MotivaciónJerarquía de Chomsky

La Jerarquía de ChomskyApuntes sobre la Complejidad

Universidad de Cantabria

Jerarquía de Chomsky

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Esquema

1 Motivación

2 Jerarquía de ChomskyGramáticas RegularesGramáticas Libres de ContextoGramáticas Sensibles al Contexto

Jerarquía de Chomsky

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Ideas y Nociones

Como se ha mencionado anteriormente, los lenguajes sonconjuntos de palabras definidos por un alfabeto. No estamosinteresados en cualquier conjunto, los lenguajes que nosinteresan tienen una estructura inherente.

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Ideas y Nociones

Las gramáticas nos marcan las reglas que han construido ellenguaje. Para detectar esas reglas nos podemos preguntar:

¿Es nuestro lenguaje una sucesión de símbolos donde elsiguiente depende del anterior (o del siguiente)? encualquiera de los casos vemos una relación simétrica.¿Se puede separar cada palabra del lenguaje en partesmás pequeñas que no dependan unas de otras?¿Hay elementos que cambien su significado dependiendodel contexto?No se ajusta a ninguna de estas premisas pero sereconoce su estructura de alguna manera (mediante algúnalgoritmo).

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Ideas y Nociones

Las gramáticas nos marcan las reglas que han construido ellenguaje. Para detectar esas reglas nos podemos preguntar:

¿Es nuestro lenguaje una sucesión de símbolos donde elsiguiente depende del anterior (o del siguiente)? encualquiera de los casos vemos una relación simétrica.¿Se puede separar cada palabra del lenguaje en partesmás pequeñas que no dependan unas de otras?¿Hay elementos que cambien su significado dependiendodel contexto?No se ajusta a ninguna de estas premisas pero sereconoce su estructura de alguna manera (mediante algúnalgoritmo).

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Ideas y Nociones

Las gramáticas nos marcan las reglas que han construido ellenguaje. Para detectar esas reglas nos podemos preguntar:

¿Es nuestro lenguaje una sucesión de símbolos donde elsiguiente depende del anterior (o del siguiente)? encualquiera de los casos vemos una relación simétrica.¿Se puede separar cada palabra del lenguaje en partesmás pequeñas que no dependan unas de otras?¿Hay elementos que cambien su significado dependiendodel contexto?No se ajusta a ninguna de estas premisas pero sereconoce su estructura de alguna manera (mediante algúnalgoritmo).

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Ideas y Nociones

Las gramáticas nos marcan las reglas que han construido ellenguaje. Para detectar esas reglas nos podemos preguntar:

¿Es nuestro lenguaje una sucesión de símbolos donde elsiguiente depende del anterior (o del siguiente)? encualquiera de los casos vemos una relación simétrica.¿Se puede separar cada palabra del lenguaje en partesmás pequeñas que no dependan unas de otras?¿Hay elementos que cambien su significado dependiendodel contexto?No se ajusta a ninguna de estas premisas pero sereconoce su estructura de alguna manera (mediante algúnalgoritmo).

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Ejemplos

Las sumas expresiones matemáticas que involucrensimplemente números sumas y restas. ¿Que significa3− 4 + 2?¿Que pasa si a esa expresión le añadimos paréntesis deeste modo 3− (4 + 2)?En JAVA, ¿que significa i + j?, ¿es lo mismo que lasvariables i , j sean strings que sean enteros ó números enpunto flotante?Pensemos ahora en alguna lengua humana, comoespañol, ¿es fácil detectar ironía?

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Ejemplos

Las sumas expresiones matemáticas que involucrensimplemente números sumas y restas. ¿Que significa3− 4 + 2?¿Que pasa si a esa expresión le añadimos paréntesis deeste modo 3− (4 + 2)?En JAVA, ¿que significa i + j?, ¿es lo mismo que lasvariables i , j sean strings que sean enteros ó números enpunto flotante?Pensemos ahora en alguna lengua humana, comoespañol, ¿es fácil detectar ironía?

