Apendice A

La matematica como arte

creativo

Conferencia dictada por P.R. Halmos en la Universidad de Illinois

el 12 de diciembre de 1967. 1

¿Conoces a algun matematico? Si ası es, ¿conoces algo de lo que hacen

con su tiempo? La mayorıa de las personas no lo saben. Cuando converso con

el hombre que esta a mi lado en un avion y el me dice que es algo respetable,

como medico, abogado, comerciante o decano, me siento tentado de decir que

soy un hombre con un trabajo extrano. Si le digo que soy matematico, su

respuesta mas probable sera que el nunca podrıa balancear su chequera, y que

debe ser divertido ser un experto en matematicas. Si mi vecino es un astronomo,

un biologo, un quımico o cualquier otro tipo de cientıfico natural o social, la

situacion es peor; pues este hombre cree que sabe lo que es un matematico,

y muy probablemente este equivocado. El piensa que me dedico (o deberıa

1 Traduccion de Mario F. Rosales, original en [19].

i

dedicarme) a convertir diferentes ordenes de magnitud, comparando coeficientes

binomiales y potencias de 2, o resolviendo ecuaciones que involucran tasas de

reacciones.

A C.P. Snow 2 le preocupa el fısico cuya idea de la literatura moder-

na es Dickens, y censura al poeta que no puede expresar la segunda ley de la

termodinamica. Los matematicos, en conversacion con laicos 3 bien intenciona-

dos, inteligentes y educados, estan mucho peor que los fısicos en conversacion

con los poetas. Me entristece que las personas educadas ni siquiera sepan que

mi tema existe. Hay algo que ellos llaman matematica, pero ni siquiera saben

como los profesionales usan esa palabra, ni pueden concebir por que alguien

deberıa saberlo. Es, sin duda, posible que una persona inteligente y educada

no sepa que exista la egiptologıa o la hematologıa, pero todo lo que se tiene

que decir es lo hacen, y de inmediato comprendera de una manera aproximada

por que deberıa saberlo, incluso tendrıa cierta empatıa con el academico que

encuentra interesante al tema.

Por lo general, cuando un matematico da conferencias, el es un mi-

sionero. Ya sea que este hablando tomando una taza de cafe con un colabo-

rador, dando una conferencia a una clase de graduados especialistas, ensenando

a un renuente grupo de ingenieros de primer ano o dirigiendose a una audiencia

de laicos, predica y busca hacer conversos. El declarara teoremas y discutira las

pruebas y esperara que cuando termine su audiencia sepa mas matematicas que

antes. Mi objetivo hoy es diferente, no estoy aquı para hacer proselitismo, sino

para iluminar, no busco conversos sino amigos. No quiero ensenarte que son las

matematicas, solo el que son.

2 Charles Percy Snow (1905-1980), fue un fısico y novelista ingles autor de una serie de

novelas en las que lamenta la brecha entre cientıficos y literatos intelectuales... dos culturas.

3 Me refiero a todos los no matematicos como laicos...

ii

A lo que me dedico lo llamo matematicas, ası es como mis colegas en

todo el mundo lo llaman, y allı muy posiblemente esta el inicio de la confusion.

La palabra abarca dos disciplinas, muchas mas, en realidad, pero dos, al menos

dos en el mismo sentido en que Snow habla de dos culturas. Para tener algunas

palabras con las cuales referirme a las ideas que quiero discutir, ofrezco dos

neologismos 4 temporales ad hoc. Las matematicas, como se usa habitualmente

la palabra, constan de al menos dos asignaturas distintas, y propongo llamarlas

matologıa y matofısica. A grandes rasgos, la matologıa es lo que habitual-

mente se llama matematica pura, y la matemofısica se denomina matematica

aplicada, pero los terminos emocionalmente no son lo suficientemente fuertes

como para ocultar que califican el mismo nombre. Si la concatenacion de sılabas

que elijo aquı te recuerda otras palabras, no hara gran dano; las rimas aludi-

das no son completamente accidentales. Originalmente planee llamar a esta

conferencia algo como “Matematicas es un arte”, o “Las matematicas no son

una ciencia”, o “las matematicas son inutiles”, pero cuanto mas pensaba en

ello, mas me di cuenta de que me refiero a que “la matologıa es un arte”, “la

matologıa no es una ciencia y es inutil”. Cuando yo haya terminado, espero

reconozcan que la mayorıa de ustedes ya sabıan sobre la matofısica, solo que

ustedes probablemente la llamaban matematica; deseo que todos ustedes re-

conozcan la distincion entre matologıa y matofısica; y espero que algunos de

ustedes esten listos para aceptar, o aplaudir, o cuando menos reconocer a la

matologıa como un esfuerzo humano respetable.

En el curso de la conferencia tendre que usar muchas analogıas (lite-

ratura, ajedrez, pintura), cada una imperfecta por sı misma, pero espero que

en su totalidad sirvan para delinear, lo que quiero decir. A veces en interes

de economıa del tiempo, y a veces sin lugar a dudas, sin intencion, exagerare.

Cuando termine, estare encantado de rescindir cualquier cosa que fuera ine-

4 Acepcion o giro nuevo en una lengua.

iii

xacta o que ofendiera de alguna manera.

