Les matemàtiques de la natura :

La màgia del nombre d’ 𝚽𝐫

Mònica Orpí

Galileu Galilei1564-1642

Físic i astrònom italià

Les matemàtiques són l’alfabet amb el qual

Déu ha escrit l’univers

https://vimeo.com/9953368

Començarem amb una petita enquesta :

1. Quin rectangle escolliríeu :

2. Quin triangle escolliríeu :

3. En quina fotografia

es veu millor el paisatge?

4. Quina flor escolliries ?

a) b) c)

En una enquesta a 150 persones d’edats

Pregunta

Opció

1. Rectangle 2. Triangle 3. Paisatge 4. Flor

Raó entre el costat llarg i

el petit :

Essent 1 unitat

A) 5’4/3=1’8

B) 5/3’5 =1’43

C) 5’3/3’7=1’43

D) 5’8/3’6 =1’61

1. Quin rectangle escolliríeu :

Raó entre la longitud del

costat igual i el costat

desigual : (gran/petit) :

Essent 1 unitat

A) 4’2/2= 2’1

B) 4/2’5= 1’6

C) 3’9/2’1= 1’86

D) 4’7/2’1 = 2’23

2. Quin triangle escolliríeu :

3. En quina fotografia es veu

millor el paisatge?

Raó entre el costat llarg i el petit :

Essent 1 unitat

A) 7’4/4’6=1’61

B) 7/5’1 =1’37

C) 9’1/4’2 =2’17

4. Quina flor escolliries ?

a) 23 pètals b) 21 pètals c)14 pètals

L’explicació del resultats d’aquesta estadística només

la pot donar un nombre...

QUÈ ÉS EL NOMBRE D’OR?

El nombre d’or es representa amb la lletra grega Φ (phi), però antigament es representava per la lletra Tau (Τ τ) del grec τομή que significava tall o secció.

No va ser fins 1900 que es va canviar a Φ, en majúscula (φ en minúscula). Aquest canvi el va

realitzar el matemàtic Mark Barr i va escollir la lletra grega Φ en honor a Fídies, en grec Φειδίας,

per ser el creador de les escultures amb major nivell estètic ( va ser l’escultor que dissenyà gegantesques

estàtues de la deessa Atenea, també el Partenó d’Atenes i la colossal Estàtua de Zeus a l’Olímpia al

s.V aC)

Nota : Hi ha moltes maneres d’anomenar aquest nombre : Nombre d’or, secció àuria, proporció àuria ,

divina proporció, raó àuria, mida àuria o nombre daurat i també proporció de Déu

De la definició euclidiana, on diu que el número d’or és el resultat de dividir en dues partsdesiguals un segment de manera que els segments major a i menor b mantinguin la mateixa

proporció que la totalitat dels dos segments junts a+b i el segment major a.Podem obtenir el seu resultat exacte d’aquest nombre i observarem que es tracta d’un

número irracional, és a dir, és un nombre amb infinits decimals i no és periòdic.

És per aquesta raó que es diu que dos números positius a i b estan en proporció àuria si i només si:

Pots trobar-ne el valor exacte de Φ ? ACTIVITAT 1

QUÈ ÉS EL NOMBRE D’OR?

a

ba

b

a

b

a

b

a

x

2

51

2

51

2

51

2

411

...618033'12

51

...618033'02

51

CALCULEM QUI ÉS EL NOMBRE D’OR?

01:

11

2

xxobtenimxperntMultiplica

xx

a

b

a

a

b

a

a

ba

b

ax

b

a

Donat que a i b són valors positius ja que fan referència a la longitud de

segments, el nombre d’or és el primer dos valors obtinguts

Podem observar que les dues solucions i són nombres inversos i oposats, és a dir Φ = -1

𝜙

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 1 a)

Guarda’t aquest nombre a la

memòria de la teva calucladora

(SHIFT RCL i la letra)

2134...

1321...

813...

58...

351223

23112

121

1

9

8

7

6

345

234

23

2

Les potències del nombre d’or

012 xxDonat que és solució de

l’equació tenim

que d’on

podem observar les següents

relacions :

012

Dividint

per

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 1 b,c,…l

ACTIVITAT 2

SUCCESSIÓ DE FIBONACCI

“ Certa persona va posar una parella de conills en un corral tancat completament per un mur. Quants parells de conills hi haurà al corral en un any, si posem una parella de conills no productius que, tardarà un mes a ser productiva i llavors engendrarà una nova parella

de conills?”

Leonardo de Pisa (Itàlia 1170 1250),

conegut com a Leonardo Fibonacci,

fou un dels matemàtics amb més

talent de l’Edat Mitjana.

