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ING. MECANICA DE FLUIDOS

La Ley de Darcy

La Ley de Darcy describe, de forma empírica el flujo de agua a través de medios porosos. La Ley, denominada con el nombre de su descubridor (Henri Darcy, 1856) fue desarrollada a partir de una diversa serie de experimentos ejemplificados en la figura siguiente. Una de las formas matemáticas de expresar la Ley de Darcy, de acuerdo con el anterior experimento, es como sigue:

v=QA

donde v es la descarga específica ([L/T]), Q el caudal de entrada y salida del cilindro ([L3/T]) y A el área del cilindro ([L^2]). Los experimentos de Darcy mostraron que v es directamente proporcional a la diferencia de nivel entre la entrada y la salida del cilindro (h) cuando la longitud del mismo es constante (l) e inversamente proporcional a su longitud (l), mientras h se mantiene constante. De esa manera, también podemos expresar la Ley como:

en la que dh es la variación de la carga hidráulica o del nivel piezométrico y dldh el gradiente hidráulico. K ([L/T]) es una constante de proporcionalidad, característica del


medio y del tipo de fluido que circula a través de él, y que recibe el nombre de conductividad hidráulica. A veces la existencia de cierto potencial osmótico en materiales arcillosos puede explicar lo que ha quedado en denominarse el gradiente umbral, o gradiente por debajo del cual el agua no se mueve o no sigue el comportamiento lineal definido por la Ley de Darcy.

Combinando las ecuaciones anteriores, vemos que la Ley de Darcy también puede escribirse como:

Concepto del gradiente hidráulico del nivel freático en un acuífero libre

Es importante definir un parámetro que describa las propiedades conductivas del medio poroso, independientemente del fluido que lo atraviese. La viscosidad de un fluido es una propiedad que permite que el mismo resista el movimiento relativo de las partículas que lo componen. La viscosidad cinemática de un fluido viene dada en función de la viscosidad dinámica (M/LT) y de la densidad(M/L3 ) del fluido, por:


Considerando la ecuación obtenida para la Ley de Darcy, vemos que la conductividad hidráulica K está relacionada con la viscosidad cinemática del fluido mediante la siguiente expresión:

El parámetro k se conoce como permeabilidad intrínseca o específica o, simplemente, permeabilidad. La permeabilidad es función tan sólo del medio y sus dimensiones son [L^2].

Los materiales geológicos tienen igualmente la particularidad de no ser isótropos frente a algunos parámetros hidráulicos como por ejemplo, y en particular, la permeabilidad y/o la conductividad hidráulica. De hecho, la conductividad hidráulica puede presentar un marcado carácter anisótropo en función de la dirección de flujo de las aguas subterráneas. La anisotropía en la transmisión del agua de las diferentes formaciones geológicas acuíferas puede ser debida a diversos factores de índole sedimentario, metamórfico, tectónico o incluso de deformación y/o fracturación.


VELOCIDAD DE FLUJO

Vector cuya componente en una dirección es el caudal que atraviesa la cantidad de superficie perpendicular a la dirección.

v = magnitud del vector

q = caudal que atraviesa el tubo

s = área de la sección transversal de dicho tubo

Henry Darcy demostró experimentalmente, en el año 1856, para el flujo unidireccional del agua la siguiente ley:

v = ki

siendo k una constante de proporcionalidad que recibe el nombre de “coeficiente de permeabilidad”, y que tiene dimensiones de una velocidad.

La ecuación anterior, extendida a tres dimensiones, toma la forma vectorial:

En general, en un líquido newtoniano la ecuación queda:

= coeficiente de viscosidad del fluido

t = peso específico


k´= constante de proporcionalidad que se llama permeabilidad

física, la unidad de carga de k´ en el sistema c.g.s. es el cm2.

Condiciones hidrodinámicas necesarias para que se cumpla la ecuación:

1. Medio poroso continúo.2. Aplicación análisis diferencial.3. Las fuerzas de inercia son despreciables respecto a las fuerzas de viscosidad,

como consecuencia el flujo es laminar.4. Los poros están saturados.5. Existe proporcionalidad entre el esfuerzo de corte aplicado al fluido y la

velocidad de deformación al corte.6. El sólido poroso es rígido e isótropo.