Lo que hacen los matematicos

Como primer paso para decir lo que hacen los matematicos, permıtan-

me que les cuente algunas de las cosas que no hacen. Para comenzar, los

matematicos tienen muy poco que ver con los numeros. Ya no se puede supo-

ner que un matematico sea capaz de agregar una columna de numeros rapida y

correctamente de lo que se puede esperar de un dibujante al dibujar una lınea

recta o un cirujano para hacer una incision, leyenda popular atribuye tales ha-

bilidades a estas profesiones, pero dicha leyenda es incorrecta. Hay, sin duda,

una parte de las matematicas llamada teorıa de numeros, pero incluso eso no

se ocupa de los numeros en el sentido legendario: un teorico de numeros y una

maquina sumadora encontrarıan muy poco de que hablar. Una maquina podrıa

disfrutar demostrando que 13 + 53 + 33 = 153, e incluso podrıa descubrir que

solo hay cinco enteros positivos (1, 370, 371, 407) con la propiedad que indi-

ca la ecuacion, pero a la mayorıa de los matematicos no les importa; muchos

matematicos disfrutan y respetan el teorema de que cada entero positivo es la

suma de no mas de cuatro cuadrados, mientras que el infinito involucrado en la

palabra “cada”asustarıa y paralizarıa cualquier maquina ordinaria de oficina,

y en cualquier caso, eso probablemente no es el tipo de cosas que la personas

que relegan a los matematicos a los numeros, tenıan en mente.

Ni siquiera los objetos romanticos de la ciencia ficcion de los ultimos

dıas, los cerebros gigantes, las maquinas de computacion que en estos dıas

corren en nuestras vidas, son de interes para el matematico como tal. Algunos

matematicos estan interesados en el problema logico involucrado en la reduccion

de preguntas difıciles al tipo de hablar de un bebe moronico 5 que las maquinas

entienden: el diseno logico de las maquinas de computacion es definitivamente

5 Trastorno caracterizado por una deficiencia muy profunda de las facultades mentales.

iv

matematico. Su construccion no lo es, eso es ingenierıa, y su producto, ya sea

una nomina, un lote de correo ordenado o un supersonico plano, no tiene interes

o valor matematico.

Las matematicas no son numeros o maquinas; tampoco es la deter-

minacion de alturas de las montanas por trigonometrıa, o interes compuesto

por algebra, o momentos de inercia por calculo. Hoy no lo es. De acuerdo a

algun momento de la historia algunas de estas cosas, y otras como ellas, podrıa

haber sido un importante y no trivial problema de investigacion, pero una vez

que se resuelve el problema, su aplicacion repetitiva tiene tanto que ver con

las matematicas como el trabajo de un telegrafo de correos con el genio de

Marconi.

Hay al menos otras dos cosas que la matologıa no es; una de ellas es

algo que nunca fue. . . los calculos algorıtmicos, y la otra es algo que alguna vez

incluyo, pero que actualmente no posee. . . la matofısica. Algunos laicos con-

funden la matematica y la fısica teorica y hablan, por ejemplo, de Einstein

como un gran matematico. No hay duda de que Einstein era un gran hom-

bre, pero no era mas un gran matematico que un gran violinista. El utilizo la

matematica para descubrir hechos sobre el universo, y para ese proposito em-

pleo con exito algunos aspectos de la geometrıa diferencial agregandole cierto

atractivo a la geometrıa diferencial. Sin embargo la teorıa de la relatividad y la

geometrıa diferencial no son la misma cosa. Einstein, Schrodinger, Heisenberg,

Fermi, Wigner, Feynman, todos grandes hombres y fısicos excepcionales, pero

no matematicos.

Lo que alguna vez fue matematica siempre sigue siendo matematica,

pero puede trabajarse concienzudamente, entenderse por completo y, a la luz

de milenios de contribuciones, tan trivial en retrospectiva, que los matematicos

nunca mas necesitaran o querran dedicar tiempo a ella. Los celebres problemas

v

griegos (la triseccion de un angulo, la cuadratura de un cırculo, la duplicacion de

un cubo) son de este tipo, al contrario del irreprimible matematico aficionado,

los actuales matematicos ya no intentan resolverlos. Por favor entiendan que

no es que se hayan dado por vencidos, tal vez hayas escuchado o leıdo que,

de acuerdo con los matematicos, es imposible cuadrar un cırculo, o trisecar un

angulo, por lo cual, los matematicos son un grupo pusilanime de corazones de

gallina, que se dan por vencidos facilmente, y usan sus declaraciones ex-catedra

para justificar su ignorancia. La conclusion puede ser cierta, y puede creerla si

lo desea, pero la prueba es inadecuada. El punto es pequeno pero famoso y de

interes historico, dejenme hacer una digresion para discutirlo por un momento.

Una breve digresion

El problema de trisectar el angulo es el siguiente: dado un angulo,

construya otro que sea un tercio del inicial. El problema es perfectamente facil,

y se conocen varios metodos para resolverlo. El problema es que la formulacion

griega original del problema es mas estricta: requiere una construccion que

solo usa regla y compas. Incluso eso se puede hacer, y podrıa mostrarte un

metodo perfectamente simple en un minuto y convencerte de que funciona en

dos minutos mas. Pero la verdadera dificultad es que la formulacion precisa del

problema es aun mas estricta. La formulacion precisa exige una construccion

que utiliza una regla y brujulas solamente y, ademas, restringe severamente

como se van a usar; prohıbe, por ejemplo, marcar dos puntos en la regla y

usar los puntos marcados en otras construcciones. Se necesita un legalismo

cuidadoso (o algunas matematicas moderadamente pedantes) para formular

real y precisamente lo que era y lo que no estaba permitido por las reglas

griegas. El triseccion de un angulo moderno no conoce esas reglas, o bien las

conoce pero piensa que la idea es una aproximacion cercana, o conoce las reglas

vi

y sabe que se requiere una solucion exacta, pero deja de desear ser “padre de la

escritura”y simplemente comete un error. Con frecuencia, su actitud es la del

visitante de un campo de golf: si todo lo que se quiere es tener una pequena

bola blanca en un pequeno agujero verde... ¿porque no van y la ponen allı?