És conegut actualment per haver

contribuït a la difusió del Sistema de

Numeració hindú-aràbic a Europa

gràcies a la publlicació al sXIII del seu

llibre de càlculs Liber Abaci

21

21 1

nnn aaa

aa

SUCCESSIÓ DE FIBONACCI

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 3 a)

Temps inicial : 1 parella de conills no productiva

Passat 1r mes : 1 parella productiva

Passat el 2n mes : 2 parelles =1 productiva i l’altra no

Passat el 3r mes : 3 parelles = 2 productives i 1 no

Passat el 4t mes : 5 parelles : 3 productives i 2 no

…

Passat 12è mes : 233 parelles de conills

http://maralboran.org/web_ma/videos/fibonacci/fibonacci.htm

Donat que el nombre d’or és solució de l’equació :

En podem extreure unes propietats aritmètiques curioses :

Si multipliques l’expressió anterior per què obtens ...

Pots expressar la potència n-èssima de , és a dir, Φ𝑛en funció de

012 xx 101 22

12

ACTIVITAT 3 b

21 nnn

1321...

813...

58...

351223

23112

121

8

7

6

345

234

23

1 nn

n aa

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 3 b)

21 nnn

1321...

813...

58...

351223

23112

121

8

7

6

345

234

23

1 nn

n aa

21

21 1

nnn aaa

aa

Quanta similitud !!!

1. Escriu un nombre natural, el que vulguis

2. Escriu-ne un altre sota d’aquest

3. Escriu un tercer nombre sota del segon, de manera que resulti de la

suma dels dos anteriors

4. Escriu un quart nombre obtingut de la suma de 3r i el 2n

5. I així successivament fins a tenir-ne 10 nombres

6. Suma’ls

Pronostico que la SUMA és divisible per 11

ACTIVITAT 4

I a més, si em dones el 7è terme i jo et

donaré en un segon la suma de tots els 10

Aprofitant els 10 termes que has escrit, construeix dos termes més, fins 𝒂𝟏𝟐 :

Pronostico que:

La suma dels 10 primers termes és igual

al 12è terme menys el 2n terme

ACTIVITAT 4 a)

Aprofitant els 12 termes que has escrit, construeix-ne 8 més, fins 𝒂𝟐𝟎 i divideix el terme 𝒂𝟐𝟎/𝒂𝟏𝟗

Pronostico que:

El nombre obtingut, aproximat al 3r

decimal és 1’618…

ACTIVITAT 4 b)

ACTIVITAT 4 c)

ACTIVITAT 4 d)

1) Si sumem 10 números consecutius de la successió de Fibonacci triats a l' atzar , el

resultat sempre és múltiple d'11:

Exemples :

21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 897 + 1.597 = 4.147 = 11x377

89+ 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1.597 + 2.584 + 4.181 + 6.765 = 17.567 = 11x1.597

De fet , els resultats són iguals a multiplicar per 11 el setè número elegit, en aquests dos

casos, 377 i 1.597

Saps perquè passa i això ??

Propietats de la successió de Fibonacci

ACTIVITAT 4

De fet passa per a qualsevol successió de la forma

𝑎1 = 𝑎𝑎2 = 𝑏𝑎3 = 𝑎 + 𝑏𝑎4= 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 = 𝑎 + 2𝑏𝑎5= 2𝑎 + 3𝑏𝑎6= 3𝑎 + 5𝑏𝑎7 = 5𝑎 + 8𝑏𝑎8= 8𝑎 + 13𝑏𝑎9= 13𝑎 + 21𝑏

+ 𝑎10 = 21𝑎 + 34𝑏

𝒊=𝟏𝟏𝟎 𝒂𝒊 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + ⋯+ 𝒂𝟏𝟎 = 𝟓𝟓𝒂 + 𝟖𝟖𝒃 = 𝟏𝟏 𝟓𝒂 + 𝟖𝒃 = 𝟏𝟏𝒂𝟕

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4

𝑎1 = 𝑎𝑎2 = 𝑏𝑎3 = 𝑎 + 𝑏𝑎4= 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 = 𝑎 + 2𝑏𝑎5= 2𝑎 + 3𝑏𝑎6= 3𝑎 + 5𝑏𝑎7 = 5𝑎 + 8𝑏𝑎8= 8𝑎 + 13𝑏𝑎9= 13𝑎 + 21𝑏𝑎10 = 21𝑎 + 34𝑏𝑎11 = 34𝑎 + 55𝑏𝑎12 = 55𝑎 + 89𝑏

𝒊=𝟏𝟏𝟎 𝒂𝒊 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + ⋯+ 𝒂𝟏𝟎 = 𝟓𝟓𝒂 + 𝟖𝟖𝒃 = 𝒂𝟏𝟐 − 𝒂𝟐

En particular, en la successió

de Fibonacci, com que el 2n

terme és 1 es dóna que :

𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + ⋯ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒏+𝟐 − 𝟏

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4 a)

La successió de Fibonacci és plena d'anècdotes

matemàtiques que faran les delícies dels més curiosos.

