esos

infinitos hilos circulares infinitamente finos que son las circunferencias concntricas,

o sea con el mismo centro que el crculo, y un radio cada vez ms pequeo, como

ciertos delicados centros de mesa finamente bordados: pero con la diferencia de

que un centro de mesa, por muy finamente bordado que est, estar formado por

un cierto nmero, finito, de hilos circulares con cierto espesor, y no por infinitos

hilos de infinita delgadez. He aqu cmo podemos, a partir de esta descomposicin y

en un santiamn, cuadrar el crculo, una vez que se sepa rectificar la circunferencia.

Supongamos, pues, que sabemos rectificar la circunferencia, o sea que sabemos



formar una porcin de recta de longitud igual a la de la circunferencia. Arqumedes

nos ha enseado a hacerlo, en efecto, sabemos que dada una circunferencia

cualquiera, su longitud es igual a la de un segmento veces el dimetro.

Observemos la figura.

Figura 14

En ella, la base del tringulo es la circunferencia, que est rectificada, es decir

estirada, mientras que la altura es el radio; cada hilo paralelo a la base con que

est tejido el tringulo tiene, como puede verse, la misma longitud que uno de los

hilos circulares que forman el tejido del crculo (el que quiera verlo ms claro, con

los ojos de la mente, que vea al final el apndice 19, nm. 2). Pero entonces el rea

del tringulo es igual que la del crculo, porque ambos estn formados por los

mismos hilos de la misma longitud. Ahora bien, el tringulo tiene por base

d = 2 r,

siendo d y r el dimetro y el radio de la circunferencia; pero el rea del tringulo es

(base x altura)/2.

Y por lo tanto en nuestro caso:

2 r x r/2, o sea r2

En definitiva:

El rea del crculo es igual al cuadrado del radio multiplicado por el nmero de

Arqumedes 3,14159...



Extrao razonamiento, resultado exacto. Este razonamiento es obra del matemtico

judo Abraham Savasorda, que vivi en Barcelona en el s. XI d.C. (en esa poca

Espaa estaba bajo el dominio o la influencia de los rabes, que en cuestin de

matemticas eran desde luego ms competentes que el valiente Roldn).

Damos aparte un ejemplo, ms difcil de entender, del clculo de un volumen de un

slido, el que suponemos formado por infinitas hojas infinitamente delgadas y

prensadas todas juntas (ver: La escudilla de Luca Valerio, apndice nm. 9).

Tambin en este ejemplo el extrao procedimiento de las infinitas partes

indivisibles, hilos u hojas, conduce a un resultado exacto.

Pero las cosas no van siempre sobre ruedas. Aquellos audaces que, como dice fray

Buenaventura Cavalieri, afrontaron con su barquichuela el ocano de la infinidad

de los indivisibles, encontraron muchos escollos. Se dieron cuenta, por ejemplo,

de que las cuentas salen si los hilos (como en el ejemplo de Savasorda) no se

cortan entre s, pero en cambio se obtienen resultados completamente equivocados

si los hilos se entrelazan, ni sea en un solo punto.

6. Fueron necesarios mil ochocientos cincuenta aos para inventar de

nuevo el mtodo de Arqumedes.

Este nuevo mtodo, para medir las reas de las figuras planas y los volmenes de

los slidos, fue dado a conocer por primera vez por un gran discpulo de Galileo

Galilei, aquel Buenaventura Cavalieri, que hemos citado antes, en un libro

estupendo titulado Geometra de los indivisibles, editado en el 1635 (escrito en

latn, la lengua internacional de los estudiosos hasta hace unos doscientos aos).

Hubo terribles discusiones entre los matemticos acerca de los indivisibles de

Cavalieri; especialmente empecinado fue otro fraile, un holands llamado Guldin,

que era un excelente gemetra, pero muy tradicional, y no quera or hablar de

nada infinitamente grande o infinitamente pequeo. El bueno de Guldin y con l

muchos adversarios de Cavalieri, se basaban en la autoridad del gran Arqumedes,

quien en las publicaciones geomtricas conocidas hasta entonces se haba

mantenido siempre fiel al pursimo mtodo de Euclides y nunca se le haba pasado

por la cabeza dividir los slidos en hojas y las figuras planas en hilos.