Permıtanme anadir una breve digresion a la digresion. Me gustarıa

recordar que cuando un matematico dice que algo es imposible, no quiere decir

que sea muy difıcil, que este mas alla de sus poderes y que probablemente

este mas alla de los poderes de la humanidad en el futuro previsible. Eso es

lo que a menudo se entiende cuando alguien dice que es imposible viajar a la

velocidad del sonido a cinco millas por encima de la superficie de la tierra, o

comunicarse instantaneamente con alguien a miles de kilometros de distancia,

o alterar el codigo genetico para producir una raza de ciudadanos que son

simultaneamente inteligentes y amantes de la paz. Eso es lo que menosprecia

el clasico fanfarron empresarial (lo imposible lleva un poco mas de tiempo).

El imposible matematico es diferente: es mas modesto y mas seguro... es el

imposible logico. Cuando el matematico dice que es imposible encontrar un

numero positivo cuya suma con 10 es menor que 10, simplemente nos recuerda

que eso es lo que significan las palabras (positivo, suma, 10, menos); cuando dice

que es imposible trisectar cada angulo por regla y compas, significa exactamente

el mismo tipo de cosa, solo que el numero de palabras tecnicas involucradas

es lo suficientemente grande y el argumento que las une es lo suficientemente

extenso como para llenar un libro, no solo una linea

El comienzo de las matematicas

Nadie sabe cuando y donde comenzo la matematica, o como, pero

parece razonable suponer que surgio de las mismas observaciones fısicas primi-

tivas (contar, medir) con las cuales todos comenzamos nuestra propia vision

vii

matematica (la ontogenia 6 recapitula la filogenia 7). Probablemente fue ası en

el comienzo, y aun es cierto que muchas ideas matematicas no se originan en el

pensamiento puro sino en la necesidad material; muchas, pero probablemente

no todas. Casi tan pronto como un ser humano encuentra necesario contar sus

ovejas (¿o antes?) comienza a preguntarse sobre numeros y formas, movimien-

tos y arreglos; la curiosidad sobre tales cosas parece ser tan necesaria para el

espıritu humano como la curiosidad sobre la tierra, el agua, el fuego y el aire,

y la curiosidad -pura pura curiosidad intelectual- sobre las estrellas y sobre

la vida. Los numeros, las formas, los movimientos y los arreglos, y tambien

los pensamientos y su orden, y conceptos tales como “propiedad”y “relacion”:

todos estos elementos son la materia prima de las matematicas. El concepto

matematico basico pero tecnico de “grupo”es lo mejor que puede hacer la hu-

manidad para entender el concepto intuitivo de “simetrıa”y las personas que

estudian los espacios topologicos y los caminos ergodicos, y los graficos orien-

tados estan haciendo precisos nuestros crudos y vagos sentimientos sobre las

formas, los movimientos, y los arreglos.

¿Porque los matematicos estudian tales cosas y porque deberıan hacer-

lo? En otras palabras, ¿que motiva al matematico individual y porque la so-

ciedad alienta sus esfuerzos, al menos hasta el punto de proporcionarle la ca-

pacitacion y, posteriormente, el sustento que, a su vez, le da el tiempo que

necesita para pensar? Hay dos respuestas para cada una de las dos preguntas:

porque las matematicas son practicas y porque las matematicas son un arte. Las

matematicas ya existentes tienen cada vez mas aplicaciones nuevas cada dıa, y

el rapido crecimiento de las aplicaciones deseadas sugiere cada vez mas nuevas

matematicas practicas. Al mismo tiempo, a medida que aumenta la cantidad

de matematicas y el numero de personas que piensan en ello se duplica una y

6 Desarrollo del individuo, referido en especial al perıodo embrionario.

7 Origen y desarrollo evolutivo de las especies, y en general, de las estirpes de seres vivos.

viii

otra vez, se necesitan mas explicaciones sobre nuevos conceptos, mas nuevas

interrelaciones logicas claman por estudio, comprension y simplificacion, y mas

y mas, el arbol de las matematicas posee flores elaboradas y chillonas que, para

muchos observadores, valen mas que las raıces de las que todo proviene y las

causas que lo llevaron a la existencia.

Matematicas de hoy

Las matematicas de hoy estan muy vivas. Hay mas de mil revistas

que publican artıculos matematicos; cada ano se imprimen de 15,000 a 20,000

artıculos matematicos. Los logros matematicos de los ultimos cien anos son

mayores en cantidad y en calidad que los de toda la historia anterior. Los

difıciles problemas matematicos, que dejaron perplejos a Hilbert, Cantor o

Poincare, estan siendo resueltos, explicados y generalizados por jovenes im-

berbes (y barbudos) en Berkeley y Odesa.

Los matematicos a veces se clasifican a sı mismos y a los demas co-

mo solucionadores de problemas o creadores de teorıas. Los que resuelven

problemas responden sı o no y discuten los casos especiales vitales y ejemp-

los concretos que son la carne y la sangre de las matematicas; los creadores

de la teorıa ajustan los resultados en un marco, lo iluminan todo y lo ori-

entan en una direccion definida: proporcionan el esqueleto y el alma de las

matematicas. Uno y el mismo ser humano puede ser tanto un solucionador de

problemas como un creador de teorıa, pero por lo general, es principalmente

uno u otro. Los solucionadores de problemas hacen construcciones geometricas,

los teoricos-creadores discuten los fundamentos de la geometrıa euclidiana; los

solucionadores de problemas descubren que hace que funcionen los diagramas

de cambio, los teoricos-creadores prueban los teoremas de representacion para

las algebras de Boole. En ambos tipos de matematicas y en todos los cam-

pos de las matematicas, el progreso en una generacion es impresionante. Nadie

ix

puede llamarse a sı mismo un matematico hoy en dıa si no tiene al menos una

vaga idea de algebra homologica, topologıa diferencial y analisis funcional, y

cada matematico es probablemente un tanto experto en al menos uno de estos

temas y sin embargo, cuando estudie las matematicas en la decada de 1930

no se habıa inventado ninguna de esas frases, y los temas que describen solo

existıan en formas seminales.