Demostració que la successió de Fibonacci

tendeix al nombre d’or :SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4 b)

No es compleix !!! 𝟏𝟑

𝟓≠

𝟖

𝟑≠

𝟓

𝟐

però s’assemblen molt

2’6, 2’666 i 2’5

i per això ens enganya la vista

Fixeu-vos que són fraccions de

termes de la successió

de Fibonacci de la forma 𝑎𝑛+2

𝑎𝑛i com que

𝑎𝑛+1+𝑎𝑛

𝑎𝑛=

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛+ 1

i s’assemblen molt a 1

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4 c)

5𝑥13 = 82-1

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4 d)

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12

𝒂) 𝒂𝒏−𝟏 · 𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏

𝟐− 𝟏 𝒏 𝒔𝒆𝒏𝒂𝒓

1· 3= 3·8= 8·21= 21·55= 55·144=

𝟐𝟐 − 𝟏 = 𝟓𝟐 − 𝟏 = 𝟏𝟑𝟐 − 𝟏 = 𝟑𝟒𝟐 − 𝟏 = 𝟖𝟗𝟐 − 𝟏=

3 24 168 1155 7920

𝐛) 𝒂𝒏−𝟏 · 𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏

𝟐+ 𝟏 𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒍𝒍

1· 2= 2·5= 5·13= 13·34= 34·89=

𝟏𝟐 + 𝟏 = 𝟑𝟐 + 𝟏 = 𝟖𝟐 + 𝟏 = 𝟐𝟏𝟐 + 𝟏 = 𝟓𝟓𝟐 + 𝟏=

2 10 65 442 3026

SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 e) f)

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12

𝒂) 𝒂𝒏−𝟏 · 𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏

𝟐− 𝟏 𝒏 𝒔𝒆𝒏𝒂𝒓

1· 3= 3·8= 8·21= 21·55= 55·144=

𝟐𝟐 − 𝟏 = 𝟓𝟐 − 𝟏 = 𝟏𝟑𝟐 − 𝟏 = 𝟑𝟒𝟐 − 𝟏 = 𝟖𝟗𝟐 − 𝟏=

3 24 168 1155 7920

𝐛) 𝒂𝒏−𝟏 · 𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏

𝟐+ 𝟏 𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒍𝒍

1· 2= 2·5= 5·13= 13·34= 34·89=

𝟏𝟐 + 𝟏 = 𝟑𝟐 + 𝟏 = 𝟖𝟐 + 𝟏 = 𝟐𝟏𝟐 + 𝟏 = 𝟓𝟓𝟐 + 𝟏=

2 10 65 442 3026

𝒂𝒏−𝟏· 𝒂𝒏+𝟏 =

𝒂𝒏

𝟐+ −𝟏 𝒏

per qualsevol n

SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 g)

1) 𝒊=𝟏𝟏𝟎 𝒂𝒊 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + ⋯+ 𝒂𝟏𝟎 = 𝟓𝟓𝒂 + 𝟖𝟖𝒃 = 𝟏𝟏 𝟓𝒂 + 𝟖𝒃 = 𝟏𝟏𝒂𝟕

2) 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+2 − 1

3) El quocient del 20è i 19è termes és 1’618 ja que s’aproxima a lim𝑛→∞

𝑎𝑛

𝑎𝑛−1= Φ

4) Donat que es compleix𝑎) 𝑎𝑛−1 · 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛

2− 1 𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑟

𝒂𝒏−𝟏· 𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏

𝟐+ −𝟏 𝒏 per qualsevol n

I aquestes propietats fan que el nombre d’𝚽 resulti màgic !!!http://www.slideshare.net/tmartine/fibonacci-2-28764288

Propietats de la successió de Fibonacci

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12

b) 𝑎𝑛−1 · 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛

2+ 1 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑙𝑙

SOLUCIÓ 4

a, b… g, h i

N 𝑎𝑛 Successió 𝑎𝑛−1 Proporció entre dos nombres consecutius:𝑎𝑛

𝑎𝑛−1

1 1

2 1 1 1

3 2 1 2

4 3 2 1’5

5 5 3 1’66...