Suelos anisótropos:

Los suelos anisótropos que se representan en la naturaleza suelen tener tres planos ortogonales de simetría que se cortan según tres ejes principales x, y, z. Las ecuaciones equivalentes a las anteriores serán:

siendo kx, ky y kz los coeficientes de permeabilidad en las direcciones x, y, z, respectivamente.


Validez de la ley de Darcy:

Número de Reynolds:

Diversos investigadores han encontrado que el valor del número de Reynolds, R , a partir del cual deja de cumplirse la ley de Darcy, oscila entre 1 y 12. En este caso, el número de Reynolds viene dado por la siguiente expresión:

en la cual:

v = velocidad de flujo

DS = diámetro de la partícula cuya superficie específica es igual a la del conjunto

= densidad del fluido

= coeficiente de viscosidad del fluido

Para números de Reynolds superiores a 12 la importancia de las fuerzas de inercia en el flujo hace que obtengamos la siguiente expresión:

i = a + bv2

Para números de Reynolds comprendidos entre 60 y 12 el flujo se hace turbulento.


SUELOS PARCIALMENTE SATURADOS:

En los suelos parcialmente saturados existen dos fluidos en los poros: agua y aire. La ley de Darcy ha sido obtenida para un solo fluido, por tanto, no es aplicable, en principio, en este tipo de suelos.

Las burbujas de aire taponan parte de los poros en que se encuentran, y no permiten el paso del líquido cuando éste es el permeante. Por ello la permeabilidad al agua de un suelo parcialmente saturado suele ser menor que la del mismo suelo saturado. Por este motivo, la permeabilidad de un suelo parcialmente saturado aumenta con el paso del tiempo durante el que está expuesto al paso del agua, porque su grado de saturación va aumentando a medida que más y más burbujas van siendo arrastradas por el agua, y a medida que el aire va siendo disuelto en el agua.

El coeficiente de permeabilidad de suelos parcialmente saturados aumenta al aumentar la presión del líquido, pues esto provoca un incremento en la cantidad de gas disuelta y, por tanto, una disminución en el espacio ocupado por burbujas gaseosas.

SUSTANCIAS ARCILLOSAS SATURADAS:

Para la ley de Darcy en los suelos arcillosos saturados hay dos teorías:

La primera teoría dice que no comienza a circular agua hasta que el gradiente hidráulico no supera un determinado “umbral” i0, y que a partir de ese momento la relación entre v e y es aproximadamente lineal, de modo que la ecuación se transformaría en:

v = 0 para i< i0

v = k(i-i0) para i >i0

La segunda teoría dice que el coeficiente de permeabilidad aumenta con el gradiente hidráulico. La velocidad de flujo aumenta con el gradiente hidráulico según una curva hasta llegar a un valor i1 en que se convierte en una recta. La ecuación se convierte en:

v = kim (m > 1)para i < i1

v = k(i-i0) para i > i1


el cumplimiento de esta ecuación depende del tipo de arcilla.

influencia de la anisotropía en la permeabilidad:

De los resultados de diversos ensayos se deduce que la relación entre las permeabilidades horizontal y vertical de una arcilla aumenta con:

a) la máxima tensión efectiva vertical que ha sufrido la arcilla en el pasado.

b) cada nuevo ciclo de carga.

c) el porcentaje de fricción de arcilla.

FLUJO UNIDIMENSIONAL

En estos casos, el gasto de filtración, el gradiente y la carga en cada punto se obtienen utilizando la ley de Darcy y otros principios básicos de la hidráulica.

Si consideramos un filtro de suelo (de la figura 1), análogo al de la figura 2. Se representa al suleo dividido en sus dos fases de solidos y vacios. Observamos que en esta situación, el área disponible para el paso del agua es Av, en lugar de A, tal como se supso en la Ley de Darcy. Si el tubo libre que el suelo; por lo tanto, teniendo en cuenta la condición de continuidad, se puede escribir:

Figura 1

Esquema que ilustra la distinción entre velocidad de descarga y la de filtración.