Las matematicas son pensamiento abstracto, las matematicas son pu-

ra logica, las matematicas son arte creativo. Todas estas afirmaciones son

erroneas, pero todas tienen un poco de razon, y todas estan mas cerca de

“las matematicas son numeros”o “las matematicas son formas geometricas”.

Para el matematico profesional puro, las matematicas son la combinacion logi-

ca de un conjunto disperso de supuestos cuidadosamente seleccionados con sus

conclusiones sorprendentes a traves de una prueba conceptualmente elegante.

La simplicidad, la complejidad y, sobre todo, el analisis logico son el sello dis-

tintivo de las matematicas. El matematico esta interesado en casos extremos: a

este respecto, es como el experimentador industrial que rompe bombillas, des-

garra las camisas y rebota autos sobre surcos. ¿Cuan extensamente se aplica

un razonamiento, el quiere saber, y que pasa cuando no lo hace? ¿Que sucede

cuando debilitas una de las suposiciones, o bajo que condiciones puedes fort-

alecer alguna de las conclusiones? Es la pregunta perpetua, de tales preguntas

es lo que hace que haya una comprension mas amplia, una mejor tecnica y una

mayor elasticidad para los problemas futuros.

Las matematicas, esto puede sorprenderlo o incluso impresionarlo, nun-

ca es deductiva en su creacion. En el trabajo el matematico hace conjeturas

vagas, visualiza amplias generalizaciones y salta a conclusiones injustificadas.

Arregla y reorganiza sus ideas, y se convence de su verdad mucho antes de

que pueda escribir una prueba logica. La conviccion no es probable que llegue

temprano; generalmente ocurre despues de muchos intentos, muchos fracasos,

x

muchos desalientos y muchos comienzos en falso. A menudo ocurre que meses

de trabajo resultan en la prueba de que el metodo de ataque en el que se basan

no puede funcionar, y el proceso de adivinar, visualizar y concluir comienza

otra vez. Se necesita una reformulacion, y esto tambien puede sorprender, se

necesita mas trabajo experimental. Para estar seguro, por “trabajo experimen-

tal”no me refiero a tubos de ensayo y ciclotrones. Me refiero a los experimentos

mentales. Cuando un matematico quiere probar un teorema sobre un espacio

de Hilbert de dimension infinita, examina su analogo de dimension finita, exa-

mina en detalle los casos bidimensionales y tridimensionales, a menudo prueba

un caso numerico particular y espera que obtendra de ese modo una idea de

que los malabarismos de definicion pura no han cedido. La etapa deductiva,

escribir el resultado y escribir su prueba rigurosa es relativamente trivial una

vez que llega la percepcion real; es mas como el trabajo del dibujante, no del

arquitecto.

La Fraternidad Matematica

La fraternidad matematica es un poco como un sacerdocio que se au-

toperpetua. Los matematicos de hoy entrenan a los matematicos del manana y,

de hecho, deciden a quien admitir en el sacerdocio. A la mayorıa de las personas

no les resulta facil unirse: el talento matematico y el genio son aparentemente

tan raros como el talento y el genio en la pintura y la musica, pero cualquiera

puede unirse, todos son bienvenidos. Las reglas no estan explıcitamente for-

muladas en ninguna parte, pero son sentidas intuitivamente por todos en la

profesion. Se olvidan los errores y tambien la exposicion oscura: el requisito

indispensable es la comprension matematica. El pensamiento descuidado, la

verbosidad sin contenido y la polemica no tienen ningun papel, y esto para

mı es uno de los aspectos mas maravillosos de las matematicas: son mucho mas

faciles de detectar que en los campos no matematicos de la actividad humana

xi

(mucho mas facil que, por ejemplo, en literatura entre las artes, en crıtica de

arte entre las humanidades, y en tu abominacion favorita entre las ciencias

sociales).

Aunque la mayorıa de la creacion matematica es realizada por un hom-

bre en un escritorio, en una pizarra, o paseando, o, a veces, por dos hombres

conversando, las matematicas son, sin embargo, una ciencia sociable. El creador

necesita estimulacion mientras crea y necesita una audiencia despues de haber

creado. Las matematicas son una ciencia sociable en el sentido de que no creo

que pueda ser hecha por un hombre en una isla desierta (excepto por un tiempo

muy corto), pero no es una ciencia de la mafia, no es una ciencia de equipo.

Un teorema no es una piramide; la inspiracion nunca se sabe que desciende

en un comite. Un gran teorema no puede obtenerse mas por un enfoque de

“proyecto”que una gran pintura; No creo que un equipo de pequenos Gauss

podrıa haber obtenido el teorema de los polıgonos regulares bajo la direccion

de un contraalmirante mas de lo que un equipo de pequenos Shakespeare podrıa

haber escrito Hamlet bajo tales condiciones.

Un problema matematico pequeno y trivial

He estado tratando de dar una descripcion de lo que son las matemati-

cas y como lo hacen los matematicos en terminos generales, y no culparıa

si lo hubieran encontrado completamente insatisfactorio. Me siento un poco

como si hubiera estado describiendo la nieve a un isleno de Fiji. Si le dijera

que la nieve era blanca como un huevo, humeda como el barro y frıa como

una cascada de montana, ¿entenderıa entonces lo que es esquiar en los Alpes?

Mostrarle una cucharada de raspaduras del recien descongelado refrigerador

de su Excelencia el Gobernador”no es mucho mas satisfactorio, pero es algo.

Permıtanme, entonces concluir este planteamiento mencionando un pequeno y

trivial problema matematico y describiendo su solucion; posiblemente entonces

xii

obtendran (si aun no lo han hecho) una pequena sensacion de lo que atrae y

divierte a los matematicos, y de que se trata la naturaleza de la inspiracion de

la que he estado hablando.