6 8 5 1’6

7 13 8 1’625

8 21 13 1’615384615...

9 34 21 1’619047619...

10 55 34 1’6176747059...

11 89 55 1’6181818...

12 144 89 ...

1n

n

a

alím

RELACIÓ ENTRE EL NOMBRE D’OR I LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI

SOLUCIÓ 4 i

Demostració que la successió de Fibonacci

tendeix al nombre d’or :SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4 j)

Vegem més propietats

de la successió

de Fibonacci !!!

I què passa amb la successió dels

quadrats dels nombres Fibonacci ?

Quant sumen dos nombres consecutius de la successió de Fibonacci obtenim un nombre de la successió, però …

https://www.ted.com/talks/arthur_benjamin_the_magic_of_fibonacci_numbers?language=es#t-139288

ACTIVITAT 4 k

Què passa quant sumem els quadrats de dos nombres

consecutius de la successió de Fibonacci ?

Obtenim un altre nombre de la successió !!! SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4 K

I si anem sumant la successió

dels quadrats ?

Què passarà ?? ACTIVITAT 4 l)

Que el seu resultat és el producte

de dos nombres de la successió de

Fibonacci !!!

I això, per què passa ?

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4 l)

Fixeu-vos que està passant …

1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 = 104 = 8x13

12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82 = 8𝑥13

Però

per què ????

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4 l)

Us ho mostraré amb un dibuix ….

Qu

Quina és l’área d’aquest rectangle ??

ACTIVITAT 4 m)

En un full

quadriculat

comenceu a

dibuixar un quadrat

de costat 34,

després el de costat

21. Tot seguit el de

costat 13, el de

costat 8,5,3,2, 1 i 1

Per una banda , l’àrea del rectangle és la suma

de les àrees del quadrats que el formen

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟓𝟐 + 𝟖𝟐

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4 m)

Per una altra banda , l’àrea del rectangle és base

per altura,

13 x 8

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4 m)

Àrea = 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟓𝟐 + 𝟖𝟐 = 𝟖𝒙 𝟓 + 𝟖 = 𝟖𝒙𝟏𝟑Ara ja sabem el perquè passa :

Hem calculat bé l’àrea

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4 m)

I si això ho fem indefinidament… aquests

rectangles cada cop són més auris !!!

Però a més, s’uneixen les propietats

matemàtiques amb la bellesa geomètrica

ACTIVITAT 4 N)

La bellesa d’una espiral…

la bellesa en què està escrita la natura !!! ACTIVITAT 4 o)

ESPIRALS LOGARÍTMIQUES

http://naukas.com/2012/11/02/por-que-los-huracanes-

tienden-a-formar-una-espiral-logaritmica/

La bellesa del nombre d’

a l’arquitectura !!!

𝜱r

ESPIRALS LOGARÍTMIQUES i

ELS RECTANGLES DINÀMICS

https://www.youtube.com/watch?v=-n1K_gKP_7Q

Però veiem més llocs on apareix la successió de Fibonacci

En el triangle de Pascal

Més curiositats de la

successió de Fibonacci :S’ha estudiat molt la successió de Fibonacci i el

coneixement sobre ella és ampli, però no complet. De

fet, hi ha una conjectura encara sense demostrar :

La successió de Fibonacci conté infinits nombres

primers.

Es coneix com a estrella pentagonal a la qual està

inscrita en un pentàgon regular, i també està relacionada

amb la proporció àuria : el segment D que forma la

diagonal del pentàgon ( o un costat de l'estrella ), al

dividir-lo entre un costat del pentàgon C, dóna com a

resultat la proporció àuria. Aquesta estrella també ha

estat profusament representada, té molt simbolisme i és

fins i tot la base de molts jocs populars, ja que és una de

les formes de tauler més antigues que es coneixen.

És per aquest motiu que fa

belles certes pintures ? LEDA ATÒMICA

SALVADOR DALÍMITJA TASSA GEGANT VOLADORA

L’ÚLTIM SOPAR

LEONARDO DA VINCILA GIOCONDA

ESPIRALS LOGARÍTMIQUES

La disposició dels pètals de les flors, el cargol de mar, la forma de les pinyes

que donen alguns arbres , la distribució de les pipes en un gira-sol, el gruix

que tenen les branques dels arbres ... Totes aquestes coses tenen en comú

que d'una forma o una altra estan relacionades amb la proporció àuria o la

sèrie de Fibonacci.