Pasaron unos tres siglos. Un cientfico, J. L. Heiberg, lea, en 1906, la lista de los

manuscritos antiguos conservados en la Biblioteca Jerosolimitana de Constantinopla,

con una breve noticia de su contenido. Una de estas informaciones le llama la

atencin. Se trata quiz de los trabajos de Arqumedes? Escribe, se hace enviar

unas fotografas de algunas pginas, y ya est fuera de dudas: se trata de un

precioso manuscrito griego antiguo, en pergamino, quiz del 900 d.C, con escritos

de Arqumedes. Heiberg va a Constantinopla y con gran trabajo descifra el

documento, porque alguien, hacia el 1300, haba querido volver a utilizar el mismo

viejo pergamino borrando lo de Arqumedes para escribir cosas de poco inters.

Encuentra algunos escritos ya conocidos, como el libro sobre la Medida del crculo

del que ya hemos hablado, y hacia el final, en las ltimas hojas, descubre una obra

de Arqumedes que se crea perdida: una carta que haba viajado dos mil doscientos

aos antes desde Siracusa a Alejandra.

O sea que descubre una copia de la carta que le escribi Arqumedes a Eratstenes,

que diriga la famosa biblioteca de Alejandra, y era l tambin un gran cientfico

(fue el primero en medir, con bastante aproximacin, un poco con un metro y

mucho con la mente, el meridiano terrestre). En esa carta, Arqumedes le explicaba

a Eratstenes el mtodo que haba empleado para hacerse una idea de las

medidas de las superficies y de los slidos, que despus haba justificado con los

mtodos rigurosos de la geometra griega. Se trataba de un procedimiento

mecnico, que consista atencin! en la subdivisin de una superficie plana en

infinitos hilos infinitamente delgados, con peso, y en la recomposicin con los

mismos hilos, dispuestos de otra manera, de otra figura ms sencilla que estuviera

equilibrada con la primera, una vez colocadas

las dos en los platillos de una balanza ideal. Para los slidos Arqumedes utilizaba un

mtodo anlogo, subdividindolos en infinitas hojas, con peso, pero infinitamente

delgadas.

Fray Buenaventura triunfaba sobre Guldin: el mtodo de los indivisibles se

remontaba a Arqumedes!

Ahora ya se puede entender mejor por qu nos hemos arriesgado antes a definir a

Arqumedes como el ms grande genio cientfico de todos los tiempos. Slo a l, a

Arqumedes, le ha sucedido un hecho tan extraordinario: que hicieran falta mil



ochocientos cincuenta aos (los que han pasado desde el 212 a.C hasta el 1635

d.C), para que otros cientficos lograran redescubrir un mtodo ideado por l, que

permaneci oculto en un pergamino antiguo.

7. La matemtica moderna slo tiene trescientos aos

En 1635, pues, los gemetras slo haban llegado, tras el largo sueo cientfico de

la Edad Media, al punto de llegada de la ciencia antigua, al mtodo de Arqumedes?

En cierto sentido, s, y en otro, no. S, si nos fijamos slo en los resultados de la

geometra hasta Buenaventura Cavalieri; no, si nos fijamos en el penoso desarrollo

del pensamiento matemtico.

Aunque no hubieran avanzado apenas en los resultados, s que lo haban hecho en

cuanto a posibilidades y como mentalidad.

Durante un largo perodo de decadencia y de letargo cientfico de la civilizacin

europea, los indios y los rabes haban elaborado la aritmtica y el lgebra.

Por lo tanto, los hombres del Renacimiento tenan a su disposicin todo lo necesario

para lograr el gran progreso definitivo con respecto a la ciencia griega, que, como

veremos, tuvo lugar efectivamente entre los siglos XVI y XVII.