Imaginen una grupo de 1025 tenistas. Los que tienen una mentalidad

matematica de ustedes, si aun no han escuchado de este famoso problema,

han sido alertados de inmediato por el numero. Es sabido por cualquiera que

haya continuado duplicando algo, cualquier cosa, que 1024 es 210. Todos los

entendidos saben, por lo tanto, que la presencia en el enunciado de un problema

de un numero como 1+210 seguramente es un fuerte indicio de su solucion; las

posibilidades son, y esto puede adivinarse incluso antes de que la declaracion

del problema este completa, que la solucion dependera de duplicar o reducir a

la mitad algo diez veces. Los mas conocedores tambien admitiran la posibilidad

de que ese numero no sea una pista, sino una trampa. Imagine entonces que los

tenistas estan a punto de realizar un torneo gigantesco de la siguiente manera:

planean partidos apareando al azar lo mas que puede y el hombre impar no

juega en la primera ronda, en la segunda ronda solo participan los ganadores de

la primera ronda y el hombre inicialmente aislado. El procedimiento es el mismo

para la segunda ronda que para la primera: par al azar y se juega, con un nuevo

hombre impar esperando. Las reglas exigen que este procedimiento continue,

una y otra vez, hasta que se seleccione al campeon del grupo. El campeon,

en este sentido, no derroto exactamente a todos los demas, pero puede decir,

de cada uno de sus companeros jugadores, que vencio a alguien, que a la vez

vencio a alguien, ..., que vencio a alguien, que vencio a ese jugador. La pregunta

es: ¿cuantos partidos se jugaron en total, en todas las rondas de todo el torneo?

Hay varias maneras de atacar el problema, e incluso la mas ingenua

funciona. Segun ella, la primera ronda tiene 512 partidos (ya que 1025 es impar

y 512 es la mitad de 1024), la segunda ronda tiene 256 partidos (de los 512 los

ganadores en la primera ronda, junto con el hombre impar de esa ronda hacen

xiii

513, lo cual es non de nuevo, y 256 es la mitad de 512), etc. El et cetera produce,

despues de 512 y 256, los numeros 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 y 1 (la ultima ronda,

que consiste en un solo partido y es la unica donde no hay hombre impar), y

todo lo que se necesita es sumarlos. Es un trabajo simple que con lapiz y papel

puede realizarse en unos pocos segundos; la respuesta (y de ahı la solucion del

problema) es 1024.

El matematico procederıa de forma un poco diferente. El reconocerıa

rapidamente, como se anuncia, que el problema tiene que ver con mitades

repetidas, de modo que los numeros que se sumen son las potencias sucesivas

de 2, desde la novena hasta la primera (no, desde la novena hasta la cero) junto

con el ultimo 1 causado por el obviamente intento malicioso del que plantea

el problema para confundir al solucionador usando 1025 en lugar de 1024. El

matematico exhibirıa con orgullo su conocimiento de la formula para la suma

de una progresion geometrica, por lo tanto, sabrıa (sin sumar) que la suma de

512, 256, ..., 8, 4, 2 y 1 es 1023, y luego agregrıa el impar 1 para obtener el

mismo total de 1024.

El problema con esta solucion es que es demasiado especial. Si el

numero de jugadores de tenis hubiera sido 1000 en su lugar de 1025, el sabio

no estarıa mejor que el profano laico. Su solucion funciona, pero es tan libre de

inspiracion como la del laico. Es mas corta pero sigue siendo, en los terminos

despectivos del matematico, computacional.

El problema tambien tiene una solucion inspirada, que no requiere

computo, ni formulas, ni numeros, solo puro pensamiento. Razonando como

sigue: cada partido tiene un ganador y un perdedor. Un perdedor no puede

participar en ninguna ronda posterior; todos en el grupo, excepto el campeon,

pierden exactamente un partido. Hay por lo tanto, exactamente tantos partidos

como hay perdedores, y en consecuencia, el numero de partidos es exactamente

xiv

uno menos que el de la membresıa del grupo. Si el numero de miembros es

1025, la respuesta es 1024. Ahora si el numero ha sido 1000, la respuesta serıa

999, y obviamente, el presente metodo de pensamiento puro da la respuesta sin

computacion, para cada numero posible de jugadores.

Eso es todo: esto es lo que ofrezco como ejemplo microcosmico de una

bonita pieza de matematicas. El ejemplo es malo porque, despues de toda mi

advertencia de que los matematicos estan interesados en otras cosas ademas

de contar, trata de contar, es malo porque no muestra ni puede exhibir el

poder conceptual y la tecnica intelectual de matematicas no triviales, y es malo

porque ilustra las matematicas aplicadas (es decir, las matematicas aplicadas

a un problema de la “vida real”) mas que ilustrar las matematicas puras (es

decir, la forma destilada de una pregunta sobre las interrelaciones logicas de

conceptos, no jugadores de tenis, torneos y partidos). Como una ensenanza lo

hace bastante bien; pues si la imaginacion es mentalmente lo suficientemente

buena para reconstruir al oceano a partir de una gota de agua, entonces se

pueden reconstruir las matematicas del problema del jugadores de tenis...

Matologıa versus Matofısica

He estado describiendo a las matematicas, pero la verdad, he tenido a

la matologıa (pura) en la mente, mas que matofısica (aplicada), hace mucho

esto me ocurre, estoy seguro. Por alguna razon, los practicantes de la matofısica

tienden a minimizar las diferencias entre ellas y los otros, los matologos, tienden

a enfatizarlos. Cada matematico esta en un campo u en otro, bueno casi todos

pues unos pocos estan en ambos campos, y yo soy un matologo por nacimiento

y entrenamiento. Pero en un escrito como este, debo tratar de no exagerar mi

prejuicios, por ello comenzare diciendo que las similitudes entre la matologıa y

la matofısica son realmente buenas. Esto es un hecho historico que, en ultima

instancia, todas las matematicas nos llegan, nos las sugiere el universo fısico, en

xv

ese sentido toda la matematica es aplicada. Es, creo, un hecho psicologico que

incluso el mas puro de los puros entre nosotros se emociona cuando sus pen-

samientos hacen un contacto nuevo e inesperado con el universo no matematico.