Per això alguns experts postulen que el nombre Phi 𝚽 sigui al

creixement orgànic el que Pi 𝝅 és al mesurament del cercle: el número

en què estan basats tots els càlculs i fenòmens.

Quina relació matemàtica relaciona el nombre

d’Or amb la natura ?

Cap on tendeix el lim𝒏→+∞

𝒂𝒏

𝒂𝒏+𝟐?

LA PROPORCIÓ ÀURIA A LA NATURALESA

ACTIVITAT 4 p)

Cap on tendeix el lim𝒏→+∞

𝒂𝒏

𝒂𝒏+𝟐?

Pots fer-ho de dues formes diferents :

1. Agafar termes avançats en la successió :

Per exemple 55/144= ???

2. Demostrant-ho en general :

Pots ajudar-te fent servir la següent relació :𝒂𝒏

𝒂𝒏+𝟐=

𝒂𝒏

𝒂𝒏+𝟏.𝒂𝒏+𝟏

𝒂𝒏+𝟐

ACTIVITAT 4 p)

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4 p)1. Agafar termes avançats en la successió :

Per exemple 55/144= 0’38194…

89/233=0’38197…

2. Demostrant-ho en general :

Pots ajudar-te fent servir la següent relació :

𝒂𝒏

𝒂𝒏+𝟐=

𝒂 𝒏

𝒂 𝒏+𝟏∙𝒂 𝒏+𝟏

𝒂 𝒏+𝟐=

𝟏𝒂 𝒏+𝟏𝒂 𝒏

∙𝟏

𝒂 𝒏+𝟐𝒂 𝒏+𝟏

Aplicant límits a cada costat :

lim𝒏→∞

𝒂𝒏

𝒂𝒏+𝟐= lim𝒏→∞

𝟏𝒂 𝒏+𝟏𝒂 𝒏

∙𝟏

𝒂 𝒏+𝟐𝒂 𝒏+𝟏

=𝟏

𝚽∙𝟏

𝚽=

𝟏

𝚽𝟐 = 𝟎′𝟑𝟗𝟏𝟗𝟏𝟔𝟔….

L’angle d’or mesura 𝟏𝟑𝟕′𝟓𝝄 =𝟑𝟔𝟎°

𝜱𝟐

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4 q)

LES LLAVORS DELS GIRA-SOLS i LES ESPIRALS DE LES PINYES

A més, si dividim 360º / = 222’5º360º - 222’5º = 137’5º tornarem a tenir l’angle auri

ELS PÈTALS DE LES FLORS

Un dels motius pels quals

aquesta xifra porta segles

fascinant els que l'estudien

és que es troba de forma

natural en els llocs més

insospitats. Per exemple, la

proporció entre abelles

femella i mascle en un rusc

sol ser similar a la proporció

àuria.

Ja que parlem d'abelles, aquestes compleixen amb una altra regla ,

en aquesta ocasió relacionada amb la successió de Fibonacci : els

mascles tenen un arbre genealògic que la compleix :

Un abellot ( 1) neix d'un ou no fecundat, de manera que només té

mare ( 1) i no pare. La seva mare , en ser femella , va tenir dos

progenitors ( 2). Aquests, mascle i femella van tenir en total tres

progenitors ( 3) , la mare del mascle i la mare i el pare de la femella ,

és a dir , dues femelles i un mascle. Això vol dir que van tenir cinc

progenitors al seu torn ( 5) ... A mesura que ascendim , la regla es

segueix complint

1.Aïlla de l’expressió anterior el nombre d’or , et sortirà

una expressió del nombre d’or com a resultat de fer

infinites d’arrels

2.Divideix l’expressió pel nombre d’or, et sortirà una

expressió del nombre d’or com una divisió infinita

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4 q)

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 4 q)

Els mòbils tenen antenes fractals per posseir la característica de l’auto semblança

I una altra característica que els fa especials és la seva dimensió fraccionaria

https://www.youtube.com/watch?v=rHLi79mdF2Y

3 llaunes 9 llaunes 27 llaunes 81 llaunes 243 llaunes

729 llaunes

https://www.youtube.com/watch?v=_qYn1TXJbqo

EL RECTANGLE D’OR

Són aquells rectangles els costats del qual guarden una relació àuria.

Com es construeix un rectangle d’or ?

Demostra que el quocient entre el costat major AE i el costat menor EF

del rectangle construït de la manera anterior és un rectangle auri

𝑨𝑬

𝑬𝑭= 𝚽? ? ?