Captulo 4

Los smbolos y los nuevos nmeros

Contenido:

1. Tambin lgebra es una palabra rabe

2. Cmo se pone en ecuacin

3. De las deudas a los nmeros negativos

4. Cmo se hacen los clculos con los numeri absurdi, Sea con los nmeros

negativos

5. Son nmeros los irracionales?

6. Del lgebra geomtrica a la logstica speciosa

1. Tambin lgebra es una palabra rabe

Aritmtica es una palabra griega (quiere decir ciencia de los nmeros, arithms en

griego significa nmero); hemos visto, sin embargo, que nuestra forma de escribir

los nmeros, y por consiguiente nuestra forma de hacer con ellos las cuatro

operaciones, y los clculos en general, no se remonta a los antiguos griegos sino a

los mucho ms modernos rabes. No se trata, pues, de una ciencia tan antigua

como se pueda creer: en efecto, si queremos fijar las fechas, llegaremos a poco

ms de mil aos de antigedad en lo que se refiere a los rabes, con el sabio al-

Khuwarizmi, que vivi alrededor del 800 d.C, e incluso al siglo XIII para el caso de

Europa, con Leonardo Pisano.

Por eso, si la forma ms cmoda de escribir los nmeros es una difcil conquista del

hombre que ha empezado a difundirse por Europa hace slo seis siglos, todava ms

joven es el lgebra que requiere, adems de la numeracin moderna (arbigo-

india), otros requisitos: una ampliacin del concepto de nmero; la introduccin de

unos smbolos claros, precisos y cmodos para representar operaciones y

expresiones que no slo contienen nmeros concretos, sino tambin nmeros

indeterminados o incgnitas.

Si se le preguntara hoy a un especialista de lgebra Qu es el lgebra?

Explquemelo en pocas palabras, sencillas y claras, se vera en un apuro para

responder, tantos y tales han sido los desarrollos de esta rama de las matemticas



en los ltimos cien aos. Si en cambio se pudiera hacer la misma pregunta al

espritu del viejo al-Khuwarizmi (otra vez l!), a lo mejor le hubiera costado algo de

trabajo reconocer la palabra rabe al-giabr, de la que por deformacin se ha llegado

a nuestra palabra lgebra, pero no tendra ninguna dificultad para responder.

Para l, en efecto, la al-giabr no era ms que cierta regla para transformar una

igualdad en otra igualdad que tenga el mismo valor (es decir, que sea

equivalente), una regla muy sencilla y fcil de entender, que explicaremos a

continuacin. Si yo s que

A B = C,

entonces s tambin con seguridad que

A = B + C,

y viceversa; en suma, si antes del signo igual, o sea en el primer miembro

de la igualdad, una cantidad es sustrada, se puede en cambio sumar esa cantidad

en la otra parte, es decir, en el segundo miembro de la igualdad. Si nos fijamos

nicamente en los smbolos, podemos decir que una cantidad se puede trasladar del

primer al segundo miembro de la igualdad cambiando el signo menos por el signo

ms, o viceversa. Esto se puede entender tambin por sentido comn; lo podemos

justificar con el hecho de que aadiendo la misma cantidad a cada una de dos

cantidades iguales, el resultado ser otras dos cantidades que siguen siendo

iguales. Por eso, si las cantidades A B y C son iguales, tambin lo sern las

nuevas cantidades que se obtienen aadiendo a ambas la cantidad B; es decir, que

si A B = C, tambin A B + B = C + B; pero A B + B = A (si primero aado y

luego quito la misma cantidad, hago y deshago, o sea que dejo las cosas como

estaban); por eso A = B + C.

Si para el matemtico moderno la palabra lgebra significa demasiadas cosas

(demasiadas para poder explicarlas brevemente), para al-Khuwarizmi significaba

demasiado poco.



Para lo que ahora nos interesa, podemos definir el lgebra como la rama de las

matemticas que estudia las igualdades, y especialmente las igualdades que

contienen magnitudes incgnitas, igualdades que se pueden verifica

La Matematica de Pitagoras a Newton-Lucio Lombardo Radice

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