El tipo de talento requerido para ser buen matotologo esta ıntimamente rela-

cionado con el que demanda un matofısico. Los artıculos que los matofısicos

escriben frecuentemente son indistinguibles de los de sus colegas matologos.

Como yo lo veo, la principal diferencia entre la matologıa y la matofısica

es el proposito de la curiosidad intelectual que motiva el trabajo, o tal vez

serıa mas exacto decir que es el tipo de curiosidad intelectual que es relevante.

Dejenme hacer una pregunta, peculiar pero definitivamente matematica: ¿se

puede cargar un par de dados para que todas las tiradas posibles sean mejores?

Todas las sumas posibles que se pueden mostrar en una tirada, los numeros

entre 2 y 12 ¿son igualmente probables? La pregunta es una ejemplo legıtimo de

las matematicas; la respuesta es conocida y no es trivial. Lo menciono aquı para

que se pueda realizar un rapido psicoanalisis personal. Cuando hice la pregunta

¿se penso en distribuciones homogeneas y no homogeneas de masa en formas

curiosas al traves de los dos cubos? o ¿se penso en sumas de productos de doce

numeros (las dos de las seis probabilidades asociadas a las dos caras de las seis

de los dos dados)? Si el pensamiento fue el primero, usted es un criptomatofısico,

y si fue el ultimo, es un matologo potencial.

¿Como se elige un problema de investigacion y que es lo que lo hace

atractivo? ¿Se quiere saber sobre la naturaleza o sobre la logica? ¿se prefiere

hechos concretos a relaciones abstractas? si lo que se desea es estudiar la natu-

raleza, si lo concreto tiene mayor atractivo, entonces se es un matofısico. En

la matofısica, la pregunta siempre viene del exterior, del “mundo real”, y la

satisfaccion que obtiene el cientıfico de la solucion proviene, en gran medida,

de la luz que arroja sobre los hechos.

xvi

Seguramente nadie puede objetar a la matofısica o pensar menos de

ella debido a eso, y sin embargo muchos lo hacen. No quise identificar “concre-

to”con “practico”por lo que no cabe menospreciarla, y tampoco quise asociar

“abstracto”con “inutil”. (El que 211213 + 1 es un primo es un hecho con-

creto, pero seguramente inutil, y que E=mc2 es una relacion abstracta pero

desafortunadamente practica) sin embargo, tales identificaciones -aplicadas-

concretas-practicas-crudas y puras-abstractas -pedante-inutil - son bastante

comunes en ambos campos. Para el matematico aplicado, el antonimo de “apli-

cado”es “inutil”, y para el matematico puro el antonimo de “puro”es “sucio”.

La historia no ayuda a la confusion. Historicamente, las matematicas

puras y aplicadas (matologıa y matofısica) han estado mucho mas unidas de lo

que estan hoy en dıa. En este momento, la propia terminologıa (matematicas

puras versus matematicas aplicadas) crea confusion semantica pues implica

identidad con pequenas diferencias, en lugar de diversidad con conexiones im-

portantes.

De la diferencia en los propositos sigue una diferencia en los gustos y,

por lo tanto, de los juicios de valor. El matofısico quiere saber los hechos, y a

veces, no tiene paciencia para las sutilezas pedantes del rigor matematico (que

ridiculiza como rigor mortis). El matologo quiere entender las ideas, y le da

gran valor a los aspectos esteticos de la comprension y la forma en que se llega

a ella, usa palabras como “elegante”para describir la motivacion, el proposito,

frecuentemente el metodo, y casi siempre en el gusto el matofısico y el matologo

difieren.

Cuando digo que soy un matologo, no estoy tratando de defender al

conocimiento inutil, o de convertirlos a la opinion de que es lo mejor. Sin

embargo, serıa deshonesto con ustedes si no te dijera que eso es lo creo. Me

gusta la idea de que las cosas se hagan por su propio bien. Me gusta en la

xvii

musica, me gusta en la artesanıa, y me gusta incluso en medicina. Nunca confıo

en un medico que dice que eligio su profesion por el deseo de beneficiar a

la humanidad... me siento incomodo y esceptico cuando escucho tales cosas.

Prefiero que el medico diga que lo hizo porque le gusto la idea, porque penso que

serıa bueno en eso, o incluso porque obtuvo buenas calificaciones en la zoologıa

de la escuela secundaria. Me gusta el tema por sı mismo, tanto en medicina

como en musica, y desde luego me gusta en la matematica.

Permıtanme hacer una breve digresion con una historia breve y tal vez

apocrifa sobre David Hilbert, probablemente el matematico mas importante

de los siglos XIX y XX. Cuando estaba preparando un discurso publico, le

pidieron que incluyera una referencia al conflicto (¡incluso entonces!) Entre las

matematicas puras y las aplicadas, con la esperanza de que si alguien podıa

dar un paso hacia su resolucion, el podrıa hacerlo. Obedientemente, se dice que

comenzo su discurso diciendo: me pidieron que hablara sobre el conflicto entre

las matematicas puras y las aplicadas. Me alegra hacerlo, porque es una gran

tonterıa, no debe haber conflicto, no puede haber conflicto, no hay conflicto,

de hecho, las dos no tienen nada que ver una con la otra.

Creo que es innegable que una gran parte de la matematica nacio y vive

con respeto y admiracion, sin mas motivo que el hecho de que es interesante; es

interesante en sı misma. La triseccion angular de los griegos, el celebre problema

del mapa de cuatro colores y la espectacular contribucion de Godel a la logica

matematica son buenos porque son hermosos, porque son sorprendentes, porque

queremos saber: ¿no sentimos todos la fuerza irresistible del rompecabezas?