ACTIVITAT 5

EL RECTANGLE D’OR Són aquells rectangles els costats del

qual guarden una relació àuria. Com

es construeix un rectangle d’or ? :

𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 𝑥 →𝐴𝐸

𝐸𝐹=

𝑥

2+𝑀𝐸

𝑥=

𝑥

2+𝑀𝐶=

𝑥

2+

𝑥

2

2+𝑥2=

5𝑥2

4

𝑥=

𝑥

2+

𝑥

2· 5

𝑥=1+ 5

2= Φ

SOLUCIÓ

ACTIVITAT 5

EL RECTANGLE D’OR :El quocient entre els seus costats és Ф=1’61..

I d’aquí surt l’espiral logarítmica que hi ha en els cargols, en les Galàxies, en la nostra orella,…, fins i tot en les faccions

de les cares més boniques!!!

El rectangle AEFD és un rectangle d’or ja que AE/AB=Φ,però també ho serà

el rectangle BEFC ja que EF/BE=Φ. D’aquesta manera es pot construir l’espiral

d’or, que és l’espiral de centre les dues diagonals

Serà un rectangle d’Or o rectangle auri si …

La bellesa del nombre d’or com a reclam publicitari

http://blocs.xtec.cat/elfildelesclassiques/2009/07/30/el-discobol-com-a-reclam-publicitari/

LA PROPORCIÓ ÀURIA AL COS HUMÀ

ALÇADA (cm) ALÇADA MELIC (cm) PROPORCIÓ

1 163 102 1’6

2 166 103 1’612

3 169 108 1’565

4 175 105 1’67

LE CORBUSIER

STEPHEN MARQUARDT

- La raó entre l’alçada total d’una persona

i l’alçada fins al melic

- La raó de la longitud del braç i la

longitud de la mà al colze

- La raó entre l’amplada i la llargada

de la cara

- La raó entre la primera falange de la mà

i la segona, i entre la segona i la tercera

- La raó entre la longitud de la cama i

la longitud del peu al genoll

-La raó entre la longitud del colze al

canell i del canell a la punta dels dits

de la mà- L'úter d'una pacient té un aspecte normal si

en dividir la seva alçada per la seva amplada , el resultat ha de ser proper a 1,618

ACTIVITAT 6

ACTIVITAT 6

Si complir amb la proporció àuria fa que el cos d'una estàtua sigui bell i

estètic , hi ha persones reals que ens resultin especialment atractives pel

mateix? Pel que sembla si. Kelly Brooks és una model britànica, i ha estat

triada com la dona més pròxima a la proporció àuria, segons el cirurgià

plàstic Patrick Malluci i la Universitat de Texas

Es diu que l’historiador grec Heròdot

va aprendre dels sacerdots egipcis que

l’alçada al quadrat de la Gran Piràmide

era igual a l’àrea de les seves cares

triangulars” Perquè era tant important

aquesta afirmació ?

Segons aquesta afirmació :

Si anomenem x alçada de

les cares triangulars i 2a el

costat de la base

Heròdot afirma que :

h2= x· a,

ACTIVITAT 7

Si anomenem x alçada de les cares

triangulars i 2a el costat de la base tenim que,

segons Heròdot que :

h2= x· a aleshores

ℎ2 + 𝑎2 = 𝑥2

𝑥𝑎 + 𝑎2 = 𝑥2

dividint tota l’expressió per 𝑎2

𝑥𝑎 + 𝑎2 = 𝑥2

𝑎2

𝑥

𝑎+ 1 =

𝑥

𝑎

2

𝑥

𝑎

2

−𝑥

𝑎− 1 = 0

𝑥

𝑎= 𝛷

Per tant, la relació entre l’altura de la cara lateral i la meitat del costat de la base és el

nostre nombre !!!

x

h

a

El nombre Ф en les construccionsarquitectòniques :

La piràmide de Keops i El Partenó d’Atenes

I en la construcció dels violins !!

LA PROPORCIÓ ÀURIA EN ARQUITECTURA

61'122'19

95'3030’95 metres l’amplada

de la façana19’22 metres l’alçada

CLAUDE DEBUSSY“Veuràs, a la pàgina 8 de Jardinssous la Pluie, que falta un compàs –és culpa meva, a més a més, ja queno és al manuscrit. De tota manera,és necessari, pel que fa al nombre;el nombre dví.”

LUDWIG VAN BEETHOVEN

El famós fabricant

d'instruments

Antonio Stradivari

(XVII i XVIII) posava

molta cura a situar

les obertures en els

seus violins en

consonància amb la

proporció àuria.