Figura 2, esquema del dispositivo experimental de Darcy


Av*v1 =A*v

De donde:

V1=A/A1 * v

Considerando al filtro un espesor unitario normal al papel, se tiene:

AAv

=1n=1+ee

Por lo tanto:

v1=1+ee

∗v

La velocidad v que se deduce directamente de la ley de Darcy, se llama velocidad de descarga o, simplemente, velocidad. La velocidad v1 que toma en cuenta la existencia de una fase solida de avance del agua en la dirección del flujo.

Sin embargo, en la obtención de la velocidad de filracion se supuso que el agua tenia trayectoria recta al pasar a lo largo del filtro, por lo cual no representa la velocidad con la que el agua se esta moviendo. El agua no recorre la longitud L al Atravesar el suelo, sino una línea sinuosa o irregular de longitud Lm. Entonces si V2 es la velocidad medir el, podrá escribirse:

v2=v1∗Lml

=

1+ee

∗Lm

L∗v

Una velocidad media mas real podría encontrase solamente si se conocen las variaciones del área de los poros en cada canal.

FLUJO REGIONAL UNIDIMENSIONAL

Si consideramos el fluj en el nivel freático en un acuífero, sujeto a recarga por encima. Consideraremos una sección vertical transversal bidimensional y aplicamos un promedio vertical. Para obtener una ecuación gobernante unidimensional.

En la figura se muestra un esquema del sistema el cual muestra una sección transversal vertical con variables


independientes x y z. las fronteras se ubican en x=0 y x=1, por simplicidad asumimos que el acuífero esta debido de una formación impermeable (z=0).

Como ejemplo consideramos el caso de una isla extensa y esta limitada a la dercha y a la izquierda por las condiciones, donde B es la distancia entre l fondo del acuífero y el nivel del mar. Entonces la solución para h(x) toma la forma :

h ( x )=√ NK x (1−x )+B2

se puede ver que sin recarga no hay nada que incite al flujo y la solución es simplemente h(x) = B. con recarga la solución se puede rescribir como :

h2 ( x )−B2=[h ( x )−B] [h ( x )+B]= NKx (1−x)

De esta solución se obtiene dos obs.: la primera; la solución es simétrica respecto del punto medio del dominio (x=l/2), que es donde se encuentra el nivel máximo del nivel freático. Esto es porque las dos condiciones de frontera tienen el mismo valor. Entonces el agua se infiltra y se une al sistema de flujo, y fluye hacia la fronteras izquierda y derecha. La segunda obs. Es que cuando el incremento en la carga h sobre B es pequeño respect6o del grosor de B, la no linealidad del problema no es significativa y la transmisividad puede se razonable aproximada.

Entonces cuando, la carga h no difiere mucho del grosos de B, en ese caso términos e2, se pueden despreciar por que son muy pequeños. La sustitución de h en la solución da:

[h ( x )−B ] [h (x )+B ]= [εB ] [2B+εB ]=2 ε B2+ε2B2≈2 ε B2=2B [h ( x )−B ]= NKx (1−x )

Lo cual resuelta para h(x) da: h ( x )=B+ N2KB

x (1−x )

PIEZOMETROS


Los piezómetros, instrumentos utilizados para medir la presión del agua, tienen las siguientes aplicaciones típicas:

Monitorización de la presión del agua, para determinación de coeficientes de seguridad en terrenos rellenados o excavaciones;

Monitorización de la presión del agua para evaluación de la estabilidad de contrafuertes o terraplenes;

Monitorización de sistemas de drenaje en excavaciones; Monitorización de sistemas de mejora del suelo, como por ejemplo drenajes

verticales; Monitorización de la presión del agua en diques.

Piezómetro de cuerda vibrante

Los piezómetros de cuerda vibrante son los más comúnmente utilizados en grandes obras, y son adecuados para la mayoría de las aplicaciones. Tienen un lector de cuerda vibrante para presiones, y un cable eléctrico. Pueden ser instalados en perforaciones, o colocados dentro de terrenos rellenados, o suspendidos en tubulados. Las lecturas son realizadas a través de unidades de procesamiento de datos (dataloggers), y pueden ser automatizadas.

Ventajas:Permiten realizar fáciles lecturas, tienen muy buen precisión, una buena respuesta en todos los tipos de suelos, fácil automación, y lecturas remotas confiables.

Limitaciones:Deben ser protegidos de descargas eléctricas.