¿Hay realmente algo de malo en decir que la matematica es una creacion gloriosa

del espıritu humano y merece vivir incluso en ausencia de alguna aplicacion

practica?

xviii

La Matematica es un lenguaje

¿Por que la matematica ocupa una posicion tan aislada en el firma-

mento intelectual? ¿Porque para los intelectuales es buena para estremecerse

y anunciar que no pueden soportarla, o al menos reırse y decir que nunca po-

drıan entenderla? Una razon tal vez es que la matematica es un lenguaje. La

matematica es un lenguaje preciso y sutil disenado para expresar ciertos tipos

de ideas de manera mas breve, mas precisa y mas util que el lenguaje ordinario.

No me refiero aquı a que los matematicos usan una jerga, como los miembros

de las demas camarillas profesionales. Lo hacen a veces, y no lo hacen con fre-

cuencia, pero es un fenomeno personal, no el profesional que estoy describiendo.

Lo que quiero decir al decir es que la matematica es un lenguaje incompleto

que ilustro con la diferencia entre las siguientes dos oraciones (Nota: la oracion

mas larga no solo es incomoda, tambien es incompleta):

1. Si dos numeros se multiplican por sı mismos, la diferencia de los dos

resultados es la misma que el producto de la suma de los dos numeros y

la diferencia de ellos.

2. x2 − y2 = (x+ y)(x − y).

Algo que a veces molesta y repele al profano es la terminologıa que

los matematicos emplean. Las palabras matematicas son meramente como eti-

quetas, a veces sugerentes, posiblemente graciosas, pero siempre definidas con

precision; sus connotaciones cotidianas deben ser ignoradas con firmeza. Como

nadie hoy en dıa infiere del nombre Fitzgerald que es el hijo ilegıtimo de Ger-

ald, un numero que se le llama irracional debe no ser considerado irracional;

ası como el poema dramatico llamado La divina comedia no es necesariamente

divertido, un numero llamado imaginario tiene la misma existencia matematica

que cualquier otro. (Racional para los numeros, no se refiere a la frase latina

en el sentido de la razon, sino a la razon inglesa asociada a un cociente).

xix

Ninguno de nosotros se siente insultado cuando un sinologo 8 utiliza

algunas usa frases en chino, y estamos resignado a vivir sin el chino o pasar

algunos anos aprendiendolo. Nuestra actitud hacia la matematica deberıa ser la

misma, es un lenguaje y lleva anos aprender a hablarlo bien. Todos hablamos un

poco, solo porque parte de esto esta en el aire todo el tiempo, pero lo hablamos

con acento y con frecuencia de manera inexacta; la mayorıa de nosotros lo hace

aproximadamente tan bien como cuando uno solo puede decir Oui, monsieur

y S’il vous plait en frances. El matematico no ve nada malo en ello mientras

no sea reprochado por el resto de la comunidad intelectual por tener secretos.

Le llevo mucho tiempo aprender su idioma, y no menosprecia al amigo que

sin tener esos estudios no lo habla. Sin embargo, a veces es difıcil mantener la

calma en un coctel con conocidos que exigen que se le ensene el idioma entre

bebidas, y que considera el fracaso o la negativa a hacerlo como signos seguros

de estupidez o esnobismo.

Algunas analogıas

Un pequeno sentimiento por la naturaleza de la matematica y el pen-

samiento matematico se puede obtener mediante la comparacion con el ajedrez,

la analogıa como todas las analogıas, es imperfecta, pero de todos modos ilu-

mina. Las reglas para el ajedrez son tan arbitrarias como a veces parecen ser

los axiomas de la matematica.

El juego de ajedrez es tan abstracto como las matematicas, que el

ajedrez se juega con piezas solidas, hechas de madera, plastico o vidrio, no

es una caracterıstica intrınseca del juego. Tambien se puede jugar con lapiz

y papel, como en la matematica, o con los ojos vendados, como se hace en

la matematica. El ajedrez tambien tiene su lenguaje tecnico elaborado, y es

completamente determinista.

8 Persona dedicada al estudio de las lenguas y culturas de China.

xx

Tambien hay alguna analogıa entre la matematica y la musica. El

matologo siente la necesidad de justificar la matematica pura tan escasamente

como el musico lo siente con la musica. ¿Acaso los hombres practicos, los hom-

bres que cumplen por las nominas, exigen jazz relajante para hacer que un

trabajador de la cadena de un montaje se vuelva loco mas rapido, o marchas

exitantes para hacer que un soldado mate con mas entusiasmo? No, segura-

mente ninguno de nosotros cree en ese tipo de justificacion; la musica y las

matematicas son de valor humano porque los seres humanos sienten que sı lo

son.

La analogıa con la musica se puede analizar un poco mas, pero antes de

juzgar la contribucion artıstica de un interprete o ejecutante, se da por sentado

que el toca las notas correctas, pero simplemente tocar las notas correctas

no lo convierte en musico. Nosotros no entendemos el pintar si felicitamos a

la Maja desnuda por ser una buena imagen, y no comprendemos el trabajo

de un historiador si todo lo que podemos decir es que el no dijo mentiras.

Mera precision en el rendimiento, semejanza en apariencia, y la verdad en la

narracion no hace buena musica, pintura, historia: de la misma manera, la mera

la correccion logica no es buena matematica.

La bondad, la alta calidad, se juzgan por motivos mas importantes

que la validez, pero menos descriptibles. Una buena pieza de la matematica

esta conectado con muchas otras ramas de la matematica, es nueva sin ser tonta

(piense en una “nueva”pelıcula occidental en la que se cambian los nombres y

el vestuario, pero la trama no), y es profunda en una sentido inefable pero

ineludible: el sentido en el que Johann Sebastian es profundo y Carl Philip

Emmanuel no lo es. El criterio de calidad es la belleza, la complejidad, la

pulcritud, la elegancia, la satisfaccion, la adecuacion, todo subjetivo, pero todo

de alguna manera misteriosamente compartido por todos.

xxi

La matematica tambien se parece a la literatura, a diferencia de la

forma en que se parece a la musica. La escritura y lectura de la literatura

esta relacionada con la escritura y la lectura de periodicos, anuncios y senales de

trafico de la manera la matematica esta relacionada con la aritmetica practica.