Segurament es

tractés més d'una

qüestió estètica que

sonora , ja que no hi

ha indicis que això

tingui cap impacte en

la qualitat del so dels

instruments

12

21 nnn

PROPIETATS DEL NOMBRE D’OR

...1111

...1

11

11

11

11

11

1

12

11

11

11

012

1321...

813...

58...

351223

23112

121

8

7

6

345

234

23

Fibonacci

Vegem més relacions amb

de la successió

de Fibonacci i el nombre d’ 𝚽r !!!

El terme general de la successió

de Fibonacci 𝑭𝒏 = 𝑭𝒏−𝟏+𝑭𝒏−𝟐

Però i sense recurrència ???

𝐹𝑛 =Φ𝑛 − −Φ)−𝑛

2Φ − 1

𝐹𝑛 =

1+ 5

2

𝑛

−1− 5

2

𝑛

5=Φ𝑛−

−1

Φ

𝑛

5

Φ𝑛 = 𝐹𝑛Φ + 𝐹𝑛−1

Exercici 21 – Proves Cangur 2016 – 2n BAT ( 5punts )

En un bloc de deu pisos, hem de pintar cada planta en blau o en groc, però dues

plantes consecutives no poden estar pintades de color blau.

De quantes maneres diferents podríem pintar el bloc de pisos ?

A) 126 B) 132 C) 140 D) 144 E) 252

1ª planta 2ª Planta 3ª planta 4ª planta 5ª planta 6ª planta

B G BGBGBG

B G B BGBGGB

G G BGBGGG

B BGGBGB

B G B G G BGGBGG

B G BGGGBG

B BGGGGB

G G G G BGGGG

B GBGBGB

B G G GBGBGG

B G GBGGBG

B GBGGGB

B G G G G GBGGGG

B G GGBGBG

G B G G B GGBGGB

B G

G B

G G G

2 3 5 8 13 21

A la 7ª planta 34, 8ª planta 55, 9ª planta 89 i 10ª planta 144 maneres diferents

1. El seu descobriment l'hi debem, com tantes altrescoses, als grecs. Ells li van donar un tractamentbàsicament geomètric, i va ser Euclides en la sevaobra Elements un dels primers que es va referir aaquest concepte.

1. La fascinació per la proporció àuria ha estat tal alllarg de la història que en 1509 el matemàtic i teòlegitalià Luca Pacioli va publicar un llibre titulat LaDivina Proporció en el qual donava cinc raons que

justificaven la divinitat del nombre auri :

a) La unicitat del número, que s'assembla a la de Déu;

b) El fet que estigui definit per tres segments d'una

recta, que s'assembla a la Trinitat;

c) La incommensurabilitat del nombre, igual que Déués incommensurable;

d) Déu és omnipresent i invariable, igual que ho ésaquest nombre;

Per saber-ne més :

http://maralboran.org/web_ma/videos/fibonacci/fibonacci.htm

e) Déu va donar vida a l'univers a través de la cinquena essència, l’èter, representada per un dodecaedre i

el nombre auri va donar vida al dodecàedre.

Sòlids platònics : El foc : Tetràedre, terra : cub, aire : octàedre i aigua : icosàedre

Seguim parlant de la suposada relació entre la divina proporció i la divinitat:

f) No són pocs els que asseguren que la Bíblia està esquitxada de referències a aquest concepte ja que és

una forma que sembla agradar a Déu. En les instruccions per a l'Arca de l'Aliança que va donar a Moisès,

com les que va donar a Noè per a l'altra arca, demana unes proporcions 5x3 (casualment, dos nombres de

la successió de Fibonacci) que donen com a resultat 1,666, molt proper a phi

Però per descomptat la seva parent aritmètica, la successió de Fibonacci, va sorgir d'un problema molt més

mundà, relacionat amb la reproducció dels conills, que va plantejar Leonardo Pisano, Fibonacci, en el seu

Llibre de l'àbac en 1202

Els sòlids platònics

Els políedres regulars, s’anomenen també platònics, per haver fet Plató referència a ells en el seu diàlegTimeo per a explicar l’Univers.

Es fàcil veure que els políedresplatònics són sols cinc.

Plató els associava així:

Tetràedre foc

Octàedre aire

Hexàedre Terra

Icosàedre Aigua

Dodecàedre éterKepler: Harmonia mundi libri V, Linz 1619

El rectangle àuri

Els cinc políedres regulars estan íntimament relacionats amb el rectangle àuri.