Piezómetro neumático

Los piezómetros neumáticos operan a través de presión de gas. Este tipo de


piezómetro consiste en un lector neumático, con tubos de circulación de gas conectados a una válvula piezométrica. Las lecturas son hechas en un lector neumático, en el cual es inserido gas nitrógeno, y luego se hace la medición de la presión correspondiente de agua en la válvula piezométrica.

Ventajas:Confiables, ejecución razonablemente simple, que no depende de electricidad.

Limitaciones:Depende de un operador, y demanda un mayor tiempo de lectura, en el caso de tubos de mayor longitud.

Piezómetro tipo casa grande

De ejecución simple, estos piezómetros consisten en perforaciones seguidas por inserción de un revestimiento y un bulbo de arena. A través de un lector de nivel de agua, medidas tomadas directamente desde la superficie permiten realizar lecturas de la napa freática.

Ventajas:Simple, no es eléctrico, ni hay necesidad de calibrarlo.

Limitaciones:Depende de un operador, las lecturas requieren la presencia de un técnico, es lento para mostrar cambios en la presión de agua.

Tabla con un resumen de las características de los piezómetros

Casagrande Neumático Cuerda Vibrante

Respuesta Lenta Rápida Rápida

Precisión Alta Media Alta

Automación Imposible Difícil Simple

Conexión a un data-logger No No Sim


Riesgo potencial de daños por descargas eléctricas No No Sí

ECUACION DE LAPLACE

Consideramos una hiera de tablaestacadas hincadas en un estrato de suelo permeable, como muestra la figura a. suponemos que la hiera de tablaestacada es impermeable. El flujo de régimen permanente de agua de la zona aguas arriba a la zona aguas abajo a través del estrato permeable es un flujo bidimensional. Para el flujo en el punto A, consideramos un bloque elemental de suelo. El bloque tiene dimensiones dx, dy y dz (la longitud dy es perpendicular al plano del papel); este se muestra amplificado en la figura 1(a). Sena vx y vz las componentes de la velocidad de descarga en las direcciones horizontal y vertical, respectivamente. La tasa de flujo del agua en el bloque elemental en la dirección horizontal es igual a vxdzdy, y en la dirección vertical es vzdxdy. Las tasas de flujo de salida desde el bloque en ls direcciones horizontal y vertical son:

Respectivamente. Considerando que el agua es incompresible y que no hay cambio de volumen e la masa del suelo, sabemos que la tasa total del flujo de entrada debe ser igual a la tasa del flujo total de salida. Así entonces.


FIGURA (a) tablaestacadas hincadas en un estrato permeable, (b) flujo en A

Con la ley de Darcy, las velocidades de descarga se expresan como


Donde kx y kz son las permeabilidades en las direcciones vertical y horizontal, respectivamente.

Si el suelo es isótropo con respecto a la permeabilidad, es decir, kx=kz, la ecuación anterior de continuidad para el flujo bidimensional se simplifica a

FLUJO BIDIMENSIONAL

Suponemos que el suelo es homogéneo e isotrópico con respecto a la permeabilidad. Sobre el plano x-z se puede escribir la ley de Darcy como:

Vx=KIx=−Kdhdx

Vz=KIz=−Kdhdz

El volumen de agua que entra al elemento por unidad de tiempo, es:

Vxdydz+Vzdxdy

Y el volumen de agua que sale por unidad de tiempo, es:

(Vx+ dVxdx dx)dydz+(Vz+ dVzdz dz )dxdyLa diferencia entre el volumen de agua que entra al elemento por unidad de tiempo, y el volumen que de el sale, debe ser cero, por tanto


dVxdx

+ dVzdz

=0

Que es la ecuación de continuidad en dos dimensiones. Sin embargo si el volumen del elemento sufre modificación la ecuación de continuidad se convierte en

( dVxdx + dVzdz )dxdydz=dVdt

Donde dV/dt es la variación de volumen por unidad de tiempo.

Ahora. Sea (x, z) denominada función potencial, tal que

ddx

=Vx=−K dhdx

ddz

=Vz=−K dhdz

De la ecuación de continuidad y las ecuaciones anteriores es evidente que

d2

dx2+ d

2

dz2

La función (x, z) satisface la ecuación de Laplace, integrando la ecuación de función potencial vista tenemos

∅ (x , z )=−−Kh (x , z )+C

Donde C es una constante

Quedando especificada una familia de curvas a lo argo de cada una de las cuales, la craga total es un valor constante. Esas currvas reciben el nombre de equipotenciales.