Todos necesitamos leer y escribir para la vida diaria, pero la literatura es mas

que leer y escribir, y la matematica son mas que calculos. La analogıa de la

literatura puede ser utilizada para ayudar a comprender el papel de los docentes

y el papel del dualismo puramente aplicado.

Muchos cuyos intereses estan en el lenguaje, en la estructura, en la

historia y en la estetica, ganan su pan y mantequilla ensenando los rudimentos

del lenguaje a sus futuros usuarios practicos. Del mismo modo muchos, tal

vez la mayorıa, cuyos intereses estan en las matematicas de hoy, ganan su

pan y mantequilla ensenando aritmetica, trigonometrıa o calculo. Esto es una

economıa solida: la sociedad de forma abstracta e impersonal esta dispuesta

a subsidiar el lenguaje puro y la matematica pura, pero no muy lejos. Deja

que el aspirante a purista haga su trabajo ensenandole a la proxima generacion

los aspectos aplicados de su oficio; entonces se le permite pasar una fraccion

de su tiempo haciendo lo que el prefiere. Desde el punto de vista de lo que

debe ser un buen maestro, esto es bueno. Un maestro debe saber mas del

mınimo indispensable que debe ensenar; debe saber mas para evitar mas y mas

errores, para evitar perpetuacion de malentendidos, para evitar una ineficiencia

educativa catastrofica. Para mantenerlo vivo, para evitar que se seque, juega

un papel necesario su interes en la sintaxis, su busqueda en la etimologıa, o

incluso su incursion en la poesıa.

El dualismo puro-aplicado tambien existe en la literatura. La fuente

de la literatura es la vida humana, pero la literatura no es la vida de la que

proviene, y escribir con un proposito sombrıo no es literatura. Ciertamente hay

casos lımite: ¿es literatura o propaganda la ”jungla”de Upton Sinclair? (Para el

xxii

caso: ¿es Chiquita Banana un tintineo publicitario o o una encantadora opera

ligera?) Pero la frontera difusa no altera el hecho de que en la literatura (como

en la matematica) lo puro y aplicado es diferente en intencion, en metodo y en

criterio de exito.

Quiza la analogıa mas cercana sea entre la matematica y la pintura.

El origen de la pintura es la realidad fısica, y tambien lo es el origen de la

matematica, pero el pintor no es una camara y el matematico no es un ingeniero.

El pintor de Your Country Needs You obtuvo su recompensa del patriotismo,

de un aumento en los alistamientos, de ganar la guerra, que probablemente sea

diferente de la recompensa que Rembrandt obtuvo con un trabajo terminado.

Que tan cerca de la realidad la pintura (y la matematica) deberıan estar, es una

cuestion delicada. Pidiendole a un pintor que cuente una “historia concreta”es

como pedirle a un matematico que resuelva un “problema real”. La pintura

moderna y la matematica moderna estan lejos-demasiado lejos para el juicio de

algunos. Quizas lo ideal es tener una pizca de realidad siempre presente, pero

no llenarla en la forma de la geometrıa descriptiva.

Hable con un pintor y con un matematico, y se sorprendera de lo similar

que reaccionan. Casi cada aspecto de la vida y del arte de un matematico tiene

su contraparte en la pintura y viceversa. Cada vez que un matematico oye

“nunca podrıa balancear mi talonario de cheques”o un pintor escucha “nunca

podrıa dibujar un lınea recta”, los comentarios son igualmente relevantes e

igualmente interesantes. La invencion de la perspectiva dio al pintor una tecnica

util, como lo hizo la invencion del cero para el matematico. El viejo arte es tan

bueno como nuevo: la matematica antigua es tan buena como nueva. Los gustos

cambian, sin duda en ambos temas, pero un pintor del siglo XX tiene simpatıa

por las pinturas rupestres y un matematico del siglo XX por los malabares de

las fracciones de los babilonios.

xxiii

Una pintura debe ser pintada y luego observada, un teorema debe ser

impreso y luego leıdo. El pintor que piensa buenas imagenes, y el matematico

que suena con bellos teoremas son diletantes; una obra de arte invisible es in-

completa. En la pintura y en la matematica hay algunos estandares objetivos

del bien, el pintor habla de buena estructura, lınea, forma y textura, donde

el matematico habla de verdad, validez, novedad, generalidad, que son rela-

tivamente mas faciles de satisfacer. Tanto los pintores como los matematicos

debaten entre ellos si estos estandares objetivos deben incluso ser contados a los

jovenes, el principiante puede malinterpretarlos y exagerarlos y al mismo tiem-

po pierden de vista los estandares subjetivos mas importantes de la bondad.

La pintura y la matematica tienen una historia, una tradicion, un crecimiento.

Los estudiantes, en ambas materias, tienden a acudir en masa a lo mas nuevo,

pero excepto los mejores, pierden la direccion; carecen de la vitalidad en lo que

imitan, porque, entre otras razones, carecen de la experiencia basada en las

tradiciones del tema.

He estado hablando acerca de la matematica, pero no de ella, y en

consecuencia, lo que he estado diciendo no posible demostrarlo en el sentido

matematico de la palabra. Espero haber mostrado que hay un tema llamado

matematica (¿matologıa?), y que esa materia es un arte creativo. Es un arte

creativo porque los matematicos crean hermosos conceptos nuevos; es un arte

creativo porque los matematicos viven, actuan y piensan como artistas; y es un

arte creativo porque los matematicos lo consideran ası. Estoy muy convencido

de ello, y estoy agradecido por esta oportunidad de hablar sobre ello.

xxiv