M

(punt mig)

quadrat

La construcció d’un rectangle àuri a partir d’un quadrat és la següent:

Si el costat del quadrat mesura 1, la dimensió major del rectangle àuri és:

1 5

2b

Es a dir, el nombre d’or Φ

b= Φ=1´618…

Políedres platònics

Partim de tres rectangles àuris que es tallen perpendicularment segons les tres direccions de l’espai

Unint els dotze vèrtex dels tres rectangles obtenim:

L’icosàedre

Partim de tres rectangles àuris que es tallen perpendicularment segons les tres direccions de l’espai

Unint els dotze vèrtex dels tres rectangles obtenim:

Políedres platònics

Políedres platònics

És el cub el centre del qualcoincideix amb el centre de l’estructura formada pels 3 rectangles àuris, i les cares del qualsón paral·leles a aquests rectanglesi d’aresta el costat menor.

Tornant als tres rectangles àuris, podem ara construir

L’exàedre

Políedres platònics

Unint els centres dels costatsmenors dels rectangles àurisobtenim l’octàedre.

L’octàedre

Políedres platònics

Unint els centres dels costats menors dels rectangles àuris obtenim l’octàedre.

L’octàedre

Políedres platònics

Si des d’un vèrtex del cub tracemles tres diagonals de cara que parteixen d’aquest vèrtex, i unim elsaltres tres extrems d’aquestes tres diagonals, obtenim el tetràedreregular.

El tetràedre

Políedres platònics

El tetràedreSi des d’un vèrtex del cub tracemles tres diagonals de cara que parteixen d’aquest vèrtex, i unim elsaltres tres extrems d’aquestes tres diagonals, obtenim el tetràedreregular.

Els 20 vèrtex del dodecàedre es troben: 12 d’ells, per parelles, sobre cadascun dels costats menors delsrectangles àuris i els 8 restants sónels vèrtex del cub interior.

Per últim,

Políedres platònics

El dodecàedre

A ti, maravillosa disciplina,

media, extrema razón de la hermosura

que claramente acata la clausura

viva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina,

áurea sección, celeste cuadratura,

misteriosa fontana de mesura

que el Universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños angulares,

flor de las cinco formas regulares

dodecaedro azul, arco sonoro.

Luces por alas un compás ardiente.

Tu canto es una esfera transparente.

A ti, divina proporción de oro.

Rafael Alberti, “La divina proporción”

Els orígens del nombre d’OR http://tube.geogebra.org/student/m1099173

Construcció dinámica d'Euclides de la secció àuria d'un segment

http://tube.geogebra.org/student/m88036

DIVISIÓ ÀURIA D’UN SEGMENT

DIVISIÓ ÀURIA D’UN SEGMENT

EL TRIANGLE D’OR :

Són aquells triangles els costats dels quals estan en raó àuria. N’hi ha de dos tipus: 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙

𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙= Φ 𝑞𝑢𝑒 𝑠ó𝑛 𝑎𝑐𝑢𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 𝑖 𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒

𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙

𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙=Φ 𝑞𝑢𝑒 𝑠ó𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑠𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠

LA PROPORCIÓ ÀURIA EN FOTOGRAFIA

BRUCE BARNBAUM

Tenien alguna intenció de fer aparèixer la proporció àuria a les seves fotografies?

L’ART GÒTIC

“Quan tot està basat en una mesura fixa, l’església simplement és maca. La proporció és el cor de la

bellesa.”

CATEDRAL DE NOTRE DAME, PARÍS

41 metres d’amplada43 metres fins a la base de les torres

63 metres fins al capdamunt de les torres

...629'159'15

41'25

41'2559'1541 metres

LA CATEDRAL DE BARCELONA

L’ART BARROC

SANT PERE DEL VATICÀDIMENSIONS

186 metres de llargada fins la porta218’7 metres de longitud fins al pòrtic

71 metres d’amplada a la part més estreta114’69 metres d’amplada de la façana136’57 metres d’alçada fins la cúpula

2619'271

186

62'169'114

186 601'1

57'136

7'218

PLACE DU NOMBRE D’OR, MONTPELLIER

“Les proporcions de la plaça són de 13000 m2 i deu el seu nom a la fórmula del nombre d’or utilitzada per donar als

edificis, escultures i monuments, proporcions particularment

harmonioses.”

TALLER D’ARQUITECTURARICARDO BOFILL

ALGUNES FAL·LÀCIES

ELS ANELLS DE SATURN

www.goldennumber.net

199'114600

17500457'1

17500

25500

95'17500

14600747'1

14600

25500

LES PIRÀMIDES D’EGIPTE

“VA UTILITZAR MOZART LA SECCIÓ ÀURIA?”

HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=B

RPRDUGZO9E

https://www.youtube.com/watch?v=kxhYMHE5mwc