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Ejemplos

Las sumas expresiones matemáticas que involucrensimplemente números sumas y restas. ¿Que significa3− 4 + 2?¿Que pasa si a esa expresión le añadimos paréntesis deeste modo 3− (4 + 2)?En JAVA, ¿que significa i + j?, ¿es lo mismo que lasvariables i , j sean strings que sean enteros ó números enpunto flotante?Pensemos ahora en alguna lengua humana, comoespañol, ¿es fácil detectar ironía?

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Ejemplos

Las sumas expresiones matemáticas que involucrensimplemente números sumas y restas. ¿Que significa3− 4 + 2?¿Que pasa si a esa expresión le añadimos paréntesis deeste modo 3− (4 + 2)?En JAVA, ¿que significa i + j?, ¿es lo mismo que lasvariables i , j sean strings que sean enteros ó números enpunto flotante?Pensemos ahora en alguna lengua humana, comoespañol, ¿es fácil detectar ironía?

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Definición (Gramáticas Regulares o de Tipo 3)

Definiremos las gramáticas con producciones lineales delmodo siguiente:Llamaremos gramática lineal por la izquierda a todaG := (V ,Σ,Q0,P) gramática tal que todas las producciones deP son de uno de los dos tipos siguientes:

A 7→ a, donde A ∈ V y a ∈ Σ ∪ {λ}.A 7→ aB, donde A,B ∈ V y a ∈ Σ ∪ {λ}.

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Ejemplo de Gramática Linear

Sea G := ({Q0,Op}, {Num,+,−},Q0,P) gramática lasiguiente gramática:

P = {Q0 7→ Num Op | Num, Op 7→ +Q0 | −Q0}.

Esta gramática genera el lenguaje de todas las operacionesaritméticas que involucren solo sumas y restas.

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Definición (Gramáticas Libres de Contexto o de Tipo 2)Llamaremos gramática libre de contexto a todaG = (V ,Σ,Q0,P) gramática tal que todas las producciones deP son del tipo siguiente:

A 7→ ω, donde A ∈ V y ω ∈ (Σ ∪ V )∗.

Un lenguaje libre de contexto es un lenguaje generado poruna gramática libre de contexto.

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Ejemplo

Tomemos la gramática G que habíamos definido anteriormentey añadamos una variableG := ({Q0,Q1,Op}, {Num,+,−, (, )},Q1,P). Las produccionesvan a ser ahora

P = {Q0 7→ Q1 Op|Q1, Op 7→ +Q1| −Q1,

Q1 7→ Num | (Q0)}.

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Definición (Gramáticas sensibles al contexto o de Tipo 1)Llamaremos gramática sensible al contexto a todaG = (V ,Σ,Q0,P) gramática tal que todas las producciones deP son del tipo siguiente:

γAδ 7→ γωδ, donde A ∈ V y ω, γ, δ ∈ (Σ ∪ V )∗, ω 6= λ.

Un lenguaje sensible al contexto es un lenguaje generado poruna gramática libre de contexto.

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Supongamos que queremos definir el lenguaje que solo aceptaprogramas donde las variables hayan sido especificadas. Porsimplicidad supongamos que solo vamos a utilizar programascon una sola variable.

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Gramáticas RegularesGramáticas Libres de ContextoGramáticas Sensibles al Contexto

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Boolean aa=trueEs un programa válido, peroBoolean ab=trueno lo es.

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Gramáticas RegularesGramáticas Libres de ContextoGramáticas Sensibles al Contexto

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Una posible gramática (solo en el caso de los identificadoresestén formados por las letras a,b) :

S 7→ Boolean CD=true,C 7→ aCA|bCB|λ,D 7→ λ

AD 7→ aD,BD 7→ bDAa 7→ aA,Ab 7→ bABa 7→ aB,Bb 7→ bB

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Definición (Gramáticas de Tipo 0)

Llamaremos gramática de tipo 0 a toda G = (V ,Σ,Q0,P)gramática tal que todas las producciones de P son del tiposiguiente:

γ 7→ ω, donde γ, ω ∈ (Σ ∪ V )∗.

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Gramáticas RegularesGramáticas Libres de ContextoGramáticas Sensibles al Contexto

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Notar que un lenguaje regular es siempre un lenguaje libre decontexto. Nuestra preocupación será encontrar cual es lamínima estructura que tiene un lenguaje.

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