Si introducimos una segunda función (x, z) denominada función de flujo tal que

-d/dx = Vx=-k dh/dz

d/dz =Vz = -k dh/dx

se puede demostrar que también esta función satisface la ecuación de Laplace. El diferencial total de la función (x, z) es

d= ddxdx+ d

dzdz=−Vzdx+Vxdz


Si esta función (x,z), se le da un valor constante 1 enonces d = 0 y

dzdx

=VzVx

Entonces la tangente a cualquier punto de la curva representada por (x,z) = 1

Especifica la dirección de la velocidad de descarga resultante en ese punto: por lo tanto, la curva representa el recorrido de flujo.

Al conjunto de estas curvas se le denomina líneas de flujo.

REDES DE FLUJO

La red de flujo es una representación gráfica de la solución de la ecuación de Laplace para f y y con las condiciones de frontera existentes en el flujo.

Esta constituida por líneas equipotenciales separadas igualmente en f y por líneas de corriente igualmente separadas en y. Esta separación se conoce como canal de flujo o canal de corriente. Todas las intersecciones de la red son ortogonales.

Propiedades de las redes de flujo:

· El caudal que fluye entre dos líneas consecutivas es el mismo por unidad de ancho.

· Ni las líneas equipotenciales pueden cortarse entre sí, dentro del medio fluido, ni las líneas de corriente pueden cortarse entre sí dentro del medio fluido.

Se trata entonces de definir en cada caso las condiciones de frontera específicas del problema y trazar, cumpliendo con estas, las dos familias de curvas ortogonales, obteniendo así una verdadera imagen gráfica del problema, que si a sido realizada con cuidado podrá ser lo suficientemente buena para los fines ingenieriles.

Para el trazo de una red de flujo se tienen los siguientes pasos:

· Dibujar los limites del dominio

· Fijar tentativamente 3 ó 4 líneas de corriente.

· Trazar tentativamente equipotenciales, ortogonales a las líneas de corriente

· Ajustar


· Comprobar la bondad del ajuste si al trazar las líneas diagonales de los cuadros se

obtienen también curvas suaves, formando una nueva red

CALCULO DEL CAUDAL

Al trazar cualquier red de flujo se dibujan las equipotenciales de tal manera que la Dh sea la misma y que el Dq entre dos líneas de corriente sea el mismo.

Se tendrá entonces que:

Dq = KaDh/b

Si nf es el número total de canales de la red y nc el número de caídas de potencial que hay en toda la zona de flujo, entonces podrá escribirse:

Dq = q/nf y Dh = h/nc

Donde q y h son el caudal unitario total y la carga total.

A partir de lo anterior se puede llegar a que:

q/nf = Ka h/nc

q = (nf/nc) (a/b) kh

Puesto que q, k, h, nf y nc son constantes para una red de flujo dada, la relación a/b debe serlo también. Esta condición implica que se estén cumpliendo las dos condiciones iniciales (que la Dh sea la misma y que el Dq entre dos líneas de corriente sea el mismo).

El término nf/nc depende únicamente de la forma de la región de flujo, se le conoce como factor de forma y se representa:


Ff = nf/nc

El calculo de las presiones hidrodinámicas en el agua que se infiltra a través de la región de flujo, es una de las aplicaciones más útiles de una red de flujo.

FUERZAS DE INFILTRACIÓN

El agua circulando en un medio poroso, imparte energía a los granos sólidos por fricción. Considérese un volumen de arena confinado, en el cual se tiene un nivel de agua h1 antes y un nivel h2 después de la arena.

La fuerza resultante en el volumen de arena es:

F = P1 – P2

Donde:

P1 = gh1A P2 = gh2A

A es el área transversal de la muestra.

Sustituyendo:

F = (h1 – h2) gA

La dirección de F es paralela al flujo y puede localizarse dependiendo de la posición del centro de gravedad del elemento analizado.

Para suelos anisotrópicos, debe utilizarse el concepto de sección transformada.


EJEMPLOS DE REDES DE FLUJO


EJEMPLO

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